Galileo Galilei napisał w swojej książce „Rozprawy i dowody matematyczne” z 1638 r., że łańcuch zawieszony na dwóch gwoździach przyjmuje kształt paraboli. Był tego pewien i być może dlatego nie „dotarł do sedna” prawdy i nie odkrył nowej krzywej - linii łańcucha. Krzywą tę opisali 50 lat później Huygens, Leibniz i Jacob Bernoulli. Jako pierwsi wyprowadzili wzór na krzywą i zbadali jej właściwości.

Rysunek 1 przedstawia trzy krzywe.

Na pierwszy rzut oka są to różne krzywe, różniące się kształtem. W rzeczywistości jest to ta sama krzywa - linia łańcucha, a jeśli zwiększysz skalę drugiej linii 2 razy, a trzeciej 4 razy, to po nałożeniu na pierwszą wszystkie krzywe połączą się w jedną.

Na znanym portalu popularnonaukowym „Etiudy matematyczne” szkic „Linia łańcucha” mówi o tej krzywej: „Jeśli w jakiś sposób wybierzesz parametr w równaniu, to środek kwadratu toczy się bez poślizgu po łuku linia łańcucha będzie poruszać się dokładnie po linii prostej!” Jasne jest, jaki cel należy osiągnąć, ale jak to zrobić, to zdanie, jeśli nie ciche, to przynajmniej nie oferuje najbardziej racjonalnego sposobu. Na czym polega ten „w pewnym sensie wybór”? No cóż, powiedzmy, że podnieśli, i co dalej? Rozwiązać równanie i wykreślić krzywą? A jeśli zmieni się rozmiar koła, to ponownie wybierz, rozwiąż i zbuduj? A może te słowa oznaczają: „Nie ujawniona jest istota metody, know-how”?

Proponuję inny sposób rozwiązania tego problemu:

1. Korzystając ze wzoru Y=a chX/a, konstruujemy linię łańcucha o dowolnym parametrze a, np. równym 10 mm (ryc. 2);
2. W odległości od wierzchołka równej a(√2-1) rysujemy cięciwę poziomą. Zmierzmy długość łuku, na którym opiera się cięciwa. Powinien być równy 2a;
3. Skopiujmy skonstruowaną krzywą na nowy fragment, odetnijmy segmenty wystające poza segment i obróćmy go o 180°. Ten odcinek będzie częścią „drogi” dla kwadratowego koła;
4. Skonstruujmy kwadrat o boku 2a;
5. Przewijając kwadrat wzdłuż odcinka linii łańcuszka, upewniamy się, że jego środek nie powoduje pionowych ruchów.

Jeśli z góry znany był rozmiar kwadratowego koła, wówczas przeskalujemy szkic w wymaganej proporcji. Ale zachowamy skonstruowany wykres linii łańcucha i wykorzystamy go dalej do podobnych celów. Nie ma potrzeby budowania wykresów liniowych o różnych parametrach, gdyż linia trakcyjna jest krzywą o stabilnym kształcie.

Nawiasem mówiąc, krzywa pokazana na rysunku 2 jest zbudowana z zaledwie 69 punktów i pomimo tego ma dobrą dokładność: łuk odcięty przez cięciwę ma rozmiar 19,9999634224 mm przy obliczonym rozmiarze 20 mm.

A co z innymi wielokątami? Dla wszystkich (z wyjątkiem trójkąta) można zbudować własną „kostkę brukową” z odcinków linii łańcucha, po której będą się toczyć bez drgań środka. Procedura konstrukcyjna jest nieco inna niż w przypadku kwadratu: wykorzystuje się również wcześniej zbudowaną linię łańcucha (ryc. 2), ale położenie cięciwy wyznaczają styczne do krzywej (dla sześciokąta np. pod kątem 30 i -30 stopni), a wielkość boku wielokąta określa się poprzez pomiar odcinka łuku. Wynika to z faktu, że tylko kwadrat ma zależność: bok jest równy dwukrotności parametru sieci trakcyjnej.

Ciekawie było także zobaczyć, jak inne krzywizny będą stanowić „kamień brukowy” dla kwadratowych kół. Badano: okrąg, parabolę, owal Cassiniego oraz kilka owali o stabilnym kształcie. Zgodnie z oczekiwaniami, nie ma już „idealnych”. Wyniki konstrukcji i obliczeń oddziaływania koła kwadratowego o boku 400 mm z niektórymi krzywiznami zestawiono w tabeli 1.

Tabela 1

Jak widać dobrze znane krzywe koła i paraboli ustępują mało znanej cyrkonii i cyklonowi. Albo będzie więcej... A linia łańcucha... - bez konkurencji!

Wstęp

Jako temat swojej pracy badawczej wybrałem: „Linia łańcucha”.Zakrzywiona linia łańcucha jest bardzo interesująca do zbadania, ale nie jest łatwo znaleźć literaturę na jej temat.

Naukowcy badają tę linię od bardzo dawna. Jednak nawet w naszych czasach służy do rozwiązywania wielu problemów nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, architekturze i wielu innych dyscyplinach. Moim zdaniem temat jest ciekawy i aktualny.

Naukowcy tacy jak Galileo Galilei, Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernouli i inni badali linię trakcyjną.

Cel pracy badawczej jest opisem podstawowych właściwości sieci trakcyjnej.

Aby osiągnąć ten cel sformułowano:zadania:

1. Analizować literaturę naukową i dydaktyczną dotyczącą tematu badań w celu uwypuklenia głównych pojęć i stwierdzeń;

2. Usystematyzować i podsumować materiał dotyczący tematu badań w celu identyfikacji grup właściwości sieci trakcyjnej;

3. Udowodnij niezbędne stwierdzenia w temacie badań;

4. Ustanowić powiązanie tematu badań z przebiegiem geometrii różniczkowej;

5. Opracuj prezentację komputerową na temat: „Linia łańcucha”.

Główna metoda badawcza stała się analizą teoretyczną

literatura zawarta w badaniu;

Praktyczne znaczenie zdeterminowana jest możliwością wykorzystania wyników tych badań w procesie edukacyjnym w ramach dyscyplin „Geometria” i „Geometria różniczkowa”.

1. Informacje historyczne

W książce Galileusza „Rozmowy i dowody matematyczne…”, opublikowanej po raz pierwszy w języku włoskim w holenderskim mieście Leiden w 1638 r., zaproponowano następujący sposób konstruowania paraboli: „Wbijmy dwa gwoździe w ścianę w miejscu tej samej wysokości nad horyzontem i w takiej odległości od siebie, aby była równa dwukrotności szerokości prostokąta, na którym pożądane jest zbudowanie półparaboli; między jednym gwoździem a drugim powiesimy cienki łańcuszek, który będzie zwisał i będzie takiej długości, aby jego najniższy punkt znajdował się nad poziomem gwoździa w odległości równej wysokości prostokąta. Łańcuch ten, zawieszony, będzie ułożony w formie paraboli (rys. 1), tak że zaznaczając jego ślad na ścianie linią przerywaną otrzymamy parabolę przeciętą na pół prostopadłą poprowadzoną przez środek linię łączącą oba gwoździe.”

Ryc.1
Metoda ta jest prosta i oczywista, ale nie dokładna. Sam Galileusz to rozumiał. W rzeczywistości, jeśli zbudujesz parabolę zgodnie ze wszystkimi zasadami, między nią a łańcuchem będą przerwy.
Zaledwie pół wieku po opublikowaniu książki Galileusza najstarszy z dwóch braci matematyków Bernoulli, Jacob, znalazł, czysto teoretycznie, dokładny wzór na zwisający łańcuch. Poświęcając czas na przedstawienie rozwiązania problemu, rzucił wyzwanie innym matematykom. Prawidłowe rozwiązanie opublikowano w roku następnym, 1691. Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz i młodszy brat Jacoba Johann Bernoulli. Aby rozwiązać problem, wszyscy wykorzystali, po pierwsze, prawa mechaniki, a po drugie, potężne narzędzia niedawno opracowanej analizy matematycznej - pochodne i całki.
Huygens nazwał krzywą, wzdłuż której umieszczony jest łańcuch zawieszony na dwóch końcach, linią łańcucha.
Ponieważ łańcuchy występują w różnych długościach, a ich końce można zawieszać w różnej odległości od siebie – czasem bliżej, czasem dalej – wówczas nie ma jednej, ale wielu linek łańcuszka. Ale wszystkie są do siebie podobne, tak jak na przykład dowolne koła są do siebie podobne.

2. Pojęcie sieci trakcyjnej i jej równanie

Definicja 1. Linia łańcucha zwana płaską krzywizną, której kształt odpowiada jednolitej, elastycznej, nierozciągliwej, ciężkiej nici, zamocowanej na obu końcach i zwisającej pod wpływem grawitacji.
Linia łańcucha ma kształt paraboli.

Długo o tym myślano. Początek XVII wiekuGalileo Galileiwyraził wątpliwość, czy wiszący łańcuch jest w rzeczywistości parabolą. Jednak rygorystyczny dowód i precyzyjne wnioski uzyskano dopiero pół wieku później – poIzaaka NewtonaGottfrieda Wilhelma Leibnizaopracował podstawy analizy matematycznej.

Rozwiązanie problemu sieci trakcyjnej opublikowano w 1691 rokuChristiana Huygensa, Gottfrieda Wilhelma LeibnizaIJohanna Bernoulliego.

Poniżej przyjrzymy się wyprowadzeniu równania sieci trakcyjnej i niektórym jego odmianom.

Niech ciężka, jednolita nić zostanie zawieszona w punktachA, B , które mogą znajdować się na różnych wysokościach (ryc. 1.2).

Rozważmy równowagę dowolnego małego elementu nici o długościΔ S .

Na ten element działa rozłożona siła ciężkości, gdzie jest gęstość nasypowa materiału nici, jest przyspieszeniem ziemskim,A − pole przekroju poprzecznego gwintu i siły rozciągająceT ( X ) IT ( x+ Δ X ), odpowiednio w punktachX I (x+ Δ X ).

Warunki równowagi dla wybranego elementu długościΔ S w rzutach na ośWół IOj są zapisane w postaci:

.

Z pierwszego równania jasno wynika, że ​​składowa pozioma siły rozciągającejT ( X ) jest zawsze stała:

Przechodząc do różniczków w drugim równaniu, możemy je zapisać w postaci:

.

Ponieważ, wtedy otrzymamy

Lub.

Weźmy to pod uwagę, więc równanie równowagi zapiszemy w postaci różniczkowej jako

Element długości ΔS można wyrazić wzorem

W rezultacie otrzymujemyrównanie różniczkowe sieci trakcyjnej:

Lub.

Równanie to pozwala na redukcję w kolejności. Mając wyznaczoney" = z , przedstawmy to w postaci równania pierwszego rzędu:

Ostatnie równanie rozwiązuje się metodą separacji zmiennych.

Tutaj oznaczyliśmy przez 1/A .
Styczna do sieci trakcyjnej w dolnym punkcie jest równoległa do osiWół . Stąd,

Stąd definiujemy stałąC 1 :

Mamy więc następujące równanie:

Pomnóżmy obie strony tego równania przez wyrażenie sprzężone

Otrzymujemy:

Dodając do poprzedniego równania, znajdujemy wyrażenie dlaz = y” :

Całkujemy ponownie i uzyskujemy końcowy piękny wyraz kształtu sieci trakcyjnej:

Zatem linia łańcucha jest opisanacosinus hiperboliczny . Jego kształt jest jednoznacznie określony przez parametr, którego zależność pokazano na rys. 1.3.

Ryc.1.3

3. Właściwości sieci trakcyjnej

1. Długość łuku(Aneks 1)linii łańcucha od jej wierzchołka do pewnego punktu jest równy rzutowi rzędnej tego punktu na styczną narysowaną w tym punkcie.

Dowód:

1.DługośćSlinia łańcucha łukowego mierzona od wierzchołka A jest równa rzutowiMM' współrzędneRM na stycznejMT .( Ryż.3)

2. S==MM′= ((1) Lubs = a.

3. Z rzędnąRM=y stosunek połączenia łuku. 4. To ostatnie wynika z równania sieciowego i (1) i

łatwo odczytać z trójkątaRM′M , GdziePM = y , MM′ = S IRM′ = A (zgodnie z główną właściwością tractrix).

2. Promień krzywizny(Aneks 1)w dowolnym punkcie linii łańcucha jest równa długości normalnej w tym punkcie.

Dowód:

1. Promień krzywiznyMK = R linia łańcucha jest równa segmentowilekarz medycyny normalne z punktuM do dyrektorkiX′X i wyraża się wzorem

R=MD=

LubR = a.

3. Jeśli linia łańcucha toczy się po linii prostej, wówczas środek krzywizny odpowiadający punktowi styku porusza się wzdłuż paraboli.

Dowód:

1. Wyznaczając obszar ograniczony linią łańcucha, jego dwoma rzędnymi i osią odciętych, będziemy mieli:

4. Obszar ograniczony linią łańcucha, dwiema rzędnymi i osią x jest proporcjonalny do długości odpowiedniego łuku.

Dowód:

1. ObszarS"trapez krzywoliniowy"OAMP ( O.A. = A - rzędna wierzchołka,RM - współrzędna końcowaM łukiS = ) jest równa powierzchni prostokąta o bokachA , S Więc

S = jak = .

5. Suma krzywizn linii łańcucha w punktach, w których styczne są wzajemnie prostopadłe, jest wartością stałą dla każdej linii łańcucha.

Dowód:

1. Pozwolić być punktami linii łańcucha, w których styczne są wzajemnie prostopadłe. Wyznaczając ich współczynniki kątowe, mamy

2. Ze względu na prostopadłość stycznych (2),

ale wedługS== MM ′= (= A= ,

gdzie są długości łuków, mierzone od góry linii trakcyjnej do punktów.Podstawiając te wyrażenia na równość (2) otrzymujemy,

Lub,

następnie na podstawieR = A będzie miał.

6. Film mydlany rozciągnięty na dwóch pierścieniach nabiera kształtu - powierzchnia wynikająca z obrotu linii trakcyjnej.

4. Badanie parametrycznie określonej linii trakcyjnej metodą geometrii różniczkowej

Dowolną linię w geometrii różniczkowej rozważa się w przestrzeni; można jej podać równanie wektorowe na podstawie jednego argumentu skalarnego, ukrytego równania postaciF ( X , y )=0, przecięcie dwóch powierzchni, równanie biegunowe.

Metoda geometrii różniczkowej pozwala zbadać prostą pod kątem:

wyznaczanie elementów towarzyszących liniom trójścianu;

określenie krzywizny i skręcenia;

zapisanie naturalnego równania prostej;

obliczanie długości łuku linii;

Wygodniej jest zastosować metodę geometrii różniczkowej do równań parametrycznych, których linie bezpośrednio wynikają z równania wektorowego z jednego argumentu skalarnego.

Przeanalizujmy linię trakcyjną metodą geometrii różniczkowej.

Dla tego:

z równań ukrytych przechodzimy do równań parametrycznych;

zdefiniować parametryzację;

3) znaleźć wektory bazowe towarzyszące trójścianowi krzywej;

4) napisz równanie elementów towarzyszącego trójścianu krzywej:

równanie styczne;

równanie normalne;

równanie binormalne;

równanie płaszczyzny oscylacyjnej;

równanie płaszczyzny normalnej;

równanie płaszczyzny prostowalnej;

5) znaleźć krzywiznę i skręcenie linii łańcucha w dowolnym punkcie;

6) napisać równanie sieci trakcyjnej w parametryzacji naturalnej.

Zatem równanie linii trakcyjnej ma postać

Równanie parametryczne linii trakcyjnej.

Linia leży w płaszczyźnieXOY , z =0 .

1. Ustalmy jaki rodzaj parametryzacji: naturalny czy dowolny.

Znajdźmy pochodne względemT :

.

2. Znajdźmy wektory pierwszej, drugiej i trzeciej pochodnej.

3. Znajdźmy wektory bazowe towarzyszącego trójścianu:

jednostkowy wektor styczny.

Wektor jednostkowy binormalu.

główny wektor normalny jednostki.

4. Zapiszmy równania elementów towarzyszącego trójścianu:

A) Równanie styczne (Załącznik 1) do linii trakcyjnej w dowolnym punkcie ma postać:

B) Równanie normalnej głównej (Załącznik 1) do linii trakcyjnej w dowolnym punkcie ma postać:

C) Równanie binormalne (Załącznik 1) do linii łańcucha w dowolnym punkcie ma postać:

mi)Równanie płaszczyzny oscylacyjnej:

Ponieważz =0 , samolotOXY - płaszczyzna kontaktowa.

F) Równanie płaszczyzny normalnej (Załącznik 1)

G) Równanie płaszczyzny prostowania:

5. Znajdźmy krzywiznęk (Załącznik 1) i skręcanie (Załącznik 1):

6. Zapiszmy równanie sieci trakcyjnej w parametryzacji naturalnej:

Tym samym wyniki badań właściwości sieci trakcyjnej metodami geometrii różniczkowej pozwoliły wykazać następujące właściwości sieci trakcyjnej w postaci linii płaskiej:

Twierdzenie 1. Płaszczyzna oscylacyjna linii płaskiej pokrywa się z płaszczyzną linii. (patrz równanie płaszczyzny oscylacyjnej sieci trakcyjnej poz. 4(mi)).

Twierdzenie 2. Główna normalna linii płaskiej leży w płaszczyźnie tej linii. (patrz równanie normalnej głównej linii trakcyjnej pozycja 4(B)).

Twierdzenie 3. Skręcenie linii płaskiej we wszystkich punktach wynosi zero (zobacz skręcenie linii trakcyjnej, punkt 5).

Udowodnijmy twierdzenie odwrotne do Twierdzenia 3.

Twierdzenie 4 . Jeżeli we wszystkich punktach gładkiej linii skręcenie wynosi zero, wówczas linia jest płaska.

Dowód:

1. Niech w każdym punkcie prostej γ podane są równania, jego skręcanierówna się zeru.

2. Z ostatniego wzoru Freneta wynika, że ​​gdzie nie zależy od zmiennejS . Następnie z tożsamości, stąd lub we współrzędnych: , gdzie, – współrzędne.

3. Zatem wszystkie punkty γ leżą na płaszczyźnie określonej równaniem. Oznacza to, że γ jest linią płaską.

Komentarz. Dla płaskiej linii mamyx = 0 , dlatego wzory Freneta mają postać:

Wyniki badania właściwości sieci trakcyjnej można wyświetlić na rysunku.

Oksy płaszczyzna oscylacyjna

normalny samolot

płaszczyzna prostowania

5. Zastosowanie

Brama na Zachód

Nie wiadomo, czy ktokolwiek przed Gaudim próbował wykonywać odwrócone modele przyszłych budynków, zawieszając ciężarki na nitkach. Ale tę metodę stosowali niektórzy współcześni architekci. Na brzegu miasta stoi imponujący łuk o wysokości 200 metrów, symbolizujący punkt zwrotny w historii i geografii Ameryki. St. Louis łączyło kiedyś stosunkowo zaludnione ziemie na wschód od Missisipi z dzikimi, rozległymi obszarami Zachodu.

Łuk ten został zaprojektowany przez jednego z najsłynniejszych architektów w USA we współpracy z matematykiem i inżynierem Hannskarlem Bandelem ( , 1925–1993). W pewnym sensie ich losy są podobne: zarówno Saarinen, jak i Bandel urodzili się poza Ameryką – pierwsi w, drugi - w . Następnie oboje przepłynęli ocean: pierwszy udając się na studia w 1934 r., drugi po wojnie w poszukiwaniu pracy. Tutaj każdy z nich odnalazł swoje szczęście i obaj odnaleźli siebie.

Za namową Bandela Saarinen wybrał dla swojego łuku kształt linii łańcucha, którego wysokość była równa szerokości u podstawy. Wyszło pięknie, chociaż projekt był nieco sprzeczny z intuicją. Przecież łańcuch pozostawiony sam sobie ma tendencję do zajmowania takiej pozycji w przestrzeni, że tak jest był minimalny, to znaczy środek ciężkości znajdował się wyjątkowo nisko. Podczas przewracania się niski środek ciężkości okaże się wysoki, a minimalna energia zmieni się w maksymalną.

Sprzeczność jest tu widoczna. Zadaniem architekta wcale nie jest osiągnięcie minimum energetycznego konstrukcji – konieczne jest, aby była ona zrównoważona. I chociaż oczywiście minimalna energia potencjalna odpowiada stabilnemu położeniu równowagi, to położenie to nie jest jedyne. Kolejne położenie równowagi odpowiada maksimum energii potencjalnej, co obserwujemy przy odwróceniu linii trakcyjnej, a także uogólniając metodę zastosowaną przez Gaudiego.

Przyczyny równowagi można ocenić, analizując nie energię, ale rozkład sił. Jak wiadomo, jeśli uda się uzyskać informacje o siłach, obraz zawsze okazuje się bardziej szczegółowy i wyraźny niż ten, który można uzyskać badając wyłącznie energie. W zawieszonym łańcuchu na każde ogniwo działają trzy siły: siła ciężkości i siła odkształceń sprężystych pochodzących od dwóch najbliższych sąsiadów. Równowaga zostaje osiągnięta, gdy suma wszystkich trzech sił wynosi zero.

Mobilność łańcucha sprawia, że ​​siły sprężyste na końcach każdego ogniwa jedynie go rozciągają, czyli zawsze są skierowane stycznie do linki.

Oczywiście nic się nie zmieni, jeśli zamiast łańcucha zawiesimy solidny łuk o tym samym kształcie: naprężenia wywołane w nim grawitacją zostaną rozłożone w taki sposób, że siły zawsze będą działać stycznie.

Rozciągną łuk, ale nie będą próbować go nigdzie złamać. Jeśli teraz odwrócimy łuk, to znowu prawie nic się nie zmieni. Samo napięcie zostanie zastąpione przez ściskanie, ale będzie ono działać w każdym punkcie łuku tylko stycznie. Lub, co jest tym samym, obciążenie przekroju narysowanego w dowolnym punkcie łuku będzie prostopadłe do płaszczyzny przekroju. Wniosek ten wygląda szczególnie dziwnie w przypadku najwyższego punktu: pole przekroju poprzecznego jest tam pionowe, a działająca na niego siła jest prostopadła do siły ciężkości.

Na każde ogniwo łańcucha działają trzy siły: napięcie sąsiadów i grawitacja. Zmniejszając rozmiar łącza,

siła grawitacji dąży do zera, ale siła napięcia nie dąży do zera, po prostu stają się one równoległe do siebie.

ma kształt zbliżony do linii łańcuszka. Warto dodać, że łańcuszek bliżej do niż do linii trakcyjnej. Wynika to z faktu, że przęsło mostu jest znacznie cięższe od łańcucha.

Wniosek

Celem głównym pracy był celzbadać właściwości linii trakcyjnej.

Aby osiągnąć ten cel wykonano następujące czynności:dokonano analizy literatury naukowej i edukacyjnej oraz podkreślono podstawowe pojęcia i stwierdzenia; grupy właściwości są podświetlone; udowodniono twierdzenia i twierdzenia w temacie badań; Właściwości sieci trakcyjnej badano metodami geometrii różniczkowej.

Podsumowując rezultaty pracy, można stwierdzić, że cel został osiągnięty, a zadania zostały zrealizowane w odpowiednich punktach pracy.

Materiał przedstawiony w tej pracy może być wykorzystany przez obu studentóww procesie edukacyjnym w ramach dyscyplin „Geometria” i „Geometria różniczkowa”, a także przez uczniów w procesie edukacyjnym w ramach zajęć fakultatywnych z matematyki.

Wykaz używanej literatury

Wygodski M.Ya. Podręcznik matematyki wyższej.§517. M.:AST: Astel, 2006.

Galileusz Galileusz. Rozmowy i dowody matematyczne dotyczące dwóch nowych gałęzi nauki związanych z mechaniką i ruchem lokalnym Signora G. Galilei Linceo, filozofa i pierwszego matematyka Najjaśniejszego Wielkiego Księcia Toskanii. Z aplikacją o środkach ciężkości różnych ciał. – L.: Gostekhizd., 1934. s. 273-274.

Markushevich A.I. „Wspaniałe kształty”. M.: Nauka, 1978.s.91

Lyusternik PA Najkrótsze linie. Problemy wariacyjne. Seria „Wykłady popularne z matematyki”, nr 19, §19. M.-L.: Gostekhizd. 1955.

Merkin D.R. Wprowadzenie do mechaniki włókna elastycznego. M.: Nauka. 1980. s. 135.

Savelov A.A. Płaskie krzywe. M.: Literatura Gosizdfiz-mat. lata 60. XX w. 213-216.

Iwanow A.O., Tuzhilin A.A. Wykłady z geometrii różniczkowej. M.: Logos, 2009.

Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topologia elementarna. SPGU, 2007.

Golovanov N.N., Ilyutko D.P., Nosovsky G.V., Fomenko A.T. Geometria komputera. M.: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2006.

Aneks 1

Definicja 1. Linia łańcucha zwany płaska krzywa, której kształt odpowiada jednolitej, elastycznej, nierozciągliwej, ciężkiej nici, zamocowanej na obu końcach i zwisającej pod wpływem grawitacji.

Definicja 2 . Tangens nazywa się , przechodzący przez punkt na krzywej i pokrywający się z nim w tym punkcie aż do pierwszego rzędu., (jest liczbową charakterystyką długości tej krzywej. Historycznie nazywano obliczanie długości krzywej prostowaniekrzywy. Jeżeli długość krzywej istnieje i jest skończona, wówczas mówimy, że krzywa jestmożliwy do sprostowania, W przeciwnym razie -nie do naprawienia. Wskazana jest długość łukuS.

Definicja 7. Krzywizna - charakteryzowania krzywej (powierzchni) w sąsiedztwie jej zadanego punktu od linii stycznej (płaszczyzny stycznej). krzywizna odnosi się do obiektów o bardziej ogólnym charakterze. Krzywizna jest wskazana.

Definicja 8. Skręcenie , druga krzywizna, miara odchylenia krzywej przestrzennej od . Wskazane jest skręcanie

Definicja 9 . To się nazywa binormalność normalna krzywa w przestrzeni prostopadła do stycznej do głównej normalni .

Definicja 10. Płaszczyzna przechodząca przez styczną i normalną główną w danym punkcie krzywej,zwany dotykająca płaszczyzna w tym momencie.

Definicja 11. Normalny samolot do linii zakrzywionej w danym punkcie - płaszczyzna prostopadła do stycznej poprowadzonej przez ten sam punkt.

Definicja 12 . Prostowanie płaszczyzny , płaszczyzna przechodząca przez styczną i binormalną w danym punkcieM krzywa przestrzenna.

Linia łańcucha to płaska krzywa transcendentalna, której kształt przybiera pod wpływem grawitacji jednorodna, elastyczna, nierozciągliwa, ciężka nić (łańcuch) z ustalonymi końcami (patrz ryc. 10).

Aby wyprowadzić równanie sieci trakcyjnej, wybieramy nieskończenie mały element gwintu z punktu A (x, y) do punktu B (x+dx, y+dy) i rozważamy układ sił działających na niego.

Ryż. 10

W punkcie A na nitkę działa napięcie skierowane stycznie do krzywizny. Oznaczmy przez i jego składowe wzdłuż osi współrzędnych. Odpowiednio w punkcie B występuje napięcie z elementami i . Dodatkowo na element AB działa siła ciężkości skierowana pionowo w dół o wartości bezwzględnej p=qds, gdzie ds jest różnicą łuku AB, a q jest ciężarem jednostkowej długości gwintu. Aby układ sił był w równowadze, konieczne i wystarczające jest, aby suma rzutów na każdą oś wszystkich działających sił była równa zeru. Przyrównując rzut sił na oś Wółu do zera, otrzymujemy:

H+(H+dH)=0 lub dH=0,

te. pozioma składowa naprężenia nici jest wartością stałą.

Rzutując siły na oś Oy, otrzymujemy:

V-qds+(V+dV)=0 lub dV=qds.

Natomiast oznaczając przez „a” kąt utworzony przez styczną do krzywej w punkcie A z osią Wółu, otrzymujemy:

Zróżniczkujmy ostatnią równość ze względu na x, biorąc pod uwagę, że H=const:

Biorąc pod uwagę, że dV=qds i (patrz) otrzymujemy następujące równanie różniczkowe: gdzie oznaczono Znajdźmy ogólne rozwiązanie tego równania. W tym celu dokonujemy zamiany: . Wtedy równanie przyjmie postać: . Całkując ostatnią równość przez x, otrzymujemy: . Stąd i w końcu:

Mamy rodzinę linii łańcuchowych. Dobierając dowolne stałe c1 i c2 tak, aby spełnione były warunki początkowe, otrzymujemy wymagane równanie na linię zwisu gwintu.

Zakładając, że zostały już wybrane stałe c1 i c2, wówczas równanie sieci trakcyjnej można uprościć. Przekształćmy współrzędne: , tj. Za nowy początek przyjmuje się punkt (-c1, c2). W nowym układzie współrzędnych równanie linii jezdnej, zachowując dotychczasowy zapis dla nowych współrzędnych, będzie miało postać:

Jeśli za początek współrzędnych przyjmiemy dolny punkt linii łańcucha, wówczas c1=0, c2=a i ostatecznie równanie linii łańcucha będzie miało postać:

Linia łańcucha to płaska krzywa, której kształt przyjmuje elastyczna, jednorodna i nierozciągliwa ciężka nić, której końce są zamocowane w dwóch punktach (w przybliżeniu ten kształt przyjmuje łańcuch, drut telegraficzny, zwisający pod wpływem grawitacji). Linia trakcyjna jest krzywą przestępną; jego równanie to y = achx, gdzie chx to cosinus hiperboliczny.

Równanie we współrzędnych kartezjańskich:

Długość łuku od wierzchołka do dowolnego punktu M (x; y):

Obszar ograniczony linią łańcucha, jej dwiema rzędnymi i osią x:

Promień krzywizny:

Aplikacje:

Łuk. Odwrócona linia łańcucha jest idealnym kształtem dla łuków. Jednorodny łuk w postaci odwróconej linii trakcyjnej ulega jedynie odkształceniom ściskającym, ale nie pęka. Na łuku w St. Louis jego formuła jest zapisana stopami:

To jest w metrach

Mosty. Most humbakowy ma kształt zbliżony do linii trakcyjnej. Warto zaznaczyć, że łańcuch mostu wiszącego ma kształt paraboli, a nie linii trakcyjnej. Wynika to z faktu, że przęsło mostu jest znacznie cięższe od łańcucha.

Spirala Archimedesa

Spirala Archimedesa to płaska krzywa opisana przez punkt poruszający się równomiernie i stopniowo od środka 0 wzdłuż równomiernie obracającego się promienia.

Konstrukcję spirali Archimedesa o zadanym kroku S - odległości od środka 0 do punktu VIII wykonuje się w następującej kolejności:

• 1. Od środka 0 narysuj okrąg o promieniu równym stopniowi S spirali i podziel stopień i okrąg na kilka równych części.Punkty podziału są ponumerowane;
• 2. Od środka 0 o promieniach 01, 02, 03, ... rysuj łuki, aż przetną się z odpowiednimi promieniami w punktach I, II, III, ...;
• 3. Otrzymane punkty należą do spirali Archimedesa o zadanym kroku S i środku 0.

Równanie spirali Archimedesa w biegunowym układzie współrzędnych zapisuje się w następujący sposób:

gdzie k jest przemieszczeniem punktu M wzdłuż promienia r, gdy jest on obrócony o kąt równy jednemu radianowi. Obrócić linię prostą o 2? odpowiada przesunięciu a = |BM| = |MA| = 2 tys.?. Liczba a nazywana jest skokiem spirali. Równanie spirali Archimedesa można przepisać w następujący sposób:

Gdy belka obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, uzyskuje się spiralę prawoskrętną (linia niebieska), a gdy obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, uzyskuje się spiralę lewoskrętną (linia zielona). Obie gałęzie spirali (prawa i lewa) opisuje jedno równanie. Wartości pozytywne? prawa spirala odpowiada, negatyw odpowiada lewej spirali. Jeżeli punkt M przemieszcza się wzdłuż linii UV od wartości ujemnych przez środek obrotu O i dalej do wartości dodatnich wzdłuż linii UV, to punkt M będzie opisywał obie gałęzie spirali.

Promień OV wykreślony z początkowego punktu O przecina spiralę nieskończoną liczbę razy - punkty B, M, A i tak dalej. Odległości pomiędzy punktami B i M, M i A są równe skokowi spirali

Gdy spirala się rozwija, odległość od punktu O do punktu M dąży do nieskończoności, podczas gdy nachylenie spirali pozostaje stałe (skończone), to znaczy im dalej od środka, tym bliżej kształtu zbliżają się zwoje spirali koło.