Reprezentacja macierzowa układu równań różniczkowych zwyczajnych (SODE) o stałych współczynnikach

Liniowy jednorodny SODE ze stałymi współczynnikami $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

gdzie $y_(1)\lewo(x\prawo),\; y_(2)\lewo(x\prawo),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- wymagane funkcje zmiennej niezależnej $x$, współczynniki $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- podane liczby rzeczywiste przedstawiamy w zapisie macierzowym:

1. macierz wymaganych funkcji $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. macierz rozwiązań pochodnych $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. Macierz współczynników SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Teraz, w oparciu o zasadę mnożenia macierzy, tę SODE można zapisać w postaci równania macierzowego $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Ogólna metoda rozwiązywania SODE ze stałymi współczynnikami

Niech będzie macierz kilku liczb $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alfa _ (n) ) \end(tablica)\right)$.

Rozwiązanie SODE można znaleźć w następującej postaci: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. W formie macierzowej: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alfa _(n) ) \end(array)\right)$.

Stąd otrzymujemy:

Teraz równanie macierzowe tego SODE można zapisać w postaci:

Wynikowe równanie można przedstawić w następujący sposób:

Ostatnia równość pokazuje, że wektor $\alpha $ zostaje przekształcony za pomocą macierzy $A$ w wektor równoległy $k\cdot \alpha $. Oznacza to, że wektor $\alfa $ jest wektorem własnym macierzy $A$ odpowiadającym wartości własnej $k$.

Liczbę $k$ można wyznaczyć z równania $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

To równanie nazywa się charakterystyką.

Niech wszystkie pierwiastki $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ równania charakterystycznego będą różne. Dla każdej wartości $k_(i) $ z systemu $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ macierz wartości ​​można zdefiniować $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Jedna z wartości w tej macierzy jest wybierana losowo.

Ostatecznie rozwiązanie tego układu w postaci macierzowej zapisuje się w następujący sposób:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(tablica)\right)$,

gdzie $C_(i) $ są dowolnymi stałymi.

Zadanie

Rozwiąż układ DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

Zapisujemy macierz systemową: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

W postaci macierzowej ten SODE jest zapisywany w następujący sposób: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (tablica)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( tablica)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(tablica)\right)$.

Otrzymujemy równanie charakterystyczne:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, czyli $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Pierwiastkami równania charakterystycznego są: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Stwórzmy system do obliczania $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ prawo)) ) \end(array)\right)$ dla $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (tablica)\prawo)=0,\]

to znaczy $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.

Wstawiając $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, otrzymujemy $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Stwórzmy system do obliczania $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ prawo)) ) \end(array)\right)$ dla $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (tablica)\right)=0, \]

to znaczy $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.

Wstawiając $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, otrzymujemy $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Rozwiązanie SODE otrzymujemy w postaci macierzowej:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(tablica)\right)\cdot \left(\begin(tablica)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

W zwykłej formie rozwiązanie SODE ma postać: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(tablica)\right.$.

Za oknem parno, leci puch topoli i taka pogoda sprzyja wypoczynkowi. W ciągu roku szkolnego każdemu kumuluje się zmęczenie, ale oczekiwanie na wakacje/wakacje powinno zainspirować Cię do pomyślnego zdania egzaminów i testów. Swoją drogą, nauczyciele też są nudni w sezonie, więc niedługo i ja znajdę chwilę, żeby rozładować umysł. A teraz kawa, rytmiczne buczenie jednostki systemowej, kilka martwych komarów na parapecie i stan w pełni sprawny... ...o cholera... pieprzony poeta.

Do momentu. Kogo to obchodzi, ale dla mnie dzisiaj jest 1 czerwca i przyjrzymy się innemu typowemu problemowi złożonej analizy - znajdowanie konkretnego rozwiązania układu równań różniczkowych metodą rachunku operacyjnego. Co musisz wiedzieć i umieć, aby dowiedzieć się, jak go rozwiązać? Przede wszystkim, wysoce zalecane zapoznaj się z lekcją. Proszę przeczytać część wprowadzającą, zrozumieć ogólne sformułowanie tematu, terminologię, notację i co najmniej dwa lub trzy przykłady. Faktem jest, że z systemami dyfuzorów wszystko będzie prawie takie samo, a nawet prostsze!

Oczywiście musisz zrozumieć, co to jest układ równań różniczkowych, co oznacza znalezienie rozwiązania ogólnego układu i rozwiązania szczegółowego układu.

Przypomnę, że układ równań różniczkowych można rozwiązać w „tradycyjny” sposób: poprzez eliminację Lub za pomocą równania charakterystycznego. Metoda rachunku operacyjnego, która zostanie omówiona, ma zastosowanie do systemu zdalnego sterowania, gdy zadanie zostanie sformułowane w następujący sposób:

Znajdź szczególne rozwiązanie jednorodnego układu równań różniczkowych , odpowiadające warunkom początkowym .

Alternatywnie system może być heterogeniczny - z „dodatkami” w postaci funkcji i po prawej stronie:

Ale w obu przypadkach należy zwrócić uwagę na dwa podstawowe punkty warunku:

1) Chodzi o to tylko o rozwiązaniu prywatnym.
2) W nawiasie warunki początkowe Czy ściśle zerowe, i nic więcej.

Ogólny przebieg i algorytm będą bardzo podobne rozwiązywanie równań różniczkowych metodą operacyjną. Z materiałów referencyjnych będziesz potrzebować tego samego tabela oryginałów i obrazów.

Przykład 1

, ,

Rozwiązanie: Początek jest banalny: użycie Tablice transformacji Laplace'a Przejdźmy od oryginałów do odpowiednich obrazów. W przypadku problemu z systemami zdalnego sterowania przejście to jest zwykle proste:

Korzystając ze wzorów tabelarycznych nr 1, 2, uwzględniając warunek początkowy, otrzymujemy:

Co zrobić z „grami”? Zmień mentalnie „X” w tabeli na „I”. Stosując te same przekształcenia nr 1, 2, biorąc pod uwagę warunek początkowy, znajdujemy:

Podstawmy znalezione obrazy do pierwotnego równania :

Teraz w lewych partiach trzeba zebrać równania Wszystko terminy, w których lub jest obecny. Do właściwych części równania muszą zostać „sformalizowane” Inny warunki:

Następnie po lewej stronie każdego równania przeprowadzamy nawias:

W takim przypadku na pierwszych pozycjach, a na drugich pozycjach należy umieścić:

Powstały układ równań z dwiema niewiadomymi jest zwykle rozwiązywany według wzorów Cramera. Obliczmy główny wyznacznik układu:

W wyniku obliczenia wyznacznika otrzymano wielomian.

Ważna technika! Ten wielomian jest lepszy Natychmiast spróbuj to uwzględnić. W tym celu należy spróbować rozwiązać równanie kwadratowe , ale wielu czytelników z wytrenowanym okiem drugiego roku zauważy to .

Zatem naszym głównym wyznacznikiem systemu jest:

Dalszy demontaż systemu, dzięki Kramerowi, jest standardem:

W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie operatorskie systemu:

Zaletą omawianego zadania jest to, że ułamki zwykle okazują się proste, a radzenie sobie z nimi jest znacznie łatwiejsze niż z ułamkami w zadaniach znalezienie konkretnego rozwiązania dla DE przy użyciu metody operacyjnej. Twoje przeczucie cię nie oszukało - stary dobry metoda niepewnych współczynników, za pomocą którego rozkładamy każdy ułamek na ułamki elementarne:

1) Zajmijmy się pierwszym ułamkiem:

Zatem:

2) Drugi ułamek rozkładamy według podobnego schematu, ale bardziej poprawne jest użycie innych stałych (nieokreślonych współczynników):

Zatem:

Radzę manekinom zapisać rozłożone rozwiązanie operatora w następującej formie:
- dzięki temu ostatni etap będzie jaśniejszy - odwrotna transformata Laplace'a.

Korzystając z prawej kolumny tabeli, przejdźmy od obrazów do odpowiednich oryginałów:

Zgodnie z zasadami dobrych manier matematycznych uporządkujemy trochę wynik:

Odpowiedź:

Odpowiedź sprawdzana jest według standardowego schematu, który szczegółowo omówiono na lekcji. Jak rozwiązać układ równań różniczkowych? Zawsze staraj się go ukończyć, aby dodać duży plus do zadania.

Przykład 2

Korzystając z rachunku operacyjnego, znajdź szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych, które odpowiada zadanym warunkom początkowym.
, ,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przybliżona próbka ostatecznej postaci problemu i odpowiedzi na końcu lekcji.

Rozwiązanie niejednorodnego układu równań różniczkowych nie różni się algorytmicznie od tego, że technicznie będzie nieco bardziej skomplikowane:

Przykład 3

Korzystając z rachunku operacyjnego, znajdź szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych, które odpowiada zadanym warunkom początkowym.
, ,

Rozwiązanie: Korzystając z tablicy przekształceń Laplace'a, biorąc pod uwagę warunki początkowe , przejdźmy od oryginałów do odpowiednich obrazów:

Ale to nie wszystko, po prawej stronie równań znajdują się samotne stałe. Co zrobić w przypadkach, gdy stała jest zupełnie sama? Było to już omawiane na zajęciach. Jak rozwiązać DE metodą operacyjną. Powtórzmy: pojedyncze stałe należy w myślach pomnożyć przez jeden, a do jednostek zastosować transformację Laplace'a:

Zastąpmy znalezione obrazy oryginalnym systemem:

Przesuńmy terminy zawierające , w lewo, a pozostałe terminy umieść po prawej stronie:

W lewych stronach przeprowadzimy nawias, dodatkowo prawą stronę drugiego równania sprowadzimy do wspólnego mianownika:

Obliczmy główny wyznacznik systemu, nie zapominając, że wskazane jest natychmiastowe podjęcie próby rozkładu wyniku na czynniki:
co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Przejdźmy dalej:



Rozwiązaniem operatorskim układu jest więc:

Czasami można skrócić jeden lub oba ułamki, a czasami tak skutecznie, że nie trzeba nawet niczego rozszerzać! A tak na marginesie, w niektórych przypadkach od razu dostajesz gratis, poniższy przykład lekcji będzie przykładem orientacyjnym.

Stosując metodę współczynników nieokreślonych otrzymujemy sumy ułamków elementarnych.

Rozłóżmy pierwszy ułamek:

I osiągamy drugie:

W efekcie rozwiązanie operatorskie przybiera potrzebną nam postać:

Korzystanie z prawej kolumny tabele oryginałów i obrazów przeprowadzamy odwrotną transformatę Laplace'a:

Podstawmy otrzymane obrazy do rozwiązania operatorskiego układu:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Jak widać w systemie heterogenicznym konieczne jest przeprowadzenie bardziej pracochłonnych obliczeń w porównaniu z systemem jednorodnym. Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów z sinusami i cosinusami, i to wystarczy, ponieważ uwzględnione zostaną prawie wszystkie typy problemów i większość niuansów rozwiązania.

Przykład 4

Korzystając z metody rachunku operacyjnego, znaleźć szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych przy danych warunkach początkowych,

Rozwiązanie: Sam również przeanalizuję ten przykład, ale komentarze będą dotyczyć tylko wyjątkowych momentów. Zakładam, że jesteś już dobrze zaznajomiony z algorytmem rozwiązania.

Przejdźmy od oryginałów do odpowiednich obrazów:

Zamieńmy znalezione obrazy na oryginalny system zdalnego sterowania:

Rozwiążmy układ korzystając ze wzorów Cramera:
co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Powstałego wielomianu nie można rozłożyć na czynniki. Co zrobić w takich przypadkach? Absolutnie niczego. Ten też się nada.

W rezultacie rozwiązaniem operatorskim systemu jest:

Oto szczęśliwy bilet! Nie ma w ogóle potrzeby stosowania metody współczynników nieokreślonych! Tyle, że aby zastosować przekształcenia tabeli, przepisujemy rozwiązanie w następującej postaci:

Przejdźmy od obrazów do odpowiednich oryginałów:

Podstawmy otrzymane obrazy do rozwiązania operatorskiego układu:

O praktycznej wartości równań różniczkowych decyduje fakt, że za ich pomocą można ustalić powiązanie z podstawowymi prawami fizycznymi lub chemicznymi, a często z całą grupą zmiennych, które mają ogromne znaczenie w badaniu zagadnień technicznych.

Zastosowanie nawet najprostszego prawa fizycznego do procesu zachodzącego w zmiennych warunkach może prowadzić do bardzo złożonej zależności pomiędzy zmiennymi wielkościami.

Przy rozwiązywaniu problemów fizycznych i chemicznych prowadzących do równań różniczkowych ważne jest znalezienie całki ogólnej równania, a także określenie wartości stałych wchodzących w skład tej całki, tak aby rozwiązanie odpowiadało danemu problemowi.

Badanie procesów, w których wszystkie pożądane wielkości są funkcjami tylko jednej zmiennej niezależnej, prowadzi do zwykłych równań różniczkowych.

Procesy w stanie ustalonym mogą prowadzić do cząstkowych równań różniczkowych.

W większości przypadków rozwiązywanie równań różniczkowych nie prowadzi do znalezienia całek, do rozwiązania takich równań należy zastosować metody przybliżone.

Do rozwiązywania problemów kinetycznych wykorzystuje się układy równań różniczkowych.

Najpopularniejszą i uniwersalną metodą numeryczną rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych jest metoda różnic skończonych.

Równania różniczkowe zwyczajne służą do rozwiązywania problemów, w których konieczne jest znalezienie związku między zmiennymi zależnymi i niezależnymi w warunkach, gdy te ostatnie zmieniają się w sposób ciągły. Rozwiązanie problemu prowadzi do tak zwanych równań różnic skończonych.

Obszar ciągłej zmiany argumentu x jest zastępowany zbiorem punktów zwanych węzłami. Węzły te tworzą siatkę różnic. Wymaganą funkcję argumentu ciągłego zastępuje się w przybliżeniu funkcją argumentu na danej siatce. Funkcja ta nazywana jest funkcją siatki. Zastąpienie równania różniczkowego równaniem różnicowym nazywa się jego przybliżeniem na siatce. Zbiór równań różnicowych przybliżających pierwotne równanie różniczkowe i dodatkowe warunki początkowe nazywa się schematem różnicowym. Schemat różnicowy nazywa się stabilnym, jeśli niewielka zmiana danych wejściowych odpowiada małej zmianie rozwiązania. Schemat różnicowy nazywamy poprawnym, jeśli istnieje jego rozwiązanie i jest unikalny dla dowolnych danych wejściowych, a także jeśli schemat ten jest stabilny.

Rozwiązując problem Cauchy'ego, należy znaleźć funkcję y=y(x), która spełnia równanie:

oraz warunek początkowy: y = y 0 przy x = x 0.

Wprowadźmy ciąg punktów x 0, x 1, ... x n i kroków h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...). W każdym punkcie x i wprowadzane są liczby y i przybliżające dokładne rozwiązanie y. Po zastąpieniu pochodnej w pierwotnym równaniu relacją różnicy skończonej następuje przejście od problemu różniczkowego do problemu różnicowego:

y ja+1 = F(x ja , godz ja , y ja+1 , y ja , … y i-k+1),

gdzie i = 0, 1, 2…

Prowadzi to do metody różnic skończonych k-etapowych. W metodach jednoetapowych do obliczenia y i +1 w poprzednim kroku wykorzystuje się tylko jedną znalezioną wcześniej wartość y i, w metodach wieloetapowych stosuje się kilka.

Najprostszą jednoetapową metodą numeryczną rozwiązywania problemu Cauchy'ego jest metoda Eulera.

y i+1 = y ja + godz f(x ja, y i).

Schemat ten jest schematem różnicowym pierwszego rzędu dokładności.

Jeżeli w równaniu y " =f(x,y) prawą stronę zastąpimy średnią arytmetyczną pomiędzy f(x i,y i) a f(x i+1,y i+1), tj. , wówczas otrzymujemy ukryty schemat różnicowy metody Eulera:

,

charakteryzujący się dokładnością drugiego rzędu.

