Trójkąt to jedna z najczęstszych figur geometrycznych, z którą zapoznajemy się już w szkole podstawowej. Każdy uczeń staje przed pytaniem, jak znaleźć pole trójkąta na lekcjach geometrii. Jakie więc cechy znalezienia obszaru danej figury można zidentyfikować? W tym artykule przyjrzymy się podstawowym wzorom niezbędnym do wykonania takiego zadania, a także przeanalizujemy rodzaje trójkątów.
Rodzaje trójkątów
Pole trójkąta można znaleźć na zupełnie inne sposoby, ponieważ w geometrii istnieje więcej niż jeden typ figury zawierający trzy kąty. Typy te obejmują:
- Rozwarty.
- Równostronny (poprawnie).
- Trójkąt prostokątny.
- Równoramienny.
Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z istniejących typów trójkątów.
Ta figura geometryczna jest uważana za najczęstszą przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Gdy zajdzie potrzeba narysowania dowolnego trójkąta, ta opcja przychodzi na ratunek.
W ostrym trójkącie, jak sama nazwa wskazuje, wszystkie kąty są ostre i sumują się do 180°.
Ten typ trójkąta jest również bardzo powszechny, ale jest nieco mniej powszechny niż trójkąt ostry. Na przykład przy rozwiązywaniu trójkątów (czyli znanych jest kilka jego boków i kątów i trzeba znaleźć pozostałe elementy) czasami trzeba określić, czy kąt jest rozwarty, czy nie. Cosinus jest liczbą ujemną.
B, wartość jednego z kątów przekracza 90°, więc pozostałe dwa kąty mogą przyjmować małe wartości (na przykład 15° lub nawet 3°).
Aby znaleźć obszar trójkąta tego typu, musisz znać pewne niuanse, o których porozmawiamy później.
Trójkąty regularne i równoramienne
Wielokąt foremny to figura zawierająca n kątów i której wszystkie boki i kąty są równe. To właśnie jest zwykły trójkąt. Ponieważ suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°, zatem każdy z trzech kątów ma miarę 60°.
Trójkąt foremny ze względu na swoje właściwości nazywany jest także figurą równoboczną.
Warto również zauważyć, że w trójkąt foremny można wpisać tylko jeden okrąg i wokół niego można opisać tylko jeden okrąg, którego środki znajdują się w tym samym punkcie.
Oprócz typu równobocznego można wyróżnić także trójkąt równoramienny, który nieco się od niego różni. W takim trójkącie dwa boki i dwa kąty są sobie równe, a trzeci bok (do którego przylegają równe kąty) jest podstawą.
Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny DEF, którego kąty D i F są równe, a DF jest podstawą.
Trójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny został tak nazwany, ponieważ jeden z jego kątów jest prosty, to znaczy równy 90°. Pozostałe dwa kąty sumują się do 90°.
Największym bokiem takiego trójkąta, leżącym naprzeciw kąta 90°, jest przeciwprostokątna, natomiast pozostałe dwa boki to ramiona. W przypadku tego typu trójkąta obowiązuje twierdzenie Pitagorasa:
Suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny BAC z przeciwprostokątną AC i nogami AB i BC.
Aby znaleźć pole trójkąta pod kątem prostym, musisz znać wartości liczbowe jego nóg.
Przejdźmy do wzorów na znalezienie pola danej figury.
Podstawowe wzory na wyznaczanie pola
W geometrii istnieją dwa wzory odpowiednie do znalezienia obszaru większości typów trójkątów, a mianowicie trójkątów ostrych, rozwartych, regularnych i równoramiennych. Przyjrzyjmy się każdemu z nich.
Wzdłuż boku i wysokości
Ta formuła jest uniwersalna do znalezienia obszaru rozważanej figury. Aby to zrobić, wystarczy znać długość boku i długość narysowanej do niego wysokości. Sam wzór (połowa iloczynu podstawy i wysokości) wygląda następująco:
gdzie A jest bokiem danego trójkąta, a H jest wysokością trójkąta.
Na przykład, aby znaleźć pole ostrego trójkąta ACB, należy pomnożyć jego bok AB przez wysokość CD i podzielić uzyskaną wartość przez dwa.
Jednak nie zawsze łatwo jest w ten sposób znaleźć pole trójkąta. Na przykład, aby użyć tego wzoru dla trójkąta rozwartego, musisz przedłużyć jeden z jego boków, a dopiero potem narysować do niego wysokość.
W praktyce ta formuła jest używana częściej niż inne.
Po obu stronach i narożu
Wzór ten, podobnie jak poprzedni, jest odpowiedni dla większości trójkątów i w swoim znaczeniu jest konsekwencją wzoru na obliczenie pola boku i wysokości trójkąta. Oznacza to, że daną formułę można łatwo wyprowadzić z poprzedniej. Jego formuła wygląda następująco:
S = ½*sinO*A*B,
gdzie A i B to boki trójkąta, a O to kąt między bokami A i B.
Przypomnijmy, że sinus kąta można zobaczyć w specjalnej tabeli nazwanej na cześć wybitnego radzieckiego matematyka V. M. Bradisa.
Przejdźmy teraz do innych formuł, które są odpowiednie tylko dla wyjątkowych typów trójkątów.
Pole trójkąta prostokątnego
Oprócz uniwersalnego wzoru, który uwzględnia konieczność znalezienia wysokości w trójkącie, z jego nóg można wyznaczyć pole trójkąta zawierające kąt prosty.
Zatem obszar trójkąta zawierający kąt prosty jest połową iloczynu jego nóg lub:
gdzie a i b są ramionami trójkąta prostokątnego.
Zwykły trójkąt
Ten typ figury geometrycznej różni się tym, że jej obszar można znaleźć przy wskazanej wartości tylko jednego z jej boków (ponieważ wszystkie boki regularnego trójkąta są równe). Zatem stojąc przed zadaniem „znalezienia pola trójkąta, gdy boki są równe”, należy zastosować następujący wzór:
S = ZA 2 *√3 / 4,
gdzie A jest bokiem trójkąta równobocznego.
Wzór Herona
Ostatnią opcją znalezienia pola trójkąta jest wzór Herona. Aby z niego skorzystać, musisz znać długości trzech boków figury. Wzór Herona wygląda następująco:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
gdzie a, b i c są bokami danego trójkąta.
Czasami pojawia się problem: „pole regularnego trójkąta polega na znalezieniu długości jego boku”. W tym przypadku musimy skorzystać ze znanego już wzoru na obliczenie pola trójkąta foremnego i wyprowadzić z niego wartość boku (lub jego kwadratu):
ZA 2 = 4S / √3.
Zadania egzaminacyjne
W matematycznych problemach GIA istnieje wiele formuł. Ponadto dość często konieczne jest znalezienie pola trójkąta na papierze w kratkę.
W takim przypadku najwygodniej jest narysować wysokość do jednego z boków figury, określić jej długość z komórek i zastosować uniwersalny wzór na znalezienie powierzchni:
Tak więc po przestudiowaniu wzorów przedstawionych w artykule nie będziesz mieć problemów ze znalezieniem obszaru dowolnego trójkąta.
Jak być może pamiętasz ze szkolnego programu geometrii, trójkąt to figura utworzona z trzech odcinków połączonych trzema punktami, które nie leżą na tej samej linii prostej. Trójkąt tworzy trzy kąty, stąd nazwa figury. Definicja może być inna. Trójkąt można również nazwać wielokątem o trzech kątach, odpowiedź również będzie poprawna. Trójkąty dzielą się ze względu na liczbę równych boków i wielkość kątów na figurach. Zatem trójkąty rozróżnia się odpowiednio jako równoramienne, równoboczne i pochyłe, a także odpowiednio prostokątne, ostre i rozwarte.
Istnieje wiele wzorów do obliczania pola trójkąta. Wybierz sposób znalezienia pola trójkąta, tj. To, jaką formułę zastosujesz, zależy od Ciebie. Warto jednak zwrócić uwagę tylko na niektóre oznaczenia stosowane w wielu wzorach do obliczania pola trójkąta. Więc pamiętaj:
S jest obszarem trójkąta,
a, b, c to boki trójkąta,
h jest wysokością trójkąta,
R jest promieniem opisanego okręgu,
p jest półobwodem.
Oto podstawowe zapisy, które mogą Ci się przydać, jeśli całkowicie zapomniałeś o kursie geometrii. Poniżej znajdują się najbardziej zrozumiałe i nieskomplikowane opcje obliczania nieznanego i tajemniczego obszaru trójkąta. Nie jest to trudne, a przyda się zarówno w potrzebach domowych, jak i w pomaganiu dzieciom. Pamiętajmy, jak najłatwiej obliczyć pole trójkąta:
W naszym przypadku pole trójkąta wynosi: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamiętaj, że powierzchnię mierzy się w centymetrach kwadratowych (cm2).
Trójkąt prostokątny i jego pole.
Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden kąt jest równy 90 stopni (stąd nazywany prawym). Kąt prosty tworzą dwie prostopadłe linie (w przypadku trójkąta dwa prostopadłe odcinki). W trójkącie prostokątnym może być tylko jeden kąt prosty, ponieważ... suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Okazuje się, że pozostałe 2 kąty powinny dzielić pozostałe 90 stopni, na przykład 70 i 20, 45 i 45 itd. Pamiętasz więc najważniejsze, pozostaje tylko dowiedzieć się, jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego. Wyobraźmy sobie, że mamy przed sobą taki trójkąt prostokątny i musimy znaleźć jego pole S.
1. Najprostszy sposób określenia pola trójkąta prostokątnego oblicza się za pomocą następującego wzoru:
W naszym przypadku pole prawego trójkąta wynosi: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.
W zasadzie nie ma już potrzeby sprawdzania pola trójkąta w inny sposób, bo Tylko ten będzie przydatny i pomoże w życiu codziennym. Ale istnieją również opcje pomiaru pola trójkąta pod ostrymi kątami.
2. W przypadku innych metod obliczeń musisz mieć tabelę cosinusów, sinusów i stycznych. Oceń sam, oto kilka opcji obliczania pola trójkąta prostokątnego, które nadal można wykorzystać:
Zdecydowaliśmy się zastosować pierwszy wzór i z kilkoma drobnymi plamami (rysowaliśmy to w zeszycie, korzystając ze starej linijki i kątomierza), ale otrzymaliśmy prawidłowe obliczenie:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Otrzymaliśmy następujące wyniki: 3,6=3,7, ale biorąc pod uwagę przesunięcie komórek, możemy wybaczyć ten niuans.
Trójkąt równoramienny i jego pole.
Jeśli stoisz przed zadaniem obliczenia wzoru na trójkąt równoramienny, najłatwiej jest skorzystać z głównego i uważanego za klasyczny wzór na pole trójkąta.
Ale najpierw, zanim znajdziemy obszar trójkąta równoramiennego, dowiedzmy się, jaki to rodzaj figury. Trójkąt równoramienny to trójkąt, w którym dwa boki mają tę samą długość. Te dwie strony nazywane są bocznymi, trzeci bok nazywany jest podstawą. Nie myl trójkąta równoramiennego z trójkątem równobocznym, tj. regularny trójkąt mający wszystkie trzy boki równe. W takim trójkącie nie ma specjalnych tendencji do kątów, a raczej do ich wielkości. Jednakże kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe, ale różnią się od kąta między równymi bokami. Znasz już pierwszą i główną formułę, pozostaje dowiedzieć się, jakie inne formuły określania pola trójkąta równoramiennego są znane:
Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech linii prostych łączących się w punktach, które nie leżą na tej samej linii prostej. Punktami połączenia linii są wierzchołki trójkąta, które są oznaczone literami łacińskimi (na przykład A, B, C). Łączące się linie proste trójkąta nazywane są odcinkami i są zwykle oznaczane literami łacińskimi. Wyróżnia się następujące typy trójkątów:
- Prostokątny.
- Rozwarty.
- Ostry kątowy.
- Wszechstronny.
- Równoboczny.
- Równoramienny.
Ogólne wzory do obliczania pola trójkąta
Wzór na pole trójkąta na podstawie długości i wysokości
S= a*h/2,
gdzie a jest długością boku trójkąta, którego pole należy obliczyć, h jest długością wysokości narysowanej do podstawy.
Wzór Herona
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
gdzie √ to pierwiastek kwadratowy, p to półobwód trójkąta, a, b, c to długość każdego boku trójkąta. Półobwód trójkąta można obliczyć ze wzoru p=(a+b+c)/2.
Wzór na pole trójkąta na podstawie kąta i długości odcinka
S = (a*b*sin(α))/2,
gdzie b,c to długość boków trójkąta, sin(α) to sinus kąta między dwoma bokami.
Wzór na pole trójkąta, biorąc pod uwagę promień wpisanego koła i trzy boki
S=p*r,
gdzie p jest półobwodem trójkąta, którego pole należy obliczyć, r jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Wzór na pole trójkąta oparty na trzech bokach i promieniu okręgu wokół niego opisanego
S= (a*b*c)/4*R,
gdzie a, b, c to długość każdego boku trójkąta, R to promień okręgu opisanego na trójkącie.
Wzór na pole trójkąta wykorzystujący kartezjańskie współrzędne punktów
Współrzędne kartezjańskie punktów są współrzędnymi w układzie xOy, gdzie x to odcięta, a y to rzędna. Kartezjański układ współrzędnych xOy na płaszczyźnie to wzajemnie prostopadłe osie numeryczne Ox i Oy o wspólnym początku w punkcie O. Jeżeli współrzędne punktów na tej płaszczyźnie są podane w postaci A(x1, y1), B(x2, y2 ) i C(x3, y3 ), wówczas możesz obliczyć pole trójkąta za pomocą następującego wzoru, który otrzymuje się z iloczynu wektorowego dwóch wektorów.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdzie || oznacza moduł.
Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego
Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden kąt ma miarę 90 stopni. Trójkąt może mieć tylko jeden taki kąt.
Wzór na pole trójkąta prostokątnego z dwóch stron
S= a*b/2,
gdzie a, b to długość nóg. Nogi to boki sąsiadujące pod kątem prostym.
Wzór na pole trójkąta prostokątnego na podstawie przeciwprostokątnej i kąta ostrego
S = a*b*sin(α)/ 2,
gdzie a, b to ramiona trójkąta, a sin(α) to sinus kąta, pod którym przecinają się proste a, b.
Wzór na pole trójkąta prostokątnego na podstawie boku i kąta przeciwnego
S = a*b/2*tg(β),
gdzie a, b to ramiona trójkąta, tg(β) to tangens kąta, pod którym ramiona a, b są połączone.
Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego
Trójkąt równoramienny to taki, który ma dwa równe boki. Te boki nazywane są bokami, a druga strona jest podstawą. Aby obliczyć pole trójkąta równoramiennego, możesz użyć jednego z poniższych wzorów.
Podstawowy wzór na obliczenie pola trójkąta równoramiennego
S=h*c/2,
gdzie c jest podstawą trójkąta, h jest wysokością trójkąta obniżonego do podstawy.
Wzór na trójkąt równoramienny oparty na boku i podstawie
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdzie c jest podstawą trójkąta, a jest wielkością jednego z boków trójkąta równoramiennego.
Jak znaleźć obszar trójkąta równobocznego
Trójkąt równoboczny to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe. Aby obliczyć pole trójkąta równobocznego, możesz skorzystać z następującego wzoru:
S = (√3*a*a)/4,
gdzie a jest długością boku trójkąta równobocznego.
Powyższe wzory pozwolą ci obliczyć wymagany obszar trójkąta. Należy pamiętać, że aby obliczyć pole trójkątów, należy wziąć pod uwagę rodzaj trójkąta i dostępne dane, które można wykorzystać do obliczeń.
W Internecie można znaleźć ponad 10 wzorów na obliczenie pola trójkąta, wiele z nich znajduje zastosowanie w zadaniach ze znanymi bokami i kątami trójkąta. Istnieje jednak wiele złożonych przykładów, w których zgodnie z warunkami przypisania znany jest tylko jeden bok i kąty trójkąta lub promień okręgu opisanego lub wpisanego i jeszcze jedna cecha. W takich przypadkach nie można zastosować prostej formuły.
Podane poniżej wzory pozwolą Ci rozwiązać 95 procent problemów, w których musisz znaleźć pole trójkąta.
Przejdźmy dalej do rozważenia wzorów na obszar wspólny.
Rozważmy trójkąt pokazany na poniższym rysunku
Na rysunku i poniżej we wzorach wprowadzono klasyczne oznaczenia wszystkich jego cech.
a,b,c – boki trójkąta,
R – promień okręgu opisanego,
r – promień okręgu wpisanego,
h[b],h[a],h[c] – wysokości narysowane zgodnie z bokami a,b,c.
alfa, beta, hamma – kąty w pobliżu wierzchołków.
Podstawowe wzory na pole trójkąta
1. Pole jest równe połowie iloczynu boku trójkąta i wysokości obniżonej na tę stronę. W języku formuł definicję tę można zapisać w następujący sposób
Zatem jeśli znany jest bok i wysokość, każdy uczeń znajdzie pole.
Nawiasem mówiąc, z tego wzoru można wyprowadzić jedną użyteczną zależność między wysokościami
2. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że wysokość trójkąta przez sąsiedni bok wyraża się zależnością
Następnie po pierwszym wzorze pola następują drugie tego samego typu
Przyjrzyj się uważnie wzorom - łatwo je zapamiętać, ponieważ praca obejmuje dwie strony i kąt między nimi. Jeśli poprawnie wyznaczymy boki i kąty trójkąta (jak na powyższym rysunku), otrzymamy dwa boki a, b a kąt jest połączony z trzecim Z (hammą).
3. Dla kątów trójkąta zależność jest prawdziwa
Zależność pozwala na wykorzystanie w obliczeniach następujących wzorów na pole trójkąta:
Przykłady tej zależności są niezwykle rzadkie, trzeba jednak pamiętać, że istnieje taka formuła.
4. Jeśli znany jest bok i dwa sąsiednie kąty, wówczas obszar oblicza się ze wzoru
5. Wzór na pole powierzchni pod względem boku i cotangensu sąsiednich kątów jest następujący
Zmieniając kolejność indeksów, możesz uzyskać zależności dla innych stron.
6. Poniższy wzór na pole powierzchni stosuje się w zadaniach, w których wierzchołki trójkąta są określone na płaszczyźnie za pomocą współrzędnych. W tym przypadku pole jest równe połowie wyznacznika przyjętego modulo.
7. Wzór Herona używane w przykładach ze znanymi bokami trójkąta.
Najpierw znajdź półobwód trójkąta
A następnie określ obszar za pomocą wzoru
Lub
Jest dość często używany w kodzie programów kalkulatorów.
8. Jeśli znane są wszystkie wysokości trójkąta, wówczas obszar określa się za pomocą wzoru
Trudno to obliczyć na kalkulatorze, ale w pakietach MathCad, Mathematica, Maple obszar jest „czasem drugim”.
9. W poniższych wzorach wykorzystuje się znane promienie okręgów wpisanych i opisanych. 
W szczególności, jeśli znany jest promień i boki trójkąta lub jego obwód, wówczas pole oblicza się według wzoru
10. W przykładach, w których podane są boki oraz promień lub średnica opisanego okręgu, pole oblicza się za pomocą wzoru
11. Poniższy wzór określa pole trójkąta pod względem boku i kątów trójkąta.
I na koniec – przypadki szczególne:
Pole trójkąta prostokątnego z nogami a i b równymi połowie ich produktu
Wzór na pole trójkąta równobocznego (regularnego).=
= jedna czwarta iloczynu kwadratu boku i pierwiastka z trzech.
Pojęcie obszaru
Pojęcie obszaru dowolnej figury geometrycznej, w szczególności trójkąta, będzie kojarzone z figurą taką jak kwadrat. Za powierzchnię jednostkową dowolnej figury geometrycznej weźmiemy pole kwadratu, którego bok jest równy jeden. Dla kompletności przypomnijmy dwie podstawowe właściwości pojęcia obszarów figur geometrycznych.
Właściwość 1: Jeśli figury geometryczne są równe, to ich pola również są równe.
Właściwość 2: Każdą figurę można podzielić na kilka cyfr. Co więcej, powierzchnia oryginalnej figury jest równa sumie obszarów wszystkich jej figur składowych.
Spójrzmy na przykład.
Przykład 1
Oczywiście jeden z boków trójkąta jest przekątną prostokąta, którego jeden bok ma długość 5 $ (ponieważ jest tam komórek 5 $), a drugi ma długość 6 $ (ponieważ jest komórek 6 $). Dlatego obszar tego trójkąta będzie równy połowie takiego prostokąta. Pole prostokąta wynosi
Następnie obszar trójkąta jest równy
Odpowiedź: 15 dolarów.
Następnie rozważymy kilka metod znajdowania pól trójkątów, a mianowicie użycie wysokości i podstawy, użycie wzoru Herona i pola trójkąta równobocznego.
Jak znaleźć obszar trójkąta na podstawie jego wysokości i podstawy
Twierdzenie 1
Pole trójkąta można obliczyć jako połowę iloczynu długości boku i wysokości tego boku.
Matematycznie wygląda to tak
$S=\frac(1)(2)αh$
gdzie $a$ jest długością boku, $h$ jest wysokością do niego narysowaną.
Dowód.
Rozważmy trójkąt $ABC$, w którym $AC=α$. Na ten bok narysowana jest wysokość $BH$, która jest równa $h$. Podnieśmy to do kwadratu $AXYC$, jak na rysunku 2.
Pole prostokąta $AXBH$ wynosi $h\cdot AH$, a pole prostokąta $HBYC$ to $h\cdot HC$. Następnie
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Dlatego wymagany obszar trójkąta według właściwości 2 jest równy
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład 2
Znajdź obszar trójkąta na poniższym rysunku, jeśli komórka ma pole równe jeden
Podstawa tego trójkąta wynosi 9 dolarów (ponieważ 9 dolarów to 9 dolarów kwadratów). Wysokość również wynosi 9 dolarów. Następnie, z Twierdzenia 1, otrzymujemy
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odpowiedź: 40,5 dolarów.
Wzór Herona
Twierdzenie 2
Jeśli mamy dane trzy boki trójkąta $α$, $β$ i $γ$, to jego pole można obliczyć w następujący sposób
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
tutaj $ρ$ oznacza półobwód tego trójkąta.
Dowód.
Rozważ następujący rysunek:
Z twierdzenia Pitagorasa z trójkąta $ABH$ otrzymujemy
Z trójkąta $CBH$, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, mamy
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Z tych dwóch relacji otrzymujemy równość
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Ponieważ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, to $α+β+γ=2ρ$, co oznacza
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Z twierdzenia 1 otrzymujemy
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$