Serwis „Profesjonalny Korepetytor Matematyki” kontynuuje cykl artykułów metodycznych na temat nauczania. Publikuję opisy metod mojej pracy z najbardziej skomplikowanymi i tematy problematyczne program nauczania. Ten materiał będzie przydatna dla nauczycieli i korepetytorów matematyki pracujących z uczniami klas 8-11 regularny program oraz zgodnie z programem zajęć matematycznych.
Korepetytor matematyki nie zawsze jest w stanie wytłumaczyć materiał, który jest słabo przedstawiony w podręczniku. Niestety takich tematów jest coraz więcej i masowo popełniane są błędy prezentacyjne w ślad za autorami podręczników. Dotyczy to nie tylko początkujących korepetytorów z matematyki i korepetytorów niestacjonarnych (opiekunami są studenci i opiekunowie uczelni wyższych), ale także doświadczonych nauczycieli, korepetytorów zawodowych, korepetytorów posiadających doświadczenie i kwalifikacje. Talent kompetentnego korektora szorstkości podręczniki szkolne Nie wszyscy nauczyciele matematyki to mają. Nie każdy też rozumie, że te poprawki (lub uzupełnienia) są konieczne. Niewiele dzieci angażuje się w dostosowywanie materiału do jego jakościowego odbioru przez dzieci. Niestety, minął już czas, kiedy nauczyciele matematyki wraz z metodologami i autorami publikacji masowo omawiali każdą literę podręcznika. Wcześniej, przed wypuszczeniem podręcznika do szkół, przeprowadzono poważne analizy i badania efektów uczenia się. Nadszedł czas na amatorów, którzy dążą do ujednolicenia podręczników, dostosowując je do standardów mocnych zajęć z matematyki.
Wyścig w zwiększaniu ilości informacji prowadzi jedynie do obniżenia jakości jej przyswajania, a w konsekwencji do obniżenia poziomu prawdziwa wiedza matematyka. Ale nikt nie zwraca na to uwagi. A nasze dzieci są zmuszone już w 8 klasie uczyć się tego, czego uczyliśmy się w instytucie: teorii prawdopodobieństwa, rozwiązywania równań wysokie stopnie i coś innego. Dostosowanie materiału zawartego w książkach do pełnej percepcji dziecka pozostawia wiele do życzenia, a nauczyciel matematyki zmuszony jest jakoś sobie z tym poradzić.
Porozmawiajmy o metodologii nauczania tak konkretnego tematu, jak „dzielenie wielomianu przez wielomian przez róg”, lepiej znanego w matematyce dla dorosłych jako „twierdzenie Bezouta i schemat Hornera”. Jeszcze kilka lat temu pytanie to nie było tak pilne dla nauczyciela matematyki, ponieważ nie wchodziło w zakres głównych zajęć. program nauczania. Teraz szanowani autorzy podręcznika pod redakcją Telyakovsky'ego wprowadzili zmiany w najnowszym wydaniu, moim zdaniem, najlepszego podręcznika i całkowicie go zepsuli, tylko dodali nauczycielowi niepotrzebne zmartwienia. Nauczyciele szkół i klas niemających statusu matematyki, skupiając się na innowacjach autorów, zaczęli coraz częściej umieszczać na swoich lekcjach dodatkowe akapity, a dociekliwe dzieci, przeglądając piękne strony swojego podręcznika do matematyki, coraz częściej zadają nauczyciel: „Co to za dzielenie przez róg? Czy będziemy przez to przechodzić? Jak dzielić kącik? Nie ma już ucieczki przed tak bezpośrednimi pytaniami. Wychowawca będzie musiał coś dziecku powiedzieć.
Ale jako? Pewnie nie opisywałbym sposobu pracy z tematem, gdyby został on kompetentnie przedstawiony w podręcznikach. Jak u nas wszystko? Podręczniki trzeba drukować i sprzedawać. W tym celu należy je regularnie aktualizować. Czy nauczyciele akademiccy narzekają, że dzieci przychodzą do nich z pustką, bez wiedzy i umiejętności? Wymagania do wiedza matematyczna rozwój? Świetnie! Usuńmy niektóre ćwiczenia i zamiast tego wstawmy tematy, których uczy się w innych programach. Dlaczego nasz podręcznik jest gorszy? Włączmy trochę dodatkowe rozdziały. Dzieci w wieku szkolnym nie znają zasady dzielenia rogu? To samo elementarna matematyka. Ten akapit powinien być opcjonalny i zatytułowany „dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej”. Czy nauczyciele są temu przeciwni? Dlaczego w ogóle dbamy o korepetytorów? Metodolodzy i nauczyciele też są temu przeciwni? Nie będziemy komplikować materiału i rozważymy jego najprostszą część.
I tu się zaczyna. Prostota tematu i jakość jego przyswojenia polega przede wszystkim na zrozumieniu jego logiki, a nie na wykonaniu, zgodnie z instrukcjami autorów podręcznika, pewnego zestawu operacji, które nie są ze sobą jasno powiązane . W przeciwnym razie w głowie ucznia pojawi się mgła. Jeśli obliczenia autorów opierają się na stosunkowo silnych uczniów(ale studiujesz na zwykłym programie), to nie powinieneś przedstawiać tematu w formie poleceń. Co widzimy w podręczniku? Dzieci, musimy dzielić według tej zasady. Znajdź wielomian pod kątem. Zatem pierwotny wielomian zostanie rozłożony na czynniki. Nie jest jednak jasne, dlaczego wyrazy pod rogiem są wybierane dokładnie w ten sposób, dlaczego należy je pomnożyć przez wielomian nad rogiem, a następnie odjąć od bieżącej reszty. A co najważniejsze, nie jest jasne, dlaczego wybrane jednomiany należy ostatecznie dodać i dlaczego powstałe nawiasy będą rozwinięciem pierwotnego wielomianu. Każdy kompetentny matematyk postawi odważny znak pytanie dotyczące wyjaśnień podanych w podręczniku.
Zwracam uwagę korepetytorów i nauczycieli matematyki na moje rozwiązanie problemu, dzięki czemu praktycznie wszystko, co jest napisane w podręczniku, staje się dla ucznia oczywiste. Faktycznie udowodnimy twierdzenie Bezouta: jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu, to wielomian ten można rozłożyć na czynniki, z których jeden to x-a, a drugi otrzymać z pierwotnego na jeden z trzech sposobów: poprzez izolację czynnika liniowego poprzez przekształcenia, dzielenie przez róg lub według schematu Hornera. Dzięki takiemu sformułowaniu praca nauczyciela matematyki będzie łatwiejsza.
Czym jest metodologia nauczania? Przede wszystkim jest to jasna kolejność objaśnień i przykładów, na podstawie których wyciągane są wnioski matematyczne. Ten temat nie jest wyjątkiem. Dla nauczyciela matematyki bardzo ważne jest zapoznanie dziecka z twierdzeniem Bezouta przed podzieleniem przez róg. To jest bardzo ważne! Najlepszym sposobem na osiągnięcie zrozumienia jest konkretny przykład. Weźmy wielomian z wybranym pierwiastkiem i pokażmy technikę rozkładania go na czynniki metodą znaną dzieciom w wieku szkolnym od 7. klasy przemiany tożsamości. Dzięki odpowiednim objaśnieniom, naciskom i wskazówkom nauczyciela matematyki możliwe jest przekazanie materiału bez żadnych ogólnych obliczeń matematycznych, arbitralnych współczynników i stopni.
Ważna rada dla nauczyciela matematyki- postępuj zgodnie z instrukcjami od początku do końca i nie zmieniaj tej kolejności.
Powiedzmy więc, że mamy wielomian. Jeśli podstawimy liczbę 1 zamiast jej X, wówczas wartość wielomianu będzie równa zero. Zatem x=1 jest jego pierwiastkiem. Spróbujmy rozłożyć na dwa terminy, tak aby jednym z nich był produkt wyrażenie liniowe i jakiś jednomian, a drugi miałby stopień o jeden mniejszy niż . To znaczy, przedstawmy to w formie
Wybieramy jednomian dla pola czerwonego tak, aby pomnożony przez człon wiodący całkowicie pokrywał się z członem wiodącym pierwotnego wielomianu. Jeśli uczeń nie jest najsłabszy, będzie w stanie podać nauczycielowi matematyki wymagane wyrażenie: . Należy od razu poprosić nauczyciela o włożenie go w czerwone pole i pokazanie, co się stanie po ich otwarciu. Ten wirtualny tymczasowy wielomian najlepiej podpisać pod strzałkami (pod małym zdjęciem), podkreślając go jakimś kolorem, na przykład niebieskim. Pomoże Ci to wybrać termin dla czerwonego pola, zwanego pozostałą częścią zaznaczenia. Radziłbym nauczycielom, aby zwrócili tutaj uwagę, że resztę można znaleźć poprzez odejmowanie. Wykonując tę operację otrzymujemy:
Korepetytor matematyki powinien zwrócić uwagę ucznia na fakt, że podstawiając jedynkę do tej równości, mamy pewność, że po jej lewej stronie otrzymamy zero (ponieważ 1 jest pierwiastkiem pierwotnego wielomianu), a po prawej stronie oczywiście wyzeruje również pierwszy wyraz. Oznacza to, że bez żadnej weryfikacji możemy powiedzieć, że jeden jest pierwiastkiem „zielonej reszty”.
Potraktujmy to tak samo, jak zrobiliśmy to z wielomianem pierwotnym, wyodrębniając z niego ten sam współczynnik liniowy. Nauczyciel matematyki rysuje przed uczniem dwie ramki i prosi o ich wypełnienie od lewej do prawej.
Student wybiera dla prowadzącego jednomian dla pola czerwonego, tak aby pomnożony przez człon wiodący wyrażenia liniowego dał człon wiodący rozwijającego się wielomianu. Dopasowujemy go do ramy, natychmiast otwieramy wspornik i zaznaczamy na niebiesko wyrażenie, które należy odjąć od składanego. Wykonując tę operację otrzymujemy
Na koniec zrób to samo z ostatnią resztą
w końcu to dostaniemy
Teraz wyjmijmy wyrażenie z nawiasu i zobaczymy rozkład pierwotnego wielomianu na czynniki, z których jeden to „x minus wybrany pierwiastek”.
Aby uczeń nie pomyślał, że ostatnia „zielona reszta” została przypadkowo rozłożona na wymagane czynniki, nauczyciel matematyki powinien zwrócić mu uwagę ważna własność ze wszystkich zielonych reszt - każda z nich ma pierwiastek 1. Ponieważ stopnie tych reszt maleją, to niezależnie od stopnia początkowego wielomianu, prędzej czy później otrzymamy liniową „zieloną resztę” z pierwiastkiem 1, oraz dlatego z konieczności rozłoży się na produkt pewną liczbę i wyrażenie.
Po tym Praca przygotowawcza Korepetytorowi matematyki nie będzie trudno wyjaśnić uczniowi, co się dzieje podczas dzielenia przez róg. Jest to ten sam proces, tylko w krótszej i bardziej zwartej formie, bez znaków równości i bez przepisywania tych samych wyróżnionych terminów. Wielomian, z którego wyodrębniany jest współczynnik liniowy, zapisuje się po lewej stronie rogu, wybrane czerwone jednomiany zbiera się pod kątem (teraz staje się jasne, dlaczego powinny się sumować), aby otrzymać „niebieskie wielomiany”, „czerwone ” należy pomnożyć przez x-1, a następnie odjąć od aktualnie wybranego sposobu, w jaki się to robi, kiedy zwykły podział liczby w kolumnie (tutaj analogia do tego, co badano wcześniej). Powstałe „zielone pozostałości” podlegają nowej izolacji i selekcji „czerwonych jednomianów”. I tak dalej, aż uzyskasz zerowy „zielony bilans”. Najważniejsze, że uczeń rozumie dalszy los zapisane wielomiany powyżej i poniżej kąta. Są to oczywiście nawiasy, których iloczyn jest równy pierwotnemu wielomianowi.
Kolejnym etapem pracy nauczyciela matematyki jest sformułowanie twierdzenia Bezouta. W rzeczywistości jego sformułowanie przy takim podejściu nauczyciela staje się oczywiste: jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu, to można ją rozłożyć na czynniki, z których jeden to , a drugi otrzymuje się z pierwotnego na jeden z trzech sposobów :
- rozkład bezpośredni (analogicznie do metody grupowania)
- dzielenie przez róg (w kolumnie)
- poprzez obwód Hornera
Trzeba powiedzieć, że nie wszyscy korepetytorzy matematyki pokazują uczniom diagram Hornera i nie wszyscy nauczyciele szkolni(na szczęście dla samych prowadzących) tak głęboko zagłębiają się w temat na lekcjach. Jednak dla studenta klasa matematyczna Nie widzę powodu, aby poprzestać na długim dzieleniu. Co więcej, najwygodniejszy i szybko Technika rozkładu opiera się właśnie na schemacie Hornera. Aby wytłumaczyć dziecku skąd się to bierze, wystarczy prześledzić na przykładzie dzielenia przez róg pojawienie się wyższych współczynników w zielonych resztach. Staje się jasne, że wiodący współczynnik początkowego wielomianu jest przenoszony do współczynnika pierwszego „czerwonego jednomianu”, a dalej od drugiego współczynnika bieżącego górnego wielomianu odliczony wynik pomnożenia aktualnego współczynnika „czerwonego jednomianu” przez . Dlatego jest to możliwe dodać wynik mnożenia przez . Po skupieniu uwagi ucznia na specyfice działań ze współczynnikami, nauczyciel matematyki może pokazać, jak te działania są zwykle wykonywane, bez zapisywania samych zmiennych. Aby to zrobić, wygodnie jest wprowadzić pierwiastek i współczynniki pierwotnego wielomianu w kolejności pierwszeństwa w poniższej tabeli:
Jeżeli w wielomianie brakuje jakiegoś stopnia, w tabeli wpisywany jest jego współczynnik zerowy. Współczynniki „czerwonych wielomianów” zapisuje się kolejno w dolnym wierszu zgodnie z zasadą „haka”: 
Pierwiastek mnoży się przez ostatni czerwony współczynnik, dodawany do kolejnego współczynnika w górnym wierszu, a wynik zapisuje do dolnego wiersza. W ostatniej kolumnie mamy gwarancję uzyskania najwyższego współczynnika ostatniej „zielonej reszty”, czyli zera. Po zakończeniu procesu liczby umieszczony pomiędzy dopasowanym pierwiastkiem a resztą zerową okazują się być współczynnikami drugiego (nieliniowego) czynnika.
Ponieważ pierwiastek a daje zero na końcu dolnej linii, schemat Hornera można zastosować do sprawdzenia liczb pod kątem tytułu pierwiastka wielomianu. Jeśli specjalne twierdzenie o wyborze pierwiastka wymiernego. Wszystkich kandydatów do tego tytułu uzyskanych za jego pomocą po prostu wstawia się kolejno od lewej strony do diagramu Hornera. Gdy tylko otrzymamy zero, sprawdzana liczba będzie pierwiastkiem, a jednocześnie otrzymamy współczynniki faktoryzacji pierwotnego wielomianu na jego prostej. Bardzo wygodnie.
Podsumowując, pragnę zauważyć, że aby dokładnie przedstawić schemat Hornera, a także praktycznie utrwalić temat, korepetytor matematyki musi dysponować odpowiednią liczbą godzin. Korepetytor pracujący w systemie „raz w tygodniu” nie powinien angażować się w dzielenie narożne. Jest mało prawdopodobne, aby na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki i w Państwowej Akademii Matematyki w pierwszej części spotkali się Państwo z równaniem trzeciego stopnia, które można rozwiązać w ten sposób. Jeśli korepetytor przygotowuje dziecko do egzaminu z matematyki na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, studiowanie tego tematu staje się obowiązkowe. Nauczyciele uniwersyteccy, w przeciwieństwie do kompilatorów Unified State Exam, naprawdę lubią sprawdzać głębokość wiedzy kandydata.
Kołpakow Aleksander Nikołajewicz, nauczyciel matematyki Moskwa, Strogino
Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca, pobierz pełną wersję.
Typ lekcji: Lekcja opanowywania i utrwalania wiedzy podstawowej.
Cel lekcji:
- Zapoznać uczniów z pojęciem pierwiastków wielomianu i nauczyć ich, jak je znaleźć. Doskonalenie umiejętności wykorzystania schematu Hornera do rozwijania wielomianu przez potęgę i dzielenia wielomianu przez dwumian.
- Naucz się znajdować pierwiastki równania, korzystając ze schematu Hornera.
- Rozwijaj myślenie abstrakcyjne.
- Promuj kulturę komputerową.
- Rozwój powiązań interdyscyplinarnych.
Podczas zajęć
1. Moment organizacyjny.
Poinformuj o temacie lekcji, sformułuj cele.
2. Sprawdzanie pracy domowej.
3. Studiowanie nowego materiału.
Niech Fn(x) = za n x n + za n-1 x n-1 +...+ za 1 x + za 0 - wielomian dla x stopnia n, gdzie a 0 , a 1 ,...,an są liczbami i a 0 nie jest równe 0. Jeżeli wielomian F n (x) dzielimy z resztą przez dwumian x-a, wówczas iloraz (iloraz niepełny) jest wielomianem Q n-1 (x) stopnia n-1, reszta R jest liczbą i równość jest prawdziwa F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) +R. Wielomian F n (x) jest podzielny przez dwumian (x-a) tylko w przypadku R=0.
Twierdzenie Bezouta: Reszta R z dzielenia wielomianu F n (x) przez dwumian (x-a) jest równa wartości wielomianu F n (x) w x=a, tj. R=Pn(a).
Trochę historii. Twierdzenie Bezouta, pomimo pozornej prostoty i oczywistości, należy do twierdzeń podstawowe twierdzenia teoria wielomianów. Twierdzenie to wiąże algebraiczne właściwości wielomianów (które pozwalają nam pracować z wielomianami jako liczbami całkowitymi) z ich Właściwości funkcjonalne(co pozwala na traktowanie wielomianów jako funkcji). Jednym ze sposobów rozwiązywania równań wyższego stopnia jest rozłożenie wielomianu na czynniki po lewej stronie równania. Obliczenie współczynników wielomianu i reszty zapisuje się w formie tabeli zwanej schematem Hornera.
Schemat Hornera to algorytm dzielenia wielomianów, napisany dla szczególnego przypadku, gdy iloraz jest równy dwumianowi x–a.
Horner William George (1786 - 1837), angielski matematyk. Badania podstawowe dotyczą teorii równania algebraiczne. Opracował metodę przybliżonego rozwiązywania równań dowolnego stopnia. W 1819 roku wprowadził ważną dla algebry metodę dzielenia wielomianu przez dwumian x - a (schemat Hornera).
Wniosek ogólna formuła dla schematu Hornera.
Dzielenie wielomianu f(x) z resztą przez dwumian (x-c) oznacza znalezienie wielomianu q(x) i liczby r takiej, że f(x)=(x-c)q(x)+r
Napiszmy szczegółowo tę równość:
fa 0 x n + fa 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + fa n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Przyrównajmy współczynniki w tych samych stopniach:
xn: fa 0 = q 0 => q 0 = fa 0 xn-1: fa 1 = q 1 - do q 0 => q 1 = fa 1 + do q 0 xn-2: fa 2 = q 2 - do q 1 => q 2 = fa 2 + do q 1 ... ... x0: fa n = q n - do q n-1 => q n = fa n + do q n-1.
Demonstracja obwodu Hornera na przykładzie.
Ćwiczenie 1. Korzystając ze schematu Hornera, dzielimy wielomian f(x) = x 3 - 5x 2 + 8, a resztę przez dwumian x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, gdzie g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 reszta.
Rozwinięcie wielomianu w potęgi dwumianu.
Korzystając ze schematu Hornera, rozwijamy wielomian f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 w potęgach dwumianu (x+2).
W rezultacie powinniśmy otrzymać rozwinięcie f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2) 2-2(x+2)+12
Schemat Hornera jest często używany przy rozwiązywaniu równań trzeciego, czwartego i wyższego stopnia, gdy wygodnie jest rozszerzyć wielomian na dwumian x-a. Numer A zwany pierwiastek wielomianu fa n (x) = fa 0 x n + fa 1 x n-1 + fa 2 x n-2 + ...+f n-1 x + fa n, jeśli w x=a wartość wielomianu F n (x) jest równa zeru: F n (a)=0, tj. jeśli wielomian jest podzielny przez dwumian x-a.
Przykładowo liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu F 3 (x)=3x 3 -2x-20, gdyż F 3 (2)=0. to znaczy. Że rozkład na czynniki tego wielomianu zawiera współczynnik x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Dowolny wielomian F n(x) stopnia N Nie mogę mieć więcej N prawdziwe korzenie.
Każdy cały korzeń równanie o współczynnikach całkowitych jest dzielnikiem jego wolnego członu.
Jeśli wiodący współczynnik równania wynosi 1, wówczas wszystkie pierwiastki wymierne równania, jeśli istnieją, są liczbami całkowitymi.
Konsolidacja badanego materiału.
W celu utrwalenia nowego materiału uczniowie proszeni są o uzupełnienie liczb z podręcznika 2.41 i 2.42 (s. 65).
(2 uczniów rozwiązuje na tablicy, a reszta, po podjęciu decyzji, sprawdza zadania w zeszycie z odpowiedziami na tablicy).
Zreasumowanie.
Po zapoznaniu się ze strukturą i zasadą działania schematu Hornera można go również wykorzystać na lekcjach informatyki, gdy rozważane jest zagadnienie konwersji liczb całkowitych z systemu dziesiętnego na system binarny i odwrotnie. Podstawą przeniesienia z jednego systemu liczbowego do drugiego jest następujące ogólne twierdzenie
Twierdzenie. Aby przekonwertować liczbę całkowitą Ap z P-aryjski system liczbowy do podstawowego systemu liczbowego D niezbędny Ap kolejno dzielić z resztą przez liczbę D, napisane w tym samym P-ary system, aż uzyskany iloraz stanie się równy zero. Pozostała część z podziału będzie D-cyfry numeryczne Ogłoszenie, począwszy od kategorii najmłodszej do najstarszej. Wszystkie czynności należy wykonać w P-arny system liczbowy. Dla osoby ta zasada jest wygodna tylko wtedy, gdy P= 10, tj. podczas tłumaczenia z system dziesiętny. Jeśli chodzi o komputer, wręcz przeciwnie, „wygodniej” jest na nim wykonywać obliczenia system binarny. Dlatego do konwersji „2 na 10” stosuje się sekwencyjne dzielenie przez dziesięć w systemie binarnym, a „10 do 2” to dodanie potęg dziesięciu. Aby zoptymalizować obliczenia procedury „10 w 2”, komputer wykorzystuje ekonomiczny schemat obliczeń Hornera.
Praca domowa. Proponuje się wykonanie dwóch zadań.
1. Korzystając ze schematu Hornera, podziel wielomian f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 przez dwumian (x-3).
2. Znajdź pierwiastki całkowite wielomianu f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (biorąc pod uwagę, że każdy pierwiastek z liczby całkowitej równania o współczynnikach całkowitych jest dzielnikiem jego wyrazu wolnego)
Literatura.
- Kurosh A.G. „Kurs wyższej algebry”.
- Nikolsky S.M., Potapow M.K. i inne Klasa 10 „Algebra i początki analizy matematycznej”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Slajd 3
Horner Williams George (1786-22.09.1837) – angielski matematyk. Urodzony w Bristolu. Tam studiował i pracował, następnie w szkołach w Bath. Podstawowe prace z algebry. W 1819 r opublikowali metodę przybliżonego obliczania pierwiastków rzeczywistych wielomianu, zwaną obecnie metodą Ruffiniego-Hornera (metoda ta była znana Chińczykom już w XIII w.) Schemat dzielenia wielomianu przez dwumian x-a nosi nazwę po Hornerze.
Slajd 4
SCHEMAT HORNERA
Metoda podziału n-ty wielomian stopień na dwumianie liniowym - a, w oparciu o fakt, że współczynniki niepełnego ilorazu i reszty odwołujemy do współczynników wielomianu podzielnego i za pomocą wzorów:
Slajd 5
Obliczenia według schematu Hornera umieszczono w tabeli:
Przykład 1. Dzielenie Iloraz częściowy to x3-x2+3x - 13, a reszta to 42=f(-3).
Slajd 6
Główną zaletą tej metody jest zwartość nagrania i możliwości szybki podział wielomian do dwumianu. W rzeczywistości schemat Hornera jest inną formą zapisu metody grupowania, chociaż w przeciwieństwie do tego ostatniego jest całkowicie niewizualny. Odpowiedź (faktoryzację) uzyskuje się tutaj sama i nie widzimy procesu jej uzyskiwania. Nie będziemy się wdawać w rygorystyczne uzasadnianie schematu Hornera, a jedynie pokażemy, jak on działa.
Slajd 7
Przykład 2.
Udowodnijmy, że wielomian P(x)=x4-6x3+7x-392 jest podzielny przez x-7 i znajdźmy iloraz dzielenia. Rozwiązanie. Korzystając ze schematu Hornera, znajdujemy P(7): Stąd otrzymujemy P(7)=0, tj. reszta z dzielenia wielomianu przez x-7 równy zeru i dlatego wielomian P(x) jest wielokrotnością (x-7), a liczby w drugim wierszu tabeli są współczynnikami ilorazu P(x) podzielonego przez (x-7), zatem P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Slajd 8
Rozłóż wielomian na czynniki x3 – 5x2 – 2x + 16.
Ten wielomian ma współczynniki całkowite. Jeśli pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba całkowita, to jest to dzielnik liczby 16. Zatem, jeśli y dany wielomian są całe pierwiastki, to mogą to być tylko liczby ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Poprzez bezpośrednią weryfikację jesteśmy przekonani, że liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu, czyli x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), gdzie Q(x) jest wielomianem drugiego stopnia
Slajd 9
Otrzymane liczby 1, −3, −8 są współczynnikami wielomianu, który otrzymujemy dzieląc pierwotny wielomian przez x – 2. Oznacza to, że wynikiem dzielenia jest: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Stopień wielomianu powstałego w wyniku dzielenia jest zawsze o 1 mniejszy od stopnia pierwotnego. Zatem: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Schemat Hornera - metoda dzielenia wielomianu
$$P_n(x)=\suma\limity_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
na dwumianu $x-a$. Będziesz musiał pracować z tabelą, której pierwszy wiersz zawiera współczynniki danego wielomianu. Pierwszym elementem drugiej linii będzie liczba $a$, wzięta z dwumianu $x-a$:
Dzieląc wielomian n-tego stopnia przez dwumian $x-a$, otrzymujemy wielomian, którego stopień jest o jeden mniejszy od stopnia pierwotnego, tj. równa się $n-1$. Bezpośrednie zastosowanie schematu Hornera najłatwiej wykazać na przykładach.
Przykład nr 1
Podziel $5x^4+5x^3+x^2-11$ przez $x-1$, korzystając ze schematu Hornera.
Zróbmy tabelę dwuwierszową: w pierwszej linii zapiszemy współczynniki wielomianu $5x^4+5x^3+x^2-11$, ułożone w malejącej kolejności potęg zmiennej $x$. Należy zauważyć, że wielomian ten nie zawiera $x$ pierwszego stopnia, tj. współczynnik $x$ do pierwszej potęgi wynosi 0. Ponieważ dzielimy przez $x-1$, zapisujemy jedynkę w drugim wierszu:
Zacznijmy wypełniać puste komórki w drugiej linii. W drugiej komórce drugiej linii wpisujemy liczbę $5$, po prostu przenosząc ją z odpowiedniej komórki pierwszej linii:
Wypełnijmy następną komórkę zgodnie z następującą zasadą: $1\cdot 5+5=10$:
W ten sam sposób wypełnijmy czwartą komórkę drugiej linii: $1\cdot 10+1=11$:
Dla piątej komórki otrzymujemy: $1\cdot 11+0=11$:
I wreszcie dla ostatniej, szóstej komórki mamy: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problem rozwiązany, pozostaje tylko zapisać odpowiedź:
Jak widać liczby znajdujące się w drugim wierszu (od jednego do zera) są współczynnikami wielomianu otrzymanego po podzieleniu $5x^4+5x^3+x^2-11$ przez $x-1$. Naturalnie, ponieważ stopień pierwotnego wielomianu $5x^4+5x^3+x^2-11$ był równy cztery, stopień powstałego wielomianu $5x^3+10x^2+11x+11$ wynosi jeden mniej, tj. równa się trzy. Ostatnia liczba w drugim wierszu (zero) oznacza resztę z dzielenia wielomianu $5x^4+5x^3+x^2-11$ przez $x-1$. W naszym przypadku reszta wynosi zero, tj. wielomiany są równomiernie podzielne. Wynik ten można także scharakteryzować następująco: wartość wielomianu $5x^4+5x^3+x^2-11$ dla $x=1$ jest równa zeru.
Wniosek można też sformułować w następującej postaci: skoro wartość wielomianu $5x^4+5x^3+x^2-11$ przy $x=1$ jest równa zeru, to pierwiastkiem wielomianu jest jedność $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Przykład nr 2
Podziel wielomian $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ przez $x+3$, korzystając ze schematu Hornera.
Załóżmy od razu, że wyrażenie $x+3$ należy przedstawić w postaci $x-(-3)$. Schemat Hornera będzie obejmował dokładnie -3 $. Ponieważ stopień pierwotnego wielomianu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ jest równy cztery, to w wyniku dzielenia otrzymujemy wielomian trzeciego stopnia:
Wynik to oznacza
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
W tej sytuacji reszta z dzielenia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ przez $x+3$ wynosi 4$. Albo, co jest takie samo, wartość wielomianu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ dla $x=-3$ jest równa 4$. Nawiasem mówiąc, łatwo to sprawdzić, bezpośrednio podstawiając $x=-3$ do podanego wielomianu:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Te. Schemat Hornera można zastosować, jeśli konieczne jest znalezienie wartości wielomianu w ustalić wartość zmienny. Jeśli naszym celem jest znalezienie wszystkich pierwiastków wielomianu, to schemat Hornera można zastosować kilka razy z rzędu, aż do wyczerpania wszystkich pierwiastków, co omówiono w przykładzie nr 3.
Przykład nr 3
Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ korzystając ze schematu Hornera.
Współczynniki rozważanego wielomianu są liczbami całkowitymi, a współczynnik wcześniej starszy stopień zmienna (tj. przed $x^6$) równy jeden. W takim przypadku pierwiastków całkowitych wielomianu należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego, tj. wśród dzielników liczby 45. Dla danego wielomianu takimi pierwiastkami mogą być liczby $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ i -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Sprawdźmy na przykład liczbę $1$:
Jak widać, wartość wielomianu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ przy $x=1$ jest równa $192$ (ostatnia liczba w drugiej linii), a nie $0 $, zatem jedność nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Ponieważ sprawdzenie jednego nie powiodło się, sprawdźmy wartość $x=-1$. Nowy stół W tym celu nie będziemy kompilować, ale nadal będziemy korzystać z tabeli. Nr 1, dodając do niego nową (trzecią) linię. Druga linia, w której została sprawdzona wartość 1$, zostanie podświetlona na czerwono i nie będzie wykorzystywana w dalszych dyskusjach.
Możesz oczywiście po prostu przepisać tabelę od nowa, ale ręczne wypełnienie jej zajmie dużo czasu. Co więcej, może być kilka liczb, których weryfikacja zakończy się niepowodzeniem i trudno jest za każdym razem napisać nową tabelę. Obliczając „na papierze”, czerwone linie można po prostu przekreślić.
Zatem wartość wielomianu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ przy $x=-1$ jest równa zeru, tj. liczba $-1$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dzieląc wielomian $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ przez dwumian $x-(-1)=x+1$ otrzymujemy wielomian $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, których współczynniki pobierane są z trzeciego wiersza tabeli. Nr 2 (patrz przykład nr 1). Wynik obliczeń można przedstawić także w postaci:
\begin(równanie)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(równanie)
Kontynuujmy poszukiwania pierwiastków całkowitych. Teraz musimy poszukać pierwiastków wielomianu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ponownie szukamy całkowitych pierwiastków tego wielomianu wśród dzielników jego wolnego wyrazu, czyli liczb $45$. Spróbujmy jeszcze raz sprawdzić liczbę $-1$. Nie utworzymy nowej tabeli, ale będziemy nadal korzystać z poprzedniej tabeli. nr 2, tj. Dodajmy do tego jeszcze jedną linijkę:
Zatem liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Wynik ten można zapisać w następujący sposób:
\begin(równanie)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(równanie)
Uwzględniając równość (2), równość (1) można zapisać w postaci:
\begin(równanie)\begin(wyrównane) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(wyrównane)\end(równanie)
Teraz musimy poszukać pierwiastków wielomianu $x^4-22x^2+24x+45$ - oczywiście wśród dzielników jego wolnego wyrazu (liczb $45$). Sprawdźmy jeszcze raz liczbę $-1$:
Liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $x^4-22x^2+24x+45$. Wynik ten można zapisać w następujący sposób:
\begin(równanie)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(równanie)
Uwzględniając równość (4), równość (3) przepisujemy w następującej postaci:
\begin(równanie)\begin(wyrównane) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(wyrównane)\end(równanie)
Teraz szukamy pierwiastków wielomianu $x^3-x^2-21x+45$. Sprawdźmy jeszcze raz liczbę $-1$:
Kontrola zakończyła się niepowodzeniem. Zaznaczmy na czerwono szóstą linię i spróbujmy sprawdzić inną liczbę, na przykład liczbę $3$:
Reszta wynosi zero, zatem liczba $3$ jest pierwiastkiem rozpatrywanego wielomianu. Zatem $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Teraz równość (5) można przepisać w następujący sposób.