Zastępując w tym równaniu y i+1 przez y i +h f(x i, y i), schemat przechodzi do metody Eulera z przeliczeniem, która również ma drugi rząd:

Wśród schematów różnicowych o wyższym rzędzie dokładności powszechny jest schemat metody Runge-Kutty czwartego rzędu:

y ja +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), ja = 0, 1, ...

do 1 = f(x ja , y ja)

do 2 = f(x ja + , y ja + )

do 3 = f(x ja + , y ja + )

k 4 = f(x ja + h, y ja + k 3).

Aby zwiększyć dokładność rozwiązania numerycznego bez znacznego wydłużania czasu pracy komputera, stosuje się metodę Runge'a. Jego istotą jest przeprowadzanie powtarzalnych obliczeń przy użyciu tego samego schematu różnicowego z różnymi krokami.

Udoskonalone rozwiązanie konstruuje się na podstawie serii obliczeń. Jeśli zostaną przeprowadzone dwie serie obliczeń zgodnie ze schematem zamówienia Do odpowiednio z krokami h i h/2 oraz otrzymuje się wartości funkcji siatki y h i y h /2, wówczas doprecyzowaną wartość funkcji siatki w węzłach siatki z krokiem h oblicza się ze wzoru:

.

Przybliżone obliczenia

W obliczeniach fizycznych i chemicznych rzadko jest konieczne stosowanie technik i wzorów dających dokładne rozwiązania. W większości przypadków metody rozwiązywania równań prowadzące do dokładnych wyników są albo bardzo złożone, albo nie istnieją. Zwykle stosuje się metody przybliżonego rozwiązywania problemów.

Przy rozwiązywaniu problemów fizykochemicznych związanych z kinetyką chemiczną i przetwarzaniem danych eksperymentalnych często pojawia się potrzeba rozwiązania różnych równań. Dokładne rozwiązanie niektórych równań stwarza w niektórych przypadkach duże trudności. W takich przypadkach można zastosować metody rozwiązań przybliżonych, uzyskując wyniki z dokładnością spełniającą zadanie. Metod jest kilka: metoda styczna (metoda Newtona), metoda interpolacji liniowej, metoda powtarzania (iteracja) itp.

Niech będzie równanie f(x)=0, a f(x) będzie funkcją ciągłą. Załóżmy, że można tak dobrać wartości a i b, że f(a) i f(b) mają różne znaki, np. f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Graficzne znajdowanie pierwiastków równania. Aby rozwiązać równania wyższych stopni, wygodnie jest zastosować metodę graficzną. Niech będzie dane równanie:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

gdzie a, b, …, p, q są danymi liczbowymi.

Z geometrycznego punktu widzenia równanie

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

reprezentuje pewien rodzaj krzywej. Możesz znaleźć dowolną liczbę jego punktów, obliczając wartości y odpowiadające dowolnym wartościom x. Każdy punkt przecięcia krzywej z osią OX daje wartość jednego z pierwiastków tego równania. Zatem znalezienie pierwiastków równania sprowadza się do wyznaczenia punktów przecięcia odpowiedniej krzywej z osią OX.

Metoda iteracyjna. Metoda ta polega na przekształceniu do rozwiązania równania f(x)=0 na nowe równanie x=j(x) i mając pierwsze przybliżenie x 1, sukcesywnie znajdować dokładniejsze przybliżenia x 2 =j(x 1), x 3 = j(x 2) itd. Rozwiązanie można otrzymać z dowolną dokładnością pod warunkiem, że w przedziale pomiędzy pierwszym przybliżeniem a pierwiastkiem równania |j"(x)|<1.

Do rozwiązania jednego równania nieliniowego stosuje się następujące metody:

a) metoda półdzielenia:

Przedział izolacji pierwiastka rzeczywistego można zawsze zmniejszyć, dzieląc go np. na pół i określając, na granicach której części pierwotnego przedziału funkcja f(x) zmienia znak. Następnie powstały przedział jest ponownie dzielony na dwie części itp. Proces ten trwa do momentu, w którym miejsca dziesiętne zapisane w odpowiedzi przestaną się zmieniać.

Wybieramy przedział, w którym zawarte jest rozwiązanie. Obliczamy f(a) i f(b), jeśli f(a) > 0 i f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 i f(c) > 0, wówczas a = c i b = b. W przeciwnym razie, jeśli f(a)< 0 и f(c) >0 lub f(a) > 0 i f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) metoda styczna (metoda Newtona):

Niech pierwiastek rzeczywisty równania f(x) = 0 zostanie wyodrębniony na odcinku . Weźmy liczbę x 0 na odcinku, dla którego f (x 0) ma ten sam znak co f ’ (x 0). Narysujmy styczną do krzywej y = f(x) w punkcie M 0. Jako przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy odciętą punktu przecięcia tej stycznej z osią Wołu. Tę przybliżoną wartość pierwiastka można znaleźć za pomocą wzoru

Stosując tę ​​technikę po raz drugi w punkcie M 1, otrzymujemy

itp. Otrzymany w ten sposób ciąg x0, x1, x2,... ma żądany pierwiastek jako granicę. Ogólnie można to zapisać w następujący sposób:

.

Do rozwiązywania liniowych układów równań algebraicznych stosuje się iteracyjną metodę Gaussa-Seidela. Takie problemy technologii chemicznej, jak obliczanie bilansów materiałowych i cieplnych, sprowadzają się do rozwiązywania układów równań liniowych.

Istota metody polega na tym, że poprzez proste przekształcenia wyraża się odpowiednio niewiadome x 1, x 2, ..., x n z równań 1.2, ..., n. Ustaw początkowe przybliżenia niewiadomych x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0), podstaw te wartości po prawej stronie wyrażenia x 1 i oblicz x 1 (1). Następnie podstaw x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) po prawej stronie wyrażenia x 2 i znajdź x 2 (1) itd. Po obliczeniu x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) przeprowadza się drugą iterację. Proces iteracyjny jest kontynuowany aż wartości x 1 (k), x 2 (k), ... zbliżą się, z danym błędem, do wartości x 1 (k-1), x 2 (k -2), ....

Takie problemy technologii chemicznej, jak obliczanie równowagi chemicznej itp. Sprowadzają się do rozwiązywania układów równań nieliniowych. Metody iteracyjne stosuje się także do rozwiązywania układów równań nieliniowych. Obliczanie równowagi zespolonej sprowadza się do rozwiązywania układów nieliniowych równań algebraicznych.

Algorytm rozwiązywania układu prostą metodą iteracyjną przypomina metodę Gaussa–Seidela stosowaną do rozwiązywania układów liniowych.

Metoda Newtona charakteryzuje się szybszą zbieżnością niż prosta metoda iteracyjna. Opiera się ona na wykorzystaniu rozwinięcia funkcji F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) w szereg Taylora. W takim przypadku terminy zawierające drugie pochodne są odrzucane.

Niech przybliżone wartości niewiadomych systemowych otrzymanych w poprzedniej iteracji będą równe a 1, a 2, ...an. Zadanie polega na znalezieniu przyrostów tych wartości Δx 1, Δx 2, ... Δx n, dzięki czemu otrzymane zostaną nowe wartości niewiadomych:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = za n + Δx n.

Rozwińmy lewą stronę równań w szereg Taylora, ograniczając się do wyrazów liniowych:

Ponieważ lewa strona równań musi być równa zero, prawą stronę przyrównujemy do zera. Otrzymujemy układ liniowych równań algebraicznych dla przyrostów Δx.

Wartości F 1, F 2, … F n i ich pochodne cząstkowe oblicza się przy x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n.

Zapiszmy ten układ w postaci macierzy:

Wyznacznik macierzy G tej postaci nazywa się jakobianem. Wyznacznik takiej macierzy nazywa się jakobianem. Aby istniało unikalne rozwiązanie systemu, musi ono być niezerowe w każdej iteracji.

Zatem rozwiązanie układu równań metodą Newtona polega na wyznaczeniu macierzy Jakobianu (pochodnych cząstkowych) w każdej iteracji i wyznaczeniu przyrostów Δх 1, Δх 2, ... Δх n do wartości niewiadomych w każdej iteracji przez rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych.

Aby wyeliminować potrzebę znajdowania macierzy Jacobiego w każdej iteracji, zaproponowano ulepszoną metodę Newtona. Metoda ta pozwala skorygować macierz Jakobiana za pomocą wartości F 1 , F 2 , ... , F n uzyskanych w poprzednich iteracjach.

Jak rozwiązać układ równań różniczkowych?

Zakłada się, że czytelnik jest już całkiem dobry w rozwiązywaniu równań różniczkowych jednorodne równania drugiego rzędu I niejednorodne równania drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. W układach równań różniczkowych nie ma nic skomplikowanego, a jeśli znasz powyższe typy równań, opanowanie układów nie będzie trudne.

Istnieją dwa główne typy układów równań różniczkowych:

– Liniowe jednorodne układy równań różniczkowych
– Liniowe niejednorodne układy równań różniczkowych

Oraz dwa główne sposoby rozwiązania układu równań różniczkowych:

– Metoda eliminacji. Istota metody polega na tym, że podczas rozwiązania układ równań różniczkowych sprowadza się do jednego równania różniczkowego.

– Stosowanie równania charakterystycznego(tzw. metoda Eulera).

W zdecydowanej większości przypadków układ równań różniczkowych należy rozwiązać pierwszą metodą. Druga metoda jest znacznie mniej powszechna w sytuacjach problemowych, w całej mojej praktyce rozwiązałem za jej pomocą najwyżej 10-20 systemów. Ale omówimy to również krótko w ostatnim akapicie tego artykułu.

Od razu przepraszam za teoretyczną niekompletność materiału, ale w lekcji uwzględniłem tylko te zadania, które faktycznie można spotkać w praktyce. Jest mało prawdopodobne, że znajdziesz tu coś, co spada w deszczu meteorytów raz na pięć lat, a przy tak nieoczekiwanych niespodziankach warto sięgnąć po specjalistyczne klocki dyfuzorowe.

Liniowe jednorodne układy równań różniczkowych

Najprostszy jednorodny układ równań różniczkowych ma postać:

Właściwie prawie wszystkie praktyczne przykłady ograniczają się do takiego systemu =)

Co tam jest?

– są to liczby (współczynniki numeryczne). Najczęstsze liczby. W szczególności jeden, kilka lub nawet wszystkie współczynniki mogą wynosić zero. Ale takie prezenty są rzadko dawane, więc liczby najczęściej nie są równe zeru.

A to są nieznane funkcje. Zmienna, która działa jako zmienna niezależna, jest „jak X w zwykłym równaniu różniczkowym”.

I są pierwszymi pochodnymi nieznanych funkcji i odpowiednio.

Co to znaczy rozwiązać układ równań różniczkowych?

Oznacza to znalezienie taki funkcje i które spełniają zarówno pierwszy, jak i drugi równanie układu. Jak widać zasada jest bardzo podobna do konwencjonalnej układy równań liniowych. Tylko tam pierwiastkami są liczby, a tutaj są to funkcje.

Znaleziona odpowiedź jest zapisana w formularzu ogólne rozwiązanie układu równań różniczkowych:

W nawiasach klamrowych! Funkcje te znajdują się „w jednym wiązce”.

W przypadku systemu zdalnego sterowania można rozwiązać problem Cauchy'ego, czyli znaleźć konkretnego rozwiązania układu, spełniając podane warunki początkowe. Szczególne rozwiązanie układu zapisuje się także za pomocą nawiasów klamrowych.

System można przepisać bardziej zwięźle w następujący sposób:

Tradycyjnie jednak częściej spotykane jest rozwiązanie z pochodnymi zapisanymi w różniczkach, dlatego prosimy od razu zapoznać się z następującą notacją:
oraz – instrumenty pochodne pierwszego rzędu;
i są pochodnymi drugiego rzędu.

Przykład 1

Rozwiązać problem Cauchy'ego dla układu równań różniczkowych z warunkami początkowymi , .

Rozwiązanie: W problemach system najczęściej napotyka warunki początkowe, więc prawie wszystkie przykłady w tej lekcji będą dotyczyć problemu Cauchy'ego. Ale to nie jest ważne, ponieważ po drodze nadal trzeba będzie znaleźć ogólne rozwiązanie.

Rozwiążmy system poprzez eliminację. Przypomnę, że istotą metody jest sprowadzenie układu do jednego równania różniczkowego. Mam nadzieję, że dobrze rozwiążesz równania różniczkowe.

Algorytm rozwiązania jest standardowy:

1) Weź drugie równanie układu i wyrażamy z niego:

Będziemy potrzebować tego równania pod koniec rozwiązania i oznaczę je gwiazdką. W podręcznikach zdarza się, że natrafiają na 500 zapisów, po czym odsyłają: „według wzoru (253)…” i szukają tego wzoru gdzieś 50 stron wstecz. Ograniczę się do jednej oceny (*).

2) Zróżniczkuj po obu stronach powstałego równania:

W przypadku „obrysów” proces wygląda następująco:

Ważne jest, aby ta prosta kwestia była jasna; nie będę się nad nią dalej rozwodzić.

3) Zastąpmy i do pierwszego równania układu:

I dokonajmy maksymalnych uproszczeń:

Rezultatem jest najzwyklejsza rzecz jednorodne równanie drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. W przypadku „obrysów” zapisuje się to w następujący sposób: .

– otrzymuje się różne pierwiastki rzeczywiste, zatem:
.

Znaleziono jedną z funkcji, w połowie z tyłu.

Tak, proszę zwrócić uwagę, że otrzymaliśmy równanie charakterystyczne z „dobrym” dyskryminatorem, czyli nie pomyliliśmy niczego w podstawieniach i uproszczeniach.

4) Przejdźmy do funkcji. Aby to zrobić, bierzemy już znalezioną funkcję i znajdź jego pochodną. Rozróżniamy poprzez:

Zastąpmy i do równania (*):

Lub w skrócie:

5) Znaleziono obie funkcje, napiszmy rozwiązanie ogólne układu:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Otrzymaną odpowiedź można dość łatwo sprawdzić, weryfikacja przebiega w trzech krokach:

1) Sprawdź, czy rzeczywiście spełnione są warunki początkowe:

Obydwa warunki początkowe są spełnione.

2) Sprawdźmy, czy znaleziona odpowiedź spełnia pierwsze równanie układu.

Bierzemy funkcję z odpowiedzi i znajdź jego pochodną:

Zastąpmy , I do pierwszego równania układu:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​znaleziona odpowiedź spełnia pierwsze równanie układu.

3) Sprawdźmy, czy odpowiedź spełnia drugie równanie układu

Bierzemy funkcję z odpowiedzi i znajdujemy jej pochodną:

Zastąpmy , I do drugiego równania układu:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​znaleziona odpowiedź spełnia drugie równanie układu.

Kontrola zakończona. Co zostało sprawdzone? Spełnienie warunków początkowych zostało zweryfikowane. I co najważniejsze, wykazano fakt, że znaleziono konkretne rozwiązanie zadowala do każdego równanie układu pierwotnego .

Podobnie możesz sprawdzić rozwiązanie ogólne , sprawdzenie będzie jeszcze krótsze, gdyż nie ma potrzeby sprawdzania, czy spełnione są warunki początkowe.

Wróćmy teraz do rozwiązanego układu i zadajmy kilka pytań. Rozwiązanie zaczęło się w ten sposób: wzięliśmy drugie równanie układu i wyraziliśmy z niego . Czy można było wyrazić nie „X”, ale „Y”? Jeśli wyrazimy , to nic nam to nie da - w tym wyrażeniu po prawej stronie jest zarówno „y”, jak i „x”, więc nie będziemy mogli pozbyć się zmiennej i skrócić rozwiązanie układu do rozwiązania jednego równania różniczkowego.

Pytanie drugie. Czy można było zacząć rozwiązywać nie od drugiego, ale od pierwszego równania układu? Móc. Spójrzmy na pierwsze równanie układu: . Mamy w nim dwa „X” i jedno „Y”, dlatego konieczne jest ścisłe wyrażenie „Y” do „X”: . Dalej jest pierwsza pochodna: . Następnie należy zastąpić I do drugiego równania układu. Rozwiązanie będzie całkowicie równoważne, z tą różnicą, że najpierw znajdziemy funkcję, a potem .

I tylko dla drugiej metody będzie przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 2

Znajdź szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych, które spełnia podane warunki początkowe.

W przykładowym rozwiązaniu podanym na końcu lekcji wyrażone jest pierwsze równanie i od tego wyrażenia zaczyna się cały taniec. Spróbuj samodzielnie wykonać rozwiązanie lustrzane, punkt po punkcie, bez patrzenia na próbkę.

Można też pójść drogą z przykładu nr 1 – z drugiego równania ekspresem (zauważ, że należy wyrazić „x”). Ale ta metoda jest mniej racjonalna, ponieważ otrzymaliśmy ułamek, co nie jest do końca wygodne.

Liniowe niejednorodne układy równań różniczkowych

Prawie to samo, tylko rozwiązanie będzie nieco dłuższe.

Niejednorodny układ równań różniczkowych, z którym w większości przypadków można spotkać się w zadaniach, ma następującą postać:

W porównaniu do układu jednorodnego, do każdego równania dodawana jest dodatkowo pewna funkcja zależna od „te”. Funkcje mogą być stałymi (przynajmniej jedna z nich nie jest równa zero), wykładniczymi, sinusami, cosinusami itp.

Przykład 3

Znaleźć szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych liniowych odpowiadających zadanym warunkom początkowym

Rozwiązanie: Dany jest liniowy niejednorodny układ równań różniczkowych, stałe pełnią rolę „dodatków”. Używamy metoda eliminacji, natomiast sam algorytm rozwiązania zostaje całkowicie zachowany. Dla odmiany zacznę od pierwszego równania.

1) Z pierwszego równania układu wyrażamy:

To ważna rzecz, więc zaznaczę to jeszcze raz. Lepiej nie otwierać nawiasów, po co są dodatkowe ułamki?

I zauważmy jeszcze raz, że to „y” wyraża się z pierwszego równania – poprzez dwa „X” i stałą.

2) Rozróżnij po obu stronach:

Stała (trzy) zniknęła, ponieważ pochodna stałej jest równa zeru.

3) Zastąpmy I do drugiego równania układu :

Natychmiast po podstawieniu wskazane jest pozbycie się ułamków, w tym celu mnożymy każdą część równania przez 5:

Teraz dokonujemy uproszczeń:

Rezultat był liniowe niejednorodne równanie drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Jest to w istocie cała różnica w stosunku do rozwiązania jednorodnego układu równań omówionego w poprzednim akapicie.

Uwaga: Czasami jednak w układzie niejednorodnym można otrzymać równanie jednorodne.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego:

Ułóżmy i rozwiążmy równanie charakterystyczne:

– uzyskuje się sprzężone pierwiastki złożone, zatem:
.

Pierwiastki równania charakterystycznego znów okazały się „dobre”, co oznacza, że ​​jesteśmy na dobrej drodze.

Szukamy szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego w postaci .
Znajdźmy pierwszą i drugą pochodną:

Podstawmy lewą stronę niejednorodnego równania:

Zatem:

Należy zauważyć, że konkretne rozwiązanie można łatwo wybrać ustnie i całkiem dopuszczalne jest, aby zamiast długich obliczeń napisać: „Jest oczywiste, że szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego: ”.

W rezultacie:

4) Szukamy funkcji. Najpierw znajdujemy pochodną już znalezionej funkcji:

Nie jest to szczególnie przyjemne, ale takie pochodne często można znaleźć w dyfuzorach.

Burza trwa pełną parą, a teraz nadejdzie dziewiąta fala. Przywiąż się liną do pokładu.

Zastąpmy
i do równania (*):

5) Ogólne rozwiązanie układu:

6) Znajdź konkretne rozwiązanie odpowiadające warunkom początkowym :

Wreszcie rozwiązanie prywatne:

Widzisz, co za historia ze szczęśliwym zakończeniem, teraz możesz bez obaw pływać łódkami po spokojnym morzu w łagodnym słońcu.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Nawiasem mówiąc, jeśli zaczniesz rozwiązywać ten układ od drugiego równania, obliczenia będą znacznie prostsze (możesz spróbować), ale wielu odwiedzających witrynę prosiło o analizę trudniejszych rzeczy. Jak możesz odmówić? =) Niech będą poważniejsze przykłady.

Przykład łatwiejszy do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 4

Znajdź szczególne rozwiązanie liniowego niejednorodnego układu równań różniczkowych odpowiadającego danym warunkom początkowym

Rozwiązałem ten problem na przykładzie przykładu nr 1, czyli „x” wyraża się z drugiego równania. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

W rozpatrywanych przykładach nieprzypadkowo zastosowałem odmienne oznaczenia i zastosowałem odmienne rozwiązania. I tak np. pochodne w tym samym zadaniu zapisano na trzy sposoby: . W wyższej matematyce nie trzeba bać się wszelkiego rodzaju zawijasów, najważniejsze jest zrozumienie algorytmu rozwiązania.

Metoda równań charakterystycznych(metoda Eulera)

Jak zauważono na początku artykułu, przy użyciu równania charakterystycznego układ równań różniczkowych rzadko jest wymagany do rozwiązania, dlatego w ostatnim akapicie rozważę tylko jeden przykład.

Przykład 5

Biorąc pod uwagę liniowy jednorodny układ równań różniczkowych

Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań, korzystając z równania charakterystycznego

Rozwiązanie: Patrzymy na układ równań i tworzymy wyznacznik drugiego rzędu:

Myślę, że każdy widzi, na jakiej zasadzie został zestawiony wyznacznik.

Utwórzmy w tym celu równanie charakterystyczne dla każdej liczby, na której się znajduje główna przekątna, odejmij jakiś parametr:

Na czystym egzemplarzu należy oczywiście od razu zapisać równanie charakterystyczne, wyjaśniam szczegółowo, krok po kroku, żeby było jasne, skąd się bierze.

Rozwijamy wyznacznik:

I znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego:

Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, to ogólne rozwiązanie układu równań różniczkowych ma postać:

Znamy już współczynniki w wykładnikach, pozostaje tylko znaleźć współczynniki

1) Rozważ pierwiastek i podstaw go do równania charakterystycznego:

(nie musisz też zapisywać tych dwóch wyznaczników na czystej kartce, ale od razu stwórz ustnie poniższy układ)

Korzystając z liczb wyznacznika, układamy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

Z obu równań wynika ta sama równość:

Teraz musisz wybrać najmniej wartość, tak aby wartość była liczbą całkowitą. Oczywiście należy ustawić . A jeśli, to

Postanowiliśmy poświęcić ten rozdział rozwiązywaniu układów równań różniczkowych w najprostszej postaci d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, w którym a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - niektóre liczby rzeczywiste. Najskuteczniejszą metodą rozwiązywania takich układów równań jest metoda całkowania. Rozważymy również rozwiązanie przykładu na ten temat.

Rozwiązaniem układu równań różniczkowych będzie para funkcji x (t) i y (t), które mogą przekształcić oba równania układu w tożsamości.

Rozważmy metodę całkowania systemu DE d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 re y re t = a 2 x + b 2 y + c 2. Wyraźmy x z 2. równania układu, aby wyeliminować nieznaną funkcję x (t) z 1. równania:

re y re t = za 2 x + b 2 y + do 2 ⇒ x = 1 za 2 re y re t - b 2 y - do 2

Rozróżnijmy drugie równanie ze względu na T i rozwiąż równanie dla d x d t:

re 2 y re t 2 = za 2 re x re t + b 2 re y re t ⇒ re x re t = 1 za 2 re 2 y re t 2 - b 2 re y re t

Podstawmy teraz wynik poprzednich obliczeń do pierwszego równania układu:

re x re t = za 1 x + b 1 y + do 1 ⇒ 1 za 2 re 2 y re t 2 - b 2 re y re t = za 1 za 2 re y re t - b 2 y - do 2 + b 1 y + do 1 ⇔ re 2 y re t 2 - (za 1 + b 2) re y re t + (za 1 b 2 - za 2 b 1) y = za 2 do 1 - za 1 do 2

Wyeliminowaliśmy więc nieznaną funkcję x (t) i otrzymaliśmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Znajdźmy rozwiązanie tego równania y (t) i podstawmy je do drugiego równania układu. Znajdziemy x(t). Zakładamy, że to kończy rozwiązanie układu równań.

Przykład 1

Znajdź rozwiązanie układu równań różniczkowych d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Rozwiązanie

Zacznijmy od pierwszego równania układu. Rozwiążmy to względem x:

x = re y re t - 2 y + 3

Zróżniczkujmy teraz drugie równanie układu, po czym rozwiążemy je względem d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Wynik uzyskany podczas obliczeń możemy podstawić do 1. równania układu zdalnego sterowania:

re x re t = x - 1 re 2 y re t 2 - 2 re y re t = re y re t - 2 y + 3 - 1 re 2 y re t 2 - 3 re y re t + 2 y = 2

W wyniku przekształceń otrzymaliśmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe II rzędu o stałych współczynnikach d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Jeśli znajdziemy jego rozwiązanie ogólne, otrzymamy funkcję y(t).

Ogólne rozwiązanie odpowiedniego LOD y 0 możemy znaleźć, obliczając pierwiastki równania charakterystycznego k 2 - 3 k + 2 = 0:

re = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Korzenie, które uzyskaliśmy, są prawdziwe i wyraźne. W związku z tym ogólne rozwiązanie LODE będzie miało postać y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Znajdźmy teraz szczególne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego y ~:

re 2 y re t 2 - 3 re y re t + 2 y = 2

Prawa strona równania jest wielomianem stopnia zerowego. Oznacza to, że konkretnego rozwiązania będziemy szukać w postaci y ~ = A, gdzie A jest nieokreślonym współczynnikiem.

Nieokreślony współczynnik możemy wyznaczyć z równości d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
re 2 (A) re t 2 - 3 re (A) re t + 2 ZA = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ ZA = 1

Zatem y ~ = 1 i y (t) = y 0 + y ~ = do 1 · mi t + do 2 · mi 2 t + 1 . Znaleźliśmy jedną nieznaną funkcję.

Podstawmy teraz znalezioną funkcję do drugiego równania układu DE i rozwiążmy nowe równanie x(t):
re (C 1 mi t + do 2 mi 2 t + 1) re t = x + 2 (C 1 mi t + do 2 mi 2 t + 1) - 3 do 1 mi t + 2 do 2 mi 2 t = x + 2 do 1 · mi t + 2 do 2 · mi 2 t - 1 x = - do 1 · mi t + 1

Obliczyliśmy więc drugą nieznaną funkcję x (t) = - C 1 · e t + 1.

Odpowiedź: x (t) = - do 1 mi t + 1 y (t) = do 1 mi t + do 2 mi 2 t + 1

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter