A)Integracja bezpośrednia.
Wyznaczanie całek funkcji w oparciu o bezpośrednie zastosowanie własności całek nieoznaczonych oraz tabelę podstawowych wzorów całkowych. Rozważmy przykład znalezienia całki funkcji poprzez całkowanie bezpośrednie.
Przykład:
∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X D X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.
W zdecydowanej większości przypadków mamy do czynienia z całkami funkcji, których nie można znaleźć poprzez całkowanie bezpośrednie. W takim przypadku konieczne jest dokonanie podstawienia (zastąpienie zmiennej).
B)Całkowanie przez podstawienie (zastąpienie zmiennej).
Całkowanie przez podstawienie, lub jak to się często nazywa, metoda podstawienia zmiennych, jest jedną z bardziej skutecznych i powszechnych metod całkowania. Metoda podstawienia polega na przejściu od danej zmiennej całkowej do innej zmiennej w celu uproszczenia wyrażenia całkowego i zredukowania go do jednego z całek tabelarycznych. W tym przypadku o wyborze zastępstwa decyduje wykonawca indywidualnie, gdyż nie ma ogólnych zasad wskazujących, w jakim zastąpieniu w tym przypadku Brać.
Przykład: Znajdź całkę ∫ mi 2х+3 d X.
Wprowadźmy nową zmienną t powiązaną z X następująca zależność 2 X+ 3 = t.
Weźmy różniczki lewej i prawej strony tej równości: 2d X=dt;d X= dt/2.
Teraz zamiast 2 X+ 3 id X Podstawmy ich wartości do całki. Wtedy otrzymujemy: ∫ mi 2х+3 d X=∫mi t dt= mi t + C. Wracając do poprzedniej zmiennej, ostatecznie otrzymujemy wyrażenie:
∫mi 2х+3 d X=mi 2x+3 + C.
Aby mieć pewność, że całka zostanie wzięta poprawnie, potrzebna jest funkcja pierwotna mi 2x+ 3 rozróżnij i sprawdź, czy będzie Czy jego pochodna jest równa funkcji całkowej:
(mi 2x+ 3)" =mi 2x+ 3 (2 X+3)" =mi 2x+ 3 .
3. Całka oznaczona i jej własności.
Pojęcie całki oznaczonej jest szeroko stosowane w wielu dziedzinach nauki i technologii. Za jego pomocą obliczane są obszary ograniczone krzywymi, objętości o dowolnym kształcie, moc i praca siły zmiennej, tor poruszającego się ciała, momenty bezwładności i wiele innych wielkości.
W 
W zdecydowanej większości przypadków pojęcie całki oznaczonej wprowadza się przy rozwiązywaniu problemów wyznaczania pola trapezu krzywoliniowego. Niech będzie funkcja ciągła y =f( X) w segmencie [ a, c] Figura ograniczona krzywą y=f( X) współrzędne A Oh, V A P i segment [ a, c] oś x nazywana jest trapezem krzywoliniowym (ryc. 1).
Postawmy sobie zadanie: wyznaczyć pole S zakrzywionego trapezu A A o A P V. W tym celu dzielimy segment [ a, c] NA P niekoniecznie równe części i wyznacz punkty podziału w następujący sposób: A=X O < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X P = w.
Z punktów podziału przywracamy prostopadłe do przecięcia z krzywą y = f( X). W ten sposób podzieliliśmy cały obszar ograniczony krzywą na P elementarne trapezy krzywoliniowe. Przywróćmy z dowolne punkty każdy segment ∆ X I rzędnaf(C I) aż przetnie się z krzywą y =f( X). Następnie skonstruujemy figurę schodkową składającą się z prostokątów o podstawie ∆ X I i wysokość f(C I). Plac Podstawowy It prostokąt będzie miał postać S I =f(C I)(X I -X I -1 ), i cały obszar S P wynikowa liczba schodkowa będzie równa sumie pól prostokątów:
S P=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C P- 1)(X P -X P- 1).
Aby skrócić zapis tej kwoty, należy wprowadzić symbol 
(sigma) – znak oznaczający sumowanie wielkości. Następnie
S P
=
.
Kwota ta S P, która nazywa się sumą całkowitą, może być większa lub mniejsza od prawdziwej wartości danego obszaru. Granicą sumy będzie wartość najbliższa prawdziwej wartości pola, pod warunkiem, że segmenty elementarne zostaną zmiażdżone ( p →
) i samą długość duży odcinek ∆X maks będzie dążyć do zera, tj.:
S=
(4)
Nazywa się ten skumulowany limit sumy (jeśli istnieje). określona całka z funkcjif( X) w segmencie [ A,V] i oznacz: 
=
(5)
(czyta „całka oznaczona z A zanim V ef z x de x”).
Liczby A I V nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą całkowania, f( X) – funkcja podcałkowa; X– zmienna całkująca. Korzystając ze wzorów (4) i (5) możemy napisać. Że pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe całce funkcji ograniczającej trapez, przejętej przez przedział całkowania [A,V]:
.
Fakt ten wyraża geometryczne znaczenie całki oznaczonej.
Rozważmy własności całki oznaczonej.
1. Całka oznaczona nie zależy od oznaczenia zmiennej, tj.: 
=
.
2. Całka oznaczona sumy algebraicznej jest równa sumie algebraicznej całek oznaczonych każdego wyrazu:
=
f 1 ( X)D x +
f 2 ( X)D X+ ….
Widzieliśmy, że pochodna ma wiele zastosowań: pochodną jest prędkość ruchu (lub, bardziej ogólnie, prędkość dowolnego procesu); pochodna jest nachylenie styczna do wykresu funkcji; korzystając z pochodnej, można zbadać funkcję pod kątem monotoniczności i ekstremów; pochodna pomaga rozwiązać problemy optymalizacyjne.
Ale w prawdziwe życie muszę zdecydować i problemy odwrotne: na przykład wraz z problemem ustalenia prędkości na podstawie znanej zasady ruchu pojawia się również problem przywrócenia prawa ruchu na podstawie znanej prędkości. Rozważmy jeden z tych problemów.
Przykład 1. Porusza się po linii prostej punkt materialny, prędkość jego ruchu w chwili t jest określona wzorem u = tg. Znajdź prawo ruchu.
Rozwiązanie. Niech s = s(t) będzie pożądaną zasadą ruchu. Wiadomo, że s”(t) = u”(t). Oznacza to, że aby rozwiązać problem, musisz wybrać funkcjonować s = s(t), którego pochodna jest równa tg. Nie trudno się tego domyślić
Od razu zauważmy, że przykład został rozwiązany poprawnie, ale niecałkowicie. Odkryliśmy, że tak naprawdę problem ma nieskończenie wiele rozwiązań: dowolną funkcję formy 
dowolna stała może służyć jako zasada ruchu, ponieważ
Aby zadanie było bardziej szczegółowe, musieliśmy ustalić sytuację wyjściową: wskazać współrzędną poruszającego się punktu w pewnym momencie, na przykład w t=0. Jeżeli, powiedzmy, s(0) = s 0, to z równości otrzymujemy s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Teraz zasada ruchu jest jednoznacznie zdefiniowana:
W matematyce przypisuje się operacje odwrotne różne nazwy, wymyśl specjalne oznaczenia: na przykład podnoszenie do kwadratu (x 2) i wyodrębnianie pierwiastek kwadratowy sinus(sinх) i arcsinus(arcsin x) itp. Proces znajdowania pochodnej danej funkcji nazywamy różniczkowaniem, a operacją odwrotną, tj. proces znajdowania funkcji z danej pochodnej - całkowanie.
Samo określenie „pochodna” można uzasadnić „potocznie”: funkcja y – f(x) „powołuje do istnienia” Nowa cecha y"= f"(x) Funkcja y = f(x) pełni rolę „rodzica”, ale matematycy oczywiście nie nazywają jej „rodzicem” ani „producentem”, mówią, że tak jest w odniesieniu do funkcja y"=f"(x), obraz pierwotny, czyli w skrócie funkcja pierwotna.
Definicja 1. Funkcję y = F(x) nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji y = f(x) na danym przedziale X, jeżeli dla wszystkich x z X zachodzi równość F"(x)=f(x).
W praktyce przedział X zwykle nie jest określony, lecz domniemany (jako naturalna dziedzina definicji funkcji).
Oto kilka przykładów:
1) Funkcja y = x 2 jest funkcją pierwotną dla funkcji y = 2x, ponieważ dla wszystkich x prawdziwa jest równość (x 2)" = 2x.
2) funkcja y - x 3 jest pierwotna dla funkcji y-3x 2, ponieważ dla wszystkich x prawdziwa jest równość (x 3)" = 3x 2.
3) Funkcja y-sinх jest funkcją pierwotną dla funkcji y = cosx, gdyż dla każdego x prawdziwa jest równość (sinx)" = cosx.
4) Funkcja jest pierwotna dla funkcji na przedziale, ponieważ dla wszystkich x > 0 równość jest prawdziwa
Ogólnie rzecz biorąc, znając wzory na znalezienie pochodnych, nie jest trudno sporządzić tabelę wzorów na znalezienie funkcji pierwotnych.
Mamy nadzieję, że rozumiesz, jak skompilowana jest ta tabela: pochodna funkcji zapisanej w drugiej kolumnie jest równa funkcji zapisanej w odpowiednim wierszu pierwszej kolumny (sprawdź to, nie bądź leniwy, To jest bardzo użyteczne). Na przykład dla funkcji y = x 5 funkcją pierwotną, jak ustalisz, jest funkcja (patrz czwarty wiersz tabeli).
Uwagi: 1. Poniżej udowodnimy twierdzenie, że jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x), to funkcja y = f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych i wszystkie mają postać y = F(x ) + C. Dlatego bardziej poprawne byłoby dodanie wyrazu C wszędzie w drugiej kolumnie tabeli, gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.
2. Dla zachowania zwięzłości czasami zamiast wyrażenia „funkcja y = F(x) jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x)” mówi się, że F(x) jest funkcją pierwotną f(x) .”
2. Zasady znajdowania funkcji pierwotnych
Przy znajdowaniu funkcji pierwotnych, a także przy znajdowaniu pochodnych, stosuje się nie tylko wzory (są one wymienione w tabeli na s. 196), ale także pewne zasady. Są one bezpośrednio powiązane z odpowiednimi zasadami obliczania instrumentów pochodnych.
Wiemy, że pochodna sumy jest równa sumie jej pochodnych. Ta reguła generuje odpowiednią regułę do wyszukiwania funkcji pierwotnych.
Zasada nr 1. Funkcja pierwotna sumy jest równa sumie funkcji pierwotnych.
Zwracamy uwagę na pewną „lekkość” tego sformułowania. Właściwie należałoby sformułować twierdzenie: jeżeli funkcje y = f(x) i y = g(x) mają funkcje pierwotne na przedziale X, odpowiednio y-F(x) i y-G(x), to suma funkcji y = f(x)+g(x) ma funkcję pierwotną na przedziale X, a tą funkcją pierwotną jest funkcja y = F(x)+G(x). Ale zwykle przy formułowaniu reguł (a nie twierdzeń) tylko wychodzą słowa kluczowe- ułatwia to stosowanie reguły w praktyce
Przykład 2. Znajdź funkcję pierwotną funkcji y = 2x + cos x.
Rozwiązanie. Funkcja pierwotna dla 2x to x"; funkcja pierwotna dla cox to sin x. Oznacza to, że funkcją pierwotną dla funkcji y = 2x + cos x będzie funkcja y = x 2 + sin x (i ogólnie dowolna funkcja postaci Y = x 1 + sinx + C) .
Wiemy, że ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik. Ta reguła generuje odpowiednią regułę do wyszukiwania funkcji pierwotnych.
Zasada 2. Stały mnożnik można usunąć jako znak funkcji pierwotnej.
Przykład 3.
