Relacja strony przeciwnej. Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta

Instrukcje

Trójkąt nazywamy prostokątnym, jeżeli jeden z jego kątów ma miarę 90 stopni. Składa się z dwóch nóg i przeciwprostokątnej. Nazywa się przeciwprostokątną duża strona ten trójkąt. Leży pod kątem prostym. Odpowiednio nogi nazywane są mniejszymi bokami. Mogą być sobie równe lub mieć różne rozmiary. Równość nóg jest tym, co pracujesz z trójkątem prostokątnym. Jego piękno polega na tym, że łączy w sobie dwie figury: prostokątną i Trójkąt równoramienny. Jeśli nogi nie są równe, trójkąt jest dowolny i podlega podstawowemu prawu: im większy kąt, tym bardziej toczy się ten leżący naprzeciwko.

Istnieje kilka sposobów znalezienia przeciwprostokątnej według kąta. Ale zanim użyjesz jednego z nich, powinieneś ustalić, który kąt jest znany. Jeśli dany jest kąt i sąsiadujący z nim bok, łatwiej jest znaleźć przeciwprostokątną, korzystając z cosinusa kąta. Cosinus kąt ostry(cos a) w trójkącie prostokątnym nazywa się stosunkiem sąsiadującą nogę do przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że przeciwprostokątna (c) będzie równa stosunkowi sąsiedniej nogi (b) do cosinusa kąta a (cos a). Można to zapisać w ten sposób: cos a=b/c => c=b/cos a.

Jeśli podany jest kąt i przeciwna noga, powinieneś pracować. Sinus kąta ostrego (sin a) w trójkącie prostokątnym to stosunek Przeciwna strona(a) do przeciwprostokątnej (c). Tutaj zasada jest taka sama jak w poprzednim przykładzie, tylko zamiast funkcji cosinus przyjmuje się sinus. grzech a=a/c => c=a/grzech a.

Możesz także użyć funkcji trygonometrycznej, takiej jak . Jednak znalezienie pożądanej wartości stanie się nieco bardziej skomplikowane. Tangens kąta ostrego (tg a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi (a) do sąsiedniej nogi (b). Po znalezieniu obu stron zastosuj twierdzenie Pitagorasa (kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadraty nóg) i zostanie znaleziony większy.

notatka

Pracując z twierdzeniem Pitagorasa pamiętaj, że masz do czynienia ze stopniem. Po znalezieniu sumy kwadratów nóg musisz wziąć pierwiastek kwadratowy, aby uzyskać ostateczną odpowiedź.

Źródła:

jak znaleźć nogę i przeciwprostokątną

Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg oraz wielkość jednego z kątów ostrych trójkąta.

Instrukcje

Biorąc pod uwagę znany i ostry kąt prostokątny, wówczas rozmiarem przeciwprostokątnej będzie stosunek nogi do / tego kąta, jeśli kąt ten jest przeciwny/przylegający do niego:

h = C1(lub C2)/sinα;

h = C1 (lub C2)/cosα.

Przykład: Niech zostanie podany ABC z przeciwprostokątną AB i C. Niech kąt B będzie miał miarę 60 stopni, a kąt A 30 stopni. Długość ramienia BC wynosi 8 cm. Wymagana jest długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz użyć dowolnej z metod sugerowanych powyżej:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Słowo " noga"wywodzące się z Greckie słowa„prostopadły” lub „pionowy” - to wyjaśnia, dlaczego tak nazwano oba boki trójkąta prostokątnego, stanowiące jego kąt dziewięćdziesiąt stopni. Znajdź długość dowolnego z noga ov nie jest trudne, jeśli znana jest wartość sąsiedniego kąta i inne parametry, ponieważ w tym przypadku faktycznie staną się znane wartości wszystkich trzech kątów.

