Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Plan
1. Geometryczna reprezentacja liczb zespolonych.
2. Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.
3. Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.
Geometryczna reprezentacja liczb zespolonych.
a) Liczby zespolone są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie zgodnie z następującą zasadą: A + bi = M ( A ; B ) (ryc. 1).
Obrazek 1
b) Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą wektora rozpoczynającego się w punkcieO i koniec w danym punkcie (ryc. 2).
Rysunek 2
Przykład 7. Konstruuj punkty reprezentujące liczby zespolone:1; - I ; - 1 + I ; 2 – 3 I (ryc. 3).
Rysunek 3
Zapis trygonometryczny liczb zespolonych.
Liczba zespolonaz = A + bi można określić za pomocą wektora promienia ze współrzędnymi( A ; B ) (ryc. 4).
Rysunek 4
Definicja . Długość wektora , reprezentujący liczbę zespolonąz , nazywa się modułem tej liczby i oznacza LubR .
Dla dowolnej liczby zespolonejz jego modułR = | z | jest określona jednoznacznie przez wzór .
Definicja . Wielkość kąta między dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej a wektorem , reprezentujący liczbę zespoloną, nazywa się argumentem tej liczby zespolonej i oznaczaA rg z Lubφ .
Argument liczbowy zespolonyz = 0 nieokreślony. Argument liczbowy zespolonyz≠ 0 – wielkość wielowartościowa, określona w określonym terminie2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Argument z = argument z + 2πk , Gdzieargument z – główna wartość argumentu zawartego w przedziale(-π; π] , to jest-π < argument z ≤ π (czasami jako główną wartość argumentu przyjmuje się wartość należącą do przedziału .
Ta formuła, kiedyR =1 często nazywany wzorem Moivre’a:
(cos φ + i sin φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Przykład 11: Oblicz(1 + I ) 100 .
Napiszmy liczbę zespoloną1 + I w postaci trygonometrycznej.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , grzech φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (sałata + grzeszę )] 100 = ( ) 100 (sałata 100 + grzeszę ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej.
Podczas obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonejA + bi mamy dwa przypadki:
JeśliB
>o
, To 
;
3.1. Współrzędne biegunowe
Często używany w samolocie biegunowy układ współrzędnych . Definiuje się go, jeśli dany jest punkt O, tzw Polak i promień wychodzący z bieguna (dla nas jest to oś Wół) – oś biegunowa. Położenie punktu M wyznaczają dwie liczby: promień (lub wektor promienia) i kąt φ pomiędzy osią biegunową a wektorem. Nazywa się kąt φ kąt biegunowy; mierzona w radianach i liczona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi biegunowej.
Położenie punktu w układzie współrzędnych biegunowych określa się za pomocą uporządkowanej pary liczb (r; φ). Na Polu r = 0, oraz φ nie jest zdefiniowane. Dla wszystkich pozostałych punktów r > 0, a φ definiuje się aż do składnika będącego wielokrotnością 2π. W tym przypadku pary liczb (r; φ) i (r 1 ; φ 1) są powiązane z tym samym punktem, jeśli .
Dla prostokątnego układu współrzędnych xOj Współrzędne kartezjańskie punktu można łatwo wyrazić w postaci jego współrzędnych biegunowych w następujący sposób:
3.2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Rozważmy na płaszczyźnie kartezjański prostokątny układ współrzędnych xOj.
Dowolna liczba zespolona z=(a, b) jest powiązana z punktem na płaszczyźnie o współrzędnych ( x, y), Gdzie współrzędna x = a, tj. część rzeczywista liczby zespolonej, a współrzędna y = bi jest częścią urojoną.
Płaszczyzna, której punkty są liczbami zespolonymi, jest płaszczyzną zespoloną.
Na rysunku liczba zespolona z = (a, b) odpowiada punktowi M(x, y).
Ćwiczenia.Narysuj liczby zespolone na płaszczyźnie współrzędnych:
3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Liczba zespolona na płaszczyźnie ma współrzędne punktu M(x;y). W której:
Zapisywanie liczby zespolonej 
- postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Nazywa się liczbę r moduł
Liczba zespolona z i jest wyznaczony. Moduł jest nieujemną liczbą rzeczywistą. Dla 
.
Moduł wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy z = 0, tj. a = b = 0.
Nazywa się liczbę φ argument z i jest wyznaczony. Argument z jest zdefiniowany niejednoznacznie, podobnie jak kąt biegunowy w biegunowym układzie współrzędnych, czyli aż do wyrazu będącego wielokrotnością 2π.
Następnie przyjmujemy: , gdzie φ jest najmniejszą wartością argumentu. To oczywiste
.
Przy głębszym badaniu tematu wprowadza się argument pomocniczy φ*, taki że
Przykład 1. Znajdź postać trygonometryczną liczby zespolonej.
Rozwiązanie. 1) rozważ moduł: ;
2) szukam φ: 
;
3) forma trygonometryczna: 
Przykład 2. Znajdź postać algebraiczną liczby zespolonej 
.
Tutaj wystarczy zastąpić wartości funkcji trygonometrycznych i przekształcić wyrażenie:
Przykład 3. Znajdź moduł i argument liczby zespolonej;
1) 
;
2) ; φ – w 4 kwartałach:
3.4. Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej
· Dodawanie i odejmowanie Wygodniej jest operować liczbami zespolonymi w formie algebraicznej:
· Mnożenie– można to wykazać za pomocą prostych przekształceń trygonometrycznych Podczas mnożenia mnożone są moduły liczb i dodawane są argumenty: ;
2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych
Niech wektor będzie określony na płaszczyźnie zespolonej przez liczbę .
Oznaczmy przez φ kąt pomiędzy dodatnią półosią Ox i wektorem (kąt φ uważa się za dodatni, jeśli jest mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a w przeciwnym razie za ujemny).
Oznaczmy długość wektora przez r. Następnie . Zaznaczamy także
Zapisanie niezerowej liczby zespolonej z w postaci
nazywa się formą trygonometryczną liczby zespolonej z. Liczba r nazywana jest modułem liczby zespolonej z, a liczba φ nazywana jest argumentem tej liczby zespolonej i oznaczana jest przez Arg z.
Trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej - (wzór Eulera) - wykładnicza forma zapisu liczby zespolonej:
Liczba zespolona z ma nieskończenie wiele argumentów: jeśli φ0 jest dowolnym argumentem liczby z, to wszystkie pozostałe można znaleźć korzystając ze wzoru
W przypadku liczby zespolonej argument i forma trygonometryczna nie są zdefiniowane.
Zatem argumentem niezerowej liczby zespolonej jest dowolne rozwiązanie układu równań:
(3)
Wartość φ argumentu liczby zespolonej z, spełniającą nierówności, nazywa się wartością główną i oznacza się ją przez arg z.
Argumenty Arg z i arg z są powiązane przez
, (4)
Wzór (5) jest konsekwencją układu (3), zatem wszystkie argumenty liczby zespolonej spełniają równość (5), ale nie wszystkie rozwiązania φ równania (5) są argumentami liczby z.
Wartość główną argumentu niezerowej liczby zespolonej wyznacza się według wzorów:
Wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej są następujące:
. (7)
Podnosząc liczbę zespoloną do potęgi naturalnej, stosuje się wzór Moivre'a:
Podczas wyodrębniania pierwiastka liczby zespolonej stosuje się formułę:
, (9)
gdzie k=0, 1, 2, …, n-1.
Zadanie 54. Oblicz gdzie .
Przedstawmy rozwiązanie tego wyrażenia w postaci wykładniczej, zapisując liczbę zespoloną: .
Jeśli następnie.
Następnie , 
. Dlatego więc 
I 
, Gdzie .
Odpowiedź: , Na .
Zadanie 55. Zapisz liczby zespolone w formie trygonometrycznej:
A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; mi) 
; I) .
Ponieważ postać trygonometryczna liczby zespolonej to , to:
a) W liczbie zespolonej: .
,
Dlatego 
B) 
, Gdzie ,
G) 
, Gdzie ,
mi) 
.
I) 
, A 
, To .
Dlatego 
Odpowiedź: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Zadanie 56. Znajdź postać trygonometryczną liczby zespolonej
.
Pozwalać , 
.
Następnie , 
, .
Od i 
, , następnie , i
Dlatego, dlatego
Odpowiedź: 
, Gdzie .
Zadanie 57. Korzystając z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej, wykonaj następujące czynności: .
Wyobraźmy sobie liczby i 
w postaci trygonometrycznej.
1) , gdzie 
Następnie
Znajdź wartość głównego argumentu:
Zastąpmy wartości i wyrażeniem, które otrzymamy 
2) , gdzie wtedy 
Następnie 
3) Znajdźmy iloraz
Zakładając k=0, 1, 2, otrzymujemy trzy różne wartości pożądanego pierwiastka:
Jeśli następnie 
Jeśli następnie 
Jeśli następnie 
.
Odpowiedź: :
:
: .
Zadanie 58. Niech , , , będą różnymi liczbami zespolonymi i 
. Udowodnij to
numer 
jest liczbą rzeczywistą dodatnią;
b) równość zachodzi:
a) Przedstawmy te liczby zespolone w formie trygonometrycznej:
Ponieważ .
Udawajmy, że. Następnie 
.
Ostatnie wyrażenie jest liczbą dodatnią, gdyż znaki sinusoidalne zawierają liczby z przedziału.
od numeru prawdziwy i pozytywny. Rzeczywiście, jeśli a i b są liczbami zespolonymi, rzeczywistymi i większymi od zera, to .
Oprócz,
zatem udowodniono wymaganą równość.
Zadanie 59. Zapisz liczbę w formie algebraicznej 
.
Przedstawmy liczbę w postaci trygonometrycznej, a następnie znajdźmy jej postać algebraiczną. Mamy 
. Dla 
otrzymujemy układ:
Oznacza to równość: 
.
Stosując wzór Moivre’a: ,
dostajemy
Znaleziono postać trygonometryczną podanej liczby.
Zapiszmy teraz tę liczbę w postaci algebraicznej:
.
Odpowiedź: 
.
Zadanie 60. Znajdź sumę , ,
Weźmy pod uwagę kwotę
Stosując wzór Moivre’a znajdujemy
Suma ta jest sumą n wyrazów postępu geometrycznego z mianownikiem 
i pierwszy członek 
.
Stosując wzór na sumę wyrazów takiego postępu, mamy
Znajdujemy część urojoną w ostatnim wyrażeniu
Wyodrębniając część rzeczywistą otrzymujemy także wzór: , , .
Zadanie 61. Znajdź sumę:
A) 
; B) .
Zgodnie ze wzorem Newtona na potęgowanie mamy
Korzystając ze wzoru Moivre’a znajdujemy:
Porównując części rzeczywiste i urojone otrzymanych wyrażeń dla , mamy:
I 
.
Wzory te można zapisać w postaci zwartej w następujący sposób:
,
, gdzie jest częścią całkowitą liczby a.
Zadanie 62. Znajdź wszystkie , dla których .
Ponieważ 
, a następnie korzystając ze wzoru
, 
Aby wyodrębnić korzenie, otrzymujemy 
,
Stąd, 
, 
,
, 
.
Punkty odpowiadające liczbom znajdują się w wierzchołkach kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 2, którego środek znajduje się w punkcie (0;0) (ryc. 30).
Odpowiedź: , ,
, .
Zadanie 63. Rozwiąż równanie 
, .
Według warunku; dlatego to równanie nie ma pierwiastka i dlatego jest równoważne równaniu.
Aby liczba z była pierwiastkiem tego równania, liczba ta musi być n-tym pierwiastkiem liczby 1.
Stąd wnioskujemy, że pierwotne równanie ma pierwiastki określone na podstawie równości
, 
Zatem, 
,
tj. 
,
Odpowiedź: 
.
Zadanie 64. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych.
Ponieważ liczba nie jest pierwiastkiem tego równania, to równanie to jest równoważne równaniu
Czyli równanie.
Wszystkie pierwiastki tego równania uzyskuje się ze wzoru (patrz zadanie 62):
; 
; ; 
; 
.
Zadanie 65. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów spełniających nierówności: 
. (Drugi sposób rozwiązania problemu 45)
Pozwalać 
.
Liczby zespolone posiadające identyczne moduły odpowiadają punktom płaszczyzny leżącym na okręgu, którego środek jest w początku układu współrzędnych, stąd nierówność 
spełniają wszystkie punkty otwartego pierścienia ograniczonego okręgami o wspólnym środku w początku i promieniu oraz (ryc. 31). Niech jakiś punkt płaszczyzny zespolonej odpowiada liczbie w0. Numer 
, ma moduł kilkakrotnie mniejszy od modułu w0 i argument większy od argumentu w0. Z geometrycznego punktu widzenia punkt odpowiadający w1 można otrzymać stosując jednorodność ze środkiem w początku układu współrzędnych i współczynnikiem, a także obrót względem początku o kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W wyniku zastosowania tych dwóch przekształceń do punktów pierścienia (rys. 31), ten ostatni przekształci się w pierścień ograniczony okręgami o tym samym środku i promieniach 1 i 2 (rys. 32).
Konwersja 
realizowane przy użyciu przeniesienia równoległego do wektora. Przenosząc pierścień ze środkiem w punkcie na wskazany wektor, otrzymujemy pierścień tej samej wielkości ze środkiem w punkcie (ryc. 22).
Zaproponowana metoda, wykorzystująca ideę przekształceń geometrycznych płaszczyzny, jest prawdopodobnie mniej wygodna do opisania, ale jest bardzo elegancka i efektywna.
Zadanie 66. Znajdź jeśli 
.
Niech , następnie i . Początkowa równość przybierze postać 
. Z warunku równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy , z czego , . Zatem, .
Zapiszmy liczbę z w formie trygonometrycznej:
, Gdzie , . Zgodnie ze wzorem Moivre’a znajdujemy .
Odpowiedź: – 64.
Zadanie 67. W przypadku liczby zespolonej znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że , i 
.
Przedstawmy liczbę w formie trygonometrycznej:
. Stąd, . Dla liczby, którą otrzymujemy, może być równa lub .
W pierwszym przypadku 
, w sekundę
.
Odpowiedź: , 
.
Zadanie 68. Znajdź sumę takich liczb, że . Proszę wskazać jeden z tych numerów.
Należy zauważyć, że z samego sformułowania problemu można zrozumieć, że sumę pierwiastków równania można znaleźć bez obliczania samych pierwiastków. Rzeczywiście, suma pierwiastków równania 
jest współczynnikiem dla , wziętym z przeciwnym znakiem (uogólnione twierdzenie Viety), tj.
Uczniowie, korzystając z dokumentacji szkolnej, wyciągają wnioski na temat stopnia opanowania tego pojęcia. Podsumuj badanie cech myślenia matematycznego i procesu powstawania pojęcia liczby zespolonej. Opis metod. Diagnostyka: Etap I. Rozmowa została przeprowadzona z nauczycielką matematyki, która w 10 klasie uczy algebry i geometrii. Rozmowa odbyła się po pewnym czasie od jej początku...
Rezonans” (!)), na który składa się także ocena własnego zachowania. 4. Krytyczna ocena własnego zrozumienia sytuacji (wątpliwości). 5. Wreszcie skorzystanie z zaleceń psychologii prawnej (prawnik bierze pod uwagę aspekt psychologiczny aspekty wykonywanych czynności zawodowych - przygotowanie psychologiczne zawodowe.) Zajmijmy się teraz psychologiczną analizą faktów prawnych...
Matematyka podstawienia trygonometrycznego i badanie efektywności opracowanej metodologii nauczania. Etapy pracy: 1. Opracowanie zajęć fakultatywnych na temat: „Zastosowanie podstawienia trygonometrycznego do rozwiązywania problemów algebraicznych” ze studentami na zajęciach z matematyki zaawansowanej. 2. Prowadzenie opracowanego przedmiotu fakultatywnego. 3. Przeprowadzenie badania diagnostycznego...
Zadania poznawcze mają na celu jedynie uzupełnienie istniejących pomocy dydaktycznych i muszą być w odpowiednim połączeniu ze wszystkimi tradycyjnymi środkami i elementami procesu edukacyjnego. Różnica między problemami pedagogicznymi w nauczaniu nauk humanistycznych a ścisłymi, od problemów matematycznych polega tylko na tym, że w problemach historycznych nie ma wzorów, ścisłych algorytmów itp., co komplikuje ich rozwiązanie. ...
LICZBY ZŁOŻONE XI
§ 256. Postać trygonometryczna liczb zespolonych
Niech liczba zespolona a + bi odpowiada wektorowi O.A.> ze współrzędnymi ( a, b ) (patrz ryc. 332).
Oznaczmy długość tego wektora przez R i kąt, jaki tworzy z osią X , Poprzez φ . Z definicji sinusa i cosinusa:
A / R =co φ , B / R = grzech φ .
Dlatego A = R sałata φ , B = R grzech φ . Ale w tym przypadku liczba zespolona a + bi można zapisać jako:
a + bi = R sałata φ + ir grzech φ = R (sałata φ + I grzech φ ).
Jak wiadomo, kwadrat długości dowolnego wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych. Dlatego R 2 = A 2 + B 2, skąd R = √a 2 + B 2
Więc, dowolna liczba zespolona a + bi można przedstawić w postaci :
a + bi = R (sałata φ + I grzech φ ), (1)
gdzie r = √a 2 + B 2 i kąt φ wyznacza się z warunku:
Ta forma zapisywania liczb zespolonych nazywa się trygonometryczny.
Numer R we wzorze (1) nazywa się moduł i kąt φ - argument, Liczba zespolona a + bi .
Jeśli liczba zespolona a + bi nie jest równy zero, to jego moduł jest dodatni; Jeśli a + bi = 0, zatem a = b = 0 i wtedy R = 0.
Moduł dowolnej liczby zespolonej jest określony jednoznacznie.
Jeśli liczba zespolona a + bi nie jest równy zero, wówczas jego argument wyznaczają wzory (2) zdecydowanie z dokładnością do kąta podzielnego przez 2 π . Jeśli a + bi = 0, zatem a = b = 0. W tym przypadku R = 0. Ze wzoru (1) łatwo zrozumieć, że jest to argument φ w tym przypadku możesz wybrać dowolny kąt: w końcu dla dowolnego φ
0 (kos φ + I grzech φ ) = 0.
Dlatego argument zerowy jest niezdefiniowany.
Moduł liczby zespolonej R czasami oznaczane | z | i argument arg z . Przyjrzyjmy się kilku przykładom przedstawiania liczb zespolonych w formie trygonometrycznej.
Przykład. 1. 1 + I .
Znajdźmy moduł R i argumentacja φ ten numer.
R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Dlatego grzech φ = 1 / √ 2, sałata φ = 1 / √ 2, skąd φ = π / 4 + 2Nπ .
Zatem,
1 + I = √ 2 ,
Gdzie P - dowolna liczba całkowita. Zwykle z nieskończonego zbioru wartości argumentu liczby zespolonej wybiera się tę z zakresu od 0 do 2 π . W tym przypadku jest to wartość π / 4. Dlatego
1 + I = √ 2 (kos π / 4 + I grzech π / 4)
Przykład 2. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej √ 3 - I . Mamy:
R = √ 3+1 = 2, sałata φ = √ 3 / 2, grzech φ = - 1 / 2
Dlatego aż do kąta podzielnego przez 2 π , φ = 11 / 6 π ; stąd,
√ 3 - I = 2(cos 11 / 6 π + I grzech 11/6 π ).
Przykład 3 Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej I.
Liczba zespolona I odpowiada wektorowi O.A.> , kończący się w punkcie A osi Na o rzędnej 1 (ryc. 333). Długość takiego wektora wynosi 1, a kąt, jaki tworzy z osią x, jest równy π / 2. Dlatego
I =co π / 2 + I grzech π / 2 .
Przykład 4. Zapisz liczbę zespoloną 3 w formie trygonometrycznej.
Liczba zespolona 3 odpowiada wektorowi O.A. > X odcięta 3 (ryc. 334).
Długość takiego wektora wynosi 3, a kąt, jaki tworzy z osią x, wynosi 0. Zatem
3 = 3 (cos 0 + I grzech 0),
Przykład 5. Zapisz liczbę zespoloną -5 w formie trygonometrycznej.
Liczba zespolona -5 odpowiada wektorowi O.A.> kończący się w punkcie osi X z odciętą -5 (ryc. 335). Długość takiego wektora wynosi 5, a kąt, jaki tworzy z osią x, jest równy π . Dlatego
5 = 5 (kos π + I grzech π ).
Ćwiczenia
2047. Zapisz te liczby zespolone w formie trygonometrycznej, określając ich moduły i argumenty:
1) 2 + 2√3 I , 4) 12I - 5; 7).3I ;
2) √3 + I ; 5) 25; 8) -2I ;
3) 6 - 6I ; 6) - 4; 9) 3I - 4.
2048. Wskaż na płaszczyźnie zbiór punktów reprezentujących liczby zespolone, których moduły r i argumenty φ spełniają warunki:
1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;
3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Czy liczby mogą być jednocześnie modułem liczby zespolonej? R I - R ?
2050. Czy argumentem liczby zespolonej mogą być jednocześnie kąty? φ I - φ ?
Przedstaw te liczby zespolone w formie trygonometrycznej, definiując ich moduły i argumenty:
2051*. 1 + sałata α + I grzech α . 2054*. 2(cos 20° - I grzech 20°).
2052*. grzech φ + I sałata φ . 2055*. 3(- cos 15° - I grzech 15°).