Zasada mnożenia dwóch liczb ujemnych. Zasady mnożenia liczb ujemnych

Zadanie 1. Punkt porusza się po linii prostej od lewej do prawej z prędkością 4 dm. na sekundę i na obecnie przechodzi przez punkt A. Gdzie będzie poruszający się punkt po 5 sekundach?

Nietrudno zgadnąć, że punkt będzie na poziomie 20 dm. na prawo od A. Zapiszmy rozwiązanie tego problemu w liczbach względnych. Aby to zrobić, zgadzamy się na następujące symbole:

1) prędkość w prawo będzie oznaczona znakiem +, a w lewo znakiem –, 2) odległość punktu poruszania się od A w prawo będzie oznaczona znakiem +, a w lewo znakiem znak –, 3) okres czasu po chwili obecnej znakiem + i przed chwilą obecną znakiem –. W naszym zadaniu podane są następujące liczby: prędkość = + 4 dm. na sekundę, czas = + 5 sekund i okazało się, jak obliczyliśmy arytmetycznie, liczbę + 20 dm., wyrażającą odległość poruszającego się punktu od A po 5 sekundach. Na podstawie znaczenia problemu widzimy, że dotyczy on mnożenia. Dlatego wygodnie jest napisać rozwiązanie problemu:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Zadanie 2. Punkt porusza się po linii prostej od lewej do prawej z prędkością 4 dm. na sekundę i obecnie przechodzi przez punkt A. Gdzie był ten punkt 5 sekund temu?

Odpowiedź jest jasna: punkt znajdował się na lewo od A w odległości 20 dm.

Rozwiązanie jest wygodne, zgodnie z warunkami dotyczącymi znaków i pamiętając, że znaczenie problemu się nie zmieniło, zapisz je w ten sposób:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Zadanie 3. Punkt porusza się po linii prostej od prawej do lewej z prędkością 4 dm. na sekundę i obecnie przechodzi przez punkt A. Gdzie będzie poruszający się punkt po 5 sekundach?

Odpowiedź jest jasna: 20 dm. na lewo od A. Zatem, zgodnie z tymi samymi warunkami dotyczącymi znaków, rozwiązanie tego problemu możemy zapisać w następujący sposób:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Zadanie 4. Punkt porusza się po linii prostej od prawej do lewej z prędkością 4 dm. na sekundę i aktualnie przechodzi przez punkt A. Gdzie znajdował się poruszający się punkt 5 sekund temu?

Odpowiedź jest jasna: w odległości 20 dm. po prawej stronie A. Dlatego rozwiązanie tego problemu należy zapisać w następujący sposób:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Rozważane problemy wskazują, w jaki sposób należy rozszerzyć działanie mnożenia na liczby względne. W zadaniach mamy 4 przypadki mnożenia liczb wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

We wszystkich czterech przypadkach należy pomnożyć wartości bezwzględne tych liczb; iloczyn musi mieć znak +, gdy czynniki identyczne znaki(przypadek 1. i 4.) i znak –, gdy czynniki mają różne znaki(przypadki 2 i 3).

Widzimy stąd, że iloczyn nie zmienia się po zmianie układu mnożnej i mnożnika.

Ćwiczenia.

Zróbmy jeden przykład obliczeń obejmujących dodawanie, odejmowanie i mnożenie.

Aby nie mylić kolejności działań, zwróćmy uwagę na formułę

Tutaj zapisana jest suma iloczynów dwóch par liczb: dlatego należy najpierw pomnożyć liczbę a przez liczbę b, następnie pomnożyć liczbę c przez liczbę d, a następnie dodać powstałe iloczyny. Również w równaniu

Najpierw musisz pomnożyć liczbę b przez c, a następnie odjąć wynikowy iloczyn od a.

Gdyby trzeba było dodać iloczyn liczb a i b przez c i otrzymaną sumę pomnożyć przez d, to należałoby napisać: (ab + c)d (porównaj ze wzorem ab + cd).

Gdybyśmy mieli pomnożyć różnicę między liczbami a i b przez c, zapisalibyśmy (a – b)c (porównaj ze wzorem a – bc).

Dlatego ustalmy ogólnie, że jeśli kolejność działań nie jest wskazana w nawiasach, to najpierw musimy wykonać mnożenie, a następnie dodać lub odjąć.

Zacznijmy obliczać nasze wyrażenie: najpierw wykonajmy dodawanie zapisane we wszystkich małych nawiasach, otrzymamy:

Teraz musimy wykonać mnożenie w środku nawiasy kwadratowe a następnie odejmij otrzymany iloczyn od:

Wykonajmy teraz operacje wewnątrz nawiasów skręconych: najpierw mnożenie, a potem odejmowanie:

Teraz pozostaje tylko wykonać mnożenie i odejmowanie:

16. Produkt kilku czynników. Niech będzie wymagane znalezienie

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Tutaj musisz pomnożyć pierwszą liczbę przez drugą, powstały iloczyn przez trzecią itd. Na podstawie poprzedniej nie jest trudno ustalić, że wartości bezwzględne wszystkich liczb należy pomnożyć między sobą.

Jeśli wszystkie czynniki były dodatnie, to na podstawie poprzedniego stwierdzimy, że produkt również musi mieć znak +. Jeśli którykolwiek czynnik byłby negatywny

np. (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

wtedy iloczyn wszystkich poprzedzających go czynników dałby znak + (w naszym przykładzie (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, z pomnożenia otrzymanego iloczynu przez liczbę ujemną (w naszym przykładzie + 24 pomnożone przez –1) nowy iloczyn miałby znak -, mnożąc go przez kolejny dodatni czynnik (w naszym przykładzie –24 przez +5) ponownie otrzymujemy liczbę ujemną, gdyż wszystkie pozostałe czynniki przyjmujemy za dodatnie, znak produktu nie może się już zmienić.

Jeżeli istniałyby dwa czynniki ujemne, to rozumując jak powyżej, stwierdzilibyśmy, że na początku, dopóki nie dotrzemy do pierwszego ujemnego czynnika, iloczyn będzie dodatni; mnożąc go przez pierwszy ujemny czynnik, nowy produkt okaże się będzie ujemna i tak też będzie, dopóki nie dotrzemy do drugiego ujemnego czynnika; Następnie, mnożąc liczbę ujemną przez ujemną, nowy produkt będzie dodatni i tak pozostanie w przyszłości, jeśli pozostałe czynniki będą dodatnie.

Gdyby istniał trzeci ujemny czynnik, wówczas dodatni iloczyn pomnożenia go przez ten trzeci ujemny czynnik stałby się ujemny; tak by pozostało, gdyby wszystkie pozostałe czynniki były pozytywne. Ale jeśli istnieje czwarty czynnik ujemny, to pomnożenie przez niego spowoduje, że iloczyn będzie dodatni. Rozumując w ten sam sposób, stwierdzamy, że ogólnie:

Aby znaleźć znak iloczynu kilku czynników, musisz sprawdzić, ile z tych czynników jest ujemnych: jeśli w ogóle ich nie ma lub jeśli są Liczba parzysta, to iloczyn jest dodatni: jeśli mnożniki ujemne liczba nieparzysta, to iloczyn jest ujemny.

Teraz możemy się tego łatwo dowiedzieć

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Teraz nietrudno zauważyć, że znak dzieła, a także jego całkowita wartość, nie zależą od kolejności czynników.

Wygodny w kontaktach liczby ułamkowe, znajdź pracę natychmiast:

Jest to wygodne, ponieważ nie musisz wykonywać bezużytecznego mnożenia, ponieważ wcześniej uzyskałeś wyrażenie ułamkowe jest maksymalnie zmniejszona.

W tym artykule zrozumiemy ten proces mnożenie liczb ujemnych. Najpierw formułujemy regułę mnożenia liczb ujemnych i ją uzasadniamy. Następnie przejdziemy do rozwiązywania typowych przykładów.

Nawigacja strony.

Zaraz to ogłosimy zasada mnożenia liczb ujemnych: Aby pomnożyć dwie liczby ujemne, należy pomnożyć ich wartości bezwzględne.

Zapiszmy tę regułę za pomocą liter: dla dowolnego negatywu liczby rzeczywiste−a i −b (w tym przypadku liczby aib są dodatnie), równość jest prawdziwa (−a)·(−b)=a·b .

Udowodnijmy regułę mnożenia liczb ujemnych, czyli udowodnijmy równość (−a)·(−b)=a·b.

W artykule mnożenie liczb przez różne znaki udowodniliśmy słuszność równości a·(−b)=−a·b, analogicznie pokazaliśmy, że (−a)·b=−a·b. Te wyniki i właściwości liczby przeciwne pozwól nam zapisać następujące równości (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. To potwierdza regułę mnożenia liczb ujemnych.

Z powyższej reguły mnożenia jasno wynika, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Rzeczywiście, ponieważ moduł dowolnej liczby jest dodatni, iloczyn modułów jest również liczbą dodatnią.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że rozważaną regułę można zastosować do pomnożenia liczb rzeczywistych, liczby wymierne i liczby całkowite.

Czas to uporządkować przykłady mnożenia dwóch liczb ujemnych, przy rozwiązywaniu skorzystamy z reguły uzyskanej w poprzednim akapicie.

Pomnóż dwie liczby ujemne -3 i -5.

Moduły mnożonych liczb wynoszą odpowiednio 3 i 5. Iloczyn tych liczb wynosi 15 (w razie potrzeby zobacz mnożenie liczb naturalnych), więc iloczyn liczb pierwotnych wynosi 15.

Cały proces mnożenia początkowych liczb ujemnych można w skrócie zapisać następująco: (−3)·(−5)= 3,5=15.

Mnożenie ujemnych liczb wymiernych za pomocą analizowanej reguły można sprowadzić do mnożenia zwykłe ułamki, mnożenie liczby mieszane lub mnożenie ułamków dziesiętnych.

Oblicz iloczyn (−0,125)·(−6) .

Zgodnie z zasadą mnożenia liczb ujemnych mamy (−0,125)·(−6)=0,125·6. Pozostaje tylko dokończyć obliczenia, wykonajmy mnożenie dziesiętny NA Liczba naturalna kolumna:

Na koniec należy zauważyć, że jeśli jeden lub oba czynniki są liczbami niewymiernymi, podanymi w postaci pierwiastków, logarytmów, potęg itp., wówczas ich iloczyn często trzeba zapisać jako wyrażenie liczbowe. Wartość wynikowego wyrażenia jest obliczana tylko wtedy, gdy jest to konieczne.

Pomnóż liczbę ujemną przez liczbę ujemną.

Najpierw znajdźmy moduły mnożonych liczb: i (patrz właściwości logarytmu). Zatem zgodnie z zasadą mnożenia liczb ujemnych mamy. Powstały produkt jest odpowiedzią.

Możesz kontynuować studiowanie tematu, odwiedzając sekcję mnożenie liczb rzeczywistych.

Z pewnym naciągnięciem to samo wyjaśnienie dotyczy iloczynu 1-5, jeśli założymy, że „suma” pochodzi z jednego

termin jest równy temu terminowi. Ale iloczynu 0 5 lub (-3) 5 nie można wyjaśnić w ten sposób: co oznacza suma zera lub minus trzy wyrazy?

Można jednak zmienić kolejność czynników

Jeśli chcemy, aby iloczyn nie zmienił się po zmianie układu czynników – jak to miało miejsce w przypadku liczb dodatnich – to musimy założyć, że

Przejdźmy teraz do iloczynu (-3) (-5). Ile to jest równe: -15 czy +15? Obie opcje mają swój powód. Z jednej strony minus w jednym czynniku już powoduje, że iloczyn jest ujemny - tym bardziej powinien być ujemny, jeśli oba czynniki są ujemne. Z drugiej strony w tabeli. 7 ma już dwa minusy, ale tylko jeden plus, a „uczciwie” (-3)-(-5) powinno wynosić +15. Więc co powinieneś preferować?

Oczywiście nie będziesz zdezorientowany taką rozmową: od kurs szkolny matematycy Doskonale nauczyliście się, że minus przez minus daje plus. Ale wyobraź sobie, że Twój młodszy brat lub siostra pyta Cię: dlaczego? Co to jest - kaprys nauczyciela, rozkaz wyższych autorytetów czy twierdzenie, które można udowodnić?

Zwykle zasadę mnożenia liczb ujemnych wyjaśnia się na przykładach przedstawionych w tabeli. 8.

Można to wytłumaczyć inaczej. Zapiszmy liczby z rzędu

Dodawanie liczb ujemnych Dodawanie liczb dodatnich i ujemnych można analizować za pomocą osi liczbowej. Dodawanie liczb za pomocą linii współrzędnych Wygodne jest dodawanie małych liczb modulo za pomocą [...]
Znaczenie słowa Wyjaśnij znaczenie słów: prawo, lichwiarz, niewolnik-dłużnik. Wyjaśnij znaczenie słów: prawo, lichwiarz, niewolnik-dłużnik. PYSZNA TRUSKAWKA (Gość) Szkoły Pytania na temat 1. Jakie 3 rodzaje można podzielić […]
Jednolita stawka podatku – 2018 Jednolita stawka podatku – 2018 dla przedsiębiorców – osób fizycznych z pierwszej i drugiej grupy liczona jest jako procent kosztów utrzymania i płacy minimalnej ustalonej od 1 stycznia […]
Czy potrzebujesz pozwolenia na korzystanie z radia w samochodzie? gdzie mogę to przeczytać? W każdym przypadku musisz zarejestrować swoją stację radiową. Krótkofalówki działające na częstotliwości 462 MHz, jeśli nie jesteś przedstawicielem MSWiA, nie są […]
Bilety na badania Kategoria Przepisy ruchu drogowego Bilety na egzamin CD 2018 CD Policja drogowa 2018 Oficjalna arkusze egzaminacyjne Kategoria SD 2018. Bilety i komentarze obowiązują na podstawie przepisów ruchu drogowego z dnia 18 lipca 2018 r. […]
Kursy języki obce w Kijowie „Edukacja europejska” Angielski Włoski Holenderski Norweski Islandzki Wietnamski Birmański Bengalski Syngaleski Tagalski Nepalski Malgaski Gdziekolwiek […]

Teraz napiszmy te same liczby pomnożone przez 3:

Łatwo zauważyć, że każda liczba jest o 3 większa od poprzedniej.Teraz wpiszmy te same liczby Odwrotna kolejność(zaczynając na przykład od 5 i 15):

Co więcej, pod liczbą -5 znajdowała się liczba -15, więc 3 (-5) = -15: plus przez minus daje minus.

Teraz powtórzmy tę samą procedurę, mnożąc liczby 1,2,3,4,5. przez -3 (wiemy już, że plus przez minus daje minus):

Każdy Następny numer dolny rząd jest o 3 mniejszy od poprzedniego.Wpisz liczby w odwrotnej kolejności

Pod liczbą -5 jest 15, więc (-3) (-5) = 15.

Być może te wyjaśnienia Cię usatysfakcjonują młodszy brat lub siostra. Ale masz prawo zapytać, jak jest naprawdę i czy można udowodnić, że (-3) (-5) = 15?

Odpowiedź jest taka, że możemy udowodnić, że (-3) (-5) musi wynosić 15, jeśli chcemy, aby zwykłe właściwości dodawania, odejmowania i mnożenia pozostały prawdziwe dla wszystkich liczb, łącznie z liczbami ujemnymi. Zarys tego dowodu jest następujący.

Najpierw udowodnijmy, że 3 (-5) = -15. Co to jest -15? To jest liczba przeciwna do 15, to znaczy liczba, która po dodaniu do 15 daje 0. Musimy to udowodnić

(Wyjmując 3 z nawiasu, skorzystaliśmy z prawa rozdzielności ab + ac = a(b + c) dla - w końcu zakładamy, że pozostaje ono prawdziwe dla wszystkich liczb, łącznie z liczbami ujemnymi.) Zatem (Skrupulatne czytelnik zapyta nas dlaczego. Przyznajemy szczerze: pomijamy dowód tego faktu - a także ogólną dyskusję na temat tego, czym jest zero.)

Udowodnimy teraz, że (-3) (-5) = 15. Aby to zrobić, piszemy

i pomnóż obie strony równości przez -5:

Otwórzmy nawiasy po lewej stronie:

tj. (-3) (-5) + (-15) = 0. Zatem liczba jest przeciwieństwem liczby -15, czyli równa 15. (W tym rozumowaniu są też luki: należałoby udowodnić że jest tylko jedna liczba, przeciwieństwo -15.)

Zasady mnożenia liczb ujemnych

Czy poprawnie rozumiemy mnożenie?

„A i B siedzieli na rurze. A upadł, B zniknął, co zostało na rurze?
„Twój list „Ja” pozostaje.

(Z filmu „Młodzi we wszechświecie”)

Dlaczego pomnożenie liczby przez zero daje zero?

Dlaczego pomnożenie dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią?

Nauczyciele robią wszystko, co w ich mocy, aby odpowiedzieć na te dwa pytania.

Ale nikt nie ma odwagi przyznać się do tego przy formułowaniu mnożenia przez trzy błędy semantyczne!

Czy można popełnić błąd w podstawowej arytmetyce? W końcu matematyka pozycjonuje się jako nauka ścisła.

Szkolne podręczniki do matematyki nie dają odpowiedzi na te pytania, zastępując wyjaśnienia zbiorem zasad, które należy zapamiętać. Być może w gimnazjum ten temat wydaje się trudny do wyjaśnienia? Spróbujmy zrozumieć te kwestie.

7 to mnożnik. 3 to mnożnik. 21-praca.

Według oficjalnego brzmienia:

pomnożyć liczbę przez inną liczbę oznacza dodać tyle mnożników, ile zaleca mnożnik.

Zgodnie z przyjętym sformułowaniem współczynnik 3 mówi nam, że po prawej stronie równości powinny znajdować się trzy siódemki.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ale to sformułowanie mnożenia nie może wyjaśnić postawionych powyżej pytań.

Poprawmy sformułowanie mnożenia

Zwykle w matematyce wiele się myśli, ale się o tym nie mówi ani nie zapisuje.

Odnosi się to do znaku plus przed pierwszą siódemką po prawej stronie równania. Zapiszmy ten plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ale do czego dodaje się pierwsze siedem? Oznacza to oczywiście zero. Zapiszmy zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

A co jeśli pomnożymy przez trzy minus siedem?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Dodawanie mnożnej -7 piszemy, ale tak naprawdę odejmujemy od zera wielokrotnie. Otwórzmy nawiasy.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Teraz możemy podać wyrafinowane sformułowanie mnożenia.

Mnożenie to proces wielokrotnego dodawania (lub odejmowania od zera) mnożnej (-7) tyle razy, ile wskazuje mnożnik. Mnożnik (3) i jego znak (+ lub -) wskazują liczbę operacji dodawanych lub odejmowanych od zera.

Stosując to wyjaśnione i nieco zmodyfikowane sformułowanie mnożenia, można łatwo wyjaśnić „zasady znaku” mnożenia, gdy mnożnik jest ujemny.

7 * (-3) - po zera muszą znajdować się trzy znaki minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - znowu powinny być trzy znaki minus po zera =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Pomnóż przez zero

7 * 0 = 0 + . nie ma operacji dodawania do zera.

Jeśli mnożenie jest dodawaniem do zera, a mnożnik pokazuje liczbę operacji dodawania do zera, to mnożnik zero pokazuje, że nic nie jest dodawane do zera. Dlatego pozostaje zero.

Tak więc w istniejącym sformułowaniu mnożenia znaleźliśmy trzy błędy semantyczne, które blokują zrozumienie dwóch „reguł znaku” (gdy mnożnik jest ujemny) i mnożenia liczby przez zero.

Nie musisz dodawać mnożnej, ale dodaj ją do zera.
Mnożenie to nie tylko dodawanie do zera, ale także odejmowanie od zera.
Mnożnik i jego znak nie pokazują liczby wyrazów, ale liczbę znaków plus lub minus przy rozkładaniu mnożenia na wyrazy (lub odjęte).

Po pewnym wyjaśnieniu sformułowania byliśmy w stanie wyjaśnić zasady znaków mnożenia i mnożenia liczby przez zero bez pomocy prawa przemienności mnożenia, bez prawa rozdzielności, bez analogii z osią liczbową, bez równań , bez dowodu z odwrotności itp.

Reguły znakowe dla wyrafinowanego formułowania mnożenia są wyprowadzane w bardzo prosty sposób.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Mnożnik i jego znak (+3 lub -3) wskazują liczbę znaków „+” lub „-” po prawej stronie równania.

Zmodyfikowane sformułowanie mnożenia odpowiada operacji podnoszenia liczby do potęgi.

2^0 = 1 (jeden nie jest przez nic mnożony ani dzielony, więc pozostaje jeden)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematycy zgadzają się, że podnoszenie liczby do stopień pozytywny jest wielokrotnym pomnożeniem jedności. I podniesienie liczby do stopień negatywny jest wielokrotnym podziałem jednostki.

Operacja mnożenia powinna być podobna do operacji potęgowania.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (nic nie jest dodawane do zera i nic nie jest odejmowane od zera)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Zmodyfikowane sformułowanie mnożenia niczego nie zmienia w matematyce, ale przywraca pierwotne znaczenie mnożenia, wyjaśnia „reguły znaków”, mnożenie liczby przez zero i godzi mnożenie z potęgowaniem.

Sprawdźmy, czy nasze sformułowanie mnożenia jest zgodne z operacją dzielenia.

15: 5 = 3 (odwrotność mnożenia 5 * 3 = 15)

Iloraz (3) odpowiada liczbie operacji dodawania do zera (+3) podczas mnożenia.

Dzielenie liczby 15 przez 5 oznacza sprawdzenie, ile razy należy odjąć 5 od 15. Zrobione odejmowanie sekwencyjne aż do uzyskania wyniku zerowego.

Aby znaleźć wynik dzielenia, musisz policzyć liczbę znaków minus. Jest ich trzech.

15:5 = 3 operacje odejmowania pięciu od 15, aby otrzymać zero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (podział 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (mnożenie 5 * 3)

Dzielenie z resztą.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 i 2 reszta

Jeśli istnieje dzielenie z resztą, dlaczego nie mnożyć z dodatkiem?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Spójrzmy na różnicę w sformułowaniach na kalkulatorze

Istniejące sformułowanie mnożenia (trzy wyrazy).

10 + 10 + 10 = 30

Poprawione sformułowanie mnożenia (trzy dodatki do operacji zerowych).

0 + 10 = = = 30

(Naciśnij trzykrotnie „równa się”).

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Mnożnik 3 oznacza, że mnożną 10 należy dodać do zera trzy razy.

Spróbuj pomnożyć (-10) * (-3), dodając wyraz (-10) minus trzy razy!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Co oznacza znak minus przy trójce? Może tak?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Operacje Nie jest możliwe rozbicie iloczynu na sumę (lub różnicę) wyrazów (-10).

Zmienione sformułowanie robi to poprawnie.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Mnożnik (-3) wskazuje, że mnożnik (-10) należy odjąć od zera trzykrotnie.

Podpisuj zasady dodawania i odejmowania

Powyżej pokazaliśmy prosty sposób wyprowadzenia zasad mnożenia poprzez zmianę znaczenia brzmienia mnożenia.

Ale do podsumowania wykorzystaliśmy zasady znaków dotyczące dodawania i odejmowania. Są prawie takie same jak w przypadku mnożenia. Stwórzmy wizualizację zasad dodawania i odejmowania znaków, aby nawet pierwszoklasista mógł to zrozumieć.

Co to jest „minus”, „negatyw”?

W naturze nie ma nic negatywnego. Żadnej ujemnej temperatury, żadnego ujemnego kierunku, żadnej ujemnej masy, nie ładunki ujemne. Nawet sinus ze swej natury może być tylko dodatni.

Ale matematycy wymyślili liczby ujemne. Po co? Co oznacza „minus”?

Minus oznacza przeciwny kierunek. Lewo prawo. Góra dół. Zgodnie z ruchem wskazówek zegara - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Tam i z powrotem. Zimne gorące. Lekki ciężki. Wolno szybko. Jeśli się nad tym zastanowić, możesz podać wiele innych przykładów, w których jest to wygodne w użyciu wartości ujemne wielkie ilości

W znanym nam świecie nieskończoność zaczyna się od zera i zmierza do plus nieskończoności.

„Minus nieskończoności” w prawdziwy świat nie istnieje. Jest to ta sama konwencja matematyczna, co pojęcie „minus”.

Zatem „minus” oznacza odwrotny kierunek: ruch, obrót, proces, mnożenie, dodawanie. Przeanalizujmy różne kierunki dodawania i odejmowania liczb dodatnich i ujemnych (rosnących w przeciwnym kierunku).

Trudność w zrozumieniu zasad dodawania i odejmowania znaków wynika z faktu, że zasady te są zwykle wyjaśniane na osi liczbowej. Na osi liczbowej mieszają się trzy różne składniki, z których wyprowadzane są reguły. I z powodu mieszania, z powodu przeciągnięcia różne koncepcje razem tworzą się trudności w zrozumieniu.

Aby zrozumieć zasady, musimy podzielić:

pierwszy wyraz i suma (będą na osi poziomej);
drugi człon (będzie na osi pionowej);
kierunek dodawania i odejmowania.

Podział ten wyraźnie widać na rysunku. Wyobraź sobie, że oś pionowa może się obracać, nakładając się na oś poziomą.

Operację dodawania wykonuje się zawsze poprzez obrót osi pionowej w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (znak plus). Operację odejmowania wykonuje się zawsze poprzez obrót osi pionowej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (znak minus).

Przykład. Schemat w prawym dolnym rogu.

Widać, że w pobliżu są dwa stojący znak minus (znak operacji odejmowania i znak liczby 3) mają inne znaczenie. Pierwszy minus pokazuje kierunek odejmowania. Drugi minus to znak liczby na osi pionowej.

Znajdź pierwszy wyraz (-2) na osi poziomej. Znajdź drugi wyraz (-3) na osi pionowej. Obróć się mentalnie Oś pionowa przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, aż (-3) zrówna się z liczbą (+1) na osi poziomej. Liczba (+1) jest wynikiem dodania.

daje taki sam wynik jak operacja dodawania na diagramie w prawym górnym rogu.

Dlatego dwa sąsiednie znaki minus można zastąpić jednym znakiem plus.

Wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni do korzystania z gotowych reguł arytmetycznych, nie zastanawiając się nad ich znaczeniem. Dlatego często nawet nie zauważamy, jak zasady znaków dotyczące dodawania (odejmowania) różnią się od zasad znaków mnożenia (dzielenie). Czy wydają się takie same? Prawie. Niewielką różnicę widać na poniższej ilustracji.

Teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy, aby wyprowadzić zasady znakowania mnożenia. Sekwencja wyjściowa jest następująca.

Wyraźnie pokazujemy, w jaki sposób uzyskuje się zasady dodawania i odejmowania znaków.
Dokonujemy zmian semantycznych w dotychczasowym sformułowaniu mnożenia.
Na podstawie zmodyfikowanego sformułowania mnożenia i zasad dodawania znaków wyprowadzamy zasady znaków mnożenia.

Poniżej są napisane Podpisuj zasady dodawania i odejmowania,uzyskane z wizualizacji. A na czerwono dla porównania te same zasady znaków z podręcznika matematyki. Szary plus w nawiasach to niewidoczny plus, który nie jest zapisywany dla liczby dodatniej.

Pomiędzy terminami zawsze znajdują się dwa znaki: znak operacji i znak liczby (nie piszemy plusa, ale mamy to na myśli). Zasady znaków nakazują zamianę jednej pary znaków na inną parę bez zmiany wyniku dodawania (odejmowania). Tak naprawdę są tylko dwie zasady.

Zasada 1 i 3 (dla wizualizacji) - powielenie zasady 4 i 2. Zasady 1 i 3 w interpretacji szkolnej nie pokrywają się ze schematem wizualnym, dlatego nie mają zastosowania do zasad znaków dodawanych. To są inne zasady.

Zasada szkolna 1. (czerwona) pozwala zamienić dwa plusy z rzędu na jeden plus. Zasada nie dotyczy zastępowania znaków dodawania i odejmowania.

Zasada szkolna 3. (czerwona) pozwala nie wpisywać znaku plusa dla liczby dodatniej po operacji odejmowania. Zasada nie dotyczy zastępowania znaków dodawania i odejmowania.

Znaczenie zasad dodawania znaków polega na zastąpieniu jednej PARY znaków inną PARĄ znaków bez zmiany wyniku dodawania.

Metodolodzy szkolni pomieszali dwie zasady w jedną regułę:

— dwie zasady znaków przy dodawaniu i odejmowaniu liczb dodatnich i ujemnych (zastąpienie jednej pary znaków inną parą znaków);

- dwie zasady, według których nie można wpisać znaku plusa dla liczby dodatniej.

Dwa różne zasady zmieszane w jeden, są podobne do zasad mnożenia znaków, gdzie dwa znaki dają trzeci. Wyglądają dokładnie tak samo.

Wielkie zamieszanie! Jeszcze raz to samo, dla lepszego rozczesywania. Zaznaczmy znaki operacji na czerwono, aby odróżnić je od znaków liczbowych.

1. Dodawanie i odejmowanie. Dwie zasady znaków, według których następuje zamiana par znaków pomiędzy terminami. Znak operacji i znak numeru.

2. Dwie zasady, zgodnie z którymi nie wolno pisać znaku plusa dla liczby dodatniej. Takie są zasady formularza zgłoszeniowego. Nie dotyczy dodatku. W przypadku liczby dodatniej zapisywany jest tylko znak operacji.

3. Cztery zasady mnożenia znaków. Kiedy dwa znaki czynników dają trzeci znak iloczynu. Reguły dotyczące znaków mnożenia zawierają tylko znaki liczbowe.

Teraz, gdy rozdzieliliśmy zasady formy, powinno być jasne, że zasady znakowania przy dodawaniu i odejmowaniu wcale nie są podobne do reguł znakowania mnożenia.

„Zasada mnożenia liczb ujemnych i liczb o różnych znakach.” 6 klasa

Prezentacja na lekcję

Pobierz prezentację (622,1 kB)

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji.

Temat:

sformułować regułę mnożenia liczb ujemnych i liczb o różnych znakach,
naucz uczniów, jak stosować tę zasadę.

Metatemat:

rozwinąć umiejętność pracy zgodnie z proponowanym algorytmem, opracować plan swoich działań,
rozwijać umiejętności samokontroli.

Osobisty:

rozwijać umiejętności komunikacyjne,
formularz zainteresowanie poznawcze studenci.

Sprzęt: komputer, ekran, projektor multimedialny, Prezentacja Powerpoint, Rozdawać: tabela do zapisywania reguł, testów.

(Podręcznik N.Ya. Vilenkina „Matematyka. 6. klasa”, M: „Mnemosyne”, 2013.)

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Przekazywanie tematu lekcji i zapisywanie tematu w zeszytach przez uczniów.

II. Motywacja.

Slajd numer 2. (Cel lekcji. Plan lekcji).

Dzisiaj będziemy nadal studiować to, co ważne własność arytmetyczna– mnożenie.

Wiesz już, jak mnożyć liczby naturalne – słownie i kolumnowo,

Nauczyliśmy się mnożyć ułamki zwykłe i dziesiętne. Dzisiaj będziesz musiał sformułować regułę mnożenia dla liczb ujemnych i liczb o różnych znakach. I nie tylko je sformułuj, ale także naucz się je stosować.

III. Aktualizowanie wiedzy.

Rozwiąż równania: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Uczeń przy tablicy)

Wniosek: aby rozwiązać takie równania, musisz umieć pomnożyć różne liczby.

2) Samodzielne sprawdzenie pracy domowej. Przejrzyj zasady mnożenia ułamków dziesiętnych, ułamków zwykłych i liczb mieszanych. (Slajdy nr 4 i nr 5).

IV. Sformułowanie reguły.

Rozważ zadanie 1 (slajd numer 6).

Rozważ zadanie 2 (slajd nr 7).

W procesie rozwiązywania problemów musieliśmy pomnożyć liczby o różnych znakach i liczby ujemne. Przyjrzyjmy się bliżej temu mnożeniu i jego wynikom.

Mnożąc liczby o różnych znakach, otrzymujemy liczbę ujemną.

Spójrzmy na inny przykład. Znajdź iloczyn (–2) * 3, zastępując mnożenie sumą identycznych wyrazów. Podobnie znajdź produkt 3 * (–2). (Sprawdź - slajd nr 8).

Pytania:

1) Jaki jest znak wyniku mnożenia liczb o różnych znakach?

2) Jak uzyskuje się moduł wynikowy? Formułujemy regułę mnożenia liczb o różnych znakach i zapisujemy ją w lewej kolumnie tabeli. (Slajd nr 9 i Załącznik 1).

Zasada mnożenia liczb ujemnych i liczb o różnych znakach.

Wróćmy do drugiego zadania, w którym pomnożyliśmy dwie liczby ujemne. Dość trudno wytłumaczyć takie mnożenie w inny sposób.

Skorzystajmy z wyjaśnienia, które podał w XVIII wieku wielki rosyjski naukowiec (urodzony w Szwajcarii), matematyk i mechanik Leonhard Euler. (Leonard Euler pozostawił po sobie nie tylko prace naukowe, ale także napisał szereg podręczników do matematyki przeznaczonych dla uczniów gimnazjum akademickiego).

Euler wyjaśnił więc wynik w przybliżeniu w następujący sposób. (Slajd numer 10).

Jasne jest, że –2 · 3 = – 6. Zatem iloczyn (–2) · (–3) nie może być równy –6. Musi to jednak być jakoś powiązane z liczbą 6. Pozostaje jedna możliwość: (–2) · (–3) = 6. .

Pytania:

1) Jaki jest znak produktu?

2) Jak otrzymano moduł produktu?

Formułujemy regułę mnożenia liczb ujemnych i wypełniamy prawą kolumnę tabeli. (Slajd nr 11).

Aby ułatwić zapamiętanie zasady znaków podczas mnożenia, możesz zastosować jej sformułowanie wierszem. (Slajd nr 12).

Plus przez minus, mnożenie,
Bez ziewania stawiamy minus.
Pomnóż minus przez minus
W odpowiedzi damy Ci plusa!

V. Kształtowanie umiejętności.

Nauczmy się, jak zastosować tę regułę do obliczeń. Dzisiaj na lekcji będziemy wykonywać obliczenia tylko na liczbach całkowitych i ułamkach dziesiętnych.

1) Opracowanie planu działania.

Opracowano schemat stosowania reguły. Notatki robi się na tablicy. Przybliżony schemat na slajdzie nr 13.

2) Prowadzenie działań według schematu.

Rozwiązujemy z podręcznika nr 1121 (b, c, i, j, p, p). Rozwiązanie realizujemy zgodnie z sporządzonym schematem. Każdy przykład jest objaśniany przez jednego z uczniów. Jednocześnie rozwiązanie pokazano na slajdzie nr 14.

3) Pracujcie w parach.

Zadanie na slajdzie numer 15.

Studenci pracują nad opcjami. Najpierw uczeń z opcji 1 rozwiązuje i wyjaśnia rozwiązanie opcji 2, uczeń z opcji 2 uważnie słucha, pomaga i poprawia w razie potrzeby, a następnie uczniowie zamieniają się rolami.

Zadanie dodatkowe dla par, które skończą pracę wcześniej: nr 1125.

Po zakończeniu pracy przeprowadzana jest weryfikacja zgodnie z gotowe rozwiązanie, umieszczony na slajdzie nr 15 (wykorzystano animację).

Jeśli wielu osobom udało się rozwiązać nr 1125, wówczas dochodzi do wniosku, że znak liczby zmienia się po pomnożeniu przez (?1).

4) Ulga psychologiczna.

5) Niezależna praca.

Samodzielna praca - tekst na slajdzie nr 17. Po zakończeniu pracy - autotest z wykorzystaniem gotowego rozwiązania (slajd nr 17 - animacja, hiperłącze do slajdu nr 18).

VI. Sprawdzenie stopnia przyswojenia badanego materiału. Odbicie.

Studenci przystępują do testu. Na tej samej kartce oceń swoją pracę na zajęciach, wypełniając tabelę.

Przetestuj „Regułę mnożenia”. Opcja 1.

Mnożenie liczb ujemnych: reguła, przykłady

W tym artykule sformułowamy zasadę mnożenia liczb ujemnych i podamy jej wyjaśnienie. Proces mnożenia liczb ujemnych zostanie szczegółowo omówiony. Przykłady pokazują wszystkie możliwe przypadki.

Mnożenie liczb ujemnych

Zasada mnożenia liczb ujemnych polega na tym, że aby pomnożyć dwie liczby ujemne, należy pomnożyć ich moduły. Reguła ta jest zapisana w następujący sposób: dla dowolnych liczb ujemnych – a, – b, tę równość uważa się za prawdziwą.

Powyżej znajduje się zasada mnożenia dwóch liczb ujemnych. Na tej podstawie dowodzimy wyrażenia: (— a) · (— b) = a · b. Artykuł o mnożeniu liczb przez różne znaki mówi, że obowiązują równości a · (- b) = - a · b, a także (- a) · b = - a · b. Wynika to z własności liczb przeciwnych, dzięki czemu równości zostaną zapisane w następujący sposób:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Tutaj wyraźnie widać dowód reguły mnożenia liczb ujemnych. Na podstawie przykładów widać, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Wynik mnożenia modułów liczb jest zawsze liczbą dodatnią.

Zasada ta ma zastosowanie do mnożenia liczb rzeczywistych, wymiernych i całkowitych.

Przykłady mnożenia liczb ujemnych

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo przykładom mnożenia dwóch liczb ujemnych. Przy obliczaniu należy kierować się zasadą zapisaną powyżej.

Pomnóż liczby - 3 i - 5.

Rozwiązanie.

Wartość bezwzględna dwóch mnożonych liczb jest równa liczbom dodatnim 3 i 5. Ich produkt zajmuje 15. Wynika z tego, że produkt podane liczby równa się 15

Zapiszmy krótko samo mnożenie liczb ujemnych:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Odpowiedź: (- 3) · (- 5) = 15.

Mnożąc ujemne liczby wymierne, korzystając z omawianej reguły, można zmobilizować się do mnożenia ułamków zwykłych, mnożenia liczb mieszanych, mnożenia ułamków dziesiętnych.

Oblicz iloczyn (— 0 , 125) · (— 6) .

Korzystając z reguły mnożenia liczb ujemnych, otrzymujemy, że (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Aby uzyskać wynik, należy pomnożyć ułamek dziesiętny przez naturalną liczbę kolumn. To wygląda tak:

Ustaliliśmy, że wyrażenie będzie miało postać (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Odpowiedź: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

W przypadku, gdy mnożniki są liczby niewymierne, to ich iloczyn można zapisać w postaci wyrażenie numeryczne. Wartość jest obliczana tylko wtedy, gdy jest to konieczne.

Konieczne jest pomnożenie liczby ujemnej - 2 przez nieujemny log 5 1 3 .

Znajdowanie modułów podanych liczb:

- 2 = 2 i log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Kierując się zasadami mnożenia liczb ujemnych otrzymujemy wynik - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . To wyrażenie jest odpowiedzią.

Odpowiedź: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Aby kontynuować naukę tego tematu, musisz powtórzyć sekcję dotyczącą mnożenia liczb rzeczywistych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mnożenie liczb ujemnych

Definicja 1

(- a) · (- b) = a · b.

Powyżej znajduje się zasada mnożenia dwóch liczb ujemnych. Na tej podstawie dowodzimy wyrażenia: (- a) · (- b) = a · b. Artykuł o mnożeniu liczb przez różne znaki mówi, że równości a · (- b) = - a · b są ważne, podobnie jak (- a) · b = - a · b. Wynika to z własności liczb przeciwnych, dzięki czemu równości zostaną zapisane w następujący sposób:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.

Zasada ta ma zastosowanie do mnożenia liczb rzeczywistych, wymiernych i całkowitych.

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo przykładom mnożenia dwóch liczb ujemnych. Przy obliczaniu należy kierować się zasadą zapisaną powyżej.

Przykład 1

Pomnóż liczby - 3 i - 5.

Rozwiązanie.

Wartość bezwzględna dwóch mnożonych liczb jest równa liczbom dodatnim 3 i 5. Ich produkt zajmuje 15. Wynika z tego, że iloczyn podanych liczb wynosi 15

Zapiszmy krótko samo mnożenie liczb ujemnych:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Odpowiedź: (- 3) · (- 5) = 15.

Mnożąc ujemne liczby wymierne, korzystając z omawianej reguły, można zmobilizować się do mnożenia ułamków zwykłych, mnożenia liczb mieszanych, mnożenia ułamków dziesiętnych.

Przykład 2

Oblicz iloczyn (- 0 , 125) · (- 6) .

Rozwiązanie.

Ustaliliśmy, że wyrażenie będzie miało postać (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Odpowiedź: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

W przypadku, gdy czynniki są liczbami niewymiernymi, wówczas ich iloczyn można zapisać jako wyrażenie liczbowe. Wartość jest obliczana tylko wtedy, gdy jest to konieczne.

Przykład 3

Konieczne jest pomnożenie wartości ujemnej - 2 przez nieujemny log 5 1 3.

Rozwiązanie

Znajdowanie modułów podanych liczb:

2 = 2 i log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Kierując się zasadami mnożenia liczb ujemnych otrzymujemy wynik - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . To wyrażenie jest odpowiedzią.

Odpowiedź: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Aby kontynuować naukę tego tematu, musisz powtórzyć sekcję dotyczącą mnożenia liczb rzeczywistych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Temat lekcji otwartej: „Mnożenie liczb ujemnych i dodatnich”

Data: 17.03.2017

Nauczyciel: Kuts V.V.

Klasa: 6 gr

Cel i zadania lekcji:

wprowadzić zasady mnożenia dwóch liczb ujemnych i liczb o różnych znakach;

promować rozwój mowa matematyczna, pamięć o dostępie swobodnym, dobrowolna uwaga, wizualne i efektywne myślenie;

tworzenie procesy wewnętrzne rozwój intelektualny, osobisty i emocjonalny.

kultywować kulturę zachowania podczas pracy frontalnej, pracy indywidualnej i grupowej.

Typ lekcji: lekcja wstępnej prezentacji nowej wiedzy

Formy szkoleń: frontalnie, praca w parach, praca w grupach, praca indywidualna.

Metody nauczania: werbalne (rozmowa, dialog); wizualny (praca z materiał dydaktyczny); dedukcyjne (analiza, zastosowanie wiedzy, uogólnianie, działania projektowe).

Pojęcia i terminy : moduł liczb, liczby dodatnie i ujemne, mnożenie.

Planowane wyniki szkolenie

-umieć pomnożyć liczby o różnych znakach, pomnożyć liczby ujemne;

Zastosuj zasadę mnożenia liczb dodatnich i ujemnych podczas rozwiązywania ćwiczeń, utrwal zasady mnożenia ułamków dziesiętnych i zwykłych.

Regulacyjne – potrafić określić i sformułować cel lekcji przy pomocy nauczyciela; wymawiaj sekwencję działań na lekcji; pracować według wspólnie opracowanego planu; ocenić poprawność działania. Zaplanuj swoje działanie zgodnie z zadaniem; dokonać niezbędnych korekt działania po jego zakończeniu w oparciu o jego ocenę i biorąc pod uwagę popełnione błędy; wyrazić swoje przypuszczenie.Komunikacja - potrafić formułować swoje myśli doustnie; słuchać i rozumieć mowę innych; wspólnie ustalają zasady zachowania i komunikacji w szkole i przestrzegają ich.

Kognitywny - potrafić poruszać się po swoim systemie wiedzy, odróżniać wiedzę nową od wiedzy już znanej przy pomocy nauczyciela; zdobyć nową wiedzę; znajdź odpowiedzi na pytania, korzystając z podręcznika, swojego doświadczenie życiowe i informacje otrzymane na zajęciach.

Kształtowanie odpowiedzialnej postawy do nauki opartej na motywacji do uczenia się nowych rzeczy;

Kształtowanie kompetencji komunikacyjnych w procesie komunikowania się i współpracy z rówieśnikami Działania edukacyjne;

Potrafić dokonać samooceny w oparciu o kryterium powodzenia działań edukacyjnych; koncentrować się na sukcesie w działaniach edukacyjnych.

Podczas zajęć

Elementy konstrukcyjne lekcja

Zadania dydaktyczne

Zaprojektowane działanie nauczyciela

Zaprojektowane zajęcia studenckie

Wynik

1. Moment organizacyjny

Motywacja do udane działania

Sprawdzanie gotowości do zajęć.

- Dzień dobry chłopaki! Usiądź! Sprawdź, czy masz wszystko przygotowane na lekcję: zeszyt i podręcznik, pamiętnik i przybory do pisania.

Cieszę się, że widzę cię dzisiaj na zajęciach w dobrym nastroju.

Spójrzcie sobie w oczy, uśmiechnijcie się i oczami życzcie przyjacielowi dobrego nastroju do pracy.

Życzę wam również dobrej pracy dzisiaj.

Kochani, mottem dzisiejszej lekcji będzie cytat francuskiego pisarza Anatole France:

„Jedynym sposobem na naukę jest zabawa. Aby strawić wiedzę, trzeba ją chłonąć z apetytem.”

Chłopaki, kto może mi powiedzieć, co to znaczy wchłaniać wiedzę z apetytem?

Zatem dzisiaj na zajęciach będziemy przyswoić wiedzę z Wielka przyjemność, ponieważ przydadzą się nam w przyszłości.

Otwórzmy zatem szybko nasze zeszyty i zapiszmy liczbę, świetna robota.

Nastrój emocjonalny

-Z zainteresowaniem, z przyjemnością.

Gotowy do rozpoczęcia lekcji

Pozytywna motywacja do nauki nowy temat

2. Aktywacja aktywność poznawcza

Przygotuj je do zdobywania nowej wiedzy i sposobów działania.

Zorganizuj frontalną ankietę na temat omawianego materiału.

Chłopaki, kto może mi powiedzieć, jaka jest najważniejsza umiejętność w matematyce? ( Sprawdzać). Prawidłowy.

Teraz przetestuję, jak dobrze potrafisz liczyć.

Przeprowadzimy teraz rozgrzewkę matematyczną.

Pracujemy jak zwykle, liczymy ustnie i odpowiedź zapisujemy pisemnie. Daję ci 1 minutę.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Sprawdźmy odpowiedzi.

Sprawdzimy odpowiedzi, jeśli zgadzasz się z odpowiedzią, następnie klaśnij w dłonie, jeśli się nie zgadzasz, to tupnij nogami.

Brawo chłopcy.

Powiedz mi, jakie działania wykonaliśmy z liczbami?

Jakiej reguły używaliśmy przy liczeniu?

Sformułuj te zasady.

Odpowiadaj na pytania, rozwiązując małe przykłady.

Dodawanie i odejmowanie.

Dodawanie liczb z różnymi znakami, dodawanie liczb za pomocą znaki negatywne i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych.

Gotowość studentów do produkcji problematyczna kwestia, aby znaleźć sposoby rozwiązania problemu.

3. Motywacja do ustalenia tematu i celu lekcji

Zachęć uczniów do ustalenia tematu i celu lekcji.

Organizuj pracę w parach.

No cóż, czas przejść do nauki nowego materiału, ale najpierw przejrzyjmy materiał z poprzednich lekcji. Pomoże nam w tym krzyżówka matematyczna.

Ale ta krzyżówka nie jest zwyczajna, szyfruje słowo kluczowe, który podpowie nam temat dzisiejszej lekcji.

Kochani, krzyżówka jest na Waszych stołach, będziemy nad nią pracować w parach. A skoro jest w parach, to przypomnij mi, jak to jest w parach?

Przypomnieliśmy sobie zasadę pracy w parach i teraz zaczynamy rozwiązywać krzyżówkę, dam Wam 1,5 minuty. Ktokolwiek robi wszystko, opuść ręce, żebym mógł zobaczyć.

(Aneks 1)

1.Jakich liczb używa się do liczenia?

2. Nazywa się odległość od początku do dowolnego punktu?

3. Jak nazywają się liczby wyrażone w postaci ułamka?

4. Jakie są dwie liczby, które różnią się od siebie tylko znakami?

5. Jakie liczby leżą na prawo od zera na osi współrzędnych?

6.Jak nazywają się liczby naturalne, ich przeciwieństwa i zero?

7.Jaka liczba nazywa się neutralną?

8. Liczba określająca położenie punktu na prostej?

9. Jakie liczby leżą na lewo od zera na osi współrzędnych?

Zatem czas minął. Sprawdźmy.

Rozwiązaliśmy całą krzyżówkę i tym samym powtórzyliśmy materiał z poprzednich lekcji. Podnieś rękę, kto popełnił tylko jeden błąd, a kto dwa? (Więc jesteście wspaniali).

Cóż, teraz wróćmy do naszej krzyżówki. Na samym początku powiedziałem, że zawiera zaszyfrowane słowo, które powie nam temat lekcji.

Jaki więc będzie temat naszej lekcji?

Co dzisiaj pomnożymy?

Zastanówmy się, w tym celu pamiętamy typy liczb, które już znamy.

Zastanówmy się, jakie liczby już umiemy mnożyć?

Jakie liczby nauczymy się dziś mnożyć?

Zapisz w zeszycie temat lekcji: „Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych”.

Tak więc, chłopaki, dowiedzieliśmy się, o czym będziemy dzisiaj rozmawiać na zajęciach.

Powiedzcie proszę, jaki jest cel naszej lekcji, czego każdy z Was powinien się nauczyć i czego spróbować się nauczyć pod koniec lekcji?

Chłopaki, aby osiągnąć ten cel, jakie problemy będziemy musieli z wami rozwiązać?

Całkowita racja. To są dwa zadania, które będziemy musieli dziś z Państwem rozwiązać.

Pracujcie w parach, ustalcie temat i cel lekcji.

1.Naturalne

2.Moduł

3. Racjonalne

4.Naprzeciwko

5. Pozytywny

6. Całość

7.Zero

8.Koordynacja

9. Negatywne

-"Mnożenie"

Liczby dodatnie i ujemne

„Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych”

Cel lekcji:

Naucz się mnożyć liczby dodatnie i ujemne

Najpierw, aby nauczyć się mnożyć liczby dodatnie i ujemne, musisz uzyskać regułę.

Po drugie, kiedy mamy już regułę, co powinniśmy dalej zrobić? (naucz się go stosować przy rozwiązywaniu przykładów).

4. Zdobywanie nowej wiedzy i sposobów działania

Zdobądź nową wiedzę na dany temat.

-Organizacja pracy w grupach (nauka nowego materiału)

- Teraz, aby osiągnąć nasz cel, przejdziemy do pierwszego zadania, wyprowadzimy regułę mnożenia liczb dodatnich i ujemnych.

Pomogą nam w tym prace badawcze. A kto mi powie, dlaczego nazywa się to badaniami? - W tej pracy będziemy prowadzić badania, aby odkryć zasady „Mnożenia liczb dodatnich i ujemnych”.

Wasza praca badawcza będzie prowadzona w grupach, łącznie będziemy mieli 5 grup badawczych.

Powtarzaliśmy w myślach, jak powinniśmy pracować w grupie. Jeśli ktoś zapomniał, zasady są przed tobą na ekranie.

Twój cel Praca badawcza: Badając problemy, stopniowo wyprowadzaj regułę „Mnożenie liczb ujemnych i dodatnich” z zadania nr 2, w zadaniu nr 1 masz w sumie 4 problemy. Aby rozwiązać te problemy, pomoże Ci nasz termometr, każda grupa ma swój.

Wszystkie notatki zrób na kartce papieru.

Kiedy grupa znajdzie rozwiązanie pierwszego problemu, pokazujesz je na tablicy.

Masz 5-7 minut na pracę.

(Załącznik 2 )

Praca w grupach (wypełnij tabelę, przeprowadź badania)

Zasady pracy w grupach.

Praca w grupach jest bardzo łatwa

Wiedz, jak przestrzegać pięciu zasad:

po pierwsze: nie przeszkadzaj,

kiedy mówi

przyjacielu, wokół powinna panować cisza;

po drugie: nie krzycz głośno,

i podaj argumenty;

a trzecia zasada jest prosta:

zdecyduj, co jest dla Ciebie ważne;

po czwarte: nie wystarczy wiedzieć werbalnie,

musi zostać zarejestrowany;

i po piąte: podsumowuj, myśl,

co mogłeś zrobić.

Mistrzostwo

wiedzę i metody działania określone celami lekcji

5. Trening fizyczny

Ustal prawidłową asymilację nowego materiału na tym etapie, identyfikuj błędne przekonania i poprawiaj je

OK, umieściłem wszystkie Twoje odpowiedzi w tabeli, teraz spójrzmy na każdą linię w naszej tabeli (zobacz prezentację)

Jakie wnioski możemy wyciągnąć z analizy tabeli?

1 linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

2. linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

Trzecia linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

4. linia. Jakie liczby mnożymy? Jaka liczba jest odpowiedzią?

I tak przeanalizowałeś przykłady i jesteś gotowy do sformułowania reguł, w tym celu musiałeś wypełnić puste miejsca w drugim zadaniu.

Jak pomnożyć liczbę ujemną przez liczbę dodatnią?

- Jak pomnożyć dwie liczby ujemne?

Odpocznijmy trochę.

Pozytywna odpowiedź oznacza, że siadamy, negatywna odpowiedź oznacza, że wstajemy.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

Mnożenie liczby dodatnie, odpowiedź zawsze okazuje się liczbą dodatnią.

Kiedy mnożysz liczbę ujemną przez liczbę dodatnią, wynikiem jest zawsze liczba ujemna.

Przy mnożeniu liczb ujemnych wynik zawsze daje liczbę dodatnią.

Mnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną daje liczbę ujemną.

Aby pomnożyć dwie liczby o różnych znakach, potrzebujeszzwielokrotniać moduły tych liczb i wstaw znak „-” przed otrzymaną liczbą.

- Aby pomnożyć dwie liczby ujemne, potrzebujeszzwielokrotniać swoje moduły i umieść znak przed otrzymaną liczbą «+».

Studenci wykonują ćwiczenia fizyczne, wzmocnienie zasad.

Zapobiega zmęczeniu

7.Wstępna konsolidacja nowego materiału

Opanuj umiejętność zastosowania zdobytej wiedzy w praktyce.

Zorganizuj frontalnie i niezależna praca w oparciu o omawiany materiał.

Ustalmy zasady i powiedzmy sobie nawzajem te same zasady jako para. Daję ci na to minutę.

Powiedz mi, czy możemy teraz przejść do rozwiązywania przykładów? Tak możemy.

Otwórz stronę 192 nr 1121

Razem stworzymy pierwszą i drugą linię a)5*(-6)=30

b)9*(-3)=-27

g)0,7*(-8)=-5,6

h)-0,5*6=-3

n)1,2*(-14)=-16,8

o) -20,5*(-46)=943

trzy osoby w zarządzie

Na rozwiązanie przykładów masz 5 minut.

I sprawdzamy wszystko razem.

Twórcze zadanie w parach (załącznik nr 3)

Wstaw liczby tak, aby na każdym piętrze ich iloczyn był równy liczbie na dachu domu.

Rozwiązuj przykłady wykorzystując zdobytą wiedzę

Podnieście ręce, jeśli nie popełniliście żadnego błędu, brawo...

Aktywne działania uczniom zastosowanie wiedzy w życiu.

9. Refleksja (podsumowanie lekcji, ocena wyników uczniów)

Zapewnij uczniom refleksję, tj. ocenę ich działalności

Zorganizuj podsumowanie lekcji

Nasza lekcja dobiegła końca, podsumujmy.

Przypomnijmy sobie jeszcze raz temat naszej lekcji? Jaki cel sobie postawiliśmy? - Czy udało nam się ten cel osiągnąć?

Jakie trudności Ci to sprawiło? ten temat?

- Chłopaki, aby ocenić swoją pracę na zajęciach, musicie narysować buźkę w kręgach znajdujących się na waszych stołach.

Uśmiechnięty emotikon oznacza, że wszystko rozumiesz. Zielony oznacza, że rozumiesz, ale musisz poćwiczyć, i smutną buźkę, jeśli w ogóle nic nie zrozumiałeś. (Dam ci pół minuty)

No cóż, chłopaki, jesteście gotowi pokazać, jak dzisiaj pracowaliście na zajęciach? Podnieśmy to, a ja też podniosę dla ciebie uśmiechniętą buźkę.

Bardzo się cieszę, że jesteście dzisiaj na zajęciach! Widzę, że wszyscy zrozumieli materiał. Chłopaki, jesteście wielcy!

Lekcja dobiegła końca, dziękujemy za uwagę!

Odpowiadaj na pytania i oceniaj ich pracę

Tak, osiągnęliśmy to.

Otwartość uczniów na przekaz i zrozumienie swoich działań, na identyfikację pozytywnych i punkty ujemne lekcja

10 .Informacje o pracy domowej

Zapewnij zrozumienie celu, treści i metod realizacji Praca domowa

Umożliwia zrozumienie celu pracy domowej.

Praca domowa:

1. Naucz się zasad mnożenia
2.nr 1121 (3 kolumny).
3.Zadanie kreatywne: wykonaj test składający się z 5 pytań z możliwością odpowiedzi.

Zapisz swoją pracę domową, starając się ją zrozumieć i zrozumieć.

Uświadomienie konieczności osiągnięcia warunków dla udana realizacja prace domowe zadawane przez wszystkich uczniów, zgodnie z zadaniem i poziomem rozwoju uczniów

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji.

Temat:

sformułować regułę mnożenia liczb ujemnych i liczb o różnych znakach,
naucz uczniów, jak stosować tę zasadę.

Metatemat:

rozwinąć umiejętność pracy zgodnie z proponowanym algorytmem, opracować plan swoich działań,
rozwijać umiejętności samokontroli.

Osobisty:

rozwijać umiejętności komunikacyjne,
kształtować zainteresowania poznawcze uczniów.

Sprzęt: komputer, ekran, projektor multimedialny, prezentacja PowerPoint, materiały informacyjne: tabela z zasadami nagrywania, testy.

(Podręcznik N.Ya. Vilenkina „Matematyka. 6. klasa”, M: „Mnemosyne”, 2013.)

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Przekazywanie tematu lekcji i zapisywanie tematu w zeszytach przez uczniów.

II. Motywacja.

Slajd numer 2. (Cel lekcji. Plan lekcji).

Dzisiaj będziemy kontynuować naukę ważnej właściwości arytmetycznej - mnożenia.

Wiesz już, jak mnożyć liczby naturalne – słownie i kolumnowo,

III. Aktualizowanie wiedzy.

1) Slajd numer 3.

Rozwiąż równania: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Uczeń przy tablicy)

Wniosek: aby rozwiązać takie równania, musisz umieć pomnożyć różne liczby.

2) Samodzielne sprawdzenie pracy domowej. Przejrzyj zasady mnożenia ułamków dziesiętnych, ułamków zwykłych i liczb mieszanych. (Slajdy nr 4 i nr 5).

IV. Sformułowanie reguły.

Rozważ zadanie 1 (slajd numer 6).

Rozważ zadanie 2 (slajd nr 7).

W procesie rozwiązywania problemów musieliśmy pomnożyć liczby o różnych znakach i liczby ujemne. Przyjrzyjmy się bliżej temu mnożeniu i jego wynikom.

Mnożąc liczby o różnych znakach, otrzymujemy liczbę ujemną.

Spójrzmy na inny przykład. Znajdź iloczyn (–2) * 3, zastępując mnożenie sumą identycznych wyrazów. Podobnie znajdź produkt 3 * (–2). (Sprawdź - slajd nr 8).

Pytania:

1) Jaki jest znak wyniku mnożenia liczb o różnych znakach?

2) Jak uzyskuje się moduł wynikowy? Formułujemy regułę mnożenia liczb o różnych znakach i zapisujemy ją w lewej kolumnie tabeli. (Slajd nr 9 i Załącznik 1).

Zasada mnożenia liczb ujemnych i liczb o różnych znakach.

Wróćmy do drugiego zadania, w którym pomnożyliśmy dwie liczby ujemne. Dość trudno wytłumaczyć takie mnożenie w inny sposób.

Zatem Euler wyjaśnił wynik z grubsza w następujący sposób. (Slajd numer 10).

Jasne jest, że –2 · 3 = – 6. Zatem iloczyn (–2) · (–3) nie może być równy –6. Musi to jednak być jakoś powiązane z liczbą 6. Pozostaje jedna możliwość: (–2) · (–3) = 6. .

Pytania:

1) Jaki jest znak produktu?

2) Jak otrzymano moduł produktu?

Formułujemy regułę mnożenia liczb ujemnych i wypełniamy prawą kolumnę tabeli. (Slajd nr 11).

Aby ułatwić zapamiętanie zasady znaków podczas mnożenia, możesz zastosować jej sformułowanie wierszem. (Slajd nr 12).

Plus przez minus, mnożenie,
Bez ziewania stawiamy minus.
Pomnóż minus przez minus
W odpowiedzi damy Ci plusa!

V. Kształtowanie umiejętności.

Nauczmy się, jak zastosować tę regułę do obliczeń. Dzisiaj na lekcji będziemy wykonywać obliczenia tylko na liczbach całkowitych i ułamkach dziesiętnych.

1) Opracowanie planu działania.

Opracowano schemat stosowania reguły. Notatki robi się na tablicy. Przybliżony schemat na slajdzie nr 13.

2) Prowadzenie działań według schematu.

3) Pracujcie w parach.

Zadanie na slajdzie numer 15.

Zadanie dodatkowe dla par, które skończą pracę wcześniej: nr 1125.

Na koniec pracy przeprowadzana jest weryfikacja za pomocą gotowego rozwiązania znajdującego się na slajdzie nr 15 (wykorzystuje się animację).

Jeśli wielu osobom udało się rozwiązać nr 1125, wówczas dochodzi do wniosku, że znak liczby zmienia się po pomnożeniu przez (?1).

4) Ulga psychologiczna.

5) Niezależna praca.

Samodzielna praca - tekst na slajdzie nr 17. Po zakończeniu pracy - autotest z wykorzystaniem gotowego rozwiązania (slajd nr 17 - animacja, hiperłącze do slajdu nr 18).

VI. Sprawdzenie stopnia przyswojenia badanego materiału. Odbicie.

Studenci przystępują do testu. Na tej samej kartce oceń swoją pracę na zajęciach, wypełniając tabelę.

Przetestuj „Regułę mnożenia”. Opcja 1.

1) –13 * 5

A. –75. B. – 65. V. 65. D. 650.

2) –5 * (–33)

A. 165. B. –165. V. 350 G. –265.

3) –18 * (–9)

A. –162. B. 180. C. 162. D. 172.

4) –7 * (–11) * (–1)

A. 77. B. 0. C.–77. G. 72.

Przetestuj „Regułę mnożenia”. Opcja 2.

A. 84. B. 74. C. –84. G. 90.

2) –15 * (–6)

A. 80. B. –90. V. 60. D. 90.

A. 115. B. –165. W. 165. G. 0.

4) –6 * (–12) * (–1)

A. 60. B. –72. W. 72. G. 54.

VII. Praca domowa.

Klauzula 35, regulamin, nr 1143 (a – h), nr 1145 (c).

Literatura.

1) Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. „Matematyka 6. Podręcznik dla instytucje edukacyjne”, - M: „Mnemosyne”, 2013.

2) Chesnokov A.S., Neshkov K.I. „Materiały dydaktyczne z matematyki dla klasy 6”, M: „Prosveshchenie”, 2013.

3) Nikolsky S.M. i inne „Arytmetyka 6”: podręcznik dla instytucji edukacyjnych, M: „Prosveshchenie”, 2010.

4) Ershova A.P., Gołoborodko V.V. „Niezależny i papiery testowe z matematyki dla klasy 6.” M: „Ilexa”, 2010.

5) „365 zadań na pomysłowość”, oprac. G. Golubkova, M: „AST-PRESS”, 2006.

6) “Świetna encyklopedia Cyryla i Metodego 2010”, 3 CD.