Instrukcje

Jeżeli oprócz wartości sąsiedniego kąta (β) długość drugiego noga a (b), następnie długość noga oraz (a) można zdefiniować jako iloraz długości znanego noga i pod znanym kątem: a=b/tg(β). Wynika to z definicji tej trygonometrii. Możesz obejść się bez tangensa, jeśli użyjesz twierdzenia. Wynika z tego, że długość pożądanej do sinusa przeciwnego kąta do stosunku długości znanej noga i do sinusa znanego kąta. Przeciwnie do pożądanego noga y kąt ostry można wyrazić znanym kątem jako 180°-90°-β = 90°-β, ponieważ suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta musi wynosić 180°, a jeden z jego kątów wynosi 90°. A więc wymagana długość noga i można je obliczyć ze wzoru a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Jeżeli znana jest wartość sąsiedniego kąta (β) i długość przeciwprostokątnej (c), to długość noga oraz (a) można obliczyć jako iloczyn długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: a=c∗cos(β). Wynika to z definicji cosinusa jako funkcji trygonometrycznej. Ale możesz użyć, podobnie jak w poprzednim kroku, twierdzenia o sinusach, a następnie żądanej długości noga a będzie równe iloczynowi sinusa między 90° a znany kąt stosunek długości przeciwprostokątnej do sinusa kąta prostego. A ponieważ sinus wynosi 90° równy jeden, to możemy to zapisać w ten sposób: a=sin(90°-β)∗c.

Praktyczne obliczenia można wykonać np. korzystając z dołączonego systemu operacyjnego Oprogramowanie Windows kalkulator. Aby go uruchomić, możesz wybrać „Uruchom” z menu głównego na przycisku „Start”, wpisać polecenie calc i kliknąć „OK”. W najprostszej wersji interfejsu tego programu, który otwiera się domyślnie funkcje trygonometryczne nie są dostępne, dlatego po uruchomieniu należy kliknąć w menu sekcję „Widok” i wybrać wiersz „Naukowe” lub „Inżynieryjne” (w zależności od używanej wersji system operacyjny).

Wideo na ten temat

Słowo „kathet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dokładne tłumaczenie oznacza linię pionu, to znaczy prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi to boki tworzące kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „cathet” jest również używany w architekturze i technologii prace spawalnicze.

Narysuj trójkąt prostokątny DIA. Oznacz jego nogi jako a i b, a przeciwprostokątną jako c. Wszystkie boki i kąty trójkąta prostokątnego są określone między sobą. Stosunek nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej nazywa się sinusem dany kąt. W dany trójkąt sinCAB=a/c. Cosinus to stosunek przeciwprostokątnej sąsiedniej nogi, czyli cosCAB=b/c. Relacje odwrotne nazywane są siecznymi i cosekansami.

Sieczną tego kąta oblicza się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią nogę, czyli secCAB = c/b. Wynik jest odwrotnością cosinusa, co oznacza, że można go wyrazić za pomocą wzoru secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równa ilorazowi przeciwprostokątnej podzielonej przez przeciwną stronę i jest ilością odwrotność sinusa. Można to obliczyć korzystając ze wzoru cosecCAB=1/sinCAB

Obie nogi są połączone ze sobą i kotangensem. W w tym przypadku tangens będzie stosunkiem strony a do strony b, to znaczy strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Zależność tę można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Odpowiednio, odwrotna zależność będzie cotangens: ctgCAB=b/a.

Zależność między rozmiarami przeciwprostokątnej i obu nóg została określona przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Ludzie nadal używają tego twierdzenia i jego imienia. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, czyli c2 = a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastek kwadratowy z różnicy kwadratów przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).

Długość nogi można również wyrazić za pomocą znanych Ci zależności. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach noga równy produktowi przeciwprostokątna jednej z tych funkcji. Można to wyrazić jako i lub cotangens. Odnogę a można znaleźć na przykład za pomocą wzoru a = b*tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od zadanej stycznej lub, wyznacza się drugą nogę.

Termin „cathet” jest również używany w architekturze. Nakłada się go na kapitel joński i przechodzi przez środek grzbietu. Oznacza to, że w tym przypadku wyraz ten jest prostopadły do danej linii.

W technologii spawania istnieje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Tutaj mówimy o o szczelinie pomiędzy jedną ze spawanych części a granicą szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.

Wideo na ten temat

Źródła:

czym jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku

Zatoka kąt ostry α trójkąta prostokątnego jest stosunkiem naprzeciwko noga do przeciwprostokątnej.
Oznacza się to następująco: sin α.

Cosinus Kąt ostry α w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznacza się go następująco: cos α.

Tangens kąt ostry α jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Oznacza się go następująco: tg α.

Cotangens kąt ostry α jest stosunkiem boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
Oznacza się go następująco: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.

Zasady:

Podstawowy tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:

(α – kąt ostry przeciwny do nogi B i przylegający do nogi A . Strona Z – przeciwprostokątna. β – drugi kąt ostry).

B grzech α = - C	grzech 2 α + cos 2 α = 1
A cos α = - C	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
B tan α = - A	1 1 + ctg 2 α = -- grzech 2 a
A ctg α = - B	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
grzech α tg α = -- ponieważ α

W miarę wzrostu kąta ostregogrzech α iwzrost opalenizny α icos α maleje.

Dla dowolnego kąta ostrego α:

grzech (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Przykład-wyjaśnienie:

Wprowadźmy trójkąt prostokątny ABC
AB = 6,
p.n.e. = 3,
kąt A = 30°.

Znajdźmy sinus kąta A i cosinus kąta B.

Rozwiązanie .

1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: skoro w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90°, to kąt B = 60°:

B = 90° – 30° = 60°.

2) Obliczmy grzech A. Znamy ten sinus równy stosunkowi stronę przeciwną do przeciwprostokątnej. Dla kąta A przeciwną stroną jest bok BC. Więc:

BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz obliczmy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Dla kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC przez AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:

BC 3 1
ponieważ B = -- = - = -
AB 6 2

Wynik to:
grzech A = cos B = 1/2.

grzech 30° = cos 60° = 1/2.

Wynika z tego, że w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego wynosi równy cosinusowi kolejny ostry kąt - i odwrotnie. To właśnie oznaczają nasze dwie formuły:
grzech (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Przekonajmy się o tym jeszcze raz:

1) Niech α = 60°. Podstawiając wartość α do wzoru sinus, otrzymujemy:
grzech (90° – 60°) = cos 60°.
grzech 30° = cos 60°.

2) Niech α = 30°. Podstawiając wartość α do wzoru na cosinus, otrzymujemy:
cos (90° – 30°) = grzech 30°.
cos 60° = grzech 30°.

(Aby uzyskać więcej informacji na temat trygonometrii, zobacz sekcję Algebra)

Trygonometria - przekrój nauka matematyczna, który bada funkcje trygonometryczne i ich zastosowanie w geometrii. Rozwój trygonometrii rozpoczął się w starożytnej Grecji. W średniowieczu ważny wkład Do rozwoju tej nauki przyczynili się naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii.

Ten artykuł jest poświęcony podstawowe koncepcje i definicje trygonometrii. Omówiono definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Ich znaczenie zostało wyjaśnione i zilustrowane w kontekście geometrii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, wyrażano w kategoriach stosunku boków trójkąta prostokątnego.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Sinus kąta (sin α) to stosunek ramienia leżącego naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta (cos α) - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta (t g α) - stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta (c t g α) - stosunek sąsiedniej strony do strony przeciwnej.

Te definicje podano dla kąta ostrego trójkąta prostokątnego!

Podajmy ilustrację.

W trójkącie ABC z kątem prostym C sinus kąta A jest równy stosunkowi ramienia BC i przeciwprostokątnej AB.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens pozwalają obliczyć wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.

Ważne do zapamiętania!

Zakres wartości sinusa i cosinusa wynosi od -1 do 1. Innymi słowy, sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangensa i cotangensu to cała oś liczbowa, oznacza to, że funkcje te mogą przyjmować dowolne wartości.

Podane powyżej definicje dotyczą kątów ostrych. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość w przeciwieństwie do kąta ostrego nie jest ograniczona do 0 do 90 stopni.Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞ .

W tym kontekście możemy zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wielkości. Wyobraźmy sobie okrąg jednostkowy ze środkiem w początku kartezjańskiego układu współrzędnych.

Punkt początkowy A o współrzędnych (1, 0) jest obracany wokół środka okrąg jednostkowy pod pewnym kątem α i dociera do punktu A 1 . Definicja podana jest w formie współrzędnych punktu A 1 (x, y).

Sinus (sin) kąta obrotu

Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). grzech α = y

Cosinus (cos) kąta obrotu

Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). sałata α = x

Tangens (tg) kąta obrotu

Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t sol α = y x

Cotangens (ctg) kąta obrotu

Kotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. do t sol α = x y

Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po obrocie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest w przypadku stycznej i cotangensu. Styczna jest niezdefiniowana, gdy punkt po obrocie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0, 1) i (0, - 1). W takich przypadkach wyrażenie na tangens t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z kotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany w przypadkach, gdy rzędna punktu dąży do zera.

Ważne do zapamiętania!

Sinus i cosinus definiuje się dla dowolnych kątów α.

Styczna jest zdefiniowana dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Decydując praktyczne przykłady nie mów „sinus kąta obrotu α”. Po prostu pominięto słowo „kąt obrotu”, co sugeruje, że z kontekstu wynika już jasno, o czym mowa.

Liczby

A co z definicją sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby, a nie kąta obrotu?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby T to liczba równa odpowiednio sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi T radian.

Na przykład sinus liczby 10 π jest równy sinusowi kąta obrotu 10 π rad.

Istnieje inne podejście do wyznaczania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu liczby. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Ktokolwiek prawdziwy numer T punkt na okręgu jednostkowym jest powiązany ze środkiem w początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens wyznacza się poprzez współrzędne tego punktu.

Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1, 0).

Liczba dodatnia T

Liczba ujemna T odpowiada punktowi, do którego dojdzie punkt początkowy, jeśli porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i pójdzie swoją drogą T.

Teraz, gdy ustalono już związek między liczbą a punktem na okręgu, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa.

Sinus (grzech) t

Sinus liczby T- rzędna punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie T. grzech t = y

Cosinus (cos) t

Cosinus liczby T- odcięta punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie T. ponieważ t = x

Tangens (tg) t

Tangens liczby T- stosunek rzędnej do odciętej punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającej liczbie T. t sol t = y x = grzech t koszt t

Najnowsze definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tego akapitu. Punkt na okręgu odpowiadający numerowi T, pokrywa się z punktem, do którego dochodzi punkt początkowy po skręcie o kąt T radian.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i numerycznego

Każda wartość kąta α odpowiada konkretna wartość sinus i cosinus tego kąta. Podobnie jak wszystkie kąty α inne niż α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odpowiadają pewnej wartości tangensa. Cotangens, jak podano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Można powiedzieć, że sin α, cos α, t g α, c t g α są funkcjami kąta alfa, czyli funkcjami argumentu kątowego.

Podobnie możemy mówić o sinusie, cosinusie, tangensie i cotangensie jako funkcjach argument numeryczny. Każda liczba rzeczywista T odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby T. Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k, k ∈ Z odpowiadają wartości stycznej. Podobnie cotangens jest definiowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π · k, k ∈ Z.

Podstawowe funkcje trygonometrii

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Z kontekstu zazwyczaj jasno wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej (argumentem kątowym czy argumentem liczbowym) mamy do czynienia.

Wróćmy do definicji podanych na samym początku i kąta alfa, który mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni. Definicje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens są całkowicie zgodne definicje geometryczne, biorąc pod uwagę współczynniki kształtu trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.

Weź okrąg jednostkowy ze środkiem w kształcie prostokąta Układ kartezjański współrzędne Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy prostopadłą do osi odciętych z powstałego punktu A 1 (x, y). W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 O H równy kątowi zakręć α, długość nogi O H jest równa odciętej punktu A 1 (x, y). Długość nogi przeciwnej do kąta jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jeden, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.

Zgodnie z definicją z geometrii sinus kąta α jest równy stosunkowi strony przeciwnej do przeciwprostokątnej.

grzech α = ZA 1 H O ZA 1 = y 1 = y

Oznacza to, że wyznaczenie sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym poprzez współczynnik kształtu jest równoznaczne z wyznaczeniem sinusa kąta obrotu α, przy czym alfa mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni.

Podobnie zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, stycznej i cotangensu.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta, pomoże ci zrozumieć trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok \(AC\)); nogami są dwa pozostałe boki \(AB\) i \(BC\) (te sąsiadujące ze sobą prosty kąt), a jeśli rozważymy nogi w odniesieniu do kąta \(BC\), to noga \(AB\) jest nogą sąsiednią, a noga \(BC\) jest przeciwieństwem. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta– jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangens kąta– jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).

W naszym trójkącie:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotansa kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).

W naszym trójkącie:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej było zapamiętać, na którą nogę podzielić, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;

Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.

Przede wszystkim trzeba pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens, ponieważ stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod tym samym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta \(\beta \) . Z definicji z trójkąta \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale możemy obliczyć cosinus kąta \(\beta \) z trójkąta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!

Dla trójkąta \(ABC \) pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(tablica) \)

No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta \(\beta \) .

Odpowiedzi: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym \(1\) . Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.

Jak widzisz, dane koło zbudowane w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, a środek okręgu leży w początku, pozycja startowa Wektor promienia jest ustalony wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\) (w naszym przykładzie jest to promień \(AB\)).

Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej na osi \(x\) i współrzędnej na osi \(y\). Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt \(ACG\) . Jest prostokątny, ponieważ \(CG\) jest prostopadły do osi \(x\).

Co oznacza \(\cos \alfa \) z trójkąta \(ACG \)? Zgadza się \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ponadto wiemy, że \(AC\) jest promieniem okręgu jednostkowego, co oznacza \(AC=1\) . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ile wynosi \(\sin \ \alpha \) z trójkąta \(ACG \)? Ależ oczywiście, \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)\)! Podstaw wartość promienia \(AC\) do tego wzoru i otrzymaj:

\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt \(C\) należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie sprawę, że \(\cos \alpha \) i \(\sin \alpha \) to tylko liczby? Jakiej współrzędnej odpowiada \(\cos \alpha \)? Cóż, oczywiście, współrzędna \(x\)! A jakim współrzędnym odpowiada \(\sin \alpha \)? Zgadza się, współrzędne \(y\)! A więc o co chodzi \(C(x;y)=C(\cos \alfa ;\sin \alfa) \).

Czym zatem są \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) równe? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i zdobądźmy to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kąt (w sąsiedztwie kąta \(\beta \) ). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu dla kąta? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Zgadza się, stosujemy się do odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kąt ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kąt ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(tablica) \)

Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej \(y\) ; wartość cosinusa kąta - współrzędna \(x\) ; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą więc dowolnego obrotu wektora promienia.

Wspomnieliśmy już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\). Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara – negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi \(360()^\circ \) lub \(2\pi \) . Czy można obrócić wektor promienia o \(390()^\circ \) lub o \(-1140()^\circ \)? Oczywiście, że możesz! W pierwszym przypadku, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), zatem wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji \(30()^\circ \) lub \(\dfrac(\pi )(6) \) .

W drugim przypadku \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znaczy, że wektor promienia da trzy pełne obroty i zatrzyma się na pozycji \(-60()^\circ \) lub \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o \(360()^\circ \cdot m \) lub \(2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą ), odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt \(\beta =-60()^\circ \) . Ten sam obraz odpowiada narożnikowi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru \(\beta +360()^\circ \cdot m\) lub \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(tablica) \)

Teraz znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego spróbuj odpowiedzieć jakie to są wartości:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:

Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(tablica)\)

Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: róg do środka \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odpowiada punktowi o współrzędnych \(\left(0;1 \right) \) , zatem:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nie istnieje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalej, kierując się tą samą logiką, dowiadujemy się, że rogi w \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odpowiadają punktom o współrzędnych \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \prawo) \) odpowiednio. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednie punkty. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

\(\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)

\(\ Displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nie istnieje

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nie istnieje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nie istnieje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nie istnieje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:

Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Musisz o tym pamiętać lub potrafić to wyświetlić!! \) !}

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) podane w poniższej tabeli, należy pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość prostego zapamiętywania odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusów dla wszystkich trzech miar kąta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), a także wartość tangensa kąta w \(30()^\circ \) . Znając te \(4\) wartości odtworzenie całej tabeli jest dość proste - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tablica) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Licznik „\(1 \)” będzie odpowiadał \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a mianownik „\(\sqrt(\text(3)) \)” będzie odpowiadał \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać tylko \(4\) wartości z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu? Oczywiście, że możesz! Wyciągnijmy to ogólna formuła znaleźć współrzędne punktu. Na przykład oto okrąg przed nami:

Dano nam ten punkt \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- środek okręgu. Promień okręgu wynosi \(1,5\) . Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu \(P\) uzyskanych przez obrót punktu \(O\) o \(\delta \) stopni.

Jak widać z rysunku, współrzędna \(x\) punktu \(P\) odpowiada długości odcinka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Długość odcinka \(UK\) odpowiada współrzędnej \(x\) środka okręgu, czyli jest równa \(3\) . Długość odcinka \(KQ\) można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Następnie mamy to dla punktu \(P\) współrzędnej \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Stosując tę samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu \(P\) . Zatem,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Więc w ogólna perspektywa współrzędne punktów wyznaczają wzory:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tablica) \), Gdzie

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - współrzędne środka okręgu,

\(r\) - promień okręgu,

\(\delta \) - kąt obrotu promienia wektora.

Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!

W tym artykule pokażemy, jak dawać definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta i liczby w trygonometrii. Tutaj omówimy oznaczenia, podamy przykłady haseł i podamy ilustracje graficzne. Podsumowując, narysujmy paralelę pomiędzy definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trygonometrii i geometrii.

Nawigacja strony.

Definicja sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa

Zobaczmy, jak powstaje idea sinusa, cosinusa, stycznej i cotangens kurs szkolny matematyka. Na lekcjach geometrii podana jest definicja sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Później badana jest trygonometria, która mówi o sinusie, cosinusie, tangensie i cotangensie kąta obrotu i liczby. Przedstawmy wszystkie te definicje, podajmy przykłady i podajmy niezbędny komentarz.

Kąt ostry w trójkącie prostokątnym

Z kursu geometrii znamy definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Podaje się je jako stosunek boków trójkąta prostokątnego. Podajmy ich formuły.

Definicja.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej.

Definicja.

Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Definicja.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym– jest to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Definicja.

Cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym- jest to stosunek sąsiedniej strony do strony przeciwnej.

Wprowadzono tam również oznaczenia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu – odpowiednio sin, cos, tg i ctg.

Na przykład, jeśli ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym C, to sinus kąta ostrego A jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej BC do przeciwprostokątnej AB, czyli sin∠A=BC/AB.

Definicje te pozwalają obliczyć wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta ostrego ze znanych długości boków trójkąta prostokątnego, a także ze znane wartości znajdź długości pozostałych boków, korzystając z sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa i długości jednego z boków. Na przykład, gdybyśmy wiedzieli, że w trójkącie prostokątnym noga AC jest równa 3, a przeciwprostokątna AB jest równa 7, to moglibyśmy obliczyć wartość cosinusa kąta ostrego A z definicji: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Kąt obrotu

W trygonometrii zaczynają patrzeć na kąt szerzej – wprowadzają pojęcie kąta obrotu. Wielkość kąta obrotu, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczona do 0 do 90 stopni; kąt obrotu w stopniach (i radianach) można wyrazić dowolną liczbą rzeczywistą od -∞ do +∞.

W tym świetle definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa podano nie dla kąta ostrego, ale dla kąta o dowolnej wielkości - kąta obrotu. Są one dane poprzez współrzędne x i y punktu A 1, do którego dochodzi tzw. punkt początkowy A(1, 0) po jego obrocie o kąt α wokół punktu O - początek prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich i środek okręgu jednostkowego.

Definicja.

Sinus kąta obrotuα jest rzędną punktu A 1, czyli sinα=y.

Definicja.

Cosinus kąta obrotuα nazywa się odciętą punktu A 1, czyli cosα=x.

Definicja.

Tangens kąta obrotuα jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 do jego odciętej, czyli tanα=y/x.

Definicja.

Cotangens kąta obrotuα jest stosunkiem odciętej punktu A 1 do jego rzędnej, czyli ctgα=x/y.

Dla dowolnego kąta α definiuje się sinus i cosinus, ponieważ zawsze możemy wyznaczyć odciętą i rzędną punktu, co uzyskujemy obracając punkt początkowy o kąt α. Ale tangens i cotangens nie są zdefiniowane dla żadnego kąta. Styczna nie jest zdefiniowana dla kątów α, w których punkt początkowy przechodzi do punktu o zerowej odciętej (0, 1) lub (0, −1), a ma to miejsce przy kątach 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Rzeczywiście, przy takich kątach obrotu wyrażenie tgα=y/x nie ma sensu, gdyż zawiera dzielenie przez zero. Cotangens nie jest zdefiniowany dla kątów α, w których punkt początkowy przechodzi do punktu o rzędnej zerowej (1, 0) lub (−1, 0), a ma to miejsce dla kątów 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Zatem sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów obrotu, tangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), a cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem 180°·k , k∈Z (π·k rad).

Definicje obejmują znane nam już oznaczenia sin, cos, tg i ctg, służą także do oznaczania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta obrotu (czasami można spotkać oznaczenia tan i cot odpowiadające tangensowi i cotangensowi) . Zatem sinus kąta obrotu 30 stopni można zapisać jako sin30°, wpisy tg(−24°17′) i ctgα odpowiadają tangensowi kąta obrotu −24 stopnie 17 minut i kotangensowi kąta obrotu α . Przypomnijmy, że zapisując radianową miarę kąta, często pomija się oznaczenie „rad”. Na przykład cosinus kąta obrotu wynoszącego trzy pi rad jest zwykle oznaczany jako cos3·π.

Podsumowując tę kwestię, warto zauważyć, że mówiąc o sinusie, cosinusie, tangensie i cotangensie kąta obrotu, często pomija się wyrażenie „kąt obrotu” lub słowo „obrót”. Oznacza to, że zamiast wyrażenia „sinus kąta obrotu alfa” zwykle używa się wyrażenia „sinus kąta alfa” lub nawet krócej „sinus alfa”. To samo dotyczy cosinusa, tangensa i kotangensa.

Powiemy również, że definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym są zgodne z podanymi właśnie definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu w zakresie od 0 do 90 stopni. Uzasadnimy to.

Liczby

Definicja.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t to liczba równy sinusowi, cosinus, tangens i cotangens kąta obrotu w t radianach.

Na przykład cosinus liczby 8 π z definicji jest liczbą równy cosinusowi kąt 8·π rad. A cosinus kąta 8·π rad jest równy jeden, zatem cosinus liczby 8·π jest równy 1.

Istnieje inne podejście do wyznaczania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu liczby. Polega ona na tym, że każda liczba rzeczywista t jest powiązana z punktem na okręgu jednostkowym mającym na początku środek układ prostokątny współrzędne oraz sinus, cosinus, tangens i cotangens są określane poprzez współrzędne tego punktu. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Pokażmy, jak ustalana jest zgodność między liczbami rzeczywistymi a punktami na okręgu:

numerowi 0 przypisany jest punkt początkowy A(1, 0);
Liczba dodatnia t jest związane z punktem okręgu jednostkowego, do którego dotrzemy, jeśli będziemy poruszać się po okręgu od punktu początkowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara oraz pójdźmy ścieżką długość t;
Liczba ujemna t jest powiązany z punktem okręgu jednostkowego, do którego dotrzemy, jeśli będziemy poruszać się po okręgu od punktu początkowego w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przejdziemy drogę o długości |t| .

Przejdźmy teraz do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby t. Załóżmy, że liczba t odpowiada punktowi na okręgu A 1 (x, y) (przykładowo liczba &pi/2; odpowiada punktowi A 1 (0, 1)).

Definicja.

Sinus liczby t jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t, czyli sint=y.

Definicja.

Cosinus liczby t nazywa się odciętą punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t, czyli kosztowi=x.

Definicja.

Tangens liczby t jest stosunkiem rzędnej do odciętej punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t, czyli tgt=y/x. W innym równoważnym sformułowaniu tangens liczby t jest stosunkiem sinusa tej liczby do cosinusa, czyli tgt=sint/koszt.

Definicja.

Cotangens liczby t jest stosunkiem odciętej do rzędnej punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t, czyli ctgt=x/y. Inne sformułowanie jest następujące: tangens liczby t jest stosunkiem cosinusa liczby t do sinusa liczby t: ctgt=koszt/sint.

Zauważmy tutaj, że podane właśnie definicje są zgodne z definicją podaną na początku tego akapitu. Rzeczywiście, punkt na okręgu jednostkowym odpowiadający liczbie t pokrywa się z punktem uzyskanym przez obrót punktu początkowego o kąt t radianów.

Warto jeszcze wyjaśnić tę kwestię. Powiedzmy, że mamy wpis sin3. Jak możemy zrozumieć, czy mówimy o sinusie liczby 3, czy o sinusie kąta obrotu 3 radianów? Zwykle wynika to jasno z kontekstu, np W przeciwnym razie najprawdopodobniej nie ma to zasadniczego znaczenia.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i numerycznego

Według danych w poprzedni akapit definicji, każdy kąt obrotu α odpowiada dobrze określonemu wartość grzechuα, podobnie jak wartość cosα. Dodatkowo wszystkie kąty obrotu inne niż 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) odpowiadają wartościom tgα, a wartościom innym niż 180°k, k∈Z (πk rad ) – wartościom ctgα. Zatem sinα, cosα, tanα i ctgα są funkcjami kąta α. Innymi słowy, są to funkcje argumentu kątowego.

Podobnie możemy mówić o funkcjach sinus, cosinus, tangens i cotangens argumentu liczbowego. Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista t odpowiada bardzo określonej wartości sint, a także kosztowi. Dodatkowo wszystkie liczby inne niż π/2+π·k, k∈Z odpowiadają wartościom tgt, a liczby π·k, k∈Z – wartościom ctgt.

Nazywa się funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens podstawowe funkcje trygonometryczne.

Zwykle z kontekstu jasno wynika, czy mamy do czynienia z funkcjami trygonometrycznymi argumentu kątowego, czy argumentu liczbowego. W przeciwnym razie możemy myśleć o zmiennej niezależnej zarówno jako o mierze kąta (argument kątowy), jak i jako o argumencie numerycznym.

Jednak w szkole głównie się uczą funkcje numeryczne, czyli funkcje, których argumenty, podobnie jak odpowiadające im wartości funkcji, są liczbami. Dlatego jeśli mówimy konkretnie o funkcjach, wskazane jest rozważenie funkcji trygonometrycznych jako funkcji argumentów numerycznych.

Związek pomiędzy definicjami z geometrii i trygonometrii

Jeśli weźmiemy pod uwagę kąt obrotu α w zakresie od 0 do 90 stopni, to definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu w kontekście trygonometrii są w pełni zgodne z definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąt ostry w trójkącie prostokątnym, które są podawane na kursie geometrii. Uzasadnijmy to.

Przedstawmy okrąg jednostkowy w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy. Zaznaczmy punkt początkowy A(1, 0) . Obróćmy go o kąt α w zakresie od 0 do 90 stopni, otrzymamy punkt A 1 (x, y). Upuśćmy prostopadłą A 1 H z punktu A 1 do osi Wółu.

Łatwo zauważyć, że w trójkącie prostokątnym kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość nogi OH przylegającej do tego kąta jest równa odciętej punktu A 1, czyli |OH |=x, długość ramienia A 1 H naprzeciwko kąta jest równa rzędnej punktu A 1, czyli |A 1 H|=y, a długość przeciwprostokątnej OA 1 jest równa jedności, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego. Następnie, z definicji z geometrii, sinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym A 1 OH jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej, czyli sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. I z definicji z trygonometrii sinus kąta obrotu α jest równy rzędnej punktu A 1, czyli sinα=y. To pokazuje, że wyznaczenie sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równoznaczne z wyznaczeniem sinusa kąta obrotu α, gdy α wynosi od 0 do 90 stopni.

Podobnie można wykazać, że definicje cosinusa, tangensa i cotangensu kąta ostrego α są zgodne z definicjami cosinusa, tangensa i cotangensu kąta obrotu α.

Bibliografia.

Geometria. 7-9 klas: podręcznik dla edukacji ogólnej instytucje / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzow, S. B. Kadomcew i in.]. - wyd. 20. M.: Edukacja, 2010. - 384 s.: il. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A.V. Geometria: podręcznik. dla klas 7-9. ogólne wykształcenie instytucje / A. V. Pogorelov. - wyd. 2 - M.: Edukacja, 2001. - 224 s.: il. - ISBN 5-09-010803-X.
Algebra i funkcje elementarne : Instruktaż dla uczniów klasy 9 Liceum/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Pod redakcją doktora nauk fizycznych i matematycznych O. N. Golovina - wyd. 4. M.: Edukacja, 1969.
Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy. klasa 10. O 14:00 Część 1: poradnik dla instytucje edukacyjne (poziom profilu)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 4, dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: il. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra i zaczął Analiza matematyczna. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - I.: Edukacja, 2010. - 368 s.: il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.