Rozwiązanie. a) Funkcja pierwotna sin x to -soz x; Oznacza to, że dla funkcji y = 5 sin x funkcją pierwotną będzie funkcja y = -5 cos x.
b) Funkcja pierwotna dla cos x to sin x; Oznacza to, że funkcja pierwotna funkcji jest funkcją
c) Funkcja pierwotna dla x 3 jest funkcją pierwotną dla x, funkcją pierwotną dla funkcji y = 1 jest funkcją y = x. Korzystając z pierwszej i drugiej reguły znajdowania funkcji pierwotnych, stwierdzamy, że funkcja pierwotna funkcji y = 12x 3 + 8x-1 jest funkcją
Komentarz. Jak wiadomo, pochodna iloczynu nie jest równa iloczynowi pochodnych (zasada różnicowania iloczynu jest bardziej złożona), a pochodna ilorazu nie jest równa ilorazowi pochodnych. Dlatego nie ma reguł znajdowania funkcji pierwotnej iloczynu lub funkcji pierwotnej ilorazu dwóch funkcji. Bądź ostrożny!
Uzyskajmy kolejną regułę znajdowania funkcji pierwotnych. Wiemy, że pochodną funkcji y = f(kx+m) obliczamy ze wzoru
Ta reguła generuje odpowiednią regułę do wyszukiwania funkcji pierwotnych.
Zasada 3. Jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x), to funkcją pierwotną funkcji y=f(kx+m) jest funkcja
Rzeczywiście,
Oznacza to, że jest to funkcja pierwotna funkcji y = f(kx+m).
Znaczenie trzeciej zasady jest następujące. Jeżeli wiesz, że funkcją pierwotną funkcji y = f(x) jest funkcja y = F(x) i musisz znaleźć funkcję pierwotną funkcji y = f(kx+m), to postępuj w następujący sposób: ta sama funkcja F, ale zamiast argumentu x podstawiamy wyrażenie kx+m; ponadto nie zapomnij wpisać „współczynnika korekcyjnego” przed znakiem funkcji
Przykład 4. Znajdź funkcje pierwotne dla danych funkcji:
Rozwiązanie, a) Funkcja pierwotna sin x to -soz x; Oznacza to, że dla funkcji y = sin2x funkcją pierwotną będzie funkcja
b) Funkcja pierwotna dla cos x to sin x; Oznacza to, że funkcja pierwotna funkcji jest funkcją
c) Funkcja pierwotna dla x 7 oznacza, że dla funkcji y = (4-5x) 7 funkcją pierwotną będzie funkcja
3. Całka nieoznaczona
Zauważyliśmy już powyżej, że problem znalezienia funkcji pierwotnej dla danej funkcji y = f(x) ma więcej niż jedno rozwiązanie. Omówmy to zagadnienie bardziej szczegółowo.
Dowód. 1. Niech y = F(x) będzie funkcją pierwotną funkcji y = f(x) na przedziale X. Oznacza to, że dla wszystkich x z X zachodzi równość x"(x) = f(x). Załóżmy, że znajdź pochodną dowolnej funkcji postaci y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Zatem (F(x)+C) = f(x). Oznacza to, że y = F(x) + C jest funkcją pierwotną funkcji y = f(x).
Udowodniliśmy zatem, że jeśli funkcja y = f(x) ma funkcję pierwotną y=F(x), to funkcja (f = f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych, np. dowolna funkcja postaci y = F(x) +C jest funkcją pierwotną.
2. Udowodnijmy to teraz określony typ funkcji, wyczerpuje się cały zestaw funkcji pierwotnych.
Niech y=F 1 (x) i y=F(x) będą dwiema funkcjami pierwotnymi funkcji Y = f(x) na przedziale X. Oznacza to, że dla wszystkich x z przedziału X zachodzą zależności: F^ ( x) = f (X); F”(x) = f(x).
Rozważmy funkcję y = F 1 (x) -.F(x) i znajdź jej pochodną: (F, (x) -F(x))" = F[(x) -F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Wiadomo, że jeśli pochodna funkcji na przedziale X jest identycznie równa zero, to funkcja jest stała na przedziale X (patrz Twierdzenie 3 z § 35). Oznacza to, że F 1 (x) - F (x) = C, tj. Fx) = F(x)+C.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład 5. Dane jest prawo zmiany prędkości w czasie: v = -5sin2t. Znajdź zasadę ruchu s = s(t), jeśli wiadomo, że w chwili t=0 współrzędna punktu była równa liczbie 1,5 (tzn. s(t) = 1,5).
Rozwiązanie. Ponieważ prędkość jest pochodną współrzędnej w funkcji czasu, musimy najpierw znaleźć funkcję pierwotną prędkości, tj. funkcja pierwotna dla funkcji v = -5sin2t. Jedną z takich funkcji pierwotnych jest funkcja , a zbiór wszystkich funkcji pierwotnych ma postać:
Znaleźć konkretne znaczenie stała C, użyjmy warunki początkowe, zgodnie z którym s(0) = 1,5. Podstawiając wartości t=0, S=1,5 do wzoru (1) otrzymujemy:
Podstawiając znalezioną wartość C do wzoru (1) otrzymujemy interesujące nas prawo ruchu:
Definicja 2. Jeśli funkcja y = f(x) ma funkcję pierwotną y = F(x) na przedziale X, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych, tj. zbiór funkcji w postaci y = F(x) + C nazywany jest całką nieoznaczoną funkcji y = f(x) i oznaczamy:
(czytaj: „całka nieoznaczona ef od x de x”).
W następnym akapicie dowiemy się, co to jest ukryte znaczenie wskazane oznaczenie.
Na podstawie tabeli funkcji pierwotnych dostępnej w tej sekcji stworzymy tabelę głównych całek nieoznaczonych:
Bazując na powyższych trzech zasadach znajdowania funkcji pierwotnych, możemy sformułować odpowiednie reguły całkowania.
Zasada nr 1. Całka z sumy funkcji równa sumie całki tych funkcji:
Zasada 2. Stały współczynnik można wyjąć ze znaku całki:
Zasada 3. Jeśli
Przykład 6. Znajdź całki nieoznaczone:
Rozwiązanie, a) Korzystając z pierwszej i drugiej zasady całkowania otrzymujemy:
Skorzystajmy teraz z trzeciego i czwartego wzoru na całkowanie:
W rezultacie otrzymujemy:
b) Korzystając z trzeciej zasady całkowania i wzoru 8 otrzymujemy:
c) Za natychmiastowa lokalizacja Dla danej całki nie mamy odpowiedniego wzoru ani odpowiedniej reguły. W takich przypadkach wstępnie wykonane przemiany tożsamości wyrażenie zawarte pod znakiem całki.
Skorzystajmy wzór trygonometryczny Redukcja stopnia:
Następnie znajdujemy po kolei:
A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa
Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole
Ta lekcja jest pierwszą z serii filmów na temat integracji. Przeanalizujemy w nim, czym jest funkcja pierwotna funkcji, a także przestudiujemy elementarne metody obliczania tych samych funkcji.
Tak naprawdę nie ma tu nic skomplikowanego: w zasadzie wszystko sprowadza się do pojęcia pochodnej, które powinieneś już znać. :)
Od razu to zauważę, ponieważ jest to pierwsza lekcja w naszej szkole nowy temat, dzisiaj nie będzie żadnego złożone obliczenia i formuły, ale to, co dzisiaj przestudiujemy, będzie stanowić podstawę do znacznie bardziej złożonych obliczeń i konstrukcji podczas obliczeń całki złożone i kwadraty.
Ponadto, rozpoczynając naukę integracji, a zwłaszcza całek, domyślnie zakładamy, że student jest już przynajmniej zaznajomiony z pojęciami pochodnych i posiada przynajmniej podstawowe umiejętności ich obliczania. Bez jasnego zrozumienia tego nie ma absolutnie nic do zrobienia w integracji.
Jednak tutaj leży jeden z najczęstszych i podstępnych problemów. Faktem jest, że wielu uczniów, rozpoczynając obliczanie swoich pierwszych funkcji pierwotnych, myli je z pochodnymi. W rezultacie na egzaminach i niezależna praca popełniane są głupie i obraźliwe błędy.
Dlatego teraz nie podam jasnej definicji funkcji pierwotnej. W zamian sugeruję zobaczenie, jak to jest obliczane na prostym konkretnym przykładzie.
Co to jest funkcja pierwotna i jak się ją oblicza?
Znamy ten wzór:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Tę pochodną oblicza się w prosty sposób:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Przyjrzyjmy się uważnie wynikowemu wyrażeniu i wyraźmy $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Ale zgodnie z definicją pochodnej możemy to zapisać w ten sposób:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
A teraz uwaga: to, co właśnie zapisaliśmy, to definicja funkcji pierwotnej. Ale żeby napisać to poprawnie, musisz napisać co następuje:
W ten sam sposób napiszemy następujące wyrażenie:
Jeśli uogólnimy tę regułę, możemy wyprowadzić następujący wzór:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Teraz możemy sformułować jasną definicję.
Funkcja pierwotna funkcji to funkcja, której pochodna jest równa funkcji pierwotnej.
Pytania dotyczące funkcji pierwotnej
Wydawałoby się, że jest to dość prosta i zrozumiała definicja. Jednak po usłyszeniu tego uważny uczeń natychmiast zada kilka pytań:
- Powiedzmy, OK, ta formuła jest poprawna. Jednak w tym przypadku, gdy $n=1$, mamy problem: w mianowniku pojawia się „zero”, a przez „zero” nie możemy dzielić.
- Formuła ogranicza się tylko do stopni. Jak obliczyć funkcję pierwotną, na przykład sinusa, cosinusa i dowolnej innej trygonometrii, a także stałe.
- Pytanie egzystencjalne: czy zawsze można znaleźć funkcję pierwotną? Jeśli tak, to co z funkcją pierwotną sumy, różnicy, iloczynu itp.?
NA ostatnie pytanie Odpowiem od razu. Niestety, funkcja pierwotna, w przeciwieństwie do pochodnej, nie zawsze jest brana pod uwagę. Nie ma czegoś takiego uniwersalna formuła, dzięki czemu z dowolnej konstrukcji początkowej otrzymamy funkcję równą tej podobnej konstrukcji. Jeśli chodzi o potęgi i stałe, porozmawiamy o tym teraz.
Rozwiązywanie problemów z funkcjami potęgowymi
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Jak widzimy, tę formułę dla $((x)^(-1))$ nie działa. Powstaje pytanie: co w takim razie działa? Czy nie możemy policzyć $((x)^(-1))$? Oczywiście możemy. Najpierw zapamiętajmy to:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Teraz pomyślmy: pochodna której funkcji jest równa $\frac(1)(x)$. Oczywiście każdy uczeń, który choć trochę przestudiował ten temat, pamięta, że to wyrażenie jest równe pochodnej logarytmu naturalnego:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Dlatego śmiało możemy napisać, co następuje:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\do \ln x\]
Trzeba znać ten wzór, podobnie jak pochodną funkcji potęgowej.
Zatem co wiemy na razie:
- Dla funkcji potęgowej - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Dla stałej - $=const\to \cdot x$
- Szczególnym przypadkiem funkcji potęgowej jest $\frac(1)(x)\to \ln x$
A jeśli zaczniemy mnożyć i dzielić najprostsze funkcje, jak wówczas możemy obliczyć funkcję pierwotną iloczynu lub ilorazu. Niestety analogie z pochodną iloczynu lub ilorazu nie sprawdzają się tutaj. Każdy standardowa formuła nie istnieje. W niektórych przypadkach istnieją trudne specjalne formuły - zapoznamy się z nimi w przyszłych lekcjach wideo.
Pamiętaj jednak: ogólna formuła, podobny wzór na obliczenie pochodnej ilorazu i iloczynu nie istnieje.
Rozwiązywanie prawdziwych problemów
Zadanie nr 1
Niech każdy funkcje mocy Obliczmy osobno:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Wracając do naszego wyrażenia, piszemy konstrukcję ogólną:
Problem nr 2
Jak już mówiłem, prototypy dzieł i prywatne „od razu” nie są brane pod uwagę. Jednak tutaj możesz wykonać następujące czynności:
Rozbiliśmy ułamek na sumę dwóch ułamków.
Zróbmy matematykę:
Dobra wiadomość jest taka, że znając wzory na obliczanie funkcji pierwotnych, możesz już obliczyć więcej złożone projekty. Pójdźmy jednak dalej i poszerzmy naszą wiedzę jeszcze trochę. Faktem jest, że wiele konstrukcji i wyrażeń, które na pierwszy rzut oka nie mają nic wspólnego z $((x)^(n))$, można przedstawić w postaci potęgi z racjonalny wskaźnik, a mianowicie:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Wszystkie te techniki można i należy łączyć. Wyrażenia mocy Móc
- mnożyć (dodawać stopnie);
- dzielić (odejmować stopnie);
- pomnóż przez stałą;
- itp.
Rozwiązywanie wyrażeń potęgowych z wykładnikiem wymiernym
Przykład 1
Obliczmy każdy pierwiastek osobno:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
W sumie całą naszą konstrukcję można zapisać następująco:
Przykład nr 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Dlatego otrzymujemy:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
W sumie zbierając wszystko w jedno wyrażenie możemy napisać:
Przykład nr 3
Na początek zauważamy, że obliczyliśmy już $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Przepiszmy:
Mam nadzieję, że nikogo nie zaskoczę, jeśli powiem, że tego, czego właśnie się nauczyliśmy, jest po prostu najwięcej proste obliczenia prymitywne, najbardziej elementarne struktury. Przyjrzyjmy się teraz trochę więcej złożone przykłady, w którym oprócz tabelarycznych funkcji pierwotnych będziesz musiał także pamiętać program nauczania, mianowicie skrócone wzory na mnożenie.
Rozwiązywanie bardziej złożonych przykładów
Zadanie nr 1
Przypomnijmy sobie wzór na kwadrat różnicy:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Przepiszmy naszą funkcję:
Musimy teraz znaleźć prototyp takiej funkcji:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Połączmy wszystko w jeden wspólny projekt:
Problem nr 2
W tym przypadku musimy rozwinąć kostkę różnicową. Zapamiętajmy:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Biorąc ten fakt pod uwagę, możemy zapisać to w następujący sposób:
Przekształćmy trochę naszą funkcję:
Liczymy jak zawsze – dla każdego terminu osobno:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\do \ln x\]
Napiszmy powstałą konstrukcję:
Problem nr 3
Na górze mamy kwadrat sumy, rozwińmy go:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lewo(\sqrt(x) \prawo))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Napiszmy ostateczne rozwiązanie:
Teraz uwaga! Bardzo ważna rzecz, z którym jest połączony lwia część błędy i nieporozumienia. Faktem jest, że do tej pory licząc funkcje pierwotne za pomocą pochodnych i dokonując przekształceń, nie zastanawialiśmy się, ile wynosi pochodna stałej. Ale pochodna stałej jest równa „zero”. Oznacza to, że możesz zapisać następujące opcje:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Bardzo ważne jest zrozumienie tego: jeśli pochodna funkcji jest zawsze taka sama, to ta sama funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych. Możemy po prostu dodać dowolne liczby stałe do naszych funkcji pierwotnych i otrzymać nowe.
To nie przypadek, że w objaśnieniu problemów, które właśnie rozwiązaliśmy, było napisane: „Zapisz forma ogólna prymitywni.” Te. Już z góry zakłada się, że nie ma jednego z nich, ale całą masę. Ale tak naprawdę różnią się one tylko stałą $C$ na końcu. Dlatego w naszych zadaniach będziemy poprawiać to, czego nie wykonaliśmy.
Jeszcze raz przepisujemy nasze konstrukcje:
W takich przypadkach należy dodać, że $C$ jest stałą - $C=const$.
W drugiej funkcji otrzymujemy następującą konstrukcję:
I ostatni:
I teraz naprawdę otrzymaliśmy to, czego od nas wymagano w pierwotnym stanie problemu.
Rozwiązywanie problemów znajdowania funkcji pierwotnych w zadanym punkcie
Teraz, gdy wiemy o stałych i osobliwościach zapisywania funkcji pierwotnych, jest to całkiem logiczne następny typ problemy, gdy ze zbioru wszystkich funkcji pierwotnych trzeba znaleźć jedną, która przejdzie dany punkt. Jakie jest to zadanie?
Faktem jest, że wszystkie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się tylko tym, że są przesunięte w pionie o określoną liczbę. A to oznacza, że niezależnie od punktu płaszczyzna współrzędnych nie wzięliśmy tego, jedna funkcja pierwotna na pewno przejdzie, a ponadto tylko jedna.
Zatem zadania, które teraz rozwiążemy, są sformułowane następująco: nie jest łatwo znaleźć funkcję pierwotną, znając wzór funkcji pierwotnej, ale wybrać dokładnie jedną z nich, która przechodzi przez dany punkt, którego współrzędne zostaną podane w zadaniu.
Przykład 1
Najpierw po prostu policzmy każdy wyraz:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
Teraz podstawimy te wyrażenia do naszej konstrukcji:
Funkcja ta musi przechodzić przez punkt $M\left(-1;4 \right)$. Co to znaczy, że przechodzi przez punkt? Oznacza to, że jeśli zamiast $x$ wstawimy wszędzie $-1$, a zamiast $F\left(x \right)$ postawimy $-4$, to powinniśmy otrzymać poprawną równość liczbowa. Zróbmy to:
Widzimy, że mamy równanie na $C$, więc spróbujmy je rozwiązać:
Zapiszmy właśnie rozwiązanie, którego szukaliśmy:
Przykład nr 2
Przede wszystkim konieczne jest ujawnienie kwadratu różnicy za pomocą skróconej formuły mnożenia:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Oryginalna konstrukcja zostanie zapisana w następujący sposób:
Teraz znajdźmy $C$: zamień współrzędne punktu $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Wyrażamy $C$:
Pozostaje wyświetlić końcowe wyrażenie:
Rozwiązywanie problemów trygonometrycznych
Jak ostatni akord Oprócz tego, co właśnie omówiliśmy, proponuję rozważyć jeszcze dwa złożone zadania, które zawierają trygonometrię. W nich w ten sam sposób trzeba będzie znaleźć funkcje pierwotne dla wszystkich funkcji, a następnie wybrać z tego zbioru jedyną, która przechodzi przez punkt $M$ na płaszczyźnie współrzędnych.
Patrząc w przyszłość, chciałbym zauważyć, że technika, której będziemy teraz używać do znajdowania funkcji pierwotnych funkcje trygonometryczne w rzeczywistości jest uniwersalną techniką samotestowania.
Zadanie nr 1
Zapamiętajmy następującą formułę:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Na tej podstawie możemy napisać:
Podstawmy współrzędne punktu $M$ do naszego wyrażenia:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Przepiszmy wyrażenie biorąc pod uwagę ten fakt:
Problem nr 2
To będzie trochę trudniejsze. Teraz zobaczysz dlaczego.
Zapamiętajmy tę formułę:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Aby pozbyć się „minusu”, musisz wykonać następujące czynności:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Oto nasz projekt
Podstawmy współrzędne punktu $M$:
W sumie zapisujemy ostateczną konstrukcję:
To wszystko, o czym chciałem wam dzisiaj powiedzieć. Przestudiowaliśmy sam termin funkcje pierwotne i jak je liczyć funkcje elementarne, a także jak znaleźć funkcję pierwotną przechodzącą przez określony punkt na płaszczyźnie współrzędnych.
Mam nadzieję, że ta lekcja choć trochę pomoże Ci to zrozumieć złożony temat. W każdym razie na funkcjach pierwotnych konstruowane są całki nieoznaczone i nieoznaczone, dlatego absolutnie konieczne jest ich obliczenie. To wszystko dla mnie. Do zobaczenia!