Wyodrębnij pierwiastek odpowiedniego stopnia z podanej liczby. Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej

Niemożliwe jest jednoznaczne wyodrębnienie pierwiastka liczby zespolonej, ponieważ ma ona liczbę wartości równą jej mocy.

Liczby zespolone podnoszone są do potęgi postaci trygonometrycznej, dla której obowiązuje wzór Moywarda:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Podobnie wzór ten służy do obliczania pierwiastka k-tego liczby zespolonej (nie równej zero):

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)

Jeśli liczba zespolona nie wynosi zero, wówczas pierwiastki stopnia k zawsze istnieją i można je przedstawić na płaszczyźnie zespolonej: będą wierzchołkami k-gotu wpisanego w okrąg o środku w początku początku i promieniu \(\r ^(\frac(1) (k))\)

Przykłady rozwiązywania problemów

Zadanie

Znajdź trzeci pierwiastek liczby \(\z=-1\).

Rozwiązanie.

Najpierw wyrażamy liczbę \(\z=-1\) w formie trygonometrycznej. Część rzeczywista liczby \(\ z=-1 \) to liczba \(\ z=-1 \), część urojona to \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= 0 \). Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej, musisz znaleźć jej moduł i argument.

Moduł liczby zespolonej \(\z\) to liczba:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

Argument oblicza się za pomocą wzoru:

\(\ \varphi=\arg z=\nazwa operatora(arctg) \frac(y)(x)=\nazwa operatora(arctg) \frac(0)(-1)=\nazwa operatora(arctg) 0=\pi \)

Zatem postać trygonometryczna liczby zespolonej to: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

Zatem trzeci pierwiastek wygląda następująco:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

Dla \(\n=1\) otrzymujemy:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

Dla \(\n=2\) otrzymujemy:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Odpowiedź

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Zadanie

Aby wyodrębnić drugi pierwiastek z liczby \(\z=1-\sqrt(3)i\)

Rozwiązanie.

Na początek wyrażamy liczbę zespoloną w formie trygonometrycznej.

Część rzeczywista liczby zespolonej \(\ z=1-\sqrt(3) i \) to liczba \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) , część urojona \(\ y=\ nazwaoperatora(Im) z =-\sqrt(3) \) . Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej, musisz znaleźć jej moduł i argument.

Moduł liczby zespolonej \(\r\) to liczba:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2\)

Argument:

\(\ \varphi=\arg z=\nazwa operatora(arctg) \frac(y)(x)=\nazwa operatora(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\nazwa operatora(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

Zatem postać trygonometryczna liczby zespolonej to:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)

Stosując wzór na wyodrębnienie pierwiastka II stopnia otrzymujemy:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ prawo)\prawo)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\right)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right), n=0,1 \)

Dla \(\ \mathrm(n)=0 \) otrzymujemy:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Dla \(\ \mathrm(n)=1 \) otrzymujemy:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Odpowiedź

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

liczby w postaci trygonometrycznej.

Wzór Moivre’a

Niech z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) i z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej jest wygodna w użyciu do wykonywania operacji mnożenia, dzielenia, podnoszenia do potęgi całkowitej i wyodrębniania pierwiastka stopnia n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Podczas mnożenia dwóch liczb zespolonych w formie trygonometrycznej ich moduły są mnożone i dodawane są argumenty. Podczas dzielenia ich moduły są dzielone, a argumenty odejmowane.

Następstwem reguły mnożenia liczby zespolonej jest zasada podnoszenia liczby zespolonej do potęgi.

z = r(cos  + ja grzech ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ten stosunek nazywa się Wzór Moivre’a.

Przykład 8.1 Znajdź iloczyn i iloraz liczb:

Rozwiązanie

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Przykład 8.2 Zapisz liczbę w postaci trygonometrycznej

∙
–i) 7 .

Rozwiązanie

Oznaczmy
i z 2 =
- I.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argument z 1 = arctan ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej

Definicja. ŹródłoNpotęga liczby zespolonej z (oznacz
) jest liczbą zespoloną w taką, że w n = z. Jeśli z = 0, to
= 0.

Niech z  0, z = r(cos + isin). Oznaczmy w = (cos + sin), następnie zapiszemy równanie w n = z w następującej postaci

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Stąd  n = r,

 =

Zatem wk =
·
.

Wśród tych wartości jest dokładnie n różnych.

Zatem k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Na płaszczyźnie zespolonej punkty te są wierzchołkami regularnego n-kąta wpisanego w okrąg o promieniu
ze środkiem w punkcie O (Rysunek 12).

Rysunek 12

Przykład 9.1 Znajdź wszystkie wartości
.

Rozwiązanie.

Przedstawmy tę liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument.

w k =
, gdzie k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Na płaszczyźnie zespolonej punkty te są wierzchołkami kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu
ze środkiem w początku układu współrzędnych (Rysunek 13).

Rysunek 13 Rysunek 14

Przykład 9.2 Znajdź wszystkie wartości
.

Rozwiązanie.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, gdzie k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Na płaszczyźnie zespolonej punkty te są wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 2, którego środek znajduje się w punkcie O (0; 0) - rysunek 14.

§ 10 Postać wykładnicza liczby zespolonej.

Wzór Eulera

Oznaczmy
= cos  + isin  i
= sałata  - isin  . Relacje te nazywane są Wzory Eulera .

Funkcjonować
ma zwykłe właściwości funkcji wykładniczej:

Niech liczba zespolona z będzie zapisana w postaci trygonometrycznej z = r(cos + isin).

Korzystając ze wzoru Eulera możemy napisać:

z = r
.

Ten wpis nazywa się forma wykładnicza Liczba zespolona. Za jego pomocą uzyskujemy zasady mnożenia, dzielenia, potęgowania i ekstrakcji pierwiastków.

Jeśli z 1 = r 1 ·
i z 2 = r 2 ·
?To

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

z n = r n ·

, gdzie k = 0, 1, … , n – 1.

Przykład 10.1 Zapisz liczbę w postaci algebraicznej

z =
.

Rozwiązanie.

Przykład 10.2 Rozwiąż równanie z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Rozwiązanie.

Dla dowolnych współczynników zespolonych równanie to ma dwa pierwiastki z 1 i z 1 (prawdopodobnie pokrywające się). Pierwiastki te można znaleźć za pomocą tego samego wzoru, co w rzeczywistym przypadku. Ponieważ
przyjmuje dwie wartości różniące się tylko znakiem, wówczas formuła wygląda następująco: