Temat 1: Ułamki algebraiczne, działania arytmetyczne. Zadania związane z dodawaniem i odejmowaniem ułamków zwykłych

№ p/s

Elementy treści

Być w stanie rozwiązywać problematyczne problemy i sytuacje

S-9

Potęga z ujemnym wykładnikiem całkowitym

Wykładnik naturalny, wykładnik ujemny, mnożenie, dzielenie i potęgowanie

Mieć pomysł na potęgę z wykładnikiem naturalnym, potęgę z wykładnikiem ujemnym, mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczby

Być w stanie:

– upraszczać wyrażenia, korzystając z definicji stopnia z wykładnikiem ujemnym i właściwości stopnia;

– ułóż tekst w stylu naukowym

S-10

Test nr 2 „Transformacja wyrażeń wymiernych”

Być w stanie samodzielnie wybrać racjonalny sposób przekształcenia wyrażeń wymiernych, udowodnić tożsamość, rozwiązać równania wymierne poprzez eliminację mianowników, stworzyć matematyczny model sytuacji rzeczywistej

K.R. Nr 2

Pytania do testów

Podaj główną własność ułamka.
Formułować
1. Algorytm znajdowania dodatkowego współczynnika ułamka algebraicznego.
2. Zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o jednakowych mianownikach.
3. Algorytm znajdowania wspólnego mianownika kilku ułamków
4. Zasada dodawania (odejmowania) ułamków algebraicznych o różnych mianownikach.
5. Zasada mnożenia ułamków algebraicznych
6. Zasada dzielenia ułamków algebraicznych.
7. Zasada podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi.

W tej lekcji omówione zostanie pojęcie ułamka algebraicznego. Z ułamkami spotykamy się w najprostszych sytuacjach życiowych: gdy trzeba podzielić jakiś przedmiot na kilka części, na przykład, aby pokroić ciasto po równo na dziesięć osób. Oczywiście każdy dostaje kawałek ciasta. W tym przypadku mamy do czynienia z pojęciem ułamka liczbowego, ale możliwa jest sytuacja, gdy obiekt zostanie podzielony na nieznaną liczbę części, na przykład przez x. W tym przypadku pojawia się koncepcja wyrażenia ułamkowego. Z całymi wyrażeniami (nie zawierającymi podziału na wyrażenia ze zmiennymi) i ich właściwościami zapoznawałeś się już w klasie 7. Następnie przyjrzymy się pojęciu ułamka wymiernego, a także dopuszczalnym wartościom zmiennych.

Temat:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Podstawowe koncepcje

1. Definicja i przykłady ułamków algebraicznych

Wyrażenia wymierne dzielą się na wyrażenia całkowite i ułamkowe.

Definicja. Ułamek racjonalny jest wyrażeniem ułamkowym postaci , gdzie są wielomianami. - licznik mianownika.

Przykłady wyrażenia racjonalne:- wyrażenia ułamkowe; - całe wyrażenia. Na przykład w pierwszym wyrażeniu licznik to , a mianownik to .

Oznaczający ułamek algebraiczny jak ktokolwiek wyrażenie algebraiczne, zależy od wartości liczbowej zawartych w nim zmiennych. W szczególności w pierwszym przykładzie wartość ułamka zależy od wartości zmiennych i , a w drugim przykładzie tylko od wartości zmiennej .

2. Obliczanie wartości ułamka algebraicznego i dwa podstawowe zagadnienia ułamkowe

Rozważmy pierwsze typowe zadanie: obliczenie wartości ułamek racjonalny dla różnych wartości zawartych w nim zmiennych.

Przykład 1. Oblicz wartość ułamka dla a), b), c)

Rozwiązanie. Podstawmy wartości zmiennych do wskazanego ułamka: a), b) , c) - nie istnieje (ponieważ nie można dzielić przez zero).

Odpowiedź: 3; 1; nie istnieje.

Jak widać, w przypadku każdego ułamka pojawiają się dwa typowe problemy: 1) obliczenie ułamka, 2) znalezienie wartości prawidłowe i nieprawidłowe zmienne literowe.

Definicja. Prawidłowe wartości zmiennych- wartości zmiennych, przy których wyrażenie ma sens. Nazywa się zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennych OZ Lub domena.

3. Dopuszczalne (ADV) i niedopuszczalne wartości zmiennych w ułamkach z jedną zmienną

Wartość zmiennych literału może być nieprawidłowa, jeśli mianownik ułamka przy tych wartościach wynosi zero. We wszystkich innych przypadkach wartości zmiennych są prawidłowe, ponieważ można obliczyć ułamek.

Przykład 2. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie. Aby to wyrażenie miało sens, konieczne i wystarczające jest, aby mianownik ułamka nie był równy zero. Zatem tylko te wartości zmiennej będą nieprawidłowe, dla których mianownik jest równy zero. Mianownik ułamka wynosi , więc rozwiązujemy równanie liniowe:

Dlatego biorąc pod uwagę wartość zmiennej, ułamek nie ma znaczenia.

Z rozwiązania przykładu wynika zasada znajdowania nieprawidłowych wartości zmiennych - mianownik ułamka jest równy zero i znajdują się pierwiastki odpowiedniego równania.

Spójrzmy na kilka podobnych przykładów.

Przykład 3. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie. .

Przykład 4. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie..

Istnieją inne sformułowania tego problemu - znajdź domena Lub zakres dopuszczalnych wartości wyrażeń (APV). Oznacza to znalezienie wszystkich prawidłowych wartości zmiennych. W naszym przykładzie są to wszystkie wartości z wyjątkiem . Wygodnie jest przedstawić dziedzinę definicji na osi liczbowej.

Aby to zrobić, wytniemy na nim punkt, jak pokazano na rysunku:

Zatem, dziedzina definicji ułamka będą wszystkie liczby oprócz 3.

Przykład 5. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie..

Przedstawmy powstałe rozwiązanie na osi liczbowej:

4. Graficzne przedstawienie obszaru dopuszczalnych (AP) i niedopuszczalnych wartości zmiennych w ułamkach

Przykład 6. Ustal, przy jakich wartościach zmiennych ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie.. Otrzymaliśmy równość dwóch zmiennych, podamy przykłady numeryczne: lub itp.

Przedstawmy to rozwiązanie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych:

Ryż. 3. Wykres funkcji.

Współrzędne dowolnego punktu leżącego na tym wykresie nie mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości ułamków.

5. Przypadek typu „dzielenie przez zero”.

W omawianych przykładach spotkaliśmy się z sytuacją, w której nastąpiło dzielenie przez zero. Rozważmy teraz przypadek, w którym bardziej interesująca sytuacja pojawia się przy podziale typów.

Przykład 7. Ustal, przy jakich wartościach zmiennych ułamek nie ma sensu.

Rozwiązanie..

Okazuje się, że ułamek nie ma sensu w . Można jednak argumentować, że tak nie jest, ponieważ: .

Może się wydawać, że jeśli końcowe wyrażenie jest równe 8 w , to pierwotne również można obliczyć i dlatego ma sens w . Jeśli jednak podstawimy to do pierwotnego wyrażenia, otrzymamy - nie ma to sensu.

Aby lepiej zrozumieć ten przykład, rozwiążmy następujący problem: przy jakich wartościach wskazany ułamek jest równy zero?

(ułamek ma wartość zero, gdy jego licznik wynosi zero) . Ale konieczne jest rozwiązanie pierwotnego równania za pomocą ułamka i nie ma to sensu , ponieważ przy tej wartości zmiennej mianownik wynosi zero. Oznacza to, że to równanie ma tylko jeden pierwiastek.

6. Zasada wyszukiwania ODZ

W ten sposób możemy sformułować dokładną regułę znajdowania zakresu dopuszczalnych wartości ułamka: znaleźć OZułamki konieczne i wystarczające jest zrównanie jego mianownika z zerem i znalezienie pierwiastków wynikowego równania.

Rozważaliśmy dwa główne zadania: obliczanie wartości ułamka dla określonych wartości zmiennych i znalezienie zakresu dopuszczalnych wartości ułamka.

Rozważmy teraz kilka innych problemów, które mogą pojawić się podczas pracy z ułamkami.

7. Różne zadania i wnioski

Przykład 8. Udowodnij, że dla dowolnych wartości zmiennej ułamek .

Dowód. Licznik jest liczbą dodatnią. . W rezultacie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami dodatnimi, dlatego ułamek jest liczbą dodatnią.

Udowodniony.

Przykład 9. Wiadomo, że znajdź .

Rozwiązanie. Podzielmy ułamek wyraz po wyrazie. Mamy prawo dokonać redukcji przez, biorąc pod uwagę fakt, że jest to nieprawidłowa wartość zmiennej dla danego ułamka.

Na tej lekcji omówiliśmy podstawowe pojęcia związane z ułamkami. W następnej lekcji przyjrzymy się główna właściwość ułamka.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. klasa. - M.: Edukacja, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. 5. - M.: Edukacja, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. klasa. Podręcznik dla placówek oświaty ogólnokształcącej. - M.: Edukacja, 2006.

1. Festiwal idei pedagogicznych.

2. Stara szkoła.

3. Portal internetowy lib2.podelise. ru.

Praca domowa

1. nr 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. 5. - M.: Edukacja, 2010.

2. Zapisz ułamek wymierny, którego dziedziną definicji jest: a) zbiór, b) zbiór, c) cała oś liczbowa.

3. Udowodnij, że dla wszystkich możliwych wartości zmiennej wartość ułamka jest nieujemna.

4. Znajdź dziedzinę wyrażenia. Instrukcje: rozważ osobno dwa przypadki: gdy mianownik dolnego ułamka wynosi zero i gdy mianownik ułamka pierwotnego wynosi zero.

Temat 1. Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych. (18 godzin)

Sekcja matematyki. Przez linię.

Liczby i obliczenia
Wyrażenia i transformacje

Ułamek algebraiczny.
Redukcja ułamków.
Działania na ułamkach algebraicznych.

Program	^ Liczba godzin	Kontrola znaki
U-1. Lekcja łączona „Podstawowe pojęcia”	1		Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 1 „Wyrażenia liczbowe”
U-2. Lekcja-wykład „Główna właściwość ułamka algebraicznego. Ułamki redukujące”	1		Materiał demonstracyjny „Główna właściwość ułamków algebraicznych”
U-3. Lekcja - utrwalenie tego, czego się nauczyłeś	1	Liczenie werbalne Samodzielna praca 1.1 „Główna właściwość ułamka. Redukcja ułamków”	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 2 „Redukowanie ułamków algebraicznych”
U-4. Lekcja łączona „Dodawanie i odejmowanie ułamków o podobnych mianownikach”	1
U-5. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1		CD Matematyka 5-11 Ćwiczenia „Liczby wymierne”.
U-6. Lekcja łączona „Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach”	1		Materiał demonstracyjny „Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych”
U-7. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 3 „Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych”
U-8. Lekcja - samodzielna praca	1	Samodzielna praca 1.2 „Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych”
U-9. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1
U-10. Test lekcji	1	Próba nr 1
U-11. Lekcja łączona „Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych. Podnoszenie ułamków algebraicznych do potęg”	1
U-12. Lekcja - rozwiązywanie problemów	2	Samodzielna praca 1.3 „Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych”
U-13. Lekcja łączona „Przekształcanie wyrażeń wymiernych”	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 4 „Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych”
U-14. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1
U-15. Lekcja - samodzielna praca	1	Samodzielna praca 1.4 „Transformacja wyrażeń wymiernych”
U-16. Lekcja warsztatowa „Pierwsze pomysły na rozwiązanie równań wymiernych”	1		CD Matematyka 5-11 Wirtualne laboratorium „Wykres funkcji”.
U-17. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Próba 1 „Ułamki algebraiczne”
U-18. Lekcja - test.	1	Próba nr 2

Potrafi redukować ułamki algebraiczne.

Potrafić wykonywać podstawowe działania na ułamkach algebraicznych.
Potrafić wykonywać ćwiczenia kombinowane dotyczące działań z ułamkami algebraicznymi.

Temat 2. Funkcja kwadratowa. Funkcjonować . (18 godzin)

 Funkcja

Obowiązkowe minimalne treści z zakresu nauczania matematyki

Program. Monitorowanie jego realizacji

Program	Numer na godzinę	Kontrola znaki	Oprogramowania komputerowego lekcja


U-1. Lekcja łączona „Funkcja , jego właściwości i wykres”	1
	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 5 „Funkcja” Materiał demonstracyjny „Parabola. Zastosowanie w nauce i technologii”
U-3. Lekcja rozwiązywania problemów	1	Samodzielna praca 2.1 "Funkcjonować y = kx 2 »
U-4. Lekcja-wykład „Funkcja i jej wykres”	1		Materiał demonstracyjny „Funkcja, jej właściwości i wykres”
^ U-5. Lekcja rozwiązywania problemów	3	Liczenie werbalne Samodzielna praca 2.2 "Funkcjonować"	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 6 „Odwrotna proporcjonalność”
U-6,7. Lekcje-warsztaty „Jak wykreślić funkcję »	2	Praktyczna praca
U-8,9. Lekcje-warsztaty „Jak wykreślić funkcję , jeśli znany jest wykres funkcji »	2		Płyta CD „Matematyka 5-11 klas”. Wirtualne laboratorium „Wykresy funkcji”
^ U-10. Test lekcji	1	Próba nr 3
U-11 Lekcja-warsztat „Jak wykreślić wykres funkcji , jeśli znany jest wykres funkcji »	1		Płyta CD „Matematyka 5-11 klas”. Wirtualne laboratorium „Wykresy funkcji”
U-12 Lekcja-warsztat „Jak wykreślić wykres funkcji , jeśli znany jest wykres funkcji »	1	Samodzielna praca 2.3 „Wykresy funkcji”	Płyta CD „Matematyka 5-11 klas”. Wirtualne laboratorium „Wykresy funkcji”
U-13. Lekcja łączona „Funkcja , jego właściwości i wykres”	1		Materiał demonstracyjny „Właściwości funkcji kwadratowej”
U-14. Lekcja – utrwalenie zdobytej wiedzy..	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 7 „Funkcja kwadratowa”
U-15. Lekcja rozwiązywania problemów	1	Liczenie werbalne Samodzielna praca 2.4 „Własności i wykres funkcji kwadratowej”	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 8 „Własności funkcji kwadratowej”
U-16. Test lekcji	1	Próba 2 „Funkcja kwadratowa”
^ U-17. Warsztaty „Graficzne rozwiązanie równań kwadratowych”	1		Materiał demonstracyjny „Graficzne rozwiązanie równań kwadratowych”
U-18. Test lekcji	1	Próba nr 4

Wymagania dotyczące przygotowania matematycznego

Poziom obowiązkowego szkolenia studenta

Poziom możliwego szkolenia studenta

Temat 3 Funkcja . Właściwości pierwiastka kwadratowego (11 godzin)

Sekcja matematyki. Przez linię

Liczby i obliczenia
Wyrażenia i transformacje
Funkcje

Obowiązkowe minimalne treści z zakresu nauczania matematyki

 Pierwiastek kwadratowy z liczby. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.

 Pojęcie liczby niewymiernej. Irracjonalność liczb.

 Liczby rzeczywiste.

 Własności pierwiastków kwadratowych i ich zastosowanie w obliczeniach.

 Funkcja.

Program. Monitorowanie jego realizacji

Program	Liczba godzin	Kontrola znaki	Obsługa komputerowa lekcji
^ U-1. Lekcja-wykład „Pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej”	1		Materiał demonstracyjny „Pojęcie pierwiastka kwadratowego”
U-2. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Samodzielna praca 3.1 „Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy”
U-3. Lekcja łączona „Funkcja , jego właściwości i wykres”	1		Materiał demonstracyjny „Funkcja, jej właściwości i wykres”
^ U-4. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 9 „Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy”
^ U-5. Lekcja łączona „Właściwości pierwiastków kwadratowych”	1		Materiał demonstracyjny „Zastosowanie właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego”
^ Lekcja U-6 - rozwiązywanie problemów	1	Liczenie werbalne Samodzielna praca 3.2 „Właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego”	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 10 „Pierwiastek kwadratowy iloczynu i ułamka”
^ U-7,8. Warsztaty „Przekształcanie wyrażeń zawierających operację wyciągania pierwiastka kwadratowego.”	2	Praktyczna praca
^ U-9. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Liczenie werbalne Samodzielna praca 3.3 „Stosowanie właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego”	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 11 „Pierwiastek kwadratowy ze stopnia”
U-10. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Próba 3 "Pierwiastki kwadratowe"
U-11. Lekcja - test.	1	Próba nr 5

^ Wymagania dotyczące przygotowania matematycznego

Poziom obowiązkowego szkolenia studenta

 Znajdź znaczenie pierwiastków w prostych przypadkach.

 Zna definicję i własności funkcji , potrafić zbudować harmonogram.

 Potrafić wykorzystywać właściwości arytmetycznych pierwiastków kwadratowych do obliczania wartości i prostych przekształceń wyrażeń numerycznych zawierających pierwiastki kwadratowe.

Poziom możliwego szkolenia studenta

 Zna pojęcie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego.

 Potrafi zastosować właściwości arytmetycznych pierwiastków kwadratowych podczas przekształcania wyrażeń.

 Potrafi wykorzystać właściwości funkcji przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.

 Rozumie liczby niewymierne i rzeczywiste.

^ Temat 4 Równania kwadratowe (21 godz.)

Sekcja matematyki. Przez linię

 Równania i nierówności

Obowiązkowe minimalne treści z zakresu nauczania matematyki

 Równanie kwadratowe: wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

 Rozwiązywanie równań wymiernych.

 Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem równań kwadratowych i ułamkowych.

Program. Monitorowanie jego realizacji

Program	Liczba godzin	Kontrola znaki	Oprogramowania komputerowego lekcja


^ U-1. Lekcja-studiowanie nowego materiału „Podstawowe pojęcia”.	1		Materiał demonstracyjny „Równania kwadratowe”
U-2. Lekcja - utrwalenie tego, czego się nauczyłeś.	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 12 „Równanie kwadratowe i jego pierwiastki”
U-3. Lekcja łączona „Wzory pierwiastków równań kwadratowych”.	1	Samodzielna praca 4.1 „Równanie kwadratowe i jego pierwiastki”
U-4,5. Lekcje rozwiązywania problemów	2	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 11 „Rozwiązywanie równań kwadratowych”
U-6. Lekcja - samodzielna praca	1	Samodzielna praca 4.2 „Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru”
U-7. Lekcja łączona „Równania wymierne”	1	Praktyczna praca
U-8,9. Lekcje rozwiązywania problemów	2	Samodzielna praca 4.3 „Równania racjonalne”
U-10,11. Warsztaty „Równania wymierne jako modele matematyczne sytuacji rzeczywistych.”	2
U-12. Lekcja rozwiązywania problemów	1
U-13. Lekcja - samodzielna praca	1	Samodzielna praca 4.4 „Rozwiązywanie problemów za pomocą równań kwadratowych”
U-14. Lekcja łączona „Kolejny wzór na pierwiastki równania kwadratowego”.	1
U-15. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1
U-16. Lekcja łączona „Twierdzenie Viete’a”.	1		Materiał demonstracyjny „Twierdzenie Vieta”
U-17. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1	Liczenie werbalne	Zadania do obliczeń mentalnych. Ćwiczenie 14 „Twierdzenie Vietego”
U-18. Lekcja łączona „Równania irracjonalne”	1
U-19. Lekcja - rozwiązywanie problemów	1
U-20. Lekcja rozwiązywania problemów	1	Próba 4 "Równania kwadratowe"	CD Matematyka 5-11. Wirtualne laboratorium „Wykresy równań i nierówności”
U-21. Lekcja - test.	1	Próba nr 6

^ Wymagania dotyczące przygotowania matematycznego

Poziom obowiązkowego szkolenia studenta

 Potrafi rozwiązywać równania kwadratowe, proste równania wymierne i niewymierne.

 Potrafi rozwiązywać proste zadania tekstowe za pomocą równań.

Poziom możliwego szkolenia studenta

Rozumieć, że równania są aparatem matematycznym służącym do rozwiązywania różnych problemów z matematyki, pokrewnych dziedzin wiedzy i praktyki.
Potrafić rozwiązywać równania kwadratowe, równania wymierne i niewymierne, które można sprowadzić do równań kwadratowych.
Potrafić używać równań kwadratowych i równań wymiernych do rozwiązywania problemów.

W tej lekcji będziemy nadal rozważać najprostsze operacje na ułamkach algebraicznych - ich dodawanie i odejmowanie. Dzisiaj skupimy się na rozważeniu przykładów, w których najważniejszą częścią rozwiązania będzie rozłożenie mianownika na wszystkie znane nam sposoby: przez wspólny czynnik, metodę grupowania, wyodrębnienie kwadratu doskonałego, przy użyciu skróconych wzorów na mnożenie. Podczas lekcji przyjrzymy się kilku dość złożonym problemom ułamkowym.

Temat:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Zadania związane z dodawaniem i odejmowaniem ułamków zwykłych

Podczas lekcji rozważymy i uogólnimy wszystkie przypadki dodawania i odejmowania ułamków: o tych samych i o różnych mianownikach. Ogólnie rzecz biorąc, rozwiążemy problemy postaci:

Widzieliśmy wcześniej, że podczas dodawania lub odejmowania ułamków algebraicznych jedną z najważniejszych operacji jest rozkład mianowników na czynniki. Podobną procedurę wykonuje się w przypadku ułamków zwykłych. Przypomnijmy sobie jeszcze raz, jak pracować z ułamkami zwykłymi.

Przykład 1. Oblicz.

Rozwiązanie. Skorzystajmy, jak poprzednio, z podstawowego twierdzenia arytmetyki, że dowolną liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze: .

Wyznaczmy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników: - będzie to wspólny mianownik ułamków i na tej podstawie wyznaczymy dodatkowe współczynniki dla każdego z ułamków: dla pierwszego ułamka , dla drugiego ułamka , dla trzeciego ułamka.

Odpowiedź..

W powyższym przykładzie użyliśmy podstawowego twierdzenia arytmetyki do rozłożenia liczb na czynniki. Ponadto, gdy wielomiany pełnią rolę mianowników, należy je rozłożyć na czynniki przy użyciu następujących znanych nam metod: wyjęcie wspólnego czynnika, metoda grupowania, wyodrębnienie pełnego kwadratu, użycie skróconych wzorów mnożenia.

Przykład 2. Dodawanie i odejmowanie ułamków .

Rozwiązanie. Mianowniki wszystkich trzech ułamków są wyrażeniami złożonymi, które należy rozłożyć na czynniki, a następnie znaleźć dla nich najniższy wspólny mianownik i wskazać dodatkowe współczynniki dla każdego z ułamków. Wykonajmy wszystkie te kroki osobno, a następnie podstawmy wyniki do oryginalnego wyrażenia.

W pierwszym mianowniku usuwamy wspólny czynnik: - po usunięciu wspólnego czynnika można zauważyć, że wyrażenie w nawiasie jest złożone zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy.

W drugim mianowniku usuwamy wspólny czynnik: - po usunięciu wspólnego czynnika stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

Z trzeciego mianownika usuwamy wspólny czynnik: .

Po rozłożeniu trzeciego mianownika na czynniki można zauważyć, że w drugim mianowniku można wybrać współczynnik dla wygodniejszego wyszukiwania najmniejszego wspólnego mianownika ułamków, zrobimy to umieszczając minus z nawiasów, w drugim nawiasie mamy zamienił terminy na wygodniejszą formę notacji.

Zdefiniujmy najmniejszy wspólny mianownik ułamków jako wyrażenie, które jest dzielone przez wszystkie mianowniki jednocześnie, będzie ono równe: .

Wskażmy dodatkowe czynniki: dla pierwszego ułamka , dla drugiego ułamka - nie bierzemy pod uwagę minusa w mianowniku, ponieważ zapiszemy go dla całego ułamka, dla trzeciego ułamka .

Wykonajmy teraz czynności z ułamkami zwykłymi, nie zapominając o zmianie znaku przed drugim ułamkiem:

Na ostatnim etapie rozwiązania przynieśliśmy podobne terminy i zapisaliśmy je w kolejności malejącej potęg zmiennej.

Odpowiedź..

Na powyższym przykładzie po raz kolejny, podobnie jak na poprzednich lekcjach, zademonstrowaliśmy algorytm dodawania/odejmowania ułamków, który wygląda następująco: rozłóż mianowniki ułamków na czynniki, znajdź najmniejszy wspólny mianownik, dodatkowe czynniki, wykonaj procedurę dodawania/odejmowania i jeśli to możliwe, uprość wyrażenie i dokonaj redukcji. Będziemy nadal używać tego algorytmu w przyszłości. Spójrzmy teraz na prostsze przykłady.

Przykład 3. Odejmij ułamki .

Rozwiązanie. W tym przykładzie ważne jest, aby zobaczyć możliwość zmniejszenia pierwszego ułamka przed sprowadzeniem go do wspólnego mianownika z drugim ułamkiem. Aby to zrobić, rozkładamy na czynniki licznik i mianownik pierwszego ułamka.

Licznik: - w pierwszym kroku rozwinęliśmy część wyrażenia zgodnie ze wzorem na różnicę kwadratów, a w drugim kroku usunęliśmy wspólny czynnik.

Mianownik: - w pierwszym kroku rozwinęliśmy część wyrażenia zgodnie ze wzorem na kwadrat różnicy, a w drugim kroku wyciągnęliśmy wspólny czynnik. Podstaw wynikowy licznik i mianownik do pierwotnego wyrażenia i skróć pierwszy ułamek przez wspólny współczynnik:

Odpowiedź:.

Przykład 4. Wykonaj czynności .

Rozwiązanie. W tym przykładzie, podobnie jak w poprzednim, ważne jest, aby przed wykonaniem działań zauważyć i wdrożyć redukcję ułamka. Rozłóżmy licznik i mianownik.

Temat:

Lekcja: Konwersja wyrażeń wymiernych

1. Wyrażenie racjonalne i metody jego upraszczania

Przypomnijmy najpierw definicję wyrażenia wymiernego.

Definicja. Racjonalne wyrażenie- wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera pierwiastków i obejmuje jedynie operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia (podnoszenie do potęgi).

Przez pojęcie „przekształcenia wyrażenia racjonalnego” rozumiemy przede wszystkim jego uproszczenie. Odbywa się to w znanej nam kolejności działań: najpierw działania w nawiasach iloczyn liczb(potęgowanie), dzielenie liczb, a następnie operacje dodawania/odejmowania.

2. Uproszczenie wyrażeń wymiernych za pomocą sumy/różnicy ułamków

Głównym celem dzisiejszej lekcji będzie zdobycie doświadczenia w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów upraszczania wyrażeń wymiernych.

Przykład 1.

Rozwiązanie. Na początku może się wydawać, że ułamki te można zredukować, ponieważ wyrażenia w licznikach ułamków są bardzo podobne do wzorów na doskonałe kwadraty odpowiednich mianowników. W takim przypadku ważne jest, aby nie spieszyć się, ale osobno sprawdzić, czy tak jest.

Sprawdźmy licznik pierwszego ułamka: . Teraz drugi licznik: .

Jak widać nasze oczekiwania nie zostały spełnione, a wyrażenia w licznikach nie są idealnymi kwadratami, gdyż nie mają podwojenia iloczynu. Takie wyrażenia, jeśli pamiętasz kurs 7. klasy, nazywane są niepełnymi kwadratami. Należy w takich przypadkach zachować szczególną ostrożność, gdyż mylenie wzoru kwadratu pełnego z niepełnym jest bardzo częstym błędem, a takie przykłady wystawiają na próbę uważność ucznia.

Ponieważ redukcja nie jest możliwa, dokonamy dodawania ułamków. Mianowniki nie mają wspólnych czynników, więc po prostu je mnoży się, aby uzyskać najniższy wspólny mianownik, a dodatkowym czynnikiem dla każdego ułamka jest mianownik drugiego ułamka.

Oczywiście można wtedy otworzyć nawiasy i potem wprowadzić podobne wyrazy, jednak w tym przypadku można obejść się mniejszym wysiłkiem i zauważyć w liczniku, że pierwszy wyraz to wzór na sumę sześcianów, a drugi to różnica sześcianów. Dla wygody przypomnijmy te wzory w ogólnej formie:

W naszym przypadku wyrażenia w liczniku są zwinięte w następujący sposób:

, drugie wyrażenie jest podobne. Mamy:

Odpowiedź..

Przykład 2. Uprość racjonalne wyrażanie się .

Rozwiązanie. Ten przykład jest podobny do poprzedniego, ale tutaj od razu widać, że liczniki ułamków zawierają częściowe kwadraty, więc redukcja na początkowym etapie rozwiązania jest niemożliwa. Podobnie jak w poprzednim przykładzie dodajemy ułamki:

Tutaj, podobnie jak w metodzie wskazanej powyżej, zauważyliśmy i zwinęliśmy wyrażenia, korzystając ze wzorów na sumę i różnicę kostek.

Odpowiedź..

Przykład 3. Uprość wyrażenie racjonalne.

Rozwiązanie. Można zauważyć, że mianownik drugiego ułamka jest rozkładany na czynniki przy użyciu wzoru na sumę kostek. Jak już wiemy, rozkład mianowników na czynniki przydaje się do dalszego znajdowania najmniejszego wspólnego mianownika ułamków.

Wskażmy najniższy wspólny mianownik ułamków, jest on równy: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront. net/content/konspekt_image/ 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

Odpowiedź.

3. Uproszczenie wyrażeń wymiernych za pomocą złożonych ułamków „wielopiętrowych”.

Rozważmy bardziej złożony przykład z ułamkami „wielopiętrowymi”.

Przykład 4. Udowodnij tożsamość https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bf9d1738a99d.png" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

Udowodniony.

W następnej lekcji przyjrzymy się szczegółowo bardziej złożonym przykładom konwersji wyrażeń wymiernych.

Temat: Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja: Konwersja bardziej złożonych wyrażeń wymiernych

1. Przykład udowadniania tożsamości za pomocą przekształceń wyrażeń wymiernych

W tej lekcji przyjrzymy się konwertowaniu bardziej złożonych wyrażeń wymiernych. Pierwszy przykład będzie poświęcony udowodnieniu tożsamości.

Przykład 1

Udowodnij tożsamość: .

Dowód:

Przede wszystkim przy przekształcaniu wyrażeń wymiernych konieczne jest ustalenie kolejności działań. Przypomnijmy, że w pierwszej kolejności wykonywane są operacje w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Dlatego w tym przykładzie kolejność działań będzie następująca: najpierw wykonujemy akcję w pierwszych nawiasach, potem w drugich nawiasach, następnie uzyskane wyniki dzielimy, a następnie do powstałego wyrażenia dodajemy ułamek. W wyniku tych działań, a także uproszczenia, należy uzyskać wyrażenie.