Aby pomnożyć liczby o różnych znakach, potrzebujesz. Mnożenie liczb o różnych znakach (klasa 6)

W tym artykule zajmiemy się mnożenie liczb o różnych znakach. Tutaj najpierw sformułowamy zasadę mnożenia liczb dodatnich i ujemnych, uzasadnimy ją, a następnie rozważymy zastosowanie tej reguły przy rozwiązywaniu przykładów.

Nawigacja strony.

Zasada mnożenia liczb o różnych znakach

Mnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną, a także liczby ujemnej przez liczbę dodatnią, przeprowadza się w następujący sposób: zasada mnożenia liczb przez różne znaki : aby pomnożyć liczby o różnych znakach, należy pomnożyć i umieścić znak minus przed otrzymanym iloczynem.

Zapiszmy tę regułę w formie listu. Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej −b równość a·(−b)=−(|a|·|b|) , a także dla liczby ujemnej −a i liczby dodatniej b równość (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Zasada mnożenia liczb o różnych znakach jest w pełni zgodna właściwości operacji na liczbach rzeczywistych. Rzeczywiście na ich podstawie łatwo wykazać, że dla liczb rzeczywistych i dodatnich a i b istnieje łańcuch równości postaci a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, co dowodzi, że a·(−b) i a·b są liczby przeciwne, co implikuje równość a·(−b)=−(a·b) . Z tego wynika ważność omawianej reguły mnożenia.

Należy zauważyć, że podana zasada mnożenia liczb o różnych znakach obowiązuje w obu przypadkach liczby rzeczywiste, i dla liczby wymierne i dla liczb całkowitych. Wynika to z faktu, że operacje na liczbach wymiernych i całkowitych mają te same własności, które zostały użyte w powyższym dowodzie.

Oczywiste jest, że mnożenie liczb o różnych znakach zgodnie z otrzymaną regułą sprowadza się do mnożenia liczb dodatnich.

Pozostaje tylko rozważyć przykłady zastosowania zdemontowanej reguły mnożenia przy mnożeniu liczb o różnych znakach.

Przykłady mnożenia liczb o różnych znakach

Przyjrzyjmy się kilku rozwiązaniom przykłady mnożenia liczb przez różne znaki. Zacznijmy prosty przypadek, aby skupić się na etapach reguł, a nie na złożoności obliczeniowej.

Pomnóż liczbę ujemną −4 przez liczbę dodatnią 5.

Zgodnie z zasadą mnożenia liczb o różnych znakach, najpierw musimy pomnożyć wartości bezwzględne pierwotnych czynników. Moduł −4 jest równy 4, a moduł 5 jest równy 5 i mnożenie liczby naturalne 4 i 5 daje 20. Na koniec pozostaje postawić znak minus przed wynikową liczbą, mamy -20. To kończy mnożenie.

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: (−4)·5=−(4,5)=−20.

(−4)·5=−20.

Podczas mnożenia liczby ułamkowe musisz umieć mnożyć przez różne znaki zwykłe ułamki, mnożenie ułamków dziesiętnych i ich kombinacje z liczbami naturalnymi i mieszanymi.

Mnożymy liczby o różnych znakach 0, (2) i.

Po przeprowadzeniu konwersji okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły, a także po przeprowadzeniu przejścia z liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy, z pierwotnego produktu dojdziemy do iloczynu zwykłych ułamków o różnych znakach postaci . Iloczyn ten jest równy zasadzie mnożenia liczb o różnych znakach. Pozostaje tylko pomnożyć ułamki zwykłe w nawiasach .

Osobno warto wspomnieć o mnożeniu liczb o różnych znakach, gdy występuje jeden lub oba czynniki

Teraz zajmijmy się mnożenie i dzielenie.

Powiedzmy, że musimy pomnożyć +3 przez -4. Jak to zrobić?

Rozważmy taki przypadek. Trzy osoby są zadłużone, a każda z nich ma 4 dolary długu. Jaki jest całkowity dług? Aby go znaleźć, należy zsumować wszystkie trzy długi: 4 dolary + 4 dolary + 4 dolary = 12 dolarów. Zdecydowaliśmy, że dodanie trzech liczb 4 jest oznaczone jako 3x4. Od w w tym przypadku mówimy o długu, przed cyfrą 4 znajduje się znak „-”. Wiemy, że całkowity dług wynosi 12 dolarów, więc naszym problemem jest teraz 3x(-4)=-12.

Ten sam wynik otrzymamy, jeśli zgodnie z zadaniem każda z czterech osób będzie miała dług w wysokości 3 dolarów. Innymi słowy, (+4)x(-3)=-12. A ponieważ kolejność czynników nie ma znaczenia, otrzymujemy (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.

Podsumujmy wyniki. Gdy pomnożysz jedną liczbę dodatnią i jedną liczbę ujemną, wynikiem zawsze będzie liczba ujemna. Wartość liczbowa odpowiedzi będzie taka sama jak w przypadku liczb dodatnich. Produkt (+4)x(+3)=+12. Obecność znaku „-” wpływa tylko na znak, ale nie wpływa na wartość liczbową.

Jak pomnożyć dwie liczby ujemne?

Niestety bardzo trudno jest znaleźć odpowiedni przykład z życia wzięty na ten temat. Łatwo jest sobie wyobrazić dług na 3 czy 4 dolary, ale zupełnie nie można sobie wyobrazić -4 czy -3 osób, które popadły w długi.

Być może pójdziemy inną drogą. Przy mnożeniu, gdy zmienia się znak jednego z czynników, zmienia się znak iloczynu. Jeśli zmienimy znaki obu czynników, musimy zmienić dwukrotnie znak pracy, najpierw od dodatniego do ujemnego, a następnie odwrotnie, od ujemnego do dodatniego, to znaczy produkt będzie miał początkowy znak.

Dlatego jest całkiem logiczne, choć trochę dziwne, że (-3) x (-4) = +12.

Stanowisko znaku po pomnożeniu zmienia się to w następujący sposób:

liczba dodatnia x liczba dodatnia = liczba dodatnia;
liczba ujemna x liczba dodatnia = liczba ujemna;
liczba dodatnia x liczba ujemna = liczba ujemna;
liczba ujemna x liczba ujemna = liczba dodatnia.

Innymi słowy, mnożenie dwóch liczb przez identyczne znaki, otrzymujemy liczbę dodatnią. Mnożąc dwie liczby o różnych znakach, otrzymujemy liczbę ujemną.

Ta sama zasada dotyczy działania przeciwnego do mnożenia - dla.

Możesz to łatwo sprawdzić, uruchamiając odwrotne operacje mnożenia. W każdym z powyższych przykładów, jeśli pomnożysz iloraz przez dzielnik, otrzymasz dywidendę i upewnisz się, że ma ten sam znak, na przykład (-3)x(-4)=(+12).

Jako że zbliża się zima, czas pomyśleć o tym, w co zmienić żelazne podkowy, aby nie poślizgnąć się na lodzie i czuć się na nim pewnie. zimowe drogi. Możesz na przykład kupić opony Yokohama na stronie internetowej: mvo.ru lub kilku innych, najważniejsze jest to, że są wysokiej jakości, więcej informacji i cen można znaleźć na stronie Mvo.ru.

Ten artykuł daje szczegółowa recenzja dzielenie liczb o różnych znakach. Najpierw podana jest zasada dzielenia liczb o różnych znakach. Poniżej znajdują się przykłady dzielenia liczb dodatnich przez ujemne i liczb ujemnych przez dodatnie.

Nawigacja strony.

Zasada dzielenia liczb o różnych znakach

W artykule dotyczącym dzielenia liczb całkowitych uzyskano zasadę dzielenia liczb całkowitych o różnych znakach. Można go rozszerzyć zarówno na liczby wymierne, jak i liczby rzeczywiste, powtarzając całe rozumowanie z powyższego artykułu.

Więc, zasada dzielenia liczb o różnych znakach ma następującą formułę: aby podzielić liczbę dodatnią przez liczbę ujemną lub liczbę ujemną przez dodatnią, należy podzielić dywidendę przez moduł dzielnika i umieścić znak minus przed otrzymaną liczbą.

Zapiszmy tę regułę dzielenia za pomocą liter. Jeśli liczby a i b mają różne znaki, wówczas formuła jest ważna a:b=−|a|:|b| .

Z podanej reguły jasno wynika, że wynikiem dzielenia liczb o różnych znakach jest liczba ujemna. Rzeczywiście, ponieważ moduł dzielnej i moduł dzielnika są liczbami dodatnimi, ich iloraz jest liczbą dodatnią, a znak minus powoduje, że liczba ta jest ujemna.

Należy zauważyć, że rozważana reguła ogranicza dzielenie liczb o różnych znakach do dzielenia liczb dodatnich.

Można podać inne sformułowanie reguły dzielenia liczb różnymi znakami: aby podzielić liczbę a przez liczbę b, należy pomnożyć liczbę a przez liczbę b −1, czyli odwrotność liczby b. To jest, a:b=ab-1 .

Reguły tej można użyć, gdy możliwe jest wyjście poza zbiór liczb całkowitych (ponieważ nie każda liczba całkowita ma odwrotność). Innymi słowy, dotyczy to zarówno zbioru liczb wymiernych, jak i zbioru liczb rzeczywistych.

Oczywiste jest, że ta zasada dzielenia liczb różnymi znakami pozwala przejść od dzielenia do mnożenia.

Tę samą zasadę stosuje się przy dzieleniu liczb ujemnych.

Pozostaje rozważyć, w jaki sposób przy rozwiązywaniu przykładów stosowana jest ta zasada dzielenia liczb różnymi znakami.

Przykłady dzielenia liczb różnymi znakami

Rozważmy rozwiązania kilku charakterystycznych cech przykłady dzielenia liczb różnymi znakami zrozumieć zasadę stosowania zasad z poprzedniego akapitu.

Podziel liczbę ujemną -35 przez liczbę dodatnią 7.

Zasada dzielenia liczb o różnych znakach nakazuje najpierw znaleźć moduły dzielnej i dzielnika. Moduł -35 wynosi 35, a moduł 7 wynosi 7. Teraz musimy podzielić moduł dywidendy przez moduł dzielnika, to znaczy musimy podzielić 35 przez 7. Pamiętając, jak dokonuje się dzielenia liczb naturalnych, otrzymujemy 35:7=5. Ostatnim krokiem, jaki pozostał z zasady dzielenia liczb o różnych znakach, jest postawienie minusa przed otrzymaną liczbą, mamy -5.

Oto całe rozwiązanie: .

Można było wyjść z innego sformułowania zasady dzielenia liczb o różnych znakach. W tym przypadku najpierw znajdujemy odwrotność dzielnika 7. Ta liczba jest ułamkiem wspólnym 1/7. Zatem, . Pozostaje pomnożyć liczby o różnych znakach: . Oczywiście doszliśmy do tego samego rezultatu.

(−35):7=−5 .

Oblicz iloraz 8:(−60) .

Zgodnie z zasadą dzielenia liczb o różnych znakach mamy 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Wynikowe wyrażenie odpowiada ujemnemu ułamkowi zwykłemu (patrz znak podziału jako słupek ułamkowy), możesz zmniejszyć ułamek o 4, otrzymujemy .

Zapiszmy krótko całe rozwiązanie: .

Podczas dzielenia ułamkowych liczb wymiernych o różnych znakach ich dzielna i dzielnik są zwykle przedstawiane jako ułamki zwykłe. Wynika to z faktu, że nie zawsze wygodnie jest dzielić liczby w innej notacji (na przykład dziesiętnej).

Moduł dzielnej jest równy, a moduł dzielnika wynosi 0,(23) . Aby podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika, przejdźmy do ułamków zwykłych.

Nawigacja strony.

Zasada mnożenia liczb o różnych znakach

Mnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną, a także liczby ujemnej przez liczbę dodatnią, przeprowadza się w następujący sposób: zasada mnożenia liczb o różnych znakach: aby pomnożyć liczby o różnych znakach, należy pomnożyć i umieścić znak minus przed otrzymanym iloczynem.

Zapiszmy tę regułę w formie listu. Za jakikolwiek pozytyw prawdziwy numer a i rzeczywistą liczbę ujemną −b zachodzi równość: a·(−b)=−(|a|·|b|) , a także dla liczby ujemnej −a i liczby dodatniej b równość (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Zasada mnożenia liczb o różnych znakach jest w pełni zgodna właściwości operacji na liczbach rzeczywistych. Rzeczywiście na ich podstawie łatwo wykazać, że dla liczb rzeczywistych i dodatnich a i b istnieje łańcuch równości postaci a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, co dowodzi, że a·(−b) i a·b są liczbami przeciwnymi, co implikuje równość a·(−b)=−(a·b) . Z tego wynika ważność omawianej reguły mnożenia.

Należy zauważyć, że podana zasada mnożenia liczb o różnych znakach obowiązuje zarówno dla liczb rzeczywistych, jak i liczby wymierne i dla liczby całkowite. Wynika to z faktu, że operacje na liczbach wymiernych i całkowitych mają te same własności, które zostały użyte w powyższym dowodzie.

Oczywiste jest, że mnożenie liczb o różnych znakach zgodnie z otrzymaną regułą sprowadza się do mnożenia liczb dodatnich.

Pozostaje tylko rozważyć przykłady zastosowania zdemontowanej reguły mnożenia przy mnożeniu liczb o różnych znakach.

Przykłady mnożenia liczb o różnych znakach

Przyjrzyjmy się kilku rozwiązaniom przykłady mnożenia liczb przez różne znaki. Zacznijmy od prostego przypadku, aby skupić się na etapach reguły, a nie na złożoności obliczeniowej.

Przykład.

Pomnóż liczbę ujemną −4 przez liczbę dodatnią 5.

Rozwiązanie.

Zgodnie z zasadą mnożenia liczb o różnych znakach, najpierw musimy pomnożyć wartości bezwzględne pierwotnych czynników. Moduł -4 jest równy 4, a moduł 5 jest równy 5, i mnożenie liczb naturalnych 4 i 5 daje 20. Na koniec pozostaje postawić znak minus przed wynikową liczbą, mamy -20. To kończy mnożenie.

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: (−4)·5=−(4,5)=−20.

Odpowiedź:

(−4)·5=−20.

Mnożąc liczby ułamkowe o różnych znakach, musisz być w stanie to zrobić mnożenie ułamków zwykłych , mnożenie ułamków dziesiętnych oraz ich kombinacje z liczbami naturalnymi i mieszanymi.

Przykład.

Mnoży liczby o różnych znakach 0, (2) i .

Rozwiązanie.

Po ukończeniu zamiana okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły, a także robiąc przejście od liczby mieszanej do ułamka niewłaściwego, z oryginalnego dzieła dojdziemy do iloczynu ułamków zwykłych o różnych znakach postaci . Iloczyn ten, zgodnie z zasadą mnożenia liczb o różnych znakach, jest równy . Pozostaje tylko pomnożyć ułamki zwykłe w nawiasach .

Ta lekcja dotyczy mnożenia i dzielenia liczb wymiernych.

Treść lekcji

Mnożenie liczb wymiernych

Zasady mnożenia liczb całkowitych dotyczą także liczb wymiernych. Innymi słowy, aby pomnożyć liczby wymierne, trzeba to umieć

Trzeba także znać podstawowe prawa mnożenia, takie jak: prawo przemienności mnożenia, prawo łączenia mnożenia, prawo rozdzielności mnożenia i mnożenia przez zero.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Aby pomnożyć liczby wymierne o różnych znakach, należy pomnożyć ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią.

Aby wyraźnie zobaczyć, że mamy do czynienia z liczbami o różnych znakach, każdą liczbę wymierną ujęliśmy w nawiasy kwadratowe wraz z jej znakami

Moduł liczby jest równy , a moduł liczby jest równy . Mnożenie powstałych modułów jako ułamki dodatnie, otrzymaliśmy odpowiedź, ale przed odpowiedzią postawiliśmy minus, jak wymagała od nas zasada. Aby zapewnić ten minus przed odpowiedzią, w nawiasach wykonano mnożenie modułów, poprzedzone minusem.

Krótkie rozwiązanie wygląda następująco:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to mnożenie ujemnych liczb wymiernych. Aby pomnożyć ujemne liczby wymierne, należy pomnożyć ich moduły i umieścić plus przed wynikową odpowiedzią

Rozwiązanie dla ten przykład można krótko napisać:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:

Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy minus przed wynikową odpowiedzią

Krótkie rozwiązanie będzie wyglądać znacznie prościej:

Przykład 6. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy. Przepiszmy resztę tak, jak jest

Otrzymaliśmy mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy minus przed wynikową odpowiedzią. Wpis z modułami można pominąć, aby nie zaśmiecać wyrażenia

Rozwiązanie tego przykładu można krótko napisać

Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy minus przed wynikową odpowiedzią

Początkowo odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, ale podkreśliliśmy w niej całą część. zauważ to cała część został oddzielony od modułu frakcji. Otrzymaną liczbę mieszaną ujęto w nawiasy poprzedzone znakiem minus. Ma to na celu zapewnienie spełnienia wymogu reguły. A zasada wymagała, aby otrzymaną odpowiedź poprzedzić minusem.

Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:

Przykład 8. Znajdź wartość wyrażenia

Najpierw pomnóżmy i pomnóżmy wynikową liczbę przez pozostałą liczbę 5. Pomińmy wpis z modułami, żeby nie zaśmiecać wyrażenia.

Odpowiedź: wartość wyrażenia równa się -2.

Przykład 9. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Przetłumaczmy liczby mieszane do ułamków niewłaściwych:

Otrzymaliśmy mnożenie ujemnych liczb wymiernych. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy plus przed wynikową odpowiedzią. Wpis z modułami można pominąć, aby nie zaśmiecać wyrażenia

Przykład 10. Znajdź wartość wyrażenia

Wyrażenie składa się z kilku czynników. Według prawo kombinacyjne mnożenie, jeśli wyrażenie składa się z kilku czynników, wówczas iloczyn nie będzie zależał od kolejności operacji. To pozwala nam obliczyć to wyrażenie w dowolnej kolejności.

Nie wymyślajmy koła na nowo, ale obliczmy to wyrażenie od lewej do prawej, w kolejności czynników. Pomińmy wpis z modułami, żeby nie zaśmiecać wyrażenia

Trzecia akcja:

Czwarta akcja:

Odpowiedź: wartość wyrażenia wynosi

Przykład 11. Znajdź wartość wyrażenia

Pamiętajmy o prawie mnożenia przez zero. Prawo to stanowi, że iloczyn jest równy zeru, jeśli co najmniej jeden z czynników równy zeru.

W naszym przykładzie jeden z czynników jest równy zero, więc nie tracąc czasu odpowiadamy, że wartość wyrażenia jest równa zero:

Przykład 12. Znajdź wartość wyrażenia

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

W naszym przykładzie jeden z czynników jest równy zero, więc nie tracąc czasu odpowiadamy, że wartość wyrażenia równa się zeru:

Przykład 13. Znajdź wartość wyrażenia

Możesz zastosować kolejność działań i najpierw obliczyć wyrażenie w nawiasach, a wynikową odpowiedź pomnożyć przez ułamek.

Możesz także skorzystać z rozdzielnego prawa mnożenia - pomnóż każdy wyraz sumy przez ułamek i dodaj otrzymane wyniki. Będziemy korzystać z tej metody.

Zgodnie z kolejnością działań, jeśli wyrażenie zawiera dodawanie i mnożenie, najpierw należy wykonać mnożenie. Dlatego w powstałym nowym wyrażeniu umieśćmy w nawiasach te parametry, które należy pomnożyć. W ten sposób możemy wyraźnie zobaczyć, które działania wykonać wcześniej, a które później:

Trzecia akcja:

Odpowiedź: wartość wyrażenia równa się

Rozwiązanie tego przykładu można zapisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:

Oczywiste jest, że ten przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Dlatego powinieneś rozwinąć umiejętność analizowania wyrażeń przed ich rozwiązaniem. Prawdopodobnie da się to rozwiązać mentalnie i zaoszczędzić mnóstwo czasu i nerwów. A na sprawdzianach i egzaminach, jak wiadomo, czas jest bardzo cenny.

Przykład 14. Znajdź wartość wyrażenia −4,2 × 3,2

Jest to mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy minus przed wynikową odpowiedzią

Zwróć uwagę, jak pomnożono moduły liczb wymiernych. W tym przypadku do pomnożenia modułów liczb wymiernych potrzebne było .

Przykład 15. Znajdź wartość wyrażenia −0,15 × 4

Jest to mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy minus przed wynikową odpowiedzią

Zwróć uwagę, jak pomnożono moduły liczb wymiernych. W tym przypadku, aby pomnożyć moduły liczb wymiernych, trzeba było to umieć.

Przykład 16. Znajdź wartość wyrażenia −4,2 × (−7,5)

Jest to mnożenie ujemnych liczb wymiernych. Pomnóżmy moduły tych liczb i postawmy plus przed wynikową odpowiedzią

Podział liczb wymiernych

Zasady dzielenia liczb całkowitych dotyczą także liczb wymiernych. Innymi słowy, aby móc dzielić liczby wymierne, trzeba to umieć

W przeciwnym razie stosuje się te same metody dzielenia ułamków zwykłych i dziesiętnych. Aby podzielić ułamek zwykły przez inny ułamek, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego ułamka.

I dzielić dziesiętny na inny ułamek dziesiętny, należy przesunąć przecinek w dzielnej i dzielniku w prawo o tyle cyfr, ile jest po przecinku w dzielniku, a następnie wykonać dzielenie jak zwykłą liczbę.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Jest to dzielenie liczb wymiernych o różnych znakach. Aby obliczyć takie wyrażenie, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Zatem pomnóżmy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Otrzymaliśmy mnożenie liczb wymiernych o różnych znakach. Wiemy już, jak obliczyć takie wyrażenia. Aby to zrobić, musisz pomnożyć moduły tych liczb wymiernych i postawić minus przed wynikową odpowiedzią.

Dokończmy ten przykład do końca. Wpis z modułami można pominąć, aby nie zaśmiecać wyrażenia

Zatem wartość wyrażenia wynosi

Szczegółowe rozwiązanie wygląda następująco:

Krótkie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to dzielenie liczb wymiernych o różnych znakach. Aby obliczyć to wyrażenie, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Odwrotnością drugiego ułamka jest ułamek . Pomnóżmy przez to pierwszy ułamek:

Krótkie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Jest to dzielenie ujemnych liczb wymiernych. Aby obliczyć to wyrażenie, musisz ponownie pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Odwrotnością drugiego ułamka jest ułamek . Pomnóżmy przez to pierwszy ułamek:

Otrzymaliśmy mnożenie ujemnych liczb wymiernych. Jak to się oblicza podobne wyrażenie już wiemy. Musisz pomnożyć moduły liczb wymiernych i umieścić plus przed wynikową odpowiedzią.

Zakończmy ten przykład do końca. Możesz pominąć wpis z modułami, aby nie zaśmiecać wyrażenia:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Aby obliczyć to wyrażenie, musisz pomnożyć pierwszą liczbę −3 przez ułamek, ułamek odwrotny.

Odwrotnością ułamka jest ułamek . Pomnóż przez nią pierwszą liczbę −3

Przykład 6. Znajdź wartość wyrażenia

Aby obliczyć to wyrażenie, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez liczbę odwrotność liczby 4.

Odwrotnością liczby 4 jest ułamek. Pomnóż przez to pierwszy ułamek

Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia

Aby obliczyć to wyrażenie, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność −3

Odwrotność -3 jest ułamkiem. Pomnóżmy przez to pierwszy ułamek:

Przykład 6. Znajdź wartość wyrażenia -14,4: 1,8

Jest to dzielenie liczb wymiernych o różnych znakach. Aby obliczyć to wyrażenie, należy podzielić moduł dywidendy przez moduł dzielnika i postawić minus przed wynikową odpowiedzią.

Zwróć uwagę, jak moduł dzielnej został podzielony przez moduł dzielnika. W tym przypadku, żeby zrobić to poprawnie, trzeba było umieć.

Jeśli nie chcesz bawić się z ułamkami dziesiętnymi (a to się często zdarza), to przelicz te liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonaj dzielenie.

Obliczmy w ten sposób poprzednie wyrażenie −14,4: 1,8. Zamieńmy ułamki dziesiętne na liczby mieszane:

Zamieńmy teraz powstałe liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

Teraz możesz dzielić bezpośrednio, czyli dzielić ułamek przez ułamek. Aby to zrobić, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotny ułamek drugiego:

Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia

Zamieńmy ułamek dziesiętny -2,06 na ułamek niewłaściwy i pomnóżmy ten ułamek przez odwrotność drugiego ułamka:

Ułamki wielopiętrowe

Często można spotkać się z wyrażeniem, w którym dzielenie ułamków zapisuje się za pomocą linii ułamkowej. Na przykład wyrażenie można zapisać w następujący sposób:

Jaka jest różnica między wyrażeniami i ? Naprawdę nie ma różnicy. Te dwa wyrażenia mają to samo znaczenie i możemy postawić między nimi znak równości:

W pierwszym przypadku znakiem podziału jest dwukropek, a wyrażenie zapisywane jest w jednym wierszu. W drugim przypadku dzielenie ułamków zapisuje się za pomocą linii ułamkowej. Rezultatem jest ułamek, na który ludzie zgadzają się zadzwonić wielopiętrowy.

W przypadku takich wyrażeń wielopiętrowych należy zastosować te same zasady dzielenia ułamków zwykłych. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez odwrotność drugiego.

Użyj w roztworze podobne frakcje niezwykle niewygodne, dlatego można je zapisać w zrozumiałej formie, używając dwukropka zamiast ukośnika jako znaku podziału.

Na przykład napiszmy ułamek wielopiętrowy w zrozumiałej formie. Aby to zrobić, musisz najpierw dowiedzieć się, gdzie jest pierwszy ułamek, a gdzie drugi, ponieważ nie zawsze można to zrobić poprawnie. Ułamki wielopoziomowe mają kilka linii ułamkowych, które mogą być mylące. Główna linia ułamkowa oddzielająca pierwszy ułamek od drugiego jest zwykle dłuższa od pozostałych.

Po określeniu głównej linii ułamkowej możesz łatwo zrozumieć, gdzie jest pierwszy ułamek, a gdzie drugi:

Przykład 2.

Znajdujemy główną linię ułamkową (jest najdłuższa) i widzimy, że liczba całkowita −3 jest dzielona przez ułamek zwykły

A gdybyśmy za główną (tą krótszą) przyjęli błędnie drugą linię ułamkową, to okazałoby się, że dzielimy ułamek przez liczbę całkowitą 5. W tym przypadku, nawet jeśli to wyrażenie zostanie poprawnie obliczone, to problem zostanie rozwiązany niepoprawnie, ponieważ dywidenda w tym przypadku jest liczbą -3, a dzielnikiem jest ułamek .

Przykład 3. Zapiszmy ułamek wielopoziomowy w zrozumiałej formie

Znajdujemy główną linię ułamkową (jest najdłuższa) i widzimy, że ułamek jest dzielony przez liczbę całkowitą 2

A jeśli błędnie przyjmiemy za wiodącą (tą krótszą) pierwszą linię ułamkową, to okaże się, że dzielimy liczbę całkowitą -5 przez ułamek.W tym przypadku, nawet jeśli to wyrażenie zostanie poprawnie obliczone, problem zostanie rozwiązany niepoprawnie, ponieważ dywidenda w tym przypadku ułamek wynosi , a dzielnik jest liczbą całkowitą 2.

Pomimo tego, że ułamki wielopoziomowe są niewygodne w obsłudze, spotkamy się z nimi bardzo często, szczególnie podczas studiowania matematyki wyższej.

Naturalnie, to wymaga Dodatkowy czas i miejsce. Dlatego możesz użyć więcej szybka metoda. Ta metoda jest wygodna, a wynik pozwala uzyskać gotowe wyrażenie, w którym pierwszy ułamek został już pomnożony przez odwrotność ułamka drugiego.

Ta metoda jest implementowana w następujący sposób:

Jeśli na przykład ułamek jest czteropiętrowy, numer znajdujący się na pierwszym piętrze zostaje podniesiony na najwyższe piętro. A figura znajdująca się na drugim piętrze zostaje podniesiona na trzecie piętro. Otrzymane liczby należy połączyć znakami mnożenia (×)

W rezultacie omijając zapis pośredni, otrzymujemy nowe wyrażenie, w którym pierwszy ułamek został już pomnożony przez odwrotność ułamka drugiego. Wygoda i tyle!

Aby uniknąć błędów podczas używania Ta metoda możesz kierować się następującą zasadą:

Od pierwszego do czwartego. Od drugiego do trzeciego.

W regule mówimy o o podłogach. Postać z pierwszego piętra należy przenieść na czwarte piętro. A figurę z drugiego piętra należy przenieść na trzecie piętro.

Spróbujmy obliczyć ułamek wielopiętrowy, korzystając z powyższej reguły.

Podnosimy więc numer znajdujący się na pierwszym piętrze na czwarte piętro i podnosimy numer znajdujący się na drugim piętrze na trzecie piętro

W rezultacie omijając zapis pośredni, otrzymujemy nowe wyrażenie, w którym pierwszy ułamek został już pomnożony przez odwrotność ułamka drugiego. Następnie możesz wykorzystać swoją istniejącą wiedzę:

Spróbujmy obliczyć ułamek wielopoziomowy, korzystając z nowego schematu.

Są tylko pierwsze, drugie i czwarte piętro. Nie ma trzeciego piętra. Ale nie odchodzimy od podstawowego schematu: podnosimy figurę z pierwszego piętra na czwarte piętro. A ponieważ nie ma trzeciego piętra, numer znajdujący się na drugim piętrze pozostawiamy bez zmian

W rezultacie, pomijając zapis pośredni, otrzymaliśmy nowe wyrażenie, w którym pierwsza liczba -3 została już pomnożona przez odwrotność ułamka drugiej. Następnie możesz wykorzystać swoją istniejącą wiedzę:

Spróbujmy obliczyć ułamek wielopiętrowy, korzystając z nowego schematu.

Są tylko drugie, trzecie i czwarte piętro. Nie ma pierwszego piętra. Ponieważ nie ma pierwszego piętra, nie ma co wchodzić na czwarte piętro, ale możemy podnieść figurę z drugiego piętra na trzecie:

W rezultacie, omijając zapis pośredni, otrzymaliśmy nowe wyrażenie, w którym pierwszy ułamek został już pomnożony przez odwrotność dzielnika. Następnie możesz wykorzystać swoją istniejącą wiedzę:

Używanie zmiennych

Jeśli wyrażenie jest złożone i wydaje Ci się, że będzie Cię to dezorientowało w procesie rozwiązywania problemu, wówczas część wyrażenia można umieścić w zmiennej i następnie pracować z tą zmienną.

Matematycy często to robią. Trudne zadanie podziel je na łatwiejsze podzadania i rozwiąż je. Następnie rozwiązane podzadania są zbierane w jedną całość. Ten proces twórczy a tego uczy się latami poprzez ciężki trening.

Użycie zmiennych jest uzasadnione w przypadku pracy z ułamkami wielopoziomowymi. Na przykład:

Znajdź wartość wyrażenia

Zatem w liczniku i mianowniku znajduje się wyrażenie ułamkowe wyrażenia ułamkowe. Innymi słowy, znów mamy do czynienia z ułamkiem wielopiętrowym, którego tak bardzo nie lubimy.

Wyrażenie w liczniku można wpisać do zmiennej o dowolnej nazwie, np.:

Jednak w matematyce w takim przypadku zwyczajowo nazywa się zmienne wielkimi literami łacińskimi. Nie łammy tej tradycji, a pierwsze wyrażenie oznaczmy dużą Litera łacińska A

A wyrażenie w mianowniku można oznaczyć wielką literą B

Teraz nasze oryginalne wyrażenie ma postać . Oznacza to, że dokonaliśmy wymiany wyrażenie numeryczne na literę, po uprzednim wpisaniu licznika i mianownika do zmiennych A i B.

Teraz możemy oddzielnie obliczyć wartość zmiennej A i wartość zmiennej B. Gotowe wartości wprowadzimy.

Znajdźmy wartość zmiennej A

Znajdźmy wartość zmiennej B

Podstawmy teraz ich wartości do wyrażenia głównego zamiast zmiennych A i B:

Otrzymaliśmy ułamek wielopiętrowy, w którym możemy zastosować schemat „od pierwszego do czwartego, od drugiego do trzeciego”, czyli podnieść numer znajdujący się na pierwszym piętrze na czwarte piętro i podnieść numer znajdujący się na drugim piętrze na trzecim piętrze. Dalsze obliczenia nie będą trudne:

Zatem wartość wyrażenia wynosi -1.

Oczywiście, że rozważaliśmy najprostszy przykład, ale naszym celem było nauczenie się, jak możemy używać zmiennych, aby sobie ułatwić i zminimalizować błędy.

Należy również zauważyć, że rozwiązanie tego przykładu można zapisać bez użycia zmiennych. To będzie wyglądać

To rozwiązanie jest szybsze i krótsze i w tym przypadku rozsądniej jest zapisać to w ten sposób, ale jeśli wyrażenie okaże się złożone, składające się z kilku parametrów, nawiasów, pierwiastków i potęg, wówczas wskazane jest obliczenie go w kilku etapach, wprowadzając część swoich wyrażeń do zmiennych.

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołączć do naszego Nowa grupa VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach