Trygonometria jako nauka wywodzi się ze starożytnego Wschodu. Pierwszy stosunki trygonometryczne zostały wydedukowane przez astronomów do stworzenia dokładny kalendarz i nawigacja według gwiazd. Obliczenia te dotyczą trygonometria sferyczna, będąc w kurs szkolny badać stosunki boków i kątów w trójkącie płaskim.

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się własnościami funkcje trygonometryczne oraz związek między bokami i kątami trójkątów.

W okresie rozkwitu kultury i nauki w I tysiącleciu naszej ery wiedza rozprzestrzeniła się z Starożytny Wschód do Grecji. Ale główne odkrycia trygonometrii są zasługą mężów Kalifat arabski. W szczególności turkmeński naukowiec al-Marazi wprowadził funkcje takie jak tangens i cotangens oraz opracował pierwsze tabele wartości sinusów, stycznych i cotangensów. Pojęcia sinusa i cosinusa zostały wprowadzone przez indyjskich naukowców. Trygonometrii poświęcano wiele uwagi w pracach tak wielkich postaci starożytności, jak Euklides, Archimedes i Eratostenes.

Podstawowe wielkości trygonometrii

Podstawowe funkcje trygonometryczne argument numeryczny– są to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Każdy z nich ma swój własny wykres: sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Wzory do obliczania wartości tych wielkości opierają się na twierdzeniu Pitagorasa. Jest lepiej znany uczniom w sformułowaniu: „Spodnie pitagorejskie, równe we wszystkich kierunkach”, ponieważ dowód przedstawiono na przykładzie trójkąta prostokątnego równoramiennego.

Sinus, cosinus i inne zależności ustalają związek między kątami ostrymi i bokami dowolnego trójkąta prostokątnego. Przedstawmy wzory na obliczenie tych wielkości dla kąta A i prześledźmy zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi:

Jak widać, tg i ctg są funkcje odwrotne. Jeśli wyobrazimy sobie nogę a jako iloczyn grzechu A i przeciwprostokątnej c oraz nogę b bo forma A * c, wtedy otrzymujemy następujące formuły dla tangensa i cotangensu:

Koło trygonometryczne

Graficznie zależność pomiędzy wymienionymi wielkościami można przedstawić w następujący sposób:

Obwód, w w tym przypadku, reprezentuje wszystko możliwa wartość kąt α - od 0° do 360°. Jak widać na rysunku, każda funkcja przyjmuje wartość ujemną lub wartość dodatnia w zależności od wielkości kąta. Przykładowo sin α będzie miał znak „+”, jeśli α należy do 1. i 2. ćwiartki koła, czyli mieści się w przedziale od 0° do 180°. Dla α od 180° do 360° (III i IV ćwiartka) sin α może mieć tylko wartość ujemną.

Spróbujmy zbudować tablice trygonometryczne dla określonych kątów i znajdź wartość tych wielkości.

Wartości α równe 30°, 45°, 60°, 90°, 180° itd. nazywane są przypadkami specjalnymi. Wartości funkcji trygonometrycznych dla nich są obliczane i prezentowane w formie specjalnych tabel.

Kąty te nie zostały wybrane przypadkowo. Oznaczenie π w tabelach dotyczy radianów. Rad to kąt, pod którym długość łuku koła odpowiada jego promieniowi. Ta wartość wprowadzono w celu ustalenia uniwersalnej zależności; przy obliczaniu w radianach rzeczywista długość promienia w cm nie ma znaczenia.

Kąty w tabelach funkcji trygonometrycznych odpowiadają wartościom radianów:

Nie jest więc trudno zgadnąć, że jest to 2π Pełne koło lub 360°.

Własności funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus

Aby rozważyć i porównać podstawowe właściwości sinusa i cosinusa, tangensa i cotangensu, należy narysować ich funkcje. Można to zrobić w postaci krzywej znajdującej się przy układ dwuwymiarowy współrzędne

Rozważać tabela porównawcza właściwości sinusa i cosinusa:

Sinusoida	Cosinus
y = grzech x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, dla x = πk, gdzie k ϵ Z	cos x = 0, dla x = π/2 + πk, gdzie k ϵ Z
sin x = 1, dla x = π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z	cos x = 1, przy x = 2πk, gdzie k ϵ Z
sin x = - 1, przy x = 3π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z	cos x = - 1, dla x = π + 2πk, gdzie k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, czyli funkcja jest nieparzysta	cos (-x) = cos x, czyli funkcja jest parzysta
	funkcja jest okresowa, najkrótszy okres- 2π
sin x › 0, gdzie x należy do 1. i 2. ćwiartki lub od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, gdzie x należy do ćwiartek I i IV lub od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, gdzie x należy do trzeciej i czwartej ćwiartki lub od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, gdzie x należy do 2. i 3. ćwiartki lub od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
wzrosty przedziału [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	rośnie w przedziale [-π + 2πk, 2πk]
maleje na przedziałach [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	maleje w odstępach czasu
pochodna (sin x)’ = cos x	pochodna (cos x)’ = - sin x

Ustalenie, czy funkcja jest parzysta, czy nie, jest bardzo proste. Wystarczy wyobrazić sobie okrąg trygonometryczny ze znakami wielkości trygonometrycznych i w myślach „złożyć” wykres względem osi OX. Jeśli znaki się pokrywają, funkcja jest parzysta, in W przeciwnym razie- dziwne.

Wprowadzenie radianów i wyszczególnienie podstawowych własności fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych pozwala przedstawić następujący wzór:

Bardzo łatwo jest sprawdzić poprawność wzoru. Na przykład dla x = π/2 sinus wynosi 1, podobnie jak cosinus x = 0. Sprawdzenie można przeprowadzić, korzystając z tabel lub śledząc krzywe funkcji dla danych wartości.

Właściwości tangentsoid i kotangentsoid

Wykresy funkcji stycznej i cotangens różnią się znacznie od funkcji sinus i cosinus. Wartości tg i ctg są względem siebie odwrotne.

1. Y = brązowy x.
2. Styczna dąży do wartości y przy x = π/2 + πk, ale nigdy ich nie osiąga.
3. Najmniej okres pozytywny styczne są równe π.
4. Tg (- x) = - tg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
5. Tg x = 0, dla x = πk.
6. Funkcja jest rosnąca.
7. Tg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, dla x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Pochodna (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Rozważmy obraz graficzny kotangentoidy poniżej w tekście.

Główne właściwości kotangentoidów:

1. Y = łóżeczko x.
2. W przeciwieństwie do funkcji sinus i cosinus, w tangentoidzie Y może przyjmować wartości zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
3. Kotangentoida dąży do wartości y przy x = πk, ale nigdy ich nie osiąga.
4. Najmniejszy dodatni okres kotangentoidy to π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
6. Ctg x = 0, dla x = π/2 + πk.
7. Funkcja jest malejąca.
8. Ctg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, dla x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Pochodna (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Poprawnie

Wykład: Sinus, cosinus, tangens, cotangens dowolnego kąta

Sinus, cosinus dowolnego kąta

Aby zrozumieć, czym są funkcje trygonometryczne, spójrzmy na okrąg o promieniu jednostkowym. Okrąg ten ma środek w początku płaszczyzna współrzędnych. Do ustalenia określone funkcje użyjemy wektora promienia LUB, który zaczyna się w środku okręgu, i punkt R jest punktem na okręgu. Ten wektor promienia tworzy kąt alfa z osią OH. Ponieważ okrąg ma promień, równy jeden, To LUB = R = 1.

Jeśli od razu R obniżyć prostopadle do osi OH, wtedy otrzymujemy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną równą jeden.

Jeśli wektor promienia porusza się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to ten kierunek zwany negatywny, jeśli porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara - pozytywny.

Sinus kąta LUB, jest rzędną punktu R wektor na okręgu.

To znaczy, aby uzyskać wartość sinusową dany kąt alfa konieczne jest określenie współrzędnych U na powierzchni.

Jak podana wartość został odebrany? Ponieważ wiemy, że sinus dowolnego kąta w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem Przeciwna strona do przeciwprostokątnej, rozumiemy to

I od R=1, To grzech(α) = y 0 .

W okrąg jednostkowy wartość rzędnej nie może być mniejsza niż -1 i większa niż 1, co oznacza

Sinus przyjmuje wartość dodatnią w pierwszej i drugiej ćwiartce koła jednostkowego, a ujemną w trzeciej i czwartej.

Cosinus kąta dany okrąg utworzony przez wektor promienia LUB, jest odciętą punktu R wektor na okręgu.

Oznacza to, że aby uzyskać wartość cosinus danego kąta alfa, konieczne jest określenie współrzędnej X na powierzchni.

Cosinus dowolnego kąta w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem sąsiadującą nogę do przeciwprostokątnej, rozumiemy to

I od R=1, To cos(α) = x 0 .

W okręgu jednostkowym wartość odciętej nie może być mniejsza niż -1 i większa niż 1, co oznacza

Cosinus przyjmuje wartość dodatnią w pierwszej i czwartej ćwiartce koła jednostkowego, a ujemną w drugiej i trzeciej.

Tangensdowolny kąt Obliczany jest stosunek sinusa do cosinusa.

Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt prostokątny, jest to stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej strony. Jeśli mówimy o względem okręgu jednostkowego, to jest to stosunek rzędnej do odciętej.

Sądząc po tych zależnościach, można zrozumieć, że styczna nie może istnieć, jeśli wartość odciętej wynosi zero, to znaczy pod kątem 90 stopni. Tangens może przyjmować wszystkie inne wartości.

