W tej lekcji omówione zostanie pojęcie ułamka algebraicznego. Z ułamkami spotykamy się w najprostszych sytuacjach życiowych: gdy trzeba podzielić jakiś przedmiot na kilka części, na przykład, aby pokroić ciasto po równo na dziesięć osób. Oczywiście każdy dostaje kawałek ciasta. W tym przypadku mamy do czynienia z pojęciem ułamka liczbowego, ale możliwa jest sytuacja, gdy obiekt zostanie podzielony na nieznaną liczbę części, na przykład przez x. W tym przypadku pojawia się koncepcja wyrażenia ułamkowego. Z całymi wyrażeniami (nie zawierającymi podziału na wyrażenia ze zmiennymi) i ich właściwościami zapoznawałeś się już w klasie 7. Następnie przyjrzymy się pojęciu ułamka wymiernego, a także dopuszczalnym wartościom zmiennych.
Wyrażenia wymierne dzielą się na wyrażenia całkowite i ułamkowe.
Definicja.Ułamek racjonalny jest wyrażeniem ułamkowym postaci , gdzie są wielomianami. - licznik mianownika.
Przykładywyrażenia racjonalne:
- wyrażenia ułamkowe; - całe wyrażenia. Na przykład w pierwszym wyrażeniu licznik to , a mianownik to .
Oznaczający ułamek algebraiczny jak ktokolwiek wyrażenie algebraiczne, zależy od wartości liczbowej zawartych w nim zmiennych. W szczególności w pierwszym przykładzie wartość ułamka zależy od wartości zmiennych i , a w drugim przykładzie tylko od wartości zmiennej .
Rozważmy pierwsze typowe zadanie: obliczenie wartości ułamek racjonalny dla różnych wartości zawartych w nim zmiennych.
Przykład 1. Oblicz wartość ułamka dla a), b), c)
Rozwiązanie. Podstawmy wartości zmiennych do wskazanego ułamka: a), b) , c) - nie istnieje (ponieważ nie można dzielić przez zero).
Odpowiedź: a) 3; b) 1; c) nie istnieje.
Jak widać, w przypadku każdego ułamka pojawiają się dwa typowe problemy: 1) obliczenie ułamka, 2) znalezienie wartości prawidłowe i nieprawidłowe zmienne literowe.
Definicja.Prawidłowe wartości zmiennych- wartości zmiennych, przy których wyrażenie ma sens. Nazywa się zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennych OZ Lub domena.
Wartość zmiennych literału może być nieprawidłowa, jeśli mianownik ułamka przy tych wartościach wynosi zero. We wszystkich innych przypadkach wartości zmiennych są prawidłowe, ponieważ można obliczyć ułamek.
Przykład 2.
Rozwiązanie. Aby to wyrażenie miało sens, konieczne i wystarczające jest, aby mianownik ułamka nie był równy zero. Zatem tylko te wartości zmiennej będą nieprawidłowe, dla których mianownik jest równy zero. Mianownik ułamka wynosi , więc rozwiązujemy równanie liniowe:
Dlatego biorąc pod uwagę wartość zmiennej, ułamek nie ma znaczenia.
Odpowiedź: -5.
Z rozwiązania przykładu wynika zasada znajdowania nieprawidłowych wartości zmiennych - mianownik ułamka jest równy zero i znajdują się pierwiastki odpowiedniego równania.
Spójrzmy na kilka podobnych przykładów.
Przykład 3. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu .
Rozwiązanie..
Odpowiedź..
Przykład 4. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.
Rozwiązanie..
Istnieją inne sformułowania tego problemu - znajdź domena Lub zakres dopuszczalnych wartości wyrażeń (APV). Oznacza to znalezienie wszystkich prawidłowych wartości zmiennych. W naszym przykładzie są to wszystkie wartości z wyjątkiem . Wygodnie jest przedstawić dziedzinę definicji na osi liczbowej.
Aby to zrobić, wytniemy na nim punkt, jak pokazano na rysunku:
Ryż. 1
Zatem, dziedzina definicji ułamka będą wszystkie liczby oprócz 3.
Odpowiedź..
Przykład 5. Ustal, przy jakich wartościach zmiennej ułamek nie ma sensu.
Rozwiązanie..
Przedstawmy powstałe rozwiązanie na osi liczbowej:
Ryż. 2
Odpowiedź..
Przykład 6.
Rozwiązanie.. Otrzymaliśmy równość dwóch zmiennych, podamy przykłady numeryczne: lub itp.
Przedstawmy to rozwiązanie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Ryż. 3. Wykres funkcji
Współrzędne dowolnego punktu leżącego na tym wykresie nie mieszczą się w zakresie dopuszczalnych wartości ułamków.
Odpowiedź..
W omawianych przykładach spotkaliśmy się z sytuacją, w której nastąpiło dzielenie przez zero. Rozważmy teraz przypadek, w którym bardziej interesująca sytuacja pojawia się przy podziale typów.
Przykład 7. Ustal, przy jakich wartościach zmiennych ułamek nie ma sensu.
Rozwiązanie..
Okazuje się, że ułamek nie ma sensu w . Można jednak argumentować, że tak nie jest, ponieważ: 
.
Może się wydawać, że jeśli końcowe wyrażenie jest równe 8 w , to pierwotne również można obliczyć i dlatego ma sens w . Jeśli jednak podstawimy to do pierwotnego wyrażenia, otrzymamy - nie ma to sensu.
Odpowiedź..
Aby lepiej zrozumieć ten przykład, rozwiążmy następujący problem: przy jakich wartościach wskazany ułamek jest równy zero?
48. Rodzaje wyrażeń algebraicznych.
Wyrażenia algebraiczne konstruowane są z liczb i zmiennych przy użyciu znaków dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, podnoszenia do potęgi wymiernej oraz wyodrębniania pierwiastków i używania nawiasów.
Przykłady wyrażeń algebraicznych:
Jeśli wyrażenie algebraiczne nie zawiera podziału na zmienne i wyodrębnienia pierwiastków ze zmiennych (w szczególności potęgowania z wykładnikiem ułamkowym), wówczas nazywa się je liczbą całkowitą. Spośród tych zapisanych powyżej wyrażenia 1, 2 i 6 są liczbami całkowitymi.
Jeśli wyrażenie algebraiczne składa się z liczb i zmiennych przy użyciu operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, potęgowania z wykładnikiem naturalnym i dzielenia oraz stosuje się dzielenie na wyrażenia ze zmiennymi, wówczas nazywa się to ułamkiem ułamkowym. Zatem z tych zapisanych powyżej wyrażenia 3 i 4 są ułamkowe.
Wyrażenia całkowite i ułamkowe nazywane są wyrażeniami wymiernymi. Tak więc z wyrażeń wymiernych zapisanych powyżej wyrażenia 1, 2, 3, 4 i 6 są.
Jeśli wyrażenie algebraiczne polega na wyjęciu pierwiastka ze zmiennych (lub podniesieniu zmiennych do potęgi ułamkowej), wówczas takie wyrażenie algebraiczne nazywa się irracjonalnym. Zatem spośród tych napisanych powyżej wyrażenia 5 i 7 są irracjonalne.
Zatem wyrażenia algebraiczne mogą być racjonalne i irracjonalne. Z kolei wyrażenia wymierne dzielą się na liczby całkowite i ułamki zwykłe.
49. Prawidłowe wartości zmiennych. Dziedzina definicji wyrażenia algebraicznego.
Wartości zmiennych, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są dopuszczalnymi wartościami zmiennych. Zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych nazywany jest dziedziną definicji wyrażenia algebraicznego.
Całe wyrażenie ma sens dla dowolnych wartości zmiennych w nim zawartych. Zatem dla dowolnych wartości zmiennych całe wyrażenia 1, 2, 6 z paragrafu 48 mają sens.
Wyrażenia ułamkowe nie mają sensu dla tych wartości zmiennych, które powodują, że mianownik wynosi zero. Zatem wyrażenie ułamkowe 3 z paragrafu 48 ma sens dla wszystkich o, z wyjątkiem , a wyrażenie ułamkowe 4 ma sens dla wszystkich a, b, c, z wyjątkiem wartości a
Wyrażenie irracjonalne nie ma sensu w przypadku tych wartości zmiennych, które zamieniają w liczbę ujemną wyrażenie zawarte pod znakiem pierwiastka potęgi parzystej lub pod znakiem podniesienia do potęgi ułamkowej. Zatem irracjonalne wyrażenie 5 ma sens tylko dla tych a, b, dla których i irracjonalne wyrażenie 7 ma sens tylko dla i (patrz akapit 48).
Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym zmienne otrzymają prawidłowe wartości, wówczas otrzymamy wyrażenie numeryczne; jego wartość nazywana jest wartością wyrażenia algebraicznego dla wybranych wartości zmiennych.
Przykład. Znajdź wartość wyrażenia kiedy
Rozwiązanie. Mamy
50. Pojęcie identycznego przekształcenia wyrażenia. Tożsamość.
Rozważmy dwa wyrażenia Kiedy mamy . Liczby 0 i 3 nazywane są ich odpowiednimi wartościami. wyrażenia dla Znajdźmy odpowiednie wartości tych samych wyrażeń dla
Odpowiednie wartości dwóch wyrażeń mogą być sobie równe (na przykład w rozważanym przykładzie równość jest prawdziwa) lub mogą się od siebie różnić (na przykład w rozważanym przykładzie).
Poprawne wartości zmiennych,
zawarte w wyrażeniu ułamkowym
Cele: rozwinąć umiejętność znajdowania akceptowalnych wartości zmiennych zawartych w wyrażeniach ułamkowych.
Podczas zajęć
I. Moment organizacyjny.
II. Praca ustna.
– Zastąp jakąś liczbę zamiast * i nazwij powstały ułamek:
A) ; B) ; V) ; G) ;
D) ; e) ; I) ; H) .
III. Wyjaśnienie nowego materiału.
Wyjaśnianie nowego materiału przebiega w trzech etapach:
1. Aktualizowanie wiedzy uczniów.
2. Rozważenie kwestii, czy ułamek wymierny zawsze ma sens.
3. Wyprowadzenie reguły znajdowania dopuszczalnych wartości zmiennych wchodzących w skład ułamka wymiernego.
Aktualizując wiedzę, uczniowie mogą zostać poproszeni o następujące pytania:
pytania:
– Jaki ułamek nazywamy wymiernym?
– Czy każdy ułamek jest wyrażeniem ułamkowym?
– Jak znaleźć wartość ułamka wymiernego dla danych wartości zawartych w nim zmiennych?
Aby wyjaśnić kwestię dopuszczalnych wartości zmiennych wchodzących w skład ułamka wymiernego, możesz poprosić uczniów o wykonanie zadania.
Zadanie: Znajdź wartość ułamka dla określonych wartości zmiennej:
Na X = 4; 0; 1.
Wykonując to zadanie, uczniowie rozumieją, że kiedy X= 1 nie można znaleźć wartości ułamka. Pozwala im to na wyciągnięcie następującego wniosku: nie można podstawić liczb na ułamek wymierny, który ma zerowy mianownik (wniosek ten uczniowie muszą sami sformułować i wypowiedzieć na głos).
Następnie nauczyciel informuje uczniów, że wszystkie wartości zmiennych, dla których wyrażenie wymierne ma sens, nazywane są prawidłowymi wartościami zmiennych.
1) Jeśli wyrażenie jest liczbą całkowitą, wówczas wszystkie wartości zawartych w nim zmiennych będą prawidłowe.
2) Aby znaleźć dopuszczalne wartości zmiennych wyrażenia ułamkowego, należy sprawdzić, przy jakich wartościach mianownik dąży do zera. Znalezione liczby nie będą prawidłowymi wartościami.
IV. Kształtowanie umiejętności i zdolności.
1. № 10, № 11.
Odpowiedź na pytanie o dopuszczalne wartości zmiennych zawartych w wyrażeniu ułamkowym może brzmieć inaczej. Na przykład, rozważając ułamek wymierny, możemy powiedzieć, że wszystkie liczby z wyjątkiem X= 4, lub że dopuszczalne wartości zmiennej nie obejmują cyfry 4, tj X ≠ 4.
Obydwa sformułowania są poprawne, najważniejsze jest zadbanie o poprawność formatu.
PRZYKŁADOWY FORMULARZ:
4X (X + 1) = 0
Odpowiedź: X≠ 0 i X≠ 1 (lub wszystkie liczby z wyjątkiem 0 i –1).
3. Nr 14 (a, c), nr 15.
Realizując te zadania, uczniowie powinni zwrócić uwagę na konieczność uwzględnienia dopuszczalnych wartości zmiennych.
G) 
Odpowiedź: X = 0.
Monitoruj uzasadnienie każdego rozumowania.
W klasie o wysokim poziomie wyszkolenia możesz dodatkowo wykonać nr 18 i nr 20.
Rozwiązanie
Ze wszystkich ułamków o tym samym dodatnim liczniku większym jest ten, który ma najmniejszy mianownik. Oznacza to, że konieczne jest ustalenie, przy jakiej wartości A wyrażenie A 2 + 5 przyjmuje najmniejszą wartość.
Od wyrażenia A Liczba 2 nie może być ujemna dla żadnej wartości A, a następnie wyrażenie A 2 + 5 przyjmie najmniejszą wartość, gdy A = 0.
Odpowiedź: A = 0.
Argumentując podobnie, stwierdzamy, że konieczne jest znalezienie wartości A, dla którego wyrażenie ( A– 3) 2 + 1 przyjmuje najmniejszą wartość.
Odpowiedź: A = 3.
Rozwiązanie
.
Aby odpowiedzieć na pytanie, musisz najpierw przekształcić wyrażenie w mianownik ułamka.
Ułamek przyjmie największą wartość, jeśli wyrażenie (2 X +
+ Na) 2 + 9 przyjmuje najmniejszą wartość. Ponieważ (2 X + Na) 2 nie może przyjmować wartości ujemnych, wówczas najmniejsza wartość wyrażenia (2 X + Na) 2 + 9 równa się 9.
Wtedy wartość ułamka pierwotnego wynosi = 2.
V. Podsumowanie lekcji.
Często Zadawane Pytania:
– Jakie wartości nazywane są akceptowalnymi wartościami zmiennych zawartych w wyrażeniu?
– Jakie są prawidłowe wartości zmiennych całego wyrażenia?
– Jak znaleźć prawidłowe wartości zmiennych w wyrażeniu ułamkowym?
– Czy istnieją ułamki wymierne, dla których obowiązują wszystkie wartości zmiennych? Podaj przykłady takich ułamków.
Praca domowa: Nr 12, Nr 14 (b, d), Nr 212.