Jak znaleźć odwrotność liczby naturalnej. Odwróć liczbę rzeczywistą

Podajmy definicję i podajmy przykłady liczb odwrotnych. Przyjrzyjmy się, jak znaleźć odwrotność liczby naturalnej i odwrotność ułamka zwykłego. Ponadto zapisujemy i udowadniamy nierówność odzwierciedlającą własność sumy liczb odwrotnych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Liczby wzajemne. Definicja

Definicja. Liczby wzajemne

Liczby odwrotne to liczby, których iloczyn jest równy jeden.

Jeżeli a · b = 1, to możemy powiedzieć, że liczba a jest odwrotnością liczby b, tak jak liczba b jest odwrotnością liczby a.

Najprostszym przykładem liczb odwrotnych są dwie jednostki. Rzeczywiście, 1 · 1 = 1, zatem a = 1 i b = 1 są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Innym przykładem są liczby 3 i 1 3, - 2 3 i - 3 2, 6 13 i 13 6, log 3 17 i log 17 3. Iloczyn dowolnej pary liczb powyżej jest równy jeden. Jeżeli ten warunek nie jest spełniony, jak na przykład w przypadku liczb 2 i 2 3, to liczby te nie są wzajemnie odwrotne.

Definicja liczb odwrotnych obowiązuje dla dowolnej liczby - naturalnej, całkowitej, rzeczywistej i zespolonej.

Jak znaleźć odwrotność danej liczby

Rozważmy przypadek ogólny. Jeśli pierwotna liczba jest równa a, wówczas jej liczba odwrotna zostanie zapisana jako 1 a lub a - 1. Rzeczywiście, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

W przypadku liczb naturalnych i ułamków zwykłych znalezienie odwrotności jest dość proste. Można nawet powiedzieć, że to oczywiste. Jeśli znajdziesz liczbę, która jest odwrotnością liczby niewymiernej lub zespolonej, będziesz musiał wykonać serię obliczeń.

Rozważmy najczęstsze przypadki znalezienia liczby odwrotnej w praktyce.

Odwrotność ułamka zwykłego

Oczywiście odwrotnością ułamka zwykłego a b jest ułamek b a. Aby znaleźć odwrotność ułamka, wystarczy odwrócić ułamek. To znaczy zamień licznik i mianownik.

Zgodnie z tą zasadą możesz niemal natychmiast zapisać odwrotność dowolnego ułamka zwykłego. Zatem dla ułamka 28 57 liczbą odwrotną będzie ułamek 57 28, a dla ułamka 789 256 - liczba 256 789.

Odwrotność liczby naturalnej

Odwrotność dowolnej liczby naturalnej można znaleźć w taki sam sposób, jak odwrotność ułamka zwykłego. Wystarczy przedstawić liczbę naturalną a w postaci ułamka zwykłego a 1. Wtedy jego odwrotną liczbą będzie liczba 1 a. Dla liczby naturalnej 3 jej odwrotnością jest ułamek 1 3, dla liczby 666 odwrotnością jest 1 666 i tak dalej.

Szczególną uwagę należy zwrócić na jedynkę, ponieważ jest to jedyna liczba, której odwrotność jest równa samej sobie.

Nie ma innych par liczb odwrotnych, w których oba składniki są równe.

Odwrotność liczby mieszanej

Liczba mieszana wygląda jak a b c. Aby znaleźć jej liczbę odwrotną, należy przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy, a następnie wybrać liczbę odwrotną dla powstałego ułamka.

Na przykład znajdźmy liczbę odwrotną dla 7 2 5. Najpierw wyobraźmy sobie 7 2 5 jako ułamek niewłaściwy: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Dla ułamka niewłaściwego 37 5 odwrotność wynosi 5 37.

Odwrotność ułamka dziesiętnego

Ułamek dziesiętny można również przedstawić jako ułamek zwykły. Znalezienie odwrotności liczby dziesiętnej sprowadza się do przedstawienia ułamka dziesiętnego w postaci ułamka zwykłego i znalezienia jego odwrotności.

Na przykład istnieje ułamek 5, 128. Znajdźmy jego liczbę odwrotną. Najpierw zamień ułamek dziesiętny na ułamek zwykły: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Dla powstałego ułamka liczbą odwrotną będzie ułamek 125 641.

Spójrzmy na inny przykład.

Przykład. Znajdowanie odwrotności ułamka dziesiętnego

Znajdźmy liczbę odwrotną dla okresowego ułamka dziesiętnego 2, (18).

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Po przeliczeniu możemy łatwo zapisać liczbę odwrotną dla ułamka 24 11. Liczba ta będzie oczywiście wynosić 11 24.

W przypadku nieskończonego i nieokresowego ułamka dziesiętnego liczbę odwrotną zapisuje się jako ułamek z jednostką w liczniku i samym ułamkiem w mianowniku. Na przykład dla nieskończonego ułamka 3, 6025635789. . . liczba odwrotna będzie wynosić 1 3, 6025635789. . . .

Podobnie w przypadku liczb niewymiernych odpowiadających nieokresowym ułamkom nieskończonym liczby odwrotne zapisuje się w postaci wyrażeń ułamkowych.

Na przykład odwrotność dla π + 3 3 80 wyniesie 80 π + 3 3, a dla liczby 8 + e 2 + e odwrotnością będzie ułamek 1 8 + e 2 + e.

Liczby odwrotne z pierwiastkami

Jeśli typ dwóch liczb jest inny niż a i 1 a, wówczas nie zawsze łatwo jest określić, czy liczby te są odwrotne. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku liczb, które mają w zapisie znak pierwiastka, ponieważ zwykle zwyczajowo pozbywa się pierwiastka z mianownika.

Przejdźmy do praktyki.

Odpowiedzmy na pytanie: czy liczby 4 - 2 3 i 1 + 3 2 są odwrotne?

Aby dowiedzieć się, czy liczby są odwrotne, obliczmy ich iloczyn.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Iloczyn jest równy jeden, co oznacza, że ​​liczby są odwrotne.

Spójrzmy na inny przykład.

Przykład. Liczby odwrotne z pierwiastkami

Zapisz odwrotność 5 3 + 1.

Możemy od razu napisać, że liczba odwrotna jest równa ułamkowi 1 5 3 + 1. Jednak, jak już powiedzieliśmy, zwyczajowo pozbywamy się pierwiastka z mianownika. Aby to zrobić, pomnóż licznik i mianownik przez 25 3 - 5 3 + 1. Otrzymujemy:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Liczby odwrotne z potęgami

Załóżmy, że istnieje liczba równa pewnej potędze liczby a. Innymi słowy, liczba a podniesiona do potęgi n. Odwrotnością liczby an jest liczba a - n . Sprawdźmy to. Rzeczywiście: za n · za - n = za n 1 · 1 za n = 1 .

Przykład. Liczby odwrotne z potęgami

Znajdźmy liczbę odwrotną dla 5 - 3 + 4.

Zgodnie z tym, co napisano powyżej, wymagana liczba to 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Liczby odwrotne z logarytmami

W przypadku logarytmu liczby o podstawie b odwrotnością jest liczba równa logarytmowi b o podstawie a.

log a b i log b a są liczbami wzajemnie odwrotnymi.

Sprawdźmy to. Z własności logarytmu wynika, że ​​log a b = 1 log b a, co oznacza log a b · log b a.

Przykład. Liczby odwrotne z logarytmami

Znajdź odwrotność log 3 5 - 2 3 .

Odwrotność logarytmu 3 do podstawy 3 5 - 2 jest logarytmem 3 5 - 2 do podstawy 3.

Odwrotność liczby zespolonej

Jak wspomniano wcześniej, definicja liczb odwrotnych obowiązuje nie tylko dla liczb rzeczywistych, ale także dla liczb zespolonych.

Liczby zespolone są zwykle przedstawiane w postaci algebraicznej z = x + i y. Odwrotnością podanej liczby jest ułamek

1 x + i y . Dla wygody możesz skrócić to wyrażenie, mnożąc licznik i mianownik przez x - i y.

Przykład. Odwrotność liczby zespolonej

Niech będzie liczba zespolona z = 4 + i. Znajdźmy odwrotność tego.

Odwrotność z = 4 + i będzie równa 1 4 + i.

Pomnóż licznik i mianownik przez 4 - i i otrzymaj:

1 4 + ja = 4 - ja 4 + ja 4 - ja = 4 - ja 4 2 - ja 2 = 4 - ja 16 - (- 1) = 4 - ja 17 .

Oprócz postaci algebraicznej liczbę zespoloną można przedstawić w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej w następujący sposób:

z = r cos φ + ja sin φ

z = r mi ja φ

Odpowiednio liczba odwrotna będzie wyglądać następująco:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Upewnijmy się co do tego:

r cos φ + ja grzech φ 1 r cos (- φ) + ja grzech (- φ) = r r cos 2 φ + grzech 2 φ = 1 r mi ja φ 1 r mi ja (- φ) = r r mi 0 = 1

Rozważmy przykłady z reprezentacją liczb zespolonych w formie trygonometrycznej i wykładniczej.

Znajdźmy liczbę odwrotną dla 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Biorąc pod uwagę, że r = 2 3, φ = π 6, zapisujemy liczbę odwrotną

3 2 cos - π 6 + ja grzech - π 6

Przykład. Znajdź odwrotność liczby zespolonej

Jaka liczba będzie odwrotnością 2 · e i · - 2 π 5 .

Odpowiedź: 1 2 e i 2 π 5

Suma liczb odwrotnych. Nierówność

Istnieje twierdzenie o sumie dwóch liczb wzajemnie odwrotnych.

Suma liczb odwrotnych

Suma dwóch liczb dodatnich i odwrotnych jest zawsze większa lub równa 2.

Przedstawmy dowód twierdzenia. Jak wiadomo, dla dowolnych liczb dodatnich aib średnia arytmetyczna jest większa lub równa średniej geometrycznej. Można to zapisać jako nierówność:

a + b 2 ≥ a b

Jeśli zamiast liczby b przyjmiemy odwrotność a, nierówność przyjmie postać:

za + 1 za 2 ≥ za 1 za za + 1 za ≥ 2

co było do okazania

Podajmy praktyczny przykład ilustrujący tę właściwość.

Przykład. Znajdź sumę liczb odwrotnych

Obliczmy sumę liczb 2 3 i jej odwrotność.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Jak mówi twierdzenie, wynikowa liczba jest większa niż dwa.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Materiał z Wikipedii – wolnej encyklopedii

Numer odwrotny(wartość odwrotna, wartość odwrotna) do danej liczby X to liczba, której pomnożenie przez X, daje jeden. Zaakceptowany wpis: $\backslash frac(1)x$ Lub $x^(-1)$. Nazywa się dwie liczby, których iloczyn jest równy jeden wzajemnie odwrotne. Odwrotności liczby nie należy mylić z odwrotnością funkcji. Na przykład, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ różni się od wartości funkcji odwrotnej do cosinusa - arc cosinus, który jest oznaczony $\backslash cos^(-1)x$ Lub $\backslash arccos\; x$.

Odwróć liczbę rzeczywistą

Zespolone formy liczbowe	Numer $(z)$	Odwracać $\backslash lewo\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash prawo)$
Algebraiczny	$x+i$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trygonometryczny	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Orientacyjny	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Dowód:
W przypadku form algebraicznych i trygonometrycznych używamy podstawowej właściwości ułamka, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie zespolone:

• Forma algebraiczna:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trygonometryczna:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Forma demonstracyjna:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Dlatego przy znajdowaniu odwrotności liczby zespolonej wygodniej jest użyć jej postaci wykładniczej.

Przykład:

Zespolone formy liczbowe	Numer $(z)$	Odwracać $\backslash lewo\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash prawo)$
Algebraiczny	$1+i\backslash kwadrat(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trygonometryczny	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ Lub $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ Lub $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Orientacyjny	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Odwrotność jednostki urojonej

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

W ten sposób otrzymujemy

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ Lub__ $i^(-1)=-i$

Podobnie dla $-I$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ Lub __ $-i^(-1)=i$

Napisz recenzję o artykule "Numer odwrotny"

Notatki

Zobacz też

Fragment charakteryzujący numer rewersu

Tak mówią opowieści, a wszystko to jest całkowicie niesprawiedliwe, co łatwo zobaczyć każdy, kto chce zagłębić się w istotę sprawy.
Lepszego stanowiska Rosjanie nie mogli znaleźć; przeciwnie, w odwrocie przeszli przez wiele pozycji lepszych od Borodino. Nie zgodzili się na żadne z tych stanowisk: zarówno dlatego, że Kutuzow nie chciał przyjąć stanowiska, które nie zostało przez niego wybrane, i dlatego, że żądanie walki ludowej nie zostało jeszcze dostatecznie wyrażone, a także dlatego, że Miloradowicz nie zbliżył się jeszcze do z milicją, a także z innych, niezliczonych powodów. Faktem jest, że poprzednie pozycje były silniejsze i że pozycja Borodino (ta, na której toczyła się bitwa) nie tylko nie jest silna, ale z jakiegoś powodu w ogóle nie jest pozycją bardziej niż jakiekolwiek inne miejsce w Imperium Rosyjskim , które, jeśli się domyślasz, możesz wskazać pinezką na mapie.
Rosjanie nie tylko nie wzmocnili pozycji pola Borodino w lewo, pod kątem prostym do szosy (czyli miejsca, gdzie rozegrała się bitwa), ale nigdy przed 25 sierpnia 1812 roku nie myśleli, że bitwa może odbywać się w tym miejscu. Świadczy o tym przede wszystkim fakt, że nie tylko 25-go nie było w tym miejscu żadnych fortyfikacji, ale że rozpoczęte 25-go nie zostały ukończone nawet 26-go; po drugie, dowodem jest położenie reduty Szewardyńskiego: reduta Szewardyńskiego przed pozycją, na której rozstrzygnięto bitwę, nie ma żadnego sensu. Dlaczego ta reduta była wzmocniona mocniej niż wszystkie inne punkty? I dlaczego broniąc go 24-go do późnej nocy, wyczerpano wszelkie wysiłki i zginęło sześć tysięcy ludzi? Do obserwacji wroga wystarczył patrol kozacki. Po trzecie, dowodem na to, że pozycja, na której toczyła się bitwa, nie była przewidziana i że reduta Szewardyńskiego nie była punktem wysuniętym tej pozycji, jest fakt, że Barclay de Tolly i Bagration aż do 25-go byli przekonani, że reduta Szewardyńskiego jest lewą flanką pozycji i że sam Kutuzow w swoim raporcie, pisanym w ferworze chwili po bitwie, nazywa redutą Szewardyńskiego lewym skrzydłem pozycji. Znacznie później, kiedy jawnie pisano raporty o bitwie pod Borodino, to właśnie (zapewne dla usprawiedliwienia błędów naczelnego wodza, który musiał być nieomylny) wymyślono nieuczciwe i dziwne zeznanie, że reduta Szewardyńskiego pełnił funkcję wysuniętego posterunku (choć był to jedynie ufortyfikowany punkt lewego skrzydła) i tak jakby bitwa pod Borodino została przez nas przyjęta na ufortyfikowanej i z góry wybranej pozycji, podczas gdy rozegrała się ona w zupełnie nieoczekiwanym i prawie nieufortyfikowanym miejscu .
Sprawa wyglądała oczywiście tak: wybrano pozycję wzdłuż rzeki Kołoczy, która przecina główną drogę nie pod kątem prostym, ale pod kątem ostrym, tak że lewa flanka znajdowała się w Szewardinie, prawa w pobliżu wsi Novy i ośrodek w Borodino, u zbiegu rzek Kolocha i Vo yn. Ta pozycja pod osłoną rzeki Kołoczy dla armii, której celem jest zatrzymanie wroga poruszającego się drogą smoleńską do Moskwy, jest oczywista dla każdego, kto patrzy na pole Borodino, zapominając, jak toczyła się bitwa.
Napoleon, udając się 24-go do Wałujewa, nie widział (jak mówią w opowieściach) pozycji Rosjan od Uticy do Borodina (nie mógł widzieć tej pozycji, bo nie istniała) i nie widział przodu posterunek armii rosyjskiej, ale natknął się na rosyjską straż tylną w pogoni za lewą flanką pozycji rosyjskiej, do reduty Szewardinskiego i nieoczekiwanie dla Rosjan przerzucił wojska przez Kołoczę. A Rosjanie, nie mając czasu na wszczęcie ogólnej bitwy, wycofali się lewym skrzydłem z pozycji, którą zamierzali zająć, i zajęli nową pozycję, nie przewidzianą i nieufortyfikowaną. Przechodząc na lewą stronę Kołoczy, na lewo od drogi, Napoleon przesunął całą przyszłą bitwę z prawej na lewą (ze strony rosyjskiej) i przeniósł ją na pole między Uticą, Semenowskim i Borodinem (na to pole, które nie ma nic bardziej korzystnego dla tej pozycji niż jakiekolwiek inne pole w Rosji), a na tym polu cała bitwa rozegrała się 26-go. W przybliżeniu plan proponowanej bitwy i bitwy, która miała miejsce, będzie następujący:

Gdyby Napoleon nie wyruszył wieczorem 24-go do Kołoczy i nie rozkazał natychmiast wieczorem uderzyć na redutę, ale następnego dnia rano przypuścił atak, to nikt nie wątpiłby, że reduta Szewardyńskiego była lewe skrzydło naszej pozycji; i bitwa odbędzie się tak, jak się spodziewaliśmy. W tym przypadku prawdopodobnie jeszcze bardziej zaciekle bronilibyśmy reduty Szewardyńskiego, naszej lewej flanki; Napoleon zostałby zaatakowany w centrum lub z prawej strony, a 24-go miałaby miejsce ogólna bitwa na ufortyfikowanej i przewidzianej pozycji. Ponieważ jednak atak na naszą lewą flankę miał miejsce wieczorem, po wycofaniu się naszej tylnej straży, czyli bezpośrednio po bitwie pod Gridniewą, i ponieważ rosyjscy dowódcy wojskowi nie chcieli lub nie mieli czasu rozpocząć bitwy ogólnej tego samego wieczoru 24-go, pierwsza i główna akcja Borodińskiego. Bitwa została przegrana 24-go i, oczywiście, doprowadziła do porażki stoczonej 26-go.
Po utracie reduty Szewardyńskiego rankiem 25-go znaleźliśmy się bez pozycji na lewym skrzydle i zmuszeni byliśmy wycofać lewe skrzydło i pospiesznie je wzmocnić w dowolnym miejscu.
Ale nie tylko wojska rosyjskie znalazły się 26 sierpnia dopiero pod osłoną słabych, niedokończonych fortyfikacji, ale niekorzyść tej sytuacji pogłębił fakt, że rosyjscy dowódcy wojskowi nie uznali faktu całkowicie dokonanego (utraty pozycji na lewą flankę i przeniesienie całego przyszłego pola bitwy z prawej na lewą stronę), pozostali w wysuniętej pozycji od wsi Nowy do Uticy i w rezultacie musieli przemieszczać swoje wojska podczas bitwy z prawej strony na lewą. Tym samym przez całą bitwę Rosjanie mieli dwukrotnie słabsze siły przeciwko całej armii francuskiej skierowanej na nasze lewe skrzydło. (Działania Poniatowskiego przeciwko Utitsie i Uvarovowi na prawym skrzydle francuskim były działaniami odrębnymi od przebiegu bitwy.)
Zatem bitwa pod Borodino wcale nie wydarzyła się tak, jak ją opisują (próbując ukryć błędy naszych dowódców wojskowych i w rezultacie umniejszając chwałę rosyjskiej armii i narodu). Bitwa pod Borodino nie rozegrała się na wybranej i ufortyfikowanej pozycji z siłami nieco słabszymi po stronie rosyjskiej, lecz bitwa pod Borodino, w związku z utratą reduty Szewardyńskiego, została przyjęta przez Rosjan w sposób otwarty, niemal teren nieufortyfikowany z siłami dwukrotnie słabszymi w stosunku do Francuzów, to znaczy w takich warunkach, w których nie tylko nie do pomyślenia było walczyć przez dziesięć godzin i uczynić bitwę niezdecydowaną, ale także nie do pomyślenia było powstrzymać armię przed całkowitą porażką i ucieczką przez trzy godziny.

Rankiem 25-go Pierre opuścił Mozhaisk. Schodząc z ogromnej, stromej i krętej góry prowadzącej za miasto, mijając katedrę stojącą na górze po prawej stronie, podczas której odbywało się nabożeństwo i głoszono ewangelię, Pierre wysiadł z powozu i pojechał dalej stopa. Za nim jakiś pułk kawalerii ze śpiewakami na przodzie schodził na górę. W jego stronę jechał pociąg wozów z rannymi we wczorajszej sprawie. Chłopscy woźnicy, krzycząc na konie i chłostając je biczami, biegali z jednej strony na drugą. Wozy, na których leżało i siedziało trzech lub czterech rannych żołnierzy, przeskakiwały kamienie rzucone w postaci chodnika na strome zbocze. Ranni, przewiązani łachmanami, bladzi, z zaciśniętymi ustami i zmarszczonymi brwiami, trzymając się łóżek, podskakiwali i pchali się na wozy. Wszyscy z niemal naiwną, dziecięcą ciekawością patrzyli na biały kapelusz i zielony frak Pierre'a.

Nazywa się parę liczb, których iloczyn jest równy jeden wzajemnie odwrotne.

Przykłady: 5 i 1/5, -6/7 i -7/6 oraz

Dla dowolnej liczby a nierównej zero istnieje odwrotność 1/a.

Odwrotnością zera jest nieskończoność.

Odwrotne ułamki- są to dwie frakcje, których iloczyn jest równy 1. Na przykład 3/7 i 7/3; 5/8 i 8/5 itd.

Zobacz też

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, co oznacza „liczba odwrotna” w innych słownikach:

Liczba, której iloczyn przez daną liczbę jest równy jeden. Dwie takie liczby nazywane są odwrotnością. Są to na przykład 5 i 1/5, 2/3 i 3/2 itd... Wielki słownik encyklopedyczny

liczba odwrotna- - [A.S. Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energii. 2006] Ogólne tematy energii EN liczba odwrotnaliczba odwrotna ... Przewodnik tłumacza technicznego

Liczba, której iloczyn przez daną liczbę jest równy jeden. Dwie takie liczby nazywane są odwrotnością. Są to np. 5 i 1/5, 2/3 i 3/2 itd. * * * LICZBA ODWROTNA LICZBA ODWROTNA, liczba, której iloczyn przez daną liczbę jest równy... ... słownik encyklopedyczny

Liczba, której iloczyn przy danej liczbie jest równy jeden. Dwie takie liczby nazywane są odwrotnością. Są to na przykład 5 i a, które nie jest równe zeru, jest odwrotność... Wielka encyklopedia radziecka

Liczba, której iloczyn przez daną liczbę jest równy jeden. Nazywa się dwie takie liczby. wzajemnie odwrotne. Są to na przykład 5 i 1/5. 2/3 i 3/2 itd... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Liczba (znaczenia). Liczba to podstawowe pojęcie w matematyce używane do określania ilościowego, porównywania i numerowania obiektów. Powstały w prymitywnym społeczeństwie z potrzeb... ...Wikipedii

Zobacz też: Liczba (lingwistyka) Liczba to abstrakcja używana do ilościowego charakteryzowania obiektów. Powstałe w prymitywnym społeczeństwie z potrzeb liczenia, pojęcie liczby zmieniło się, wzbogaciło i stało się najważniejszym matematycznym... Wikipedia

Odwrotne zawirowanie wody podczas drenażu to pseudonaukowy mit oparty na błędnym zastosowaniu efektu Coriolisa do ruchu wody w wirze, który ma miejsce, gdy wpływa ona do otworu odpływowego zlewu lub wanny. Istotą mitu jest to, że woda... ... Wikipedia

LICZBA IRRATIONAL Liczba, której nie można wyrazić w postaci ułamka zwykłego. Przykładami są liczba T2 i p. Dlatego liczby niewymierne to liczby z nieskończoną liczbą (nieokresowych) miejsc po przecinku. (Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdą... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Transformata Laplace'a jest transformacją całkową, która wiąże funkcję zmiennej zespolonej (obrazu) z funkcją zmiennej rzeczywistej (oryginału). Za jego pomocą badane są właściwości układów dynamicznych i rozwiązywane są różnice i ... Wikipedia

Książki

• Klub szczęśliwych żon, Weaver Von. 27 kobiet z różnych stron świata, nieznajomych sobie nawzajem, o różnych losach. Nie łączy ich nic poza jednym – są niesamowicie szczęśliwi w małżeństwie już od ponad 25 lat, bo znają Sekret…Kiedy…

Liczby odwrotne lub wzajemnie odwrotne to para liczb, które po pomnożeniu dają 1. W najbardziej ogólnej formie odwrotności są liczbami. Charakterystycznym szczególnym przypadkiem liczb odwrotnych jest para. Odwrotnościami są, powiedzmy, liczby; .

Jak znaleźć odwrotność liczby

Reguła: musisz podzielić 1 (jeden) przez podaną liczbę.

Przykład nr 1.

Podana jest liczba 8. Jej odwrotnością jest 1:8 lub (lepsza jest druga opcja, ponieważ ten zapis jest matematycznie bardziej poprawny).

Szukając liczby odwrotnej ułamka zwykłego, dzielenie jej przez 1 nie jest zbyt wygodne, ponieważ nagranie jest kłopotliwe. W tym przypadku znacznie łatwiej jest zrobić wszystko inaczej: ułamek po prostu odwraca się, zamieniając licznik z mianownikiem. Jeśli zostanie podany ułamek właściwy, to po jego odwróceniu otrzymany ułamek jest niewłaściwy, tj. taki, z którego można wyizolować całą część. Decyzję o tym, czy to zrobić, czy nie, należy podejmować indywidualnie dla każdego przypadku. Jeśli więc będziesz musiał wykonać pewne czynności z powstałym ułamkiem odwróconym (na przykład mnożenie lub dzielenie), nie powinieneś wybierać całej części. Jeśli uzyskana frakcja jest wynikiem końcowym, być może pożądane jest wyizolowanie całej części.

Przykład nr 2.

Biorąc pod uwagę ułamek. Odwrotnie: .

Jeśli chcesz znaleźć odwrotność ułamka dziesiętnego, powinieneś zastosować pierwszą zasadę (dzielenie 1 przez liczbę). W tej sytuacji możesz postąpić na jeden z 2 sposobów. Pierwszym z nich jest po prostu podzielenie 1 przez tę liczbę w kolumnie. Drugi polega na utworzeniu ułamka zwykłego z 1 w liczniku i ułamka dziesiętnego w mianowniku, a następnie pomnożenia licznika i mianownika przez 10, 100 lub inną liczbę składającą się z 1 i tylu zer, ile potrzeba, aby pozbyć się kropka dziesiętna w mianowniku. Wynikiem będzie ułamek zwykły, który jest wynikiem. W razie potrzeby może zaistnieć potrzeba jego skrócenia, wybrania z niego całej części lub konwersji do postaci dziesiętnej.

Przykład nr 3.

Podana liczba to 0,82. Liczba odwrotna to: . Teraz skróćmy ułamek i zaznaczmy całą część: .

Jak sprawdzić, czy dwie liczby są odwrotne

Zasada weryfikacji opiera się na wyznaczaniu liczb odwrotnych. Oznacza to, że aby upewnić się, że liczby są odwrotne, należy je pomnożyć. Jeśli wynikiem jest jeden, liczby są wzajemnie odwrotne.

Przykład nr 4.

Biorąc pod uwagę liczby 0,125 i 8. Czy są one odwrotne?

Badanie. Konieczne jest znalezienie iloczynu 0,125 i 8. Dla przejrzystości przedstawmy te liczby w postaci ułamków zwykłych: (zmniejsz pierwszy ułamek o 125). Wniosek: liczby 0,125 i 8 są odwrotnością.

Własności liczb odwrotnych

Nieruchomość nr 1

Odwrotność istnieje dla każdej liczby z wyjątkiem 0.

Ograniczenie to wynika z faktu, że nie można dzielić przez 0, a przy wyznaczaniu liczby odwrotnej dla zera trzeba będzie ją przenieść do mianownika, tj. właściwie podziel przez to.

Nieruchomość nr 2

Suma pary liczb odwrotnych jest zawsze nie mniejsza niż 2.

Matematycznie tę właściwość można wyrazić nierównością: .

Nieruchomość nr 3

Mnożenie liczby przez dwie liczby odwrotne jest równoznaczne z pomnożeniem przez jeden. Wyraźmy tę właściwość matematycznie: .

Przykład nr 5.

Znajdź wartość wyrażenia: 3,4·0,125,8. Ponieważ liczby 0,125 i 8 są odwrotnością (patrz przykład nr 4), nie ma potrzeby mnożenia 3,4 przez 0,125, a następnie przez 8. Zatem odpowiedź będzie wynosić 3,4.

Treść:

Odwrotności są potrzebne przy rozwiązywaniu wszystkich typów równań algebraicznych. Na przykład, jeśli chcesz podzielić jedną liczbę ułamkową przez inną, pomnóż pierwszą liczbę przez odwrotność drugiej. Ponadto przy znajdowaniu równania linii prostej stosuje się liczby odwrotne.

Kroki

1 Znajdowanie odwrotności ułamka zwykłego lub liczby całkowitej

1. 1 Znajdź odwrotność ułamka, odwracając go.„Liczba odwrotna” jest zdefiniowana bardzo prosto. Aby to obliczyć, wystarczy obliczyć wartość wyrażenia „1 ÷ (liczba oryginalna).”. W przypadku liczby ułamkowej odwrotnością ułamka jest inna liczba ułamkowa, którą można obliczyć po prostu poprzez „odwrócenie” ułamka (zamiana miejsc licznika i mianownika).
   • Na przykład odwrotność ułamka 3/4 wynosi 4 / 3 .
2. 2 Zapisz odwrotność liczby całkowitej w postaci ułamka zwykłego. W tym przypadku liczbę odwrotną oblicza się jako 1 ÷ (liczba pierwotna). W przypadku liczby całkowitej zapisz odwrotność jako ułamek zwykły; nie musisz wykonywać obliczeń matematycznych i zapisywać ją jako ułamek dziesiętny.
   • Na przykład odwrotność 2 wynosi 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Znajdowanie odwrotności ułamka mieszanego

1. 1 Co to jest „frakcja mieszana”? Ułamek mieszany to liczba zapisana jako liczba całkowita i ułamek prosty, na przykład 2 4 / 5. Znalezienie odwrotności ułamka mieszanego odbywa się w dwóch etapach opisanych poniżej.
2. 2 Zapisz ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy. Pamiętaj oczywiście, że jednostkę można zapisać jako (liczba)/(ta sama liczba), a ułamki o tym samym mianowniku (liczba pod linią) można do siebie dodawać. Oto jak to zrobić dla ułamka 2 4/5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Odwróć ułamek. Kiedy ułamek mieszany zapisuje się jako ułamek niewłaściwy, możemy łatwo znaleźć odwrotność, po prostu zamieniając licznik i mianownik.
   • W powyższym przykładzie liczbą odwrotną będzie 14/5 - 5 / 14 .

3 Znajdowanie odwrotności ułamka dziesiętnego

1. 1 Jeśli to możliwe, wyraź ułamek dziesiętny w postaci ułamka zwykłego. Musisz wiedzieć, że wiele ułamków dziesiętnych można łatwo zamienić na ułamki zwykłe. Na przykład 0,5 = 1/2 i 0,25 = 1/4. Po zapisaniu liczby w postaci ułamka prostego możesz łatwo znaleźć jej odwrotność, po prostu odwracając ułamek.
   • Na przykład odwrotność 0,5 wynosi 2/1 = 2.
2. 2 Rozwiąż zadanie za pomocą dzielenia. Jeśli nie możesz zapisać ułamka dziesiętnego w postaci ułamka zwykłego, oblicz odwrotność rozwiązując zadanie poprzez dzielenie: 1 ÷ (dziesiętny). Aby rozwiązać ten problem, możesz użyć kalkulatora lub przejść do następnego kroku, jeśli chcesz obliczyć wartość ręcznie.
   • Na przykład odwrotność 0,4 jest obliczana jako 1 ÷ 0,4.
3. 3 Zmień wyrażenie, aby działało z liczbami całkowitymi. Pierwszym krokiem w dzieleniu ułamka dziesiętnego jest przesunięcie przecinka, aż wszystkie liczby w wyrażeniu będą liczbami całkowitymi. Ponieważ przesuwasz przecinek o tę samą liczbę miejsc zarówno w dzielnej, jak i w dzielniku, otrzymasz poprawną odpowiedź.
4. 4 Na przykład bierzesz wyrażenie 1 ÷ 0,4 i zapisujesz je jako 10 ÷ 4. W tym przypadku przecinek dziesiętny został przesunięty o jedno miejsce w prawo, co jest równoznaczne z pomnożeniem każdej liczby przez dziesięć.
5. 5 Rozwiąż zadanie, dzieląc liczby na kolumnę. Używając długiego dzielenia, możesz obliczyć liczbę odwrotną. Jeśli podzielisz 10 przez 4, powinieneś otrzymać 2,5, co jest odwrotnością 0,4.

• Wartość ujemnej liczby odwrotnej będzie równa liczbie odwrotności pomnożonej przez -1. Na przykład ujemna odwrotność 3/4 wynosi - 4/3.
• Odwrotność liczby jest czasami nazywana „odwrotnością” lub „odwrotnością”.
• Liczba 1 jest swoją odwrotnością, ponieważ 1 ÷ 1 = 1.
• Zero nie ma odwrotności, ponieważ wyrażenie 1 ÷ 0 nie ma rozwiązań.