Rozważmy równanie linii prostej przechodzącej przez punkt i wektor normalny. Niech w układzie współrzędnych będzie podany punkt i niezerowy wektor (rys. 1).
Definicja
Jak widzimy, istnieje pojedyncza linia prosta przechodząca przez punkt prostopadły do kierunku wektora (w tym przypadku jest to tzw. wektor normalny prosty ).
Ryż. 1
Udowodnimy, że równanie liniowe
jest to równanie prostej, to znaczy współrzędne każdego punktu linii spełniają równanie (1), ale współrzędne punktu, na którym nie leży, nie spełniają równania (1).
Aby to udowodnić, zauważmy, że iloczyn skalarny wektorów i = w postaci współrzędnych pokrywa się z lewą stroną równania (1).
Następnie korzystamy z oczywistej właściwości linii: wektory i są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy punkt leży na . I pod warunkiem, że oba wektory są prostopadłe, ich iloczyn skalarny (2) zamienia się dla wszystkich leżących punktów i tylko dla nich. Oznacza to, że (1) jest równaniem linii prostej.
Definicja
Równanie (1) nazywa się równanie prostej przechodzącej przez dany punktz wektorem normalnym = .
Przekształćmy równanie (1)
Oznaczając = , otrzymujemy
Zatem równanie liniowe postaci (3) odpowiada linii prostej. Przeciwnie, korzystając z danego równania postaci (3), w którym przynajmniej jeden ze współczynników jest różny od zera, można skonstruować prostą.
Rzeczywiście, niech para liczb spełnia równanie (3), czyli
Odejmując to drugie od (3), otrzymujemy zależność wyznaczającą linię prostą za wektorem i punktem.
Badanie ogólnego równania linii
Przydatne jest poznanie funkcji umieszczania linii w niektórych przypadkach, gdy jedna lub dwie liczby są równe zero.
1. Ogólne równanie wygląda następująco: . Punkt spełnia ten warunek, co oznacza, że linia przechodzi przez początek układu współrzędnych. Można zapisać: = – x (patrz rys. 2).
Ryż. 2
Wierzymy, że:
Jeśli umieścimy , to otrzymamy kolejny punkt (patrz ryc. 2).
2. , wówczas równanie wygląda następująco, gdzie = –. Wektor normalny leży na osi, linii prostej. Zatem linia prosta jest prostopadła w punkcie lub równoległa do osi (patrz rys. 3). W szczególności, jeśli i , to i równanie jest równaniem osi rzędnych.
Ryż. 3
3. Podobnie, gdy zapisuje się równanie, gdzie . Wektor należy do osi. Linia prosta w punkcie (ryc. 4).
Jeżeli, to równanie osi wynosi .
Badanie można sformułować w następującej postaci: prosta jest równoległa do osi współrzędnych, której zmiany nie ma w ogólnym równaniu prostej.
Na przykład:
Skonstruujmy linię prostą, korzystając z równania ogólnego, pod warunkiem, że - nie są równe zero. Aby to zrobić, wystarczy znaleźć dwa punkty leżące na tej prostej. Czasami wygodniej jest znaleźć takie punkty na osiach współrzędnych.
Powiedzmy zatem = –.
Kiedy , to = –.
Oznaczmy – = , – = . Punkty i zostały znalezione. Narysujmy i narysujmy linię prostą na osiach i przechodzącą przez nie (patrz ryc. 5).
Ryż. 5
Od ogółu możesz przejść do równania, które będzie zawierać liczby i:
A potem okazuje się:
Lub, zgodnie z zapisem, otrzymujemy równanie
Który jest nazywany równanie prostej w odcinkach. Liczby i, zgodnie ze znakiem, są równe segmentom odciętym linią prostą na osiach współrzędnych.
Równanie prostej ze spadkiem
Aby dowiedzieć się, jakie jest równanie prostej z nachyleniem, rozważ równanie (1):
Oznaczając – = , otrzymujemy
równanie prostej przechodzącej przez punkt w danym kierunku. Zawartość geometryczną współczynnika widać wyraźnie na ryc. 6.
B = = , gdzie jest najmniejszym kątem, o który należy obrócić dodatni kierunek osi wokół wspólnego punktu, aż zrówna się z linią prostą. Oczywiście, jeśli kąt jest ostry, to title="Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}
Otwórzmy nawiasy w (5) i uprośćmy je:
Gdzie . Zależność (6) – równanie linia prosta z nachyleniem. Gdy , jest odcinkiem odcinającym linię prostą na osi (patrz rys. 6).
Notatka!
Aby przejść od ogólnego równania linii prostej do równania ze współczynnikiem nachylenia, należy najpierw rozwiązać równanie .
Ryż. 6
= – x + – =
gdzie oznaczono = –, = –. Jeśli to z badania równania ogólnego wiadomo już, że taka linia prosta jest prostopadła do osi.
Spójrzmy na równanie kanoniczne linii prostej na przykładzie.
Niech w układzie współrzędnych zostanie określony punkt i niezerowy wektor (rys. 7).
Ryż. 7
Należy utworzyć równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do wektora, który nazywa się wektorem kierunkowym. Dowolny punkt należy do tej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy . Ponieważ wektor jest dany, a wektor jest , to zgodnie z warunkiem równoległości współrzędne tych wektorów są proporcjonalne, czyli:
Definicja
Zależność (7) nazywana jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt w danym kierunku lub równaniem kanonicznym prostej.
Zauważmy, że do równania postaci (7) możemy przejść np. z równania ołówka linii (4)
lub z równania prostej przechodzącej przez punkt i wektor normalny (1):
Założono powyżej, że wektor kierunku jest różny od zera, jednak może się zdarzyć, że jedna z jego współrzędnych, np. . Następnie wyrażenie (7) zostanie formalnie zapisane:
co w ogóle nie ma sensu. Przyjmujemy jednak i otrzymujemy równanie prostej prostopadłej do osi. Rzeczywiście, z równania jasno wynika, że linia prosta jest definiowana przez punkt i wektor kierunkowy prostopadły do osi. Jeśli usuniemy mianownik z tego równania, otrzymamy:
Lub - równanie linii prostej prostopadłej do osi. Podobny wynik można uzyskać dla wektora .
Równanie parametryczne prostej
Aby zrozumieć, czym jest równanie parametryczne prostej, należy wrócić do równania (7) i przyrównać każdy ułamek (7) do parametru. Ponieważ przynajmniej jeden z mianowników w (7) nie jest równy zero, a odpowiadający mu licznik może przyjmować dowolne wartości, to obszarem zmiany parametru jest cała oś liczbowa.
Definicja
Równanie (8) nazywane jest równaniem parametrycznym linii prostej.
Przykłady problemów liniowych
Oczywiście trudno jest rozwiązać cokolwiek wyłącznie w oparciu o definicje, gdyż trzeba samemu rozwiązać przynajmniej kilka przykładów czy problemów, które pomogą utrwalić przerobiony materiał. Dlatego przeanalizujmy główne zadania w linii prostej, ponieważ podobne problemy często pojawiają się na egzaminach i testach.
Równanie kanoniczne i parametryczne
Przykład 1
Na linii prostej określonej równaniem znajdź punkt znajdujący się w odległości 10 jednostek od punktu tej prostej.
Rozwiązanie:
Pozwalać podążał za punkt prostej, wówczas dla odległości piszemy . Biorąc to pod uwagę. Ponieważ punkt należy do prostej, która ma wektor normalny, wówczas można zapisać równanie tej prostej: = = i wtedy okazuje się:
Potem dystans. Z zastrzeżeniem lub . Z równania parametrycznego:
Przykład 2
Zadanie
Punkt porusza się równomiernie z prędkością w kierunku wektora od punktu początkowego. Znajdź współrzędne punktu od początku ruchu.
Rozwiązanie
Najpierw musisz znaleźć wektor jednostkowy. Jego współrzędne to cosinusy kierunkowe:
Następnie wektor prędkości:
X = x = .
Zostanie teraz zapisane równanie kanoniczne prostej:
= = , = – równanie parametryczne. Następnie musisz użyć równania parametrycznego linii prostej w .
Rozwiązanie:
Równanie linii przechodzącej przez punkt można znaleźć za pomocą wzoru na ołówek linii, gdzie nachylenie dla linii prostej i = dla linii prostej.
Biorąc pod uwagę rysunek, na którym widać, że pomiędzy liniami prostymi a - istnieją dwa kąty: jeden jest ostry, a drugi rozwarty. Zgodnie ze wzorem (9) jest to kąt pomiędzy prostymi, o który należy obrócić prostą w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem ich punktu przecięcia, aż zrówna się z prostą.
Przypomnieliśmy sobie więc wzór, obliczyliśmy kąty i teraz możemy wrócić do naszego przykładu. Oznacza to, że biorąc pod uwagę wzór (9), najpierw znajdujemy równania nogi.
Ponieważ obrócenie prostej o kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem punktu prowadzi do zrównania się z prostą, to we wzorze (9) a . Z równania:
Korzystając ze wzoru na belkę, zapiszemy równanie prostej:
Podobnie znajdujemy , i ,
Równanie liniowe:
Równanie prostej – rodzaje równań prostej: przechodząca przez punkt, ogólna, kanoniczna, parametryczna itp. aktualizacja: 22 listopada 2019 r. przez: Artykuły naukowe.Ru
Niech zostaną podane dwa punkty M 1 (x 1, y 1) I M 2 (x 2, y 2). Zapiszmy równanie prostej w postaci (5), gdzie k wciąż nieznany współczynnik:
Od tego momentu M 2 należy do danej prostej, to jej współrzędne spełniają równanie (5): . Wyrażając stąd i podstawiając je do równania (5), otrzymujemy wymagane równanie:
Jeśli 
równanie to można przepisać w formie wygodniejszej do zapamiętania:
(6)
Przykład. Zapisz równanie linii prostej przechodzącej przez punkty M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)
Rozwiązanie. 
. Korzystając z własności proporcji i dokonując niezbędnych przekształceń, otrzymujemy ogólne równanie prostej:
Kąt między dwiema prostymi
Rozważmy dwie linie proste l 1 I l 2:
l 1: , , I
l 2: , ,
φ jest kątem między nimi (). Z ryc. 4 jasno wynika: .
 |
Stąd 
, Lub
Korzystając ze wzoru (7) można wyznaczyć jeden z kątów pomiędzy prostymi. Drugi kąt jest równy .
Przykład. Dwie proste wyznaczają równania y=2x+3 i y=-3x+2. znajdź kąt między tymi liniami.
Rozwiązanie. Z równań jasno wynika, że k 1 =2 i k 2 = -3. Podstawiając te wartości do wzoru (7), znajdujemy
. Zatem kąt między tymi liniami jest równy .
Warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych
Jeśli prosto l 1 I l 2 są zatem równoległe φ=0 I tgφ=0. ze wzoru (7) wynika, że , skąd k 2 = k 1. Zatem warunkiem równoległości dwóch prostych jest równość ich współczynników kątowych.
Jeśli prosto l 1 I l 2 są wówczas prostopadłe φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Zatem warunkiem prostopadłości dwóch prostych jest to, że ich współczynniki kątowe są odwrotne co do wielkości i mają przeciwny znak.
Odległość od punktu do linii
Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako
Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:
Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:
Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej.
Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
następnie rozwiązując otrzymujemy:
Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.
Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.
Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dlatego linie są prostopadłe.
Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.
Znajdujemy równanie boku AB: ; 4x = 6 lat – 6;
2x – 3 lata + 3 = 0;
Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.
k= . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jego współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .
Odpowiedź: 3x + 2y – 34 = 0.
Odległość punktu od prostej wyznacza się na podstawie długości prostopadłej poprowadzonej od punktu do prostej.
Jeśli linia jest równoległa do płaszczyzny projekcji (h | | P 1), a następnie w celu określenia odległości od punktu A do linii prostej H konieczne jest obniżenie prostopadłości od punktu A do poziomu H.
Rozważmy bardziej złożony przykład, gdy linia prosta zajmuje ogólne położenie. Niech konieczne będzie określenie odległości od punktu M do linii prostej A ogólne stanowisko.
Zadanie determinacyjne odległości między liniami równoległymi rozwiązuje się podobnie jak poprzednio. Punkt jest brany z jednej linii i prostopadła jest przenoszona z niego na inną linię. Długość prostopadłej jest równa odległości między liniami równoległymi.
Krzywa drugiego rzędu jest linią określoną równaniem drugiego stopnia względem aktualnych współrzędnych kartezjańskich. W ogólnym przypadku Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
gdzie A, B, C, D, E, F są liczbami rzeczywistymi i co najmniej jedną z liczb A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Koło
Centrum koła– jest to miejsce geometryczne punktów płaszczyzny równoodległych od punktu płaszczyzny C(a,b).
Okrąg jest dany za pomocą następującego równania:
Gdzie x,y są współrzędnymi dowolnego punktu na okręgu, R jest promieniem okręgu.
Znak równania okręgu
1. Brakuje wyrazu z x, y
2. Współczynniki dla x 2 i y 2 są równe
Elipsa
Elipsa nazywa się geometrycznym miejscem punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich od dwóch danych punktów tej płaszczyzny nazywa się ogniskami (wartość stała).
Równanie kanoniczne elipsy:
X i y należą do elipsy.
a – półoś wielka elipsy
b – półoś mała elipsy
Elipsa ma 2 osie symetrii OX i OU. Osie symetrii elipsy są jej osiami, a punkt ich przecięcia jest środkiem elipsy. Nazywa się oś, na której znajdują się ogniska oś ogniskowa. Punkt przecięcia elipsy z osiami jest wierzchołkiem elipsy.
Współczynnik ściskania (rozciągania): ε = s/a– mimośród (charakteryzuje kształt elipsy), im jest mniejszy, tym mniej elipsa jest rozciągnięta wzdłuż osi ogniskowej.
Jeżeli środki elipsy nie znajdują się w środku C(α, β)
Hiperbola
Hiperbola nazywa się położeniem geometrycznym punktów na płaszczyźnie, bezwzględną wartością różnicy odległości, z których każdy z dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą, różną od zera.
Równanie kanoniczne hiperboli
Hiperbola ma 2 osie symetrii:
a – rzeczywista półoś symetrii
b – urojona półoś symetrii
Asymptoty hiperboli:
Parabola
Parabola jest zbiorem punktów na płaszczyźnie równoodległych od danego punktu F, zwanego ogniskiem, i danej linii, zwanej kierownicą.
Równanie kanoniczne paraboli:
У 2 =2рх, gdzie р jest odległością od ogniska do kierownicy (parabola paraboli)
Jeżeli wierzchołek paraboli to C (α, β), to równanie paraboli (y-β) 2 = 2р(x-α)
Jeżeli za oś rzędnych przyjmiemy oś ogniskową, wówczas równanie paraboli przyjmie postać: x 2 =2qу
Ten artykuł jest częścią równania tematu linii w płaszczyźnie. Tutaj przyjrzymy się temu ze wszystkich stron: zaczniemy od dowodu twierdzenia określającego postać równania ogólnego prostej, następnie rozważymy niepełne równanie ogólne prostej, podamy przykłady równań niepełnych linii z ilustracjami graficznymi, a na zakończenie zastanowimy się nad przejściem od ogólnego równania linii do innych typów równań tej linii i podamy szczegółowe rozwiązania typowych problemów związanych z komponowaniem ogólnego równania linii prostej.
Nawigacja strony.
Równanie ogólne prostej - podstawowe informacje.
Przeanalizujmy ten algorytm podczas rozwiązywania przykładu.
Przykład.
Napisz równania parametryczne prostej, które wynikają z równania ogólnego prostej 
.
Rozwiązanie.
Najpierw redukujemy pierwotne ogólne równanie prostej do równania kanonicznego prostej:
Teraz przyjmujemy, że lewa i prawa strona wynikowego równania są równe parametrowi. Mamy 
Odpowiedź:
Z ogólnego równania prostej można otrzymać równanie prostej ze współczynnikiem kąta tylko wtedy, gdy . Co musisz zrobić, aby dokonać przejścia? Po pierwsze, po lewej stronie ogólnego równania prostej zostaw tylko wyraz , pozostałe wyrazy należy przesunąć na prawą stronę ze znakiem przeciwnym: 
. Po drugie, podziel obie strony powstałej równości przez liczbę B, która jest różna od zera, 
. To wszystko.
Przykład.
Linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy wyznacza się ogólnym równaniem linii prostej. Znajdź równanie tej prostej z nachyleniem.
Rozwiązanie.
Wykonajmy niezbędne działania: .
Odpowiedź:
Gdy prostą wyznaczamy poprzez pełne równanie ogólne tej prostej, łatwo jest otrzymać równanie prostej w odcinkach postaci. W tym celu przenosimy liczbę C na prawą stronę równości z przeciwnym znakiem, dzielimy obie strony powstałej równości przez –C i na koniec przenosimy współczynniki dla zmiennych x i y do mianowników: 
Niech linia przechodzi przez punkty M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 ma postać y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Gdzie k - wciąż nieznany współczynnik.
Ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 2 (x 2 y 2), współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Stąd znajdziemy Zastąpienie znalezionej wartości k
do równania (10.6) otrzymujemy równanie linii prostej przechodzącej przez punkty M 1 i M 2: 
Zakłada się, że w tym równaniu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Jeżeli x 1 = x 2, to prosta przechodząca przez punkty M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) jest równoległa do osi rzędnych. Jego równanie to x = x 1 .
Jeśli y 2 = y I, to równanie linii można zapisać jako y = y 1, linia prosta M 1 M 2 jest równoległa do osi odciętych.
Równanie prostej w odcinkach
Niech prosta przecina oś Ox w punkcie M 1 (a;0) i oś Oy w punkcie M 2 (0;b). Równanie będzie miało postać: 
te. 
. To równanie nazywa się równanie prostej w odcinkach, ponieważ liczby aib wskazują, które odcinki linia odcina na osiach współrzędnych.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora
Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt Mo (x O; yo) prostopadłej do zadanego niezerowego wektora n = (A; B).
Weźmy dowolny punkt M(x; y) na prostej i rozważmy wektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (patrz ryc. 1). Ponieważ wektory n i Mo M są prostopadłe, ich iloczyn skalarny jest równy zeru: to znaczy
A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)
Równanie (10.8) nazywa się równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora .
Wektor n= (A; B), prostopadły do prostej, nazywany jest normalnym wektor normalny tej linii .
Równanie (10.8) można przepisać jako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
gdzie A i B są współrzędnymi wektora normalnego, C = -Ax o - Vu o jest wyrazem wolnym. Równanie (10.9) jest ogólnym równaniem prostej(patrz ryc. 2).
Ryc.1 Ryc.2
Równania kanoniczne prostej
,
Gdzie 
- współrzędne punktu, przez który przechodzi linia, oraz 
- wektor kierunkowy.
Krzywe drugiego rzędu Okrąg
Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo odległych od danego punktu, zwanego środkiem.
Równanie kanoniczne okręgu o promieniu
R wyśrodkowany w jednym punkcie 
:
W szczególności, jeśli środek palika pokrywa się z początkiem współrzędnych, wówczas równanie będzie wyglądać następująco: 
Elipsa
Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, których suma odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów
I 
, zwane ogniskami, jest wielkością stałą 
, większa niż odległość między ogniskami 
.
Równanie kanoniczne elipsy, której ogniska leżą na osi Wołu, a początek współrzędnych w środku pomiędzy ogniskami ma postać 
G 
de A długość półosi wielkiej; B – długość osi półmałej (ryc. 2).
Zależność parametrów elipsy
I 
wyraża się stosunkiem:
(4)
Ekscentryczność elipsyzwany stosunkiem odległości międzyogniskowej2sdo głównej osi2a:
Dyrektorki
elipsa to linie proste równoległe do osi Oy, które znajdują się w pewnej odległości od tej osi. Równania Directrix: 
.
Jeśli w równaniu elipsy 
, wówczas ogniska elipsy znajdują się na osi Oy.
Więc, 
Otrzymano ten artykuł równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie, a także wyprowadził równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej. Po przedstawieniu teorii pokazano rozwiązania typowych przykładów i problemów, w których konieczne jest zbudowanie równań prostej różnego typu, gdy znane są współrzędne dwóch punktów na tej prostej.
Nawigacja strony.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty na płaszczyźnie.
Zanim otrzymamy równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie, przypomnijmy sobie kilka faktów.
Jeden z aksjomatów geometrii mówi, że przez dwa rozbieżne punkty na płaszczyźnie można poprowadzić jedną linię prostą. Innymi słowy, podając dwa punkty na płaszczyźnie, jednoznacznie definiujemy linię prostą przechodzącą przez te dwa punkty (w razie potrzeby zapoznaj się z sekcją dotyczącą metod określania linii prostej na płaszczyźnie).
Niech Oxy zostanie naprawiony w samolocie. W tym układzie współrzędnych każda linia prosta odpowiada pewnemu równaniu linii prostej na płaszczyźnie. Wektor kierunkowy linii prostej jest nierozerwalnie związany z tą samą linią prostą. Ta wiedza wystarczy, aby utworzyć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
Sformułujmy warunek zadania: utwórz równanie dla prostej a, która w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy przechodzi przez dwa rozbieżne punkty i.
Pokażemy Ci najprostsze i najbardziej uniwersalne rozwiązanie tego problemu.
Wiemy, że równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie ma postać 
definiuje w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy linię prostą przechodzącą przez punkt i posiadającą wektor kierunku.
Napiszmy równanie kanoniczne linii prostej a przechodzącej przez dwa dane punkty i .
Oczywiście wektor kierunkowy prostej a przechodzącej przez punkty M 1 i M 2 jest wektorem i ma współrzędne 
(w razie potrzeby zobacz artykuł). Mamy zatem wszystkie dane niezbędne do zapisania równania kanonicznego prostej a - współrzędnych jej wektora kierunkowego 
oraz współrzędne leżącego na nim punktu (i ). To wygląda jak 
(Lub 
).
Możemy również zapisać równania parametryczne linii na płaszczyźnie przechodzącej przez dwa punkty i. Wyglądają na 
Lub 
.
Spójrzmy na rozwiązanie przykładu.
Przykład.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty 
.
Rozwiązanie.
Dowiedzieliśmy się, że równanie kanoniczne linii przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych i ma postać .
Z warunków problemowych, które mamy 
. Podstawmy te dane do równania . Dostajemy 
.
Odpowiedź:
.
Jeśli nie potrzebujemy równania kanonicznego prostej i nie równań parametrycznych prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, ale równania prostej innego typu, to zawsze możemy do tego dojść z równania kanonicznego prostej.
Przykład.
Zapisz ogólne równanie prostej, która w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie przechodzi przez dwa punkty i.
Rozwiązanie.
Najpierw napiszmy równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. To wygląda jak . Teraz sprowadźmy powstałe równanie do wymaganej postaci: .
Odpowiedź:
.
W tym miejscu możemy zakończyć równaniem prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Ale chciałbym przypomnieć, jak rozwiązaliśmy taki problem w szkole średniej na lekcjach algebry.
W szkole znaliśmy jedynie równanie prostej ze współczynnikiem kątowym postaci. Znajdźmy wartość współczynnika kątowego k i liczbę b, przy której równanie definiuje w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie prostą przechodzącą przez punkty i w . (Jeśli x 1 = x 2, to współczynnik kątowy linii jest nieskończony, a linię M 1 M 2 wyznacza się przez ogólne niepełne równanie linii w postaci x-x 1 =0).
Ponieważ punkty M 1 i M 2 leżą na prostej, współrzędne tych punktów spełniają równanie linii, czyli równości i są ważne. Rozwiązywanie układu równań o postaci 
dotyczące nieznanych zmiennych k i b, znajdujemy 
Lub 
. Dla tych wartości k i b równanie linii prostej przechodzącej przez dwa punkty przyjmuje postać 
Lub 
.
Nie ma sensu zapamiętywać tych formuł, rozwiązując przykłady łatwiej jest powtórzyć wskazane czynności.
Przykład.
Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli ta prosta przechodzi przez punkty i .
Rozwiązanie.
W ogólnym przypadku równanie prostej ze współczynnikiem kąta ma postać . Znajdźmy k i b, dla których równanie odpowiada prostej przechodzącej przez dwa punkty i .
Ponieważ punkty M 1 i M 2 leżą na linii prostej, ich współrzędne spełniają równanie linii prostej, czyli równości są prawdziwe 
I . Wartości k i b można znaleźć rozwiązując układ równań 
(w razie potrzeby zapoznaj się z artykułem): 
Pozostaje zastąpić znalezione wartości w równaniu. Zatem wymagane równanie linii przechodzącej przez dwa punkty i ma postać .
Kolosalna praca, prawda?
Znacznie łatwiej jest napisać równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez dwa punkty i ma ona postać 
, a stamtąd przejdź do równania prostej ze współczynnikiem kątowym: .
Odpowiedź:
Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w przestrzeni trójwymiarowej.
Niech prostokątny układ współrzędnych Oxyz zostanie ustalony w przestrzeni trójwymiarowej i podane zostaną dwa rozbieżne punkty 
I 
, przez który przechodzi prosta M 1 M 2. Otrzymamy równania tej prostej.
Wiemy, że równania kanoniczne prostej w przestrzeni mają postać 
oraz równania parametryczne prostej w przestrzeni postaci 
zdefiniuj linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz, która przechodzi przez punkt o współrzędnych i ma wektor kierunkowy 
.
Wektor kierunkowy linii M 1 M 2 jest wektorem i linia ta przechodzi przez punkt (I ), to równania kanoniczne tej prostej mają postać (lub 
), a równania parametryczne są 
(Lub 
).
.
Jeśli chcesz zdefiniować linię prostą M 1 M 2 za pomocą równań dwóch przecinających się płaszczyzn, musisz najpierw sporządzić równania kanoniczne linii prostej przechodzącej przez dwa punkty I , i z tych równań uzyskaj wymagane równania płaszczyzny.
Bibliografia.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 – 9: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
- Pogorelov A.V., Geometria. Podręcznik dla klas 7-11 szkół ogólnokształcących.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.