Główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych to: sprowadzanie równań do najprostszych (za pomocą wzorów trygonometrycznych), wprowadzanie nowych zmiennych i rozkład na czynniki. Przyjrzyjmy się ich zastosowaniu na przykładach. Zwróć uwagę na format zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.
Warunkiem koniecznym pomyślnego rozwiązywania równań trygonometrycznych jest znajomość wzorów trygonometrycznych (temat 13 pracy 6).
Przykłady.
1. Równania zredukowane do najprostszych.
1) Rozwiąż równanie
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
2) Znajdź pierwiastki równania
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, należący do segmentu.
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
2. Równania redukujące do kwadratu.
1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru sin 2 x = 1 – cos 2 x otrzymujemy
Odpowiedź:
2) Rozwiąż równanie cos 2x = 1 + 4 cosx.
Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru cos 2x = 2 cos 2 x – 1, otrzymujemy
Odpowiedź:
3) Rozwiąż równanie tgx – 2ctgx + 1 = 0
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
3. Równania jednorodne
1) Rozwiąż równanie 2sinx – 3cosx = 0
Rozwiązanie: Niech cosx = 0, wtedy 2sinx = 0 i sinx = 0 – sprzeczność z faktem, że sin 2 x + cos 2 x = 1. Oznacza to, że cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cosx. Dostajemy
Odpowiedź:
2) Rozwiąż równanie 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Rozwiązanie:
Używamy wzorów 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, otrzymujemy
grzech 2 x + sałata 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
grzech 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Niech cosx = 0, następnie sin 2 x = 0 i sinx = 0 – sprzeczność z faktem, że sin 2 x + cos 2 x = 1.
Oznacza to, że cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cos 2 x .
Dostajemy
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Oznaczmy tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Odpowiedź: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Równania postaci A grzech + B cosx = SS≠ 0.
1) Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
5. Równania rozwiązywane metodą faktoryzacji.
1) Rozwiąż równanie sin2x – sinx = 0.
Pierwiastek równania F (X) = φ ( X) może służyć tylko jako liczba 0. Sprawdźmy to:
cos 0 = 0 + 1 – równość jest prawdziwa.
Liczba 0 jest jedynym pierwiastkiem tego równania.
Odpowiedź: 0.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: transformacja równaniażeby było najprościej wpisz (patrz wyżej) i rozwiązaniewynikowy najprostszy równanie trygonometryczne. Tam jest siedem podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
1. Metoda algebraiczna.
(zastępowanie zmiennych i metoda podstawienia).
2. Faktoryzacja.
Przykład 1. Rozwiąż równanie: grzech X+bo X = 1 .
Rozwiązanie Przesuńmy wszystkie wyrazy równania w lewo:
Grzech X+bo X – 1 = 0 ,
Przekształćmy i rozłóżmy wyrażenie na czynniki
Lewa strona równania:
Przykład 2. Rozwiąż równanie: sałata 2 X+ grzech X sałata X = 1.
Rozwiązanie: cos 2 X+ grzech X sałata X– grzech 2 X– co 2 X = 0 ,
Grzech X sałata X– grzech 2 X = 0 ,
Grzech X· (kos X– grzech X ) = 0 ,
Przykład 3. Rozwiąż równanie: co 2 X–cos 8 X+ co 6 X = 1.
Rozwiązanie: cos 2 X+ co 6 X= 1 + sałata 8 X,
2 co 4 X co 2 X= 2cos² 4 X ,
Cos 4 X · (co 2 X– co 4 X) = 0 ,
Cos 4 X · 2 grzech 3 X grzech X = 0 ,
1). co 4 X= 0, 2). grzech 3 X= 0, 3). grzech X = 0 ,
3. Redukcja do równanie jednorodne.Równanie zwany jednorodne od w sprawie grzech I sałata , Jeśli wszystko terminy w tym samym stopniu w stosunku do grzech I sałata ten sam kąt. Aby rozwiązać równanie jednorodne, potrzebujesz: A) przesuń wszystkie jego elementy na lewą stronę; B) usuń wszystkie wspólne czynniki z nawiasów; V) zrównaj wszystkie czynniki i nawiasy do zera; G) nawiasy równe zero dają jednorodne równanie mniejszego stopnia, na które należy podzielić sałata(Lub grzech) w stopniu wyższym; D) rozwiązać powstałe równanie algebraiczne w odniesieniu dodębnik . grzech 2 X+ 4 grzechy X sałata X+ 5cos 2 X = 2. Rozwiązanie: 3 grzech 2 X+ 4 grzechy X sałata X+ 5 sałata 2 X= 2grzech 2 X+ 2co2 X , Grzech 2 X+ 4 grzechy X sałata X+ 3 względem 2 X = 0 , Opalenizna 2 X+ 4 opalenizna X + 3 = 0 , stąd y 2 + 4y +3 = 0 , Pierwiastkami tego równania są:y 1 = - 1, y 2 = - 3, stąd 1) opalenizna X= –1, 2) opalenizna X = –3, |
4. Przejście do połowy kąta.
Przyjrzyjmy się tej metodzie na przykładzie:
PRZYKŁAD Rozwiąż równanie: 3 grzech X– 5 szt X = 7.
Rozwiązanie: 6 grzechów ( X/ 2) bo ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 grzech² ( X/ 2) =
7 grzechów² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,
2 grzechy² ( X/ 2) – 6 grzechów ( X/ 2) bo ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,
opalony²( X/ 2) – 3 opalenizna ( X/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Wprowadzenie kąta pomocniczego.
Rozważmy równanie postaci:
A grzech X + B sałata X = C ,
Gdzie A, B, C– współczynniki;X- nieznany.
Teraz współczynniki równania mają właściwości sinusa i cosinusa, mianowicie: moduł (wartość bezwzględna) każdego z czego nie więcej niż 1, a suma ich kwadratów wynosi 1. Wtedy możemy oznaczyć odpowiednio je Jak cos i grzech (tutaj - tak zwana kąt pomocniczy), Iweź nasze równanie
Temat:„Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych”.
Cele Lekcji:
edukacyjny:
Rozwijanie umiejętności rozróżniania typów równań trygonometrycznych;
Pogłębienie zrozumienia metod rozwiązywania równań trygonometrycznych;
edukacyjny:
Kultywowanie zainteresowania poznawczego procesem edukacyjnym;
Kształtowanie umiejętności analizy postawionego zadania;
rozwijanie:
Wykształcenie umiejętności analizy sytuacji, a następnie wyboru najbardziej racjonalnego wyjścia z niej.
Sprzęt: plakat z podstawowymi wzorami trygonometrycznymi, komputer, projektor, ekran.
Zacznijmy lekcję od powtórzenia podstawowej techniki rozwiązywania dowolnego równania: sprowadzenia go do postaci standardowej. Poprzez przekształcenia równania liniowe sprowadza się do postaci ax = b, równania kwadratowe do postaci topór 2 +bx +c =0. W przypadku równań trygonometrycznych należy je sprowadzić do najprostszej postaci: sinx = a, cosx = a, tgx = a, którą można łatwo rozwiązać.
Przede wszystkim oczywiście trzeba w tym celu skorzystać z podstawowych wzorów trygonometrycznych przedstawionych na plakacie: wzorów na dodawanie, wzorów na podwójny kąt, zmniejszających krotność równania. Wiemy już, jak rozwiązać takie równania. Powtórzmy niektóre z nich:
Jednocześnie istnieją równania, których rozwiązanie wymaga znajomości specjalnych technik.
Tematem naszej lekcji jest rozważenie tych technik i usystematyzowanie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
1. Konwersja do równania kwadratowego ze względu na jakąś funkcję trygonometryczną, po której następuje zmiana zmiennej.
Przyjrzyjmy się każdej z wymienionych metod z przykładami, ale przyjrzyjmy się bardziej szczegółowo dwóm ostatnim, ponieważ pierwsze dwa wykorzystaliśmy już przy rozwiązywaniu równań.
1. Konwersja do równania kwadratowego ze względu na jakąś funkcję trygonometryczną.
2. Rozwiązywanie równań metodą faktoryzacji.
3. Rozwiązywanie równań jednorodnych.
Równania jednorodne pierwszego i drugiego stopnia są równaniami postaci:
odpowiednio (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Rozwiązując równania jednorodne, podziel obie strony wyrazu równania przez cosx dla (1) równania i przez cos 2 x dla (2). Podział ten jest możliwy, ponieważ sinx i cosx nie są jednocześnie równe zeru - w różnych punktach stają się zerem. Rozważmy przykłady rozwiązywania jednorodnych równań pierwszego i drugiego stopnia.
Zapamiętajmy to równanie: rozważając kolejną metodę - wprowadzając argument pomocniczy, rozwiążmy to w inny sposób.
4. Wprowadzenie argumentu pomocniczego.
Rozważmy równanie już rozwiązane poprzednią metodą:
Jak widać, uzyskuje się ten sam wynik.
Spójrzmy na inny przykład:
W rozpatrywanych przykładach było w zasadzie jasne, co należy rozłożyć na pierwotne równanie, aby wprowadzić argument pomocniczy. Może się jednak zdarzyć, że nie będzie oczywiste, który dzielnik wybrać. Istnieje do tego specjalna technika, którą teraz rozważymy ogólnie. Niech zostanie dane równanie.