Jak skonstruować na rysunku linię prostą leżącą w danej płaszczyźnie? Konstrukcja ta opiera się na dwóch przepisach znanych z geometrii.
- Linia prosta należy do płaszczyzny, jeśli przechodzi przez dwa punkty należące do tej płaszczyzny.
- Linia prosta należy do płaszczyzny, jeżeli przechodzi przez punkt należący do danej płaszczyzny i jest równoległa do prostej znajdującej się w tej płaszczyźnie lub do niej równoległej.
Załóżmy, że pl.α (rys. 106) wyznaczają dwie przecinające się proste AB i CB oraz pl. β - dwa równoległe - DE i FG. Zgodnie z pierwszym punktem
Linia przecinająca linie wyznaczające płaszczyznę znajduje się w danej płaszczyźnie.
Wynika z tego, że jeśli płaszczyzna jest określona śladami, to linia należy do płaszczyzny, jeśli jej ślady znajdują się na śladach o tej samej nazwie co płaszczyzna(ryc. 107).
Załóżmy, że pl. γ (ryc. 106) wyznacza punkt A i prosta BC. Zgodnie z drugim stanowiskiem do kwadratu należy prosta przeprowadzona przez punkt A, równoległa do prostej BC. γ. Stąd linia prosta należy do płaszczyzny, jeśli jest równoległa do jednego ze śladów tej płaszczyzny i ma punkt wspólny z drugim śladem(ryc. 108).
Przykładowe konstrukcje na rys. 107 i 108 nie należy rozumieć w ten sposób, że aby skonstruować linię prostą w płaszczyźnie, trzeba najpierw skonstruować ślady tej płaszczyzny. Nie jest to wymagane.
Na przykład na ryc. 109 zakończono budowę prostej AM w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkt A i prostą przechodzącą przez punkt L. Załóżmy, że prosta AM powinna być równoległa do kwadratu. π 1. Budowę rozpoczęto od rzutu А „М” prostopadle do linii komunikacyjnej А „А”. Wykorzystując punkt M znaleziono „punkt M”, a następnie wykonano rzutowanie A „M”. Prosta AM spełnia warunek: jest równoległa do kwadratu. π 1 I leży w tej płaszczyźnie, ponieważ przechodzi przez dwa punkty (A i M), które oczywiście należą do tej płaszczyzny.
Jak skonstruować punkt na rysunku leżący na danej płaszczyźnie? Aby to zrobić, najpierw skonstruuj prostą leżącą w danej płaszczyźnie i wyznacz punkt na tej prostej.
Przykładowo należy znaleźć rzut czołowy punktu D, jeśli dany jest jego rzut poziomy D” i wiadomo, że punkt D musi leżeć w płaszczyźnie wyznaczonej przez trójkąt ABC (rys. 110).
Najpierw konstruuje się rzut poziomy danej prostej tak, aby punkt D znajdował się na tej prostej, a ten drugi znajdował się na zadanej płaszczyźnie. W tym celu poprowadź linię prostą przez punkty A" i D" i zaznacz punkt M", w którym prosta A"D" przecina odcinek B"C". Konstruując rzut czołowy M" na B"C", otrzymuje się prostą AM, położoną w tej płaszczyźnie: linia ta przechodzi przez punkty A i M, z których pierwsza należy oczywiście do danej płaszczyzny, a druga jest w nią zbudowana.
Wymagany rzut czołowy D" punktu D musi znajdować się na rzucie czołowym prostej AM.
Inny przykład podano na ryc. 111. W pl. β, dany liniami równoległymi AB i CD, musi istnieć punkt K, dla którego podany jest tylko rzut poziomy - punkt K
Przez punkt K" przeciąga się pewną linię prostą, którą przyjmuje się jako rzut poziomy linii na daną płaszczyznę. Korzystając z punktów E" i F" konstruujemy E" na A"B" i F" na C"D" Skonstruowana prosta EF należy do obszaru β, gdyż przechodzi przez punkty E i F, które oczywiście należą do płaszczyzny. Jeśli przyjmiemy punkt K" na E"F", to punkt K będzie w kwadracie β
Do linii prostych zajmujących szczególne miejsce na płaszczyźnie zaliczamy poziome, czołowe 1) i linie o największym nachyleniu do płaszczyzn projekcyjnych. Linia największego nachylenia do kwadratu. π 1, zadzwonimy linia nachylenia płaszczyzny 2).
Poziome płaszczyzny to linie proste leżące w jednej linii i równoległe do poziomej płaszczyzny rzutów.
Skonstruujmy płaszczyznę poziomą określoną przez trójkąt ABC. Wymagane jest narysowanie poziomej linii przez wierzchołek A (ryc. 112).
Ponieważ płaszczyzna pozioma jest linią prostą równoległą do płaszczyzny π 1, rzut czołowy tej prostej uzyskujemy rysując A"K"⊥A"A". Aby skonstruować rzut poziomy tej linii poziomej, konstruujemy punkt K” i rysujemy linię prostą przez punkty A” i K”.
Skonstruowana prosta AK jest w rzeczywistości linią poziomą tej płaszczyzny: ta prosta leży na płaszczyźnie, ponieważ przechodzi przez dwa punkty, które w sposób oczywisty do niej należą, i jest równoległa do płaszczyzny rzutowania π 1.
Rozważmy teraz konstrukcję płaszczyzny poziomej wyznaczonej przez ślady.
Poziomy ślad płaszczyzny jest jednym z jej poziomów („poziom zerowy”). Dlatego konstrukcja dowolnej z płaszczyzn poziomych jest zredukowana do
do narysowania w tej płaszczyźnie linii prostej, równoległej do poziomego śladu płaszczyzny (ryc. 108, po lewej). Poziomy rzut poziomu jest równoległy do poziomego śladu płaszczyzny; przedni rzut poziomy jest równoległy do osi występów.
Czołami płaszczyzny są leżące w niej linie równoległe do płaszczyzny rzutowaniaπ 2.
Przykład konstrukcji frontu w płaszczyźnie pokazano na ryc. 113. Konstrukcja odbywa się podobnie do konstrukcji poziomej (patrz ryc. 112).
Przepuścić przód przez punkt A (ryc. 113). Konstrukcję rozpoczynamy od narysowania rzutu poziomego linii czołowej - prostej A"K", gdyż znany jest kierunek tego rzutu: A K"⊥A"A. Następnie budujemy rzut czołowy linii czołowej - prostej A. „K”.
1) Oprócz poziomych i frontów płaszczyzny można uwzględnić także jej proste linie profilowe - proste leżące w danej płaszczyźnie i równoległe do kwadratu. π 3. Dla poziomych, frontów i linii profili istnieje wspólna nazwa - linia pozioma. Jednak ta nazwa odpowiada zwykłej idei tylko horyzontalności.
2) Dla linii nachylenia płaszczyzny potoczna jest nazwa „linia największego nachylenia”, przy czym pojęcie „nachylenie” w stosunku do płaszczyzny nie wymaga dodania „największego”.
Skonstruowana prosta jest w istocie przodem danej płaszczyzny: ta prosta leży w płaszczyźnie, gdyż przechodzi przez dwa punkty, które w sposób oczywisty do niej należą i jest równoległa do płaszczyzny π 2.
Skonstruujmy teraz czoło płaszczyzny wyznaczonej przez tory. Patrząc na ryc. 108 po prawej stronie, która pokazuje kwadrat. β i prostą MV, ustalamy, że ta prosta jest przodem płaszczyzny. Rzeczywiście jest on równoległy do przedniego śladu („zero” frontu) płaszczyzny. Poziomy rzut czołowy jest równoległy do osi x, przedni rzut czołowy jest równoległy do czołowego śladu płaszczyzny.
Linie największego nachylenia płaszczyzny do płaszczyzn π 1, π 2 i π 3 są leżącymi w niej liniami prostymi i prostopadłymi albo do poziomów płaszczyzny, albo do jej frontów, albo do prostych jej profili. W pierwszym przypadku określa się nachylenie do kwadratu π 1, w drugim - do kwadratu. π 2, w trzecim - do pl. π 3. Aby narysować linie największego nachylenia płaszczyzny, możesz oczywiście odpowiednio poprowadzić jej ślady.
Jak wspomniano powyżej, linia największego nachylenia płaszczyzny do kwadratu. do π 1, nazywa się linia nachylenia samolotu.
Zgodnie z zasadami rzutowania kątów prostych (patrz § 15), rzut poziomy linii nachylenia płaszczyzny jest prostopadły do rzutu poziomego poziomu tej płaszczyzny lub do jej poziomego śladu. Rzut czołowy linii nachylenia jest tworzony po rzutie poziomym i może zajmować różne położenia w zależności od specyfikacji płaszczyzny. Rysunek 114 przedstawia linię nachylenia Pl. α: ВК⊥h" 0α. Ponieważ В"К jest również prostopadłe do h" 0α, to ∠ВКВ” jest kątem liniowym
dwuścienny, utworzony przez płaszczyzny α i π 1 Dlatego linię nachylenia płaszczyzny można wykorzystać do określenia kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny rzutuπ 1.
Podobnie linia największego nachylenia płaszczyzny do płaszczyzny π 2 służy do wyznaczenia kąta pomiędzy tą płaszczyzną a płaszczyzną π 2, a linia największego nachylenia płaszczyzny do płaszczyzny π 3 do wyznaczenia kąt z płaszczyzną. π 3.
Na ryc. 115 w danych płaszczyznach naniesiono linie nachylenia. Kąt pl, α z pl.π 1 wyraża się rzutami - czołowymi w postaci kąta B „K” B” i poziomymi w postaci odcinka K „B”. Wartość tego kąta można wyznaczyć konstruując trójkąt prostokątny wzdłuż nóg równy K „B” i B „B”.
Oczywiście linia największego nachylenia płaszczyzny wyznacza położenie tej płaszczyzny. Przykładowo, jeśli (Rys. 115) dana jest linia nachylenia KV, to rysując poziomą prostą AN prostopadłą do niej lub określając oś x rzutów i rysując h” 0α ⊥ K”B”, całkowicie wyznaczamy płaszczyzna, dla której KV jest linią nachylenia.
Linie proste o specjalnym położeniu w rozważanej przez nas płaszczyźnie, głównie poziomej i czołowej, są bardzo często wykorzystywane w różnych konstrukcjach i rozwiązywaniu problemów. Wyjaśnia to znaczna prostota konstruowania tych linii prostych; Dlatego wygodnie jest używać ich jako pomocniczych.
Na ryc. 116 podano rzut poziomy K" punktu K. Znalezienie rzutu czołowego K" należało znaleźć, jeżeli punkt K powinien leżeć na płaszczyźnie wyznaczonej przez dwie równoległe linie proste poprowadzone z punktów A i B.
Najpierw poprowadzono pewną linię prostą przechodzącą przez punkt K i leżącą w zadanej płaszczyźnie. Czoło MN zostało wybrane jako taka prosta: jej rzut poziomy przeciągnięty jest przez ten rzut K.” Następnie skonstruowano punkty M” i N” wyznaczające rzut czołowy czoła.
Wymagany występ K” musi znajdować się na linii prostej M”N”.
Na ryc. 117 po lewej stronie, na podstawie zadanego rzutu czołowego A" punktu A należącego do kwadratu α, wyznaczono jego rzut poziomy (A"); konstrukcję wykonano z wykorzystaniem poziomej linii EK. Na ryc. 117 po prawej, podobny problem rozwiązano stosując front MN.
Inny przykład konstrukcji brakującego rzutu punktu należącego do określonej płaszczyzny pokazano na ryc. 118. Po lewej stronie pokazano zadanie: nachylenie płaszczyzny (AB) i rzut poziomy punktu (K"). Po prawej stronie na ryc. 118 pokazano konstrukcję; przez punkt K" przechodzi pozioma Rysuje się rzut linii poziomej, na której powinna leżeć (prostopadle do punktu A"B"), w punkcie L" znaleziono rzut czołowy tej linii poziomej, a na niej pożądany rzut K".
Na ryc. 119 podaje przykład konstrukcji drugiego rzutu pewnej krzywej płaskiej, jeśli jeden rzut (poziomy) i pl. α, w którym ta krzywa się znajduje. Biorąc liczbę punktów na rzucie poziomym krzywej, znajdujemy punkty do skonstruowania rzutu czołowego krzywej za pomocą linii poziomych.
Strzałki pokazują postęp w budowie rzutu czołowego A" wzdłuż rzutu poziomego A".
Pytania do §§ 16-18
- Jak definiuje się płaszczyznę na rysunku?
- Jaki jest ślad płaszczyzny na płaszczyźnie rzutowania?
- Gdzie znajduje się rzut czołowy śladu poziomego i rzut poziomy śladu czołowego płaszczyzny?
- Jak na rysunku określa się, czy prosta należy do danej płaszczyzny?
- Jak skonstruować na rysunku punkt należący do danej płaszczyzny?
- Jaka jest linia czołowa, pozioma i nachylenie samolotu?
- Czy linia nachylenia płaszczyzny może służyć do określenia kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny rzutu π 1?
- Czy linia prosta definiuje płaszczyznę, dla której ta linia prosta jest linią nachylenia?
Jednym z problemów, do rozwiązywania których wykorzystuje się linie poziomu, jest problem konstruowania rzutów punktu należącego do płaszczyzny. Niech będzie rzut czołowy D 2 punktu D należącego do płaszczyzny wyznaczonej przez ślady k X l (ryc. 111, a). Wymagane jest znalezienie rzutu poziomego D 1 punktu D.
Punkt należy do płaszczyzny, jeśli należy do prostej należącej do tej płaszczyzny. Rozwiązujemy problem za pomocą poziomej h płaszczyzny k X l. Przez punkt D 2 rysujemy rzut czołowy h 2 tej poziomej linii, która, jak wiadomo, powinna być równoległa do osi x 12 (ryc. 111 b). Przetnie rzut czołowy k 2 śladu czołowego k do punktu N 2 ; Po narysowaniu pionowej linii połączenia znajdujemy na osi projekcji x 12 rzut poziomy śladu czołowego N poziomego (patrz ryc. 108).
TBegin-->TEnd-->
Rzut poziomy h 1 poziomu musi być równoległy do l 1. Rzut poziomy D 1 punktu D znajdziemy na rzucie poziomym h 1 poziomu w miejscu jego przecięcia z pionową linią łączącą poprowadzoną przez punkt D 2.
Problem ten można również rozwiązać za pomocą frontu. W tym przypadku konieczne byłoby narysowanie rzutu czołowego f 2 ||k 2 przez punkt D 2. Radzimy studentom, aby sami dokończyli budowę. Wynik powinien być taki sam jak w przypadku pierwszej konstrukcji.
Zmieńmy nieco warunki problemu. Niech zostanie podany poziomy rzut E 1 punktu E i płaszczyzny ABC, określony przez rzuty trójkąta (ryc. 112, a).W tym zadaniu nie można użyć poziomu płaszczyzny, ponieważ nie ma frontu rzut punktu E. Używamy przedniego f; przez punkt E 1 rysujemy rzut poziomy (x czołowy), znajdujemy jego rzut czołowy l2 i punkt E 1 na nim.
Punkt na płaszczyźnie można zbudować nie tylko za pomocą linii poziomej i czołowej, ale także za pomocą linii prostej w położeniu ogólnym. W niektórych przypadkach jest to nawet wygodniejsze.
Rozpocznij--> 
TEnd-->
Konstrukcja linii ogólnej należącej do płaszczyzny ogólnej nie różni się zasadniczo od konstrukcji poziomych i frontów należących do płaszczyzny. Konstrukcja opiera się na położeniu znanym z geometrii: prosta należy do płaszczyzny, jeśli ma z tą płaszczyzną dwa punkty wspólne. Zatem jeśli przetniemy jeden z rzutów płaszczyzny dowolną linią i wykorzystamy dwa punkty przecięcia tej prostej z liniami należącymi do płaszczyzny do skonstruowania drugiego rzutu tej prostej, to możemy rozwiązać problem. Na przykład rozwiążmy poprzedni problem za pomocą linii prostej w położeniu ogólnym (ryc. 112, b). Przez punkt E 1 rysujemy linię prostą D 1 F 1 o dowolnym nachyleniu; znajdujemy rzut czołowy D 2 F 2 linii DF, korzystając z punktów przecięcia D 1 i F 1. Na przecięciu rzutu czołowego D 2 F 2 z pionową linią komunikacyjną znajdujemy rzut czołowy E 1 punktu E.
harmonogram programów na dziś: Animal Planet, Bloomberg, Channel 3, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Cinema, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Nauka.
Konstruowanie punktu na płaszczyźnie sprowadza się do dwóch operacji: zbudowania linii pomocniczej na płaszczyźnie i zbudowania punktu na tej prostej.
Zadanie: Samolot S określone przez przecinające się linie A I B(ryc. 2-3). Kropka M(M 2) należy do samolotu.
Znajdować M 1.
Krótki opis warunków problemowych: S(a – b), M(M 2) – S; M 1 =?
Rozwiązanie: Przez punkt M 2(Rys. 2-4) narysuj pomocniczą linię prostą
kÌ S: k 2 Ç a 2 =1 2 ; k 2 Ç b 2 =2 2 ;
następnie znajdujemy rzuty poziome punktów 1 I 2 zgodnie z warunkiem przynależności bezpośredniej A I B odpowiednio; przez dwa punkty 1 1 I 2 1 prowadzimy bezpośrednią k 1 i na nim, korzystając z linii komunikacyjnej, znajdujemy punkt M 1. I możesz narysować dowolną liczbę takich linii, to znaczy istnieje niezliczona ilość możliwych rozwiązań.
Linia prosta należy do płaszczyzny, jeśli:
1. Przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny;
Przechodzi przez jeden punkt płaszczyzny i jest równoległa do jakiejś prostej leżącej w tej płaszczyźnie.
W poprzednim przykładzie przyjrzeliśmy się, jak zbudować linię prostą na płaszczyźnie za pomocą dwóch punktów. W drugim przypadku samolot G zdefiniujmy to jako trójkąt ABC .
Zadanie: Samolot G dany DABC(Rys. 2-5).
Kropka M(M 1) należy G. Znajdować M 2.
М(М 1)О Г(АВС). M 2 =?
Rozwiązanie:
Przez punkt M 1(ryc. 2-6) narysujmy linię prostą k, równolegle do boku trójkąta AB. Ona przejdzie na drugą stronę AC w tym punkcie 1 : k 1 || ZA 1 B 1 ; k 1 ZA 1 Ç do 1 =1 1; za pomocą linii komunikacyjnej, którą znajdziemy 1 2 , przeprowadźmy k 2 równoległy A 2 B 2 znajdźmy punkt M 2:
Algorytmiczny zapis rozwiązania:
1 1 Î ZA 1 do 1 Þ 1 2 Î A 2 do 2 ; 1 2 О k 2 , k 2 || ZA 2 B 2 ; M 2 О k 2 .
Jak myślisz?
Ile rozwiązań ma to zadanie?
Częściowe samoloty
Nazywa się płaszczyzny równoległe lub prostopadłe do jednej z płaszczyzn projekcji płaszczyzny o określonej pozycji.
Istnieją dwie grupy takich samolotów:
- Płaszczyzny projekcyjne
- Płaszczyzny poziome
Płaszczyzny projekcyjne
Jeżeli płaszczyzna jest prostopadła tylko do jednej płaszczyzny projekcji, wówczas nazywa się ją projekcja.
Jeden z jego występów przeradza się w linię prostą zwaną główny projekcja i mieć kolektyw nieruchomości.
Pozioma płaszczyzna projekcji
Jest to płaszczyzna prostopadła do poziomej płaszczyzny rzutów: G^^ P 1
(Rys. 2-7a, 2-7b).
Znak graficzny:
Rzut poziomy G 1 poziomo do płaszczyzny wystającej przebiega linia prosta, ani równoległa, ani prostopadła do linii komunikacyjnych. Ten dom występ.
Na przykład:
G ^^ P 1- płaszczyzna wystająca poziomo.
Г^ П 1 Þ Г 1- linia prosta, rzut główny.
Ðb- kąt nachylenia płaszczyzny G do P 2.
Rysunek przestrzenny
5.1 Ustawianie samolotu
Płaszczyzna jest definiowana przez trzy dowolne punkty, które nie należą do tej samej linii. Płaszczyznę w przestrzeni można określić:
· trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej (rysunek 5.1, A);
· linia prosta i punkt do niej nienależący (rysunek 5.1, B);
· dwie przecinające się linie proste (rysunek 5.1, V);
· dwie równoległe linie proste (rysunek 5.1, G);
· dowolna płaska figura (rysunek 5.1, D).
Rysunek 5.1
Każda z wymienionych metod określenia płaszczyzny umożliwia przejście do dowolnej innej, gdyż położenie prostej na płaszczyźnie wyznaczają jej dwa punkty lub jeden punkt oraz kierunek tej prostej.
Często stosuje się metodę definiowania płaszczyzny za pomocą prostych (wzajemnie przecinających się lub równoległych), wzdłuż których płaszczyzna ta przecina się z płaszczyznami rzutów P 1 P 2, P 3. Oprócz - Jest to definicja płaszczyzny ze śladami, przy zachowaniu przejrzystości obrazu (rysunek 5.2).
Rysunek 5.2
5.2 Ślady samolotów.
Linia przecięcia rozważanej płaszczyzny z płaszczyzną rzutu (P 1 , P2, P3 ) zwany śladem samolotu. Innymi słowy ślad płaszczyzny to linia prosta leżąca na płaszczyźnie rzutu. Trasa ma przypisaną nazwę płaszczyzny rzutowania, do której należy. Przykładowo, ślad poziomy uzyskuje się, gdy dana płaszczyzna przecina się z płaszczyzną P 1 i jest oznaczona czołowo - z płaszczyzną P 2 (), profil - z płaszczyzną P 3 (). Dwa ślady tej samej płaszczyzny przecinają się na osi rzutowania w punkcie zwanym punktem zbiegu śladów. Każdy ze śladów płaszczyzny pokrywa się z jej rzutem o tej samej nazwie, pozostałe rzuty okazują się leżeć na osiach. Na przykład poziomy ślad płaszczyzny Σ (rysunek 5.2) pokrywa się z jej rzutem poziomym, jej rzut czołowy znajduje się na osi X i profil na osi ty Dzięki położeniu śladów płaszczyzny można ocenić położenie tej płaszczyzny w przestrzeni względem płaszczyzn projekcji P 1, P 2, P 3.
5.3 Położenie płaszczyzny względem płaszczyzn rzutowych
Każda płaszczyzna arbitralnie wzięta w przestrzeń może zajmować ogólne lub szczególne położenie. Płaszczyzna ogólna to płaszczyzna, która nie jest prostopadła do żadnej z płaszczyzn rzutowania (patrz rysunek 5.2). Wszystkie pozostałe płaszczyzny (z wyjątkiem płaszczyzn rzutowych) należą do płaszczyzn danego położenia i dzielą się na płaszczyzny wystające i płaszczyzny poziome. | Płaszczyzna wystająca to płaszczyzna prostopadła do jedności
z płaszczyzn projekcyjnych. Na przykład pozioma płaszczyzna projekcji jest prostopadła do poziomej płaszczyzny projekcji P 1 (rysunek 5.3).
Rysunek 5.3
Rzuty poziome wszystkich obrazów geometrycznych (punktów, linii, figur) leżących na tej płaszczyźnie pokrywają się ze śladem poziomym 1. Kąt utworzony między płaszczyznami a P 2 jest rzutowany na P 1 bez zniekształceń. Ślad czołowy 2 jest prostopadły do osi x.
Płaszczyzna projekcji czołowej () jest prostopadła do płaszczyzny czołowej P 2, co pokazano na rysunku 5.4. Rzuty czołowe wszystkich obrazów geometrycznych (punktów, linii, figur) leżących w tej płaszczyźnie pokrywają się ze śladem czołowym płaszczyzny 2. Kąt utworzony pomiędzy daną płaszczyzną a P 1 jest rzutowany na P 2 bez zniekształceń. Poziomy ślad płaszczyzny 1 jest prostopadły do osi x.
Rysunek 5.4
Płaszczyzna wystająca profilu T (T 1, T 2) jest prostopadła do płaszczyzny rzutowania profilu P 3 (rysunek 5.5).
Rysunek 5.5
Rzuty profilowe wszystkich obrazów geometrycznych (punktów, linii, figur) leżących w tej płaszczyźnie pokrywają się ze śladem profilu płaszczyzny T 3 . Kąty i które powstają pomiędzy daną płaszczyzną a płaszczyznami rzutów P 1 i P 2 (= T^P 1 ; = T^P 2 ), rzutowane na płaszczyznę P3 bez zniekształceń. Poziome i czołowe ślady płaszczyzny są równoległe do osi X.
Płaszczyzna wystająca z profilu może przechodzić przez oś x: (rysunek 5.6).
Rysunek 5.6
Ślady tej płaszczyzny 1 = 2 pokrywają się ze sobą oraz z osią x, więc nie wyznaczają położenia płaszczyzny. Oprócz śladów konieczne jest określenie punktu na płaszczyźnie (rysunek 5.6). W szczególnym przypadku płaszczyzna ta może być płaszczyzną dwusieczną. Kąt ° = °, a punkt A jest w równej odległości od płaszczyzn projekcji P 1 i P 2 . Płaszczyzna pozioma to płaszczyzna, która jest jednocześnie prostopadła do dwóch płaszczyzn projekcji i równoległa do trzeciej. Istnieją trzy typy takich samolotów (rysunek 5.7):
· płaszczyzna pozioma poziomu jest prostopadła do P 2, P 3 i równoległa do P 1 (Rysunek 5.7, A);
· czołowa płaszczyzna poziomu jest prostopadła do P 1, P 3 i równoległa do P 2 (rysunek 5.7, B);
· płaszczyzna profilu poziomu jest prostopadła do P 1, P 2 i równoległa do P 3 (rysunek 5.7 V).
Rysunek 5.7
Z definicji płaszczyzn poziomych wynika, że jeden z rzutów punktu, linii, figury należących do tych płaszczyzn będzie pokrywał się ze śladem płaszczyzny poziomu o tej samej nazwie, a drugi rzut będzie naturalną wielkością tych geometrycznych obrazy.
5.4 Znaki przynależności do punktu i prostej
Aby określić, czy punkt należy do płaszczyzny prostej znajdującej się w przestrzeni, należy kierować się następującymi postanowieniami:
· punkt należy do płaszczyzny, jeżeli można przez niego poprowadzić prostą leżącą na płaszczyźnie;
· prosta należy do płaszczyzny, jeżeli ma z płaszczyzną co najmniej dwa punkty wspólne;
· linia prosta należy do płaszczyzny, jeżeli przechodzi przez punkt danej płaszczyzny równoległy do prostej należącej do tej płaszczyzny.
Przez jeden punkt na płaszczyźnie można poprowadzić nieskończoną liczbę linii. Mogą to być dowolne linie i linie zajmujące specjalne położenie w stosunku do płaszczyzn projekcji P 1 P 2, P 3 . Prosta należąca do rozważanej płaszczyzny, poprowadzona równolegle do poziomej płaszczyzny rzutów, nazywa się r poziomo samolot.
Nazywa się linię prostą należącą do rozważanej płaszczyzny, poprowadzoną równolegle do przedniej płaszczyzny rzutów czołowy samolot.
Linie poziome i przednie są liniami poziomymi.
Płaszczyznę poziomą należy zacząć konstruować od rzutu czołowego, ponieważ jest równoległa do osi X, rzut poziomy poziomego jest równoległy do poziomego śladu płaszczyzny.
A ponieważ wszystkie poziomy płaszczyzny są do siebie równoległe, możemy uznać poziomy ślad płaszczyzny za zerowy poziom (rysunek 5.8).
Konstrukcję przodu samolotu należy rozpocząć od rzutu poziomego, ponieważ jest równoległa do osi x, przedni rzut czołowy jest równoległy do śladu czołowego. Ślad czołowy samolotu jest zerowy. Wszystkie czoła płaszczyzny są do siebie równoległe (rysunek 5.9).
Rysunek 5.8
Rysunek 5.9
Do linii poziomu zalicza się także prostą profilową leżącą w danej płaszczyźnie i równoległą do P 3 .
Do głównych linii szczególnego położenia w płaszczyźnie, oprócz linii poziomu, zaliczają się linie największego nachylenia płaszczyzny do płaszczyzny rzutu.
5.5 Wyznaczanie kąta nachylenia płaszczyzny do płaszczyzn rzutów
Płaszczyzna ogólna, położona dowolnie w przestrzeni, jest nachylona do płaszczyzn rzutowania. Aby określić wielkość dwuściennego kąta nachylenia danej płaszczyzny do dowolnej płaszczyzny rzutu, stosuje się linie największego nachylenia płaszczyzny do płaszczyzny rzutu: do P 1 - linia nachylenia, do P 2 - linia największe nachylenie płaszczyzny do płaszczyzny P 2.
Linie o największym nachyleniu płaszczyzny to linie proste tworzące największy kąt z płaszczyzną rzutu i poprowadzone w płaszczyźnie prostopadłej do odpowiedniej linii poziomu. Linia największego nachylenia i odpowiadający jej rzut tworzą kąt liniowy, który mierzy wartość kąta dwuściennego utworzonego przez tę płaszczyznę i płaszczyznę rzutów (rysunek 5.10).
Znaki przynależności są dobrze znane z kursu planimetrii. Naszym zadaniem jest rozpatrywanie ich w odniesieniu do rzutów obiektów geometrycznych.
Punkt należy do płaszczyzny, jeśli należy do prostej leżącej na tej płaszczyźnie.
O przynależności do płaszczyzny prostej decyduje jedno z dwóch kryteriów:
a) prosta przechodzi przez dwa punkty leżące na tej płaszczyźnie;
b) prosta przechodzi przez punkt i jest równoległa do prostych leżących na tej płaszczyźnie.
Korzystając z tych właściwości, rozwiążmy problem jako przykład. Niech płaszczyznę zdefiniuje trójkąt ABC. Wymagane jest zbudowanie brakującego rzutu D 1 punkty D należący do tego samolotu. Kolejność konstrukcji jest następująca (ryc. 2.5).
Przez punkt D 2 wykonujemy rzut prostoliniowy D, leżąc w samolocie DABC, przecinający jeden z boków trójkąta i punkt A 2. Wtedy punkt 1 2 należy do prostych A 2 D 2 i C 2 W 2. Dlatego możemy uzyskać jego rzut poziomy 1 1 na C 1 W 1 za pośrednictwem linii komunikacyjnej. Łączenie punktów 1 1 i A 1, otrzymujemy rzut poziomy D 1. Jasne, że o to chodzi D 1 należy do niego i leży na linii połączenia rzutu z punktem D 2 .
Problemy określenia, czy należy punkt, czy prosta płaszczyzna, są rozwiązywane w prosty sposób. Na ryc. Rysunek 2.6 przedstawia postęp w rozwiązywaniu takich problemów. Dla przejrzystości przedstawienia problemu płaszczyznę definiujemy za pomocą trójkąta.
Ryż. 2.6. Zagadnienia określenia, czy punkt należy do płaszczyzny prostej.
Aby ustalić, czy punkt należy mi samolot DABC, narysuj linię prostą przez jej przedni rzut E 2 A 2. Zakładając, że prosta a należy do płaszczyzny DABC, skonstruujmy jego rzut poziomy A 1 w punktach przecięcia 1 i 2. Jak widzimy (ryc. 2.6, a), prosto A 1 nie przechodzi przez pkt mi 1. Dlatego punkt E DABC.
W problemie przynależności do linii V płaszczyzny trójkąta ABC(ryc. 2.6, b), wystarczy użyć jednego z rzutów prostych V 2 zbuduj kolejny V 1 * biorąc to pod uwagę ВÌDAВС. Jak widzimy, V 1* i V 1 nie pasuje. Dlatego prosto w Ë DABC.
Linie poziomu w płaszczyźnie
Definicja linii poziomu została podana wcześniej. Nazywa się linie poziomu należące do danej płaszczyzny główny . Linie te (proste) odgrywają znaczącą rolę w rozwiązywaniu szeregu problemów geometrii wykreślnej.
Rozważmy zbudowanie linii poziomu w płaszczyźnie wyznaczonej przez trójkąt (ryc. 2.7).
Ryż. 2.7. Konstruowanie głównych linii płaszczyzny wyznaczonej przez trójkąt
Płaszczyzna pozioma DABC zaczynamy od narysowania jego rzutu czołowego H 2, o którym wiadomo, że jest równoległy do osi OH. Ponieważ ta pozioma linia należy do tej płaszczyzny, przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny DABC czyli punkty A oraz 1. Posiadanie występów czołowych A 2 i 1 2, poprzez linię komunikacyjną uzyskujemy rzuty poziome ( A 1 już istnieje) 1 1 . Łączenie kropek A 1 i 1 1 , mamy rzut poziomy H 1 płaszczyzna pozioma DABC. Projekcja profilu H 3 płaszczyzny poziome DABC będzie równoległy do osi OH a-przeorat.
Samolot przedni DABC jest skonstruowany w podobny sposób (ryc. 2.7), z tą tylko różnicą, że jego rysowanie rozpoczyna się od rzutu poziomego F 1, gdyż wiadomo, że jest ona równoległa do osi OX. Projekcja profilu F 3 fronty muszą być równoległe do osi OZ i przechodzić przez występy Z 3, 2 3 z tych samych punktów Z i 2.
Linia profilu samolotu DABC ma poziom R 1 i przód R 2 rzuty równoległe do osi OJ I OZ i rzut profilu R 3 można uzyskać od przodu wykorzystując punkty przecięcia W i 3 s D ABC.