Pochodna grzechu 22x. Pochodna sinusa: (sin x)′

W artykule przedstawiono dowód i wyprowadzenie wzoru na pochodną sinusa – sin(x). Przykłady obliczania pochodnych sinu 2x, sinusa do kwadratu i sześcianu. Wyprowadzenie wzoru na pochodną sinusa n-tego rzędu.

Treść

Zobacz też: Sinus i cosinus - właściwości, wykresy, wzory

Pochodna po zmiennej x z sinusa x jest równa cosinusowi x:
(sin x)′ = cos x.

Dowód

Aby wyprowadzić wzór na pochodną sinusa, skorzystamy z definicji pochodnej:
.

Aby znaleźć tę granicę, należy przekształcić wyrażenie w taki sposób, aby sprowadzić je do znanych praw, właściwości i reguł. Aby to zrobić, musimy znać cztery właściwości.
1) Znaczenie pierwszego niezwykłego limitu jest następujące:
(1) ;
2) Ciągłość funkcji cosinus:
(2) ;
3) Wzory trygonometryczne. Będziemy potrzebować następującej formuły:
(3) ;
4) Własności arytmetyczne granicy funkcji:
Jeśli i , to
(4) .

Zastosujmy te zasady do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne
.
W tym celu stosujemy formułę
(3) .
W naszym przypadku
; . Następnie
;
;
;
.

Teraz dokonajmy podstawienia. Na , . Zastosujmy pierwszą niezwykłą granicę (1):
.

Dokonajmy tego samego podstawienia i skorzystajmy z własności ciągłości (2):
.

Ponieważ istnieją obliczone powyżej granice, stosujemy własność (4):

.

Udowodniono wzór na pochodną sinusa.

Przykłady

Przyjrzyjmy się prostym przykładom znajdowania pochodnych funkcji zawierających sinus. Znajdziemy pochodne następujących funkcji:
y = grzech 2x; y = grzech 2x i y = grzech 3x.

Przykład 1

Znajdź pochodną grzech 2x.

Najpierw znajdźmy pochodną najprostszej części:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Stosujemy.
.
Tutaj .

(grzech 2x)′ = 2 sałata 2x.

Przykład 2

Znajdź pochodną sinusa do kwadratu:
y = grzech 2x.

Przepiszmy oryginalną funkcję w bardziej zrozumiałej formie:
.
Znajdźmy pochodną najprostszej części:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

.
Tutaj .

Możesz zastosować jeden ze wzorów trygonometrycznych. Następnie
.

Przykład 3

Znajdź pochodną sinusa do sześcianu:
y = grzech 3x.

Instrumenty pochodne wyższego rzędu

Należy pamiętać, że pochodna grzech x pierwszy rząd można wyrazić poprzez sinus w następujący sposób:
.

Znajdźmy pochodną drugiego rzędu, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej:

.
Tutaj .

Teraz możemy zauważyć to zróżnicowanie grzech x powoduje wzrost argumentu o . Wtedy pochodna n-tego rzędu ma postać:
(5) .

Udowodnimy to za pomocą metody indukcji matematycznej.

Sprawdziliśmy już, że dla , obowiązuje wzór (5).

Załóżmy, że wzór (5) obowiązuje dla pewnej wartości. Udowodnijmy, że wynika z tego, że wzór (5) jest spełniony dla .

Zapiszmy wzór (5) pod adresem:
.
Różniczkujemy to równanie korzystając z zasady różniczkowania funkcji zespolonej:

.
Tutaj .
Znaleźliśmy więc:
.
Jeżeli podstawimy , wówczas formuła ta przyjmie postać (5).

Formuła jest sprawdzona.

Zobacz też:

Dla wygody i przejrzystości podczas studiowania tematu przedstawiamy tabelę podsumowującą.

Stałyy = C Funkcja mocy y = x p (x p) " = p x p - 1	Funkcja wykładniczay = ax (a x) " = a x ln a W szczególności kiedya = mimamy y = mi x (np. x) " = np. x
Funkcja logarytmiczna (log a x) " = 1 x ln a W szczególności kiedya = mimamy y = log x (ln x) " = 1 x	Funkcje trygonometryczne (sin x) " = cos x (cos x) " = - grzech x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t sol x) " = - 1 grzech 2 x
Odwrotne funkcje trygonometryczne (a r do grzech x) " = 1 1 - x 2 (a r do cos x) " = - 1 1 - x 2 (za r do t sol x) " = 1 1 + x 2 (za r do do t sol x) " = - 1 1 + x 2	Funkcje hiperboliczne (s godz x) " = do godz x (c godz x) " = s godz x (t godz x) " = 1 do godz 2 x (c t godz x) " = - 1 s godz 2 x

Przeanalizujmy, w jaki sposób otrzymano wzory z podanej tabeli, czyli inaczej mówiąc, udowodnimy wyprowadzenie wzorów pochodnych dla każdego rodzaju funkcji.

Pochodna stałej

Dowód 1

Aby wyprowadzić ten wzór, przyjmujemy za podstawę definicję pochodnej funkcji w punkcie. Używamy x 0 = x, gdzie X przyjmuje wartość dowolnej liczby rzeczywistej, czyli innymi słowy X jest dowolną liczbą z dziedziny funkcji f (x) = C. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu jako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - do ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Należy pamiętać, że wyrażenie 0 ∆ x należy do znaku granicznego. Nie jest to niepewność „zero podzielone przez zero”, ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem pochodna funkcji stałej f (x) = C jest równa zero w całym obszarze definicji.

Przykład 1

Dane są funkcje stałe:

fa 1 (x) = 3, fa 2 (x) = a, za ∈ R, fa 3 (x) = 4. 13 7 22 , fa 4 (x) = 0 , fa 5 (x) = - 8 7

Rozwiązanie

Opiszmy podane warunki. W pierwszej funkcji widzimy pochodną liczby naturalnej 3. W poniższym przykładzie musisz wziąć pochodną A, Gdzie A- dowolna liczba rzeczywista. Trzeci przykład daje nam pochodną liczby niewymiernej 4. 13 7 22, czwarta jest pochodną zera (zero jest liczbą całkowitą). Wreszcie w piątym przypadku mamy pochodną ułamka wymiernego - 8 7.

Odpowiedź: pochodne danych funkcji wynoszą zero dla dowolnej liczby rzeczywistej X(na całym obszarze definicji)

fa 1 " (x) = (3) " = 0 , fa 2 " (x) = (a) " = 0 , za ∈ R , fa 3 " (x) = 4. 13 7 22 " = 0 , fa 4 " (x) = 0 " = 0 , fa 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Pochodna funkcji potęgowej

Przejdźmy do funkcji potęgowej i wzoru na jej pochodną, ​​który ma postać: (x p) " = p x p - 1, gdzie wykładnik P jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dowód 2

Oto dowód wzoru, gdy wykładnik jest liczbą naturalną: p = 1, 2, 3, …

Ponownie opieramy się na definicji instrumentu pochodnego. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, używamy wzoru dwumianu Newtona:

(x + ∆ x) p - x p = do p 0 + x p + do p 1 · x p - 1 · ∆ x + do p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + do p p - 1 x (∆ x) p - 1 + do p p (∆ x) p - x p = = do p 1 x p - 1 ∆ x + do p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Zatem:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + do p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + do p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + do p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( do p 1 x p - 1 + do p 2 x p - 2 ∆ x + . + do p p - 1 x (∆ x) p - 2 + do p p (∆ x) p - 1) = = do p 1 · x p - . 1 + 0 + .

W ten sposób udowodniliśmy wzór na pochodną funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Dowód 3

Aby dostarczyć dowód dla przypadku, gdy P- dowolną liczbę rzeczywistą różną od zera, stosujemy pochodną logarytmiczną (tutaj powinniśmy rozumieć różnicę od pochodnej funkcji logarytmicznej). Aby mieć pełniejsze zrozumienie, wskazane jest zbadanie pochodnej funkcji logarytmicznej i dodatkowo zrozumienie pochodnej funkcji ukrytej i pochodnej funkcji zespolonej.

Rozważmy dwa przypadki: kiedy X pozytywne i kiedy X negatywny.

Zatem x > 0. Wtedy: x p > 0 . Logarytmujemy równość y = x p do podstawy e i stosujemy własność logarytmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Na tym etapie otrzymaliśmy domyślnie określoną funkcję. Zdefiniujmy jego pochodną:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Rozważmy teraz przypadek, kiedy X - liczba ujemna.

Jeśli wskaźnik P jest liczbą parzystą, wówczas definiuje się funkcję potęgi dla x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Następnie x str< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jeśli P jest liczbą nieparzystą, wówczas funkcja potęgi jest zdefiniowana dla x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ostatnie przejście jest możliwe dzięki temu, że if P jest w takim razie liczbą nieparzystą p - 1 albo liczba parzysta, albo zero (dla p = 1), zatem dla wartości ujemnej X równość (- x) p - 1 = x p - 1 jest prawdziwa.

Udowodniliśmy więc wzór na pochodną funkcji potęgowej dla dowolnego rzeczywistego p.

Przykład 2

Podane funkcje:

fa 1 (x) = 1 x 2 3 , fa 2 (x) = x 2 - 1 4 , fa 3 (x) = 1 x log 7 12

Wyznacz ich pochodne.

Rozwiązanie

Część podanych funkcji przekształcamy do postaci tabelarycznej y = x p , bazując na własnościach stopnia, a następnie korzystamy ze wzoru:

fa 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ fa 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 fa 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Pochodna funkcji wykładniczej

Dowód 4

Wyprowadźmy wzór na pochodną, ​​opierając się na definicji:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Mamy niepewność. Aby ją rozwinąć, napiszmy nową zmienną z = a ∆ x - 1 (z → 0 jako ∆ x → 0). W tym przypadku a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Do ostatniego przejścia wykorzystano wzór na przejście na nową podstawę logarytmu.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Przypomnijmy sobie drugą niezwykłą granicę i wtedy otrzymamy wzór na pochodną funkcji wykładniczej:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Przykład 3

Dane są funkcje wykładnicze:

fa 1 (x) = 2 3 x , fa 2 (x) = 5 3 x , fa 3 (x) = 1 (e) x

Należy znaleźć ich pochodne.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej i własności logarytmu:

fa 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) fa 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 fa 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 mi x " = 1 mi x ln 1 mi = 1 mi x ln e - 1 = - 1 mi x

Pochodna funkcji logarytmicznej

Dowód 5

Przedstawmy dowód wzoru na pochodną funkcji logarytmicznej dla dowolnego X w dziedzinie definicji i wszelkich dopuszczalnych wartości podstawy logarytmu. Na podstawie definicji pochodnej otrzymujemy:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Ze wskazanego ciągu równości wynika, że ​​przekształcenia opierały się na własności logarytmu. Równość lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e jest prawdziwa zgodnie z drugą niezwykłą granicą.

Przykład 4

Dane są funkcje logarytmiczne:

fa 1 (x) = log ln 3 x , fa 2 (x) = ln x

Należy obliczyć ich pochodne.

Rozwiązanie

Zastosujmy otrzymany wzór:

fa 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; fa 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Zatem pochodna logarytmu naturalnego jest dzielona przez X.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Dowód 6

Użyjmy niektórych wzorów trygonometrycznych i pierwszej cudownej granicy, aby wyprowadzić wzór na pochodną funkcji trygonometrycznej.

Zgodnie z definicją pochodnej funkcji sinus otrzymujemy:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 grzech (x + ∆ x) - grzech x ∆ x

Wzór na różnicę sinusów pozwoli nam wykonać następujące czynności:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 grzech (x + ∆ x) - grzech x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 grzech x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2

Na koniec używamy pierwszego cudownego limitu:

grzech " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Zatem pochodna funkcji grzech x będzie bo x.

Udowodnimy również wzór na pochodną cosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 grzech x + ∆ x - x 2 grzech x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 grzech x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - grzech x + 0 2 lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2 = - grzech x

Te. pochodna funkcji cos x będzie wynosić – grzech x.

Wzory na pochodne stycznej i cotangens wyprowadzamy w oparciu o zasady różniczkowania:

t sol " x = grzech x cos x " = grzech " x · cos x - grzech x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - grzech x · (- grzech x) cos 2 x = grzech 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x do t sol " x = cos x grzech x " = cos " x · grzech x - cos x · grzech " x grzech 2 x = = - grzech x · grzech x - cos x · cos x grzech 2 x = - grzech 2 x + sałata 2 x grzech 2 x = - 1 grzech 2 x

Pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Sekcja dotycząca pochodnych funkcji odwrotnych dostarcza wyczerpujących informacji na temat dowodu wzorów na pochodne arcsinusa, arcuscosinusa, arcustangens i arccotangens, dlatego nie będziemy tutaj powielać materiału.

Pochodne funkcji hiperbolicznych

Dowód 7

Wzory na pochodne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu hiperbolicznego możemy wyprowadzić korzystając z reguły różniczkowania oraz wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

s godz " x = mi x - mi - x 2 " = 1 2 mi x " - e - x " = = 1 2 mi x - - e - x = mi x + mi - x 2 = do godz x do godz " x = mi x + e - x 2 " = 1 2 mi x " + mi - x " = = 1 2 mi x + - e - x = mi x - mi - x 2 = s godz x t godz " x = s godz x do godz x " = s godz " x · do godz x - s godz x · do godz " x do godz 2 x = do godz 2 x - s godz 2 x do godz 2 x = 1 do godz 2 x do t godz " x = do godz x s godz x " = do godz " x · s godz x - do godz x · s godz " x s godz 2 x = s godz 2 x - do godz 2 x s godz 2 x = - 1 s godz 2 x

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wyprowadzając pierwszy wzór tabeli, zaczniemy od definicji funkcji pochodnej w punkcie. Weźmy gdzie X– dowolna liczba rzeczywista, tj. X– dowolna liczba z dziedziny definicji funkcji. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu w punkcie:

Należy zauważyć, że pod znakiem granicznym uzyskuje się wyrażenie, które nie jest niepewnością zera podzieloną przez zero, ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem, pochodna funkcji stałejjest równa zeru w całym obszarze definicji.

Pochodna funkcji potęgowej.

Wzór na pochodną funkcji potęgowej ma postać , gdzie wykładnik P– dowolna liczba rzeczywista.

Najpierw udowodnijmy wzór na wykładnik naturalny, czyli na p = 1, 2, 3, …

Będziemy korzystać z definicji pochodnej. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, zwracamy się do wzoru dwumianu Newtona:

Stąd,

Dowodzi to wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla wykładnika naturalnego.

Pochodna funkcji wykładniczej.

Przedstawiamy wyprowadzenie wzoru na pochodną w oparciu o definicję:

Dotarliśmy do niepewności. Aby ją rozwinąć, wprowadzamy nową zmienną, a na . Następnie . W ostatnim przejściu wykorzystaliśmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmicznej.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

Jeśli przypomnimy sobie drugą niezwykłą granicę, dochodzimy do wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

Pochodna funkcji logarytmicznej.

Udowodnijmy dla wszystkich wzór na pochodną funkcji logarytmicznej X z dziedziny definicji i wszystkich ważnych wartości podstawy A logarytm Z definicji pochodnej mamy:

Jak zauważyłeś, w trakcie dowodu przekształcenia przeprowadzono wykorzystując własności logarytmu. Równość jest prawdziwe ze względu na drugą niezwykłą granicę.

Pochodne funkcji trygonometrycznych.

Aby wyprowadzić wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych, będziemy musieli przypomnieć sobie niektóre wzory trygonometryczne, a także pierwszą niezwykłą granicę.

Z definicji pochodnej funkcji sinus mamy .

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę sinusów:

Pozostaje przejść do pierwszego niezwykłego ograniczenia:

Zatem pochodna funkcji grzech x Jest bo x.

Wzór na pochodną cosinusa dowodzi się dokładnie w ten sam sposób.

Zatem pochodna funkcji bo x Jest –grzech x.

Wzory na tablicę pochodnych na tangens i cotangens wyprowadzimy korzystając ze sprawdzonych zasad różniczkowania (pochodna ułamka).

Pochodne funkcji hiperbolicznych.

Reguły różniczkowania oraz wzór na pochodną funkcji wykładniczej z tabeli pochodnych pozwalają nam wyprowadzić wzory na pochodne sinusa, cosinusa hiperbolicznego, tangensa i kotangensa.

Pochodna funkcji odwrotnej.

Aby uniknąć zamieszania podczas prezentacji, oznaczmy w indeksie dolnym argument funkcji, za pomocą której dokonuje się różniczkowania, czyli jest to pochodna funkcji k(x) Przez X.

Teraz sformułujmy zasada znajdowania pochodnej funkcji odwrotnej.

Niech funkcje y = f(x) I x = g(y) wzajemnie odwrotne, określone odpowiednio na przedziałach i. Jeśli w punkcie istnieje skończona niezerowa pochodna funkcji k(x), to w tym punkcie istnieje skończona pochodna funkcji odwrotnej g(y), I . W innym poście .

Zasadę tę można przeformułować dla dowolnego X z przedziału , to otrzymujemy .

Sprawdźmy zasadność tych formuł.

Znajdźmy funkcję odwrotną logarytmu naturalnego (Tutaj y jest funkcją oraz X- argument). Po rozwiązaniu tego równania dla X, otrzymujemy (tutaj X jest funkcją oraz y– jej argumentacja). To jest, i funkcje wzajemnie odwrotne.

Widzimy to z tabeli instrumentów pochodnych I .

Upewnijmy się, że wzory na znalezienie pochodnych funkcji odwrotnej prowadzą nas do tych samych wyników:

Jak widać otrzymaliśmy takie same wyniki jak w tabeli instrumentów pochodnych.

Teraz mamy wiedzę niezbędną do udowodnienia wzorów na pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Zacznijmy od pochodnej arcsinusa.

. Następnie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej otrzymujemy

Pozostaje tylko przeprowadzić przekształcenia.

Ponieważ zakres łuku sinusoidalnego jest przedziałem , To (patrz rozdział o podstawowych funkcjach elementarnych, ich własnościach i wykresach). Dlatego nie rozważamy tego.

Stąd, . Dziedziną definicji pochodnej arcsine jest przedział (-1; 1) .

W przypadku arc cosinusa wszystko odbywa się dokładnie w ten sam sposób:

Znajdźmy pochodną arcustangens.

Dla funkcji odwrotnej jest .

Wyraźmy arcustangens w postaci arcuscosinusa, aby uprościć otrzymane wyrażenie.

Pozwalać arctgx = z, Następnie

Stąd,

Pochodną cotangensu łuku wyznacza się w podobny sposób:

Pochodna

Obliczanie pochodnej funkcji matematycznej (różniczkowania) jest bardzo częstym problemem przy rozwiązywaniu matematyki wyższej. W przypadku prostych (elementarnych) funkcji matematycznych jest to dość prosta sprawa, gdyż tablice pochodnych funkcji elementarnych są już dawno opracowane i są łatwo dostępne. Jednak znalezienie pochodnej złożonej funkcji matematycznej nie jest zadaniem trywialnym i często wymaga znacznego wysiłku i czasu.

Znajdź instrument pochodny online

Dzięki naszemu serwisowi online pozbędziesz się bezsensownych, długich obliczeń i znajdź produkt pochodny w Internecie w jednej chwili. Ponadto, korzystając z naszej usługi znajdującej się na stronie internetowej www.strona, możesz obliczyć pochodna internetowa zarówno z funkcji elementarnej, jak i bardzo złożonej, która nie ma rozwiązania analitycznego. Główne zalety naszej witryny w porównaniu z innymi to: 1) nie ma ścisłych wymagań dotyczących metody wprowadzania funkcji matematycznej do obliczania pochodnej (na przykład wchodząc do funkcji sinus x można ją wprowadzić jako sin x lub sin (x) lub grzech[x] itp. d.); 2) obliczanie instrumentów pochodnych online następuje natychmiastowo w trybie online i absolutnie za darmo; 3) pozwalamy znaleźć pochodną funkcji jakiekolwiek zamówienie, zmiana rzędu pochodnej jest bardzo łatwa i zrozumiała; 4) umożliwiamy znalezienie w Internecie pochodnej niemal każdej funkcji matematycznej, nawet bardzo złożonej, której nie da się rozwiązać innymi usługami. Udzielona odpowiedź jest zawsze dokładna i nie może zawierać błędów.

Korzystanie z naszego serwera pozwoli Ci: 1) obliczyć dla Ciebie pochodną online, eliminując czasochłonne i żmudne obliczenia, podczas których mógłbyś popełnić błąd lub literówkę; 2) jeśli samodzielnie obliczysz pochodną funkcji matematycznej, dajemy Ci możliwość porównania uzyskanego wyniku z obliczeniami naszego serwisu i upewnienia się, że rozwiązanie jest prawidłowe lub znajdziemy błąd, który się wkradł; 3) skorzystaj z naszego serwisu zamiast korzystać z tablic pochodnych prostych funkcji, gdzie często znalezienie żądanej funkcji zajmuje dużo czasu.

Wszystko, czego się od ciebie wymaga, to znajdź produkt pochodny w Internecie- jest korzystanie z naszego serwisu