Linie, w których dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią płaszczyzną. Równoległość płaszczyzn: stan i właściwości

Cele Lekcji:

Wprowadź pojęcie płaszczyzn równoległych.
Rozważ i udowodnij twierdzenia wyrażające znak równoległości płaszczyzn i własności płaszczyzn równoległych.
Prześledź zastosowanie tych twierdzeń do rozwiązywania problemów.

Scenariusz lekcji (zapisz na tablicy):

I. Przygotowawcza praca ustna.

II. Nauka nowego materiału:

1. Względne położenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni.
2. Wyznaczanie płaszczyzn równoległych.
3. Znak płaszczyzn równoległych.
4. Własność płaszczyzn równoległych.

III. Podsumowanie lekcji.

IV. Praca domowa.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Praca ustna

Lekcję chciałbym rozpocząć cytatem z listu filozoficznego Czaadajewa:

„Skąd bierze się ta cudowna moc analizy w matematyce? Faktem jest, że umysł działa tutaj w całkowitym poddaniu się tej regule.

Przyjrzymy się temu przestrzeganiu reguły w następnym zadaniu. Aby nauczyć się nowego materiału, musisz powtórzyć kilka pytań. Aby to zrobić, musisz ustalić stwierdzenie wynikające z tych stwierdzeń i uzasadnić swoją odpowiedź:

II. Nauka nowego materiału

1. Jak można umieścić dwa samoloty w przestrzeni? Jaki jest zbiór punktów należących do obu płaszczyzn?

Odpowiedź:

a) pokrywają się (wtedy będziemy mieli do czynienia z jedną płaszczyzną, nie jest to zadowalające);
b) przecinają się, ;
c) nie przecinają się ( punkty wspólne absolutnie nie).

2. Definicja: Jeśli dwie płaszczyzny nie przecinają się, nazywa się je równoległymi

3. Przeznaczenie:

4. Podaj przykłady płaszczyzn równoległych z otoczenia

5. Jak sprawdzić, czy dowolne dwie płaszczyzny w przestrzeni są równoległe?

Odpowiedź:

Możesz użyć definicji, ale jest to niewłaściwe, ponieważ Nie zawsze udaje się ustalić przecięcie płaszczyzn. Dlatego konieczne jest rozważenie warunku wystarczającego do stwierdzenia, że płaszczyzny są równoległe.

6. Rozważmy sytuacje:

b) jeśli ?

c) jeśli ?

Dlaczego odpowiedź w a) ib) brzmi „nie zawsze”, ale w c) „tak”? (Przecinające się linie definiują płaszczyznę w unikalny sposób, co oznacza, że są jednoznacznie zdefiniowane!)

Sytuacja 3 jest oznaką równoległości dwóch płaszczyzn.

7. Twierdzenie: Jeżeli dwie przecinające się linie jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch linii innej płaszczyzny, to płaszczyzny te są równoległe.

Dany:

Udowodnić:

Dowód:

(Uczniowie nanoszą oznaczenia na rysunek.)

1. Uwaga: . Podobnie:
2. Niech: .
3. Mamy: Podobnie:
4. Otrzymujemy: poprzez M istnieje sprzeczność z aksjomatem planimetrii.
5. A więc: niepoprawne, oznacza itp.

8. Rozwiąż zadanie nr 51 (Uczniowie nanoszą symbole na rysunek).

Dany:

Udowodnić:

Dowód:

1 sposób

1. Budujmy

Metoda 2

Wejdź przez przez .

9. Rozważmy dwie właściwości płaszczyzn równoległych:

Twierdzenie: Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie ich przecięcia są równoległe.

(Uczniowie sami uzupełniają konstrukcję i zaznaczają ją na rysunku).

Dany:

Rozważana jest zależność równoległości płaszczyzn, jej właściwości i zastosowania.

Wizualna reprezentacja lokalizacji obu

płaszczyzny dają modelowanie za pomocą płaszczyzn powierzchni sąsiednich ścian, sufitu i podłogi pokoju, łóżek piętrowych, dwóch spiętych kartek papieru

magowie itp. (ryc. 242–244).

Chociaż istnieje nieskończony zbiór możliwości względnego ułożenia różnych płaszczyzn, ustalenia i scharakteryzowania, jakie pomiary kątów i odległości będą stosowane w przyszłości, najpierw skupimy się na tych, których klasyfikacja (a także prostych z płaszczyznami) opiera się na liczbie ich punkty wspólne.

1. Przynajmniej dwa samoloty trzy wspólne punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Płaszczyzny takie pokrywają się (aksjomat C 2, §7).

2. Punkty wspólne dwóch płaszczyzn leżą na jednej prostej, będącej linią przecięcia tych płaszczyzn (aksjomat C 3, §7). Takie płaszczyzny przecinają się.

3. Obie płaszczyzny nie mają punktów wspólnych.

W w tym przypadku są to tzw równoległy-

Dwie płaszczyzny nazywane są równoległymi, jeśli nie mają punktów wspólnych.

Równoległość płaszczyzn oznaczona jest znakiem ||: α || β.

Jak zawsze przy przedstawianiu koncepcje geometryczne powstał

Nie ma problemu z ich istnieniem. Istnienie przecinających się

Samoloty Xia są cecha charakterystyczna przestrzeń,

i już z tego korzystaliśmy wiele razy. Mniej oczywiste jest

Potwierdzono istnienie płaszczyzn równoległych. Nie ma

wątpi w to np. płaszczyzny przeciwległych grafów

Sześcianki są równoległe, to znaczy nie przecinają się. Ale bezpośrednio

Rzeczywiście z definicji nie da się tego ustalić. Do rozwiązania

zrozumienia postawionego pytania i innych kwestii z nim związanych

równoległość płaszczyzn, konieczny jest znak równoległości.

Aby szukać znaku, warto rozważyć samolot,

„utkane” z linii prostych. Jest oczywiste, że każda linia prosta jest jedną z

płaszczyzny równoległe muszą być równoległe do siebie.

W W przeciwnym razie płaszczyzny będą miały wspólny punkt. Wystarczająco

Czy płaszczyzna β jest dokładnie równoległa do tej samej prostej α

tak, że płaszczyzny α i β są równoległe? Absolutnie

ale nie (uzasadnij to!). Praktyczne doświadczenie to pokazuje

wystarczą dwie takie przecinające się linie. Aby zabezpieczyć

na maszcie znajduje się platforma równoległa do podłoża, wystarczy ją położyć

na dwóch belkach przymocowanych do masztu, równolegle
ziemski (ryc. 245). Jest ich o wiele więcej
przykłady zastosowania tej techniki świadczenia usług
równoległość rzeczywistych powierzchni płaskich
obiektów (spróbuj tego!).
Powyższe rozważania pozwalają nam sformułować
zinterpretuj poniższe stwierdzenie.
		(znak płaszczyzn równoległych).
		przecinające się linie proste jednej płaszczyzny

Jeśli płaszczyzny są równoległe do drugiej płaszczyzny, to te płaszczyzny są równoległe.

 Niech przecinające się linie a i b płaszczyzny α będą równoległe do płaszczyzny β. Udowodnijmy, że płaszczyzny α i β są równoległe przez sprzeczność. W tym celu załóżmy, że płaszczyzny α i β przecinają się wzdłuż linii prostej

t (ryc. 246). Linie a i b nie mogą przecinać się z liniami zgodnie z warunkiem. Jednakże wówczas w płaszczyźnie α przez jeden punkt poprowadzono dwie proste, które nie przecinają się z prostą, czyli są do niej równoległe. To jest sprzeczność

i kończy dowód twierdzenia.

Znak równoległości płaszczyzn stosuje się przy poziomym układaniu konstrukcji płaskich (płyty betonowe, podłogi, tarcze urządzeń goniometrycznych itp.) przy użyciu dwóch poziomów umieszczonych w płaszczyźnie konstrukcji na przecinających się prostych. Na podstawie tej cechy możliwe jest zbudowanie płaszczyzny równoległej do tej.

Zadanie 1. Przez punkt leżący poza daną płaszczyzną narysuj płaszczyznę równoległą do zadanej.

 Niech zostanie podana płaszczyzna β i punkt M poza płaszczyzną (ryc. 247, a). Przeprowadźmy przez punkt M dwie przecinające się linie a i b, równoległe do płaszczyzny β. Aby to zrobić, musisz wziąć dwie przecinające się linie proste c i d w płaszczyźnie β (ryc. 247, b). Następnie przez punkt M poprowadź linie aib równoległe odpowiednio do linii c i d.

ale (ryc. 247, c).

Przecinające się linie a i b równolegle do płaszczyzny β, w oparciu o równoległość prostej i płaszczyzny (Twierdzenie 1 §11). W unikalny sposób definiują płaszczyznę α. Według sprawdzonego kryterium α || β.

Przykład 1. Biorąc pod uwagę sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , punkty M , N , P są środkami odpowiednio krawędzi BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 . zainstalować wzajemne porozumienie samoloty: 1)ABV 1 i PNM; 2) NMA i A1C1C; 3) 1 NM

i PC1C; 4) MAD 1 i DB 1 C.

 1) Płaszczyzny ABB 1 i РNM (ryc. 248) są równoległe, w oparciu o równoległość płaszczyzn (Twierdzenie 1). Rzeczywiście proste РN i NM przecinają się i są równoległe do płaszczyzny ABB 1, w oparciu o równoległość prostej i płaszczyzny (Twierdzenie 1 §11), ponieważ odcinki РN i NM łączą środki przeciwne strony kwadratów, więc są one równoległe do boków kwadratów:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Płaszczyzny NMA i A 1 C 1 C przecinają się wzdłuż linii prostej AA 1 (ryc. 249). Rzeczywiście linie AA 1 i CC 1 są równoległe, w oparciu o równoległość linii (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Dlatego prosta AA 1 leży w płaszczyźnie A 1 C 1 C. Podobnie uzasadniona jest przynależność prostej AA 1 do płaszczyzny NMA.

3) Płaszczyzny A 1 NM i РС 1 C (ryc. 250) są równoległe, w oparciu o równoległość płaszczyzn. Rzeczywiście, NM ||С 1 C . Dlatego prosta NM jest równoległa do płaszczyzny PC 1 C. Odcinki PC 1 i A 1 N są również równoległe, ponieważ czworokąt PC 1 NA 1 jest równoległobokiem (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Zatem linia A 1 N jest równoległa do płaszczyzny PC 1 C. Linie A 1 N i NM przecinają się.

4) Płaszczyzny MAD 1 i DB 1 C przecinają się (ryc. 251). Chociaż linia ich przecięcia nie jest łatwa do skonstruowania, nie jest trudno wskazać jeden punkt tej linii. Rzeczywiście linie A 1 D i B 1 C są równoległe, ponieważ czworokąt A 1 B 1 CD jest równoległobokiem (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Dlatego linia A 1 D należy do płaszczyzny DB 1 C. Linie A 1 D i AD 1 przecinają się w punkcie wspólnym płaszczyzn MAD 1 i DB 1 C.


		Podany znak równoległości płaszczyzn
		Podany znak równoległości płaszczyzn
		czasami wygodniej jest zastosować nieco inny sposób


	1′ (znak płaszczyzn równoległych).

Jeżeli dwie przecinające się linie jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch linii innej płaszczyzny, to płaszczyzny te są równoległe.

Stosując kryterium równoległości prostej i płaszczyzny (Twierdzenie 1 §11) łatwo ustalić, że warunek Twierdzenia 1 wynika z warunków Twierdzenia 1. Zastosowanie twierdzenia odwrotnego do kryterium równoległości linia i płaszczyzna (Twierdzenie 2 §11) uzupełnia uzasadnienie równoważności warunków Twierdzeń 1 i 1 ′.

Naturalnie pojawia się pytanie o wyjątkowość konstrukcji podanej w Zadaniu 1. Ponieważ będziemy musieli skorzystać z tej właściwości więcej niż raz, wyróżnimy ją jako osobne twierdzenie. Przyjrzyjmy się jednak najpierw innemu stwierdzeniu.

Twierdzenie 2 (o przecięciu dwóch równoległych płaszczyzn z trzecią).

Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny przecina trzecia płaszczyzna, wówczas linie przecięcia płaszczyzn są równoległe.

 Niech zostaną dane równoległe płaszczyzny α, β i przecinająca je płaszczyzna γ (ryc. 252). Oznaczmy linie przecięcia

przez a i b. Proste te leżą na płaszczyźnie γ i nie przecinają się, ponieważ płaszczyzny α i β nie mają punktów wspólnych. Dlatego bezpośrednio

a i b są równoległe.

Twierdzenie 3 (o istnieniu i jednoznaczności płaszczyzny równoległej do tej).

Przez punkt znajdujący się poza daną płaszczyzną można poprowadzić pojedynczą płaszczyznę równoległą do danej.

 Konstrukcję takiego samolotu przeprowadzono w zadaniu 1. Jedyność konstrukcji udowodnimy poprzez sprzeczność. Załóżmy, że przez punkt M przechodzą dwie różne płaszczyzny α i γ, pa-

równoległe płaszczyzny β (ryc. 253), a linia prosta t jest linią ich przecięcia. Narysujmy płaszczyznę δ przechodzącą przez punkt M, przecinającą tę prostą

m i płaszczyznę β (jak to zrobić?). Oznaczmy przez a i b

linia przecięcia płaszczyzny δ z płaszczyznami α i γ, a poprzez c - linia przecięcia płaszczyzn δ i β (ryc. 253). Zgodnie z Twierdzeniem 2,a ||c

oraz b ||s. Oznacza to, że w płaszczyźnie δ

dwie proste równoległe do prostych przechodzą przez punkt M. Sprzeczność wskazuje, że założenie jest błędne.

Zależność równoległości płaszczyzn ma szereg właściwości, które mają odpowiedniki w planimetrii.

Twierdzenie 4 (o odcinkach linii równoległych pomiędzy równoległymi płaszczyznami).

Odcinki prostych równoległych odciętych równoległymi płaszczyznami są sobie równe.

 Niech zostaną dane dwie równoległe płaszczyzny α i β oraz odcinki AB

i CD równoległych linii prostych aib, odciętych przez te płaszczyzny (ryc. 254, a). Narysujmy płaszczyznę γ przez linie proste a i d (ryc. 254, b). Przecina płaszczyzny α i β wzdłuż prostych AC i BD, które zgodnie z Twierdzeniem 2 są równoległe. Zatem czworokąt ABCD jest równoległobokiem, którego przeciwne boki AC i BD są równe.

Z powyższej własności wynika, że jeśli wykreślimy ze wszystkich punktów płaszczyzny

po jednej stronie samolotu równoległe linie ta sama długość, to końce tych odcinków tworzą dwie równoległe płaszczyzny. Na tej właściwości opiera się konstrukcja równoległościanu z wykorzystaniem osadzania segmentów (ryc. 255).

Twierdzenie 5 (o przechodniości relacji równoległości płaszczyzn).

Jeśli każda z dwóch płaszczyzn jest równoległa do trzeciej, wówczas te dwie płaszczyzny są do siebie równoległe.

 Niech płaszczyzny α i β będą równoległe do płaszczyzny γ. Załóżmy, że

α i β nie są równoległe. Wtedy płaszczyzny α i β mają wspólny punkt i przez ten punkt przechodzą dwie różne płaszczyzny równoległe do płaszczyzny γ, co jest sprzeczne z Twierdzeniem 3. Zatem płaszczyzny α i β nie mają punktów wspólnych, czyli są równoległe .

Twierdzenie 5 jest kolejnym znakiem równoległości płaszczyzn. Jest szeroko stosowany zarówno w geometrii, jak i zajęcia praktyczne. Na przykład w budynku wielopiętrowym równoległość płaszczyzn podłogi i sufitu na każdym piętrze gwarantuje ich równoległość na różnych piętrach.

Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli prosta przecina płaszczyznę α, to przecina także każdą płaszczyznę równoległą do płaszczyzny α.

 Niech płaszczyzny α i β będą równoległe, a prosta a przecina płaszczyznę α w punkcie A. Udowodnimy, że przecina on także płaszczyznę

β. Załóżmy, że tak nie jest. Wtedy prosta a jest równoległa do płaszczyzny β. Narysujmy płaszczyznę γ przez linię prostą i dowolny punkt płaszczyzna β (ryc. 256).

Płaszczyzna ta przecina równoległe płaszczyzny α i β wzdłuż linii prostych b is. Współ-

zgodnie z Twierdzeniem 2, b || c, czyli w płaszczyźnie γ dwie proste aib przechodzą przez punkt A, równolegle do linii c . Ta sprzeczność potwierdza to stwierdzenie.

Spróbuj samodzielnie wykazać, że jeśli płaszczyzna α przecina płaszczyznę β, to przecina także każdą płaszczyznę równoległą do płaszczyzny β.

Przykład 2. W czworościanie ABCD punkty K, F, E są środkami krawędzi DA, DC, DB, aM i P - odpowiednio środkami mas ścian ABD i ВСD.

1) Ustal względne położenie płaszczyzn KEF i ABC;

DEF i ABC.

2) Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn AFB i KEC.

3) Znajdź pole przekroju czworościanu przez płaszczyznę równoległą do płaszczyzny ABD i przechodzącą przez punkt P, jeśli wszystkie krawędzie czworościanu są równe.

 Skonstruujmy rysunek spełniający warunek (ryc. 257, a). 1) Płaszczyzny KEF i ABC są równoległe, co wynika z równoległości płaszczyzn (Twierdzenie 1'): przecinające się linie KE i KF płaszczyzny KEF są równoległe do przecinających się prostych AB i AC płaszczyzny ABC (linie środkowe płaszczyzny odpowiedni

istniejące trójkąty).

Płaszczyzny DEF i ABC przecinają się na prostej BC, ponieważ prosta BC należy do obu płaszczyzn i nie mogą się pokrywać - punkty A, B, C, D nie leżą w tej samej płaszczyźnie.

2) Płaszczyzna AFB przecina się z płaszczyzną KEC na prostej zawierającej punkt P, gdyż leżące w tych płaszczyznach proste CE i BF leżą na płaszczyźnie BCD i przecinają się w punkcie P. Kolejnym punktem jest punkt przecięcia Q prostych AF i CK w płaszczyźnie ACD (ryc. 257, b). Oczywiście ten punkt jest środkiem masy ściany ACD. Wymaganym przecięciem jest linia PQ.

3) Skonstruuj przekrój określony w warunku, korzystając ze znaku równoległości płaszczyzn. Narysujmy linie przez punkty P i Q równoległe odpowiednio do linii DB i DA (ryc. 257, c). Proste te przecinają odcinek CD w punkcie L. To ostatnie wynika z własności środka masy trójkąta - dzieli środkowe trójkąta w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Pozostaje zastosować twierdzenie Talesa. Zatem płaszczyzny PLQ i BDA są równoległe. Wymagany przekrój to trójkąt LSN.

Z założenia trójkąty BCD i SCL są podobne ze współczynnikiem podobieństwa CE CP =3 2. Zatem LS =3 2 BD . Podobny do ustalonego

dodaje się następujące równości: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Wynika z tego, że trójkąty LSN i ABD są podobne ze współczynnikiem podobieństwa 3 2. Zgodnie z właściwościami obszarów trójkątów podobnych,

S LNS =4 9 S ABD . Pozostaje znaleźć obszar trójkąta ABD. Przez-

ponieważ zgodnie z warunkiem wszystkie krawędzie czworościanu są równe a, wówczas S ABD =4 3 a 2.

Wymagana powierzchnia to 3 1 3 a 2 .

Należy zauważyć, że odpowiedź zależy tylko od obszaru twarzy ABD. Dlatego równość wszystkich krawędzi jest jedynie sposobem na znalezienie tego obszaru. Zatem, to zadanie można znacznie uogólnić.

Odpowiedź. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 za 2 .

 Pytania testowe

1. Czy prawdą jest, że dwie płaszczyzny są równoległe, jeśli każda prosta leżąca w jednej płaszczyźnie jest równoległa do drugiej płaszczyzny?

2. Płaszczyzny α i β są równoległe. Czy w tych płaszczyznach znajdują się skośne linie?

3. Dwa boki trójkąta są równoległe do pewnej płaszczyzny. Czy trzeci bok trójkąta jest równoległy do tej płaszczyzny?

4. Dwa boki równoległoboku są równoległe do pewnej płaszczyzny. Czy prawdą jest, że płaszczyzna równoległoboku jest równoległa do danej płaszczyzny?

5. Czy odcinki dwóch prostych odciętych równoległymi płaszczyznami mogą być nierówne?

6. Czy przekrój sześcianu może być trapez równoramienny? Czy przekrój sześcianu może być zwykły pięciokąt? Czy prawdą jest, że dwie płaszczyzny równoległe do tej samej linii są do siebie równoległe?

Linie przecięcia płaszczyzn α i β z płaszczyzną γ są do siebie równoległe. Czy płaszczyzny α i β są równoległe?

Czy trzy ściany sześcianu mogą być równoległe do tej samej płaszczyzny?

Ćwiczenia graficzne

1. Ryc. 258 przedstawia sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, punkty M, N, K, L, P są środkami odpowiednich krawędzi. Wypełnij tabelę według podanego przykładu wybierając wymagana lokalizacja płaszczyzny α i β.

Wzajemne

Lokalizacja

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
i ADC	i BB1 D	i MNP	i BMN

	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
i zł	i DMN	i AB1 C	i MKP

2. Na ryc. 259 przedstawia czworościan ABCD, punkty K, F, M, N, Q są środkami odpowiednich krawędzi. Proszę wskazać:

1) płaszczyzna przechodząca przez punkt K, równoległa do płaszczyzny ABC;

2) płaszczyzna przechodząca przez linię BD równoległą do płaszczyzny MNQ.

3. Określ, jaki jest przekrój figury przez płaszczyznę przechodzącą przez dane trzy punkty pokazane na rysunku.

kah 260, a) – e) i 261, a) – d).

4. Zbuduj rysunek na podstawie podanych danych.

1) Z wierzchołków równoległoboku ABCD leżącego w jednej z dwóch równoległych płaszczyzn poprowadzono równoległe linie przecinające drugą płaszczyznę odpowiednio w punktach A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

2) Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest rzutem trójkąta ABC na równoległą do niego płaszczyznę α. Punkt M to środek słońca, M 1 to rzut punktu M na płaszczyznę α.

207. W sześcianie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punkty O, O 1 są środkami odpowiednio ścian ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1, M jest środkiem krawędzi AB.

1°) Określ względne położenie płaszczyzn MO 1 O

i ADD 1, ABD 1 i CO 1 C 1.

2°) Skonstruuj punkt przecięcia płaszczyzny DCC 1 i prostej MO 1 oraz linię przecięcia płaszczyzn MCC 1 i A 1 D 1 C 1.

3) Znajdź pole przekroju sześcianu przez płaszczyznę równoległą do płaszczyzny AD 1 C 1 i przechodzącą przez punkt O 1, jeśli krawędź sześcianu jest równa a.

208. W czworościanie ABCD punkty K, L, P są środkami masy odpowiednio ścian ABD, BDC, ABC, a aM jest środkiem krawędzi AD.

1°) Określ względne położenie płaszczyzn ACD

i KLP, MLK i ABC.

2°) Skonstruuj punkt przecięcia płaszczyzny ABC i prostej ML oraz linię przecięcia płaszczyzn MKL i ABC.

3) Znajdź pole przekroju czworościanu przez płaszczyznę przechodzącą przez punkty K, L i M równoległą do prostej AD, jeśli wszystkie krawędzie czworościanu są równe.

209. Biorąc pod uwagę sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punkty L, M, M 1 są środkami odpowiednio krawędzi AB, AD i A 1 D 1.

1°) Określ względne położenie płaszczyzn B 1 D 1 D

i LMM1.

2) Skonstruuj płaszczyznę przechodzącą przez punkt M, równoległą do płaszczyzny ACC 1.

3) Skonstruuj odcinek sześcianu z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M 1, równoległą do płaszczyzny CDD 1.

4) Określ względne położenie płaszczyzn MA 1 B 1

i CDM1.

5) Skonstruuj płaszczyznę przechodzącą przez linię C 1 D 1 równoległą do płaszczyzny CDM 1.

210. W regularnej czworokątnej piramidzieSABCD wszystkie krawędzie są sobie równe. Punkty L, M i N są środkami odpowiednio krawędzi AS, BS, CS.

1°) Wyznaczyć względne położenie: prostych LM i BC; prosta LN i płaszczyzna ABD; samoloty LMN i BDC.

2°) Udowodnij, że trójkąty ABC i LMN są podobne.

3) Skonstruuj odcinek piramidy, korzystając z płaszczyzny AMN; samolot LMN; samolotLBC.

4*) Który z odcinków piramidy przechodzących przez wierzchołek S ma największe pole?

Równoległość prostych i płaszczyzn

W czworościanie SABC wszystkie ściany są regularne trójkąty. Punkty L, M i N są środkami odpowiednio krawędzi AS, BS, CS. 1°) Określ względne położenie prostych LM i BC. 2°) Wyznacz względne położenie prostej LN i płaszczyzny ABC.

3) Udowodnij, że trójkąty LMN i ABC są podobne.


Z wierzchołków równoległoboku ABCD leżącego w jednym z
dwie równoległe płaszczyzny, narysowane parami równolegle
liniowe linie proste przecinające drugą odpowiadającą im płaszczyznę
konkretnie w punktach A 1, B 1, C 1, D 1.
1°) Udowodnij, że czworokąt A 1 B 1 C 1 D 1 jest równoległy

2°) Udowodnij, że równoległoboki ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1
są sobie równe.
3°) Określ względne położenie płaszczyzn ABC 1
i DD1 C1.
4) Narysuj płaszczyznę 1 przez środek odcinka AA tak
tak, że przecina te linie w punktach, które są
wierzchołki równoległoboku równe równoległobokowi
mu ABCD.
Biorąc pod uwagę dwie równoległe płaszczyzny i punkt O, do którego nie należą
naciskając na którąkolwiek z tych płaszczyzn i nie leżąc pomiędzy nimi
ich. Z punktu O		poprowadzono trzy promienie przecinające płaszczyznę
kości odpowiednio w punktach A, B, C i A 1, B 1, C 1 i nie leżą
leżąc w tej samej płaszczyźnie.
1°) Określ względne położenie tych płaszczyzn
oraz płaszczyzna przechodząca przez środki odcinków AA 1, BB 1, CC 1.
2) Znajdź obwód trójkąta A 1 B 1 C 1 ifOA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest rzutem trójkąta ABC
na płaszczyznę α równoległą do niej. Punkt M - środek setki
ron BC ;M 1 - rzut punktu M			na płaszczyznę α. Punkt N
dzieli bok AB		w proporcji 1:2.	płaszczyzna M 1 MN i prosta
1) Skonstruuj punkt przecięcia N 1
moje A 1 B 1 .
2) Określ kształt czworoboku M 1 N 1 NM.
	M leży poza płaszczyzną trapezu ABCB od podstawy
moje AD	i BC Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn:
1°) ABM i CDM;		2) CBM i ADM.

Skonstruuj przekrój sześcianu o wymiarach: 1°) trójkąt równoboczny; 2) pięciokąt.

217. Skonstruuj odcinek czworościanu będący równoległobokiem.

218°. Udowodnić, że przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe.

219. Udowodnić, że zbiór wszystkich prostych przechodzących przez ten punkt i równoległa do danej płaszczyzny, tworzy płaszczyznę równoległą do danej.

220. Dane są cztery punkty A, B, C, D, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Udowodnij, że każda płaszczyzna równoległa do prostych AB i CD przecina proste AC, AD, BD, BC w wierzchołkach równoległoboku.

221. Udowodnij, że płaszczyzna i prosta nie należąca do tej płaszczyzny są do siebie równoległe, jeśli obie są równoległe do tej samej płaszczyzny.

222. Przez punkt O przecięcia przekątnych sześcianu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 poprowadzono płaszczyznę równoległą do ściany ABCD. Płaszczyzna ta przecina krawędzie BB 1 i CC 1 odpowiednio w punktach M i N. Udowodnić, że kąt MON jest kątem prostym.

223. Udowodnić, że dwie płaszczyzny są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta przecinająca jedną z płaszczyzn przecina także drugą.

224*. W piramidzie trójkątnej SABC przez odcinki AD i CE, gdzie D jest środkiem SB, a E jest środkiem SA, narysuj równoległe do siebie odcinki piramidy.

225. Znajdź miejsca geometryczne:

1) punkty środkowe wszystkich segmentów z końcami dwóch danych płaszczyzny równoległe; 2*) środki odcinków, których końce leżą na dwóch danych przecinających się liniach.

226*. Bok AB trójkąta ABC leżący w płaszczyźnie α jest równoległy do płaszczyzny β. Trójkąt równoboczny 1 B 1 C 1 jest projekcja równoległa trójkąt ABC na płaszczyźnie β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Ustal względne położenie prostych AB i A 1 B 1,

BC i B1 C1, A1 C1 i AC.

2) Znajdź obszar trójkąta A 1 B 1 C 1.

227*. Biorąc pod uwagę dwie przecinające się linie. Wskaż zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, przez które można poprowadzić linię przecinającą każdą z dwóch podanych linii.

Podstawowa definicja

Nazywa się te dwa samoloty

są równoległe,

jeśli nie mają punktów wspólnych.

Główne stwierdzenia

Znak równoległości - Jeżeli dwie przecinające się proste jednej płaszczyzny płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch prostych drugiej płaszczyzny, to te płaszczyzny

kości są równoległe.

Twierdzenie o przecinaniu się Jeśli dwie równoległe przecinające się dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią płaszczyzną, to linie trzeciego przecięcia płaszczyzny

są równoległe.

a α,b α,a ×b,c β,d β,a ||c,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β, M β

Przygotowanie do tematu

za ocenę na temat „Równoległość linii i płaszczyzn”

Zadania samokontroli

1. Cztery punkty nie należą do tej samej płaszczyzny. Czy jakieś trzy z nich mogą leżeć na tej samej linii prostej?

2. Czy trzy różne płaszczyzny mogą mieć dokładnie dwa punkty wspólne?

3. Czy dwie linie ukośne mogą być równoległe do trzeciej linii w tym samym czasie?

4. Czy to prawda, że prosto a i b nie są równoległe, jeśli nie ma prostej c równoległej do aib?

5. Czy mogą równe segmenty mają nierówne prognozy?

6. Czy promień może być rzutem równoległym prostej?

7. Czy kwadrat może być obrazem sześcianu?

8. Czy prawdą jest, że przez dany punkt przestrzeni można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę równoległą do danej prostej?

9. Czy zawsze można poprowadzić przez dany punkt prostą równoległą do dwóch danych płaszczyzn, które nie zawierają tego punktu?

10. Czy można narysować równoległe płaszczyzny przez dwie przecinające się linie?

Odpowiedzi na zadania samokontroli

Próbka badana

Dwa równoległoboki ABCD i ABC 1 D 1 leżą w różnych płaszczyznach.

1°) Określ względne położenie prostych CD i C 1 D 1.

2°) Określ względne położenie prostej C 1 D 1 i płaszczyzny

3°) Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn DD 1 C 1 i ВСС 1.

4°) Określ względne położenie płaszczyzn ADD 1 i BCC 1.

5) Przez punkt M, dzieląc odcinek AB w stosunku 2:1, licząc od punktu A, narysuj płaszczyznę α równoległą do płaszczyzny C 1 BC. 6) Skonstruuj punkt przecięcia prostej AC z płaszczyzną α i znajdź stosunek, w jakim ten punkt dzieli odcinek AC.

		Równoległość prostych i płaszczyzn
Względne położenie linii w przestrzeni
			Tabela 21
	Liczba punktów wspólnych
Co najmniej dwa
		leżeć w jednym	nie kłam w jednym
		samolot	samolot

Względne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni

			Tabela 22

	Liczba punktów wspólnych
Co najmniej dwa		Nic

a leży w α	i przecina α	i ja α - równolegle
(α)	(a × α)	nowy (a \|\| α)
Wzajemne ustawienie płaszczyzn w przestrzeni
		Tabela 23
	Liczba punktów wspólnych
Co najmniej trzy	Przynajmniej jedno, ale	Nic
nie leży	nie ma punktów wspólnych, nie ma le-	Nic
jedna linia prosta	naciskając na jedną linię prostą

Trygonometryczny

Funkcje trygonometryczne miałeś już do czynienia na lekcjach geometrii. Do tej pory ich zastosowania ograniczały się głównie do rozwiązywania trójkątów, czyli mówiliśmy o znajdowaniu jednych elementów trójkąta spośród innych. Z historii matematyki wiadomo, że pojawienie się trygonometrii wiąże się z pomiarem długości i kątów. Jednak teraz kula

jej zastosowania są znacznie szersze niż w czasach starożytnych.

Słowo „trygonometria” pochodzi od greckiego τριγωνον

(trygonon) – trójkąt i µετρεω (metreo) – miara, miara

szczekam. Dosłownie oznacza mierzenie trójkątów.

W Rozdział ten systematyzuje materiał już znany z kursu geometrii i stanowi kontynuację nauki funkcje trygonometryczne oraz ich zastosowania, w szczególności do charakteryzacji procesów wsadowych ruch obrotowy, procesy oscylacyjne i tak dalej.

Większość zastosowań trygonometrii odnosi się konkretnie do procesów okresowych, to znaczy procesów, które powtarzają się w regularnych odstępach czasu. Wschód i zachód słońca, zmiany pór roku, obrót koła – to najprostsze przykłady takich procesów. Mechaniczne i wibracje elektromagnetyczne są także ważnymi przykładami procesów okresowych. Dlatego badanie procesów okresowych jest ważnym zadaniem. A rola matematyki w jego rozwiązaniu jest decydująca.

przygotowanie się do studiowania tematu „Funkcje trygonometryczne”

Wskazane jest rozpoczęcie studiowania tematu „Funkcje trygonometryczne” od przejrzenia definicji i właściwości funkcji trygonometrycznych kątów trójkątów oraz ich zastosowań do rozwiązywania zarówno trójkątów prostokątnych, jak i dowolnych.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens kątów prostokątnych

trójkąt

Tabela 24

Sinus kąta ostrego to stosunek przeciwna noga do przeciwprostokątnej:

grzech α = za do .

Cosinus kąta ostrego to stosunek sąsiadującą nogę do przeciwprostokątnej:

cosα = b do .

Tangens kąta ostrego to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:

tg α =a b .

Kotangens kąta ostrego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego:

ctgα = a b .

Sinus, cosinus, tangens, cotangens kątów od 0° do 180°

Tabela 25

grzech α = R y ; cosα = Rx;

tg α = x y ; cotgα = x y.

(X;Na) - współrzędne punktu A umiejscowiony w górnym półkolu, α - kąt utworzony przez promień OA okrąg z osią X.

Wartości sinus, cosinus, tangens, cotangens

niektóre zakątki

Tabela 26

Narożnik T

0°

90°

180°

grzech T

sałata T

tg T

ctg T

Funkcje trygonometryczne

Rozwiązywanie dowolnych trójkątów

Tabela 27

Twierdzenie o sinusach

Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów:

grzech Aα = grzech Bβ = grzech Cγ .

Twierdzenie cosinus

Kwadrat dowolnego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków bez dwukrotnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi:

C2 = A2 + B2 − 2 ok sałata γ , B2 = A2 + C2 − 2 AC sałata β , A2 = B2 + C2 − 2 pne sałata α .

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi:

S=1 2 okgrzechγ = 1 2 ACgrzechβ = 1 2 pnegrzechα .

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

)

Tabela 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

grzech 2 α + sałata 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 +tgα = sałata2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

grzech 2 α

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC,Z= 90°, Słońce=3 ,AB= 2. Co jest równe

W ?

B. 45 °.

W. 60 °.

A. 30 °.

G. Bez narzędzi obliczeniowych nie da się obliczyć.

Biorąc pod uwagę trójkąt

ABC , Z

Słońce= 3,

W= 60°. Co jest równe

AB ?

A. 3

B. 6.

3 .

Zdaniem tych stron trójkąt prostokątny znajdować

cosinus mniejszego kąta: A= 3,B= 4,C

A. 0,8.

Która z podanych wartości nie może przyjąć skośności

nus kąta ostrego?

7 − 1

7 2

5. Porównaj sumę sinusów ostre rogi dowolny trójkąt prostokątny (oznaczamy go przezA) z jednym.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Nie da się tego porównać. Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej: A= grzech 30°, B= cos 30°,

= temperatura 30°.

< B<C.B.A<C<B

Funkcje trygonometryczne

Dla jakich kątów ostrych sinus jest mniejszy od cosinusa?

Dla wszystkich.

Dla mniejszych 45°.

Dla dużych 45°.

G. Nie dla nikogo.

Co jest równe?

α, jeśli α jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym

kwadrat i grzechα =

12 .

Długość cienia drzewa wynosi 15 m. Promienie słońca tworzą kąt

30° z powierzchnią Ziemi. Jaka jest przybliżona wysokość?

drzewo? Wybierz najdokładniejszy wynik.

B. 13 m.

W. 7 m.

Jaka jest wartość wyrażenia

1 − X2

Na X= – 0,8?

B. –0,6.

G.≈ 1,34.

Ze wzoru A2 +B2 =4 wyrazić B< 0 черезA.

A.B=4 −A2 .

B.B=A2 −4 .

B= −A2

− 4 .

B= −4 −A2 .

Kropka A

położony w trzeciej ćwiartce w odległości 3 od osi X I

na odległość

10 od pochodzenia. Jakie są współrzędne

ma rację A?

B.(−1; 3).

W.(−1; −3).

G.(−3; −1).

kolejne punkty

należy

koło

X 2+ y 2

= 1?

B.(0,5; 0,5).

. G.

15. Określ współrzędne punktuA, leżącego na okręgu o promieniu 1 (patrz rysunek).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.W.

W tej lekcji przyjrzymy się trzem właściwościom płaszczyzn równoległych: przecięciu dwóch równoległych płaszczyzn z trzecią płaszczyzną; o odcinkach równoległych zamkniętych pomiędzy równoległymi płaszczyznami; oraz o przecinaniu boków kąta płaszczyznami równoległymi. Następnie rozwiążemy kilka problemów, korzystając z tych właściwości.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: Właściwości płaszczyzn równoległych

Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie ich przecięcia są równoległe.

Dowód

Niech będą dane płaszczyzny równoległe i oraz płaszczyzna przecinająca płaszczyzny i po liniach prostych A I B odpowiednio (ryc. 1.).

Bezpośredni A I B leżą w tej samej płaszczyźnie, czyli w płaszczyźnie γ. Udowodnimy, że linie proste A I B nie przecinają się.

Jeśli prosto A I B przecinają się, to znaczy miałyby punkt wspólny, to ten punkt wspólny należałby do dwóch płaszczyzn i , i , co jest niemożliwe, ponieważ są one równoległe ze względu na warunek.

Więc prosto A I B są równoległe, co należało udowodnić.

Odcinki prostych równoległych zawarte pomiędzy równoległymi płaszczyznami są równe.

Dowód

Niech zostaną dane równoległe płaszczyzny i linie równoległe AB I ZD, które przecinają te płaszczyzny (ryc. 2.). Udowodnijmy, że segmenty AB I ZD są równe.

Dwie równoległe linie AB I ZD tworzą jedną płaszczyznę γ, γ = ABDZ. Płaszczyzna γ przecina płaszczyzny równoległe i proste równoległe (zgodnie z pierwszą właściwością). Więc to jest proste AC I WD równoległy.

Bezpośredni AB I ZD są również równoległe (według warunku). Jest to więc czworokąt ABDZ- równoległobok, ponieważ jego przeciwne boki są równoległe parami.

Z właściwości równoległoboku wynika, że segmenty AB I ZD są równe, co jest wymagane do udowodnienia.

Płaszczyzny równoległe przecinają boki kąta na proporcjonalne części.

Dowód

Dajmy sobie płaszczyzny równoległe i przecinające boki kąta A(ryc. 3.). Trzeba to udowodnić.

Płaszczyzny równoległe i przecięte płaszczyzną kątową A. Nazwijmy linię przecięcia płaszczyzny kąta A i samoloty - słońce, i linią przecięcia płaszczyzny kąta A i samoloty - B 1 C 1. Zgodnie z pierwszą właściwością, linie przecięcia Słońce I B 1 C 1 równoległy.

Zatem trójkąty ABC I AB 1 C 1 podobny. Otrzymujemy:

3. Matematyczna strona internetowa Witalija Stanisławowicza Tsegelnego ()

4. Festiwal Pomysłów Pedagogicznych „Lekcja Otwarta” ()

1. Punkt O- wspólny punkt środkowy każdego odcinka AA 1, BB 1, SS 1, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Udowodnij, że samoloty ABC I ZA 1 B 1 C 1 równoległy.

2. Udowodnij, że przez dwie linie skośne można poprowadzić równoległe płaszczyzny.

3. Udowodnij, że prosta przecinająca jedną z dwóch równoległych płaszczyzn przecina także drugą.

4. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.

Zadania 6, 8, 9 s. 29

Równoległość płaszczyzn. Jeżeli dwie przecinające się linie jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii drugiej płaszczyzny, to płaszczyzny te są równoległe.
Dowód. Pozwalać A I B- dane samolotu, 1 I 2– linie proste w płaszczyźnie A, przecinający się w punkcie A, b 1 I b 2 odpowiednio linie równoległe do nich w płaszczyźnie B. Załóżmy, że samoloty A I B nie są równoległe, to znaczy przecinają się wzdłuż jakiejś linii prostej Z. Prosty A 1 jest równoległa do linii B 1, co oznacza, że jest równoległy do samej płaszczyzny B(znak równoległości linii i płaszczyzny). Prosty A 2 jest równoległa do prostej b 2, oznacza to, że jest równoległy do samej płaszczyzny B(znak równoległości linii i płaszczyzny). Prosty Z należy do samolotu A, co oznacza co najmniej jedną z linii prostych 1 Lub 2 przecina linię Z, to znaczy, że ma z nim wspólny punkt. Ale prosto Z również należy do samolotu B, co oznacza przekroczenie linii Z, prosty 1 Lub 2 przecina płaszczyznę B, co nie może być, ponieważ są proste 1 I 2 równolegle do płaszczyzny B. Wynika z tego, że samoloty A I B nie przecinają się, to znaczy są równoległe.

Twierdzenie 1 . Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się w trzech częściach, wówczas proste linie przecięcia są równoległe.
Dowód. Pozwalać A I B- płaszczyzny równoległe i G - przecinająca je płaszczyzna. Samolot A przecinał się z samolotem G w prostej lini A. Samolot B przecinał się z samolotem G w prostej lini B. Linie przecięcia A I B leżeć w tej samej płaszczyźnie G i dlatego mogą być liniami przecinającymi się lub równoległymi. Ale należąc do dwóch równoległych płaszczyzn, nie mogą mieć wspólnych punktów. Dlatego są równoległe.

Twierdzenie 2. Odcinki linii równoległych zawarte pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami są równe.
Dowód. Pozwalać A I B- płaszczyzny równoległe i A I B- linie równoległe je przecinające. Przez linie proste A I B przeprowadzimy samolot G (te linie są równoległe, co oznacza zdefiniować płaszczyznę i tylko jedną). Samolot A przecinał się z samolotem G w linii prostej AB . Samolot B przecinał się z samolotem G wzdłuż linii prostej SD.Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, linia prosta Z równolegle do linii D. Bezpośredni A,B, AB I SD należą do samolotu G Czworokąt ograniczony tymi liniami jest równoległobokiem (jego przeciwległe boki są równoległe). A ponieważ jest to równoległobok, to jego przeciwne strony są równe, to znaczy AD = BC

e własność pa linie równoległe, zwane przechodnimirównoległość:

Jeśli dwie linie a i b są równoległe do trzeciej linii c, to są one równoległe nas do siebie.

Jednak trudniej jest udowodnić tę właściwość w stereometrii. Na płaszczyźnie linie nierównoległe muszą się przecinać i dlatego nie mogą być jednocześnie równoległe do trzeciej linii (w przeciwnym razie naruszony zostanie aksjomat równoległości). w profesjonaliściew przestrzeni są nierównoległe iobjętość linii rozłącznychjeśli leżą w różnych płaszczyznach. Mówi się, że takie proste linie się przecinają.

Na ryc. 4 przedstawia sześcian; proste AB i BC przecinają się, AB i CDsą równoległe, a AB i B Z krzyżować. W przyszłości często będziemy uciekać się do pomocy sześcianu do zilustrowaniasegregowanie pojęć i faktów dotyczących stereometrii. Nasz sześcian jest sklejony z sześciu kwadratowych ścian. Na tej podstawie wyprowadzimy jego inne właściwości. Na przykład możemy powiedzieć, że linia AB jest równoległa do CD,ponieważ oba są równoległe do wspólnej strony płyty CD zkwadraty, w których je trzymają.

W stereometrii relacja równoległości jest również brana pod uwagę dla płaszczyzn: dwie płaszczyznyLinia lub linia i płaszczyzna są równoległe, jeśli nie mają wspólnych punktów. Wygodnie jest przyjąć, że linia prosta i płaszczyzna są równoległe, nawet jeśli leżą na płaszczyźnie. Dla płaszczyzn i prostych obowiązują następujące twierdzenia o przechodniości:

Jeśli dwie płaszczyzny są równoległe do trzeciej płaszczyzny, to są one do siebie równoległe.
Jeśli linia i płaszczyzna są równoległe do jakiejś linii (lub płaszczyzny), to są do siebie równoległe.

Najważniejszym szczególnym przypadkiem drugiego twierdzenia jest znak równoległości linii i płaszczyzny:

Linia jest równoległa do płaszczyzny, jeśli jest równoległa do jakiejś linii w tej płaszczyźnie.

A oto znak równoległych płaszczyzn:

Jeżeli dwie przecinające się linie w jednej płaszczyźnie są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii w innej płaszczyźnie, wówczas płaszczyzny są równoległe.

Często stosuje się następujące proste twierdzenie:

Linie, wzdłuż których dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, są do siebie równoległe.

Spójrzmy jeszcze raz na sześcian (ryc. 4). Ze znaku równoległości prostej do płaszczyzny wynika na przykład ta prosta A W równoległa do płaszczyzny ABCD (ponieważ jest ona równoległa do prostej AB w tej płaszczyźnie) oraz przeciwległe ściany sześcianu, w szczególności A W Z D i ABCD, równoległe oparte na równoległości płaszczyzn: linie proste A B oraz b Z z jednej strony są odpowiednio równoległe do linii prostych AB i BC z drugiej. I nieco mniej prosty przykład. Płaszczyzna zawierająca linie równoległe AA i SS, przecinają płaszczyzny równoległe ABCD i A B C D wzdłuż linii prostych AC i A Z, oznacza to, że te linie są równoległe: podobnie linie równoległe B C i A D. Dlatego równoległe płaszczyzny AB C i A DC przecinający sześcian w trójkątach.

III. Obraz figur przestrzennych.

Jest taki aforyzm Geometriato pokusaumiejętność prawidłowego rozumowania na podstawie nieprawidłowego rysunku. Rzeczywiście, jeśli wrócimy doNa podstawie powyższego rozumowania okazuje się, że:

Jedyną korzyścią, jaką odnieśliśmy z załączonego rysunku sześcianu, było to, że zaoszczędziło nam to trochę miejsca na wyjaśnieniaOznaczenia NI. Można go równie łatwo przedstawić jak ciało na ryc. 4, chociaż oczywiście to, co jest na nim przedstawione, nie tylko nie jest sześcianem, ale także nie jest wielościanem. A jednak powyższy aforyzm zawiera tylko część prawdy. Przecież przed dyskusjąprzedstawić gotowy dowód, musi tak byćmyśleć. I do tego trzeba jasno wyobrazić sobie daną figurę, relacje między jej elementami. Dobry rysunek pomaga rozwinąć taki pomysł. Co więcej, jak zobaczymy, w stereometrii można wykonać udany rysunekmoże stać się nie tylko ilustracją, ale podstawą do rozwiązania problemu.

Artysta (a raczej artysta realista) narysuje naszą kostkę tak, jak ją widzimy (ryc. 5, b), tj. w perspektywie lub centralniebez projekcji. Przy centralnym rzucie z punktu O (środek rzutu) na płaszczyznę a,dowolny punkt X jest reprezentowany przez punkt X, w którym a przecina prostą OX (ryc. 6). Centralny występ utrzymuje prostotęliniowy układ punktów, ale z reguły przekształca linie równoległe w przecięciazmienia się, nie mówiąc już o tym, że zmienia odległości i kąty. Badanie jego właściwości nadoprowadziło do pojawienia się ważnej sekcji geometrii (patrz artykuł Geometria rzutowa).

Ale na rysunkach geometrycznych stosuje się inny rzut. Można powiedzieć, że otrzymuje się go z centralnego, gdy środek O oddala się do nieskończoności, a proste OX stają się parównoległy.

Wybierzmy płaszczyznę a i przecinającą ją prostą l. Narysujmy linię prostą przechodzącą przez punkt X, parównoległy l. Punkt X, w którym ta prosta spotyka się z a, jest równoległym rzutem X na płaszczyznę a na prostą l (rys. 7). Orzut figury składa się z rzutów wszystkich jej punktów. W geometrii obrazem figury jest jej rzut równoległy.

W szczególności obraz linii prostejczy jest to linia prosta czy (w wyjątkowych przypadkach)herbaty, gdy linia jest równoległa do kierunku projekcji). Na obrazie widać analogię