Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej
Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.
Do tych czytelników, którzy mają niski poziom przygotowania, warto zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? Tak, to wystarczy! ”, ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistości testy i często spotykane w praktyce.
Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. Podczas badania rachunku różniczkowego i innych sekcji Analiza matematyczna– będziesz musiał bardzo często różnicować i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) szczegółowe opisywanie przykładów. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:
Zgodnie z zasadą różniczkowania złożona funkcja 
:
Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o godzinie 3 w nocy był połączenie telefoniczne, I przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: 
.
Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony niezależna decyzja.
Przykład 1
Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Odpowiedzi na końcu lekcji
Złożone pochodne
Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne rachunek różniczkowy To będzie wyglądało jak dziecięcy żart.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji 
Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W razie wątpliwości przypominam przydatna sztuczka: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) ją zastąpić podana wartość w „straszny wyraz”.
1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że suma jest najgłębszym osadzeniem.
2) Następnie musisz obliczyć logarytm:
4) Następnie sześcian cosinus:
5) W piątym kroku różnica:
6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy: 
Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej 
będzie używany w Odwrotna kolejność, od funkcji najbardziej zewnętrznej do funkcji najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:
Wygląda na to, że nie ma błędów...
(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.
(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły 
(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).
(4) Weź pochodną cosinusa.
(5) Weź pochodną logarytmu.
(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.
Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.
Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu
Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzy funkcje. Jak znaleźć pochodną produkty trzech mnożniki?
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji 
Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.
W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów 
dwa razy
Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? 
– to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:
Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi 
do nawiasu:
Nadal możesz być zboczony i wziąć coś z nawiasów, ale w w tym przypadku Odpowiedź lepiej zostawić w tym formularzu - łatwiej będzie to sprawdzić.
Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób: 
Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład rozwiązania niezależnego; w przykładzie jest ono rozwiązywane pierwszą metodą.
Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Można tu przejść na kilka sposobów:
Lub tak:
Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu 
, biorąc za cały licznik:
W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólny mianownik I pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:
Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.
Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:
Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża Cię w przygnębieniu - musisz przyjąć nieprzyjemną pochodną moc ułamkowa, a następnie także z ułamka.
Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:
! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.
Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:
Przekształćmy funkcję:
Znajdowanie pochodnej: 
Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.
A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 9
Znajdź pochodną funkcji 
Przykład 10
Znajdź pochodną funkcji
Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.
Pochodna logarytmiczna
Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.
Przykład 11
Znajdź pochodną funkcji 
Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.
Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:
Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:
Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:
Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.
A co z lewą stroną?
Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”
Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcja wewnętrzna. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej 
:
Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki magiczna różdżka mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:
A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek: 
Ostatnia odpowiedź: 
Przykład 12
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy przykład projektu tego typu na koniec lekcji.
Za pomocą pochodnej logarytmicznej można było rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej
Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, które zostaną Ci podane w dowolnym podręczniku lub na dowolnym wykładzie:
Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?
Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:
Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:
W rezultacie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będą różniczkowane przez standardowa formuła 
.
Znajdujemy pochodną, w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:
Dalsze działania są proste:
Wreszcie: 
Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, proszę ponownie uważnie przeczytać wyjaśnienia do Przykładu nr 11.
W zadania praktyczne Funkcja potęgowo-wykładnicza zawsze będzie bardziej złożona niż przykład omawiany na wykładzie.
Przykład 13
Znajdź pochodną funkcji
Używamy pochodnej logarytmicznej. 
Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę 
:
Jak widać, algorytm korzystania z pochodnej logarytmicznej nie zawiera żadnych specjalnych trików ani trików, a znalezienie pochodnej funkcji potęgowo-wykładniczej zwykle nie wiąże się z „męką”.
Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.
Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujące funkcje:
;
;
;
;
.
Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w poniższy formularz:
,
wówczas jego pochodną wyznacza się ze wzoru:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
Gdzie .
Tutaj indeksy dolne lub , znajdujące się pod znakiem pochodnej, oznaczają zmienne, według których przeprowadzane jest różnicowanie.
Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji od zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego różniczkując funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.
Proste przykłady
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.
Rozwiązanie
Zapiszmy to dana funkcja w równoważnej formie:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.
Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .
Odpowiedź
Przykład 2
Znajdź pochodną
.
Rozwiązanie
Wyciągamy stałą 5 ze znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.
.
Tutaj .
Odpowiedź
Przykład 3
Znajdź pochodną
.
Rozwiązanie
Wyciągamy stałą -1
dla znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .
Odpowiedź
Bardziej złożone przykłady
W więcej złożone przykłady stosujemy zasadę kilkukrotnego różniczkowania funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodną obliczamy od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na części składowe i za pomocą znajdujemy pochodne najprostszych części tabela instrumentów pochodnych. Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
Przykład 4
Znajdź pochodną
.
Rozwiązanie
Podkreślmy najbardziej prosta część wzór i znajdź jego pochodną. .
.
Tutaj zastosowaliśmy oznaczenie
.
Korzystając z otrzymanych wyników, znajdujemy pochodną kolejnej części pierwotnej funkcji. Stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
.
Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj .
Odpowiedź
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
.
Rozwiązanie
Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną z tabeli pochodnych. .
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj
.
Decydować zadania fizyczne lub przykładów z matematyki jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Instrument pochodny jest jednym z najważniejsze pojęcia Analiza matematyczna. Ten temat zasadniczy postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł. Co to jest pochodna, jaka jest jej fizyczna i znaczenie geometryczne jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?
Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej
Niech będzie funkcja k(x) , określone w określonym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica w jego wartościach x-x0 . Różnicę tę zapisuje się jako delta x i nazywa się to przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:
Pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.
W przeciwnym razie można to zapisać w następujący sposób:
Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? A oto co to jest:
pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta pomiędzy osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.
Znaczenie fizyczne pochodna: pochodna drogi po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.
Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to szczególna ścieżka x=f(t) i czas T . Średnia prędkość przez określony czas:
Aby poznać prędkość ruchu w danym momencie t0 musisz obliczyć limit:
Zasada pierwsza: ustaw stałą
Stałą można wyjąć ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, przyjmuj to z reguły - Jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu go .
Przykład. Obliczmy pochodną:
Zasada druga: pochodna sumy funkcji
Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.
Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale raczej rozważymy praktyczny przykład.
Znajdź pochodną funkcji:
Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji
Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych obliczamy ze wzoru:
Przykład: znajdź pochodną funkcji:
Rozwiązanie: 
Ważne jest, aby porozmawiać tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej.
W powyższym przykładzie spotykamy się z wyrażeniem:
W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.
Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji
Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:
O instrumentach pochodnych próbowaliśmy od zera porozmawiać dla manekinów. Temat ten nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: przykłady często zawierają pułapki, dlatego należy zachować ostrożność przy obliczaniu pochodnych.
W przypadku jakichkolwiek pytań na ten i inne tematy, możesz skontaktować się z obsługą studencką. Za krótkoterminowe Pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejsze testy i rozwiązać problemy, nawet jeśli nigdy wcześniej nie wykonywałeś obliczeń pochodnych.
Definicja. Niech funkcja \(y = f(x) \) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym w sobie punkt \(x_0\). Nadajmy argumentowi przyrost \(\Delta x \) tak, aby nie opuścił tego przedziału. Znajdźmy odpowiedni przyrost funkcji \(\Delta y \) (podczas przechodzenia od punktu \(x_0 \) do punktu \(x_0 + \Delta x \)) i utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jeżeli istnieje granica tego stosunku w \(\Delta x \rightarrow 0\), to określona granica nazywana jest pochodna funkcji\(y=f(x) \) w punkcie \(x_0 \) i oznacz \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej.” Należy zauważyć, że y” = f(x). Nowa cecha, ale naturalnie powiązany z funkcją y = f(x), określoną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się następująco: pochodna funkcji y = f(x).
Geometryczne znaczenie pochodnej następująco. Jeżeli można poprowadzić styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x=a, który nie jest równoległy do osi y, to f(a) wyraża nachylenie stycznej :
\(k = f"(a)\)
Ponieważ \(k = tg(a) \), to równość \(f"(a) = tan(a) \) jest prawdziwa.
Zinterpretujmy teraz definicję pochodnej z punktu widzenia przybliżonych równości. Niech funkcja \(y = f(x)\) ma pochodną w określonym punkcie \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x przybliżona równość \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \około f"(x)\), tj. \(\Delta y \około f"(x) \cdot\ Delta x\). Znaczące znaczenie powstałej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnikiem proporcjonalności jest wartość pochodnej w dany punkt X. Na przykład dla funkcji \(y = x^2\) obowiązuje przybliżona równość \(\Delta y \około 2x \cdot \Delta x \). Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.
Sformułujmy to.
Jak znaleźć pochodną funkcji y = f(x)?
1. Popraw wartość \(x\), znajdź \(f(x)\)
2. Podaj argument \(x\) przyrost \(\Delta x\), przejdź do nowy punkt\(x+ \Delta x \), znajdź \(f(x+ \Delta x) \)
3. Znajdź przyrost funkcji: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Granica ta jest pochodną funkcji w punkcie x.
Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywa się ją różniczkowalną w punkcie x. Wywołuje się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y = f(x). różnicowanie funkcje y = f(x).
Omówmy następujące pytanie: w jaki sposób ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie są ze sobą powiązane?
Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Następnie można narysować styczną do wykresu funkcji w punkcie M(x; f(x)) i, przypomnijmy, współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(x). Takiego wykresu nie można „złamać” w punkcie M, czyli funkcja musi być ciągła w punkcie x.
To były argumenty „praktyczne”. Podajmy bardziej rygorystyczne uzasadnienie. Jeśli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to zachodzi przybliżona równość \(\Delta y \około f"(x) \cdot \Delta x \). Jeśli w tej równości \(\Delta x \) dąży do zera, wówczas \(\Delta y \) będzie dążyć do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.
Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.
Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Na przykład: funkcja y = |x| jest ciągła wszędzie, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „punkcie przecięcia” (0; 0) nie istnieje. Jeśli w pewnym momencie nie można poprowadzić stycznej do wykresu funkcji, to pochodna w tym punkcie nie istnieje.
Jeszcze jeden przykład. Funkcja \(y=\sqrt(x)\) jest ciągła na całej osi liczbowej, także w punkcie x = 0. Natomiast styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, także w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, tj. jest prostopadła do osi odciętych, jej równanie ma postać x = 0. Współczynnik nachylenia takiej linii nie ma, co oznacza, że \(f"(0) \) również nie istnieje
Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak z wykresu funkcji można wywnioskować, że jest ona różniczkowalna?
Właściwie odpowiedź została podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to w tym miejscu funkcja jest różniczkowalna. Jeśli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi odciętych, to w tym miejscu funkcja nie jest różniczkowalna.
Zasady różnicowania
Nazywa się operację znajdowania pochodnej różnicowanie. Wykonując tę operację, często musisz pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C- stała liczba i f=f(x), g=g(x) są funkcjami różniczkowalnymi, wówczas prawdziwe są poniższe zasady różnicowania:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabela pochodnych niektórych funkcji
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Podano dowód wzoru na pochodną funkcji zespolonej. Szczegółowo rozważono przypadki, gdy funkcja złożona zależy od jednej lub dwóch zmiennych. Dokonano uogólnienia przypadku Jakikolwiek numer zmienne.
Przedstawiamy konkluzję następujące formuły dla pochodnej funkcji zespolonej.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.
Pochodna funkcji zespolonej od jednej zmiennej
Niech funkcję zmiennej x przedstawimy jako funkcję zespoloną w postaci:
,
gdzie są pewne funkcje. Funkcja jest różniczkowalna dla pewnej wartości zmiennej x. Funkcja jest różniczkowalna po wartości zmiennej.
Wówczas funkcja zespolona (złożona) jest różniczkowalna w punkcie x i jej pochodną wyznacza się ze wzoru:
(1)
.
Wzór (1) można także zapisać w następujący sposób:
;
.
Dowód
Wprowadźmy następującą notację.
;
.
Tutaj jest funkcja zmiennych i , jest funkcja zmiennych i . Ale pominiemy argumenty tych funkcji, aby nie zaśmiecać obliczeń.
Ponieważ funkcje i są różniczkowalne odpowiednio w punktach x i , to w tych punktach istnieją pochodne tych funkcji, które stanowią następujące granice:
;
.
Rozważ następującą funkcję:
.
Dla stałej wartości zmiennej u jest funkcją . To oczywiste
.
Następnie
.
Ponieważ funkcja jest w tym punkcie funkcją różniczkowalną, jest w tym punkcie ciągła. Dlatego
.
Następnie
.
Teraz znajdujemy pochodną.
.
Formuła jest sprawdzona.
Konsekwencja
Jeśli funkcję zmiennej x można przedstawić jako funkcję zespoloną funkcji zespolonej
,
wówczas jego pochodną określa się ze wzoru
.
Tutaj i istnieje kilka funkcji różniczkowalnych.
Aby udowodnić tę formułę, obliczamy kolejno pochodną, korzystając z reguły różniczkowania funkcji zespolonej.
Rozważmy funkcję złożoną
.
Jego pochodna
.
Rozważ pierwotną funkcję
.
Jego pochodna
.
Pochodna funkcji zespolonej od dwóch zmiennych
Niech teraz złożona funkcja będzie zależna od kilku zmiennych. Najpierw spójrzmy przypadek złożonej funkcji dwóch zmiennych.
Niech funkcję zależną od zmiennej x przedstawimy jako funkcję zespoloną dwóch zmiennych w postaci:
,
Gdzie
i istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x;
- funkcja dwóch zmiennych różniczkowalna w punkcie , . Wówczas funkcja zespolona jest definiowana w pewnym sąsiedztwie punktu i ma pochodną, którą określa wzór:
(2)
.
Dowód
Ponieważ funkcje i są różniczkowalne w punkcie, to są one określone w pewnym sąsiedztwie tego punktu, w tym punkcie są ciągłe, a w tym punkcie istnieją ich pochodne, które są następującymi granicami:
;
.
Tutaj
;
.
Ze względu na ciągłość tych funkcji w punkcie mamy:
;
.
Ponieważ funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie tego punktu, w tym punkcie jest ciągła, a jej przyrost można zapisać w postaci:
(3)
.
Tutaj
- przyrost funkcji, gdy jej argumenty są zwiększane o wartości i ;
;
- pochodne cząstkowe funkcji po zmiennych i .
Dla stałych wartości i , i są funkcjami zmiennych i . Mają tendencję do zerowania przy i:
;
.
Od i , wtedy
;
.
Przyrost funkcji:
.
:
.
Zastąpmy (3):
.
Formuła jest sprawdzona.
Pochodna funkcji zespolonej od kilku zmiennych
Powyższy wniosek można łatwo uogólnić na przypadek, gdy liczba zmiennych funkcji zespolonej jest większa niż dwa.
Na przykład, jeśli f wynosi funkcja trzech zmiennych, To
,
Gdzie
, i istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x;
- funkcja różniczkowalna trzech zmiennych w punkcie , , .
Zatem z definicji różniczkowalności funkcji mamy:
(4)
.
Ponieważ ze względu na ciągłość
;
;
,
To
;
;
.
Dzieląc (4) przez i przechodząc do granicy, otrzymujemy:
.
I na koniec zastanówmy się bardzo przypadek ogólny
.
Niech funkcję zmiennej x przedstawimy jako funkcję zespoloną n zmiennych w postaci:
,
Gdzie
istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x;
- funkcja różniczkowalna n zmiennych w jednym punkcie
,
,
... , .
Następnie
.