Teraz zajmijmy się mnożenie i dzielenie.
Powiedzmy, że musimy pomnożyć +3 przez -4. Jak to zrobić?
Rozważmy taki przypadek. Trzy osoby są zadłużone, a każda z nich ma 4 dolary długu. Jaki jest całkowity dług? Aby go znaleźć, należy zsumować wszystkie trzy długi: 4 dolary + 4 dolary + 4 dolary = 12 dolarów. Zdecydowaliśmy, że dodanie trzech liczb 4 jest oznaczone jako 3x4. Od w w tym przypadku mówimy o długu, przed cyfrą 4 znajduje się znak „-”. Wiemy, że całkowity dług wynosi 12 dolarów, więc naszym problemem jest teraz 3x(-4)=-12.
Ten sam wynik otrzymamy, jeśli zgodnie z zadaniem każda z czterech osób będzie miała dług w wysokości 3 dolarów. Innymi słowy, (+4)x(-3)=-12. A ponieważ kolejność czynników nie ma znaczenia, otrzymujemy (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.
Podsumujmy wyniki. Gdy pomnożysz jedną liczbę dodatnią i jedną liczbę ujemną, wynikiem zawsze będzie liczba ujemna. Wartość liczbowa odpowiedzi będzie taka sama jak w przypadku liczb dodatnich. Produkt (+4)x(+3)=+12. Obecność znaku „-” wpływa tylko na znak, ale nie wpływa na wartość liczbową.
Jak pomnożyć dwie liczby ujemne?
Niestety bardzo trudno jest znaleźć odpowiedni przykład z życia wzięty na ten temat. Łatwo jest sobie wyobrazić dług na 3 czy 4 dolary, ale zupełnie nie można sobie wyobrazić -4 czy -3 osób, które popadły w długi.
Być może pójdziemy inną drogą. Przy mnożeniu, gdy zmienia się znak jednego z czynników, zmienia się znak iloczynu. Jeśli zmienimy znaki obu czynników, musimy zmienić dwukrotnie znak pracy, najpierw od dodatniego do ujemnego, a następnie odwrotnie, od ujemnego do dodatniego, to znaczy produkt będzie miał początkowy znak.
Dlatego jest całkiem logiczne, choć trochę dziwne, że (-3) x (-4) = +12.
Stanowisko znaku po pomnożeniu zmienia się to w następujący sposób:
- Liczba dodatnia x liczba dodatnia = liczba dodatnia;
- liczba ujemna x liczba dodatnia = liczba ujemna;
- liczba dodatnia x liczba ujemna = liczba ujemna;
- liczba ujemna x liczba ujemna = liczba dodatnia.
Innymi słowy, mnożenie dwóch liczb przez identyczne znaki, otrzymujemy liczbę dodatnią. Mnożenie dwóch liczb przez różne znaki, otrzymujemy liczbę ujemną.
Ta sama zasada dotyczy działania przeciwnego do mnożenia - dla.
Możesz to łatwo sprawdzić, uruchamiając odwrotne operacje mnożenia. W każdym z powyższych przykładów, jeśli pomnożysz iloraz przez dzielnik, otrzymasz dywidendę i upewnisz się, że ma ten sam znak, na przykład (-3)x(-4)=(+12).
Jako że zbliża się zima, czas pomyśleć o tym, w co zmienić żelazne podkowy, aby nie poślizgnąć się na lodzie i czuć się na nim pewnie. zimowe drogi. Możesz na przykład kupić opony Yokohama na stronie internetowej: mvo.ru lub kilku innych, najważniejsze jest to, że są wysokiej jakości, więcej informacji i cen można znaleźć na stronie Mvo.ru.
W tym artykule zajmiemy się mnożenie liczb o różnych znakach. Tutaj najpierw sformułowamy zasadę mnożenia liczb dodatnich i ujemnych, uzasadnimy ją, a następnie rozważymy zastosowanie tej reguły przy rozwiązywaniu przykładów.
Nawigacja strony.
Zasada mnożenia liczb o różnych znakach
Mnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną, a także liczby ujemnej przez liczbę dodatnią, przeprowadza się w następujący sposób: zasada mnożenia liczb o różnych znakach: aby pomnożyć liczby o różnych znakach, należy pomnożyć i umieścić znak minus przed otrzymanym iloczynem.
Zapiszmy tę regułę w formie listu. Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej −b równość a·(−b)=−(|a|·|b|) , a także dla liczby ujemnej −a i liczby dodatniej b równość (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Zasada mnożenia liczb o różnych znakach jest w pełni zgodna właściwości operacji na liczbach rzeczywistych. Rzeczywiście na ich podstawie łatwo wykazać, że dla liczb rzeczywistych i dodatnich a i b istnieje łańcuch równości postaci a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, co dowodzi, że a·(−b) i a·b są liczby przeciwne, co implikuje równość a·(−b)=−(a·b) . Z tego wynika ważność omawianej reguły mnożenia.
Należy zauważyć, że podana zasada mnożenia liczb o różnych znakach obowiązuje w obu przypadkach liczby rzeczywiste, zarówno dla liczb wymiernych, jak i dla liczb całkowitych. Wynika to z faktu, że operacje na liczbach wymiernych i całkowitych mają te same własności, które zostały użyte w powyższym dowodzie.
Oczywiste jest, że mnożenie liczb o różnych znakach zgodnie z otrzymaną regułą sprowadza się do mnożenia liczb dodatnich.
Pozostaje tylko rozważyć przykłady zastosowania zdemontowanej reguły mnożenia przy mnożeniu liczb o różnych znakach.
Przykłady mnożenia liczb o różnych znakach
Przyjrzyjmy się kilku rozwiązaniom przykłady mnożenia liczb przez różne znaki. Zacznijmy prosty przypadek, aby skupić się na etapach reguł, a nie na złożoności obliczeniowej.
Przykład.
Pomnóż liczbę ujemną −4 przez liczbę dodatnią 5.
Rozwiązanie.
Zgodnie z zasadą mnożenia liczb o różnych znakach, najpierw musimy pomnożyć wartości bezwzględne pierwotnych czynników. Moduł -4 wynosi 4, a moduł 5 wynosi 5, a pomnożenie liczb naturalnych 4 i 5 daje 20. Na koniec pozostaje postawić znak minus przed wynikową liczbą, mamy -20. To kończy mnożenie.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: (−4)·5=−(4,5)=−20.
Odpowiedź:
(−4)·5=−20.
Mnożąc ułamki zwykłe o różnych znakach, musisz umieć mnożyć ułamki zwykłe, mnożyć ułamki dziesiętne i ich kombinacje z naturalnymi i liczby mieszane.
Przykład.
Mnoży liczby o różnych znakach 0, (2) i .
Rozwiązanie.
Zamieniając okresowy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły, a także zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, z iloczynu pierwotnego 
dojdziemy do iloczynu ułamków zwykłych o różnych znakach postaci . Iloczyn ten, zgodnie z zasadą mnożenia liczb o różnych znakach, jest równy . Pozostaje tylko pomnożyć ułamki zwykłe w nawiasach 
.
Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci liczby całkowitej, należy uwzględnić części lub ułamki jakiejś miary. Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.
Wyrażenia ułamkowe długi czas uważany za najtrudniejszą gałąź matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.
Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części są dokładnie oddzielone linia pozioma, jako pierwszy przyczynił się do Fibonacciego - Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnoży się ułamki mieszane różne mianowniki.
Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:
- prawidłowy;
- błędny;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak mnoży się liczby ułamkowe same mianowniki. Sama zasada tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynik mnożenia ułamki proste o tych samych mianownikach jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków. Czyli w zasadzie nowy mianownik znajduje się plac jednego z pierwotnie istniejących.
Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym utworzony numer pod linią ułamkową będzie iloczyn różnych liczb i, oczywiście, kwadrat jednego wyrażenie numeryczne nie da się tego nazwać.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko wtedy, gdy liczby mianowników znajdują się obok siebie warte mnożniki Nie można skracać powyżej ani poniżej linii ułamkowej.
Razem z prostym liczby ułamkowe, istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykły część ułamkowa , regułę tego działania można zapisać jako:
A* B/C = a*b /C.
W istocie taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba terminów na to wskazuje Liczba naturalna. Szczególny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
D* mi/F = mi/f: d.
Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego. Można go również przedstawić jako ogólna formuła:
A BC = a*b+ c/c, gdzie jest mianownik nowa frakcja powstaje poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie jej przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.
Mnożenie ułamki niewłaściwe produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.
W Internecie jest wielu pomocników, którzy rozwiązują nawet złożone problemy. problemy matematyczne w różnych wersjach programu. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także produkować wszystkie inne najprostsze działania arytmetyczne z ułamkami zwykłymi i liczbami mieszanymi. Praca z nim jest prosta: wypełniasz odpowiednie pola na stronie serwisu i wybierasz znak działanie matematyczne i kliknij „oblicz”. Program oblicza automatycznie.
Temat działania arytmetyczne z liczbami ułamkowymi ma zastosowanie w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale cały wyrażenia ułamkowe , ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze się nauczył podstawowa wiedza obdarzyć całkowitym zaufaniem pomyślna decyzja bardzo złożone zadania.
Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Zwiększenie licznika – zasług – nie jest w mocy człowieka, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie, a przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).
Wzór na mnożenie ułamków:
Na przykład:
Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy ułamek można skrócić. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.
Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.
Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.
To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):
- zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
- mnożenie liczników i mianowników ułamków;
- zmniejsz ułamek;
- Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
Notatka! Mnożyć frakcja mieszana na inny ułamek mieszany, należy najpierw przekształcić je w postać ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć je zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.
Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia ułamek wspólny na numer.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.
Z powyższego przykładu jasno wynika, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.
Ułamki wielopiętrowe.
W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:
Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj dzielenia przez 2 punkty:
Notatka! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.
Notatka, Na przykład:
Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:
Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.
2. W zadaniach z różne rodzaje ułamki - przejdź do postaci ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.
4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe przekształcamy na zwykłe, dzieląc przez 2 punkty.
5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.