Definicja i własności liczb pierwszych. Liczby naturalne pierwsze

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która dzieli się tylko przez siebie i jeden.

Pozostałe liczby nazywane są liczbami złożonymi.

Liczby naturalne pierwsze

Ale nie wszystkie liczby naturalne są liczbami pierwszymi.

Liczby naturalne pierwsze to tylko te, które dzielą się tylko przez siebie i przez jeden.

Przykłady liczb pierwszych:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Liczby całkowite pierwsze

Wynika z tego, że tylko liczby naturalne są liczbami pierwszymi.

Oznacza to, że liczby pierwsze są z konieczności liczbami naturalnymi.

Ale wszystkie liczby naturalne są również liczbami całkowitymi.

Zatem wszystkie liczby pierwsze są liczbami całkowitymi.

Przykłady liczb pierwszych:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Nawet liczby pierwsze

Jest tylko jedna parzysta liczba pierwsza – liczba dwa.

Wszystkie inne liczby pierwsze są nieparzyste.

Dlaczego liczba parzysta większa niż dwa nie może być liczbą pierwszą?

Ale ponieważ każda liczba parzysta większa od dwóch będzie podzielna przez samą siebie, a nie przez jeden i przez dwa, to znaczy, że taka liczba zawsze będzie miała trzy dzielniki, a być może i więcej.

Odpowiedź Ilyi jest poprawna, ale niezbyt szczegółowa. Nawiasem mówiąc, w XVIII wieku jeden był nadal uważany za liczbę pierwszą. Na przykład tacy wielcy matematycy jak Euler i Goldbach. Goldbach jest autorem jednego z siedmiu problemów tysiąclecia – hipotezy Goldbacha. Oryginalne sformułowanie stwierdza, że ​​każdą liczbę parzystą można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych. Co więcej, początkowo jako liczbę pierwszą wzięto pod uwagę 1 i widzimy to: 2 = 1+1. Jest to najmniejszy przykład spełniający pierwotne sformułowanie hipotezy. Później zostało to poprawione, a sformułowanie uzyskało nowoczesną formę: „każdą liczbę parzystą, zaczynając od 4, można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych”.

Zapamiętajmy definicję. Liczba pierwsza to liczba naturalna p, która ma tylko 2 różne dzielniki naturalne: samą p i 1. Wniosek z definicji: liczba pierwsza p ma tylko jeden dzielnik pierwszy – samo p.

Załóżmy teraz, że 1 jest liczbą pierwszą. Z definicji liczba pierwsza ma tylko jeden dzielnik pierwszy – samą siebie. Następnie okazuje się, że każda liczba pierwsza większa od 1 jest podzielna przez liczbę pierwszą różną od niej (przez 1). Ale dwóch różnych liczb pierwszych nie można przez siebie podzielić, ponieważ w przeciwnym razie nie są to liczby pierwsze, ale liczby złożone, co jest sprzeczne z definicją. Przy takim podejściu okazuje się, że jest tylko 1 liczba pierwsza – sama jednostka. Ale to jest absurdalne. Zatem 1 nie jest liczbą pierwszą.

1, podobnie jak 0, tworzą inną klasę liczb - klasę elementów neutralnych w odniesieniu do n-argumentowych operacji w pewnym podzbiorze ciała algebraicznego. Co więcej, jeśli chodzi o operację dodawania, 1 jest również elementem generującym pierścień liczb całkowitych.

Mając to na uwadze, nie jest trudno znaleźć analogie liczb pierwszych w innych strukturach algebraicznych. Załóżmy, że mamy grupę multiplikatywną utworzoną z potęg liczby 2, zaczynając od 1: 2, 4, 8, 16, ... itd. 2 pełni tu rolę elementu formującego. Liczba pierwsza w tej grupie to liczba większa od najmniejszego elementu i podzielna tylko przez samą siebie i najmniejszy element. W naszej grupie takie właściwości mają tylko 4. I tyle. W naszej grupie nie ma już liczb pierwszych.

Gdyby w naszej grupie 2 było również liczbą pierwszą, to zobacz pierwszy akapit - znowu okazałoby się, że tylko 2 jest liczbą pierwszą.

Podział liczb naturalnych na liczby pierwsze i złożone przypisuje się starożytnemu greckiemu matematykowi Pitagorasowi. A jeśli pójdziemy za Pitagorasa, to zbiór liczb naturalnych można podzielić na trzy klasy: (1) - zbiór składający się z jednej liczby - jeden; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – zbiór liczb pierwszych; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – zbiór liczb złożonych.

Drugi zestaw kryje w sobie wiele różnych tajemnic. Ale najpierw dowiedzmy się, czym jest liczba pierwsza. Otwieramy „Matematyczny słownik encyklopedyczny” (Yu. V. Prochorow, wydawnictwo „Encyklopedia radziecka”, 1988) i czytamy:

„Liczba pierwsza to dodatnia liczba całkowita większa od jedności, która nie ma innych dzielników niż ona sama i jeden: 2,3,5,7,11,13,

Pojęcie liczby pierwszej ma fundamentalne znaczenie w badaniu podzielności liczb naturalnych; mianowicie podstawowe twierdzenie arytmetyki stwierdza, że ​​każdą dodatnią liczbę całkowitą z wyjątkiem 1 można w sposób jednoznaczny rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych (kolejność czynników nie jest brana pod uwagę). Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (twierdzenie to, zwane twierdzeniem Euklidesa, było znane starożytnym greckim matematykom; jego dowód można znaleźć w 9. księdze Elementów Euklidesa). P. Dirichlet (1837) ustalił, że w ciągu arytmetycznym a + bx dla x = 1. ,2,c z liczbami całkowitymi względnie pierwszymi aib zawiera również nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Znalezienie liczb pierwszych od 1 do x jest znane od III wieku. pne mi. Metoda sitowa Eratostenesa. Badanie ciągu (*) liczb pierwszych od 1 do x pokazuje, że wraz ze wzrostem x staje się ono średnio rzadsze. Istnieją dowolnie długie odcinki szeregu liczb naturalnych, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej (Twierdzenie 4). Jednocześnie istnieją takie liczby pierwsze, których różnica jest równa 2 (tzw. Bliźniaki). Nadal nie wiadomo (1987), czy zbiór takich bliźniaków jest skończony czy nieskończony. Tabele liczb pierwszych w obrębie pierwszych 11 milionów liczb naturalnych pokazują obecność bardzo dużych bliźniaków (na przykład 10 006 427 i 10 006 429).

Znalezienie rozkładu liczb pierwszych w naturalnym szeregu liczb jest bardzo trudnym problemem w teorii liczb. Jest sformułowane jako badanie asymptotycznego zachowania funkcji oznaczającej liczbę liczb pierwszych nieprzekraczającą liczby dodatniej x. Z twierdzenia Euklidesa wynika, że ​​kiedy. L. Euler wprowadził funkcję zeta w 1737 r.

Udowodnił to również, kiedy

Gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych, a iloczyn jest przejmowany po wszystkich liczbach pierwszych. Tożsamość ta i jej uogólnienia odgrywają zasadniczą rolę w teorii rozkładu liczb pierwszych. Na tej podstawie L. Euler udowodnił, że szereg i iloczyn ze względu na liczbę pierwszą p są rozbieżne. Co więcej, L. Euler ustalił, że liczb pierwszych jest „wiele”, ponieważ

Jednocześnie prawie wszystkie liczby naturalne są złożone, ponieważ o godz.

i dla dowolnego (tj. tego, co rośnie jako funkcja). Chronologicznie kolejnym znaczącym wynikiem udoskonalającym twierdzenie Czebyszewa jest tzw. asymptotyczne prawo rozkładu liczb pierwszych (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), które stwierdzało, że granica stosunku do jest równa 1. Następnie znaczne wysiłki matematyków skierowano na wyjaśnienie asymptotyki prawo rozkładu liczb pierwszych. Zagadnienia rozkładu liczb pierwszych bada się zarówno metodami elementarnymi, jak i metodami analizy matematycznej.

W tym miejscu warto przedstawić dowód niektórych twierdzeń podanych w artykule.

Lemat 1. Jeśli gcd(a, b)=1, to istnieją liczby całkowite x, y takie, że.

Dowód. Niech a i b będą liczbami względnie pierwszymi. Rozważ zbiór J wszystkich liczb naturalnych z dających się przedstawić w postaci i wybierz z niego najmniejszą liczbę d.

Udowodnimy, że a jest podzielne przez d. Podziel a przez d z resztą: i niech. Ponieważ ma zatem postać,

Widzimy to.

Ponieważ założyliśmy, że d jest najmniejszą liczbą w J, otrzymujemy sprzeczność. Oznacza to, że a jest podzielne przez d.

Udowodnijmy w ten sam sposób, że b jest podzielne przez d. Zatem d=1. Lemat został udowodniony.

Twierdzenie 1. Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, a iloczyn bx jest podzielny przez a, to x jest podzielne przez a.

Dowód 1. Musimy udowodnić, że ax jest podzielna przez b i gcd(a,b)=1, to x jest podzielne przez b.

Na mocy Lematu 1 istnieją x, y takie, że. Wtedy oczywiście jest podzielna przez b.

Dowód 2. Rozważmy zbiór J wszystkich liczb naturalnych z takich, że zc jest podzielne przez b. Niech d będzie najmniejszą liczbą w J. Łatwo to zobaczyć. Podobnie jak w dowodzie lematu 1, udowodniono, że a jest podzielne przez d, a b jest podzielne przez d

Lemat 2. Jeśli liczby q, p1, p2, pn są liczbami pierwszymi, a iloczyn jest podzielny przez q, to ​​jedna z liczb pi jest równa q.

Dowód. Przede wszystkim zauważmy, że jeśli liczba pierwsza p jest podzielna przez q, to ​​p=q. Wynika to bezpośrednio z lematu dla n=1. Dla n=2 wynika to bezpośrednio z Twierdzenia 1: jeśli p1p2 jest podzielne przez liczbę pierwszą q i, to p2 jest podzielne przez q(tj.).

Udowodnimy lemat dla n=3 w następujący sposób. Niech p1 p2 p3 będzie podzielone przez q. Jeśli p3 = q, to ​​wszystko zostało udowodnione. Jeżeli zgodnie z Twierdzeniem 1 p1 p2 jest podzielne przez q. W ten sposób zredukowaliśmy przypadek n=3 do już rozważanego przypadku n=2.

W ten sam sposób od n=3 możemy przejść do n=4, potem do n=5 i w ogóle zakładając, że udowodnione jest twierdzenie n=k lematu, łatwo możemy to udowodnić dla n=k+ 1. To przekonuje nas, że lemat jest prawdziwy dla wszystkich n.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki. Każdą liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki w unikalny sposób.

Dowód. Załóżmy, że istnieją dwa rozkłady liczby a na czynniki pierwsze:

Ponieważ prawa strona jest podzielna przez q1, to lewa strona równości musi być podzielna przez q1. Zgodnie z Lematem 2 jedna z liczb jest równa q1. Anulujmy obie strony równości przez q1.

Przeprowadźmy to samo rozumowanie dla q2, następnie dla q3 i dla qi. Ostatecznie wszystkie czynniki po prawej stronie zostaną anulowane i pozostanie 1. Naturalnie po lewej stronie nie pozostanie nic oprócz jednego. Z tego wnioskujemy, że oba rozwinięcia i mogą różnić się jedynie kolejnością czynników. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie Euklidesa. Szereg liczb pierwszych jest nieskończony.

Dowód. Załóżmy, że szereg liczb pierwszych jest skończony, a ostatnią liczbę pierwszą oznaczamy literą N. Skomponujmy iloczyn

Dodajmy do tego 1. Otrzymamy:

Liczba ta będąc liczbą całkowitą musi zawierać przynajmniej jeden czynnik pierwszy, czyli musi być podzielna przez co najmniej jedną liczbę pierwszą. Ale wszystkie liczby pierwsze z założenia nie przekraczają N, a liczba M+1 nie jest podzielna bez reszty przez żadną z liczb pierwszych mniejszych lub równych N - za każdym razem, gdy reszta wynosi 1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4. Odcinki liczb złożonych pomiędzy liczbami pierwszymi mogą mieć dowolną długość. Udowodnimy teraz, że szereg składa się z n kolejnych liczb złożonych.

Liczby te następują bezpośrednio po sobie w szeregu naturalnym, gdyż każda kolejna jest o 1 większa od poprzedniej. Pozostaje udowodnić, że wszystkie są złożone.

Pierwszy numer

Nawet, ponieważ oba jego terminy zawierają współczynnik 2. A każda liczba parzysta większa niż 2 jest złożona.

Druga liczba składa się z dwóch wyrazów, z których każdy jest wielokrotnością 3. Oznacza to, że liczba ta jest złożona.

W ten sam sposób ustalamy, że następna liczba jest wielokrotnością 4 itd. Innymi słowy, każda liczba w naszym szeregu zawiera czynnik różny od jedności i samej siebie; jest zatem złożony. Twierdzenie zostało udowodnione.

Po przestudiowaniu dowodów twierdzeń kontynuujemy rozważanie artykułu. W tekście wspomniano o metodzie sitowej Eratostenesa jako sposobie znajdowania liczb pierwszych. Przeczytajmy o tej metodzie z tego samego słownika:

„Sita Eratostenesa to metoda opracowana przez Eratostenesa, która pozwala na odsiewanie liczb złożonych z szeregu naturalnego. Istota sita Eratostenesa jest następująca. Jednostka jest przekreślona. Numer dwa jest liczbą pierwszą. Przekreślamy wszystkie liczby naturalne podzielne przez 2. Liczba 3 – pierwsza nieprzekreślona liczba będzie liczbą pierwszą. Następnie przekreślamy wszystkie liczby naturalne, które dzielą się przez 3. Liczba 5 – kolejna nieprzekreślona liczba – będzie liczbą pierwszą. Kontynuując podobne obliczenia, można znaleźć dowolnie długi odcinek ciągu liczb pierwszych. Sito Eratostenesa jako teoretyczną metodę badania teorii liczb opracował V. Brun (1919).

Oto największa obecnie znana liczba pierwsza:

Liczba ta ma około siedmiuset miejsc po przecinku. Obliczenia, dzięki którym ustalono, że jest to liczba pierwsza, przeprowadzono na nowoczesnych komputerach.

„Funkcja zeta Riemanna, -funkcja, jest funkcją analityczną zmiennej zespolonej, dla σ>1 określonej bezwzględnie i jednostajnie przez zbieżny szereg Dirichleta:

Dla σ>1 obowiązuje reprezentacja w postaci iloczynu Eulera:

(2) gdzie p przebiega przez wszystkie liczby pierwsze.

Tożsamość szeregu (1) i iloczynu (2) jest jedną z głównych właściwości funkcji zeta. Pozwala to uzyskać różne zależności łączące funkcję zeta z najważniejszymi funkcjami teorii liczb. Dlatego funkcja zeta odgrywa dużą rolę w teorii liczb.

Funkcję zeta jako funkcję zmiennej rzeczywistej wprowadził L. Euler (1737, publ. 1744), który wskazał jej położenie w iloczynie (2). Następnie funkcję zeta rozważał P. Dirichlet, a szczególnie skutecznie P. L. Czebyszew w związku z badaniem prawa rozkładu liczb pierwszych. Jednak najgłębsze właściwości funkcji zeta odkryto po pracach B. Riemanna, który po raz pierwszy w 1859 roku rozważył funkcję zeta jako funkcję zmiennej zespolonej, wprowadził także nazwę „funkcja zeta” i Przeznaczenie """.

Powstaje jednak pytanie: jakie praktyczne zastosowanie ma cała ta praca nad liczbami pierwszymi? Rzeczywiście, prawie nie ma z nich zastosowania, ale jest jeden obszar, w którym liczby pierwsze i ich właściwości są używane do dziś. To jest kryptografia. Tutaj liczby pierwsze są używane w systemach szyfrowania bez przesyłania kluczy.

Niestety to wszystko, co wiadomo o liczbach pierwszych. Pozostało jeszcze wiele tajemnic. Na przykład nie wiadomo, czy zbiór liczb pierwszych, które można przedstawić w postaci dwóch kwadratów, jest nieskończony.

„TRUDNE PRAKTYKI”.

Postanowiłem przeprowadzić małe badania, aby znaleźć odpowiedzi na kilka pytań dotyczących liczb pierwszych. Na początek skompilowałem program, który generuje wszystkie kolejne liczby pierwsze mniejsze od 1 000 000 000. Dodatkowo skompilowałem program, który sprawdza, czy wprowadzona liczba jest pierwsza. Do badania zagadnień liczb pierwszych skonstruowałem wykres przedstawiający zależność wartości liczby pierwszej od liczby porządkowej. Jako dalszy plan badań zdecydowałem się wykorzystać artykuł I. S. Zeltsera i B. A. Kordemsky’ego „Ciekawe stada liczb pierwszych liczby." Autorzy zidentyfikowali następujące ścieżki badawcze:

1. 168 miejsc w pierwszym tysiącu liczb naturalnych zajmują liczby pierwsze. Spośród nich 16 liczb jest palindromicznych - każda jest równa swojej odwrotności: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Istnieje tylko 1061 czterocyfrowych liczb pierwszych i żadna z nich nie jest palindromiczna.

Istnieje wiele pięciocyfrowych liczb palindromicznych pierwszych. Są wśród nich takie piękności: 13331, 15551, 16661, 19991. Bez wątpienia są stada tego typu: ,. Ale ile osobników jest w każdym takim stadzie?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Można zauważyć, że suma cyfr liczb jest podzielna przez 3, zatem same liczby również są podzielne przez 3.

Jeśli chodzi o liczby w postaci, wśród nich liczby pierwsze to 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. W pierwszym tysiącu liczb znajduje się pięć „kwartetów” składających się z kolejnych liczb pierwszych, których ostatnie cyfry tworzą ciąg 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Ile takich kwartetów istnieje wśród n-cyfrowych liczb pierwszych dla n°3?

Korzystając z napisanego przeze mnie programu, znaleziono pominięty przez autorów kwartet: (479, 467, 463, 461) oraz kwartety dla n = 4, 5, 6. Dla n = 4 kwartetów jest 11

3. Stado dziewięciu liczb pierwszych: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 jest atrakcyjne nie tylko dlatego, że reprezentuje postęp arytmetyczny z różnicą 210, ale także dlatego, że mieści się w dziewięciu komórki tak, aby powstał magiczny kwadrat ze stałą równą różnicy dwóch liczb pierwszych: 3119 – 2:

Kolejny, dziesiąty wyraz rozpatrywanego ciągu, 2089, jest także liczbą pierwszą. Jeśli usuniesz ze stada liczbę 199, ale dodasz 2089, to nawet w tej kompozycji stado może uformować magiczny kwadrat - temat do poszukiwania.

Należy zauważyć, że istnieją inne magiczne kwadraty składające się z liczb pierwszych:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Proponowany plac jest ciekawy ponieważ

1. Jest to magiczny kwadrat o wymiarach 7x7;

2. Zawiera magiczny kwadrat 5x5;

3. Magiczny kwadrat 5x5 zawiera magiczny kwadrat 3x3;

4. Wszystkie te kwadraty mają jedną wspólną liczbę centralną - 3407;

5. Wszystkie 49 liczb zawartych w kwadratowym końcu 7x7 z liczbą 7;

6. Wszystkie 49 liczb zawartych w kwadracie 7x7 to liczby pierwsze;

7. Każdą z 49 liczb zawartych w kwadracie 7x7 można przedstawić jako 30n + 17.

Wykorzystane programy zostały napisane przeze mnie w języku programowania Dev-C++, a ich teksty zamieszczam w załączniku (patrz pliki z rozszerzeniem .srr). Oprócz tego napisałem program, który rozkłada kolejne liczby naturalne na czynniki pierwsze (patrz Dzielniki 1. срр) oraz program, który rozkłada tylko wprowadzoną liczbę na czynniki pierwsze (patrz Dzielniki 2. срр). Ponieważ programy te zajmują zbyt dużo miejsca w formie skompilowanej, podano jedynie ich teksty. Jednak każdy może je skompilować, jeśli ma odpowiedni program.

BIOGRAFIE NAUKOWCÓW ZAJMUJĄCYCH SIĘ PROBLEMEM LICZB PIERWSZYCH

EUKLIDES

(ok. 330 p.n.e. – ok. 272 ​​p.n.e.)

Zachowało się bardzo niewiele wiarygodnych informacji o życiu najsłynniejszego matematyka starożytności. Uważa się, że studiował w Atenach, co wyjaśnia jego genialne opanowanie geometrii, opracowane przez szkołę Platona. Najwyraźniej jednak nie znał dzieł Arystotelesa. Uczył w Aleksandrii, gdzie za panowania Ptolemeusza I Sotera zyskał uznanie za swą działalność nauczycielską. Istnieje legenda, że ​​król ten żądał odkrycia sposobu na szybkie osiągnięcie sukcesu w matematyce, na co Euklides odpowiedział, że w geometrii nie ma królewskich dróg (podobna historia opowiada jednak także o Menchemie, którego rzekomo pytano o to samo u Aleksandra Wielkiego). Tradycja zachowała pamięć o Euklidesie jako osobie życzliwej i skromnej. Euklides jest autorem traktatów na różne tematy, lecz jego nazwisko kojarzone jest głównie z jednym z traktatów zatytułowanym Żywioły. Chodzi o zbiór prac matematyków, którzy pracowali przed nim (najsłynniejszym z nich był Hipokrates z Kos), których wyniki doprowadził do perfekcji dzięki umiejętności generalizowania i ciężkiej pracy.

EULER LEONARD

(Bazylea, Szwajcaria 1707 – St.Petersburg, 1783)

Matematyk, mechanik i fizyk. Urodzony w rodzinie biednego pastora Paula Eulera. Edukację pobierał najpierw u ojca, a w latach 1720–24 na uniwersytecie w Bazylei, gdzie uczęszczał na wykłady matematyczne I. Bernoulliego.

Pod koniec 1726 r. Euler został zaproszony do petersburskiej Akademii Nauk, a w maju 1727 r. przybył do Petersburga. W nowo zorganizowanej uczelni Euler znalazł dogodne warunki do działalności naukowej, co pozwoliło mu od razu rozpocząć studia matematyczne i mechaniczne. W ciągu 14 lat pierwszego petersburskiego okresu swojego życia Euler przygotował do publikacji około 80 dzieł, a opublikował ponad 50. W Petersburgu studiował język rosyjski.

Euler brał udział w wielu obszarach działalności petersburskiej Akademii Nauk. Prowadził wykłady dla studentów uniwersytetu akademickiego, przystępował do różnych egzaminów technicznych, pracował przy sporządzaniu map Rosji, napisał ogólnodostępny „Podręcznik arytmetyki” (1738–40). Na specjalne polecenie Akademii Euler przygotował do publikacji „Nautical Science” (1749), podstawowe dzieło z zakresu teorii budowy statków i nawigacji.

W 1741 roku Euler przyjął propozycję króla pruskiego Fryderyka II przeniesienia się do Berlina, gdzie miała nastąpić reorganizacja Akademii Nauk. W berlińskiej Akademii Nauk Euler objął stanowisko dyrektora klasy matematycznej i członka zarządu, a po śmierci jej pierwszego prezesa P. Maupertuisa przez kilka lat (od 1759 r.) faktycznie kierował akademią. W ciągu 25 lat życia w Berlinie przygotował około 300 prac, w tym kilka dużych monografii.

Mieszkając w Berlinie Euler nie zaprzestał intensywnej pracy dla petersburskiej Akademii Nauk, utrzymując tytuł jej członka honorowego. Prowadził bogatą korespondencję naukową i naukowo-organizacyjną, w szczególności korespondował z M. Łomonosowem, którego bardzo cenił. Euler redagował dział matematyczny rosyjskiego akademickiego ciała naukowego, gdzie w tym czasie opublikował prawie tyle samo artykułów, co w „Wspomnieniach” Berlińskiej Akademii Nauk. Aktywnie uczestniczył w szkoleniu rosyjskich matematyków; Przyszli akademicy S. Kotelnikow, S. Rumowski i M. Sofronow zostali wysłani do Berlina na studia pod jego kierownictwem. Euler udzielał ogromnej pomocy petersburskiej Akademii Nauk, kupując dla niej literaturę naukową i sprzęt, negocjując z kandydatami na stanowiska w akademii itp.

17 lipca (28) 1766 Euler i jego rodzina wrócili do Petersburga. Pomimo zaawansowanego wieku i niemal całkowitej ślepoty, jaka go dotknęła, do końca życia pracował produktywnie. W ciągu 17 lat drugiego pobytu w Petersburgu przygotował około 400 dzieł, w tym kilka dużych książek. Euler nadal brał udział w pracach organizacyjnych uczelni. W 1776 r. był jednym z ekspertów projektu jednołukowego mostu przez Newę zaproponowanego przez I. Kulibina i jako jedyny z całej komisji szeroko poparł ten projekt.

Zasługi Eulera jako głównego naukowca i organizatora badań naukowych zostały wysoko docenione za jego życia. Oprócz akademii petersburskiej i berlińskiej był członkiem największych instytucji naukowych: Paryskiej Akademii Nauk, Royal Society of London i innych.

Jednym z charakterystycznych aspektów pracy Eulera jest jego wyjątkowa produktywność. Tylko za jego życia ukazało się około 550 jego książek i artykułów (lista dorobku Eulera obejmuje około 850 tytułów). W 1909 roku Szwajcarskie Towarzystwo Nauk Przyrodniczych rozpoczęło publikowanie wszystkich dzieł Eulera, które ukończono w 1975 roku; składa się z 72 tomów. Dużym zainteresowaniem cieszy się także kolosalna korespondencja naukowa Eulera (około 3000 listów), dotychczas opublikowana jedynie częściowo.

Zakres działalności Eulera był niezwykle szeroki i obejmował wszystkie działy współczesnej matematyki i mechaniki, teorię sprężystości, fizykę matematyczną, optykę, teorię muzyki, teorię maszyn, balistykę, nauki o morzu, ubezpieczenia itp. Około 3/5 prac Eulera dotyczy do matematyki, pozostałe 2/5 głównie do jej zastosowań. Naukowiec usystematyzował swoje wyniki i wyniki uzyskane przez innych w szeregu klasycznych monografii, napisanych z zadziwiającą przejrzystością i zaopatrzonych w cenne przykłady. Są to na przykład „Mechanika, czyli nauka o ruchu przedstawiona analitycznie” (1736), „Wprowadzenie do analizy” (1748), „Rachunek różniczkowy” (1755), „Teoria ruchu ciała sztywnego” (1765), „Arytmetyka uniwersalna” (1768–1769), która doczekała się około 30 wydań w 6 językach, „Rachunek całkowy” (1768–94) itp. W XVIII wieku. i częściowo w XIX w. Ogromną popularnością cieszyły się ogólnodostępne „Listy dotyczące różnych spraw fizycznych i filozoficznych pisane do pewnej niemieckiej księżniczki”. „(1768–74), który doczekał się ponad 40 wydań w 10 językach. Większość treści monografii Eulera znalazła się wówczas w podręcznikach dla szkół wyższych i częściowo średnich. Nie sposób wymienić wszystkich wciąż stosowanych twierdzeń, metod i wzorów Eulera, z których tylko kilka pojawia się w literaturze pod jego nazwiskiem [np. metoda linii łamanych Eulera, podstawienia Eulera, stała Eulera, równania Eulera, wzory Eulera, Funkcja Eulera, liczby Eulera, wzór Eulera - Maclaurina, wzory Eulera–Fouriera, charakterystyka Eulera, całki Eulera, kąty Eulera.

W Mechanice Euler po raz pierwszy nakreślił dynamikę punktu za pomocą analizy matematycznej: swobodny ruch punktu pod wpływem różnych sił zarówno w pustce, jak i w ośrodku z oporem; ruch punktu wzdłuż danej linii lub powierzchni; ruch pod wpływem sił centralnych. W 1744 roku jako pierwszy poprawnie sformułował mechaniczną zasadę najmniejszego działania i pokazał jej pierwsze zastosowania. W Teorii ruchu ciała sztywnego Euler opracował kinematykę i dynamikę ciała sztywnego oraz podał równania jego obrotu wokół stałego punktu, kładąc podwaliny pod teorię żyroskopów. W swojej teorii statku Euler wniósł cenny wkład w teorię stabilności. Odkrycia Eulera miały znaczenie w mechanice nieba (np. w teorii ruchu Księżyca), mechanice kontinuum (podstawowe równania ruchu płynu idealnego w postaci Eulera oraz w tzw. zmiennych Lagrange'a, oscylacjach gazu w rurach itp.). W optyce Euler podał (1747) wzór na soczewkę dwuwypukłą i zaproponował metodę obliczania współczynnika załamania światła ośrodka. Euler trzymał się falowej teorii światła. Uważał, że różnym kolorom odpowiadają różne długości fal światła. Euler zaproponował sposoby eliminacji aberracji chromatycznych soczewek i podał metody obliczania elementów optycznych mikroskopu. Euler poświęcił zapoczątkowany w 1748 r. obszerny cykl prac fizyce matematycznej: problematyce drgań struny, płyty, membrany itp. Wszystkie te badania przyczyniły się do rozwoju teorii równań różniczkowych, przybliżonych metod analizy i technik specjalnych . funkcje, geometrię różniczkową itp. Wiele odkryć matematycznych Eulera jest zawartych w tych pracach.

Głównym dziełem Eulera jako matematyka był rozwój analizy matematycznej. Położył podwaliny pod kilka dyscyplin matematycznych, które istniały jedynie w swojej podstawowej formie lub były całkowicie nieobecne w rachunku nieskończenie małych istot I. Newtona, G. Leibniza i braci Bernoullich. Tym samym Euler jako pierwszy wprowadził funkcje argumentu złożonego i zbadał właściwości podstawowych funkcji elementarnych zmiennej zespolonej (funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne); w szczególności wyprowadził wzory łączące funkcje trygonometryczne z funkcjami wykładniczymi. Praca Eulera w tym kierunku położyła podwaliny pod teorię funkcji zmiennej zespolonej.

Euler był twórcą rachunku wariacyjnego opisanego w pracy „Metoda znajdowania prostych krzywych mających właściwości maksimum lub minimum. „(1744). Metoda, za pomocą której Euler w 1744 r. wyprowadził warunek konieczny ekstremum funkcjonału – równanie Eulera – była prototypem bezpośrednich metod rachunku wariacyjnego XX wieku. Euler stworzył teorię równań różniczkowych zwyczajnych jako niezależną dyscyplinę i położył podwaliny pod teorię równań różniczkowych cząstkowych. Tutaj jest odpowiedzialny za ogromną liczbę odkryć: klasyczną metodę rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach, metodę zmieniania dowolnych stałych, wyjaśnienie podstawowych właściwości równania Riccatiego, całkowanie równań liniowych o zmiennych współczynnikach przy użyciu szeregów nieskończonych, kryteria rozwiązania specjalne, doktryna czynnika całkującego, różne metody przybliżone i szereg technik rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Euler zebrał znaczną część tych wyników w swoim „Rachunku całkowym”.

Euler wzbogacił także rachunek różniczkowy i całkowy w wąskim znaczeniu tego słowa (na przykład doktrynę zmian zmiennych, twierdzenie o funkcjach jednorodnych, koncepcję całki podwójnej i obliczanie wielu całek specjalnych). W „Rachunku różniczkowym” Euler wyraził i poparł przykładami swoje przekonanie o celowości stosowania szeregów rozbieżnych oraz zaproponował metody uogólnionego sumowania szeregów, wyprzedzając idee współczesnej ścisłej teorii szeregów rozbieżnych, powstałej na przełomie XIX i XX w. XX wiek. Ponadto Euler uzyskał wiele konkretnych wyników w teorii szeregów. Odkrył tzw. wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina, zaproponował transformację szeregów noszącą jego imię, wyznaczył sumy ogromnej liczby szeregów i wprowadził do matematyki nowe ważne typy szeregów (na przykład szeregi trygonometryczne). Obejmuje to również badania Eulera dotyczące teorii ułamków ciągłych i innych procesów nieskończonych.

Euler jest twórcą teorii funkcji specjalnych. Jako pierwszy uznał sinus i cosinus za funkcje, a nie za odcinki koła. Uzyskał prawie wszystkie klasyczne rozwinięcia funkcji elementarnych w nieskończone szeregi i produkty. Jego prace stworzyły teorię funkcji γ. Badał właściwości całek eliptycznych, funkcji hiperbolicznych i cylindrycznych, funkcję ζ, niektóre funkcje θ, logarytm całkowy i ważne klasy wielomianów specjalnych.

Według P. Czebyszewa Euler położył podwaliny pod wszelkie badania składające się na ogólną część teorii liczb. Tym samym Euler udowodnił szereg twierdzeń P. Fermata (m.in. małe twierdzenie Fermata), opracował podstawy teorii reszt potęgowych i teorii form kwadratowych, odkrył (ale nie udowodnił) prawo wzajemności kwadratowej, i przestudiował szereg problemów związanych z analizą diofantyny. W swoich pracach dotyczących podziału liczb na terminy i teorii liczb pierwszych Euler jako pierwszy zastosował metody analizy, stając się tym samym twórcą analitycznej teorii liczb. W szczególności wprowadził funkcję ζ i udowodnił tzw. Tożsamość Eulera łącząca liczby pierwsze ze wszystkimi liczbami naturalnymi.

Euler poczynił także wielkie osiągnięcia w innych dziedzinach matematyki. W algebrze pisał prace nad rozwiązywaniem równań wyższych stopni w pierwiastkach oraz nad równaniami z dwiema niewiadomymi, a także tzw. Tożsamość czterech kwadratów Eulera. Euler znacznie rozwinął geometrię analityczną, zwłaszcza doktrynę powierzchni drugiego rzędu. W geometrii różniczkowej szczegółowo badał właściwości linii geodezyjnych, jako pierwszy zastosował naturalne równania krzywych, a co najważniejsze, położył podwaliny pod teorię powierzchni. Wprowadził pojęcie kierunków głównych w punkcie powierzchni, udowodnił ich ortogonalność, wyprowadził wzór na krzywiznę dowolnego przekroju normalnego, rozpoczął badanie powierzchni rozwijalnych itp.; w jednej opublikowanej pośmiertnie pracy (1862) antycypował częściowo badania K. Gaussa nad wewnętrzną geometrią powierzchni. Euler zajął się także pewnymi zagadnieniami topologii i udowodnił na przykład ważne twierdzenie o wielościanach wypukłych. Matematyk Euler jest często określany jako genialny „kalkulator”. Rzeczywiście był niedoścignionym mistrzem formalnych obliczeń i przekształceń, w jego dziełach wiele formuł matematycznych i symboliki otrzymało nowoczesny wygląd (na przykład posiadał zapis e i π). Jednak Euler wprowadził do nauki także szereg głębokich idei, które obecnie są ściśle uzasadnione i służą jako przykład głębokości wniknięcia w przedmiot badań.

Według P. Laplace’a Euler był nauczycielem matematyków drugiej połowy XVIII wieku.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, obecnie Niemcy, 1805 - Getynga, ibid., 1859)

Studiował w Paryżu i utrzymywał przyjazne stosunki z wybitnymi matematykami, zwłaszcza z Fourierem. Po uzyskaniu stopnia naukowego był profesorem na uniwersytetach we Wrocławiu (1826 - 1828), Berlinie (1828 - 1855) i Getyndze, gdzie po śmierci naukowca Carla Friedricha Gaussa został kierownikiem katedry matematyki. Jego najwybitniejszy wkład w naukę dotyczy teorii liczb, przede wszystkim badania szeregów. Pozwoliło mu to rozwinąć teorię szeregów zaproponowaną przez Fouriera. Stworzył własną wersję dowodu twierdzenia Fermata, wykorzystał funkcje analityczne do rozwiązywania problemów arytmetycznych oraz wprowadził kryteria zbieżności szeregów. W zakresie analizy matematycznej udoskonalił definicję i koncepcję funkcji, w zakresie mechaniki teoretycznej skupił się na badaniu stabilności układów i Newtonowskiej koncepcji potencjału.

Czebyszew Pafnuty Lwowicz

Rosyjski matematyk, założyciel petersburskiej szkoły naukowej, akademik petersburskiej Akademii Nauk (1856). Prace Czebyszewa położyły podwaliny pod rozwój wielu nowych działów matematyki.

Najliczniejsze prace Czebyszewa dotyczą analizy matematycznej. W szczególności poświęcono mu rozprawę o prawie do wykładów, w której Czebyszew badał całkowalność niektórych wyrażeń irracjonalnych w funkcjach algebraicznych i logarytmach. Czebyszew poświęcił także szereg innych prac integracji funkcji algebraicznych. W jednym z nich (1853) otrzymano znane twierdzenie o warunkach całkowalności w elementarnych funkcjach dwumianu różniczkowego. Ważnym obszarem badań w analizie matematycznej są jego prace nad konstrukcją ogólnej teorii wielomianów ortogonalnych. Powodem jego powstania była interpolacja paraboliczna metodą najmniejszych kwadratów. Badania Czebyszewa nad problematyką momentów i wzorów kwadraturowych przylegają do tego samego zakresu idei. W celu ograniczenia obliczeń Czebyszew zaproponował (1873) rozważenie wzorów kwadraturowych o równych współczynnikach (całkowanie przybliżone). Badania nad wzorami kwadraturowymi i teorią interpolacji były ściśle powiązane z zadaniami, jakie postawiono przed Czebyszewem w wydziale artylerii wojskowego komitetu naukowego.

W teorii prawdopodobieństwa Czebyszewowi przypisuje się systematyczne wprowadzanie do rozważań zmiennych losowych i stworzenie nowej techniki dowodzenia twierdzeń granicznych w teorii prawdopodobieństwa – tzw. metoda momentów (1845, 1846, 1867, 1887). Udowodnił prawo wielkich liczb w bardzo ogólnej formie; Co więcej, jego dowód uderza swoją prostotą i elementarnością. Czebyszew nie doprowadził do końca badania warunków zbieżności funkcji rozkładu sum niezależnych zmiennych losowych do prawa normalnego. Jednak dzięki pewnemu uzupełnieniu metod Czebyszewa A. A. Markowowi udało się tego dokonać. Bez ścisłych wniosków Czebyszew nakreślił także możliwość wyjaśnienia tego twierdzenia granicznego w postaci asymptotycznych rozwinięć funkcji rozkładu sumy niezależnych wyrazów w potęgach n21/2, gdzie n jest liczbą wyrazów. Praca Czebyszewa nad teorią prawdopodobieństwa stanowi ważny etap w jej rozwoju; ponadto na nich wyrosła rosyjska szkoła teorii prawdopodobieństwa, składająca się początkowo z bezpośrednich uczniów Czebyszewa.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNAHARD

(Breselenz, Dolna Saksonia, 1826 - Selaska, niedaleko Intra, Włochy 66)

Niemiecki matematyk. W 1846 wstąpił na uniwersytet w Getyndze: słuchał wykładów K. Gaussa, z których wiele pomysłów rozwinął później. W latach 1847–49 uczęszczał na wykłady na uniwersytecie w Berlinie; w 1849 powrócił do Getyngi, gdzie zbliżył się do współpracownika Gaussa, fizyka W. Webera, który wzbudził w nim głębokie zainteresowanie zagadnieniami nauk matematycznych.

W 1851 roku obronił rozprawę doktorską „Podstawy ogólnej teorii funkcji jednej zmiennej zespolonej”. Od 1854 r. privatdozent, od 1857 profesor uniwersytetu w Getyndze.

Prace Riemanna wywarły ogromny wpływ na rozwój matematyki w drugiej połowie XIX wieku. i w XX wieku. W swojej rozprawie doktorskiej Riemann położył podwaliny pod kierunek geometryczny teorii funkcji analitycznych; wprowadził tzw. powierzchnie Riemanna, istotne w badaniu funkcji wielowartościowych, rozwinął teorię odwzorowań konforemnych i podał w tym zakresie podstawowe pojęcia topologii, badał warunki istnienia funkcji analitycznych wewnątrz dziedzin różnego typu (tzw. zasada Dirichleta) itp. Metody opracowane przez Riemanna znalazły szerokie zastosowanie w jego dalszych pracach nad teorią funkcji i całek algebraicznych, nad analityczną teorią równań różniczkowych (w szczególności równań definiujących funkcje hipergeometryczne), na analitycznej teorii liczb (np. Riemann wskazał na związek rozkładu liczb pierwszych z właściwościami funkcji ζ, w szczególności z rozkładem jej zer w obszarze zespolonym – tzw. hipoteza Riemanna, tzw. których ważność nie została jeszcze udowodniona) itp.

Riemann w szeregu prac badał możliwość rozkładu funkcji na szeregi trygonometryczne i w związku z tym określił warunki konieczne i wystarczające całkowalności w sensie riemannowskim, co było ważne dla teorii zbiorów i funkcji zmiennej rzeczywistej. Riemann zaproponował także metody całkowania równań różniczkowych cząstkowych (np. wykorzystując tzw. niezmienniki Riemanna i funkcję Riemanna).

W swoim słynnym wykładzie z 1854 r. „O hipotezach leżących u podstaw geometrii” (1867) Riemann podał ogólne pojęcie przestrzeni matematycznej (jego słowami „rozmaitości”), w tym przestrzeni funkcjonalnych i topologicznych. Tutaj traktował geometrię w szerokim znaczeniu jako badanie ciągłych n-wymiarowych rozmaitości, tj. zbiorów dowolnych jednorodnych obiektów i uogólniając wyniki Gaussa na wewnętrzną geometrię powierzchni, podał ogólną koncepcję elementu liniowego ( różnicę odległości między punktami rozmaitości), definiując w ten sposób tak zwane przestrzenie Finslera. Riemann szczegółowo zbadał tzw. przestrzenie Riemanna, uogólniając przestrzenie geometrii eliptycznej euklidesowej, Łobaczewskiego i Riemanna, charakteryzujące się szczególnym rodzajem elementu liniowego, i rozwinął teorię ich krzywizny. Omawiając zastosowanie swoich idei do przestrzeni fizycznej, Riemann poruszył kwestię „przyczyn jej właściwości metrycznych”, jakby antycypując to, co zrobiono w ogólnej teorii względności.

Idee i metody zaproponowane przez Riemanna otworzyły nowe ścieżki w rozwoju matematyki i znalazły zastosowanie w mechanice i ogólnej teorii względności. Naukowiec zmarł w 1866 roku na gruźlicę.

  • Tłumaczenie

Właściwości liczb pierwszych badali po raz pierwszy matematycy starożytnej Grecji. Matematycy szkoły pitagorejskiej (500 - 300 p.n.e.) interesowali się przede wszystkim mistycznymi i numerologicznymi właściwościami liczb pierwszych. To oni jako pierwsi wpadli na pomysł liczb doskonałych i przyjaznych.

Liczba doskonała ma sumę swoich dzielników równą sobie samej. Na przykład właściwe dzielniki liczby 6 to 1, 2 i 3. 1 + 2 + 3 = 6. Dzielniki liczby 28 to 1, 2, 4, 7 i 14. Ponadto 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Liczby nazywane są przyjaznymi, jeśli suma właściwych dzielników jednej liczby jest równa drugiej i odwrotnie - na przykład 220 i 284. Można powiedzieć, że liczba doskonała jest sama w sobie przyjazna.

Do czasów Elementów Euklidesa w roku 300 p.n.e. Udowodniono już kilka ważnych faktów na temat liczb pierwszych. W IX Księdze Elementów Euklides udowodnił, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych. Nawiasem mówiąc, jest to jeden z pierwszych przykładów zastosowania dowodu przez sprzeczność. Udowadnia również Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki - każdą liczbę całkowitą można przedstawić jednoznacznie jako iloczyn liczb pierwszych.

Pokazał też, że jeśli liczba 2n-1 jest liczbą pierwszą, to liczba 2n-1* (2n-1) będzie doskonała. Inny matematyk Euler wykazał w 1747 r., że w tej postaci można zapisać wszystkie liczby parzyste. Do dziś nie wiadomo, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste.

W roku 200 p.n.e. Grecki Eratostenes wymyślił algorytm znajdowania liczb pierwszych, zwany sito Eratostenesa.

A potem nastąpił wielki przełom w historii badań liczb pierwszych, związanej ze średniowieczem.

Już na początku XVII wieku matematyk Fermat dokonał następujących odkryć. Udowodnił hipotezę Alberta Girarda, że ​​dowolną liczbę pierwszą postaci 4n+1 można zapisać jednoznacznie jako sumę dwóch kwadratów, a także sformułował twierdzenie, że dowolną liczbę można zapisać jako sumę czterech kwadratów.

Opracował nową metodę rozkładu na czynniki dużych liczb i zademonstrował ją na liczbie 2027651281 = 44021 × 46061. Udowodnił także Małe Twierdzenie Fermata: jeśli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby całkowitej a prawdą będzie, że a p = a modulo P.

To stwierdzenie potwierdza połowę tego, co było znane jako „chińskie przypuszczenie” i sięga 2000 lat wstecz: liczba całkowita n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy 2 n -2 jest podzielne przez n. Druga część hipotezy okazała się fałszywa - np. 2341 - 2 jest podzielne przez 341, choć liczba 341 jest złożona: 341 = 31 × 11.

Małe twierdzenie Fermata posłużyło jako podstawa wielu innych wyników w teorii liczb i metod sprawdzania, czy liczby są liczbami pierwszymi – z których wiele jest nadal używanych.

Fermat dużo korespondował ze swoimi współczesnymi, zwłaszcza z mnichem Marenem Mersenne. W jednym ze swoich listów postawił hipotezę, że liczby w postaci 2 n +1 będą zawsze liczbami pierwszymi, jeśli n jest potęgą dwójki. Przetestował to dla n = 1, 2, 4, 8 i 16 i był pewien, że w przypadku, gdy n nie jest potęgą dwójki, liczba niekoniecznie jest pierwsza. Liczby te nazywane są liczbami Fermata i dopiero 100 lat później Euler wykazał, że kolejna liczba, 2 32 + 1 = 4294967297, jest podzielna przez 641, a zatem nie jest liczbą pierwszą.

Przedmiotem badań były także liczby postaci 2 n - 1, gdyż łatwo wykazać, że jeśli n jest złożone, to sama liczba również jest złożona. Liczby te nazywane są liczbami Mersenne'a, ponieważ dokładnie je badał.

Ale nie wszystkie liczby w postaci 2 n - 1, gdzie n jest liczbą pierwszą, są pierwsze. Na przykład 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Po raz pierwszy odkryto to w 1536 roku.

Liczby tego rodzaju przez wiele lat zapewniały matematykom największe znane liczby pierwsze. Cataldi udowodnił, że M 19 była największą znaną liczbą pierwszą przez 200 lat, dopóki Euler nie udowodnił, że M 31 również jest liczbą pierwszą. Rekord ten obowiązywał przez kolejne sto lat, a następnie Lucas wykazał, że M 127 jest liczbą pierwszą (a to już jest liczba 39 cyfr), a potem badania były kontynuowane wraz z pojawieniem się komputerów.

W 1952 roku udowodniono pierwszość liczb M 521, M 607, M 1279, M 2203 i M 2281.

Do 2005 roku znaleziono 42 liczby pierwsze Mersenne’a. Największy z nich, M 25964951, składa się z 7816230 cyfr.

Prace Eulera wywarły ogromny wpływ na teorię liczb, w tym liczb pierwszych. Rozszerzył Małe Twierdzenie Fermata i wprowadził funkcję φ. Rozłożyłem na czynniki piątą liczbę Fermata 2 32 +1, znalazłem 60 par liczb przyjaznych i sformułowałem (ale nie mogłem udowodnić) prawo wzajemności kwadratowej.

Jako pierwszy wprowadził metody analizy matematycznej i rozwinął analityczną teorię liczb. Udowodnił, że nie tylko szereg harmoniczny ∑ (1/n), ale także szereg postaci

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Wynik uzyskany przez sumę odwrotności liczb pierwszych również jest rozbieżny. Suma n wyrazów szeregu harmonicznego rośnie w przybliżeniu jako log(n), a drugi szereg odbiega wolniej jako log[log(n)]. Oznacza to, że np. suma odwrotności wszystkich dotychczas znalezionych liczb pierwszych da tylko 4, choć szereg nadal jest rozbieżny.

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że liczby pierwsze są rozmieszczone dość losowo wśród liczb całkowitych. Na przykład wśród 100 liczb bezpośrednio przed 10000000 jest 9 liczb pierwszych, a wśród 100 liczb bezpośrednio po tej wartości są tylko 2. Jednak w dużych segmentach liczby pierwsze rozkładają się dość równomiernie. Legendre i Gauss zajmowali się kwestiami ich dystrybucji. Gauss powiedział kiedyś znajomemu, że w ciągu dowolnych wolnych 15 minut zawsze liczy liczbę liczb pierwszych w kolejnych 1000 liczbach. Pod koniec życia policzył wszystkie liczby pierwsze aż do 3 milionów. Legendre i Gauss w równym stopniu obliczyli, że dla dużego n gęstość podstawowa wynosi 1/log(n). Legendre oszacował liczbę liczb pierwszych z zakresu od 1 do n jako

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

A Gauss jest jak całka logarytmiczna

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Z przedziałem całkowania od 2 do n.

Twierdzenie o gęstości liczb pierwszych 1/log(n) jest znane jako twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych. Próbowano to udowodnić przez cały XIX wiek, a postęp osiągnęli Czebyszew i Riemann. Połączyli to z hipotezą Riemanna, wciąż niepotwierdzoną hipotezą dotyczącą rozkładu zer funkcji zeta Riemanna. Gęstość liczb pierwszych udowodnili jednocześnie Hadamard i Vallée-Poussin w 1896 roku.

W teorii liczb pierwszych wciąż pozostaje wiele nierozwiązanych pytań, a niektóre z nich mają setki lat:

  • Hipoteza bliźniaczych liczb pierwszych dotyczy nieskończonej liczby par liczb pierwszych, które różnią się od siebie o 2
  • Hipoteza Goldbacha: każdą liczbę parzystą, zaczynając od 4, można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych
  • Czy istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych postaci n 2 + 1?
  • Czy zawsze można znaleźć liczbę pierwszą pomiędzy n 2 i (n + 1) 2? (fakt, że pomiędzy n i 2n zawsze występuje liczba pierwsza, udowodnił Czebyszew)
  • Czy liczba liczb pierwszych Fermata jest nieskończona? Czy po liczbie 4 są jakieś liczby pierwsze Fermata?
  • czy istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych dla dowolnej długości? na przykład dla długości 4: 251, 257, 263, 269. Maksymalna znaleziona długość to 26.
  • Czy w ciągu arytmetycznym istnieje nieskończona liczba zbiorów trzech kolejnych liczb pierwszych?
  • n 2 - n + 41 jest liczbą pierwszą dla 0 ≤ n ≤ 40. Czy istnieje nieskończona liczba takich liczb pierwszych? To samo pytanie dla wzoru n 2 - 79 n + 1601. Liczby te są liczbami pierwszymi dla 0 ≤ n ≤ 79.
  • Czy istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych postaci n# + 1? (n# jest wynikiem pomnożenia wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż n)
  • Czy istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych postaci n# -1?
  • Czy istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych postaci n? + 1?
  • Czy istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych postaci n? - 1?
  • jeśli p jest liczbą pierwszą, czy 2 p -1 nie zawsze zawiera wśród swoich czynników kwadraty pierwsze?
  • czy ciąg Fibonacciego zawiera nieskończoną liczbę liczb pierwszych?

Największe bliźniacze liczby pierwsze to 2003663613 × 2 195000 ± 1. Składają się z 58711 cyfr i zostały odkryte w 2007 roku.

Największa silnia liczba pierwsza (typu n! ± 1) to 147855! - 1. Składa się z 142891 cyfr i został znaleziony w 2002 roku.

Największa pierwotna liczba pierwsza (liczba w postaci n# ± 1) to 1098133# + 1.