Najmniej wspólny mianownik służy do uproszczenia tego równania. Tę metodę stosuje się, gdy nie można pisać dane równanie z jednym racjonalna ekspresja po każdej stronie równania (i użyj krzyżowej metody mnożenia). Metodę tę stosuje się, gdy podane jest równanie wymierne zawierające 3 lub więcej ułamków (w przypadku dwóch ułamków lepiej jest zastosować mnożenie krzyżowe).
Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków (lub najmniejszą wspólną wielokrotność). NOZ jest najmniejsza liczba, który jest równomiernie podzielny przez każdy mianownik.
- Czasami NPD jest liczbą oczywistą. Na przykład, jeśli mamy równanie: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, to oczywiste jest, że najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 3, 2 i 6 wynosi 6.
- Jeżeli NCD nie jest oczywiste, zapisz wielokrotności największego mianownika i znajdź wśród nich taki, który będzie wielokrotnością pozostałych mianowników. Często NOD można znaleźć po prostu mnożąc dwa mianowniki. Na przykład, jeśli równanie ma dane x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, to NOS = 8*9 = 72.
- Jeśli jeden lub więcej mianowników zawiera zmienną, proces staje się nieco bardziej skomplikowany (ale nie niemożliwy). W tym przypadku NOC jest wyrażeniem (zawierającym zmienną), które jest dzielone przez każdy mianownik. Np. w równaniu 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ponieważ to wyrażenie jest dzielone przez każdy mianownik: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez liczbę równą wynikowi dzielenia NOC przez odpowiedni mianownik każdego ułamka. Ponieważ mnożysz zarówno licznik, jak i mianownik przez tę samą liczbę, w efekcie mnożysz ułamek przez 1 (na przykład 2/2 = 1 lub 3/3 = 1).
- Zatem w naszym przykładzie pomnóż x/3 przez 2/2, aby otrzymać 2x/6, a 1/2 pomnóż przez 3/3, aby otrzymać 3/6 (ułamek 3x +1/6 nie musi być mnożony, ponieważ jest to mianownik wynosi 6).
- Postępuj podobnie, gdy zmienna znajduje się w mianowniku. W naszym drugim przykładzie NOZ = 3x(x-1), więc pomnóż 5/(x-1) przez (3x)/(3x), aby otrzymać 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x pomnożone przez 3(x-1)/3(x-1) i otrzymasz 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnożone przez (x-1)/(x-1) i otrzymasz 2(x-1)/3x(x-1).
Znajdź x. Teraz, gdy sprowadziłeś ułamki do wspólnego mianownika, możesz pozbyć się mianownika. Aby to zrobić, pomnóż każdą stronę równania przez wspólny mianownik. Następnie rozwiąż powstałe równanie, to znaczy znajdź „x”. Aby to zrobić, wyizoluj zmienną po jednej stronie równania.
- W naszym przykładzie: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Możesz dodać 2 ułamki o tym samym mianowniku, więc zapisz równanie jako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnóż obie strony równania przez 6 i pozbądź się mianowników: 2x+3 = 3x +1. Rozwiąż i uzyskaj x = 2.
- W naszym drugim przykładzie (ze zmienną w mianowniku) równanie wygląda (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Mnożąc obie strony równania przez N3, pozbywasz się mianownika i otrzymujesz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), lub 15x = 3x - 3 + 2x -2, lub 15x = x - 5 Rozwiąż i otrzymaj: x = -5/14.
Działania z ułamkami. W tym artykule przyjrzymy się przykładom, wszystko szczegółowo z objaśnieniami. Rozważymy ułamki zwykłe. Ułamkami dziesiętnymi zajmiemy się później. Polecam obejrzeć całość i przestudiować po kolei.
1. Suma ułamków, różnica ułamków.
Zasada: podczas dodawania ułamków za pomocą równe mianowniki w rezultacie otrzymujemy ułamek - którego mianownik pozostaje taki sam, a jego licznik będzie równa sumie liczniki ułamków.
Zasada: przy obliczaniu różnicy ułamków za pomocą same mianowniki otrzymujemy ułamek - mianownik pozostaje taki sam, a licznik drugiego odejmuje się od licznika pierwszego ułamka.
Formalny zapis sumy i różnicy ułamków o równych mianownikach:
Przykłady (1):
Oczywiste jest, że gdy podane są zwykłe ułamki, wszystko jest proste, ale co, jeśli zostaną zmieszane? Nic skomplikowanego...
opcja 1– możesz je zamienić na zwykłe, a następnie przeliczyć.
Opcja 2– można „pracować” osobno z częściami całkowitymi i ułamkowymi.
Przykłady (2):
Więcej:
A jeśli podana jest różnica dwóch frakcje mieszane a licznik pierwszego ułamka będzie mniejszy niż licznik drugiego? Można też działać na dwa sposoby.
Przykłady (3):
*Przeliczenie na ułamki zwykłe, obliczenie różnicy, przeliczenie powstałego ułamka niewłaściwego na ułamek mieszany.
*Rozbiliśmy to na części całkowite i ułamkowe, otrzymaliśmy trójkę, następnie przedstawiliśmy 3 jako sumę 2 i 1, gdzie jedna jest reprezentowana jako 11/11, następnie znaleźliśmy różnicę między 11/11 a 7/11 i obliczyliśmy wynik . Znaczenie powyższych przekształceń polega na wzięciu (wybraniu) jednostki i przedstawieniu jej w postaci ułamka o potrzebnym mianowniku, a następnie możemy od tego ułamka odjąć inną.
Inny przykład:
Wniosek: istnieje podejście uniwersalne - aby obliczyć sumę (różnicę) ułamków mieszanych o równych mianownikach, zawsze można je zamienić na niewłaściwe, a następnie wykonać niezbędne czynności. Następnie, jeśli wynikiem jest ułamek niewłaściwy, zamieniamy go na ułamek mieszany.
Powyżej przyjrzeliśmy się przykładom ułamków o równych mianownikach. A co jeśli mianowniki są różne? W takim przypadku ułamki są redukowane do tego samego mianownika i wykonywana jest określona akcja. Aby zmienić (przekształcić) ułamek, wykorzystuje się podstawową właściwość ułamka.
Spójrzmy na proste przykłady:
W tych przykładach od razu widzimy, jak jeden z ułamków można przekształcić, aby uzyskać równe mianowniki.
Jeśli wyznaczymy sposoby redukcji ułamków do tego samego mianownika, wówczas nazwiemy ten METODA JEDNA.
Oznacza to, że natychmiast „oceniając” ułamek musisz dowiedzieć się, czy to podejście zadziała - sprawdzamy, czy większy mianownik jest podzielny przez mniejszy. A jeśli jest podzielny, to dokonujemy przekształcenia - mnożymy licznik i mianownik tak, aby mianowniki obu ułamków stały się równe.
Teraz spójrz na te przykłady:
To podejście nie ma dla nich zastosowania. Istnieją również sposoby na sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika; rozważmy je.
Metoda DRUGA.
Mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego:
*W rzeczywistości ułamki redukujemy, gdy mianowniki stają się równe. Następnie korzystamy z reguły dodawania ułamków o równych mianownikach.
Przykład:
*Tę metodę można nazwać uniwersalną i zawsze działa. Jedynym minusem jest to, że po obliczeniach może pojawić się ułamek, który trzeba będzie jeszcze zmniejszyć.
Spójrzmy na przykład:
Można zauważyć, że licznik i mianownik są podzielne przez 5:
Metoda trzecia.
Musisz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników. To będzie wspólny mianownik. Co to za numer? To najmniej Liczba naturalna, która jest podzielna przez każdą z liczb.
Spójrz, tutaj są dwie liczby: 3 i 4, jest wiele liczb, które są przez nie podzielne - to 12, 24, 36, ... Najmniejsza z nich to 12. Albo 6 i 15, są podzielne przez 30, 60, 90.... Najmniej wynosi 30. Pytanie brzmi - jak wyznaczyć tę najmniejszą wspólną wielokrotność?
Istnieje jasny algorytm, ale często można to zrobić natychmiast, bez obliczeń. Na przykład zgodnie z powyższymi przykładami (3 i 4, 6 i 15) nie jest potrzebny żaden algorytm, wzięliśmy duże liczby (4 i 15), podwoiliśmy je i zobaczyliśmy, że są podzielne przez drugą liczbę, ale pary liczb mogą być inne, na przykład 51 i 119.
Algorytm. Aby określić najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, musisz:
- rozłóż każdą liczbę na PROSTE czynniki
— zapisz rozkład WIĘKSZEGO z nich
- pomnóż go przez BRAKUJĄCE współczynniki innych liczb
Spójrzmy na przykłady:
50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
w rozkładzie więcej brakuje jednej piątki
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
w rozwinięciu większej liczby brakuje dwóch i trzech
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmniejsza wspólna wielokrotność dwójki liczby pierwsze równy ich produktowi
Pytanie! Dlaczego znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności jest przydatne, skoro możesz skorzystać z drugiej metody i po prostu zmniejszyć powstały ułamek? Tak, jest to możliwe, ale nie zawsze jest to wygodne. Spójrz na mianownik liczb 48 i 72, jeśli po prostu je pomnożysz 48∙72 = 3456. Zgodzisz się, że przyjemniej jest pracować z mniejszymi liczbami.
Spójrzmy na przykłady:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
w rozwinięciu większej liczby brakuje trójki
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Teraz zastosujmy pierwszą metodę:
*Spójrz na różnicę w obliczeniach, w pierwszym przypadku jest ich minimum, ale w drugim musisz pracować osobno na kartce papieru, a nawet otrzymaną ułamek należy zmniejszyć. Znalezienie LOC znacznie upraszcza pracę.
Więcej przykładów:
*W drugim przykładzie widać, że najmniejszą liczbą podzielną przez 40 i 60 jest 120.
WYNIK! OGÓLNY ALGORYTM OBLICZENIOWY!
— sprowadzamy ułamki zwykłe do zwykłych, jeśli istnieje część całkowita.
- sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (najpierw sprawdzamy, czy jeden mianownik jest podzielny przez drugi; jeśli jest podzielny, to mnożymy licznik i mianownik tego drugiego ułamka; jeśli nie jest podzielny, postępujemy innymi metodami wskazane powyżej).
- Po otrzymaniu ułamków o równych mianownikach wykonujemy operacje (dodawanie, odejmowanie).
- w razie potrzeby zmniejszamy wynik.
- jeśli to konieczne, wybierz całą część.
2. Iloczyn ułamków.
Zasada jest prosta. Podczas mnożenia ułamków mnożone są ich liczniki i mianowniki:
Przykłady:
Rozwiązywanie równań z ułamkami Spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i ilustracyjne. Z ich pomocą jesteś najbardziej w jasny sposób Możesz się uczyć.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.
Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ W mianowniku znajdują się tylko liczby.
Rozwiązanie polega na pomnożeniu obu stron równania przez b, wówczas równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), tj. mianownik ułamka po lewej stronie się znosi.
Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Mnożymy obie strony przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25
Inny przykład, gdy niewiadoma jest w mianowniku:
Równania tego typu nazywane są ułamkowo-wymiernymi lub po prostu ułamkowymi.
Rozwiązalibyśmy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym równanie to najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Musisz tylko wziąć pod uwagę następujące punkty:
- wartość zmiennej zamieniającej mianownik na 0 nie może być pierwiastkiem;
- Nie można dzielić ani mnożyć równania przez wyrażenie =0.
Tutaj pojawia się koncepcja obszaru. dopuszczalne wartości(ODZ) to takie wartości pierwiastków równania, przy których równanie ma sens.
Dlatego przy rozwiązywaniu równania należy znaleźć pierwiastki, a następnie sprawdzić je pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu ODZ, są wyłączone z odpowiedzi.
Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:
W oparciu o powyższą regułę x nie może wynosić = 0, tj. ODZ w w tym przypadku: x – dowolna wartość różna od zera.
Pozbywamy się mianownika, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x
I rozwiązujemy zwykłe równanie
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Odpowiedź: x = 1/3
Rozwiążmy bardziej skomplikowane równanie:
ODZ jest również obecny tutaj: x -2.
Rozwiązując to równanie, nie przesuniemy wszystkiego na jedną stronę i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast pomnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które usunie wszystkie mianowniki na raz.
Aby zmniejszyć potrzebne mianowniki lewa strona pomnóż przez x+2, a prawą rękę przez 2. Oznacza to, że obie strony równania należy pomnożyć przez 2(x+2):
Dokładnie to zwykłe mnożenie frakcje, o których już mówiliśmy powyżej
Zapiszmy to samo równanie, ale nieco inaczej
Lewą stronę zmniejsza się o (x+2), a prawą o 2. Po redukcji otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:
x = 4 – 2 = 2, co odpowiada naszemu ODZ
Odpowiedź: x = 2.
Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie zrezygnuj z subskrypcji w komentarzach.
Instrukcje
Być może najbardziej oczywistym punktem jest oczywiście. Ułamki numeryczne nie stwarzają żadnego zagrożenia ( równania ułamkowe, gdzie wszystkie mianowniki zawierają tylko liczby, będą na ogół liniowe), ale jeśli w mianowniku znajduje się zmienna, należy to wziąć pod uwagę i zapisać. Po pierwsze, x, które zamienia mianownik na 0, nie może być i w ogóle konieczne jest osobne stwierdzenie faktu, że x nie może być równe tej liczbie. Nawet jeśli uda się, że po podstawieniu do licznika wszystko będzie idealnie zbieżne i spełnia warunki. Po drugie, nie możemy pomnożyć żadnej strony równania przez . równy zeru.
Następnie takie równanie sprowadza się do przeniesienia wszystkich jego wyrazów na lewą stronę, tak aby 0 pozostało po prawej stronie.
Konieczne jest sprowadzenie wszystkich terminów do wspólnego mianownika, w razie potrzeby pomnożenia liczników przez brakujące wyrażenia.
Następnie rozwiązujemy zwykłe równanie zapisane w liczniku. Możemy to znieść Wspólne czynniki poza nawiasami, zastosuj skrócone mnożenie, podaj podobne, oblicz pierwiastki równanie kwadratowe poprzez dyskryminację itp.
Wynikiem powinna być faktoryzacja w postaci iloczynu nawiasów (x-(i-ty pierwiastek)). Może to również obejmować wielomiany, które nie mają pierwiastków, na przykład trójmian kwadratowy z dyskryminatorem mniejszym od zera (jeśli oczywiście jest to problem tylko prawdziwe korzenie jak to najczęściej bywa).
Konieczne jest rozłożenie mianownika na czynniki i znalezienie nawiasów zawartych już w liczniku. Jeśli w mianowniku znajdują się wyrażenia takie jak (x-(liczba)), to lepiej, sprowadzając do wspólnego mianownika, nie mnożyć w nim nawiasów bezpośrednio, ale pozostawić je w postaci iloczynu oryginału proste wyrażenia.
Identyczne nawiasy w liczniku i mianowniku można skrócić, zapisując najpierw, jak wspomniano powyżej, warunki na x.
Odpowiedź jest zapisana w nawiasach klamrowych jako zbiór wartości x lub po prostu jako wyliczenie: x1=..., x2=... itd.
Źródła:
- Frakcyjny równania racjonalne
Coś, bez czego nie da się obejść w fizyce, matematyce, chemii. Najmniej. Nauczmy się podstaw ich rozwiązywania.
Instrukcje
Najbardziej ogólną i prostą klasyfikację można podzielić ze względu na liczbę zawartych w nich zmiennych oraz stopień, w jakim te zmienne się znajdują.
Rozwiąż równanie ze wszystkimi pierwiastkami lub udowodnij, że ich nie ma.
Każde równanie ma nie więcej niż P pierwiastków, gdzie P jest maksimum danego równania.
Ale niektóre z tych korzeni mogą się pokrywać. Na przykład równanie x^2+2*x+1=0, gdzie ^ jest ikoną potęgowania, jest składane do kwadratu wyrażenia (x+1), czyli do iloczynu dwóch identycznych nawiasy, z których każdy daje x=- 1 jako rozwiązanie.
Jeśli w równaniu jest tylko jedna niewiadoma, oznacza to, że będziesz w stanie jednoznacznie znaleźć jego pierwiastki (rzeczywiste lub zespolone).
Do tego najprawdopodobniej będziesz potrzebować, różne transformacje: skrócone mnożenie, obliczanie wyróżnika i pierwiastków równania kwadratowego, przenoszenie wyrazów z jednej części do drugiej, sprowadzenie do wspólnego mianownika, mnożenie obu części równania przez to samo wyrażenie, przez kwadrat itp.
Przekształcenia, które nie wpływają na pierwiastki równania, są identyczne. Służą do uproszczenia procesu rozwiązywania równania.
Można również zastosować zamiast tradycyjnego narzędzia analitycznego metoda graficzna i zapisz to równanie w formie, a następnie przeprowadź jego badanie.
Jeśli w równaniu jest więcej niż jedna niewiadoma, wówczas będziesz mógł wyrazić tylko jedną z nich w kategoriach drugiej, pokazując w ten sposób zbiór rozwiązań. Są to na przykład równania z parametrami, w których występuje nieznane x i parametr a. Decydować równanie parametryczne- oznacza, że dla każdego a wyrażenie x poprzez a, to znaczy rozważenie wszystkich możliwych przypadków.
Jeśli równanie zawiera pochodne lub różniczki niewiadomych (patrz rysunek), gratulacje równanie różniczkowe i tutaj nie można się bez tego obejść wyższa matematyka).
Źródła:
Aby rozwiązać problem z w ułamkach, musisz nauczyć się sobie z nimi radzić działania arytmetyczne. Mogą być dziesiętne, ale są najczęściej używane frakcje naturalne z licznikiem i mianownikiem. Dopiero po tym możemy przejść do rozwiązań problemy matematyczne Z wartości ułamkowe.
Będziesz potrzebować
- - kalkulator;
- - znajomość właściwości ułamków;
- - umiejętność wykonywania operacji na ułamkach zwykłych.
Instrukcje
Ułamek zwykły to zapis służący do dzielenia jednej liczby przez drugą. Często nie można tego zrobić całkowicie, dlatego też czynność ta pozostaje niedokończona. Liczbę podzielną (występującą nad lub przed znakiem ułamka) nazywamy licznikiem, a drugą liczbę (pod lub za znakiem ułamka) nazywamy mianownikiem. Jeśli licznik jest większy od mianownika, ułamek nazywa się ułamkiem niewłaściwym i można od niego oddzielić całą część. Jeżeli licznik jest mniejszy od mianownika, wówczas taki ułamek nazywa się właściwym, a jego część całkowita jest równa 0.
Zadania dzielą się na kilka typów. Określ, do którego z nich należy dane zadanie. Najprostsza opcja– znalezienie ułamka liczby, wyrażone jako ułamek. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez ułamek. Dostarczono np. 8 ton ziemniaków. W pierwszym tygodniu sprzedano 3/4 całości. Ile ziemniaków zostało? Aby rozwiązać ten problem, pomnóż liczbę 8 przez 3/4. Okazuje się, że 8∙3/4=6 t.
Jeśli chcesz znaleźć liczbę według jej części, pomnóż ją znana część liczby na ułamek, odwrotność tej, która pokazuje, jaki jest udział danej części w liczbie. Przykładowo 8 z nich stanowi 1/3 ogólnej liczby studentów. Ile w? Ponieważ 8 osób to część stanowiąca 1/3 całości, znajdź ułamek odwrotny, co jest równe 3/1 lub po prostu 3. Następnie, aby uzyskać liczbę uczniów w klasie, 8∙3=24 uczniów.
Jeśli chcesz dowiedzieć się, która część jednej liczby różni się od drugiej, podziel liczbę reprezentującą tę część przez liczbę stanowiącą całość. Na przykład, jeśli odległość wynosi 300 km, a samochód przejechał 200 km, jaka będzie to część całkowitej odległości? Podziel część ścieżki 200 przez Pełna ścieżka 300, po zmniejszeniu ułamka otrzymasz wynik. 200/300=2/3.
Aby znaleźć nieznany ułamek liczby, gdy jest ona znana, należy przyjąć liczbę całkowitą jako jednostkę konwencjonalną i odjąć od niej znany ułamek. Na przykład, jeśli minęło już 4/7 lekcji, czy pozostało jeszcze trochę czasu? Weź całą lekcję jako całość i odejmij od niej 4/7. Uzyskaj 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Instrukcje
Sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Niech zostaną podane ułamki a/b i c/d.
Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnoży się przez LCM/b
Licznik i mianownik drugiego ułamka mnoży się przez LCM/d
Przykład pokazano na rysunku.
Aby porównać ułamki, należy je dodać do wspólnego mianownika, a następnie porównać liczniki. Na przykład 3/4< 4/5, см. .
Dodawanie i odejmowanie ułamków.
Aby znaleźć sumę dwóch zwykłe ułamki należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, następnie liczniki są dodawane, mianownik pozostaje niezmieniony. Przykład dodawania ułamków 1/2 i 1/3 pokazano na rysunku.
Różnicę ułamków oblicza się w podobny sposób, po znalezieniu wspólnego mianownika odejmuje się liczniki ułamków, patrz rysunek.
Podczas mnożenia ułamków zwykłych liczniki i mianowniki są mnożone przez siebie.
Aby podzielić dwa ułamki niezbędny jest ułamek drugiego ułamka, tj. zmień jego licznik i mianownik, a następnie pomnóż powstałe ułamki.
Wideo na ten temat
Źródła:
- ułamki klasy 5 na przykładzie
- Podstawowe problemy ułamkowe
Moduł reprezentuje całkowita wartość wyrażenia. Do oznaczenia modułu używane są nawiasy proste. Wartości w nich zawarte są uważane za modulo. Rozwiązaniem modułu jest rozwinięcie nawiasów wg pewne zasady i znalezienie zbioru wartości wyrażeń. W większości przypadków moduł jest rozwijany w taki sposób, że wyrażenie submodularne otrzymuje serię dodatnich i wartości ujemne w tym wartość zerową. Na podstawie tych właściwości modułu zestawiane i rozwiązywane są dalsze równania i nierówności pierwotnego wyrażenia.
Instrukcje
Zapisz oryginalne równanie za pomocą . W tym celu otwórz moduł. Rozważ każde wyrażenie submodularne. Określ, przy jakiej wartości nieznanych wielkości zawartych w nim wyrażenie w nawiasach modułowych staje się zerem.
Aby to zrobić, przyrównaj wyrażenie submodularne do zera i znajdź wynikowe równanie. Zapisz znalezione wartości. W ten sam sposób określ wartości nieznanej zmiennej dla każdego modułu w dane równanie.
Narysuj oś liczbową i nanieś na nią powstałe wartości. Wartości zmiennej w module zerowym będą służyć jako ograniczenia przy rozwiązywaniu równania modułowego.
W oryginalnym równaniu należy rozwinąć równania modułowe, zmieniając znak tak, aby wartości zmiennej odpowiadały wartościom wyświetlanym na osi liczbowej. Rozwiąż powstałe równanie. Sprawdź znalezioną wartość zmiennej pod kątem ograniczenia określonego przez moduł. Jeśli rozwiązanie spełnia warunek, jest prawdziwe. Korzenie niespełniające ograniczeń należy wyrzucić.
Podobnie rozwiń moduły pierwotnego wyrażenia, biorąc pod uwagę znak i oblicz pierwiastki powstałego równania. Zapisz wszystkie otrzymane pierwiastki, które spełniają nierówności więzów.
Liczby ułamkowe można wyrazić w w różnych formach Dokładna wartość wielkie ilości. To samo możesz zrobić z ułamkami operacje matematyczne, podobnie jak w przypadku liczb całkowitych: odejmowanie, dodawanie, mnożenie i dzielenie. Aby nauczyć się decydować ułamki, musimy pamiętać o niektórych ich cechach. Zależą od rodzaju ułamki, obecność części całkowitej, wspólny mianownik. Niektóre operacje arytmetyczne wymagają zmniejszenia części ułamkowej wyniku po wykonaniu.
Będziesz potrzebować
- - kalkulator
Instrukcje
Przyjrzyj się uważnie liczbom. Jeśli wśród ułamków zwykłych znajdują się ułamki dziesiętne i nieregularne, czasami wygodniej jest najpierw wykonać operacje na ułamkach dziesiętnych, a następnie przekształcić je do postaci nieregularnej. Możesz przetłumaczyć ułamki początkowo w tej formie, zapisując wartość po przecinku w liczniku i wstawiając 10 w mianowniku. Jeśli to konieczne, zmniejsz ułamek, dzieląc liczby powyżej i poniżej przez jeden dzielnik. Ułamki, w których wyodrębniona jest cała część, należy przekształcić do niewłaściwej postaci, mnożąc ją przez mianownik i dodając licznik do wyniku. Podana wartość stanie się nowym licznikiem ułamki. Aby wybrać całą część z początkowo nieprawidłowej ułamki, musisz podzielić licznik przez mianownik. Zapisz cały wynik z ułamki. A pozostała część dzielenia stanie się nowym licznikiem i mianownikiem ułamki to się nie zmienia. W przypadku ułamków zawierających część całkowitą możliwe jest wykonanie działań oddzielnie, najpierw dla liczby całkowitej, a następnie dla części ułamkowych. Na przykład można obliczyć sumę 1 2/3 i 2 ¾:
- Zamiana ułamków zwykłych na niewłaściwą formę:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Sumowanie osobno liczb całkowitych i części ułamkowe warunki:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Dla wartości poniżej linii znajdź wspólny mianownik. Na przykład dla 5/9 i 7/12 wspólnym mianownikiem będzie 36. W tym celu licznik i mianownik pierwszego ułamki musisz pomnożyć przez 4 (otrzymasz 28/36), a drugi - przez 3 (otrzymasz 15/36). Teraz możesz wykonać obliczenia.
Jeśli zamierzasz obliczyć sumę lub różnicę ułamków, najpierw wpisz znaleziony wspólny mianownik pod linią. Wykonać niezbędne działania między licznikami i zapisz wynik nad nową linią ułamki. Zatem nowym licznikiem będzie różnica lub suma liczników pierwotnych ułamków.
Aby obliczyć iloczyn ułamków, pomnóż liczniki ułamków i wpisz wynik w miejsce licznika końcowego ułamki. Zrób to samo dla mianowników. Podczas dzielenia jednego ułamki zapisz jeden ułamek na drugim, a następnie pomnóż jego licznik przez mianownik drugiego. W tym przypadku mianownik pierwszego ułamki odpowiednio pomnożona przez drugi licznik. W tym przypadku następuje swego rodzaju rewolucja ułamki(dzielnik). Końcowy ułamek będzie wynikiem pomnożenia liczników i mianowników obu ułamków. Nie jest trudno się tego nauczyć ułamki, zapisany w stanie w formie „czteropiętrowej” ułamki. Jeśli oddziela dwa ułamki, zapisz je ponownie, używając separatora „:” i kontynuuj regularny podział.
Za zdobycie ostateczny wynik Skróć powstały ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez jedną liczbę całkowitą, w tym przypadku największą możliwą. W tym przypadku powyżej i poniżej linii muszą znajdować się liczby całkowite.
notatka
Nie wykonuj działań arytmetycznych na ułamkach, których mianowniki są różne. Wybierz taką liczbę, że pomnożenie przez nią licznika i mianownika każdego ułamka spowoduje, że mianowniki obu ułamków będą równe.
Podczas nagrywania liczby ułamkowe Dywidenda jest zapisana powyżej linii. Ilość tę wyznacza się jako licznik ułamka. Dzielnik lub mianownik ułamka zapisuje się pod linią. Na przykład półtora kilograma ryżu zostanie zapisane jako ułamek w następujący sposób: 1 ½ kg ryżu. Jeśli mianownik ułamka wynosi 10, ułamek ten nazywa się dziesiętnym. W tym przypadku licznik (dywidenda) wpisuje się po prawej stronie całej części, oddzielając przecinkiem: 1,5 kg ryżu. Dla ułatwienia obliczeń taki ułamek zawsze można zapisać w niewłaściwej formie: 1 2/10 kg ziemniaków. Dla uproszczenia możesz zmniejszyć wartości licznika i mianownika, dzieląc je przez jedną liczbę całkowitą. W tym przykładzie możesz podzielić przez 2. Otrzymasz 1 1/5 kg ziemniaków. Upewnij się, że liczby, na których będziesz wykonywać arytmetykę, są przedstawione w tej samej formie.
Instrukcje
Kliknij raz pozycję menu „Wstaw”, a następnie wybierz „Symbol”. To jest jeden z najbardziej proste sposoby wstawki ułamki w tekst. Składa się z następujących elementów. Zestaw gotowych symboli zawiera ułamki. Ich liczba z reguły jest niewielka, ale jeśli chcesz wpisać w tekście ½ zamiast 1/2, ta opcja będzie dla Ciebie najbardziej optymalna. Ponadto liczba znaków ułamkowych może zależeć od czcionki. Przykładowo dla czcionki Times New Roman ułamków jest nieco mniej niż dla tego samego Arialu. Zmieniaj czcionki, aby znaleźć najlepszą opcję w przypadku prostych wyrażeń.
Kliknij punkt menu „Wstaw” i wybierz podpunkt „Obiekt”. Pojawi się przed tobą okno z listą możliwych obiektów do wstawienia. Wybierz spośród nich Microsoft Equation 3.0. Ta aplikacja pomoże Ci pisać ułamki. I nie tylko ułamki, ale i złożone wyrażenia matematyczne, zawierający różne funkcje trygonometryczne i inne elementy. Kliknij dwukrotnie ten obiekt lewym przyciskiem myszy. Pojawi się przed tobą okno zawierające wiele symboli.
Aby wydrukować ułamek, wybierz symbol reprezentujący ułamek z pustym licznikiem i mianownikiem. Kliknij na niego raz lewym przyciskiem myszy. Pojawi się dodatkowe menu wyjaśniające sam schemat. ułamki. Może być kilka opcji. Wybierz ten, który najbardziej Ci odpowiada i kliknij go jednokrotnie lewym przyciskiem myszy.