Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna mocy funkcja wykładnicza

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Do tych czytelników, którzy mają niski poziom przygotowania, warto zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? Tak, to wystarczy! ”, ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistości testy i często spotykane w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. Podczas badania rachunku różniczkowego i innych sekcji Analiza matematyczna– będziesz musiał bardzo często różnicować i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) szczegółowe opisywanie przykładów. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania złożona funkcja :

Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o godzinie 3 w nocy był połączenie telefoniczne, I przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony niezależna decyzja.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne rachunek różniczkowy To będzie wyglądało jak dziecięcy żart.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W razie wątpliwości przypominam przydatna sztuczka: bierzemy na przykład eksperymentalne znaczenie „x” i staramy się (w myślach lub w szkicu) zastąpić to znaczenie „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej będzie używany w Odwrotna kolejność, od siebie funkcja zewnętrzna, do najgłębszego. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzy funkcje. Jak znaleźć pochodną produkty trzech mnożniki?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Nadal możesz być zboczony i wziąć coś z nawiasów, ale w w tym przypadku Odpowiedź lepiej zostawić w tym formularzu - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólny mianownik I pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża Cię w przygnębieniu - musisz przyjąć nieprzyjemną pochodną moc ułamkowa, a następnie także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki magiczna różdżka mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy przykład projektu tego typu na koniec lekcji.

Za pomocą pochodnej logarytmicznej można było rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, które zostaną Ci podane w dowolnym podręczniku lub na dowolnym wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W rezultacie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będą różniczkowane przez standardowa formuła .

Znajdujemy pochodną, ​​w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, proszę ponownie uważnie przeczytać wyjaśnienia do Przykładu nr 11.

W zadania praktyczne Funkcja potęgowo-wykładnicza zawsze będzie bardziej złożona niż przykład omawiany na wykładzie.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :

Jak widać, algorytm korzystania z pochodnej logarytmicznej nie zawiera żadnych specjalnych trików ani trików, a znalezienie pochodnej funkcji potęgowo-wykładniczej zwykle nie wiąże się z „męką”.

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się bez błędów:

1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

2) Oblicz pochodną różnicy korzystając z reguły

3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

4) Weź pochodną cosinusa.

6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć?

Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się trzypiętrowej struktury ułamka:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.

Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujące funkcje:
; ; ; ; .

Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w poniższy formularz:
,
wówczas jego pochodną wyznacza się ze wzoru:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
Gdzie .
Tutaj indeksy dolne lub , znajdujące się pod znakiem pochodnej, oznaczają zmienne, według których przeprowadzane jest różnicowanie.

Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji od zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego różniczkując funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.

Proste przykłady

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.

Rozwiązanie

Zapiszmy to dana funkcja w równoważnej formie:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.

Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .

Odpowiedź

Przykład 2

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Wyciągamy stałą 5 ze znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.

.
Tutaj .

Odpowiedź

Przykład 3

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Wyciągamy stałą -1 dla znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .

Odpowiedź

Bardziej złożone przykłady

W więcej złożone przykłady stosujemy zasadę kilkukrotnego różniczkowania funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodną obliczamy od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na części składowe i za pomocą znajdujemy pochodne najprostszych części tabela instrumentów pochodnych. Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

Przykład 4

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Podkreślmy najbardziej prosta część wzór i znajdź jego pochodną. .

.
Tutaj zastosowaliśmy oznaczenie
.

Korzystając z otrzymanych wyników, znajdujemy pochodną kolejnej części pierwotnej funkcji. Stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
.

Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.

.
Tutaj .

Odpowiedź

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji
.

Rozwiązanie

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną z tabeli pochodnych. .

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj
.

W tym artykule porozmawiamy o tak ważnym pojęciu matematycznym, jak funkcja złożona, i dowiemy się, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej.

Zanim nauczymy się znajdować pochodną funkcji złożonej, zrozumiemy pojęcie funkcji złożonej, czym ona jest, „z czym się ją spożywa” i „jak prawidłowo ją ugotować”.

Rozważmy dowolna funkcja na przykład tak:

Zauważ, że argumentem po prawej i lewej stronie równania funkcji jest ta sama liczba lub wyrażenie.

Zamiast zmiennej możemy umieścić na przykład następujące wyrażenie: . I wtedy otrzymamy funkcję

Nazwijmy to wyrażenie argumentem pośrednim, a funkcję funkcją zewnętrzną. To nie jest rygorystyczne pojęcia matematyczne, ale pomagają zrozumieć znaczenie pojęcia funkcji złożonej.

Ścisła definicja pojęcia funkcji złożonej brzmi następująco:

Niech funkcja będzie zdefiniowana na zbiorze i będzie zbiorem wartości tej funkcji. Niech zbiór (lub jego podzbiór) będzie dziedziną definicji funkcji. Każdemu z nich przypiszmy numer. Zatem funkcja zostanie zdefiniowana na zbiorze. Nazywa się to złożeniem funkcji lub funkcją złożoną.

W tej definicji, jeśli używamy naszej terminologii, funkcja zewnętrzna jest argumentem pośrednim.

Pochodną funkcji zespolonej wyznacza się według następującej reguły:

Aby było to bardziej jasne, lubię zapisać tę regułę w następujący sposób:

W tym wyrażeniu użycie oznacza funkcję pośrednią.

Więc. Aby znaleźć pochodną funkcji złożonej, potrzebujesz

1. Ustal, która funkcja jest zewnętrzna i znajdź odpowiadającą jej pochodną z tabeli pochodnych.

2. Zdefiniuj argument pośredni.

W tej procedurze największą trudnością jest znalezienie funkcji zewnętrznej. Używa się do tego prostego algorytmu:

A. Zapisz równanie funkcji.

B. Wyobraź sobie, że musisz obliczyć wartość funkcji dla pewnej wartości x. Aby to zrobić, podstawiasz tę wartość x do równania funkcji i wytwarzasz działania arytmetyczne. Ostatnią czynnością, którą wykonujesz, jest funkcja zewnętrzna.

Na przykład w funkcji

Ostatnią czynnością jest potęgowanie.

Znajdźmy pochodną tej funkcji. Aby to zrobić, piszemy argument pośredni

Pochodna funkcji zespolonej. Przykłady rozwiązań

Na tej lekcji nauczymy się znajdować pochodna funkcji zespolonej. Lekcja stanowi logiczną kontynuację lekcji Jak znaleźć pochodną?, na którym badaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi metody techniczne znalezienie instrumentów pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę o poważny nastrój – materiał nie jest prosty, ale mimo to postaram się go przedstawić prosto i przejrzyście.

W praktyce z pochodną funkcji złożonej mamy do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostaje się zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy na tabelę z zasadą (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozwiążmy to. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na wpis. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego typu (kiedy jedna funkcja jest zagnieżdżona w drugiej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..

! Definicje te nie mają charakteru teoretycznego i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. ubiegam się nieformalne wyrażenia„funkcja zewnętrzna”, funkcja „wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Państwu zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie samą literę „X”, ale całe wyrażenie, dlatego znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie będzie działać. Zauważamy też, że tutaj nie da się zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że sinusa nie da się „rozerwać na kawałki”:

W w tym przykładzie Z moich wyjaśnień wynika już intuicyjnie, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzeniem) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok co musisz zrobić, gdy znajdujesz pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

Gdy proste przykłady Wydaje się jasne, że pod sinusem jest osadzony wielomian. A co jeśli nie wszystko jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, sugeruję zastosowanie następującej techniki, którą można wykonać mentalnie lub w przeciągu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia w na kalkulatorze (zamiast jedynki może być dowolna liczba).

Co obliczymy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następującą czynność: , dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie trzeba będzie znaleźć, więc sinus – będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my WYPRZEDANE Przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonych.

Zacznijmy decydować. Z zajęć Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - wyrażenie zamykamy w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Najpierw znajdź pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrz na tabelę pochodnych funkcje elementarne i zauważamy to. Wszystkie formuły tabelaryczne mają również zastosowanie, jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Należy pamiętać, że funkcja wewnętrzna nie uległo zmianie, nie dotykamy tego.

Cóż, to całkiem oczywiste

Końcowy efekt zastosowania formuły wygląda następująco:

Stały mnożnik zwykle umieszczane na początku wyrażenia:

W razie nieporozumień zapisz rozwiązanie na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zwykle zapisujemy:

Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w pamięci lub w wersji roboczej) obliczyć wartość wyrażenia w . Co powinieneś zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa: dlatego wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dlatego tylko wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, funkcja zasilania jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie ze wzorem należy najpierw znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Szukaj w tabeli wymaganą formułę: . Powtarzamy ponownie: każdy formuła tabelaryczna obowiązuje nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażeń złożonych. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, nasza funkcja wewnętrzna nie ulegnie zmianie:

Teraz pozostaje tylko znaleźć bardzo prostą pochodną funkcja wewnętrzna i popraw trochę wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj sam to rozgryźć, uzasadnij, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy pierwiastek i aby go rozróżnić, należy go przedstawić jako potęgę. Zatem najpierw doprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a podniesienie do potęgi funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych:

Ponownie przedstawiamy stopień jako pierwiastek, a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz także sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy otrzymasz kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na śmieszną perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej poprzez regułę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy minus ze znaku pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły:

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej i cofamy cosinus w dół:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory przyglądaliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji zespolonej. W zadaniach praktycznych często można spotkać pochodne, gdzie niczym zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Spróbujmy obliczyć wyrażenie, korzystając z wartości eksperymentalnej. Jak liczylibyśmy na kalkulatorze?

Najpierw musisz znaleźć , co oznacza, że ​​arcsinus jest najgłębszym osadzeniem:

Ten arcsinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:

I na koniec podnosimy siedem do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa osadzania, przy czym najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcsinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.

Zacznijmy decydować

Zgodnie z regułą należy najpierw obliczyć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica jest taka, że ​​zamiast „x” mamy złożone wyrażenie, co nie przeczy słuszności tej formuły. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Pod skokiem znów mamy złożoną funkcję! Ale to już jest prostsze. Łatwo sprawdzić, że funkcją wewnętrzną jest arcsinus, funkcją zewnętrzną jest stopień. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej należy najpierw obliczyć pochodną potęgi.