Styczna jest dodatnia w pierwszej i trzeciej ćwiartce okręgu jednostkowego, a ujemna w drugiej i czwartej.

Ujednolicony egzamin państwowy dla 4 osób? Nie pękniesz ze szczęścia?

Pytanie, jak mówią, ciekawe... Można, można zdać na 4! A przy tym nie pękać... Podstawowym warunkiem jest regularna aktywność fizyczna. Oto podstawowe przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Ze wszystkimi sekretami i tajemnicami egzaminu Unified State Exam, o których nie przeczytasz w podręcznikach... Przestudiuj tę sekcję, zdecyduj więcej zadań z różne źródła- i wszystko się ułoży! Zakłada się, że podstawowa sekcja „A C Ci wystarczy!” nie sprawia ci to żadnych problemów. Ale jeśli nagle... Skorzystaj z linków, nie bądź leniwy!

A zaczniemy od wielkiego i strasznego tematu.

Trygonometria

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Temat ten sprawia uczniom wiele problemów. Uważany jest za jeden z najcięższych. Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens? Co się stało okrąg liczbowy? Gdy tylko zadasz te nieszkodliwe pytania, osoba blednie i próbuje odwrócić uwagę od rozmowy... Ale na próżno. Ten proste pojęcia. A ten temat nie jest trudniejszy niż inne. Musisz tylko od samego początku jasno zrozumieć odpowiedzi na te pytania. To jest bardzo ważne. Jeśli rozumiesz, spodoba ci się trygonometria. Więc,

Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens?

Zacznijmy od czasów starożytnych. Nie martw się, przejdziemy przez wszystkie 20 wieków trygonometrii w około 15 minut i niezauważalnie powtórzymy fragment geometrii z ósmej klasy.

Narysujmy trójkąt prostokątny z bokami a, b, c i kąt X. Oto jest.

Przypomnę, że boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. a i c– nogi. Jest ich dwóch. Pozostała strona nazywana jest przeciwprostokątną. Z– przeciwprostokątna.

Trójkąt i trójkąt, tylko pomyśl! Co z nim zrobić? Ale starożytni ludzie wiedzieli, co robić! Powtórzmy ich działania. Zmierzmy bok V. Na rysunku komórki są specjalnie narysowane, jak na Zadania z egzaminu jednolitego stanu Zdarza się. Strona V równa czterem komórkom. OK. Zmierzmy bok A. Trzy komórki.

Teraz podzielmy długość boku A na długość boku V. Lub, jak to mówią, przyjmijmy postawę A Do V. a/w= 3/4.

Wręcz przeciwnie, można dzielić V NA A. Dostajemy 4/3. Móc V dzielić przez Z. Przeciwprostokątna Z Nie da się policzyć według komórek, ale jest to równe 5. Dostajemy wysoka jakość= 4/5. Krótko mówiąc, możesz podzielić długości boków przez siebie i uzyskać pewne liczby.

Więc co? Jaki w tym sens interesująca aktywność? Jeszcze nic. Bezsensowne ćwiczenie, mówiąc wprost.)

Teraz zróbmy to. Powiększmy trójkąt. Rozciągnijmy boki w i z, ale tak, aby trójkąt pozostał prostokątny. Narożnik X oczywiście się nie zmienia. Aby to zobaczyć, najedź myszką na zdjęcie lub dotknij go (jeśli masz tablet). Strony a, b i c zamieni się w m, n, k, i oczywiście długości boków ulegną zmianie.

Ale ich związek taki nie jest!

Postawa a/w był: a/w= 3/4, stało się m/n= 6/8 = 3/4. Powiązania innych istotnych stron również są nie zmieni się . Możesz dowolnie zmieniać długości boków w trójkącie prostokątnym, zwiększać, zmniejszać, bez zmiany kąta x – relacje między zainteresowanymi stronami nie ulegną zmianie . Możesz to sprawdzić lub zaufać starożytnym ludziom na słowo.

Ale to już jest bardzo ważne! Stosunki boków w trójkącie prostokątnym nie zależą w żaden sposób od długości boków (pod tym samym kątem). Jest to o tyle ważne, że relacja między stronami zyskała swoją szczególną nazwę. Wasze imiona, że ​​tak powiem.) Spotkajmy się.

Jaki jest sinus kąta x ? Jest to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:

sinx = a/c

Jaki jest cosinus kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Zosx= wysoka jakość

Co to jest tangens x ? Jest to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej:

tgx =a/w

Jaki jest cotangens kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego:

ctgx = v/a

Wszystko jest bardzo proste. Sinus, cosinus, tangens i cotangens to tylko niektóre liczby. Bezwymiarowy. Tylko liczby. Każdy kąt ma swój własny.

Dlaczego tak nudno wszystko powtarzam? Więc co to jest? muszę pamiętać. Ważne jest, aby pamiętać. Zapamiętywanie może być łatwiejsze. Czy zwrot „Zacznijmy od daleka…” jest znajomy? Zacznij więc z daleka.

Zatoka kąt jest stosunkiem odległy od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Cosinus– stosunek sąsiada do przeciwprostokątnej.

Tangens kąt jest stosunkiem odległy od kąta nogi do bliższego. Cotangens- nawzajem.

To łatwiejsze, prawda?

Cóż, jeśli pamiętasz, że w stycznej i cotangensie są tylko nogi, a w sinusie i cosinusie pojawia się przeciwprostokątna, wszystko stanie się całkiem proste.

Nazywana jest także cała ta chwalebna rodzina - sinus, cosinus, tangens i cotangens funkcje trygonometryczne.

Teraz pytanie do rozważenia.

Dlaczego mówimy sinus, cosinus, tangens i cotangens? narożnik? Mówimy o relacji między stronami, jak... Co to ma z tym wspólnego? narożnik?

Spójrzmy na drugie zdjęcie. Dokładnie taki sam jak pierwszy.

Najedź kursorem myszy na zdjęcie. Zmieniłem kąt X. Zwiększono to z x do x. Wszystkie relacje się zmieniły! Postawa a/w wynosił 3/4 i odpowiedni stosunek telewizja stało się 6/4.

I wszystkie inne relacje stały się inne!

Dlatego stosunki boków nie zależą w żaden sposób od ich długości (pod jednym kątem x), ale silnie zależą od tego właśnie kąta! I tylko od niego. Dlatego terminy sinus, cosinus, tangens i cotangens odnoszą się do narożnik. Kąt tutaj jest główny.

Należy jasno zrozumieć, że kąt jest nierozerwalnie związany z jego funkcjami trygonometrycznymi. Każdy kąt ma swój własny sinus i cosinus. I prawie każdy ma swoją własną styczną i cotangens. To jest ważne. Uważa się, że jeśli dany jest nam kąt, to jego sinus, cosinus, tangens i cotangens wiemy ! I wzajemnie. Biorąc pod uwagę sinus lub jakąkolwiek inną funkcję trygonometryczną, oznacza to, że znamy kąt.

Istnieją specjalne tabele, w których dla każdego kąta opisano jego funkcje trygonometryczne. Nazywa się je tabelami Bradisa. Zostały opracowane bardzo dawno temu. Kiedy nie było jeszcze kalkulatorów i komputerów...

Oczywiście nie da się zapamiętać funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów. Wymagane jest ich poznanie tylko pod kilkoma kątami, więcej o tym później. Ale zaklęcie Znam kąt, czyli znam jego funkcje trygonometryczne” – zawsze działa!

Powtórzyliśmy więc fragment geometrii z ósmej klasy. Czy potrzebujemy go do egzaminu Unified State Exam? Niezbędny. Oto typowy problem z egzaminu Unified State Exam. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy 8 klasa. Dane zdjęcie:

Wszystko. Nie ma więcej danych. Musimy znaleźć długość boku samolotu.

Komórki niewiele pomagają, trójkąt jest jakoś źle ustawiony... Chyba celowo... Z informacji wynika, że ​​jest to długość przeciwprostokątnej. 8 komórek. Z jakiegoś powodu podano kąt.

W tym miejscu należy od razu pamiętać o trygonometrii. Kąt istnieje, co oznacza, że ​​znamy wszystkie jego funkcje trygonometryczne. Której z czterech funkcji powinniśmy użyć? Zobaczmy, co wiemy? Znamy przeciwprostokątną i kąt, ale musimy znaleźć przylegający cewnik do tego rogu! To jasne, cosinus należy zastosować! No to ruszamy. Po prostu piszemy, zgodnie z definicją cosinusa (stosunek przylegający noga do przeciwprostokątnej):

cosC = BC/8

Nasz kąt C wynosi 60 stopni, a jego cosinus wynosi 1/2. Musisz to wiedzieć, bez żadnych tabel! To jest:

1/2 = BC/8

Podstawowy równanie liniowe. Nieznany - Słońce. Ci, którzy zapomnieli, jak rozwiązywać równania, spójrz na link, reszta rozwiąże:

BC = 4

Kiedy starożytni ludzie zdali sobie sprawę, że każdy kąt ma swój własny zestaw funkcji trygonometrycznych, zadali rozsądne pytanie. Czy sinus, cosinus, tangens i cotangens są ze sobą w jakiś sposób powiązane? Czyli znając jedną funkcję kąta, można znaleźć pozostałe? Bez obliczania samego kąta?

Byli tacy niespokojni...)

Zależność funkcji trygonometrycznych jednego kąta.

Oczywiście sinus, cosinus, tangens i cotangens tego samego kąta są ze sobą powiązane. Wszelkie powiązania między wyrażeniami podaje się w matematyce za pomocą wzorów. W trygonometrii istnieje kolosalna liczba formuł. Ale tutaj przyjrzymy się najbardziej podstawowym. Formuły te nazywane są: podstawowe tożsamości trygonometryczne. Tutaj są:

Musisz dokładnie poznać te formuły. Bez nich w trygonometrii generalnie nie ma nic do roboty. Z tych podstawowych tożsamości wynikają trzy kolejne tożsamości pomocnicze:

Od razu ostrzegam, że trzy ostatnie formuły szybko wypadają z pamięci. Z jakiegoś powodu.) Możesz oczywiście wyprowadzić te formuły z pierwsze trzy. Ale w Ciężki czas... Rozumiesz.)

W standardowe zadania, podobnie jak te poniżej, można obejść się bez tych zapomnianych formuł. I radykalnie zmniejszyć liczbę błędów z powodu zapomnienia, a także w obliczeniach. Praktykę tę opisano w rozdziale 555, lekcja „Relacje między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta”.

W jakich zadaniach i w jaki sposób wykorzystywane są podstawowe tożsamości trygonometryczne? Najpopularniejszym zadaniem jest znalezienie jakiejś funkcji kąta, jeśli podana jest inna. W Unified State Examination takie zadanie pojawia się z roku na rok.) Na przykład:

Znajdować wartość sinx, jeśli x jest kątem ostrym i cosx=0,8.

Zadanie jest niemal elementarne. Szukamy wzoru zawierającego sinus i cosinus. Oto formuła:

grzech 2 x + sałata 2 x = 1

Zastąp tutaj znana ilość, mianowicie 0,8 zamiast cosinusa:

grzech 2 x + 0,8 2 = 1

Cóż, liczymy jak zwykle:

grzech 2 x + 0,64 = 1

grzech 2 x = 1 - 0,64

To praktycznie wszystko. Obliczyliśmy kwadrat sinusa, pozostaje tylko wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i odpowiedź jest gotowa! Pierwiastek z 0,36 wynosi 0,6.

Zadanie jest niemal elementarne. Ale słowo „prawie” pojawiło się nie bez powodu... Faktem jest, że odpowiedź sinx= - 0,6 również jest odpowiednia... (-0,6) 2 również będzie wynosić 0,36.

Istnieją dwie różne odpowiedzi. I potrzebujesz jednego. To drugie jest błędne. Jak być!? Tak, jak zwykle.) Przeczytaj uważnie zadanie. Z jakiegoś powodu mówi:... jeśli x jest kątem ostrym... A w zadaniach każde słowo ma znaczenie, tak... To zdanie jest dodatkową informacją do rozwiązania.

Kąt ostry to kąt mniejszy niż 90°. I na takich zakrętach Wszystko funkcje trygonometryczne — sinus, cosinus i tangens z cotangensem — pozytywny. Te. Po prostu odrzucamy tutaj odpowiedź negatywną. Mamy prawo.

Właściwie ósmoklasiści nie potrzebują takich subtelności. Działają tylko z trójkątami prostokątnymi, gdzie rogi mogą być tylko ostre. I nie wiedzą, szczęśliwi, że istnieją zarówno kąty ujemne, jak i kąty 1000°... A wszystkie te straszne kąty mają swoje własne funkcje trygonometryczne, zarówno plus, jak i minus...

Ale dla uczniów szkół średnich, bez uwzględnienia znaku - nie ma mowy. Duża wiedza mnoży smutki, tak...) I za dobra decyzja Zadanie musi zawierać dodatkowe informacje (jeśli to konieczne). Można go podać na przykład za pomocą następującego wpisu:

Albo w inny sposób. Zobaczysz w poniższych przykładach.) Aby rozwiązać takie przykłady, musisz wiedzieć W jaką ćwiartkę wpada dany kąt x i jaki znak ma w tej ćwiartce pożądana funkcja trygonometryczna?

Te podstawy trygonometrii omawiane są na lekcjach na temat tego, czym jest okrąg trygonometryczny, pomiar kątów na tym okręgu, radialna miara kąta. Czasami trzeba znać tabelę sinusów, cosinusów stycznych i cotangensów.

Zwróćmy więc uwagę na najważniejsze:

Praktyczne porady:

1. Zapamiętaj definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. To będzie bardzo przydatne.

2. Rozumiemy jasno: sinus, cosinus, tangens i cotangens są ściśle powiązane z kątami. Wiemy jedno, co oznacza, że ​​wiemy co innego.

3. Rozumiemy jasno: sinus, cosinus, tangens i cotangens jednego kąta są ze sobą powiązane podstawowymi tożsamości trygonometryczne. Znamy jedną funkcję, co oznacza, że ​​możemy (jeśli mamy niezbędne dodatkowe informacje) obliczyć wszystkie pozostałe.

A teraz, jak zwykle, podejmijmy decyzję. Najpierw zadania z zakresu klasy 8. Ale uczniowie szkół średnich też mogą to zrobić...)

1. Oblicz wartość tgA jeśli ctgA = 0,4.

2. β jest kątem w trójkącie prostokątnym. Znajdź wartość tanβ, jeśli sinβ = 12/13.

3. Wyznacz sinus kąta ostrego x, jeśli tgх = 4/3.

4. Znajdź znaczenie wyrażenia:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Znajdź znaczenie wyrażenia:

(1-cosx)(1+cosx), jeśli sinx = 0,3

Odpowiedzi (oddzielone średnikami, w nieładzie):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Stało się? Świetnie! Ósmoklasiści mogą już zdobyć piątki.)

Czy nie wszystko się udało? Zadania 2 i 3 jakoś nie są zbyt dobre...? Bez problemu! Jest na to jedna piękna sztuczka podobne zadania. Wszystko da się rozwiązać praktycznie bez żadnych formuł! A zatem bez błędów. Technikę tę opisano w lekcji: „Związki między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta” w rozdziale 555. Tam też załatwiane są wszystkie inne zadania.

To były problemy Typ egzaminu ujednoliconego, ale w okrojonej wersji. Egzamin Państwowy Jednolity – lekki). A teraz prawie te same zadania, ale w pełnoprawnym formacie. Dla obciążonych wiedzą uczniów szkół średnich.)

6. Znajdź wartość tanβ, jeśli sinβ = 12/13, oraz

7. Wyznacz sinх, jeśli tgх = 4/3, a x należy do przedziału (- 540°; - 450°).

8. Znajdź wartość wyrażenia sinβ cosβ, jeśli ctgβ = 1.

Odpowiedzi (w nieładzie):

0,8; 0,5; -2,4.

Tutaj, w zadaniu 6, kąt nie jest określony bardzo wyraźnie... Ale w zadaniu 8 nie jest on w ogóle określony! To jest celowe). Dodatkowe informacje nie tylko wzięte z zadania, ale także z głowy.) Ale jeśli zdecydujesz, jedno poprawne zadanie gwarantowane!

A co jeśli jeszcze się nie zdecydowałeś? Hmm... Cóż, sekcja 555 będzie tutaj pomocna. Tam szczegółowo opisano rozwiązania wszystkich tych zadań, trudno tego nie zrozumieć.

Ta lekcja zapewnia bardzo ograniczone zrozumienie funkcji trygonometrycznych. W 8 klasie. A starsi wciąż mają pytania...

Na przykład, jeśli kąt X(spójrz na drugie zdjęcie na tej stronie) - czyń to głupim!? Trójkąt całkowicie się rozpadnie! Więc co powinniśmy zrobić? Nie będzie nogi, nie będzie przeciwprostokątnej... Sinus zniknął...

Gdyby starożytni ludzie nie znaleźli wyjścia z tej sytuacji, nie mielibyśmy teraz telefonów komórkowych, telewizji ani elektryczności. Tak tak! Podstawy teoretyczne wszystkie te rzeczy bez funkcji trygonometrycznych wynoszą zero bez kija. Ale starożytni ludzie nie zawiedli. Jak się wydostali, opowiem w następnej lekcji.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Jednym z obszarów matematyki, z którym uczniowie mają najwięcej problemów, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować ten obszar wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, kotangentów za pomocą wzorów, upraszczania wyrażeń i umiejętności posługiwania się liczbą pi w obliczenia. Ponadto przy dowodzeniu twierdzeń trzeba umieć posługiwać się trygonometrią, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wyprowadzania złożonych łańcuchów logicznych.

Początki trygonometrii

Zapoznanie się z tą nauką należy rozpocząć od definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw trzeba zrozumieć, co ogólnie robi trygonometria.

Historycznie rzecz biorąc, głównym przedmiotem badań w tej sekcji nauka matematyczna były trójkąty prostokątne. Obecność kąta 90 stopni umożliwia przeprowadzanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów danej figury za pomocą dwóch boków i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie dostrzegli ten wzór i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w konstruowaniu budynków, nawigacji, astronomii, a nawet w sztuce.

Pierwszy etap

Początkowo ludzie mówili o związku między kątami i bokami wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic zastosowania Życie codzienne tej gałęzi matematyki.

Nauka trygonometrii w szkole rozpoczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po czym uczniowie wykorzystują zdobytą wiedzę z fizyki i rozwiązują abstrakcyjne problemy. równania trygonometryczne, z którym praca zaczyna się już w szkole średniej.

Trygonometria sferyczna

Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, styczną i cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie wynosi zawsze więcej niż 180 stopni. Ta sekcja nie uczy się w szkole, ale warto wiedzieć o jego istnieniu przynajmniej dlatego, że powierzchnia ziemi, a powierzchnia dowolnej innej planety jest wypukła, co oznacza, że ​​wszelkie oznaczenia powierzchni będą widoczne przestrzeń trójwymiarowa„w kształcie łuku”.

Weź globus i nić. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej tak, aby była napięta. Uwaga - przybrał kształt łuku. Takimi formami zajmuje się geometria sferyczna, która jest wykorzystywana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.

Trójkąt prostokątny

Dowiedziawszy się trochę o sposobach korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich wzorów użyć.

Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć związanych z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna to strona przeciwna do kąta 90 stopni. Jest najdłuższy. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, jego wartość numeryczna równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pozostałych dwóch boków.

Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.

Dwa pozostałe boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Ponadto musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie wynosi układ prostokątny współrzędne wynoszą 180 stopni.

Definicja

Wreszcie, mając dobre zrozumienie podstawy geometrycznej, można przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.

Sinus kąta to stosunek przeciwnej nogi (tj. strony przeciwnej do żądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej strony do przeciwprostokątnej.

Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą istnieć więcej niż jeden! Dlaczego? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa. Niezależnie od długości nogi, będzie ona krótsza od przeciwprostokątnej, co oznacza, że ​​ich stosunek będzie zawsze mniejszy niż jeden. Jeśli więc w odpowiedzi na zadanie otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1, poszukaj błędu w obliczeniach lub rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.

Wreszcie tangens kąta to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Dzielenie sinusa przez cosinus da ten sam wynik. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, następnie dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. Otrzymujemy zatem taką samą zależność jak w definicji stycznej.

Odpowiednio cotangens jest stosunkiem boku sąsiadującego z narożnikiem do strony przeciwnej. Ten sam wynik otrzymamy, dzieląc jeden przez tangens.

Przyjrzeliśmy się zatem definicjom sinusa, cosinusa, tangensu i cotangensu i możemy przejść do wzorów.

Najprostsze formuły

W trygonometrii nie można obejść się bez wzorów - jak znaleźć bez nich sinus, cosinus, tangens, cotangens? Ale właśnie tego potrzeba przy rozwiązywaniu problemów.

Pierwsza formuła, którą musisz znać rozpoczynając naukę trygonometrii, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ta formuła jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale oszczędza czas, jeśli chcesz znać wielkość kąta, a nie boku.

Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która jest również bardzo popularna przy rozwiązywaniu zadania szkolne: suma jedności i kwadratu tangensa kąta jest równa jedności podzielonej przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyj się bliżej: jest to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone przez kwadrat cosinusa. Okazuje się, że wystarczy prosta operacja matematyczna wzór trygonometryczny zupełnie nie do poznania. Pamiętaj: wiedza o tym, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady konwersji i kilka podstawowe formuły możesz w dowolnym momencie wycofać wymaganą kwotę większą złożone formuły na kawałku papieru.

Wzory na kąty podwójne i dodawanie argumentów

Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, dotyczą wartości sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Przedstawiono je na poniższym rysunku. Należy pamiętać, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone obukrotnie, a w drugim dodawany jest iloczyn sinusa i cosinusa parami.

Istnieją również formuły powiązane z argumentami w formularzu podwójny kąt. Są one całkowicie pochodne od poprzednich - w ramach treningu spróbuj je zdobyć samodzielnie, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.

Na koniec zauważ, że wzory na podwójny kąt można zmienić, aby zmniejszyć potęgę sinusa, cosinusa i stycznej alfa.

Twierdzenia

Dwa główne twierdzenia podstawowej trygonometrii to twierdzenie o sinusie i twierdzenie o cosinusie. Za pomocą tych twierdzeń można łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i rozmiar każdej strony itp.

Twierdzenie o sinusie stwierdza, że ​​dzieląc długość każdego boku trójkąta przez przeciwny kąt, otrzymujemy ten sam numer. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom okręgu opisanego, czyli okręgu zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.

Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus sąsiedniego kąta - wynikowa wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Zatem twierdzenie Pitagorasa okazuje się szczególnym przypadkiem twierdzenia o cosinusie.

Niedbałe błędy

Nawet wiedząc, czym są sinus, cosinus i tangens, łatwo jest popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, przyjrzyjmy się tym najpopularniejszym.

Po pierwsze, nie powinieneś zamieniać ułamków zwykłych na dziesiętne, dopóki nie otrzymasz wyniku końcowego - możesz pozostawić odpowiedź jako ułamek wspólny, chyba że w warunkach określono inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawić się nowe korzenie, które w zamyśle autora należy usunąć. W takim przypadku będziesz tracić czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to szczególnie wartości takich jak pierwiastek z trzech lub pierwiastek z dwóch, ponieważ na każdym kroku spotyka się je z problemami. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.

Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinus ma zastosowanie do dowolnego trójkąta, ale nie do twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotność iloczynu boków pomnożonego przez cosinus kąta między nimi, nie tylko otrzymasz całkowicie błędny wynik, ale także wykażesz całkowity brak zrozumienia tematu. To jest gorsze niż nieostrożny błąd.

Po trzecie, nie myl wartości kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, stycznych, kotangentów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus wynosi 30 stopni równy cosinusowi 60 i odwrotnie. Łatwo je pomylić, w wyniku czego nieuchronnie otrzymasz błędny wynik.

Aplikacja

Wielu studentów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej praktycznego znaczenia. Czym jest sinus, cosinus i tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to pojęcia, dzięki którym można obliczyć odległość do odległe gwiazdy, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni czy trajektorii obiektu. A to tylko większość oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest stosowana wszędzie, od muzyki po medycynę.

Wreszcie

Więc masz sinus, cosinus i tangens. Można je wykorzystać w obliczeniach i skutecznie rozwiązywać problemy szkolne.

Cały sens trygonometrii sprowadza się do tego, że korzystając ze znanych parametrów trójkąta, należy obliczyć niewiadome. Łącznie dostępnych jest sześć parametrów: długość trzy strony i rozmiary trzy rogi. Jedyna różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.

Teraz wiesz, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens w oparciu o znane długości nóg lub przeciwprostokątnej. Ponieważ te terminy nie oznaczają nic więcej niż stosunek, a stosunek jest ułamkiem, główny cel problem trygonometryczny polega na znalezieniu pierwiastków zwykłego równania lub układu równań. I tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.

Sinus i cosinus pierwotnie powstały z potrzeby obliczania wielkości w trójkątach prostokątnych. Zauważono, że jeśli miara stopnia kątów w trójkącie prostokątnym nie ulega zmianie, to współczynnik proporcji, niezależnie od tego, jak bardzo zmienią się długości tych boków, zawsze pozostaje taki sam.

W ten sposób wprowadzono pojęcia sinusa i cosinusa. Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, a cosinus to stosunek boku sąsiadującego z przeciwprostokątną.

Twierdzenia o cosinusach i sinusach

Ale cosinusy i sinusy można używać nie tylko do trójkątów prostokątnych. Aby znaleźć wartość kąta rozwartego lub ostrego lub boku dowolnego trójkąta, wystarczy zastosować twierdzenie o cosinusach i sinusach.

Twierdzenie cosinus jest dość proste: „Kwadrat boku trójkąta równa sumie kwadraty pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Istnieją dwie interpretacje twierdzenia o sinusie: mała i rozszerzona. Według małego: „W trójkącie kąty są proporcjonalne przeciwne partie». To twierdzenie często rozszerzany ze względu na właściwość opisanego koła trójkąta: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków, a ich stosunek jest równy średnicy opisanego koła”.

Pochodne

Pochodna jest narzędziem matematycznym, które pokazuje, jak szybko zmienia się funkcja w zależności od zmiany jej argumentu. Pochodne są stosowane w geometrii i wielu dyscyplinach technicznych.

Rozwiązując problemy, musisz znać wartości tabelaryczne pochodnych funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus. Pochodna sinusa to cosinus, a cosinus to sinus, ale ze znakiem minus.

Zastosowanie w matematyce

Sinusy i cosinusy są szczególnie często wykorzystywane do rozwiązywania trójkątów prostokątnych i problemów z nimi związanych.

Wygoda sinusów i cosinusów znajduje również odzwierciedlenie w technologii. Łatwo było wyznaczyć kąty i boki za pomocą twierdzeń o cosinusach i sinusach, załamując się złożone figury i obiekty w „proste” trójkąty. Inżynierowie często zajmują się obliczeniami współczynnika proporcji i środki stopnia, poświęciłem dużo czasu i wysiłku na obliczenie cosinusów i sinusów kątów innych niż tabelaryczne.

Wtedy na ratunek przyszły tablice Bradisa, zawierające tysiące wartości sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów różne kąty. W Czas sowiecki niektórzy nauczyciele zmuszali swoich uczniów do zapamiętywania stron tabel Bradisa.

Radian - wielkość kątowałuki, długość równy promieniowi lub 57,295779513° stopni.

Stopień (w geometrii) - 1/360 część koła lub 1/90 część prosty kąt.

π = 3,141592653589793238462… ( przybliżona wartość liczby Pi).

Tabela cosinusów dla kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kąt x (w stopniach)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kąt x (w radianach)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11xπ/6	2 x π
bo x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1