Ta metoda ma sens, jeśli stopień wielomianu jest nie mniejszy niż dwa. W tym przypadku wspólnym czynnikiem może być nie tylko dwumian pierwszego stopnia, ale także wyższych stopni.
Aby znaleźć wspólny czynnik względem wielomianu należy dokonać szeregu przekształceń. Najprostszy dwumian lub jednomian, który można wyjąć z nawiasów, będzie jednym z pierwiastków wielomianu. Oczywiście w przypadku, gdy wielomian nie ma wyrazu wolnego, w pierwszym stopniu będzie niewiadoma - wielomian równy 0.
Trudniej znaleźć wspólny mnożnik ma to miejsce w przypadku, gdy wolny członek nie jest równy zeru. Stosuje się wówczas metody prostego doboru lub grupowania. Niech na przykład wszystkie pierwiastki wielomianu będą wymierne, a wszystkie współczynniki wielomianu będą liczbami całkowitymi: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Zapisz wszystkie dzielniki całkowite wyrazu wolnego. Jeśli wielomian ma racjonalne korzenie, to są wśród nich. W wyniku selekcji uzyskuje się pierwiastki 2 i -3. Oznacza to, że wspólnymi czynnikami tego wielomianu będą dwumiany (y - 2) i (y + 3).
Powszechnie stosowana metoda faktoryzacji jest jednym z elementów faktoryzacji. Metoda opisana powyżej ma zastosowanie, jeśli współczynnik przy starszy stopień jest równa 1. Jeśli tak nie jest, należy najpierw wykonać szereg przekształceń. Na przykład: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.
Dokonaj podstawienia postaci t = 2³·y³. W tym celu należy pomnożyć wszystkie współczynniki wielomianu przez 4: 2³·y³ + 19,2²·y² + 82,2·y + 60. Po podstawieniu: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Teraz do znajdź wspólny czynnik, zastosujemy powyższą metodę.
Oprócz, skuteczna metoda Znalezienie wspólnego czynnika to elementy wielomianu. Jest to szczególnie przydatne, gdy pierwsza metoda tego nie robi, tj. wielomian nie ma racjonalne korzenie. Jednak grupowanie nie zawsze jest oczywiste. Na przykład: Wielomian y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nie ma pierwiastków całkowitych.
Użyj grupowania: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Wspólnym czynnikiem elementów tego wielomianu jest (y² - 2).
Mnożenie i dzielenie, podobnie jak dodawanie i odejmowanie, to podstawy działania arytmetyczne. Bez nauki rozwiązywania przykładów mnożenia i dzielenia osoba napotka wiele trudności nie tylko podczas studiowania bardziej złożonych dziedzin matematyki, ale nawet w najzwyklejszych codziennych sprawach. Mnożenie i dzielenie są ze sobą ściśle powiązane, a nieznane składniki przykładów i problemów związanych z jedną z tych operacji są obliczane przy użyciu drugiej operacji. Jednocześnie konieczne jest jasne zrozumienie, że przy rozwiązywaniu przykładów nie ma absolutnie żadnego znaczenia, które obiekty dzielisz lub mnożysz.
Będziesz potrzebować
- - tabliczka mnożenia;
- - kalkulator lub kartka papieru i ołówek.
Instrukcje
Zapisz potrzebny przykład. Oznacz nieznane czynnik jako X. Przykład może wyglądać następująco: a*x=b. Zamiast czynnika a i iloczynu b w tym przykładzie mogą występować dowolne liczby lub . Pamiętaj o podstawowej zasadzie mnożenia: zmiana miejsc czynników nie powoduje zmiany iloczynu. Tak nieznany czynnik x można umieścić absolutnie wszędzie.
Aby znaleźć nieznane czynnik w przykładzie, w którym istnieją tylko dwa czynniki, wystarczy podzielić iloczyn przez znaną czynnik. Oznacza to, że jest to zrobione w następujący sposób: x=b/a. Jeśli operowanie ilościami abstrakcyjnymi sprawia Ci trudność, spróbuj przedstawić ten problem w formie konkretne przedmioty. Ty masz tylko jabłka i ile ich zjesz, ale nie wiesz, ile jabłek wszyscy dostaną. Na przykład masz 5 członków rodziny i jest 15 jabłek. Oznacz liczbę jabłek przeznaczonych dla każdego jako x. Wtedy równanie będzie wyglądało następująco: 5(jabłka)*x=15(jabłka). Nieznany czynnik znajduje się w ten sam sposób, jak w równaniu z literami, czyli dzielimy 15 jabłek pomiędzy pięciu członków rodziny, na koniec okazuje się, że każdy z nich zjadł 3 jabłka.
W ten sam sposób odnajduje się nieznane czynnik z liczbą czynników. Na przykład przykład wygląda następująco: a*b*c*x*=d. Teoretycznie znajdź za pomocą czynnik jest to możliwe analogicznie jak w późniejszym przykładzie: x=d/a*b*c. Ale równanie można zredukować do większej liczby prosty widok, oznaczając iloczyn znanych czynników inną literą - na przykład m. Znajdź, ile wynosi m, mnożąc liczby a, b i c: m=a*b*c. Wtedy cały przykład można przedstawić jako m*x=d, a nieznana wielkość będzie równa x=d/m.
Jeśli jest znany czynnik i iloczynem są ułamki, przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak w przypadku . Ale w tym przypadku musisz pamiętać o działaniach. Podczas mnożenia ułamków mnożone są ich liczniki i mianowniki. Dzieląc ułamki, licznik dzielnej mnoży się przez mianownik dzielnika, a mianownik dzielnej mnoży się przez licznik dzielnika. Oznacza to, że w tym przypadku przykład będzie wyglądał następująco: a/b*x=c/d. Aby znaleźć nieznaną ilość, należy podzielić produkt przez znaną czynnik. Oznacza to, że x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Wideo na ten temat
notatka
Rozwiązując przykłady za pomocą ułamków, ułamek znanego czynnika można po prostu odwrócić i wykonać operację w postaci pomnożenia ułamków.
Wielomian to suma jednomianów. Jednomian jest iloczynem kilku czynników, którymi są cyfra lub litera. Stopień nie wiadomo, ile razy jest ona mnożona przez samą siebie.
Instrukcje
Proszę o jego podanie, jeżeli nie zostało to jeszcze zrobione. Jednomiany podobne to monomiany tego samego typu, czyli jednomiany z tymi samymi niewiadomymi w tym samym stopniu.
Weźmy na przykład wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Wielomian ten ma dwie niewiadome - x i y.
Połącz podobne jednomiany. Jednomiany z drugą potęgą y i trzecią potęgą x przyjmą postać y²*x3, a jednomiany z czwartą potęgą y zostaną anulowane. Okazuje się, że y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Weź y jako główną nieznaną literę. Znajdź maksymalny stopień dla nieznanego y. Jest to jednomian y²*x³ i odpowiednio stopień 2.
Wyciągnąć wniosek. Stopień wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² w x równa się trzy, a w y równa się dwa.
Znajdź stopień wielomian√x+5*y o y. To jest równe stopień maksymalny y, to znaczy jeden.
Znajdź stopień wielomian√x+5*y w x. Nieznany x się znajduje, co oznacza, że jego stopień będzie ułamkiem. Ponieważ pierwiastek jest pierwiastkiem kwadratowym, potęga x wynosi 1/2.
Wyciągnąć wniosek. Dla wielomian√x+5*y potęga x wynosi 1/2, a potęga y wynosi 1.
Wideo na ten temat
Uproszczenie wyrażenia algebraiczne wymagane w wielu obszarach matematyki, w tym w rozwiązywaniu równań wyższe stopnie, różnicowanie i integracja. Stosuje się kilka metod, w tym faktoryzację. Aby zastosować tę metodę, musisz znaleźć i stworzyć generał czynnik za nawiasy.
Pierwotnie chciałem uwzględnić techniki wspólnego mianownika w sekcji Dodawanie i odejmowanie ułamków. Ale informacji było tak dużo, a ich znaczenie było tak wielkie (w końcu nie tylko ułamki liczbowe), że lepiej przestudiować to zagadnienie osobno.
Powiedzmy, że mamy dwa ułamki z różne mianowniki. I chcemy mieć pewność, że mianowniki staną się takie same. Na ratunek przychodzi podstawowa własność ułamka, która, przypominam, brzmi tak:
Ułamek nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera.
Zatem, jeśli prawidłowo wybierzesz czynniki, mianowniki ułamków staną się równe - proces ten nazywa się redukcją do wspólnego mianownika. A wymagane liczby „wyrównujące” mianowniki nazywane są dodatkowymi czynnikami.
Dlaczego musimy sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika? Oto tylko kilka powodów:
- Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu wykonania tej operacji;
- Porównywanie ułamków. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
- Rozwiązywanie problemów z ułamkami zwykłymi i procentami. Procenty są w rzeczywistości wyrażeniami zwykłymi zawierającymi ułamki zwykłe.
Istnieje wiele sposobów znajdowania liczb, które po pomnożeniu przez nie sprawią, że mianowniki ułamków będą równe. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, skuteczności.
Mnożenie krzyżowe
Najprostszy i niezawodny sposób, co gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „na oślep”: mnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie staną się mianowniki obu ułamków równy produktowi oryginalne mianowniki. Spójrz:
Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:
Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób zabezpieczysz się przed wieloma błędami i masz gwarancję uzyskania wyniku.
Jedyna wada Ta metoda- trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „na całego”, a wynik może być bardzo duże liczby. To cena, jaką trzeba zapłacić za niezawodność.
Metoda wspólnego dzielnika
Technika ta pomaga znacznie ograniczyć obliczenia, ale niestety jest stosowana dość rzadko. Metoda jest następująca:
- Zanim pójdziesz na wprost (tj. metodą krzyżową), spójrz na mianowniki. Być może jeden z nich (ten większy) dzieli się na drugi.
- Liczba wynikająca z tego dzielenia będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
- W tym przypadku ułamka o dużym mianowniku w ogóle nie trzeba przez nic mnożyć - tu leżą oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Zauważ, że 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest dzielony bez reszty przez drugi, stosujemy metodę wspólnych czynników. Mamy:
Zauważ, że drugi ułamek w ogóle nie został pomnożony przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!
Nawiasem mówiąc, nie przypadkowo wziąłem ułamki w tym przykładzie. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj policzyć je metodą krzyżową. Po redukcji odpowiedzi będą takie same, ale pracy będzie dużo więcej.
To jest siła tej metody wspólne dzielniki, ale powtarzam, można go użyć tylko w przypadku, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.
Najmniej popularna metoda wielokrotna
Kiedy sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo staramy się znaleźć liczbę, która jest podzielna przez każdy z mianowników. Następnie doprowadzamy mianowniki obu ułamków do tej liczby.
Takich liczb jest wiele i najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa produkt bezpośredni mianowniki ułamków wyjściowych, przyjęte w metodzie krzyżowej.
Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest duża mniej produktu 8 12 = 96.
Nai mniejsza liczba, który jest podzielny przez każdy z mianowników, nazywany jest ich najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM).
Notacja: Najmniejszą wspólną wielokrotność aib oznaczamy przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników innych niż 1), a czynnik 117 jest wspólny. Dlatego LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest wspólny. Zatem LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:
Zwróć uwagę, jak przydatne było rozłożenie pierwotnych mianowników na czynniki:
- Po odkryciu identycznych czynników od razu dotarliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest problemem nietrywialnym;
- Z powstałego rozwinięcia można dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” w każdym ułamku. Na przykład 234 · 3 = 702, dlatego dla pierwszego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 3.
Aby docenić różnicę, jaką powoduje najmniej popularna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady, stosując metodę krzyżową. Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarz będzie zbędny.
Nie myśl, że takie istnieją złożone frakcje nie będzie miało miejsca w rzeczywistych przykładach. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!
Jedynym problemem jest to, jak znaleźć ten właśnie NOC. Czasami wszystko można znaleźć w ciągu kilku sekund, dosłownie „na oko”, ale ogólnie jest to złożone zadanie obliczeniowe, które wymaga osobnego rozważenia. Nie będziemy tego tutaj dotykać.
Chichaeva Darina 8. klasa
W pracy uczeń klasy 8 opisał zasadę rozkładu na czynniki wielomianu poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika z nawiasu wraz ze szczegółową procedurą rozwiązywania wielu przykładów na ten temat. Dla każdego omawianego przykładu oferowane są 2 przykłady niezależna decyzja, na które są odpowiedzi. Praca pomoże Ci w nauce ten temat ci uczniowie, którzy z jakiegoś powodu nie nauczyli się tego podczas przerabiania materiału programowego w klasie 7 i (lub) podczas powtarzania kursu algebry w klasie 8 po wakacjach.
Pobierać:
Zapowiedź:
Miejska budżetowa instytucja oświatowa
przeciętny Szkoła ogólnokształcąca №32
„Szkoła Stowarzyszona UNESCO „Rozwój Eureki”
Wołżski, obwód Wołgogradu
Praca skończona:
Uczeń klasy 8B
Chiczajewa Darina
Wołżski
2014
Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów
- - Jednym ze sposobów rozkładu wielomianu na czynniki jestwyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów;
- - Przy wyjmowaniu ogólnego mnożnika z nawiasów jest on stosowanywłasność rozdzielcza;
- - Jeśli wszystkie warunki wielomianu zawierają wspólny czynnik współczynnik ten można wyjąć z nawiasów.
Podczas rozwiązywania równań, obliczeń i wielu innych problemów przydatne może być zastąpienie wielomianu iloczynem kilku wielomianów (które mogą obejmować jednomiany). Reprezentowanie wielomianu jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów nazywa się rozkładem wielomianu na czynniki.
Rozważ wielomian 6a 2 b+15b 2 . Każdy z jego terminów można zastąpić iloczynem dwóch czynników, z których jeden jest równy 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →z tego otrzymujemy: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.
Wynikowe wyrażenie jest oparte na własność rozdzielcza mnożenie można przedstawić jako iloczyn dwóch czynników. Jednym z nich jest wspólny mnożnik 3b , a druga to suma 2a 2 i 5b → 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →W ten sposób rozwinęliśmy wielomian: 6a 2 b+15b 2 na czynniki, przedstawiając to jako iloczyn jednomianu 3b i wielomian 2a 2 +5b. Ta metoda rozkładanie wielomianu na czynniki nazywa się wyciąganiem wspólnego czynnika z nawiasów.
Przykłady:
Rozważ to:
A) kx-px.
Mnożnik x x wyjęliśmy to z nawiasów.
kx:x=k; px:x=p.
Otrzymujemy: kx-px=x*(k-p).
b) 4a-4b.
Mnożnik 4 występuje zarówno w pierwszym, jak i drugim terminie. Dlatego 4 wyjęliśmy to z nawiasów.
4a:4=a; 4b:4=b.
Otrzymujemy: 4a-4b=4*(a-b).
c) -9m-27n.
9m i -27n są podzielne przez -9 . Dlatego usuwamy współczynnik liczbowy z nawiasów-9.
9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.
Mamy: -9m-27n=-9*(m+3n).
d) 5 lat 2 -15 lat.
5 i 15 są podzielne przez 5; y2 i y są dzielone przez y.
Dlatego usuwamy wspólny czynnik z nawiasów 5у.
5y 2: 5y=y; -15 lat: 5 lat = -3.
Zatem: 5 lat 2 -15 lat = 5 lat*(y-3).
Komentarz: O dwa stopnie z ta sama podstawa usuwamy stopień z niższym wykładnikiem.
e) 16у 3 +12у 2.
16 i 12 są podzielne przez 4; y 3 i y 2 są dzielone przez y 2.
Zatem wspólny czynnik 4 lata 2 .
16 lat 3: 4 lata 2 = 4 lata; 12 lat 2 : 4 lata 2 = 3.
W rezultacie otrzymujemy: 16 lat 3 +12 lat 2 = 4 lata 2 *(4 lata +3).
f) Rozłóż wielomian na czynniki 8b(7lat+a)+n(7lat+a).
W to wyrażenie widzimy, że występuje ten sam czynnik(7 lat+a) , które można wyjąć z nawiasów. Otrzymujemy zatem:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).
g) a(b-c)+d(c-b).
Wyrażenia b-c i c-b są przeciwne. Dlatego, aby uczynić je takimi samymi wcześniej d zmień znak „+” na „-”:
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).
Przykłady rozwiązań niezależnych:
- mx+mój;
- aha+aj;
- 5x+5 lat ;
- 12x+48 lat;
- 7 topór + 7 bx;
- 14x+21 lat;
- –ma-a;
- 8m-4m2;
- -12 lat 4 -16 lat;
- 15 lat 3 -30 lat 2 ;
- 5c(y-2c)+y2(y-2c);
- 8m(a-3)+n(a-3);
- x(y-5)-y(5-y);
- 3a(2x-7)+5b(7-2x);
Odpowiedzi.
1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3 lata); 7) -а(m+1); 8) 4m(2nm);
9) -4 lata (3 lata 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).
Aby sprowadzić ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika należy: 1) znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników danych ułamków, będzie to najmniejszy wspólny mianownik. 2) znajdź dodatkowy współczynnik dla każdej frakcji, po co dzielić nowy mianownik do mianownika każdego ułamka. 3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.
Przykłady. Sprowadź poniższe ułamki do najniższego wspólnego mianownika.
Znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników: LCM(5; 4) = 20, ponieważ 20 jest najmniejszą liczbą podzielną zarówno przez 5, jak i 4. Znajdź dla pierwszego ułamka dodatkowy współczynnik 4 (20 : 5=4). Dla drugiej frakcji dodatkowy współczynnik wynosi 5 (20 : 4=5). Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 5. Sprowadzamy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 20 ).
Najniższym wspólnym mianownikiem tych ułamków jest liczba 8, ponieważ 8 dzieli się przez 4 i samą siebie. Do pierwszego ułamka nie będzie żadnego dodatkowego czynnika (lub możemy tak powiedzieć równy jeden), do drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 2 (8 : 4=2). Mnożymy licznik i mianownik drugiego ułamka przez 2. Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 8 ).
Ułamki te nie są nieredukowalne.
Zmniejszmy pierwszy ułamek o 4, a drugi ułamek o 2. ( zobacz przykłady skrótów zwykłe ułamki: Mapa serwisu → 5.4.2. Przykłady redukcji ułamków zwykłych). Znajdź LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatkowy mnożnik dla pierwszego ułamka wynosi 5 (80 : 16=5). Dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka wynosi 4 (80 : 20=4). Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez 5, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 4. Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 80 ).
Znajdujemy najniższy wspólny mianownik NCD (5 ; 6 i 15)=NOK(5 ; 6 i 15)=30. Dodatkowy współczynnik do pierwszego ułamka wynosi 6 (30 : 5=6), dodatkowy współczynnik do drugiego ułamka wynosi 5 (30 : 6=5), dodatkowy współczynnik do trzeciego ułamka wynosi 2 (30 : 15=2). Mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 6, licznik i mianownik drugiego ułamka przez 5, licznik i mianownik trzeciego ułamka przez 2. Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 30 ).
Strona 1 z 1 1
\(5x+xy\) można przedstawić jako \(x(5+y)\). To jest w rzeczywistości identyczne wyrażenia, możemy to sprawdzić otwierając nawiasy: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Jak widać, w rezultacie otrzymujemy oryginalne wyrażenie. Oznacza to, że \(5x+xy\) jest rzeczywiście równe \(x(5+y)\). Nawiasem mówiąc, jest to niezawodny sposób na sprawdzenie poprawności wspólnych czynników - otwórz wynikowy nawias i porównaj wynik z oryginalnym wyrażeniem.
Główna zasada dotycząca nawiasów:
Na przykład w wyrażeniu \(3ab+5bc-abc\) z nawiasu można wyjąć tylko \(b\), ponieważ jest to jedyny wyraz występujący we wszystkich trzech wyrazach. Proces wyjmowania wspólnych czynników z nawiasów pokazano na poniższym schemacie:
Zasady nawiasów
W matematyce zwyczajowo usuwa się wszystkie wspólne czynniki na raz.
Przykład:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Pamiętaj, że tutaj moglibyśmy rozwinąć w ten sposób: \(3(xy-xz)\) lub w ten sposób: \(x(3y-3z)\). Byłyby to jednak rozkłady niepełne. Należy usunąć zarówno C, jak i X.
Czasami wspólne elementy nie są od razu widoczne.
Przykład:\(10x-15y=2,5·x-3,5·y=5(2x-3y)\)
W tym przypadku potoczne określenie (pięć) zostało ukryte. Jednak po rozwinięciu \(10\) jako \(2\) pomnożonego przez \(5\) i \(15\) jako \(3\) pomnożonego przez \(5\) - „wciągnęliśmy piątkę do światło Boże”, po czym z łatwością udało im się go wyjąć ze wspornika.
Jeśli jednomian zostanie całkowicie usunięty, pozostaje z niego jeden.
Przykład: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Umieszczamy \(x\) w nawiasach, a trzeci jednomian składa się tylko z x. Dlaczego z tego pozostaje? Ponieważ jeśli jakiekolwiek wyrażenie zostanie pomnożone przez jeden, nie ulegnie ono zmianie. Oznacza to, że ten sam \(x\) można przedstawić jako \(1\cdot x\). Mamy wtedy następujący łańcuch przekształceń:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Co więcej, jest to jedyny Właściwy sposób usunięcie, bo jeśli go nie zostawimy, to po otwarciu nawiasów nie wrócimy do pierwotnego wyrażenia. Rzeczywiście, jeśli wykonamy ekstrakcję w ten sposób \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), to po rozwinięciu otrzymamy \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Brakuje trzeciego członka. Oznacza to, że takie stwierdzenie jest nieprawidłowe.
Możesz umieścić znak minus poza nawiasem, co spowoduje odwrócenie znaków terminów w nawiasie.
Przykład:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Zasadniczo tutaj stawiamy „minus”, który można „wybrać” przed dowolnym jednomianem, nawet jeśli przed nim nie było minusa. Używamy tutaj faktu, że można go zapisać jako \((-1) \cdot (-1)\). Oto ten sam przykład, szczegółowo opisany:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Nawias może być również częstym czynnikiem.
Przykład:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Z taką sytuacją (usuwaniem nawiasów z nawiasów) spotykamy się najczęściej przy faktoryzacji metodą grupowania lub