Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych
Przyjrzyjmy się bliżej operacjom arytmetycznym w systemie liczb binarnych. Arytmetyka systemu liczb binarnych opiera się na wykorzystaniu tablic do dodawania, odejmowania i mnożenia cyfr. Operandy arytmetyczne znajdują się w górnym wierszu i pierwszej kolumnie tabel, a wyniki znajdują się na przecięciu kolumn i wierszy:
Przyjrzyjmy się szczegółowo każdej operacji.
Dodatek. Tabela dodawania binarnego jest niezwykle prosta. Tylko w jednym przypadku, gdy przeprowadza się dodawanie 1+1, następuje przeniesienie do najbardziej znaczącej cyfry. ,
Odejmowanie. Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowań cyfra 1 ze słupkiem oznacza pożyczkę o najwyższej randze.
Mnożenie. Operację mnożenia wykonuje się za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych z sekwencyjnym mnożeniem mnożnej przez kolejną cyfrę mnożnika.
Dział. Operację dzielenia wykonuje się przy użyciu algorytmu podobnego do algorytmu wykonywania operacji dzielenia w systemie liczb dziesiętnych.
W tym kalkulatorze używane są również następujące elementy:
Konwersja liczb na system binarny, szesnastkowy, dziesiętny i ósemkowy
Mnożenie liczb binarnych
Format zmiennoprzecinkowy
Przykład nr 1. Przedstaw liczbę 133,54 w postaci zmiennoprzecinkowej.
Rozwiązanie. Przedstawmy liczbę 133,54 w znormalizowanej formie wykładniczej:
1,3354*10 2 = 1,3354*wyr. 10 2
Liczba 1,3354*exp 10 2 składa się z dwóch części: mantysy M=1,3354 i wykładnika exp 10 =2
Jeśli mantysa mieści się w przedziale 1 ≤ M Reprezentowanie liczby w zdenormalizowanej formie wykładniczej.
Jeżeli mantysa mieści się w przedziale 0,1 ≤ M Przedstawmy liczbę w zdenormalizowanej formie wykładniczej: 0,13354*exp 10 3
Przykład nr 2. Reprezentuje liczbę binarną 101.10 2 w znormalizowanej formie, zapisaną w 32-bitowym standardzie IEEE754.
Tabela prawdy
Obliczanie limitów
Arytmetyka w systemie liczb binarnych
Operacje arytmetyczne w systemie binarnym wykonuje się analogicznie jak w systemie dziesiętnym. Ale jeśli w systemie dziesiętnym transfer i pożyczanie odbywa się o dziesięć jednostek, to w systemie liczb binarnych - o dwie jednostki. Tabela przedstawia zasady dodawania i odejmowania w systemie liczb binarnych.- Podczas dodawania dwóch jednostek w systemie liczb binarnych ten bit będzie miał wartość 0, a jednostka zostanie przeniesiona na najbardziej znaczący bit.
- Odejmując jeden od zera, jeden jest pożyczany od najwyższej cyfry, gdzie jest 1. Jednostka zajmowana w tej cyfrze daje dwie jednostki w cyfrze, w której obliczana jest akcja, a także po jednej we wszystkich cyfrach pośrednich.
Dodawanie liczb z uwzględnieniem ich znaków na maszynie to sekwencja następujących działań:
- konwersja oryginalnych liczb na określony kod;
- bitowe dodawanie kodów;
- analiza uzyskanego wyniku.
Podczas wykonywania operacji na kodzie uzupełnienia do dwójki (zmodyfikowanego uzupełnienia do dwójki), jeśli w wyniku dodania w bicie znaku pojawi się jednostka przenoszenia, jest ona odrzucana.
Odejmowanie w komputerze odbywa się poprzez dodawanie według zasady: X-Y=X+(-Y). Dalsze czynności wykonujemy analogicznie jak w przypadku operacji dodawania.
Przykład nr 1.
Dane: x=0,110001; y= -0,001001, dodaj odwrotnie zmodyfikowany kod.
Dane: x=0,101001; y= -0,001101, dodaj dodatkowo zmodyfikowany kod. 
Przykład nr 2. Rozwiąż przykłady odejmowania liczb binarnych przy użyciu metody uzupełnienia do jedynki i cyklicznego przenoszenia.
a) 11 - 10.
Rozwiązanie.
Wyobraźmy sobie liczby 11 2 i -10 2 w kodzie odwrotnym.
Liczba binarna 0000011 ma kod odwrotności 0,0000011
Dodajmy liczby 00000011 i 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Nastąpiło przepełnienie drugiej cyfry (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do 3. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
W rezultacie otrzymujemy:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Nastąpiło przeniesienie z bitu znaku. Dodajmy ją (tj. 1) do otrzymanej liczby (realizując w ten sposób procedurę cyklicznego przelewu).
W rezultacie otrzymujemy:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Wynik dodania: 00000001. Zamieńmy to na postać dziesiętną. Aby przetłumaczyć część całkowitą, należy pomnożyć cyfrę liczby przez odpowiedni stopień cyfry.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Wynik dodania (zapis dziesiętny): 1
b) 111-010 Wyobraźmy sobie liczby 111 2 i -010 2 w odwrotnym kodzie.
Kod odwrotny dla liczby dodatniej jest taki sam jak kod do przodu. W przypadku liczby ujemnej wszystkie cyfry liczby zastępuje się ich przeciwieństwami (1 na 0, 0 na 1), a w cyfrze znaku wprowadza się jednostkę.
Liczba binarna 0000111 ma kod odwrotności 0,0000111
Liczba binarna 0000010 ma kod odwrotności 1.1111101
Dodajmy liczby 00000111 i 11111101
Nastąpiło przepełnienie cyfry 0 (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do pierwszej cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
Nastąpiło przepełnienie pierwszej cyfry (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do drugiej cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Nastąpiło przepełnienie drugiej cyfry (1 + 1 + 1 = 11). Dlatego piszemy 1 i przesuwamy 1 do 3. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Nastąpiło przepełnienie trzeciej cyfry (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do 4. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Nastąpiło przepełnienie w 4. bicie (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do 5. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Nastąpiło przepełnienie piątej cyfry (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do 6. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Na 6. bicie wystąpiło przepełnienie (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do 7. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Na 7. bicie wystąpiło przepełnienie (1 + 1 = 10). Dlatego piszemy 0 i przesuwamy 1 do 8. cyfry.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
W rezultacie otrzymujemy:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Nastąpiło przeniesienie z bitu znaku. Dodajmy ją (tj. 1) do otrzymanej liczby (realizując w ten sposób procedurę cyklicznego przelewu).
W rezultacie otrzymujemy:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Wynik dodania: 00000101
Otrzymaliśmy liczbę 00000101. Aby przeliczyć całą część, należy pomnożyć cyfrę liczby przez odpowiedni stopień cyfry.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Wynik dodania (zapis dziesiętny): 5
Dodawanie binarnych liczb rzeczywistych zmiennoprzecinkowych
Na komputerze dowolną liczbę można przedstawić w formacie zmiennoprzecinkowym. Format zmiennoprzecinkowy pokazano na rysunku:
Na przykład liczbę 10101 w formacie zmiennoprzecinkowym można zapisać w następujący sposób:
Komputery stosują znormalizowaną formę zapisu liczby, w której pozycja przecinka dziesiętnego jest zawsze podawana przed znaczącą cyfrą mantysy, tj. warunek jest spełniony:
b -1 ≤|M| Znormalizowana liczba - Jest to liczba, która po przecinku ma cyfrę znaczącą (tj. 1 w systemie liczb binarnych). Przykład normalizacji:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Podczas dodawania liczb zmiennoprzecinkowych wyrównanie kolejności odbywa się w kierunku wyższego rzędu: 
Algorytm dodawania liczb zmiennoprzecinkowych:
- Ujednolicenie zamówień;
- Dodanie mantys w zmodyfikowanym dodatkowym kodzie;
- Normalizacja wyniku.
Przykład nr 4.
A=0,1011*2 10, B=0,0001*2 11
1. Ujednolicenie zamówień;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Dodanie mantys w dodatkowo zmodyfikowanym kodzie;
MA dodatkowy mod. =00,01011
MB dodatkowy mod. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalizacja wyniku.
A+B=0,1101*2 10
Przykład nr 3. Zapisz liczbę dziesiętną w systemie binarnym i dodaj dwie liczby w systemie binarnym.
Zadania do wyznaczania wartości w różnych systemach liczbowych i ich podstawach
Ćwiczenie 1. Do zakodowania znaków @, $, &,% używane są dwucyfrowe kolejne liczby binarne. Pierwszy znak odpowiada liczbie 00. Za pomocą tych znaków zakodowano następującą sekwencję: $%&&@$. Zdekoduj tę sekwencję i przekonwertuj wynik na szesnastkowy system liczbowy.
Rozwiązanie.
1. Porównajmy liczby binarne z kodowanymi przez nie znakami:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %
3. Przekonwertuj liczbę binarną na system liczb szesnastkowych:
0111 1010 0001 = 7A1
Odpowiedź. 7A1 16.
Zadanie 2. W ogrodzie rośnie 100 x drzew owocowych, z czego 33 x to jabłonie, 22 x ...
– gruszki, 16 x – śliwki, 17 x – wiśnie. Jaka jest podstawa systemu liczbowego (x).
Rozwiązanie.
1. Pamiętaj, że wszystkie terminy są liczbami dwucyfrowymi. W dowolnym systemie liczbowym można je przedstawić w następujący sposób:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, gdzie aib to cyfry odpowiednich cyfr liczby.
Dla liczby trzycyfrowej wyglądałoby to tak:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = topór 2 + bx + do
2. Stan problemu jest następujący:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Podstawiamy liczby do wzorów:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2
3. Rozwiąż równanie kwadratowe:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Pierwiastek kwadratowy z D wynosi 11.
Pierwiastki równania kwadratowego:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 lub x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Liczba ujemna nie może być podstawą systemu liczbowego. Dlatego x może być równe tylko 9.
Odpowiedź. Wymagana podstawa systemu liczbowego to 9.
Zadanie 3. W systemie liczbowym z pewną podstawą liczbę dziesiętną 12 zapisuje się jako 110. Znajdź tę podstawę.
Rozwiązanie.
Najpierw napiszemy liczbę 110 poprzez wzór na zapisywanie liczb w systemach liczb pozycyjnych, aby znaleźć wartość w systemie liczb dziesiętnych, a następnie znajdziemy podstawę metodą brutalnej siły.
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
Musimy uzyskać 12. Spróbujmy 2: 2 2 + 2 = 6. Spróbuj 3: 3 2 + 3 = 12.
Oznacza to, że podstawą systemu liczbowego jest 3.
Odpowiedź. Wymagana podstawa systemu liczbowego to 3.
Systemy liczb szesnastkowych i ósemkowych
Ćwiczenie 1. Jaka liczba w systemie szesnastkowym odpowiada liczbie 11000101?
Rozwiązanie.
Konwertując liczbę binarną na szesnastkową, pierwsza jest dzielona na grupy po cztery cyfry, zaczynając od końca. Jeżeli liczba cyfr nie jest podzielna przez cztery, wówczas pierwsze cztery są poprzedzone zerami. Każda czwórka ma unikalne powiązanie z jedną cyfrą w systemie liczb szesnastkowych.
11000101 = 1100 0101 = C5 16
Nie ma potrzeby mieć przed oczami stołu korespondencyjnego. Binarne liczenie pierwszych 15 liczb można wykonać w głowie lub zapisać sekwencyjnie. Nie należy zapominać, że 10 w systemie dziesiętnym odpowiada A w systemie szesnastkowym, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.
Odpowiedź. 11000101 = C5 16
Zadanie 2. Oblicz sumę liczb binarnych x i y, gdzie x = 10100 i y = 10101. Wyniki przedstaw jako liczbę ósemkową.
Rozwiązanie.
Dodajmy dwie liczby. Zasady arytmetyki binarnej i dziesiętnej są takie same:
Konwertując liczbę binarną na ósemkową, pierwsza jest dzielona na grupy po trzy cyfry, zaczynając od końca. Jeżeli liczba cyfr nie jest podzielna przez trzy, wówczas pierwsze trzy cyfry są poprzedzone zerami:
Odpowiedź. Suma liczb binarnych 10100 i 10101, przedstawiona w systemie ósemkowym, wynosi 51.
Konwersja do systemu liczb binarnych
Ćwiczenie 1. Jaka jest liczba 37 w systemie binarnym?
Rozwiązanie.
Możesz dokonać konwersji, dzieląc przez 2 i łącząc resztę w odwrotnej kolejności.
Innym sposobem jest rozłożenie liczby na sumę potęg dwójki, zaczynając od największej, której obliczony wynik jest mniejszy od podanej liczby. Podczas konwersji brakujące potęgi liczby należy zastąpić zerami:
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
Odpowiedź. 37 10 = 100101 2 .
Zadanie 2. Ile zer znaczących znajduje się w zapisie binarnym liczby dziesiętnej 73?
Rozwiązanie.
Rozłóżmy liczbę 73 na sumę potęg dwójki, zaczynając od największej i następnie mnożąc brakujące potęgi przez zera, a istniejące potęgi przez jeden:
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
Odpowiedź. Binarna reprezentacja liczby dziesiętnej 73 ma cztery zera znaczące.
Zadanie 3. Oblicz sumę liczb x i y dla x = D2 16, y = 37 8. Wynik przedstaw w systemie binarnym.
Rozwiązanie.
Przypomnijmy, że każda cyfra liczby szesnastkowej składa się z czterech cyfr binarnych, a każda cyfra liczby ósemkowej przez trzy:
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
Dodajmy otrzymane liczby:
Odpowiedź. Suma liczb D2 16 i y = 37 8, przedstawiona w systemie liczb binarnych, wynosi 11110001.
Zadanie 4. Dany: A= D7 16, B= 331 8 . Który numer C, napisany w systemie binarnym, spełnia warunek A< c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
Rozwiązanie.
Przekonwertujmy liczby na system binarny:
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
Pierwsze cztery cyfry wszystkich liczb są takie same (1101). Dlatego porównanie jest uproszczone do porównania czterech dolnych cyfr.
Pierwsza liczba z listy jest równa liczbie B dlatego nie nadaje się.
Druga liczba jest większa niż B. Trzecia liczba to A.
Odpowiedni jest tylko czwarty numer: 0111< 1000 < 1001.
Odpowiedź. Czwarta opcja (11011000) spełnia warunek A< c < b .
Konwersja na system dziesiętny
Ćwiczenie 1. Jakiej liczbie w systemie dziesiętnym odpowiada liczba 24 16?
Rozwiązanie.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
Odpowiedź. 24 16 = 36 10
Zadanie 2. Wiadomo, że X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Jaka jest wartość X w systemie dziesiętnym?
Rozwiązanie.
12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Znajdź liczbę: X = 6 + 4 + 5 = 15
Odpowiedź. X = 15 10
Zadanie 3. Oblicz wartość sumy 10 2 + 45 8 + 10 16 w zapisie dziesiętnym.
Rozwiązanie.
Przekonwertujmy każdy termin na system dziesiętny:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Suma wynosi: 2 + 37 + 16 = 55
Odpowiedź. 55 10
Operacje arytmetyczne w systemie liczb binarnych
Systemy liczbowe
Numer tematu:
W systemie binarnym operacje arytmetyczne wykonuje się według tych samych zasad, co w systemie dziesiętnym, ponieważ oba są pozycyjne (wraz z ósemkowym, szesnastkowym itp.).
