Co oznacza liczba wymierna? Minus przed liczbą wymierną

Zbiór liczb wymiernych

Zbiór liczb wymiernych jest oznaczony i można go zapisać w następujący sposób:

Okazuje się, że ten sam ułamek można reprezentować różnymi zapisami, na przykład i , (wszystkie ułamki, które można uzyskać od siebie poprzez pomnożenie lub podzielenie przez tę samą liczbę naturalną, reprezentują tę samą liczbę wymierną). Ponieważ dzieląc licznik i mianownik ułamka przez ich największy wspólny dzielnik, możemy otrzymać jedną nieredukowalną reprezentację liczby wymiernej, możemy mówić o ich zbiorze jako o zbiorze nieskracalny Ułamki zwykłe o liczniku liczb całkowitych pierwszych i mianowniku naturalnym:

Oto największy wspólny dzielnik liczb i .

Zbiór liczb wymiernych jest naturalnym uogólnieniem zbioru liczb całkowitych. Łatwo zauważyć, że jeśli liczba wymierna ma mianownik , to jest liczbą całkowitą. Zbiór liczb wymiernych jest rozmieszczony wszędzie gęsto na osi liczb: pomiędzy dowolnymi dwiema różnymi liczbami wymiernymi znajduje się co najmniej jedna liczba wymierna (a zatem nieskończony zbiór liczb wymiernych). Okazuje się jednak, że zbiór liczb wymiernych ma liczność przeliczalną (tzn. wszystkie jego elementy można przenumerować). Przy okazji zauważmy, że starożytni Grecy byli przekonani o istnieniu liczb, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego (udowodnili na przykład, że nie ma liczby wymiernej, której kwadrat wynosi 2).

Terminologia

Definicja formalna

Formalnie liczby wymierne definiuje się jako zbiór klas równoważności par w odniesieniu do relacji równoważności jeśli. W tym przypadku operacje dodawania i mnożenia definiuje się w następujący sposób:

Powiązane definicje

Ułamki właściwe, niewłaściwe i mieszane

Prawidłowy Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywa się ułamkiem. Ułamki właściwe reprezentują liczby wymierne modulo mniejsze niż jeden. Ułamek, który nie jest właściwy, nazywa się zło i reprezentuje liczbę wymierną większą lub równą jeden w module.

Ułamek niewłaściwy można przedstawić jako sumę liczby całkowitej i ułamka właściwego, tzw frakcja mieszana . Na przykład, . Podobnego zapisu (bez znaku dodawania), choć stosowanego w arytmetyce elementarnej, unika się w ścisłej literaturze matematycznej ze względu na podobieństwo zapisu ułamka mieszanego z zapisem iloczynu liczby całkowitej i ułamka.

Wysokość strzału

Wysokość ułamka zwykłego jest sumą modułu licznika i mianownika tego ułamka. Wysokość liczby wymiernej jest sumą modułu licznika i mianownika nieredukowalnego ułamka zwykłego odpowiadającego tej liczbie.

Na przykład wysokość ułamka wynosi . Wysokość odpowiedniej liczby wymiernej jest równa , ponieważ ułamek można zmniejszyć o .

Komentarz

Termin ułamek (ułamek) Czasami [ sprecyzować] jest używany jako synonim tego terminu Liczba wymierna, a czasami synonim dowolnej liczby niecałkowitej. W tym drugim przypadku liczby ułamkowe i wymierne to różne rzeczy, ponieważ wtedy niecałkowite liczby wymierne są tylko szczególnym przypadkiem liczb ułamkowych.

Nieruchomości

Podstawowe właściwości

Zbiór liczb wymiernych spełnia szesnaście podstawowych własności, które można łatwo wyprowadzić z własności liczb całkowitych.

Porządek. Dla dowolnych liczb wymiernych istnieje reguła, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować jedną i tylko jedną z trzech relacji między nimi: „”, „” lub „”. Zasada ta nazywa się reguła zamawiania i jest sformułowany w następujący sposób: dwie liczby dodatnie i są powiązane tą samą relacją co dwie liczby całkowite i ; dwie liczby nieujemne i są ze sobą powiązane tą samą relacją co dwie liczby nieujemne oraz ; jeśli nagle nie jest to negatywne, ale - negatywne, to .
Dodawanie ułamków
Operacja dodawania. reguła sumowania kwota liczby i i są oznaczone przez , a proces znajdowania takiej liczby nazywa się podsumowanie. Reguła sumowania ma następującą postać: .
Operacja mnożenia. Dla dowolnych liczb wymiernych istnieje tzw reguła mnożenia, co wiąże je z pewną liczbą wymierną. W takim przypadku wywoływany jest sam numer praca liczby i i są oznaczone przez , a proces znajdowania takiej liczby nazywany jest również mnożenie. Reguła mnożenia ma następującą postać: .
Przechodniość relacji porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych, a jeśli coraz mniej, to mniej, a jeśli równe i równe, to równe.
Przemienność dodawania. Zmiana miejsc wyrazów wymiernych nie zmienia sumy.
Łączność dodawania. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
Obecność zera. Istnieje liczba wymierna 0, która po dodaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po dodaniu do daje 0.
Przemienność mnożenia. Zmiana miejsc czynników wymiernych nie zmienia produktu.
Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
Dostępność jednostki. Istnieje liczba wymierna 1, która po pomnożeniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
Obecność liczb odwrotnych. Każda niezerowa liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, która pomnożona przez daje 1.
Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Operację mnożenia koordynuje się z operacją dodawania poprzez prawo podziału:
Powiązanie relacji porządku z operacją dodawania. Tę samą liczbę wymierną można dodać do lewej i prawej strony nierówności wymiernej.
Związek relacji porządku z operacją mnożenia. Lewą i prawą stronę nierówności wymiernej można pomnożyć przez tę samą dodatnią liczbę wymierną.
Aksjomat Archimedesa. Niezależnie od liczby wymiernej możesz przyjąć tyle jednostek, że ich suma przekracza.

Dodatkowe właściwości

Wszystkie inne właściwości właściwe liczbom wymiernym nie są wyróżniane jako podstawowe, ponieważ, ogólnie rzecz biorąc, nie opierają się już bezpośrednio na własnościach liczb całkowitych, ale można je udowodnić na podstawie danych podstawowych właściwości lub bezpośrednio przez definicję jakiegoś obiektu matematycznego . Takich dodatkowych właściwości jest mnóstwo. Warto tutaj wymienić tylko kilka z nich.

Przeliczalność zbioru

Aby oszacować liczbę liczb wymiernych, musisz znaleźć liczność ich zbioru. Łatwo jest udowodnić, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Aby to zrobić, wystarczy podać algorytm wyliczający liczby wymierne, czyli ustalający bijekcję pomiędzy zbiorami liczb wymiernych i naturalnych. Przykładem takiej konstrukcji jest następujący prosty algorytm. Kompilowana jest nieskończona tabela ułamków zwykłych, w każdym wierszu w każdej kolumnie, w której znajduje się ułamek. Dla pewności przyjmuje się, że wiersze i kolumny tej tabeli są numerowane począwszy od jednego. Oznaczono komórki tabeli, gdzie jest numerem wiersza tabeli, w którym znajduje się dana komórka, a jest numerem kolumny.

Po tabeli wynikowej porusza się „wężem” zgodnie z następującym algorytmem formalnym.

Reguły te są przeszukiwane od góry do dołu, a następna pozycja jest wybierana na podstawie pierwszego dopasowania.

W procesie takiego przechodzenia każda nowa liczba wymierna jest kojarzona z inną liczbą naturalną. Oznacza to, że ułamkom przypisuje się numer 1, ułamkom przypisuje się numer 2 itd. Należy zauważyć, że numerowane są tylko ułamki nieredukowalne. Formalnym znakiem nieredukowalności jest to, że największy wspólny dzielnik licznika i mianownika ułamka jest równy jeden.

Kierując się tym algorytmem, możemy wyliczyć wszystkie dodatnie liczby wymierne. Oznacza to, że zbiór dodatnich liczb wymiernych jest przeliczalny. Łatwo jest ustalić bijekcję między zbiorami dodatnich i ujemnych liczb wymiernych, po prostu przypisując każdej liczbie wymiernej jej przeciwieństwo. To. zbiór ujemnych liczb wymiernych jest również przeliczalny. Ich suma jest również przeliczalna na podstawie właściwości zbiorów przeliczalnych. Zbiór liczb wymiernych jest również przeliczalny jako suma zbioru przeliczalnego ze skończonym.

Oczywiście istnieją inne sposoby wyliczania liczb wymiernych. Można do tego przykładowo wykorzystać struktury takie jak drzewo Kalkina-Wilfa, drzewo Sterna-Broko czy szereg Fareya.

Stwierdzenie o przeliczalności zbioru liczb wymiernych może wywołać pewne zamieszanie, gdyż na pierwszy rzut oka wydaje się, że jest ono znacznie obszerniejsze niż zbiór liczb naturalnych. W rzeczywistości tak nie jest i liczb naturalnych jest wystarczająco dużo, aby wyliczyć wszystkie wymierne.

Brak liczb wymiernych

Zobacz też


	Wszystkie liczby

Liczby wymierne

Liczby rzeczywiste Liczby zespolone Kwaterniony

Notatki

Literatura

I. Kushnir. Podręcznik matematyki dla uczniów. - Kijów: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Aleksandrow. Wprowadzenie do teorii mnogości i topologii ogólnej. - M.: rozdział. wyd. fizyka i matematyka oświetlony. wyd. „Nauka”, 1977
I. L. Chmielnicki. Wprowadzenie do teorii systemów algebraicznych

Starsi uczniowie i studenci matematyki prawdopodobnie z łatwością odpowiedzą na to pytanie. Ale dla tych, którym z zawodu daleko do tego, będzie to trudniejsze. Co to jest naprawdę?

Istota i oznaczenie

Liczby wymierne to takie, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Dodatnia, ujemna i zero są również zawarte w tym zestawie. Licznik ułamka musi być liczbą całkowitą, a mianownik musi być liczbą całkowitą

Ten zbiór w matematyce jest oznaczony jako Q i nazywany jest „polem liczb wymiernych”. Obejmuje wszystkie liczby całkowite i naturalne, oznaczone odpowiednio jako Z i N. Sam zbiór Q wchodzi w skład zbioru R. To właśnie ta litera oznacza tzw. liczbę rzeczywistą lub

Wydajność

Jak już wspomniano, liczby wymierne to zbiór, który obejmuje wszystkie wartości całkowite i ułamkowe. Mogą występować w różnych formach. Po pierwsze w postaci ułamka zwykłego: 5/7, 1/5, 11/15 itd. Oczywiście liczby całkowite można również zapisać w podobnej formie: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 itd. Po drugie, innym rodzajem reprezentacji jest ułamek dziesiętny z końcową częścią ułamkową: 0,01, -15,001006 itd. Jest to prawdopodobnie jedna z najczęstszych form.

Ale jest też trzeci - ułamek okresowy. Ten typ nie jest zbyt powszechny, ale nadal jest używany. Na przykład ułamek 10/3 można zapisać jako 3,33333... lub 3,(3). W takim przypadku różne reprezentacje będą uważane za podobne liczby. Ułamki, które są sobie równe, będą również nazywane tak samo, na przykład 3/5 i 6/10. Wydaje się, że stało się jasne, jakie są liczby wymierne. Ale dlaczego używa się tego określenia w odniesieniu do nich?

pochodzenie imienia

Słowo „racjonalny” we współczesnym języku rosyjskim ma na ogół nieco inne znaczenie. To raczej „rozsądne”, „przemyślane”. Ale terminy matematyczne są bliskie bezpośredniego znaczenia tego pojęcia. Po łacinie „stosunek” to „stosunek”, „ułamek” lub „podział”. Zatem nazwa oddaje istotę tego, czym są liczby wymierne. Jednak drugie znaczenie

nie dalekie od prawdy.

Działania z nimi

Rozwiązując problemy matematyczne, stale natrafiamy na liczby wymierne, sami o tym nie wiedząc. A mają wiele ciekawych właściwości. Wszystkie wynikają albo z definicji zbioru, albo z działań.

Po pierwsze, liczby wymierne mają właściwość relacji porządku. Oznacza to, że między dwiema liczbami może istnieć tylko jedna relacja - albo są sobie równe, albo jedna jest większa lub mniejsza od drugiej. To jest:

Lub za = b; Lub a > b, Lub A< b.

Ponadto z tej właściwości wynika również przechodniość relacji. To znaczy, jeśli A więcej B, B więcej C, To A więcej C. W języku matematycznym wygląda to tak:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Po drugie, istnieją operacje arytmetyczne na liczbach wymiernych, czyli dodawanie, odejmowanie, dzielenie i oczywiście mnożenie. Jednocześnie w procesie przekształceń można zidentyfikować także szereg właściwości.

a + b = b + a (zmiana miejsc wyrazów, przemienność);
0 + za = za + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (łączność);
za + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (rozdzielność);
za x 1 = 1 x za = za;
a x (1 / a) = 1 (w tym przypadku a nie jest równe 0);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (ok > 0) => (ac > bc).

Kiedy mówimy o zwykłych liczbach, a nie o liczbach całkowitych, praca z nimi może powodować pewne trudności. Zatem dodawanie i odejmowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy mianowniki są równe. Jeśli początkowo są różne, należy znaleźć wspólny, mnożąc cały ułamek przez określone liczby. Porównanie jest również najczęściej możliwe tylko wtedy, gdy spełniony jest ten warunek.

Dzielenie i mnożenie ułamków zwykłych przeprowadza się według dość prostych zasad. Sprowadzanie do wspólnego mianownika nie jest konieczne. Liczniki i mianowniki mnoży się osobno, a w trakcie wykonywania czynności, jeśli to możliwe, ułamek należy maksymalnie zmniejszyć i uprościć.

Jeśli chodzi o podział, to działanie jest podobne do pierwszego z niewielką różnicą. Dla drugiego ułamka należy znaleźć odwrotność, tzn

"Obróć to. Zatem licznik pierwszego ułamka będzie musiał zostać pomnożony przez mianownik drugiego i odwrotnie.

Wreszcie kolejna właściwość właściwa liczbom wymiernym nazywa się aksjomatem Archimedesa. Często w literaturze spotyka się także nazwę „zasada”. Dotyczy to całego zbioru liczb rzeczywistych, ale nie wszędzie. Zatem zasada ta nie ma zastosowania do niektórych zbiorów funkcji wymiernych. Zasadniczo aksjomat ten oznacza, że biorąc pod uwagę istnienie dwóch wielkości aib, zawsze można przyjąć wystarczającą ilość a, aby przekroczyć b.

Obszar zastosowań

Tak więc dla tych, którzy nauczyli się lub pamiętali, jakie są liczby wymierne, staje się jasne, że są one używane wszędzie: w rachunkowości, ekonomii, statystyce, fizyce, chemii i innych naukach. Naturalnie mają one również swoje miejsce w matematyce. Nie zawsze wiedząc, że mamy z nimi do czynienia, stale posługujemy się liczbami wymiernymi. Spotykają je nawet małe dzieci, które uczą się liczyć przedmioty, kroją jabłko na kawałki czy wykonują inne proste czynności. Dosłownie nas otaczają. A jednak nie wystarczą one do rozwiązania niektórych problemów, w szczególności na przykładzie twierdzenia Pitagorasa można zrozumieć potrzebę wprowadzenia pojęcia

Temat liczb wymiernych jest dość obszerny. Można o tym opowiadać bez końca i pisać całe dzieła, za każdym razem zaskakując nowościami.

Aby uniknąć błędów w przyszłości, w tej lekcji zagłębimy się nieco w temat liczb wymiernych, wyciągniemy z niego niezbędne informacje i przejdziemy dalej.

Treść lekcji

Co to jest liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka, gdzie A- to jest licznik ułamka, B jest mianownikiem ułamka. Ponadto B nie może wynosić zero, ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone.

Liczby wymierne obejmują następujące kategorie liczb:

liczby całkowite (na przykład −2, −1, 0 1, 2 itd.)

ułamki dziesiętne (na przykład 0,2 itd.)

nieskończone ułamki okresowe (na przykład 0, (3) itp.)

Każdą liczbę w tej kategorii można przedstawić jako ułamek.

Przykład 1. Liczbę całkowitą 2 można przedstawić jako ułamek. Oznacza to, że liczba 2 dotyczy nie tylko liczb całkowitych, ale także wymiernych.

Przykład 2. Liczbę mieszaną można przedstawić w postaci ułamka. Ułamek ten otrzymujemy poprzez zamianę liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Oznacza to, że liczba mieszana jest liczbą wymierną.

Przykład 3. Wartość dziesiętną 0,2 można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Ułamek ten otrzymano poprzez zamianę ułamka dziesiętnego 0,2 na ułamek zwykły. Jeżeli na tym etapie będziesz mieć trudności, powtórz temat.

Ponieważ ułamek dziesiętny 0,2 można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, oznacza to, że należy on również do liczb wymiernych.

Przykład 4. Nieskończony ułamek okresowy 0, (3) można przedstawić jako ułamek. Frakcję tę otrzymuje się poprzez przekształcenie czystej frakcji okresowej na frakcję zwykłą. Jeżeli na tym etapie będziesz mieć trudności, powtórz temat.

Ponieważ nieskończony ułamek okresowy 0, (3) można przedstawić w postaci ułamka, oznacza to, że należy on również do liczb wymiernych.

W przyszłości będziemy coraz częściej nazywać wszystkie liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego za pomocą jednej frazy - liczby wymierne.

Liczby wymierne na osi współrzędnych

Badając liczby ujemne, patrzyliśmy na linię współrzędnych. Przypomnijmy, że jest to linia prosta, na której leży wiele punktów. Następująco:

Rysunek ten przedstawia mały fragment linii współrzędnych od -5 do 5.

Zaznaczenie liczb całkowitych postaci 2, 0, −3 na osi współrzędnych nie jest trudne.

Dużo ciekawiej jest z innymi liczbami: z ułamkami zwykłymi, liczbami mieszanymi, dziesiętnymi itp. Liczby te leżą pomiędzy liczbami całkowitymi i jest ich nieskończenie wiele.

Na przykład zaznaczmy liczbę wymierną na osi współrzędnych. Liczba ta znajduje się dokładnie pomiędzy zerem a jedynką

Spróbujmy zrozumieć, dlaczego ułamek nagle znajduje się między zerem a jeden.

Jak wspomniano powyżej, pomiędzy liczbami całkowitymi znajdują się inne liczby - ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne, liczby mieszane itp. Na przykład, jeśli zwiększysz odcinek linii współrzędnych z 0 do 1, możesz zobaczyć następujący obrazek

Można zauważyć, że między liczbami całkowitymi 0 i 1 znajdują się inne liczby wymierne, które są znanymi ułamkami dziesiętnymi. Tutaj możesz zobaczyć nasz ułamek, który znajduje się w tym samym miejscu co ułamek dziesiętny 0,5. Dokładne zbadanie tej liczby daje odpowiedź na pytanie, dlaczego ułamek znajduje się właśnie tam.

Ułamek oznacza podzielenie 1 przez 2. A jeśli podzielimy 1 przez 2, otrzymamy 0,5

Ułamek dziesiętny 0,5 można zamaskować innymi ułamkami zwykłymi. Z podstawowej właściwości ułamka wiemy, że jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę, to wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

Jeśli licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez dowolną liczbę, na przykład przez liczbę 4, wówczas otrzymamy nowy ułamek, który również będzie równy 0,5

Oznacza to, że na osi współrzędnych ułamek można umieścić w tym samym miejscu, w którym ułamek się znajdował

Przykład 2. Spróbujmy zaznaczyć na współrzędnej liczbę wymierną. Liczba ta znajduje się dokładnie pomiędzy cyframi 1 i 2

Wartość frakcji wynosi 1,5

Jeśli zwiększymy przekrój linii współrzędnych z 1 do 2, zobaczymy następujący obraz:

Można zauważyć, że pomiędzy liczbami całkowitymi 1 i 2 znajdują się inne liczby wymierne, które są znanymi ułamkami dziesiętnymi. Tutaj możesz zobaczyć nasz ułamek, który znajduje się w tym samym miejscu co ułamek dziesiętny 1,5.

Powiększyliśmy niektóre segmenty na linii współrzędnych, aby zobaczyć pozostałe liczby leżące na tym segmencie. W rezultacie odkryliśmy ułamki dziesiętne, które miały jedną cyfrę po przecinku.

Ale nie były to jedyne liczby znajdujące się w tych segmentach. Na osi współrzędnych leży nieskończenie wiele liczb.

Nietrudno zgadnąć, że pomiędzy ułamkami dziesiętnymi, które mają jedną cyfrę po przecinku, istnieją inne ułamki dziesiętne, które mają dwie cyfry po przecinku. Innymi słowy, setne części segmentu.

Na przykład spróbujmy zobaczyć liczby znajdujące się pomiędzy ułamkami dziesiętnymi 0,1 i 0,2

Inny przykład. Ułamki dziesiętne, które mają dwie cyfry po przecinku i leżą pomiędzy zerem a liczbą wymierną 0,1, wyglądają następująco:

Przykład 3. Zaznaczmy liczbę wymierną na osi współrzędnych. Ta liczba wymierna będzie bardzo bliska zeru

Wartość ułamka wynosi 0,02

Jeśli zwiększymy segment od 0 do 0,1, zobaczymy dokładnie, gdzie znajduje się liczba wymierna

Widać, że nasza liczba wymierna znajduje się w tym samym miejscu co ułamek dziesiętny 0,02.

Przykład 4. Zaznaczmy liczbę wymierną 0 na osi współrzędnych, (3)

Liczba wymierna 0, (3) jest nieskończonym ułamkiem okresowym. Jego część ułamkowa nigdy się nie kończy, jest nieskończona

A ponieważ liczba 0,(3) ma nieskończoną część ułamkową, oznacza to, że nie będziemy w stanie znaleźć dokładnego miejsca na osi współrzędnych, w którym znajduje się ta liczba. Miejsce to możemy wskazać jedynie w przybliżeniu.

Liczba wymierna 0,33333... będzie znajdować się bardzo blisko zwykłego ułamka dziesiętnego 0,3

Rysunek ten nie pokazuje dokładnego położenia liczby 0,(3). To tylko ilustracja pokazująca, jak blisko ułamka okresowego 0.(3) może być zwykły ułamek dziesiętny 0,3.

Przykład 5. Zaznaczmy liczbę wymierną na osi współrzędnych. Ta liczba wymierna będzie znajdować się pośrodku między liczbami 2 i 3

To jest 2 (dwie liczby całkowite) i (jedna sekunda). Ułamek nazywany jest także „połową”. Dlatego na linii współrzędnych zaznaczyliśmy dwa całe odcinki i kolejną połowę odcinka.

Jeśli zamienimy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, otrzymamy ułamek zwykły. Ten ułamek na linii współrzędnych będzie zlokalizowany w tym samym miejscu co ułamek

Wartość ułamka wynosi 2,5

Jeśli zwiększymy przekrój linii współrzędnych z 2 do 3, zobaczymy następujący obraz:

Widać, że nasza liczba wymierna znajduje się w tym samym miejscu co ułamek dziesiętny 2,5

Minus przed liczbą wymierną

Na poprzedniej lekcji, zatytułowanej, nauczyliśmy się dzielić liczby całkowite. Zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne mogą działać jako dywidenda i dzielnik.

Rozważmy najprostsze wyrażenie

(−6) : 2 = −3

W tym wyrażeniu dywidenda (-6) jest liczbą ujemną.

Rozważmy teraz drugie wyrażenie

6: (−2) = −3

Tutaj dzielnik (−2) jest już liczbą ujemną. Ale w obu przypadkach otrzymujemy tę samą odpowiedź -3.

Biorąc pod uwagę, że dowolny dzielenie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, możemy również zapisać omówione powyżej przykłady jako ułamek zwykły:

A ponieważ w obu przypadkach wartość ułamka jest taka sama, minus w liczniku lub mianowniku można połączyć, umieszczając go przed ułamkiem

Dlatego możesz postawić znak równości między wyrażeniami i i, ponieważ mają one to samo znaczenie

Jeśli w przyszłości podczas pracy z ułamkami zwykłymi napotkamy minus w liczniku lub mianowniku, uczynimy ten minus wspólnym, umieszczając go przed ułamkiem.

Przeciwne liczby wymierne

Podobnie jak liczba całkowita, liczba wymierna ma swoją liczbę przeciwną.

Na przykład dla liczby wymiernej liczbą przeciwną jest . Znajduje się na linii współrzędnych symetrycznie do położenia względem początku współrzędnych. Innymi słowy, obie te liczby są w równej odległości od początku

Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe

Wiemy, że aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć całą część przez mianownik części ułamkowej i dodać ją do licznika części ułamkowej. Wynikowa liczba będzie licznikiem nowego ułamka, ale mianownik pozostanie taki sam.

Na przykład zamieńmy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy

Pomnóż całą część przez mianownik części ułamkowej i dodaj licznik części ułamkowej:

Obliczmy to wyrażenie:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Wynikowa liczba 5 będzie licznikiem nowego ułamka, ale mianownik pozostanie taki sam:

Procedura ta jest zapisana w całości w następujący sposób:

Aby zwrócić pierwotną liczbę mieszaną, wystarczy wybrać całą część ułamka

Ale tę metodę zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy można zastosować tylko wtedy, gdy liczba mieszana jest dodatnia. Ta metoda nie będzie działać w przypadku liczby ujemnej.

Rozważmy ułamek. Wybierzmy całą część tego ułamka. Dostajemy

Aby zwrócić ułamek pierwotny, należy zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy. Ale jeśli zastosujemy starą zasadę, a mianowicie pomnożymy część całą przez mianownik części ułamkowej i do otrzymanej liczby dodamy licznik części ułamkowej, otrzymamy następującą sprzeczność:

Otrzymaliśmy ułamek, ale powinniśmy otrzymać ułamek.

Dochodzimy do wniosku, że liczba mieszana została błędnie przeliczona na ułamek niewłaściwy

Aby poprawnie przekonwertować ujemną liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć całą część przez mianownik części ułamkowej i z otrzymanej liczby odejmować licznik części ułamkowej. W tym przypadku wszystko się dla nas ułoży

Ujemna liczba mieszana jest przeciwieństwem liczby mieszanej. Jeśli dodatnia liczba mieszana znajduje się po prawej stronie i wygląda tak

W tym artykule zaczniemy odkrywać liczby wymierne. Tutaj podamy definicje liczb wymiernych, podamy niezbędne wyjaśnienia i przykłady liczb wymiernych. Następnie skupimy się na tym, jak ustalić, czy dana liczba jest wymierna, czy nie.

Nawigacja strony.

Definicja i przykłady liczb wymiernych

W tej części podamy kilka definicji liczb wymiernych. Pomimo różnic w sformułowaniach, wszystkie te definicje mają to samo znaczenie: liczby wymierne łączą liczby całkowite i ułamki, tak jak liczby całkowite łączą liczby naturalne, ich przeciwieństwa i liczbę zero. Innymi słowy, liczby wymierne uogólniają liczby całkowite i ułamkowe.

Zacznijmy definicje liczb wymiernych, co jest postrzegane najbardziej naturalnie.

Z podanej definicji wynika, że liczba wymierna to:

Dowolna liczba naturalna n. Rzeczywiście, możesz przedstawić dowolną liczbę naturalną w postaci ułamka zwykłego, na przykład 3=3/1.
Dowolna liczba całkowita, w szczególności liczba zero. W rzeczywistości dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek dodatni, ułamek ujemny lub zero. Na przykład 26=26/1, .
Dowolny ułamek zwykły (dodatni lub ujemny). Bezpośrednio potwierdza to podana definicja liczb wymiernych.
Dowolna liczba mieszana. Rzeczywiście, zawsze możesz przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy. Na przykład i.
Dowolny skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony ułamek okresowy. Dzieje się tak dlatego, że wskazane ułamki dziesiętne zamieniane są na ułamki zwykłe. Na przykład , i 0,(3)=1/3.

Jasne jest również, że każdy nieskończony, nieokresowy ułamek dziesiętny NIE jest liczbą wymierną, ponieważ nie można go przedstawić w postaci ułamka zwykłego.

Teraz możemy łatwo dawać przykłady liczb wymiernych. Liczby 4,903,100,321 są liczbami wymiernymi, ponieważ są liczbami naturalnymi. Liczby całkowite 58, -72, 0, -833,333,333 są również przykładami liczb wymiernych. Ułamki zwykłe 4/9, 99/3 są również przykładami liczb wymiernych. Liczby wymierne to także liczby.

Z powyższych przykładów jasno wynika, że istnieją zarówno dodatnie, jak i ujemne liczby wymierne, a liczba wymierna zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Powyższą definicję liczb wymiernych można sformułować w bardziej zwięzłej formie.

Definicja.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać jako ułamek z/n, gdzie z jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną.

Udowodnijmy, że ta definicja liczb wymiernych jest równoważna poprzedniej definicji. Wiemy, że możemy uznać linię ułamka za znak dzielenia, wówczas z właściwości dzielenia liczb całkowitych i zasad dzielenia liczb całkowitych wynika ważność następujących równości i. Zatem to jest dowód.

Podajmy przykłady liczb wymiernych w oparciu o tę definicję. Liczby -5, 0, 3 i są liczbami wymiernymi, ponieważ można je zapisać jako ułamki z licznikiem całkowitym i naturalnym mianownikiem postaci i.

Definicję liczb wymiernych można podać w następującym sformułowaniu.

Definicja.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci skończonego lub nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego.

Definicja ta jest również równoważna pierwszej definicji, ponieważ każdy ułamek zwykły odpowiada skończonemu lub okresowemu ułamkowi dziesiętnemu i odwrotnie, a każdą liczbę całkowitą można powiązać z ułamkiem dziesiętnym z zerami po przecinku.

Na przykład liczby 5, 0, -13 są przykładami liczb wymiernych, ponieważ można je zapisać w postaci ułamków dziesiętnych 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 i -7, (18).

Zakończmy teorię tego punktu następującymi stwierdzeniami:

liczby całkowite i ułamki (dodatnie i ujemne) tworzą zbiór liczb wymiernych;
każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek mający licznik całkowity i mianownik naturalny, a każdy taki ułamek reprezentuje pewną liczbę wymierną;
każdą liczbę wymierną można przedstawić jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny, a każdy taki ułamek reprezentuje liczbę wymierną.

Czy ta liczba jest wymierna?

W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy się, że dowolna liczba naturalna, dowolna liczba całkowita, dowolna liczba ułamkowa zwykła, dowolna liczba mieszana, dowolna skończona ułamek dziesiętny, a także dowolny okresowy ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną. Wiedza ta pozwala nam „rozpoznać” liczby wymierne ze zbioru liczb pisanych.

Ale co, jeśli liczbę podamy w postaci jakiegoś, albo jako itd., jak odpowiedzieć na pytanie, czy ta liczba jest wymierna? W wielu przypadkach bardzo trudno jest odpowiedzieć. Wskażmy pewne kierunki myślenia.

Jeśli liczbę podano jako wyrażenie numeryczne, które zawiera tylko liczby wymierne i znaki arytmetyczne (+, -, · i:), to wartość tego wyrażenia jest liczbą wymierną. Wynika to ze sposobu definiowania operacji na liczbach wymiernych. Przykładowo po wykonaniu wszystkich operacji na wyrażeniu otrzymamy liczbę wymierną 18.

Czasami po uproszczeniu i skomplikowaniu wyrażeń możliwe staje się określenie, czy dana liczba jest wymierna.

Idźmy dalej. Liczba 2 jest liczbą wymierną, ponieważ każda liczba naturalna jest wymierna. A co z numerem? Czy to racjonalne? Okazuje się, że nie, to nie jest liczba wymierna, to jest liczba wymierna (dowód tego faktu przez sprzeczność podano w podręczniku algebry dla klasy 8, wymienionym poniżej w spisie literatury). Udowodniono również, że pierwiastek kwadratowy liczby naturalnej jest liczbą wymierną tylko w tych przypadkach, gdy pod pierwiastkiem znajduje się liczba będąca idealnym kwadratem jakiejś liczby naturalnej. Na przykład i są liczbami wymiernymi, ponieważ 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a liczby i nie są wymierne, ponieważ liczby 7 i 199 nie są idealnymi kwadratami liczb naturalnych.

Czy liczba jest wymierna czy nie? W tym przypadku łatwo zauważyć, że zatem liczba ta jest wymierna. Czy liczba jest wymierna? Udowodniono, że k-ty pierwiastek liczby całkowitej jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem jest k-tą potęgą jakiejś liczby całkowitej. Nie jest to zatem liczba wymierna, gdyż nie ma liczby całkowitej, której piąta potęga wynosi 121.

Metoda sprzeczna pozwala udowodnić, że logarytmy niektórych liczb nie są z jakiegoś powodu liczbami wymiernymi. Udowodnijmy na przykład, że - nie jest liczbą wymierną.

Załóżmy odwrotnie, czyli powiedzmy, że jest to liczba wymierna i można ją zapisać jako ułamek zwyczajny m/n. Następnie podajemy następujące równości: . Ostatnia równość jest niemożliwa, ponieważ po lewej stronie jest liczba nieparzysta 5 n, a po prawej stronie jest liczba parzysta 2 m. Dlatego nasze założenie jest błędne, a zatem nie jest liczbą wymierną.

Podsumowując, warto szczególnie zauważyć, że przy ustalaniu racjonalności lub niewymierności liczb należy powstrzymać się od wyciągania pochopnych wniosków.

Na przykład nie należy od razu twierdzić, że iloczyn liczb niewymiernych π i e jest liczbą niewymierną; jest to „pozornie oczywiste”, ale nie udowodnione. Rodzi to pytanie: „Dlaczego produkt miałby być liczbą wymierną?” A czemu nie, bo można podać przykład liczb niewymiernych, których iloczyn daje liczbę wymierną: .

Nie wiadomo również, czy liczby i wiele innych liczb są wymierne, czy nie. Istnieją na przykład liczby niewymierne, których moc irracjonalna jest liczbą wymierną. Dla ilustracji podajemy stopień postaci , podstawa tego stopnia i wykładnik nie są liczbami wymiernymi, ale , a 3 jest liczbą wymierną.

Bibliografia.

Matematyka. Klasa 6: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [N. Tak, Vilenkin i inni]. - wyd. 22, wyd. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Liczby całkowite

Definicja liczb naturalnych to liczby całkowite dodatnie. Liczby naturalne służą do liczenia obiektów i do wielu innych celów. Oto liczby:

Jest to naturalny ciąg liczb.
Czy zero jest liczbą naturalną? Nie, zero nie jest liczbą naturalną.
Ile jest liczb naturalnych? Istnieje nieskończona liczba liczb naturalnych.
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna? Jeden to najmniejsza liczba naturalna.
Jaka jest największa liczba naturalna? Nie da się tego określić, gdyż istnieje nieskończona liczba liczb naturalnych.

Suma liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem dodając liczby naturalne a i b:

Iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn liczb naturalnych a i b:

c jest zawsze liczbą naturalną.

Różnica liczb naturalnych Nie zawsze istnieje liczba naturalna. Jeśli odjemna jest większa od odejmowania, to różnica liczb naturalnych jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie nią nie jest.

Iloraz liczb naturalnych nie zawsze jest liczbą naturalną. Jeśli dla liczb naturalnych a i b

gdzie c jest liczbą naturalną, oznacza to, że a jest podzielne przez b. W tym przykładzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, c jest ilorazem.

Dzielnik liczby naturalnej to liczba naturalna, przez którą pierwsza liczba jest podzielna przez całość.

Każda liczba naturalna dzieli się przez jeden i samą siebie.

Liczby naturalne pierwsze dzielą się tylko przez jeden i same siebie. Mamy tu na myśli całkowity podział. Przykład, cyfry 2; 3; 5; Liczba 7 dzieli się tylko przez jeden i samą siebie. Są to proste liczby naturalne.

Jeden nie jest uważany za liczbę pierwszą.

Liczby większe niż jeden i niebędące liczbami pierwszymi nazywane są liczbami złożonymi. Przykłady liczb złożonych:

Jeden nie jest uważany za liczbę złożoną.

Zbiór liczb naturalnych składa się z jedynki, liczb pierwszych i liczb złożonych.

Zbiór liczb naturalnych oznacza się łacińską literą N.

Właściwości dodawania i mnożenia liczb naturalnych:

przemienność dodawania

asocjacyjna własność dodawania

(a + b) + do = za + (b + c);

przemienność mnożenia

asocjacyjna własność mnożenia

(ab) do = a (bc);

rozdzielność mnożenia

ZA (b + c) = ab + ac;

Wszystkie liczby

Liczby całkowite to liczby naturalne, zero i przeciwieństwa liczb naturalnych.

Przeciwieństwem liczb naturalnych są liczby całkowite ujemne, na przykład:

1; -2; -3; -4;...

Zbiór liczb całkowitych oznacza się łacińską literą Z.

Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby całkowite i ułamki zwykłe.

Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka okresowego. Przykłady:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Z przykładów jasno wynika, że dowolna liczba całkowita jest ułamkiem okresowym z okresem zerowym.

Każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Wyobraźmy sobie liczbę 3,(6) z poprzedniego przykładu jako taki ułamek.