Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.
Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.
Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:
Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach w czasie, ale nie można określić odległości od nich. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.
środa, 4 lipca 2018 r
Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.
Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadających papug i tresowanych małp, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pamiętaj, jestem w domu” lub raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśnijmy matematykowi, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo przypominać sobie fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów jest dla każdej monety unikalna...
I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.
Niedziela, 18 marca 2018 r
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.
Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. Przecież liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.
Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.
2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.
Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Zatem w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukiwać głowy, rozważmy liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.
Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb o różnych jednostkach miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak wtedy, gdy wynik operacji matematycznej nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.
Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie sądzę, że ta dziewczyna jest głupia, która nie zna fizyki. Ma po prostu silny stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.
Nawiasy służą do wskazania kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach numerycznych, dosłownych i zmiennych. Wygodnie jest przejść od wyrażenia z nawiasami do identycznie równego wyrażenia bez nawiasów. Technika ta nazywa się nawiasami otwierającymi.
Rozszerzanie nawiasów oznacza usuwanie nawiasów z wyrażenia.
Na szczególną uwagę zasługuje jeszcze jedna kwestia, która dotyczy specyfiki zapisywania decyzji podczas otwierania nawiasów. Wyrażenie początkowe możemy zapisać w nawiasach, a wynik uzyskany po otwarciu nawiasów jako równość. Na przykład po rozwinięciu nawiasów zamiast wyrażenia
3−(5−7) otrzymujemy wyrażenie 3−5+7. Obydwa wyrażenia możemy zapisać jako równość 3−(5−7)=3−5+7.
I jeszcze jeden ważny punkt. W matematyce, aby skrócić oznaczenia, zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu lub w nawiasie. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to napiszemy nie +7+3, ale po prostu 7+3, mimo że siedem jest również liczbą dodatnią. Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie (5+x) - wiedz, że przed nawiasem znajduje się plus, którego nie zapisuje się, a przed piątką plus +(+5+x).
Zasada otwierania nawiasów podczas dodawania
Otwierając nawiasy, jeśli przed nawiasami znajduje się plus, to plus ten jest pomijany wraz z nawiasami.
Przykład. Otwórz nawiasy w wyrażeniu 2 + (7 + 3) Przed nawiasami znajduje się plus, co oznacza, że nie zmieniamy znaków przed liczbami w nawiasach.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Zasada otwierania nawiasów podczas odejmowania
Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale wyrazy znajdujące się w nawiasach zmieniają swój znak na przeciwny. Brak znaku przed pierwszym wyrazem w nawiasie oznacza znak +.
Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 - (7 + 3)
Przed nawiasami znajduje się minus, co oznacza, że należy zmienić znaki przed liczbami w nawiasach. W nawiasach przed liczbą 7 nie ma znaku, oznacza to, że siedem jest dodatnie, uważa się, że przed nią znajduje się znak +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Otwierając nawiasy, usuwamy z przykładu minus znajdujący się przed nawiasami, a same nawiasy 2 - (+ 7 + 3) i zmieniamy znaki znajdujące się w nawiasach na przeciwne.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Rozwijanie nawiasów podczas mnożenia
Jeżeli przed nawiasem znajduje się znak mnożenia, to każda liczba w nawiasie jest mnożona przez współczynnik znajdujący się przed nawiasem. W tym przypadku pomnożenie minusa przez minus daje plus, a pomnożenie minusa przez plus, podobnie jak pomnożenie plusa przez minus, daje minus.
W ten sposób nawiasy w iloczynach są rozwijane zgodnie z rozdzielną właściwością mnożenia.
Przykład. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Kiedy mnożysz nawias przez nawias, każdy wyraz w pierwszym nawiasie jest mnożony przez każdy wyraz w drugim nawiasie.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Tak naprawdę nie trzeba pamiętać wszystkich zasad, wystarczy zapamiętać tylko jedną, tę: c(a−b)=ca−cb. Dlaczego? Ponieważ jeśli podstawisz jeden zamiast c, otrzymasz regułę (a-b)=a-b. A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę −(a−b)=−a+b. Cóż, jeśli zastąpisz inny nawias zamiast c, możesz uzyskać ostatnią regułę.
Nawiasy otwierające podczas dzielenia
Jeżeli po nawiasie znajduje się znak dzielenia, to każda liczba w nawiasie jest dzielona przez dzielnik znajdujący się po nawiasie i odwrotnie.
Przykład. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3
Jak rozwinąć zagnieżdżone nawiasy
Jeśli wyrażenie zawiera zagnieżdżone nawiasy, są one rozwijane w odpowiedniej kolejności, zaczynając od nawiasów zewnętrznych lub wewnętrznych.
W takim przypadku ważne jest, aby otwierając jeden z nawiasów, nie dotykać pozostałych nawiasów, a po prostu przepisać je bez zmian.
Przykład. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
W tej lekcji dowiesz się, jak przekształcić wyrażenie zawierające nawiasy w wyrażenie bez nawiasów. Dowiesz się jak otwierać nawiasy poprzedzone znakiem plus i minus. Przypomnimy sobie, jak otwierać nawiasy, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia. Rozważane przykłady pozwolą Ci połączyć nowy i wcześniej przestudiowany materiał w jedną całość.
Temat: Rozwiązywanie równań
Lekcja: Rozwijanie nawiasów
Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „+”. Korzystanie z prawa łączenia dodawania.
Jeśli chcesz dodać sumę dwóch liczb do liczby, możesz najpierw dodać pierwszy wyraz do tej liczby, a następnie drugi.
Po lewej stronie znaku równości znajduje się wyrażenie z nawiasami, a po prawej stronie wyrażenie bez nawiasów. Oznacza to, że przy przejściu od lewej strony równości do prawej nastąpiło otwarcie nawiasów.
Spójrzmy na przykłady.
Przykład 1. 
Otwierając nawiasy zmieniliśmy kolejność działań. Liczenie stało się wygodniejsze.
Przykład 2. 
Przykład 3.
Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach po prostu usunęliśmy nawiasy. Sformułujmy regułę:
Komentarz.
Jeżeli pierwszy wyraz w nawiasie jest bez znaku, należy go zapisać ze znakiem plus.
Możesz postępować zgodnie z przykładem krok po kroku. Najpierw dodaj 445 do 889. Tę czynność można wykonać mentalnie, ale nie jest to zbyt łatwe. Otwórzmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona procedura znacznie uprości obliczenia.
Jeśli zastosujesz się do wskazanej procedury, musisz najpierw odjąć 345 od 512, a następnie do wyniku dodać 1345. Otwierając nawiasy, zmienimy procedurę i znacznie uprościmy obliczenia.
Ilustrujący przykład i reguła.
Spójrzmy na przykład: . Wartość wyrażenia można znaleźć, dodając 2 i 5, a następnie biorąc otrzymaną liczbę z przeciwnym znakiem. Dostajemy -7.
Z drugiej strony ten sam wynik można uzyskać, dodając liczby przeciwne do pierwotnych.
Sformułujmy regułę:
Przykład 1. 
Przykład 2.
Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach znajdują się nie dwa, ale trzy lub więcej wyrazów.
Przykład 3. 
Komentarz. Znaki są odwrócone tylko przed terminami.
Aby otworzyć nawiasy, w tym przypadku musimy pamiętać o własności rozdzielności.
Najpierw pomnóż pierwszy nawias przez 2, a drugi przez 3.
Pierwszy nawias poprzedzony jest znakiem „+”, co oznacza, że znaki należy pozostawić bez zmian. Drugi znak jest poprzedzony znakiem „-”, dlatego wszystkie znaki należy zmienić na przeciwne
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Sala Gimnastyczna, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania dla klas 5-6 z kursu matematyki - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - ZSz MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Testy online z matematyki ().
- Można pobrać te określone w punkcie 1.2. książki().
Praca domowa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link patrz 1.2)
- Praca domowa: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
- Inne zadania: nr 1258(c), nr 1248
Ta część równania to wyrażenie w nawiasach. Aby otworzyć nawiasy, spójrz na znak przed nawiasami. Jeśli występuje znak plus, otwarcie nawiasów w wyrażeniu niczego nie zmieni: wystarczy usunąć nawiasy. Jeśli podczas otwierania nawiasów znajduje się znak minus, należy zmienić wszystkie znaki, które pierwotnie znajdowały się w nawiasach, na przeciwne. Na przykład -(2x-3)=-2x+3.
Mnożenie dwóch nawiasów.
Jeśli równanie zawiera iloczyn dwóch nawiasów, rozwiń nawiasy zgodnie ze standardową zasadą. Każdy wyraz w pierwszym nawiasie jest mnożony przez każdy wyraz w drugim nawiasie. Otrzymane liczby są sumowane. W tym przypadku iloczyn dwóch „plusów” lub dwóch „minusów” nadaje terminowi znak „plus”, a jeśli czynniki mają różne znaki, otrzymuje znak „minus”.
Rozważmy.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Otwierając nawiasy, czasami podnosząc wyrażenie do . Wzory na kwadraty i sześciany należy znać na pamięć i pamiętać.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Wzory do konstruowania wyrażenia większego niż trzy można wykonać za pomocą trójkąta Pascala.
Źródła:
- wzór na rozwinięcie nawiasu
Operacje matematyczne ujęte w nawiasy mogą zawierać zmienne i wyrażenia o różnym stopniu złożoności. Aby pomnożyć takie wyrażenia, będziesz musiał poszukać rozwiązania w formie ogólnej, otwierając nawiasy i upraszczając wynik. Jeśli nawiasy zawierają operacje bez zmiennych, tylko z wartościami liczbowymi, to otwieranie nawiasów nie jest konieczne, ponieważ jeśli mamy komputer, jego użytkownik ma dostęp do bardzo znaczących zasobów obliczeniowych - łatwiej jest z nich skorzystać niż uprościć wyrażenie.
Instrukcje
Jeśli chcesz otrzymać wynik w postaci ogólnej, pomnóż kolejno każdy (lub koniec z ) zawarty w jednym nawiasie przez zawartość wszystkich pozostałych nawiasów. Na przykład niech oryginalne wyrażenie zostanie zapisane w następujący sposób: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Następnie mnożenie sekwencyjne (czyli otwieranie nawiasów) da następujący wynik: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x3.
Uprość wynik, skracając wyrażenia. Przykładowo wyrażenie uzyskane w poprzednim kroku można uprościć w następujący sposób: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x3 + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x3 = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x3 - x∗x3.
Jeśli chcesz pomnożyć wartości liczbowe, bez nieznanych zmiennych, użyj kalkulatora. Wbudowane oprogramowanie
Kontynuuję cykl artykułów metodologicznych o tematyce pedagogicznej. Czas rozważyć cechy pracy indywidualnej korepetycje z matematyki dla uczniów klas 7. Z wielką przyjemnością podzielę się przemyśleniami na temat form przedstawienia jednego z najważniejszych tematów na kursie algebry w klasie VII – „nawiasów otwierających”. Aby nie próbować ogarnąć ogromu, zatrzymajmy się na jego początkowym etapie i przeanalizujmy sposób pracy nauczyciela z mnożeniem wielomianu przez wielomian. Jak Korepetytor matematyki zachowuje się w trudnych sytuacjach, gdy słaby uczeń nie akceptuje klasycznej formy wyjaśniania? Jakie zadania przygotować dla silnego siódmoklasisty? Rozważmy te i inne pytania.
Wydawałoby się, co w tym takiego skomplikowanego? „Wsporniki są tak proste, jak obieranie gruszek” – powie każdy doskonały uczeń. „Istnieje prawo dystrybucji i właściwości potęg do pracy z jednomianami, ogólny algorytm dla dowolnej liczby terminów. Pomnóż każde przez każdego i uzyskaj podobne.” Jednak nie wszystko jest takie proste podczas pracy z maruderami. Pomimo wysiłków nauczyciela matematyki, uczniom udaje się popełniać błędy różnej wielkości nawet przy najprostszych przekształceniach. Charakter błędów uderza swoją różnorodnością: od drobnych pominięć liter i znaków po poważne „błędy zatrzymujące” w ślepej uliczce.
Co uniemożliwia uczniowi prawidłowe wykonanie przekształceń? Dlaczego możliwe jest nieporozumienie?
Istnieje ogromna liczba indywidualnych problemów, a jedną z głównych przeszkód w asymilacji i konsolidacji materiału jest trudność w terminowym i szybkim przełączaniu uwagi, trudność w przetwarzaniu dużej ilości informacji. Niektórym może wydawać się dziwne, że mówię o dużym tomie, ale słaby uczeń siódmej klasy może nie mieć wystarczających zasobów pamięci i uwagi nawet na cztery semestry. Współczynniki, zmienne, stopnie (wskaźniki) przeszkadzają. Uczeń myli kolejność działań, zapomina, które jednomiany zostały już pomnożone, a które pozostały nietknięte, nie pamięta, jak się je mnoży itp.
Podejście numeryczne dla nauczyciela matematyki
Oczywiście trzeba zacząć od wyjaśnienia logiki stojącej za konstrukcją samego algorytmu. Jak to zrobić? Musimy postawić problem: jak zmienić kolejność działań w wyrażeniu 
żeby wynik się nie zmienił? Dość często podaję przykłady wyjaśniające, jak działają pewne reguły przy użyciu określonych liczb. I dopiero wtedy zastępuję je literami. Technika stosowania podejścia numerycznego zostanie opisana poniżej.
Problemy z motywacją.
Na początku lekcji nauczycielowi matematyki trudno jest zebrać ucznia, jeśli nie rozumie on znaczenia tego, czego się uczy. W programie nauczania dla klas 6–7 trudno znaleźć przykłady wykorzystania zasady mnożenia wielomianów. Podkreślam potrzebę uczenia się zmienić kolejność działań w wyrażeniach Uczeń powinien wiedzieć, że pomaga to w rozwiązywaniu problemów wynikających z doświadczenia w dodawaniu podobnych terminów. Rozwiązując równania, musiał je dodać. Na przykład w 2x+5x+13=34 używa tego 2x+5x=7x. Nauczyciel matematyki musi po prostu skupić na tym uwagę ucznia.
Nauczyciele matematyki często nazywają technikę otwierania nawiasów zasada „fontanny”..
Ten obraz jest dobrze zapamiętywany i zdecydowanie powinien zostać wykorzystany. Ale jak można udowodnić tę regułę? Przypomnijmy klasyczną formę, która wykorzystuje oczywiste przekształcenia tożsamościowe:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Nauczycielowi matematyki trudno cokolwiek tutaj komentować. Litery mówią same za siebie. A silny uczeń siódmej klasy nie potrzebuje szczegółowych wyjaśnień. Co jednak zrobić ze słabymi, którzy z pełną świadomością nie widzą treści w tym „dosłownym bałaganie”?
Głównym problemem utrudniającym postrzeganie klasycznego matematycznego uzasadnienia „fontanny” jest nietypowa forma zapisu pierwszego czynnika. Ani w piątej, ani w szóstej klasie uczeń nie musiał przeciągać pierwszego nawiasu do każdego semestru drugiego. Dzieci zajmowały się wyłącznie liczbami (współczynnikami), umieszczonymi najczęściej po lewej stronie nawiasów, np.:
Pod koniec szóstej klasy uczeń tworzy wizualny obraz przedmiotu - pewną kombinację znaków (działań) powiązanych z nawiasami. A każde odchylenie od zwykłego poglądu na coś nowego może zdezorientować siódmoklasistę. Jest to wizualny obraz pary „liczba + nawias”, którego nauczyciel matematyki używa podczas wyjaśniania.
Można zaproponować następujące wyjaśnienie. Nauczyciel uzasadnia: „Gdyby przed nawiasem znajdowała się jakaś liczba, na przykład 5, moglibyśmy to zrobić zmienić procedurę w tym wyrażeniu? Z pewnością. Więc zróbmy to 
. Zastanów się, czy jego wynik ulegnie zmianie, jeśli zamiast liczby 5 wpiszemy ujętą w nawias sumę 2+3? Każdy uczeń powie korepetytorowi: „Jaką różnicę robi to, jak piszesz: 5 czy 2+3”. Wspaniały. Otrzymasz nagranie. Korepetytor matematyki robi krótką przerwę, aby uczeń wizualnie przypomniał sobie obraz-obraz przedmiotu. Następnie zwraca uwagę na fakt, że nawias, podobnie jak liczba, „rozłożył się” lub „przeskoczył” do każdego wyrazu. Co to znaczy? Oznacza to, że operację tę można wykonać nie tylko liczbą, ale także nawiasem. Mamy dwie pary czynników i . Większość uczniów z łatwością radzi sobie z nimi samodzielnie i zapisuje wynik korepetytorowi. Ważne jest, aby porównać powstałe pary z zawartością nawiasów 2+3 i 6+4, a stanie się jasne, jak się otwierają.
W razie potrzeby, po przykładzie z liczbami, korepetytor z matematyki przeprowadza korektę listową. Okazuje się, że jest to bułka z masłem przez te same części poprzedniego algorytmu.
Kształtowanie umiejętności otwierania nawiasów
Kształtowanie umiejętności mnożenia nawiasów to jeden z najważniejszych etapów pracy korepetytora matematyki z tematem. I nawet ważniejszy niż etap wyjaśniania logiki zasady „fontanny”. Dlaczego? Uzasadnienie zmian zostanie zapomniane już następnego dnia, ale umiejętność, jeśli zostanie uformowana i utrwalona z czasem, pozostanie. Uczniowie wykonują operację mechanicznie, jakby wydobywając z pamięci tabliczkę mnożenia. To właśnie należy osiągnąć. Dlaczego? Jeśli za każdym razem, gdy uczeń otworzy nawias, będzie pamiętał, dlaczego otwiera się go w ten, a nie inny sposób, zapomni o problemie, który rozwiązuje. Dlatego nauczyciel matematyki poświęca pozostały czas lekcji na przekształcenie rozumienia w zapamiętywanie na pamięć. Strategia ta jest często stosowana w innych tematach.
Jak nauczyciel może rozwinąć u ucznia umiejętność otwierania nawiasów? Aby to zrobić, uczeń klasy 7 musi wykonać szereg ćwiczeń w wystarczającej ilości do utrwalenia. To rodzi kolejny problem. Słaby siódmoklasista nie radzi sobie ze zwiększoną liczbą przemian. Nawet małe. A błędy padają jeden po drugim. Co powinien zrobić nauczyciel matematyki? Po pierwsze, zaleca się narysowanie strzałek od każdego terminu do każdego z nich. Jeśli uczeń jest bardzo słaby i nie potrafi szybko przestawić się z jednego rodzaju pracy na inny lub traci koncentrację podczas wykonywania prostych poleceń nauczyciela, wówczas nauczyciel matematyki rysuje te strzałki samodzielnie. I nie wszystko na raz. Najpierw nauczyciel łączy pierwszy wyraz w lewym nawiasie z każdym wyrazem w prawym nawiasie i prosi o wykonanie odpowiedniego mnożenia. Dopiero potem strzałki kierują się od drugiego terminu do tego samego prawego nawiasu. Innymi słowy, tutor dzieli proces na dwa etapy. Lepiej jest zachować krótką przerwę (5-7 sekund) pomiędzy pierwszą i drugą operacją.
1) Jeden zestaw strzałek należy narysować nad wyrażeniami, a drugi pod nimi.
2) Ważne jest, aby przynajmniej przechodzić między wierszami kilka komórek. W przeciwnym razie nagranie będzie bardzo gęste, a strzałki nie tylko wejdą na poprzednią linię, ale także zmieszają się ze strzałkami z następnego ćwiczenia.
3) W przypadku mnożenia nawiasów w formacie 3 przez 2 strzałki rysowane są od krótkiego nawiasu do długiego. W przeciwnym razie nie będą dwie, ale trzy takie „fontanny”. Realizacja trzeciego jest zauważalnie bardziej skomplikowana ze względu na brak wolnego miejsca na strzałki.
4) strzałki zawsze wskazują z tego samego punktu. Jeden z moich uczniów próbował ustawić je obok siebie i oto co wyszło:
Układ ten nie pozwala na wybranie i zapisanie aktualnego semestru, z jakim student pracuje na każdym etapie.
Praca palców nauczyciela
4) Aby zwrócić uwagę na osobną parę pomnożonych terminów, nauczyciel matematyki kładzie na nich dwa palce. Należy to zrobić w taki sposób, aby nie zasłaniać uczniowi widoku. W przypadku najbardziej nieuważnych uczniów można zastosować metodę „pulsacji”. Nauczyciel matematyki przesuwa pierwszym palcem na początek strzałki (do jednego z terminów) i naprawia ją, a drugim „puka” w jej koniec (do drugiego wyrazu). Ripple pomaga skupić uwagę na wyrazie, przez który uczeń mnoży. Po zakończeniu pierwszego mnożenia przez prawy nawias nauczyciel matematyki mówi: „Teraz pracujemy z drugim wyrazem”. Prowadzący przesuwa w jego stronę „nieruchomy palec” i przesuwa „pulsującym” palcem po terminach z drugiego nawiasu. Pulsacja działa jak „kierunkowskaz” w samochodzie i pozwala skupić uwagę roztargnionego ucznia na wykonywanej przez niego operacji. Jeśli dziecko pisze małymi literami, zamiast palców używa się dwóch ołówków.
Optymalizacja powtórzeń
Podobnie jak podczas studiowania dowolnego innego tematu na kursie algebry, mnożenie wielomianów może i powinno być zintegrowane z wcześniej przerobionym materiałem. W tym celu nauczyciel matematyki wykorzystuje specjalne zadania pomostowe, które pozwalają znaleźć zastosowanie tego, czego się uczysz, w różnych obiektach matematycznych. Nie tylko łączą tematy w jedną całość, ale także bardzo skutecznie organizują powtarzanie całego kursu matematyki. Im więcej mostów zbuduje nauczyciel, tym lepiej.
Tradycyjnie podręczniki algebry dla klas siódmych integrują nawiasy otwierające z rozwiązywaniem równań liniowych. Na końcu listy liczb znajdują się zawsze zadania w następującej kolejności: rozwiązać równanie. Podczas otwierania nawiasów kwadraty są zmniejszane, a równanie można łatwo rozwiązać za pomocą narzędzi 7. klasy. Jednak z jakiegoś powodu autorzy podręczników wygodnie zapominają o konstruowaniu wykresu funkcji liniowej. Aby skorygować to niedociągnięcie, radziłbym nauczycielom matematyki, aby na przykład w wyrażeniach analitycznych funkcji liniowych umieszczali nawiasy. Podczas takich ćwiczeń student nie tylko ćwiczy umiejętność przeprowadzania identycznych przekształceń, ale także powtarza wykresy. Możesz poprosić o znalezienie punktu przecięcia dwóch „potworów”, określić względne położenie linii, znaleźć punkty ich przecięcia z osiami itp.
Kołpakow A.N. Korepetytor matematyki w Stroginie. Moskwa