Dodatek
Dodawanie jednocyfrowych liczb binarnych przeprowadza się według następujących zasad:
W tym drugim przypadku przy dodawaniu dwóch jedynek cyfra niższego rzędu przepełnia się i 1 jest przenoszona na cyfrę wyższego rzędu. Przepełnienie ma miejsce, gdy suma jest równa podstawie systemu liczbowego (w tym przypadku jest to liczba 2) lub większa od niej (w przypadku systemu liczb binarnych nie ma to znaczenia).
Dodajmy na przykład dowolne dwie liczby binarne:
Odejmowanie
Odejmowanie jednocyfrowych liczb binarnych odbywa się według następujących zasad:
0 - 1 = (pożyczka od wysokiej rangi) 1
Mnożenie
Mnożenie jednocyfrowych liczb binarnych odbywa się według następujących zasad:
Dział
Dzielenie odbywa się analogicznie jak w systemie dziesiętnym:
Przykład 1. Znajdź X, jeśli Aby przekształcić lewą stronę równości, stosujemy kolejno prawo De Morgana dla dodawania logicznego i prawo podwójnej negacji: Zgodnie z prawem rozdzielności dla dodawania logicznego: Zgodnie z prawem wykluczania trzeciej i prawo wykluczania stałych: Wynikową lewą stronę przyrównujemy do prawej: X = B Otrzymujemy ostatecznie: X = B. Przykład 2. Uprość wyrażenie logiczne Sprawdź poprawność uproszczenia korzystając z tablic prawdy dla oryginału i wyniku wyrażenie logiczne. Zgodnie z prawem ogólnej inwersji dodawania logicznego (pierwsze prawo de Morgana) i prawem podwójnej negacji: Zgodnie z prawem rozdzielności dla dodawania logicznego: Zgodnie z prawem sprzeczności: Zgodnie z prawem idempotencji Podstawiamy wartości i korzystając z prawa przemienności i grupując wyrazy, otrzymujemy: Zgodnie z prawem wykluczenia (sklejania) Zastąp wartości i otrzymaj: Zgodnie z prawem wykluczenia stałych dla dodawania logicznego i prawem idempotencji: Zastąp wartości i otrzymaj: Zgodnie z prawem rozdzielności dla mnożenia logicznego: Zgodnie z prawem wykluczenia trzeciej części: Podstaw wartości i ostatecznie otrzymuj: 2 Podstawy logiczne komputera Dyskretny konwerter, który po przetworzeniu wejściowe sygnały binarne, wytwarza sygnał wyjściowy będący wartością jednej z operacji logicznych, nazywany jest elementem logicznym. Poniżej znajdują się symbole (obwody) podstawowych elementów logicznych realizujących mnożenie logiczne (łącznik), dodawanie logiczne (rozłącznik) i negację (inwerter). Ryż. 3.1. Łącznik, rozłącznik i falownik Urządzenia komputerowe (sumatory w procesorze, komórki pamięci w pamięci RAM itp.) budowane są w oparciu o podstawowe elementy logiczne. Przykład 3. Dla danej funkcji logicznej F(A, B) = =B&АÚB&A zbuduj obwód logiczny. Konstrukcję należy rozpocząć od operacji logicznej, którą należy wykonać jako ostatnią. W tym przypadku taka operacja jest logicznym dodawaniem, dlatego na wyjściu obwodu logicznego musi znajdować się rozłącznik. Sygnały doprowadzane są do niego z dwóch złączy, na które z kolei doprowadzany jest jeden normalny i jeden odwrócony sygnał wejściowy (z falowników). Przykład 4. Układ logiczny ma dwa wejścia X i Y. Wyznacz funkcje logiczne F1(X,Y) i F2(X,Y), które są realizowane na jego dwóch wyjściach. Na wyjściu pierwszego łącznika zaimplementowana jest funkcja F1(X,Y) czyli F1(X,Y) = X&Y. Jednocześnie sygnał ze złącza podawany jest na wejście falownika, na wyjściu którego realizowany jest sygnał X&Y, który z kolei podawany jest na jedno z wejść drugiego złącza. Sygnał Xv Y z dysjunktora podawany jest na drugie wejście drugiego łącznika, zatem funkcja F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Rozważmy schemat dodawania dwóch n-bitowych liczb binarnych. Przy dodawaniu cyfr cyfry i-ro dodawane są ai i bi oraz Pi-1 - przeniesienie z cyfry i-1. Wynikiem będzie st - suma i Pi - przeniesienie do najbardziej znaczącej cyfry. Zatem jednobitowy sumator binarny to urządzenie z trzema wejściami i dwoma wyjściami. Przykład 3.15. Skonstruuj tabelę prawdy dla jednobitowego sumatora binarnego, korzystając z tabeli dodawania liczb binarnych. Spust. Wyzwalacze służą do przechowywania informacji w pamięci RAM komputera, a także w wewnętrznych rejestrach procesora. Wyzwalacz może znajdować się w jednym z dwóch stanów stabilnych, co pozwala zapamiętać, zapisać i odczytać 1 bit informacji. Najprostszym wyzwalaczem jest wyzwalacz .RS. Składa się z dwóch bramek NOR realizujących funkcję logiczną F9 (patrz tabela 3.1). Wejścia i wyjścia elementów są połączone pierścieniem: wyjście pierwszego jest podłączone do wejścia drugiego, a wyjście drugiego jest podłączone do wejścia pierwszego. Spust posiada dwa wejścia S (z zestawu angielskiego - instalacja) i I (z zestawu angielskiego reset - reset) oraz dwa wyjścia Q (bezpośrednie) i Q (odwrotne). Ryż. 2 Obwód logiczny przerzutnika RS Przykład 3.16. Zbuduj tabelę opisującą stan wejść i wyjść przerzutnika RS. Jeżeli na wejścia przychodzą sygnały R = 0 i S = 0, to przerzutnik znajduje się w trybie przechowywania, a na wyjściach Q i Q zapisywane są wcześniej ustawione wartości. Jeżeli na wejście nastawcze S przez krótki czas zostanie odebrany sygnał 1, to przerzutnik przejdzie w stan 1 i po osiągnięciu przez sygnał na wejściu S wartości 0, przerzutnik utrzyma ten stan, czyli będzie zapisz 1. Po przyłożeniu 1 do wejścia R przerzutnik przejdzie do stanu 0. Przyłożenie logicznej jedynki do obu wejść S i R może prowadzić do niejednoznacznego wyniku, dlatego taka kombinacja sygnałów wejściowych jest zabroniona. Zadania do samodzielnego wykonania 1. Istnieje 16 funkcji logicznych dwóch zmiennych (patrz tabela 3.1). Konstruuj ich obwody logiczne z wykorzystaniem podstawowych bramek logicznych: łącznika, rozłącznika i falownika. 2. Udowodnij, że obwód logiczny rozważany w przykładzie 3.10 jest jednobitowym półsumatorem binarnym (nie jest brane pod uwagę przeniesienie z bitu młodszego rzędu). 3. Udowodnić konstruując tablicę prawdy, że funkcja logiczna P = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) określa przejście do cyfry najbardziej znaczącej przy dodawaniu liczb binarnych (A i B to wyrazy, Po to przeniesienie od najmniej znaczącej cyfry). 4. Udowodnij, konstruując tablicę prawdy, że funkcja logiczna S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) wyznacza sumę przy dodawaniu liczb binarnych (A i B to wyrazy, Po to przeniesienie z cyfry najmłodszego rzędu). 5. Zbuduj obwód logiczny jednobitowego sumatora binarnego. Ile podstawowych bramek logicznych potrzeba do wdrożenia 64-bitowego sumatora liczb binarnych? 6. Ile podstawowych elementów logicznych tworzy pamięć RAM współczesnego komputera o pojemności 64 MB? 1. Zapisz liczby w postaci rozszerzonej: a) A8=143511; d)A10=143,511; 6)A2=100111; e)A8=0,143511; c)A16=143511; e)A1e=1AZ,5C1. 2. Zapisz w formie zwiniętej następujące liczby: a) A10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; b) A16=A-161+1-16°+7- 16" 1+5-16~2. 3. Czy liczby są poprawnie zapisane w odpowiednich systemach liczbowych: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b)A8=-5678; d)A2=22,2? 4. Jaką minimalną podstawę ma system liczbowy, jeśli zapisane są w nim liczby 127, 222, 111? Określ dziesiętny odpowiednik tych liczb w znalezionym systemie liczbowym. 5. Jaki jest dziesiętny odpowiednik liczb 101012, 101018 1010116? 6. Trzycyfrowa liczba dziesiętna kończy się cyfrą 3. Jeśli cyfrę tę przesunie się o dwie cyfry w lewo, czyli od niej rozpocznie się zapis nowej liczby, to ta nowa liczba będzie o jeden więcej niż trzykrotna w stosunku do pierwotnej numer. Znajdź oryginalny numer. 2.22 Sześciocyfrowa liczba dziesiętna zaczyna się od lewej strony cyfrą 1. Jeśli cyfra ta zostanie przeniesiona z pierwszego miejsca po lewej stronie na ostatnie miejsce po prawej stronie, wówczas wartość wynikowej liczby będzie trzy razy większa niż oryginalny. Znajdź oryginalny numer. 2.23 Która z liczb 1100112, 1114, 358 i 1B16 jest: a) największa; b) najmniejszy? 2.27 Czy istnieje trójkąt, którego długości boków wyrażają liczby 12g, 1116 i 110112? 2.28.Jaka jest największa liczba dziesiętna, którą można zapisać trzycyfrowo w systemie binarnym, ósemkowym i szesnastkowym? 2.29 Pytania „frywolne”. Kiedy 2x2=100? Kiedy 6x6=44? Kiedy 4x4=20? 2.30. Zapisz liczby całkowite dziesiętne należące do następujących przedziałów liczbowych: a) ; B) ; V) . 2.31 W klasie jest 11 112 dziewcząt i 11 002 chłopców. Ilu uczniów jest w klasie? 2.32 W klasie jest 36 uczniów, w tym 21 dziewcząt i 15 chłopców. W jakim systemie liczbowym liczono uczniów? 2. 33. W ogrodzie rośnie 100q drzew owocowych, w tym 33q jabłoni, 22q gruszek, 16q śliwek i 5q wiśni. W jakim systemie liczbowym liczone są drzewa? 2.34 Było 100q jabłek. Po przecięciu każdego z nich na pół powstało 1000q połówek. W systemie liczbowym, według jakiej podstawy zostały one policzone? 2.35.Mam 100 braci. Najmłodszy ma 1000 lat, a najstarszy 1111 lat. Najstarszy jest w klasie 1001. Czy to możliwe? 2.36 Dawno, dawno temu był staw, pośrodku którego rósł jeden liść lilii wodnej. Każdego dnia liczba takich liści podwajała się, a dziesiątego dnia cała powierzchnia stawu była już wypełniona liśćmi lilii. Ile dni zajęło napełnienie połowy stawu liśćmi? Ile liści było po dziewiątym dniu? 2.37.Dobierając potęgi liczby 2, które dają daną liczbę, dokonaj konwersji na system binarny następujących liczb: a) 5; o 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Sprawdź poprawność tłumaczenia za pomocą programu Advanced Converter. 2.3. Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny 2.3.1. Tłumaczenie liczb całkowitych z jednego systemu liczbowego na inny Można sformułować algorytm konwersji liczb całkowitych z systemu o podstawie p na system o podstawie q: 1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego w cyfrach pierwotnego systemu liczbowego i wykonaj wszystkie kolejne działania w oryginalnym systemie liczbowym. 2. Konsekwentnie dziel podaną liczbę i otrzymane ilorazy całkowite przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż otrzymamy iloraz mniejszy od dzielnika. 3. Powstałe reszty będące cyframi liczb w nowym systemie liczbowym dostosowuje się do alfabetu nowego systemu liczbowego. 4. Ułóż liczbę w nowym systemie liczbowym, zapisując ją zaczynając od ostatniej reszty. Przykład 2.12 Zamień liczbę dziesiętną 17310 na system ósemkowy: ▪ Otrzymujemy: 17310=2558. Przykład 2.13 Zamień liczbę dziesiętną 17310 na system szesnastkowy: - Otrzymujemy: 17310=AD16. Przykład 2.14 Konwertuj liczbę dziesiętną 1110 na system liczb binarnych. Otrzymujemy: 111O=10112. Przykład 2.15 Czasami wygodniej jest zapisać algorytm tłumaczenia w formie tabeli. Zamieńmy liczbę dziesiętną 36310 na liczbę binarną. 2.3.2. Zamiana liczb ułamkowych z jednego systemu liczbowego na inny Można sformułować algorytm zamiany ułamka właściwego o podstawie p na ułamek o podstawie q: 1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego w cyfrach pierwotnego systemu liczbowego i wykonaj wszystkie kolejne działania w oryginalnym systemie liczbowym. 2. Konsekwentnie mnożyć podaną liczbę i powstałe części ułamkowe iloczynów przez podstawę nowego układu, aż część ułamkowa iloczynu stanie się równa zeru lub osiągnięta zostanie wymagana dokładność reprezentacji liczb. 3. Otrzymane części całkowite iloczynów będące cyframi liczby w nowym systemie liczbowym dostosowuje się do alfabetu nowego systemu liczbowego. 4. Utwórz część ułamkową liczby w nowym systemie liczbowym, zaczynając od części całkowitej pierwszego iloczynu. Przykład 2.16. Konwertuj liczbę 0,6562510 na system liczb ósemkowych. Przykład 2.17. Konwertuj liczbę 0,6562510 na system liczb szesnastkowych. Przykład 2.18. Zamień ułamek dziesiętny 0,562510 na system binarny. Przykład 2.19 Konwertuj ułamek dziesiętny 0,710 na system liczb binarnych. Oczywiście proces ten może trwać w nieskończoność, dając coraz więcej nowych znaków w obrazie binarnego odpowiednika liczby 0,710. Zatem w czterech krokach otrzymamy liczbę 0,10112, a w siedmiu krokach liczbę 0,10110012, która jest dokładniejszą reprezentacją liczby 0,710 w formacie binarnym i tak dalej. Taki niekończący się proces kończy się w pewnym momencie, gdy uważa się, że uzyskano wymaganą dokładność reprezentacji liczbowej. 2.3.3. Tłumaczenie dowolnych liczb Tłumaczenie dowolnych liczb, czyli liczb zawierających liczbę całkowitą i część ułamkową, odbywa się dwuetapowo. Cała część jest tłumaczona osobno, a część ułamkowa osobno. W ostatecznym zapisie wynikowej liczby część całkowita jest oddzielana od części ułamkowej. Przykład 2.20 Konwertuj liczbę 17,2510 na system liczb binarnych. Tłumaczenie całej części: Tłumaczenie części ułamkowej: Przykład 2.21. Zamień liczbę 124,2510 na ósemkową. 2.3.4. Konwersja liczb z systemu liczbowego o podstawie 2 na system liczbowy o podstawie 2n i odwrotnie. Konwersja liczb całkowitych - Jeśli podstawą systemu liczb q-arycznych jest potęga 2, to konwertowanie liczb z systemu liczb q-arycznych na system binarny i powrót można przeprowadzić przy użyciu prostszych metod. Aby zapisać liczbę binarną całkowitą w systemie liczbowym o podstawie q = 2”, należy: 1. Podzielić liczbę binarną od prawej do lewej na grupy po n cyfr. 2. Jeżeli ostatnia lewa grupa ma mniej n cyfr, to do wymaganej liczby cyfr należy dodać zera z lewej strony 3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją z odpowiednią cyfrą w systemie liczbowym o podstawie q = 2 p. Przykład 2.22. Liczba 1011000010001100102 zostanie przekonwertowana na system liczb ósemkowych. Liczbę od prawej do lewej dzielimy na triady i pod każdą z nich zapisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową: Otrzymujemy ósemkową reprezentację pierwotnej liczby: 5410628. Przykład 2.23. Przekonwertujmy liczbę 10000000001111100001112 na system liczbowy szesnastkowy. Liczbę od prawej do lewej dzielimy na tetrady i pod każdą z nich zapisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową: Otrzymujemy szesnastkową reprezentację pierwotnej liczby: 200F8716. Zamiana liczb ułamkowych. Aby zapisać liczbę binarną ułamkową w systemie liczbowym o podstawie q = 2”, należy: 1. Podzielić liczbę binarną od lewej do prawej na grupy po n cyfr. 2. Jeśli ostatnia prawa grupa ma mniej n cyfr, to należy ją uzupełnić po prawej stronie zerami do wymaganej liczby cyfr 3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją z odpowiednią cyfrą w systemie liczbowym o podstawie q = 2n Przykład 2.24 Przeliczamy liczbę 0,101100012 na ósemkowy system liczbowy Liczbę po lewej stronie dzielimy na triady i pod każdą z nich zapisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową: Otrzymujemy ósemkową reprezentację pierwotnej liczby: 0,5428. Przykład 2.25 Przeliczamy liczbę 0,1000000000112 na system liczb szesnastkowych, dzielimy liczbę od lewej do prawej na tetrady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową: Otrzymujemy szesnastkową reprezentację pierwotnej liczby: 0,80316 Tłumaczenie dowolnych liczb Aby aby zapisać dowolną liczbę binarną w systemie liczbowym o podstawie q - 2n, należy: [ 1. Podziel część całkowitą danej liczby binarnej od prawej do lewej, a ułamkową - od lewej do prawej na grupy po n cyfr każda. 2. Jeżeli ostatnie grupy po lewej i/lub prawej stronie zawierają mniej niż n cyfr, należy je uzupełnić po lewej i/lub prawej stronie zerami do wymaganej liczby cyfr. 3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją odpowiednią cyfrą w systemie liczbowym o podstawie q = 2n. Przykład 2.26.Przekonwertujmy liczbę 111100101.01112 na system liczb ósemkowych. Części całkowite i ułamkowe liczby dzielimy na triady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową: Otrzymujemy ósemkową reprezentację pierwotnej liczby: 745,34S. Przykład 2.27.Przekonwertujmy liczbę 11101001000.110100102 na system liczbowy szesnastkowy. Część całkowitą i ułamkową liczby dzielimy na tetrady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową: Otrzymujemy szesnastkową reprezentację liczby pierwotnej: 748,D216. Zamiana liczb z systemów liczbowych o podstawie q = 2 na system binarny Aby zamienić dowolną liczbę zapisaną w systemie liczbowym o podstawie q = 2 na system binarny, należy każdą cyfrę tej liczby zastąpić jej n -cyfrowy odpowiednik w systemie liczb binarnych. Przykład 2.28. Przekonwertujmy liczbę szesnastkową 4AC351b na system liczb binarnych. Zgodnie z algorytmem: i Otrzymujemy: 10010101100001101012. Zadania do samodzielnego wykonania 2.38. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu należy zapisać tę samą liczbę całkowitą w różnych systemach liczbowych. 2,39. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu należy zapisać tę samą liczbę ułamkową w różnych systemach liczbowych. 2.40. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu tę samą dowolną liczbę (liczba może zawierać zarówno część całkowitą, jak i ułamkową) należy zapisać w różnych systemach liczbowych. 2.4. Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych
Operacje arytmetyczne w systemie liczb binarnych.
Przykład 2.29. Spójrzmy na kilka przykładów dodawania liczb binarnych:
Odejmowanie. Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowań cyfra 1 ze słupkiem oznacza pożyczkę o najwyższej randze.
Przykład 2.31. Spójrzmy na kilka przykładów mnożenia liczb binarnych:
Widzisz, że mnożenie sprowadza się do przesunięć mnożnej i dodawania.
Dział. Operację dzielenia wykonuje się przy użyciu algorytmu podobnego do algorytmu wykonywania operacji dzielenia w systemie liczb dziesiętnych.
Dodawanie w innych systemach liczbowych. Poniżej znajduje się tabela dodawania w systemie liczb ósemkowych:
2.42. Uporządkuj znaki działań arytmetycznych tak, aby w systemie dwójkowym spełnione były następujące równości:
Zapisz odpowiedź dla każdej liczby we wskazanym i dziesiętnym systemie liczbowym. 2,44. Jaka liczba poprzedza każdą z następujących liczb:
2,45. Zapisz liczby całkowite należące do następujących przedziałów liczbowych:
a) w systemie binarnym;
b) w systemie ósemkowym;
c) w systemie szesnastkowym.
Zapisz odpowiedź dla każdej liczby we wskazanym i dziesiętnym systemie liczbowym.
2,47. Znajdź średnią arytmetyczną następujących liczb:
2.48.Suma liczb ósemkowych 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 przekonwertowane na system liczb szesnastkowych.
Znajdź piątą cyfrę od lewej strony liczby równej tej kwocie.
 |
Odzyskaj nieznane liczby oznaczone znakiem zapytania w
poniższe przykłady dodawania i odejmowania, po uprzednim ustaleniu
Le, w jakim systemie są przedstawione liczby.
Temat lekcji: Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych.
9. klasa
Cele Lekcji:
Dydaktyczny: zapoznanie uczniów z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem w systemie liczb dwójkowych oraz wstępne doskonalenie umiejętności wykonywania tych czynności.
Edukacyjny: rozwijać zainteresowanie uczniów nauką nowych rzeczy, pokazywać możliwość niestandardowego podejścia do obliczeń.
Rozwojowy: rozwijać uwagę, dyscyplinę myślenia i umiejętności rozumowania.
Struktura lekcji.
Moment organizacyjny –1 minuta.
Sprawdzenie pracy domowej za pomocą testu ustnego –15 minut.
Praca domowa -2 minuty.
Rozwiązywanie problemów przy jednoczesnej analizie i samodzielnym opracowaniu materiału –25 minut
Podsumowując lekcję –2 minuty.
PODCZAS ZAJĘĆ
Moment organizacyjny.
Kontrola pracy domowej (test ustny) .
Nauczyciel czyta pytania po kolei. Uczniowie uważnie słuchają pytania, nie zapisując go. Zapisana jest tylko odpowiedź i to bardzo krótko. (Jeśli możesz odpowiedzieć jednym słowem, zapisz tylko to słowo).
Co to jest system liczbowy? (-to system znaków, w którym liczby zapisywane są według określonych zasad przy użyciu znaków określonego alfabetu, zwanych liczbami )
Jakie znasz systemy liczbowe?( niepozycyjne i pozycyjne )
Jaki system nazywa się niepozycyjnym? (Liczbę nazywa się niepozycyjną, jeśli ilościowy odpowiednik (wartość ilościowa) cyfry w liczbie nie zależy od jej pozycji w zapisie liczby ).
Jaka jest podstawa pozycyjnego MSS? (równa liczbie cyfr tworzących jego alfabet )
Jakiej operacji matematycznej należy użyć, aby przekonwertować liczbę całkowitą z liczby dziesiętnej na dowolną inną? (Przez podział )
Co należy zrobić, aby zamienić liczbę z postaci dziesiętnej na binarną? (Po kolei podziel przez 2 )
Ile razy zmniejszy się liczba 11,1? 2 podczas przesuwania przecinka o jedno miejsce w lewo? (2 razy )
Posłuchajmy teraz wiersza o niezwykłej dziewczynie i odpowiedzmy na pytania. (Werset brzmi )
NADZWYCZAJNA DZIEWCZYNA
Miała tysiąc sto lat
Poszła do stu pierwszej klasy,
W teczce nosiła sto książek.
To wszystko prawda, a nie bzdury.
Kiedy odkurzając tuzinem stóp,
Szła wzdłuż drogi.
Szczeniak zawsze za nią biegał
Z jednym ogonem, ale o stu nogach.
Wychwytywała każdy dźwięk
Z dziesięcioma uszami,
I dziesięć opalonych dłoni
Trzymali teczkę i smycz.
I dziesięć ciemnoniebieskich oczu
Patrzyliśmy na świat jak zwykle,
Ale wszystko stanie się zupełnie normalne,
Kiedy zrozumiesz moją historię?
/ N. Starikow /
A ile lat miała dziewczynka? (12 lat ) Do której klasy ona chodziła? (5 klasa ) Ile miała rąk i nóg? (2 ręce, 2 nogi ) Jak szczeniak może mieć 100 nóg? (4 łapy )
Po zakończeniu testu odpowiedzi uczniowie samodzielnie odczytują na głos, przeprowadzają autotest i samodzielnie wystawiają oceny.
Kryterium:
10 poprawnych odpowiedzi (może mały błąd) – „5”;
9 lub 8 – „4”;
7, 6 – “3”;
reszta to „2”.
II. Praca domowa (2 minuty)
10111
2
- 1011
2
= ?
(
1100
2
)
10111
2
+ 1011
2
= ?
(
100010
2
)
10111
2
* 1011
2
= ?
(
11111101
2
))
III. Praca z nowym materiałem
Operacje arytmetyczne w systemie liczb binarnych.
Arytmetyka systemu liczb binarnych opiera się na wykorzystaniu tablic do dodawania, odejmowania i mnożenia cyfr. Operandy arytmetyczne znajdują się w górnym wierszu i pierwszej kolumnie tabel, a wyniki znajdują się na przecięciu kolumn i wierszy:
0
1
1
1
Dodatek.
Tabela dodawania binarnego jest niezwykle prosta. Tylko w jednym przypadku, gdy wykonywane jest dodawanie 1+1, następuje przeniesienie do cyfry najbardziej znaczącej.
1001 + 1010 = 10011
1101 + 1011 = 11000
11111 + 1 = 100000
1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101
10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )
Odejmowanie.
Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowań cyfra 1 ze słupkiem oznacza pożyczkę o najwyższej randze. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0
101011111 – 110101101 = – 1001110
100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )
Mnożenie
Operację mnożenia wykonuje się za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych z sekwencyjnym mnożeniem mnożnej przez kolejną cyfrę mnożnika. 11001 * 1101 = 101000101
11001,01 * 11,01 = 1010010,0001
Mnożenie sprowadza się do przesunięć mnożnej i dodawania.
111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )
V. Podsumowanie lekcji
Karta dodatkowej pracy studenckiej.
Wykonaj operacje arytmetyczne:
A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );
10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );
101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );
B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );