W tym artykule pokażemy, jak dawać definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta i liczby w trygonometrii. Tutaj omówimy oznaczenia, podamy przykłady haseł i przedstawimy ilustracje graficzne. Podsumowując, narysujmy paralelę pomiędzy definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trygonometrii i geometrii.

Nawigacja strony.

Definicja sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa

Zobaczmy, jak na szkolnym kursie matematyki powstaje idea sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Na lekcjach geometrii podana jest definicja sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Później badana jest trygonometria, która mówi o sinusie, cosinusie, tangensie i cotangensie kąta obrotu i liczby. Przedstawmy wszystkie te definicje, podajmy przykłady i podajmy niezbędny komentarz.

Kąt ostry w trójkącie prostokątnym

Z kursu geometrii znamy definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Podaje się je jako stosunek boków trójkąta prostokątnego. Podajmy ich formuły.

Definicja.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej.

Definicja.

Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Definicja.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym– jest to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Definicja.

Cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym- jest to stosunek sąsiedniej strony do strony przeciwnej.

Wprowadzono tam również oznaczenia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu – odpowiednio sin, cos, tg i ctg.

Na przykład, jeśli ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym C, to sinus kąta ostrego A jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej BC do przeciwprostokątnej AB, czyli sin∠A=BC/AB.

Definicje te pozwalają obliczyć wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta ostrego ze znanych długości boków trójkąta prostokątnego, a także ze znanych wartości sinusa, cosinusa, tangensa, cotangens i długość jednego z boków, aby znaleźć długości pozostałych boków. Na przykład, gdybyśmy wiedzieli, że w trójkącie prostokątnym noga AC jest równa 3, a przeciwprostokątna AB jest równa 7, to moglibyśmy obliczyć wartość cosinusa kąta ostrego A z definicji: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Kąt obrotu

W trygonometrii zaczynają patrzeć na kąt szerzej – wprowadzają pojęcie kąta obrotu. Wielkość kąta obrotu, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczona do 0 do 90 stopni; kąt obrotu w stopniach (i radianach) można wyrazić dowolną liczbą rzeczywistą od -∞ do +∞.

W tym świetle definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa podano nie dla kąta ostrego, ale dla kąta o dowolnej wielkości - kąta obrotu. Są one dane poprzez współrzędne x i y punktu A 1, do którego dochodzi tzw. punkt początkowy A(1, 0) po jego obrocie o kąt α wokół punktu O - początek prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich i środek okręgu jednostkowego.

Definicja.

Sinus kąta obrotuα jest rzędną punktu A 1, czyli sinα=y.

Definicja.

Cosinus kąta obrotuα nazywa się odciętą punktu A 1, czyli cosα=x.

Definicja.

Tangens kąta obrotuα jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 do jego odciętej, czyli tanα=y/x.

Definicja.

Cotangens kąta obrotuα jest stosunkiem odciętej punktu A 1 do jego rzędnej, czyli ctgα=x/y.

Dla dowolnego kąta α definiuje się sinus i cosinus, ponieważ zawsze możemy wyznaczyć odciętą i rzędną punktu, co uzyskujemy obracając punkt początkowy o kąt α. Ale tangens i cotangens nie są zdefiniowane dla żadnego kąta. Styczna nie jest zdefiniowana dla kątów α, w których punkt początkowy przechodzi do punktu o zerowej odciętej (0, 1) lub (0, −1), a ma to miejsce przy kątach 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Rzeczywiście, przy takich kątach obrotu wyrażenie tgα=y/x nie ma sensu, gdyż zawiera dzielenie przez zero. Cotangens nie jest zdefiniowany dla kątów α, w których punkt początkowy przechodzi do punktu o rzędnej zerowej (1, 0) lub (−1, 0), a ma to miejsce dla kątów 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Zatem sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów obrotu, tangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), a cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem 180°·k , k∈Z (π·k rad).

Definicje obejmują znane nam już oznaczenia sin, cos, tg i ctg, służą także do oznaczania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta obrotu (czasami można spotkać oznaczenia tan i cot odpowiadające tangensowi i cotangensowi) . Zatem sinus kąta obrotu 30 stopni można zapisać jako sin30°, wpisy tg(−24°17′) i ctgα odpowiadają tangensowi kąta obrotu −24 stopnie 17 minut i kotangensowi kąta obrotu α . Przypomnijmy, że zapisując radianową miarę kąta, często pomija się oznaczenie „rad”. Na przykład cosinus kąta obrotu wynoszącego trzy pi rad jest zwykle oznaczany jako cos3·π.

Podsumowując tę ​​kwestię, warto zauważyć, że mówiąc o sinusie, cosinusie, tangensie i cotangensie kąta obrotu, często pomija się wyrażenie „kąt obrotu” lub słowo „obrót”. Oznacza to, że zamiast wyrażenia „sinus kąta obrotu alfa” zwykle używa się wyrażenia „sinus kąta alfa” lub nawet krócej „sinus alfa”. To samo dotyczy cosinusa, tangensa i kotangensa.

Powiemy również, że definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym są zgodne z podanymi właśnie definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu w zakresie od 0 do 90 stopni. Uzasadnimy to.

Liczby

Definicja.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t jest liczbą równą odpowiednio sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi kąta obrotu w t radianach.

Na przykład cosinus liczby 8·π z definicji jest liczbą równą cosinusowi kąta 8·π rad. A cosinus kąta 8·π rad jest równy jeden, zatem cosinus liczby 8·π jest równy 1.

Istnieje inne podejście do wyznaczania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu liczby. Polega ona na tym, że każda liczba rzeczywista t jest powiązana z punktem na okręgu jednostkowym, którego środek znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych, a sinus, cosinus, tangens i cotangens wyznaczane są poprzez współrzędne tego punktu. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo.

Pokażmy, jak ustalana jest zgodność między liczbami rzeczywistymi a punktami na okręgu:

• numerowi 0 przypisany jest punkt początkowy A(1, 0);
• liczba dodatnia t jest skojarzona z punktem na okręgu jednostkowym, do którego dotrzemy, jeśli będziemy poruszać się po okręgu od punktu początkowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i przejdziemy drogę o długości t;
• liczba ujemna t jest powiązana z punktem na okręgu jednostkowym, do którego dotrzemy, jeśli będziemy poruszać się po okręgu od punktu początkowego w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przejdziemy drogę o długości |t| .

Przejdźmy teraz do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby t. Załóżmy, że liczba t odpowiada punktowi na okręgu A 1 (x, y) (przykładowo liczba &pi/2; odpowiada punktowi A 1 (0, 1)).

Definicja.

Sinus liczby t jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t, czyli sint=y.

Definicja.

Cosinus liczby t nazywa się odciętą punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t, czyli kosztowi=x.

Definicja.

Tangens liczby t jest stosunkiem rzędnej do odciętej punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t, czyli tgt=y/x. W innym równoważnym sformułowaniu tangens liczby t jest stosunkiem sinusa tej liczby do cosinusa, czyli tgt=sint/koszt.

Definicja.

Cotangens liczby t jest stosunkiem odciętej do rzędnej punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego liczbie t, czyli ctgt=x/y. Inne sformułowanie jest następujące: tangens liczby t jest stosunkiem cosinusa liczby t do sinusa liczby t: ctgt=koszt/sint.

Zauważmy tutaj, że podane właśnie definicje są zgodne z definicją podaną na początku tego akapitu. Rzeczywiście, punkt na okręgu jednostkowym odpowiadający liczbie t pokrywa się z punktem uzyskanym przez obrót punktu początkowego o kąt t radianów.

Warto jeszcze wyjaśnić tę kwestię. Powiedzmy, że mamy wpis sin3. Jak możemy zrozumieć, czy mówimy o sinusie liczby 3, czy o sinusie kąta obrotu 3 radianów? Zwykle wynika to jasno z kontekstu, w przeciwnym razie prawdopodobnie nie ma fundamentalnego znaczenia.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i numerycznego

Zgodnie z definicjami podanymi w poprzednim akapicie każdemu kątowi obrotu α odpowiada bardzo konkretna wartość sinα, a także wartość cosα. Dodatkowo wszystkie kąty obrotu inne niż 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) odpowiadają wartościom tgα, a wartościom innym niż 180°k, k∈Z (πk rad ) – wartościom ctgα. Zatem sinα, cosα, tanα i ctgα są funkcjami kąta α. Innymi słowy, są to funkcje argumentu kątowego.

Podobnie możemy mówić o funkcjach sinus, cosinus, tangens i cotangens argumentu liczbowego. Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista t odpowiada bardzo określonej wartości sint, a także kosztowi. Dodatkowo wszystkie liczby inne niż π/2+π·k, k∈Z odpowiadają wartościom tgt, a liczby π·k, k∈Z – wartościom ctgt.

Nazywa się funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens podstawowe funkcje trygonometryczne.

Zwykle z kontekstu jasno wynika, czy mamy do czynienia z funkcjami trygonometrycznymi argumentu kątowego, czy argumentu liczbowego. W przeciwnym razie możemy myśleć o zmiennej niezależnej zarówno jako o mierze kąta (argument kątowy), jak i jako o argumencie numerycznym.

Jednakże w szkole uczymy się głównie funkcji numerycznych, czyli takich, których argumentami i odpowiadającymi im wartościami funkcji są liczby. Dlatego jeśli mówimy konkretnie o funkcjach, wskazane jest rozważenie funkcji trygonometrycznych jako funkcji argumentów numerycznych.

Związek pomiędzy definicjami z geometrii i trygonometrii

Jeśli weźmiemy pod uwagę kąt obrotu α w zakresie od 0 do 90 stopni, to definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu w kontekście trygonometrii są w pełni zgodne z definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąt ostry w trójkącie prostokątnym, które są podawane na kursie geometrii. Uzasadnijmy to.

Przedstawmy okrąg jednostkowy w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy. Zaznaczmy punkt początkowy A(1, 0) . Obróćmy go o kąt α w zakresie od 0 do 90 stopni, otrzymamy punkt A 1 (x, y). Upuśćmy prostopadłą A 1 H z punktu A 1 do osi Wółu.

Łatwo zauważyć, że w trójkącie prostokątnym kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość nogi OH przylegającej do tego kąta jest równa odciętej punktu A 1, czyli |OH |=x, długość ramienia A 1 H naprzeciwko kąta jest równa rzędnej punktu A 1, czyli |A 1 H|=y, a długość przeciwprostokątnej OA 1 jest równa jedności, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego. Następnie, z definicji z geometrii, sinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym A 1 OH jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej, czyli sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. I z definicji z trygonometrii sinus kąta obrotu α jest równy rzędnej punktu A 1, czyli sinα=y. To pokazuje, że wyznaczenie sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równoznaczne z wyznaczeniem sinusa kąta obrotu α, gdy α wynosi od 0 do 90 stopni.

Podobnie można wykazać, że definicje cosinusa, tangensa i cotangensu kąta ostrego α są zgodne z definicjami cosinusa, tangensa i cotangensu kąta obrotu α.

Bibliografia.

1. Geometria. 7-9 klas: podręcznik dla edukacji ogólnej instytucje / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzow, S. B. Kadomcew i in.]. - wyd. 20. M.: Edukacja, 2010. - 384 s.: il. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: podręcznik. dla klas 7-9. ogólne wykształcenie instytucje / A. V. Pogorelov. - wyd. 2 - M.: Edukacja, 2001. - 224 s.: il. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra i funkcje elementarne: Podręcznik dla uczniów IX klasy szkoły średniej / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Pod redakcją doktora nauk fizycznych i matematycznych O. N. Golovina - wyd. 4. M.: Edukacja, 1969.
4. Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy. klasa 10. W 2 częściach Część 1: podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 4, dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: il. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - I.: Edukacja, 2010. - 368 s.: il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Instrukcje

Wideo na ten temat

notatka

Przy obliczaniu boków trójkąta prostokątnego rolę może odegrać znajomość jego cech:
1) Jeśli noga kąta prostego leży naprzeciwko kąta 30 stopni, to jest równa połowie przeciwprostokątnej;
2) Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż którakolwiek z nóg;
3) Jeśli wokół trójkąta prostokątnego opisano okrąg, to jego środek musi znajdować się w środku przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg oraz wielkość jednego z kątów ostrych trójkąta.

Instrukcje

Podaj nam jedną z nóg i kąt do niej przylegający. Mówiąc konkretnie, niech to będzie bok |AB| i kąt α. Następnie możemy skorzystać ze wzoru na trygonometryczny stosunek cosinus - cosinus sąsiedniej nogi. Te. w naszym zapisie cos α = |AB| / |AC|. Z tego otrzymujemy długość przeciwprostokątnej |AC| = |AB| / cos α.
Jeśli znamy bok |BC| i kąt α, wówczas ze wzoru obliczymy sinus kąta – sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej: sin α = |BC| / |AC|. Ustalamy, że długość przeciwprostokątnej wynosi |AC| = |BC| / cos α.

Dla jasności spójrzmy na przykład. Niech będzie podana długość nogi |AB|. = 15. I kąt α = 60°. Otrzymujemy |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Przyjrzyjmy się, jak sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Aby to zrobić, musimy obliczyć długość drugiej nogi |BC|. Korzystając ze wzoru na tangens kąta tan α = |BC| / |AC|, otrzymujemy |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Sprawdzanie zakończone.

Pomocna rada

Po obliczeniu przeciwprostokątnej sprawdź, czy otrzymana wartość spełnia twierdzenie Pitagorasa.

Źródła:

• Tabela liczb pierwszych od 1 do 10000

Nogi to dwa krótkie boki trójkąta prostokątnego tworzące wierzchołek, którego rozmiar wynosi 90°. Trzeci bok takiego trójkąta nazywa się przeciwprostokątną. Wszystkie te boki i kąty trójkąta są połączone pewnymi zależnościami, które umożliwiają obliczenie długości nogi, jeśli znanych jest kilka innych parametrów.

Instrukcje

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa dla nogi (A), jeśli znasz długość pozostałych dwóch boków (B i C) trójkąta prostokątnego. Twierdzenie to stwierdza, że ​​suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że długość każdej nogi jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z długości przeciwprostokątnej i drugiej nogi: A=√(C²-B²).

Skorzystaj z definicji prostej funkcji trygonometrycznej „sinus” dla kąta ostrego, jeśli znasz wielkość kąta (α) leżącego naprzeciw obliczanej nogi i długość przeciwprostokątnej (C). Oznacza to, że sinus tego znanego stosunku długości pożądanej nogi do długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że długość pożądanej nogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i sinusa znanego kąta: A=C∗sin(α). Dla tych samych znanych wielkości można również użyć cosecans i obliczyć wymaganą długość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez cosecans znanego kąta A=C/cosec(α).

Skorzystaj z definicji bezpośredniej funkcji cosinus trygonometrycznej, jeśli oprócz długości przeciwprostokątnej (C) znana jest również wielkość kąta ostrego (β) sąsiadującego z pożądanym. Cosinus tego kąta jest stosunkiem długości pożądanej nogi i przeciwprostokątnej i z tego możemy wywnioskować, że długość nogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: A=C∗cos(β). Możesz skorzystać z definicji funkcji siecznej i obliczyć żądaną wartość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez secans znanego kąta A=C/s(β).

Wyprowadź wymagany wzór z podobnej definicji pochodnej funkcji trygonometrycznej tangens, jeśli oprócz wartości kąta ostrego (α) leżącego naprzeciw żądanej nogi (A) znana jest długość drugiej nogi (B) . Tangens kąta przeciwnego do żądanej nogi to stosunek długości tej nogi do długości drugiej nogi. Oznacza to, że pożądana wartość będzie równa iloczynowi długości znanego ramienia i tangensa znanego kąta: A=B∗tg(α). Z tych samych znanych wielkości można wyprowadzić inny wzór, jeśli skorzystamy z definicji funkcji cotangens. W tym przypadku do obliczenia długości ramienia konieczne będzie znalezienie stosunku długości znanego ramienia do cotangensu znanego kąta: A=B/ctg(α).

Wideo na ten temat

Słowo „kathet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dokładnym tłumaczeniu oznacza to linię pionu, czyli prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi to boki tworzące kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „katet” stosowany jest także w architekturze i technologii spawalniczej.

Sieczną tego kąta oblicza się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią nogę, czyli secCAB = c/b. Wynik jest odwrotnością cosinusa, co oznacza, że ​​można go wyrazić za pomocą wzoru secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równy ilorazowi przeciwprostokątnej podzielonej przez przeciwną stronę i jest odwrotnością sinusa. Można to obliczyć korzystając ze wzoru cosecCAB=1/sinCAB

Obie nogi są połączone ze sobą i kotangensem. W tym przypadku styczna będzie stosunkiem strony a do strony b, to znaczy strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Zależność tę można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Odpowiednio, odwrotnym stosunkiem będzie kotangens: ctgCAB=b/a.

Zależność między rozmiarami przeciwprostokątnej i obu nóg została określona przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Ludzie nadal używają tego twierdzenia i jego imienia. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, czyli c2 = a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).

Długość nogi można również wyrazić za pomocą znanych Ci zależności. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Można to wyrazić jako i lub cotangens. Odnogę a można znaleźć na przykład za pomocą wzoru a = b*tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od zadanej stycznej lub, wyznacza się drugą nogę.

Termin „cathet” jest również używany w architekturze. Nakłada się go na kapitel joński i przechodzi przez środek grzbietu. Oznacza to, że w tym przypadku wyraz ten jest prostopadły do ​​danej linii.

W technologii spawania istnieje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Mówimy tutaj o szczelinie pomiędzy jedną ze spawanych części a krawędzią szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.

Wideo na ten temat

Źródła:

• czym jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku

Zatoka kąt ostry α trójkąta prostokątnego jest stosunkiem naprzeciwko noga do przeciwprostokątnej.
Oznacza się to następująco: sin α.

Cosinus Kąt ostry α w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznacza się go następująco: cos α.

Tangens kąt ostry α jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Oznacza się go następująco: tg α.

Cotangens kąt ostry α jest stosunkiem boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
Oznacza się go następująco: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.

Zasady:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:

(α – kąt ostry przeciwny do nogi B i przylegający do nogi A . Strona Z – przeciwprostokątna. β – drugi kąt ostry).

B grzech α = - C	grzech 2 α + cos 2 α = 1
A cos α = - C	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
B tan α = - A	1 1 + ctg 2 α = -- grzech 2 a
A ctg α = - B	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
grzech α tg α = -- ponieważ α

W miarę wzrostu kąta ostregogrzech α iwzrost opalenizny α icos α maleje.

Dla dowolnego kąta ostrego α:

grzech (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Przykład-wyjaśnienie:

Wprowadźmy trójkąt prostokątny ABC
AB = 6,
p.n.e. = 3,
kąt A = 30°.

Znajdźmy sinus kąta A i cosinus kąta B.

Rozwiązanie .

1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: skoro w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90°, to kąt B = 60°:

B = 90° – 30° = 60°.

2) Obliczmy grzech A. Wiemy, że sinus jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Dla kąta A przeciwną stroną jest bok BC. Więc:

BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz obliczmy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Dla kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC przez AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:

BC 3 1
ponieważ B = -- = - = -
AB 6 2

Wynik to:
grzech A = cos B = 1/2.

grzech 30° = cos 60° = 1/2.

Wynika z tego, że w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego jest równy cosinusowi innego kąta ostrego - i odwrotnie. To właśnie oznaczają nasze dwie formuły:
grzech (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Przekonajmy się o tym jeszcze raz:

1) Niech α = 60°. Podstawiając wartość α do wzoru sinus, otrzymujemy:
grzech (90° – 60°) = cos 60°.
grzech 30° = cos 60°.

2) Niech α = 30°. Podstawiając wartość α do wzoru na cosinus, otrzymujemy:
cos (90° – 30°) = grzech 30°.
cos 60° = grzech 30°.

(Aby uzyskać więcej informacji na temat trygonometrii, zobacz sekcję Algebra)

Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,

i w tym

i w tym

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... po pierwsze, jego boki mają specjalne piękne nazwy.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie mieszaj: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Udowodnił to Pitagoras już w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przynosi wiele pożytku tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te same spodnie pitagorejskie i spójrzmy na nie.

Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:

"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”

Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.

Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, zapoznaj się z kolejnymi poziomami teorii, a teraz przejdźmy dalej… w ciemny las… trygonometrię! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!

A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i

Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to fajne:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.

Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?

Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w jedną całość.

Przekształćmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Z dwóch stron

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

A)

B)

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Zajrzyj do tematu „i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Pod kątem ostrym

II. Z dwóch stron

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.

Spójrzmy na i.

Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• z dwóch stron:
• przez nogę i przeciwprostokątną: lub
• wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Pole trójkąta prostokątnego:

• przez nogi: