Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [–5; 6]. Znajdź liczbę punktów na wykresie f(x), w każdym z których tangens narysowana na wykresie funkcji pokrywa się lub jest równoległa do osi x

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji różniczkowalnej y = f(x).

Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji należących do odcinka [–7; 7], w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej określonej równaniem y = –3x.

Punkt materialny M rozpoczyna ruch od punktu A i porusza się po linii prostej przez 12 sekund. Wykres pokazuje, jak zmieniała się odległość od punktu A do punktu M w czasie. Oś odciętych pokazuje czas t w sekundach, a oś rzędnych odległość s w metrach. Określ, ile razy podczas ruchu prędkość punktu M spadła do zera (nie uwzględniaj początku i końca ruchu).

Rysunek przedstawia przekroje wykresu funkcji y=f(x) oraz styczną do niej w punkcie z odciętą x = 0. Wiadomo, że styczna ta jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty wykresu z odciętą x = -2 i x = 3. Korzystając z tego, znajdź wartość pochodnej f"(o).

Rysunek przedstawia wykres y = f’(x) – pochodnej funkcji f(x), określonej na odcinku (−11; 2). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y = f(x) jest równoległa lub pokrywa się z odciętą.

Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach, mierzone od początku ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość była równa 2 m/s?

Punkt materialny przemieszcza się po linii prostej od pozycji początkowej do końcowej. Rysunek przedstawia wykres jego ruchu. Oś odciętych pokazuje czas w sekundach, a oś rzędnych odległość od początkowego położenia punktu (w metrach). Znajdź średnią prędkość punktu. Podaj odpowiedź w metrach na sekundę.

Funkcja y = f (x) jest zdefiniowana na przedziale [-4; 4]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y = f (x), której styczna tworzy kąt 45° z dodatnim kierunkiem osi Wół.

Funkcja y = f (x) jest zdefiniowana na przedziale [-2; 4]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź odciętą punktu na wykresie funkcji y = f (x), w którym przyjmuje ona najmniejszą wartość na odcinku [-2; -0,001].

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie x0. Tangens jest określony równaniem y = -2x + 15. Znajdź wartość pochodnej funkcji y = -(1/4)f(x) + 5 w punkcie x0.

Na wykresie funkcji różniczkowalnej y = f (x) zaznaczono siedem punktów: x1,.., x7. Znajdź wszystkie zaznaczone punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest większa od zera. W swojej odpowiedzi podaj liczbę tych punktów.

Rysunek przedstawia wykres y = f"(x) pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-10; 2). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f (x) jest równoległe do prostej y = -2x-11 lub pokrywa się z nią.

Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x). Na osi odciętych zaznaczono dziewięć punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Ile z tych punktów należy do przedziałów malejącej funkcji f(x)?

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie x0. Tangens jest określony równaniem y = 1,5x + 3,5. Znajdź wartość pochodnej funkcji y = 2f(x) - 1 w punkcie x0.

Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jednej z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Na wykresie zaznaczono sześć punktów za pomocą odciętych x1, x2, ..., x6. W ilu z tych punktów funkcja y=f(x) przyjmuje wartości ujemne?

Na rysunku przedstawiono wykres samochodu poruszającego się po trasie. Oś odciętych pokazuje czas (w godzinach), a oś rzędnych pokazuje przebytą odległość (w kilometrach). Znajdź średnią prędkość samochodu na tej trasie. Podaj odpowiedź w km/h

Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, gdzie x to odległość od punktu odniesienia (w metrach), t to czas ruchu (w sekundach). Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t=6 s

Rysunek przedstawia wykres funkcji pierwotnej y = F(x) pewnej funkcji y = f(x), określonej na przedziale (-6; 7). Korzystając z rysunku, określ liczbę zer funkcji f(x) w tym przedziale.

Rysunek przedstawia wykres y = F(x) jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-7; 5). Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = 0 na przedziale [- 5; 2].

Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y=f(x). Na osi x zaznaczono dziewięć punktów: x1, x2,... x9. Znajdź wszystkie zaznaczone punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest ujemna. W swojej odpowiedzi podaj liczbę tych punktów.

Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=12t^3−3t^2+2t, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach liczony od początku ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t=6 s.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie x0. Równanie styczne pokazano na rysunku. znajdź wartość pochodnej funkcji y=4*f(x)-3 w punkcie x0.

Naucz się dostrzegać błędy gramatyczne. Jeśli nauczysz się pewnie je rozpoznawać w zadaniu, nie stracisz punktów w eseju. (Kryterium 9 – „Przestrzeganie norm językowych.”) Dodatkowo zadanie, za które można uzyskać 5 punktów, wymaga szczególnej uwagi!

Zadanie 7 Ujednolicony egzamin państwowy z języka rosyjskiego

Formuła zadania: Ustal zgodność pomiędzy błędami gramatycznymi a zdaniami, w których je popełniono: dla każdej pozycji w pierwszej kolumnie wybierz odpowiednią pozycję z drugiej kolumny.

Błędy gramatyczne

oferuje

A) naruszenie konstrukcji zdania z frazą partycypacyjną B) błąd w konstrukcji zdania złożonego C) naruszenie konstrukcji wyroku przy niespójnym zastosowaniu D) zakłócenie związku między podmiotem a orzeczeniem D) naruszenie korelacji aspektowo-czasowej form czasownika

1) I.S. Turgieniew poddaje Bazarowa najtrudniejszej próbie - „próbie miłości” - i w ten sposób ujawnił prawdziwą istotę swojego bohatera. 2) Każdy, kto odwiedził Krym, po rozstaniu z nim zabrał ze sobą żywe wrażenia z morza, gór, południa trawy i kwiaty. 3) Praca „Opowieść o prawdziwym mężczyźnie” oparta jest na prawdziwych wydarzeniach, które przydarzyły się Aleksiejowi Maresjewowi. 4) S. Mikhalkov argumentował, że świat kupca Zamoskvorechye można oglądać na scenie Teatru Małego dzięki doskonałej grze aktorów. 5) W 1885 r. V.D. Polenov wystawił na wystawie objazdowej dziewięćdziesiąt siedem szkiców przywiezionych z podróży na Wschód. 6) Teorię elokwencji dla wszystkich typów kompozycji poetyckich napisał A.I. Galich, który wykładał literaturę rosyjską i łacińską w Liceum Carskie Sioło. 7) W krajobrazie I. Maszkowa „Widok Moskwy” odczuwa się dźwięczne piękno ulicy miejskiej. 8) Szczęśliwi są ci, którzy po długiej, zimnej i błotnistej drodze widzą znajomy dom i słyszą głosy bliskich. 9) Czytając literaturę klasyczną, zauważasz, jak inaczej „miasto Pietrow” jest przedstawiane w dziełach A.S. Puszkina, N.V. Gogol, FM Dostojewski.

Zapisz wybrane liczby w tabeli pod odpowiednimi literami.

Jak wykonać takie zadanie? Lepiej zacząć od lewej strony. Znajdź nazwane zjawisko składniowe (wyrażenie imiesłowowe, podmiot i orzeczenie itp.) w zdaniach po prawej stronie i sprawdź, czy nie ma błędu gramatycznego. Zacznij od tych, które łatwiej znaleźć i zidentyfikować.

Przyjrzyjmy się typowym błędom gramatycznym w kolejności, w jakiej należy je sprawdzić na egzaminie.

Niespójna aplikacja

Dodatek niespójny to tytuł książki, czasopisma, filmu, zdjęcia itp., ujęty w cudzysłów.

Zmiany w zdaniu według wielkości liter ogólny słowo, a niezgodne zastosowanie ma postać pierwotną i nie zmienia się: V powieść"Wojna i pokój"; zdjęcie Lewitan „Złota jesień” na stacji stacja metra „Twerska”.

Jeśli w zdaniu nie ma słowa rodzajowego, samo zastosowanie zmienia się zależnie od przypadku: bohaterowie „Wojny i pokoju”; Patrzę na „Złotą jesień” Lewitana, spotkajmy się w Twerskiej.

Błąd gramatyczny : w powieści „Wojna i pokój”; na obrazie „Złota jesień” na stacji metra Tverskoy.

W zadaniu taki błąd wystąpił w zdaniu 3.

Mowa bezpośrednia i pośrednia.

Zdanie z mową pośrednią jest zdaniem złożonym. Porównywać:

Konduktor powiedział: „Przyniosę ci herbatę” - Konduktor powiedział, że przyniesie nam herbatę. Błąd gramatyczny: Konduktor powiedział, że przyniosę ci herbatę.(Zaimek osobowy musi się zmienić.)

Pasażer zapytał: „Czy mogę otworzyć okno?” - Pasażer zapytał, czy może otworzyć okno. Błąd gramatyczny : Pasażer zapytał, czy może otworzyć okno.(Zdanie zawiera LI jako spójnik; spójnik TO nie jest dozwolony w zdaniu.)

Imiesłowowy

Znajdujemy zdania z frazą imiesłowową i sprawdzamy, czy nie ma błędów w jej konstrukcji.

1. Zdefiniowane (główne) słowo nie może mieścić się w obrębie frazy partycypacyjnej, może występować przed nią lub po niej. Błąd gramatyczny: ci, którzy przyszli widzowie na spotkanie z reżyserem. Prawidłowy: widzów, którzy przyszli na spotkanie z reżyserem Lub widzów, którzy przyszli na spotkanie z reżyserem.

2. Imiesłów musi zgadzać się pod względem rodzaju, liczby i wielkości liter ze słowem głównym, które określa znaczenie i pytanie: mieszkańcy góry (które?), straszone huraganem Lub mieszkańcy góry(które?), porośnięte świerkami. Błąd gramatyczny: mieszkańcy gór przestraszeni huraganem Lub mieszkańcy gór, porośniętych świerkami.

Notatka: jedno z wydarzeń, które miało miejsce latem ubiegłego roku(uzgadniamy imiesłów ze słowem JEDEN - mówimy o jednym zdarzeniu). Pamiętam szereg wydarzeń, które miały miejsce latem ubiegłego roku (zadajemy pytanie z WYDARZENIA „które?”).

3. Imiesłów ma czas teraźniejszy ( uczeń zapamiętujący regułę), czas przeszły ( uczeń, który zapamiętał tę zasadę), ale nie ma czasu przyszłego ( uczeń zapamiętujący regułę- błąd gramatyczny).

W zadaniu taki błąd wystąpił w zdaniu 5.

Obrót partycypacyjny

Pamiętać Imiesłów określa czynność dodatkową, a czasownik predykat czynność główną. Czasownik gerund i orzeczenie muszą odnosić się do tego samego znaku!

Znajdujemy podmiot w zdaniu i sprawdzamy, czy wykonuje on czynność zwaną gerundem. Idąc na pierwszą piłkę, Natasha Rostova miała naturalne podekscytowanie. Rozumujemy: pojawiło się podekscytowanie - Natasza Rostowa poszła- różne postacie. Prawidłowa opcja: Idąc na pierwszą piłkę, Natasha Rostova doświadczyła naturalnego podniecenia.

W określonym zdaniu osobistym łatwo jest przywrócić podmiot: JA, MY, TY, TY: Składając ofertę, rozważ ją(Ty) gramatyczne znaczenie tego słowa. Rozumujemy: bierzesz pod uwagę I wymyślasz- nie ma błędu.

Czasownik predykatowy można wyrazić bezokolicznik: Tworząc zdanie, należy wziąć pod uwagę gramatyczne znaczenie słowa.

Rozumujemy: Po przeczytaniu zdania wydaje mi się, że nie ma w nim błędu. ME nie może być podmiotem, ponieważ nie występuje w formie początkowej. To zdanie zawiera błąd gramatyczny.

Związek gramatyczny między podmiotem a orzeczeniem.

Błąd może być ukryty w zdaniach złożonych, zbudowanych według modelu „Ci, którzy…”, „KAŻDY, KTO…”, „WSZYSCY, KTO…”, „ŻAden Z TYCH, KTÓRZY…”, „WIELE Z TYCH, KTÓRZY…”, „ ONE OF CI, KTÓRZY..." Każde zdanie proste w zdaniu złożonym będzie miało swój podmiot, należy sprawdzić, czy są one zgodne z orzeczeniami. KTO, KAŻDY, NIKT, JEDEN, łączy się z orzeczeniami w liczbie pojedynczej; TE, WSZYSTKIE, WIELE są łączone z ich orzeczeniami w liczbie mnogiej.

Przeanalizujmy propozycję: Żadna z osób, które odwiedziły to miejsce latem, nie była zawiedziona. NIKT NIE BYŁ – błąd gramatyczny. KTO ODWIEDZIŁ – nie ma błędu. Ci, którzy nie przybyli na wernisaż, żałowali.żałowali – nie było żadnej pomyłki. KTO NIE PRZYSZEDŁ - błąd gramatyczny.

W zadaniu taki błąd wystąpił w zdaniu 2.

Naruszenie korelacji typu i czasu form czasownika.

Zwróć szczególną uwagę na czasowniki predykacyjne: nieprawidłowe użycie czasu czasownika prowadzi do zamieszania w sekwencji działań. Pracuję nieuważnie, z przerwami i przez to popełniam mnóstwo absurdalnych błędów. Naprawmy błąd: Pracuję nieuważnie, z przerwami, przez co popełniam mnóstwo absurdalnych błędów.(Oba czasowniki niedokonane są w czasie teraźniejszym.) Pracowałem nieuważnie, z przerwami i w efekcie popełniłem mnóstwo absurdalnych błędów.(Oba czasowniki są w czasie przeszłym, pierwszy czasownik - niedokonany - wskazuje proces, drugi - dokonany - wskazuje wynik.)

W zadaniu w zdaniu 1 pojawił się następujący błąd: Turgieniew demaskuje i ujawnia...

Jednorodni członkowie zdania

Błędy gramatyczne w zdaniach ze spójnikami I.

1. Unia I nie można połączyć jednego z członków zdania z całym zdaniem. Nie lubię chorować i kiedy dostanę złą ocenę. Moskwa to miasto które było miejscem narodzin Puszkina i szczegółowo przez niego opisane. Kiedy Oniegin wrócił do Petersburga a poznawszy Tatyanę, nie rozpoznał jej. Wysłuchałem wykładu na temat znaczenia sportu i dlaczego muszą to robić?. (Poprawmy błąd: Wysłuchano wykładu na temat znaczenia sportu i korzyści płynących z uprawiania sportu. Lub: Wysłuchaliśmy wykładu nt jakie znaczenie ma sport I dlaczego muszą to robić? .)
2. Unia I nie można łączyć członów jednorodnych wyrażonych pełną i krótką formą przymiotników i imiesłowów: On jest wysoki i szczupły. Jest mądra i piękna.
3. Unia I nie można połączyć bezokolicznika z rzeczownikiem: Uwielbiam prać, gotować i czytać książki. (Prawidłowy: Lubię prać, gotować i czytać książki.)
4. Trudno rozpoznać błąd w składni takiej jak ta: Dekabryści kochali i podziwiali naród rosyjski. W zdaniu tym dodatek LUDZIE odnosi się do obu predykatów, ale gramatycznie łączy się tylko z jednym z nich: KOCHANY ( PRZEZ KOGO?) LUDZIE. Od czasownika LOVED zadajemy pytanie KTO? Pamiętaj, aby zadać pytanie od każdego czasownika predykacyjnego do jego dopełnienia. Oto typowe błędy: rodzice opiekują się i kochają dzieci; Rozumiem Cię i współczuję; studiował i stosował regułę; Kocham i jestem dumna z mojego syna. Skorygowanie takiego błędu wymaga wprowadzenia różnych dodatków, każdy będzie zgodny ze swoim czasownikiem predykatowym: Kocham mojego syna i jestem z niego dumna.

Używanie spójników złożonych.

1. Naucz się rozpoznawać w zdaniu następujące spójniki: „NIE TYLKO…, ALE TAKŻE”; „JAK…, TAK I.” W tych spójnikach nie można pominąć poszczególnych słów ani zastąpić ich innymi: Nie tylko my, ale i nasi goście byli zaskoczeni. Atmosferę epoki w komedii tworzą nie tylko aktorzy, ale także postacie spoza sceny. Praca trwa pełną parą zarówno w dzień, jak i w nocy.
2. Części podwójnej koniunkcji muszą znajdować się bezpośrednio przed każdym z jednorodnych członków . Nieprawidłowa kolejność słów prowadzi do błędu gramatycznego: Zbadaliśmy nie tylko część starożytna miast, ale odwiedził także nowe obszary.(Prawidłowa kolejność: Nie tylko rozglądaliśmy się..., ale także zwiedzaliśmy...)W eseju, którego potrzebujesz co z głównymi bohaterami, powiedz mi to o cechach artystycznych. (Prawidłowa kolejność: Esej musi powiedzieć co z głównymi bohaterami, i o cechach artystycznych. )

Uogólnianie słów za pomocą jednorodnych terminów

Słowo uogólniające i występujące po nim człony jednorodne występują w tym samym przypadku: Uprawiaj dwa sporty:(Jak?) narciarstwo i pływanie.(Błąd gramatyczny: Silni ludzie mają dwie cechy: życzliwość i pokorę.)

Przyimki z członami jednorodnymi

Przyimki przed członami jednorodnymi można pominąć tylko wtedy, gdy przyimki te są takie same: Odwiedził V Grecja, Hiszpania, Włochy, NA Cypr. Błąd gramatyczny: Odwiedził V Grecja, Hiszpania, Włochy, Cypr.

Złożone zdanie

Błędy związane z nieprawidłowym użyciem spójników, słów pokrewnych i słów wskazujących są bardzo częste. Błędów może być wiele, spójrzmy na niektóre z nich.

Dodatkowy spójnik: Dręczyło mnie pytanie, czy mam o wszystkim powiedzieć ojcu. Nie zdawałem sobie sprawy, jak daleko byłem od prawdy.

Mieszanie spójników koordynujących i podrzędnych : Kiedy Murka znudziła się zabawą z kociętami, poszła gdzieś spać.

Dodatkowa cząstka BYłaby: Potrzebuję go, żeby przyszedł się ze mną spotkać.

Brakujące słowo indeksowe: Twój błąd polega na tym, że za bardzo się śpieszysz.(Brakowało w tomie)

Łącznik WHICH jest odrywany od definiowanego słowa: Ciepły deszcz zwilżył glebę, której rośliny tak potrzebowały.(Prawidłowy: Ciepły deszcz w którym potrzebne rośliny, zwilżyć glebę.)

W zadaniu taki błąd popełniono w zdaniu 9.

Błędne użycie formy rzeczownika z przyimkiem

1. Przyimki DZIĘKUJĘ, WEDŁUG, PRZECIWNIE, KONTRAST, W KONTRASCIE, PRAWDOPODOBNIE + rzeczownik w PRZYPADKU CELNIKA: dzięki umiejętnościomYu , zgodnie z harmonogramemYu , wbrew zasadomjestem .

• Przyimek ON może oznaczać „PO”. W tym przypadku rzeczownik występuje w przypadku przyimkowym i ma końcówkę I: po ukończeniu studiów (po ukończeniu studiów), po przybyciu do miasta (po przyjeździe), po upływie terminu (po upływie terminu).

Pamiętać: po przyjeździe I, po zakończeniu I, po zakończeniu I, po wygaśnięciu I, po przyjeździe mi, po przyjeździe mi.

• Funkcje zarządzania pamiętamy w następujących zwrotach:

Udowodnij (co?) rację

Podziwiaj (co?) cierpliwość

Podaj przykład (czego?) błędu

Podsumuj (co?) pracę

Przyznać się (co?) do przestępstwa

Panienko, bądź smutna (dla kogo?) dla Ciebie

Zwracaj uwagę na (jakie?) małe rzeczy

Wskaż (jakie?) niedociągnięcia

Winić (co?) za chciwość

Przypomnijmy pary:

Martw się o swojego syna - martw się o swojego syna

Uwierz w zwycięstwo - zaufaj zwycięstwu

Pytanie o budownictwo - problemy z budową

Zarabiaj na wynajmie – otrzymuj dochód z wynajmu

Nieznajomość problemu – nieznajomość problemu

Obrażać się nieufnością - obrażać się nieufnością

Zwróć uwagę na zdrowie - zwracaj uwagę na zdrowie

Zaabsorbowanie biznesem - martw się o biznes

Zapłać za podróż - zapłać za podróż

Odpowiedź na esej - recenzja eseju

Opłata za usługę – opłata za usługę

Przewaga nad nim - przewaga nad nim

Ostrzegaj o niebezpieczeństwie - ostrzegaj o niebezpieczeństwie

Odróżniaj przyjaciół od wrogów - odróżniaj przyjaciół od wrogów

Zaskoczony cierpliwością - zaskoczony cierpliwością

Charakterystyczne dla niego - nieodłączne od niego

W 2019 roku nie ma zmian w Unified State Exam z matematyki na poziomie profilowym – program egzaminu, podobnie jak w latach ubiegłych, obejmuje materiały z głównych dyscyplin matematycznych. Bilety będą zawierały zadania matematyczne, geometryczne i algebraiczne.

Nie ma zmian w egzaminie KIM Unified State Exam 2019 z matematyki na poziomie profilu.

Cechy zadań jednolitego egzaminu państwowego z matematyki 2019

• Przygotowując się do Unified State Exam z matematyki (profil), zwróć uwagę na podstawowe wymagania programu egzaminacyjnego. Przeznaczony jest do sprawdzenia wiedzy z programu pogłębionego: modele wektorowe i matematyczne, funkcje i logarytmy, równania algebraiczne i nierówności.
• Osobno przećwicz rozwiązywanie problemów w .
• Ważne jest, aby wykazać się innowacyjnym myśleniem.

Struktura egzaminu

Zadania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki specjalistycznej podzielony na dwa bloki.

1. Część - krótkie odpowiedzi, zawiera 8 zadań sprawdzających podstawowe przygotowanie matematyczne i umiejętność stosowania wiedzy matematycznej w życiu codziennym.
2. Część - krótki i szczegółowe odpowiedzi. Składa się z 11 zadań, z czego 4 wymagają krótkiej odpowiedzi, a 7 szczegółowej z argumentacją podjętych działań.

• Zaawansowany poziom trudności- zadania 9-17 drugiej części KIM.
• Wysoki poziom trudności- zadania 18-19 –. Ta część zadań egzaminacyjnych sprawdza nie tylko poziom wiedzy matematycznej, ale także obecność lub brak twórczego podejścia do rozwiązywania suchych zadań „numerycznych”, a także skuteczność umiejętności wykorzystania wiedzy i umiejętności jako profesjonalnego narzędzia .

Ważny! Dlatego przygotowując się do egzaminu Unified State Exam, zawsze wspieraj swoją teorię z matematyki, rozwiązując problemy praktyczne.

Jak będą rozdzielane punkty?

Zadania w pierwszej części KIM z matematyki zbliżone są do testów Unified State Exam na poziomie podstawowym, dlatego nie sposób uzyskać z nich wysokiego wyniku.

Punkty za każde zadanie z matematyki na poziomie profilu zostały rozdzielone w następujący sposób:

• za prawidłowe rozwiązanie zadań nr 1-12 - 1 pkt;
• nr 13-15 – po 2 sztuki;
• nr 16-17 – po 3 sztuki;
• nr 18-19 – po 4 szt.

Czas trwania egzaminu i zasady postępowania podczas Unified State Exam

Aby uzupełnić arkusz egzaminacyjny -2019 uczeń jest przydzielony 3 godziny 55 minut(235 minut).

W tym czasie uczeń nie powinien:

• zachowuj się głośno;
• korzystać z gadżetów i innych środków technicznych;
• odpisać;
• spróbuj pomóc innym lub poproś o pomoc dla siebie.

Za takie czyny zdający może zostać wydalony z zajęć.

Do egzaminu państwowego z matematyki pozwolono przynieść Zabierz ze sobą tylko linijkę, resztę materiałów otrzymasz bezpośrednio przed egzaminem Unified State Exam. wydawane są na miejscu.

Skuteczne przygotowanie to rozwiązanie sprawdzianów online z matematyki 2019. Wybierz i zdobądź maksymalną liczbę punktów!

Wykształcenie średnie ogólnokształcące

Linia UMK G. K. Muravin. Algebra i zasady analizy matematycznej (10-11) (pogłębione)

Linia UMK Merzlyak. Algebra i początki analizy (10-11) (U)

Matematyka

Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki (poziom profilu): zadania, rozwiązania i wyjaśnienia

Analizujemy zadania i rozwiązujemy przykłady z nauczycielem

Egzamin na poziomie profilu trwa 3 godziny 55 minut (235 minut).

Próg minimalny- 27 punktów.

Praca egzaminacyjna składa się z dwóch części różniących się treścią, złożonością i liczbą zadań.

Cechą charakterystyczną każdej części pracy jest forma zadań:

• część 1 zawiera 8 zadań (zadania 1-8) z krótką odpowiedzią w postaci liczby całkowitej lub końcowego ułamka dziesiętnego;
• część 2 zawiera 4 zadania (zadania 9-12) z krótką odpowiedzią w postaci liczby całkowitej lub końcowego ułamka dziesiętnego oraz 7 zadań (zadania 13-19) ze szczegółową odpowiedzią (pełny zapis rozwiązania z uzasadnieniem podjęte działania).

Panowa Swietłana Anatolewna, nauczyciel matematyki najwyższej kategorii szkoły, staż pracy 20 lat:

„Aby otrzymać świadectwo ukończenia szkoły, absolwent musi zdać dwa obowiązkowe egzaminy w formie Unified State Examination, z których jeden jest z matematyki. Zgodnie z Koncepcją Rozwoju Edukacji Matematycznej w Federacji Rosyjskiej jednolity egzamin państwowy z matematyki dzieli się na dwa poziomy: podstawowy i specjalistyczny. Dzisiaj przyjrzymy się opcjom na poziomie profilu.”

Zadanie nr 1- sprawdza umiejętność wykorzystania przez uczestników Unified State Exam umiejętności nabytych w klasach V–IX z matematyki elementarnej w działaniach praktycznych. Uczestnik musi posiadać umiejętności obliczeniowe, umieć pracować z liczbami wymiernymi, umieć zaokrąglać ułamki dziesiętne i potrafić zamieniać jedną jednostkę miary na drugą.

Przykład 1. W mieszkaniu, w którym mieszka Piotr, zamontowano przepływomierz (licznik) zimnej wody. 1 maja licznik pokazał zużycie 172 metrów sześciennych. m wody, a pierwszego czerwca - 177 metrów sześciennych. m. Jaką kwotę Piotr powinien zapłacić za zimną wodę w maju, jeśli cena wynosi 1 metr sześcienny? m zimnej wody to 34 ruble 17 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach.

Rozwiązanie:

1) Znajdź ilość wody zużywanej miesięcznie:

177 - 172 = 5 (m sześcienny)

2) Dowiedzmy się, ile zapłacą za marnowaną wodę:

34,17 5 = 170,85 (pocierać)

Odpowiedź: 170,85.

Zadanie nr 2- to jedno z najprostszych zadań egzaminacyjnych. Większość absolwentów radzi sobie z tym pomyślnie, co świadczy o znajomości definicji pojęcia funkcji. Rodzaj zadania nr 2 zgodnie z kodyfikatorem wymagań jest zadaniem dotyczącym wykorzystania zdobytej wiedzy i umiejętności w działaniach praktycznych i życiu codziennym. Zadanie nr 2 polega na opisaniu, wykorzystaniu funkcji, różnych rzeczywistych zależności pomiędzy wielkościami oraz zinterpretowaniu ich wykresów. Zadanie nr 2 sprawdza umiejętność wydobywania informacji zawartych w tabelach, diagramach i wykresach. Absolwent musi umieć wyznaczyć wartość funkcji z wartości argumentu na różne sposoby określenia funkcji oraz opisać zachowanie i właściwości funkcji na podstawie jej wykresu. Trzeba także umieć znaleźć największą lub najmniejszą wartość z wykresu funkcji i zbudować wykresy badanych funkcji. Popełnione błędy są losowe przy czytaniu uwarunkowań problemu, czytaniu diagramu.

#REKLAMA_WSTAW#

Przykład 2. Na rysunku przedstawiono zmianę wartości wymiany jednej akcji spółki górniczej w pierwszej połowie kwietnia 2017 roku. 7 kwietnia biznesmen nabył 1000 akcji tej spółki. 10 kwietnia sprzedał trzy czwarte zakupionych akcji, a 13 kwietnia wszystkie pozostałe akcje. Ile biznesmen stracił w wyniku tych operacji?

Rozwiązanie:

2) 1000 · 3/4 = 750 (akcji) - stanowią 3/4 wszystkich zakupionych akcji.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - przedsiębiorca otrzymał po sprzedaży 1000 akcji.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (rub) - przedsiębiorca stracił w wyniku wszystkich operacji.

Odpowiedź: 15000.

Zadanie nr 3- jest zadaniem podstawowym z części pierwszej, sprawdzającym umiejętność wykonywania działań na figurach geometrycznych zgodnie z treścią kursu Planimetria. Zadanie 3 sprawdza umiejętność obliczania pola figury na papierze w kratkę, umiejętność obliczania miar stopni kątów, obliczania obwodów itp.

Przykład 3. Znajdź obszar prostokąta narysowanego na papierze w kratkę o wymiarach komórek 1 cm na 1 cm (patrz rysunek). Podaj odpowiedź w centymetrach kwadratowych.

Rozwiązanie: Aby obliczyć pole danej figury, możesz skorzystać ze wzoru Szczyt:

Aby obliczyć pole danego prostokąta, korzystamy ze wzoru Peaka:

S= B +	G
	2

gdzie zatem B = 10, G = 6

S = 18 +	6
	2

Odpowiedź: 20.

Przeczytaj także: Ujednolicony egzamin państwowy z fizyki: rozwiązywanie problemów dotyczących oscylacji

Zadanie nr 4- cel zajęć „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka”. Sprawdzana jest umiejętność obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia w najprostszej sytuacji.

Przykład 4. Na okręgu zaznaczono 5 czerwonych i 1 niebieską kropkę. Określ, które wielokąty są większe: te, których wszystkie wierzchołki są czerwone, czy te, których jeden z wierzchołków jest niebieski. W swojej odpowiedzi wskaż, o ile niektórych jest więcej niż innych.

Rozwiązanie: 1) Skorzystajmy ze wzoru na liczbę kombinacji N elementy wg k:

którego wszystkie wierzchołki są czerwone.

3) Jeden pięciokąt ze wszystkimi wierzchołkami w kolorze czerwonym.

4) 10 + 5 + 1 = 16 wielokątów ze wszystkimi czerwonymi wierzchołkami.

które mają czerwone szczyty lub z jednym niebieskim topem.

które mają czerwone szczyty lub z jednym niebieskim topem.

8) Jeden sześciokąt z czerwonymi wierzchołkami i jednym niebieskim wierzchołkiem.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 wielokąty ze wszystkimi czerwonymi wierzchołkami lub jednym niebieskim wierzchołkiem.

10) 42 – 16 = 26 wielokątów za pomocą niebieskiej kropki.

11) 26 – 16 = 10 wielokątów – o ile więcej jest wielokątów, w których jeden z wierzchołków jest niebieską kropką, niż wielokątów, w których wszystkie wierzchołki są tylko czerwone.

Odpowiedź: 10.

Zadanie nr 5- poziom podstawowy części pierwszej sprawdza umiejętność rozwiązywania prostych równań (wymiernych, wykładniczych, trygonometrycznych, logarytmicznych).

Przykład 5. Rozwiąż równanie 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Rozwiązanie. Podziel obie strony tego równania przez 5 3 + X≠ 0, otrzymujemy

2 3 + X	= 0,4 lub		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

skąd wynika, że ​​3 + X = 1, X = –2.

Odpowiedź: –2.

Zadanie nr 6 w planimetrii do znajdowania wielkości geometrycznych (długości, kątów, pól), modelując rzeczywiste sytuacje w języku geometrii. Badanie skonstruowanych modeli z wykorzystaniem pojęć i twierdzeń geometrycznych. Źródłem trudności jest z reguły nieznajomość lub nieprawidłowe zastosowanie niezbędnych twierdzeń planimetrii.

Pole trójkąta ABC równa się 129. DE– linia środkowa równoległa do boku AB. Znajdź obszar trapezu ŁÓŻKO.

Rozwiązanie. Trójkąt CDE podobny do trójkąta TAKSÓWKA pod dwoma kątami, od kąta przy wierzchołku C ogólnie, kąt СDE równy kątowi TAKSÓWKA jako odpowiednie kąty w DE || AB sieczna AC. Ponieważ DE jest środkową linią trójkąta według warunku, a następnie według właściwości środkowej linii | DE = (1/2)AB. Oznacza to, że współczynnik podobieństwa wynosi 0,5. Dlatego pola figur podobnych są powiązane jako kwadrat współczynnika podobieństwa

Stąd, SABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Zadanie nr 7- sprawdza zastosowanie pochodnej do badania funkcji. Pomyślne wdrożenie wymaga znaczącej, nieformalnej wiedzy na temat pojęcia instrumentu pochodnego.

Przykład 7. Do wykresu funkcji y = F(X) w punkcie odciętej X 0 rysowana jest styczna prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty (4; 3) i (3; –1) tego wykresu. Znajdować F′( X 0).

Rozwiązanie. 1) Skorzystajmy z równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty i znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty (4; 3) i (3; –1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-1)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, gdzie k 1 = 4.

2) Znajdź nachylenie stycznej k 2, która jest prostopadła do linii y = 4X– 13, gdzie k 1 = 4, zgodnie ze wzorem:

3) Kąt styczny jest pochodną funkcji w punkcie styczności. Oznacza, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Odpowiedź: –0,25.

Zadanie nr 8- sprawdza wiedzę uczestników egzaminu z elementarnej stereometrii, umiejętność stosowania wzorów na wyznaczanie pól powierzchni i objętości figur, kątów dwuściennych, porównywanie objętości figur podobnych, umiejętność wykonywania działań na figurach geometrycznych, współrzędnych i wektorach itp.

Objętość sześcianu opisanego na kuli wynosi 216. Znajdź promień kuli.

Rozwiązanie. 1) V sześcian = A 3 (gdzie A– długość krawędzi sześcianu), zatem

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Ponieważ kula jest wpisana w sześcian, oznacza to, że długość średnicy kuli jest równa długości krawędzi sześcianu, zatem D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Zadanie nr 9- wymaga od absolwenta umiejętności przekształcania i upraszczania wyrażeń algebraicznych. Zadanie nr 9 o podwyższonym stopniu trudności z krótką odpowiedzią. Zadania z sekcji „Obliczenia i przekształcenia” w egzaminie Unified State Exam dzielą się na kilka typów:

transformacja numerycznych wyrażeń wymiernych;

konwertowanie wyrażeń algebraicznych i ułamków;

konwersja wyrażeń irracjonalnych liczbowo/literowych;

działania ze stopniami;

konwertowanie wyrażeń logarytmicznych;

1. konwertowanie liczbowych/literowych wyrażeń trygonometrycznych.

Przykład 9. Oblicz tanα, jeśli wiadomo, że cos2α = 0,6 i

3π	< α < π.
4

Rozwiązanie. 1) Skorzystajmy ze wzoru na podwójny argument: cos2α = 2 cos 2 α – 1 i znajdź

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Oznacza to tan 2 α = ± 0,5.

3) Według warunku

3π	< α < π,
4

oznacza to, że α jest kątem drugiej ćwiartki i tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Odpowiedź: –0,5.

#REKLAMA_WSTAW# Zadanie nr 10- sprawdza umiejętność wykorzystania przez uczniów zdobytej wcześniej wiedzy i umiejętności w działaniach praktycznych i życiu codziennym. Można powiedzieć, że są to problemy z fizyki, a nie z matematyki, ale wszystkie niezbędne wzory i wielkości są podane w warunku. Problemy sprowadzają się do rozwiązania równania liniowego lub kwadratowego albo nierówności liniowej lub kwadratowej. Dlatego konieczna jest umiejętność rozwiązywania takich równań i nierówności oraz ustalania odpowiedzi. Odpowiedź należy podać w postaci liczby całkowitej lub skończonego ułamka dziesiętnego.

Dwa ciała o masie M= 2 kg każdy, poruszając się z tą samą prędkością w= 10 m/s pod kątem 2α względem siebie. Energię (w dżulach) uwolnioną podczas ich absolutnie niesprężystego zderzenia określa wyrażenie Q = mw 2 grzech 2 a. Pod jakim najmniejszym kątem 2α (w stopniach) muszą poruszać się ciała, aby w wyniku zderzenia wyzwoliło się co najmniej 50 dżuli?
Rozwiązanie. Aby rozwiązać problem, musimy rozwiązać nierówność Q ≥ 50 na przedziale 2α ∈ (0°; 180°).

mw 2 grzech 2 α ≥ 50

2 10 2 grzech 2 α ≥ 50

200 grzech 2 α ≥ 50

Ponieważ α ∈ (0°; 90°) będziemy jedynie rozwiązywać

Przedstawmy rozwiązanie nierówności graficznie:

Ponieważ pod warunkiem α ∈ (0°; 90°) oznacza to 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Zadanie nr 11- jest typowe, ale okazuje się trudne dla uczniów. Głównym źródłem trudności jest konstrukcja modelu matematycznego (ułożenie równania). Zadanie nr 11 sprawdza umiejętność rozwiązywania zadań tekstowych.

Przykład 11. Podczas ferii wiosennych uczennica 11. klasy Wasia musiała rozwiązać 560 zadań ćwiczeniowych, aby przygotować się do jednolitego egzaminu państwowego. 18 marca, ostatniego dnia szkoły, Wasia rozwiązała 5 zadań. Następnie każdego dnia rozwiązywał tę samą liczbę problemów więcej niż poprzedniego dnia. Określ, ile problemów Vasya rozwiązała 2 kwietnia, ostatniego dnia wakacji.

Rozwiązanie: Oznaczmy A 1 = 5 – liczba problemów, które Wasia rozwiązała 18 marca, D– dzienna liczba zadań rozwiązanych przez Wasię, N= 16 – liczba dni od 18 marca do 2 kwietnia włącznie, S 16 = 560 – łączna liczba zadań, A 16 – liczba problemów, które Wasya rozwiązała 2 kwietnia. Wiedząc, że Wasia każdego dnia rozwiązywała tę samą liczbę zadań więcej niż poprzedniego dnia, możemy skorzystać ze wzorów na znalezienie sumy ciągu arytmetycznego:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Odpowiedź: 65.

Zadanie nr 12- sprawdzają umiejętność wykonywania działań na funkcjach oraz umiejętność zastosowania pochodnej do badania funkcji.

Znajdź maksymalny punkt funkcji y= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Rozwiązanie: 1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji: X + 9 > 0, X> –9, czyli x ∈ (–9; ∞).

2) Znajdź pochodną funkcji:

4) Znaleziony punkt należy do przedziału (–9; ∞). Określmy znaki pochodnej funkcji i zobrazujmy zachowanie funkcji na rysunku:

Żądany punkt maksymalny X = –8.

Pobierz bezpłatnie program roboczy z matematyki dla linii materiałów dydaktycznych G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Pobierz bezpłatne pomoce dydaktyczne do algebry

Zadanie nr 13-podwyższony poziom złożoności ze szczegółową odpowiedzią, testowanie umiejętności rozwiązywania równań, najskuteczniej rozwiązywanych spośród zadań ze szczegółową odpowiedzią o podwyższonym poziomie złożoności.

a) Rozwiąż równanie 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania należące do odcinka.

Rozwiązanie: a) Niech log 3 (2cos X) = T, następnie 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

	log 3(2cos X) =	2	⇔		2co X = 9	⇔		sałata X =	4,5	⇔ ponieważ |bo X| ≤ 1,
	log 3(2cos X) =	1			2co X = √3			sałata X =	√3
		2							2

wtedy, bo X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Znajdź korzenie leżące na odcinku .

Rysunek pokazuje, że pierwiastki danego odcinka należą do

11π	I	13π	.
6		6

Odpowiedź: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Zadanie nr 14-poziom zaawansowany dotyczy zadań z części drugiej ze szczegółową odpowiedzią. Zadanie sprawdza umiejętność wykonywania czynności na kształtach geometrycznych. Zadanie zawiera dwa punkty. W pierwszym punkcie zadanie należy udowodnić, a w drugim – obliczyć.

Średnica okręgu podstawy walca wynosi 20, tworząca walca wynosi 28. Płaszczyzna przecina jego podstawę wzdłuż cięciw o długości 12 i 16. Odległość między cięciwami wynosi 2√197.

a) Udowodnij, że środki podstaw walca leżą po jednej stronie tej płaszczyzny.

b) Znajdź kąt pomiędzy tą płaszczyzną a płaszczyzną podstawy walca.

Rozwiązanie: a) Cięciwa o długości 12 znajduje się w odległości = 8 od środka okręgu podstawy, a cięciwa o długości 16 podobnie w odległości 6. Zatem odległość między ich rzutami na płaszczyznę równoległą do podstawy cylindrów wynoszą 8 + 6 = 14 lub 8 - 6 = 2.

Wtedy odległość między akordami wynosi albo

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Zgodnie z warunkiem zrealizowano drugi przypadek, w którym rzuty cięciw leżą po jednej stronie osi cylindra. Oznacza to, że oś nie przecina tej płaszczyzny w obrębie walca, czyli podstawy leżą po jednej jego stronie. Co należało udowodnić.

b) Oznaczmy środki zasad jako O 1 i O 2. Wyciągnijmy ze środka podstawy cięciwą o długości 12 dwusieczną prostopadłą do tego cięciwy (ma ona długość 8, jak już wspomniano) i ze środka drugiej podstawy do drugiego cięciwy. Leżą w tej samej płaszczyźnie β, prostopadłej do tych cięciw. Nazwijmy środek mniejszego cięciwy B, większego A i rzut A na drugą podstawę - H (H ∈ β). Wtedy AB,AH ∈ β, a zatem AB,AH są prostopadłe do cięciwy, czyli prostej przecięcia podstawy z daną płaszczyzną.

Oznacza to, że wymagany kąt jest równy

∠ABH = arctan	A.H.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Zadanie nr 15- podwyższony poziom złożoności ze szczegółową odpowiedzią, sprawdza umiejętność rozwiązywania nierówności, co najskuteczniej rozwiązuje się wśród zadań ze szczegółową odpowiedzią o podwyższonym stopniu złożoności.

Przykład 15. Rozwiąż nierówność | X 2 – 3X| log 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Rozwiązanie: Dziedziną definicji tej nierówności jest przedział (–1; +∞). Rozważmy osobno trzy przypadki:

1) Niech X 2 – 3X= 0, tj. X= 0 lub X= 3. W tym przypadku ta nierówność staje się prawdziwa, dlatego wartości te są uwzględniane w rozwiązaniu.

2) Niech teraz X 2 – 3X> 0, tj. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Co więcej, nierówność tę można zapisać jako ( X 2 – 3X) log 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 i podziel przez wyrażenie dodatnie X 2 – 3X. Otrzymujemy log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 lub X≤ –0,5. Biorąc pod uwagę dziedzinę definicji, mamy X ∈ (–1; –0,5].

3) Na koniec zastanów się X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). W tym przypadku pierwotna nierówność zostanie przepisana do postaci (3 X – X 2) log 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Po podzieleniu przez dodatnie 3 X – X 2, otrzymujemy log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Biorąc pod uwagę region mamy X ∈ (0; 1].

Łącząc otrzymane rozwiązania, otrzymujemy X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Odpowiedź: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Zadanie nr 16- poziom zaawansowany dotyczy zadań z części drugiej ze szczegółową odpowiedzią. Zadanie sprawdza umiejętność wykonywania działań na kształtach geometrycznych, współrzędnych i wektorach. Zadanie zawiera dwa punkty. W pierwszym punkcie zadanie należy udowodnić, a w drugim – obliczyć.

W trójkącie równoramiennym ABC o kącie 120° dwusieczna BD jest narysowana w wierzchołku A. Prostokąt DEFH wpisano w trójkąt ABC tak, że bok FH leży na odcinku BC, a wierzchołek E na odcinku AB. a) Udowodnij, że FH = 2DH. b) Znajdź pole prostokąta DEFH, jeśli AB = 4.

Rozwiązanie: A)

1) ΔBEF – prostokąt, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, wówczas EF = BE z właściwości ramienia leżącego naprzeciw kąta 30°.

2) Niech EF = DH = X, wówczas BE = 2 X, BF = X√3 zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa.

3) Ponieważ ΔABC jest równoramienne, oznacza to, że ∠B = ∠C = 30˚.

BD jest dwusieczną ∠B, co oznacza ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Rozważ ΔDBH – prostokątny, ponieważ DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Odpowiedź: 24 – 12√3.

Zadanie nr 17- zadanie ze szczegółową odpowiedzią, zadanie sprawdzające zastosowanie wiedzy i umiejętności w działaniach praktycznych i życiu codziennym, umiejętność budowania i eksplorowania modeli matematycznych. To zadanie jest zadaniem tekstowym o treści ekonomicznej.

Przykład 17. Otwarcie depozytu w wysokości 20 milionów rubli planowane jest na cztery lata. Na koniec każdego roku bank zwiększa depozyt o 10% w stosunku do wielkości z początku roku. Dodatkowo na początku trzeciego i czwartego roku inwestor corocznie uzupełnia depozyt o godz X milion rubli, gdzie X - cały numer. Znajdź największą wartość X, w którym bank w ciągu czterech lat doliczy do depozytu niecałe 17 milionów rubli.

Rozwiązanie: Na koniec pierwszego roku składka wyniesie 20 + 20 · 0,1 = 22 mln rubli, a na koniec drugiego - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 mln rubli. Na początku trzeciego roku wkład (w milionach rubli) wyniesie (24,2 + X), a na koniec - (24,2+ X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Na początku czwartego roku składka wyniesie (26,62 + 2,1 X), a na koniec - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Pod warunkiem musisz znaleźć największą liczbę całkowitą x, dla której zachodzi nierówność

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Największą liczbą całkowitą rozwiązania tej nierówności jest liczba 24.

Odpowiedź: 24.

Zadanie nr 18- zadanie o podwyższonym stopniu złożoności ze szczegółową odpowiedzią. Zadanie to przeznaczone jest do konkurencyjnej selekcji na uczelnie o podwyższonych wymaganiach w zakresie matematycznego przygotowania kandydatów. Zadanie o wysokim stopniu złożoności to zadanie nie polegające na zastosowaniu jednej metody rozwiązania, ale na kombinacji różnych metod. Aby pomyślnie ukończyć zadanie 18, oprócz solidnej wiedzy matematycznej potrzebny jest także wysoki poziom kultury matematycznej.

O czym A system nierówności

	X 2 + y 2 ≤ 2tak – A 2 + 1
	y + A ≤ |X| – A

ma dokładnie dwa rozwiązania?

Rozwiązanie: System ten można przepisać w postaci

	X 2 + (y– A) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – A

Jeżeli narysujemy na płaszczyźnie zbiór rozwiązań pierwszej nierówności, otrzymamy wnętrze okręgu (z granicą) o promieniu 1, którego środek znajduje się w punkcie (0, A). Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to część płaszczyzny leżąca pod wykresem funkcji y = | X| – A, a ten ostatni jest wykresem funkcji
y = | X| , przesunięty w dół o A. Rozwiązaniem tego układu jest przecięcie zbiorów rozwiązań każdej z nierówności.

W konsekwencji układ ten będzie miał dwa rozwiązania tylko w przypadku pokazanym na rys. 1.

Punktami styku okręgu z liniami będą dwa rozwiązania układu. Każda z prostych jest nachylona do osi pod kątem 45°. Zatem jest to trójkąt PQR– prostokątne równoramienne. Kropka Q ma współrzędne (0, A) i o to chodzi R– współrzędne (0, – A). Poza tym segmenty PR I PQ równy promieniowi okręgu równemu 1. Oznacza to

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Odpowiedź: A =	√2	.
	2

Zadanie nr 19- zadanie o podwyższonym stopniu złożoności ze szczegółową odpowiedzią. Zadanie to przeznaczone jest do konkurencyjnej selekcji na uczelnie o podwyższonych wymaganiach w zakresie matematycznego przygotowania kandydatów. Zadanie o wysokim stopniu złożoności to zadanie nie polegające na zastosowaniu jednej metody rozwiązania, ale na kombinacji różnych metod. Aby pomyślnie ukończyć zadanie 19, należy umieć szukać rozwiązania, wybierać różne podejścia spośród znanych i modyfikować badane metody.

Pozwalać sen suma P wyrazy postępu arytmetycznego ( str). Wiadomo, że S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Podaj wzór P termin tej progresji.

b) Znajdź najmniejszą sumę bezwzględną S n.

c) Znajdź najmniejszy P, w którym S n będzie kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie: a) To oczywiste jakiś = S n – S n- 1 . Korzystając z tego wzoru, otrzymujemy:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Oznacza, jakiś = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Od S n = 2N 2 – 25N, a następnie rozważ funkcję S(X) = | 2X 2 – 25x|. Jej wykres widać na rysunku.

Oczywiście najmniejszą wartość osiąga się w punktach całkowitych położonych najbliżej zer funkcji. Oczywiście są to punkty X= 1, X= 12 i X= 13. Ponieważ S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, wówczas najmniejsza wartość wynosi 12.

c) Z poprzedniego akapitu wynika, że sen pozytywne, zaczynając od N= 13. Od S n = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), to oczywisty przypadek, gdy wyrażenie to jest idealnym kwadratem, jest realizowany, gdy N = 2N– 25, czyli o godz P= 25.

Pozostaje sprawdzić wartości od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Okazuje się, że dla mniejszych wartości P nie uzyskano pełnego kwadratu.

Odpowiedź: A) jakiś = 4N– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Od maja 2017 roku zjednoczona grupa wydawnicza „DROFA-VENTANA” jest częścią korporacji Russian Textbook. W skład korporacji wchodzi także wydawnictwo Astrel oraz cyfrowa platforma edukacyjna LECTA. Alexander Brychkin, absolwent Akademii Finansowej przy Rządzie Federacji Rosyjskiej, kandydat nauk ekonomicznych, kierownik innowacyjnych projektów wydawnictwa DROFA w zakresie edukacji cyfrowej (elektroniczne formy podręczników, Rosyjska Szkoła Elektroniczna, cyfrowa platforma edukacyjna LECTA) został mianowany Dyrektorem Generalnym. Przed dołączeniem do wydawnictwa DROFA pełnił funkcję wiceprezesa ds. rozwoju strategicznego i inwestycji holdingu wydawniczego EKSMO-AST. Dziś korporacja wydawnicza „Podręcznik rosyjski” ma największy portfel podręczników znajdujących się na Liście Federalnej - 485 tytułów (około 40%, z wyłączeniem podręczników dla szkół specjalnych). Wydawnictwa korporacji posiadają najpopularniejsze zestawy podręczników w rosyjskich szkołach z fizyki, rysunku, biologii, chemii, technologii, geografii, astronomii - dziedzin wiedzy niezbędnych do rozwoju potencjału produkcyjnego kraju. W portfolio korporacji znajdują się podręczniki i pomoce dydaktyczne dla szkół podstawowych, które zostały nagrodzone Nagrodą Prezydenta w dziedzinie edukacji. Są to podręczniki i podręczniki z dziedzin niezbędnych dla rozwoju potencjału naukowego, technicznego i produkcyjnego Rosji.