Kryteria podzielności liczb naturalnych.
Liczby podzielne przez 2 bez reszty nazywamynawet .
Liczby, które nie są podzielne przez 2, nazywamydziwne .
Test na podzielność przez 2
Jeśli liczba naturalna kończy się cyfrą parzystą, to liczba ta jest podzielna przez 2 bez reszty, a jeśli liczba kończy się cyfrą nieparzystą, to liczba ta nie jest podzielna równomiernie przez 2.
Na przykład cyfry 60 , 30 8 , 8 4 są podzielne przez 2 bez reszty, a liczba wynosi 51 , 8 5 , 16 7 nie są podzielne przez 2 bez reszty.
Test na podzielność przez 3
Jeżeli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba ta jest podzielna przez 3; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 3, to liczba ta nie jest podzielna przez 3.
Na przykład dowiedzmy się, czy liczba 2772825 jest podzielna przez 3. W tym celu obliczmy sumę cyfr tej liczby: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - podzielna przez 3. Oznacza to, że liczba 2772825 jest podzielna przez 3.
Test podzielności przez 5
Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą 0 lub 5, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 5. Jeżeli zapis liczby kończy się inną cyfrą, to liczba ta nie jest podzielna przez 5 bez reszty.
Na przykład cyfry 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 są podzielne przez 5 bez reszty, a liczby to 17 , 37 8 , 9 1 nie udostępniaj.
Test podzielności przez 9
Jeżeli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 9; Jeśli suma cyfr liczby nie jest podzielna przez 9, to liczba ta nie jest podzielna przez 9.
Na przykład dowiedzmy się, czy liczba 5402070 jest podzielna przez 9. W tym celu obliczmy sumę cyfr tej liczby: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - niepodzielne przez 9 Oznacza to, że liczba 5402070 nie jest podzielna przez 9.
Test podzielności przez 10
Jeśli liczba naturalna kończy się cyfrą 0, to liczba ta jest podzielna bez reszty przez 10. Jeśli liczba naturalna kończy się inną cyfrą, to nie jest ona podzielna równomiernie przez 10.
Na przykład cyfry 40 , 17 0 , 1409 0 są podzielne przez 10 bez reszty, a liczby 17 , 9 3 , 1430 7 - nie udostępniaj.
Zasada znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD).
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik kilku liczb naturalnych, należy:
2) spośród czynników wchodzących w skład rozwinięcia jednej z tych liczb skreślić te, które nie wchodzą w skład rozwinięcia innych liczb;
3) znajdź iloczyn pozostałych czynników.
Przykład. Znajdźmy NWD (48;36). Skorzystajmy z reguły.
1. Rozłóżmy liczby 48 i 36 na czynniki pierwsze.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Z czynników uwzględnionych w rozwinięciu liczby 48 usuwamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu liczby 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Pozostałe czynniki to 2, 2 i 3.
3. Pomnóż pozostałe czynniki i otrzymaj 12. Ta liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36.
NWD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Reguła znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb naturalnych, należy:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) zapisz czynniki składające się na rozwinięcie jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn uzyskanych czynników.
Przykład. Znajdźmy LOC (75;60). Skorzystajmy z reguły.
1. Rozłóżmy liczby 75 i 60 na czynniki pierwsze.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Zapiszmy, jakie czynniki wchodzą w skład rozwinięcia liczby 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Dodaj do nich brakujące czynniki z rozwinięcia liczby 60, tj. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Znajdź iloczyn otrzymanych czynników
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są dzielone bez reszty Największy wspólny dzielnik te liczby. Oznacz NWD(a, b).
Rozważmy znalezienie NWD na przykładzie dwóch liczb naturalnych 18 i 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 I 432
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Skreślając z pierwszej liczby czynniki, których nie ma w drugiej i trzeciej liczbie, otrzymujemy:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
W rezultacie GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Znajdowanie NWD za pomocą algorytmu Euklidesa
Drugim sposobem znalezienia największego wspólnego dzielnika jest użycie Algorytm euklidesowy. Algorytm euklidesowy jest najskuteczniejszą metodą znajdowania GCD, używając go, musisz stale znajdować resztę liczb dzielących i stosować formuła powtarzalności.
Formuła powtarzalności dla GCD, NWD(a, b)=NWD(b, a mod b), gdzie a mod b jest resztą z dzielenia przez b.
Algorytm Euklidesa
Przykład Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 7920 I 594
Znajdźmy GCD( 7920 , 594 ) korzystając z algorytmu Euklidesa, resztę z dzielenia obliczymy za pomocą kalkulatora.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
W rezultacie otrzymujemy NWD( 7920 , 594 ) = 198
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Aby znaleźć wspólny mianownik podczas dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, musisz wiedzieć i umieć obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność(NIE).
Wielokrotność liczby „a” to liczba, która sama dzieli się przez liczbę „a” bez reszty.
Liczby będące wielokrotnościami 8 (to znaczy te liczby dzielą się przez 8 bez reszty): są to liczby 16, 24, 32...
Wielokrotności 9: 18, 27, 36, 45…
Istnieje nieskończenie wiele wielokrotności danej liczby a, w przeciwieństwie do dzielników tej samej liczby. Istnieje skończona liczba dzielników.
Wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych to liczba, która dzieli się przez obie te liczby..
Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch lub więcej liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która sama jest podzielna przez każdą z tych liczb.
Jak znaleźć NOC
LCM można znaleźć i zapisać na dwa sposoby.
Pierwszy sposób na znalezienie LOC
Ta metoda jest zwykle stosowana w przypadku małych liczb.
- Zapisujemy wielokrotności każdej liczby w wierszu, aż znajdziemy wielokrotność taką samą dla obu liczb.
- Wielokrotność liczby „a” oznacza się dużą literą „K”.
Przykład. Znajdź LCM 6 i 8.
Drugi sposób na znalezienie LOC
Ta metoda jest wygodna w użyciu, aby znaleźć LCM dla trzech lub więcej liczb.
Liczba identycznych czynników w dekompozycji liczb może być różna.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Odpowiedź: LCM (24, 60) = 120
Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) można również sformalizować w następujący sposób. Znajdźmy LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Jak widzimy z rozkładu liczb, wszystkie czynniki 12 są uwzględniane w rozkładzie 24 (największa z liczb), więc dodajemy tylko jedno 2 z rozkładu liczby 16 do LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odpowiedź: LCM (12, 16, 24) = 48
Szczególne przypadki znalezienia NPL
Na przykład LCM (60, 15) = 60
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb.
Na naszej stronie możesz także skorzystać ze specjalnego kalkulatora, który pozwoli Ci znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność online i sprawdzić swoje obliczenia.
Jeśli liczba naturalna dzieli się tylko przez 1 i samą siebie, nazywa się ją liczbą pierwszą.
Każda liczba naturalna jest zawsze podzielna przez 1 i samą siebie.
Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą. Jest to jedyna liczba parzysta, pozostałe liczby pierwsze są nieparzyste.
Liczb pierwszych jest wiele, a pierwszą z nich jest liczba 2. Nie ma jednak ostatniej liczby pierwszej. W dziale „Do nauki” możesz pobrać tabelę liczb pierwszych do 997.
Ale wiele liczb naturalnych dzieli się także przez inne liczby naturalne.
- liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
- Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.
- rozkładać dzielniki liczb na czynniki pierwsze;
Liczby, przez które liczba jest podzielna przez całość (w przypadku 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielnikami liczby.
Dzielnik liczby naturalnej a to liczba naturalna, która dzieli daną liczbę „a” bez reszty.
Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożoną.
Należy pamiętać, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Te liczby to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.
Wspólnym dzielnikiem dwóch danych liczb „a” i „b” jest liczba, przez którą obie liczby „a” i „b” są dzielone bez reszty.
Największy wspólny dzielnik(NWD) dwóch danych liczb „a” i „b” to największa liczba, przez którą obie liczby „a” i „b” dzielą się bez reszty.
W skrócie, największy wspólny dzielnik liczb „a” i „b” zapisuje się w następujący sposób::
Przykład: gcd (12; 36) = 12.
Dzielniki liczb w zapisie rozwiązania są oznaczone dużą literą „D”.
Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Takie liczby nazywane są liczby względnie pierwsze.
Liczby względnie pierwsze- są to liczby naturalne, które mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Ich gcd to 1.
Jak znaleźć największy wspólny dzielnik
Aby znaleźć gcd dwóch lub więcej liczb naturalnych, potrzebujesz:
Wygodnie jest pisać obliczenia za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisujemy dywidendę, po prawej - dzielnik. Następnie w lewej kolumnie zapisujemy wartości ilorazów.
Wyjaśnijmy to od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.
- W obu liczbach podkreślamy te same czynniki pierwsze.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Znajdź iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisz odpowiedź;
NWD (28; 64) = 2 2 = 4
Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4
Możesz sformalizować lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak pokazano powyżej) lub „w rzędzie”.
Pierwszy sposób na napisanie gcd
Znajdź gcd 48 i 36.
NWD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Drugi sposób zapisu gcd
Zapiszmy teraz w wierszu rozwiązanie wyszukiwania GCD. Znajdź gcd 10 i 15.
Na naszej stronie informacyjnej możesz także skorzystać z internetowego pomocnika Greatest Common Divisor, aby sprawdzić swoje obliczenia.
Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności, metody, przykłady znajdowania LCM.
Zaprezentowany poniżej materiał stanowi logiczną kontynuację teorii z artykułu LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek LCM z NWD. Tutaj będziemy rozmawiać znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), a szczególną uwagę poświęcimy rozwiązywaniu przykładów. Najpierw pokażemy, jak oblicza się LCM dwóch liczb za pomocą NWD tych liczb. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.
Nawigacja strony.
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD
Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i GCD. Istniejące połączenie między LCM i GCD pozwala nam obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych poprzez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła to LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Przyjrzyjmy się przykładom znajdowania LCM za pomocą podanego wzoru.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70.
W tym przykładzie a=126, b=70. Wykorzystajmy związek pomiędzy LCM i NWD, wyrażony wzorem LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb za pomocą zapisanego wzoru.
Znajdźmy NWD(126, 70) korzystając z algorytmu Euklidesa: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, zatem GCD(126, 70)=14.
Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126,70:GCD(126, 70)= 126,70:14=630.
Ile wynosi LCM(68, 34)?
Ponieważ 68 jest podzielne przez 34, to NWD(68, 34)=34. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Należy zauważyć, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli a jest podzielne przez b, to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a.
Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli ułożysz iloczyn ze wszystkich czynników pierwszych danych liczb, a następnie wykluczysz z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze występujące w rozkładach danych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności danych liczb .
Podana zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozszerzaniu liczb aib. Z kolei NWD(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co opisano w rozdziale o znajdowaniu NWD za pomocą rozwinięcia liczb na czynniki pierwsze).
Podajmy przykład. Powiedz nam, że 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Utwórzmy iloczyn ze wszystkich czynników tych rozwinięć: 2,3,3,5,5,5,7 . Teraz z tego iloczynu wykluczymy wszystkie czynniki występujące zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak i rozwinięciu liczby 210 (te czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2,3,5,5,7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2,3,5,5,7=1050.
Rozłóż liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze i znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.
Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze: 
Otrzymujemy 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Utwórzmy teraz iloczyn ze wszystkich czynników biorących udział w rozwinięciu tych liczb: 2,2,3,3,5,5,7,7,7. Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik – jest to liczba 7): 2,2,3,3,5,5,7,7. Zatem LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Regułę znajdowania LCM za pomocą faktoryzacji liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b dodamy do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.
Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozkład na czynniki pierwsze wygląda następująco: 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210 i otrzymujemy iloczyn 2,3,5,5,7, którego wartość wynosi równe LCM(75, 210).
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.
Najpierw uzyskujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Do czynników 2, 2, 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2, 3, 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 i otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7, co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648 wynosi 4536.
Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb
Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnijmy odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.
Niech zostaną podane dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k, najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona poprzez kolejne obliczenie m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.
Znajdź LCM czterech liczb 140, 9, 54 i 250.
Najpierw znajdujemy m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Aby to zrobić, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy NWD(140, 9), mamy 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dlatego NWD(140, 9)=1, skąd LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Oznacza to, że m 2 = 1 260.
Teraz znajdujemy m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Obliczmy to poprzez NWD(1 260, 54), które również wyznaczamy za pomocą algorytmu Euklidesa: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Wtedy gcd(1260, 54)=18, skąd gcd(1260, 54)= 1260·54:gcd(1260, 54)= 1260·54:18=3780. Oznacza to, że m 3 =3 780.
Pozostaje znaleźć m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3,780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3,780=250·15+30, 250=30,8+10, 30=10,3. Zatem NWD(3780, 250)=10, z czego GCD(3780, 250)= 3780·250:GCD(3780, 250)= 3780·250:10=94500. Oznacza to, że m 4 = 94 500.
Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb wynosi 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500 .
W wielu przypadkach wygodnie jest znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następującego wzoru: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych czynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.
Spójrzmy na przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.
Najpierw otrzymujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z rozkładem na czynniki pierwsze) i 143=11·13.
Aby znaleźć LCM tych liczb, do współczynników pierwszej liczby 84 (są to 2, 2, 3 i 7), należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6. Rozkład liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozkładzie pierwszej liczby 84. Następnie do czynników 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 i otrzymujemy zbiór czynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7. W następnym kroku nie będzie potrzeby dodawania mnożników do tego zestawu, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do współczynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143. Otrzymujemy iloczyn 2,2,2,2,3,7,11,13, który jest równy 48,048.
Dlatego LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048 .
Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych
Czasami zdarzają się zadania, w których trzeba znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb, spośród których jedna, kilka lub wszystkie liczby są ujemne. W takich przypadkach wszystkie liczby ujemne należy zastąpić liczbami przeciwstawnymi, a następnie znaleźć LCM liczb dodatnich. W ten sposób można znaleźć LCM liczb ujemnych. Na przykład LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Możemy to zrobić, ponieważ zbiór wielokrotności a jest taki sam, jak zbiór wielokrotności −a (a i −a są liczbami przeciwnymi). Rzeczywiście, niech b będzie pewną wielokrotnością a, wówczas b jest podzielne przez a, a koncepcja podzielności stwierdza istnienie liczby całkowitej q takiej, że b=a·q. Ale prawdziwa będzie także równość b=(−a)·(−q), co na mocy tej samej koncepcji podzielności oznacza, że b jest podzielne przez −a, czyli b jest wielokrotnością −a. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli b jest pewną wielokrotnością -a, to b jest również wielokrotnością a.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych –145 i –45.
Zastąpmy liczby ujemne -145 i -45 ich przeciwstawnymi liczbami 145 i 45. Mamy LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Po ustaleniu GCD(145, 45)=5 (np. korzystając z algorytmu Euklidesa) obliczamy GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność ujemnych liczb całkowitych -145 i -45 wynosi 1,305.
www.cleverstudents.ru
Kontynuujemy naukę podziału. Na tej lekcji przyjrzymy się takim pojęciom jak GCD I NOC.
GCD jest największym wspólnym dzielnikiem.
NOC jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Temat jest dość nudny, ale zdecydowanie trzeba go zrozumieć. Bez zrozumienia tego tematu nie będziesz w stanie efektywnie pracować z ułamkami zwykłymi, które są prawdziwą przeszkodą w matematyce.
Największy wspólny dzielnik
Definicja. Największy wspólny dzielnik liczb A I B A I B podzielone bez reszty.
Aby dobrze zrozumieć tę definicję, podstawmy zmienne A I B na przykład dowolne dwie liczby zamiast zmiennej A Zastąpmy liczbę 12 i zamiast zmiennej B numer 9. Spróbujmy teraz przeczytać tę definicję:
Największy wspólny dzielnik liczb 12 I 9 nazywa się największą liczbą, według której 12 I 9 podzielone bez reszty.
Z definicji jasno wynika, że mówimy o wspólnym dzielniku liczb 12 i 9, a ten dzielnik jest największy ze wszystkich istniejących dzielników. Należy znaleźć ten największy wspólny dzielnik (NWD).
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, stosuje się trzy metody. Pierwsza metoda jest dość pracochłonna, ale pozwala jasno zrozumieć istotę tematu i poczuć jego pełny sens.
Druga i trzecia metoda są dość proste i umożliwiają szybkie znalezienie GCD. Przyjrzymy się wszystkim trzem metodom. A który z nich zastosujesz w praktyce, zależy od Ciebie.
Pierwsza metoda polega na znalezieniu wszystkich możliwych dzielników dwóch liczb i wybraniu największej. Przyjrzyjmy się tej metodzie na następującym przykładzie: znajdź największy wspólny dzielnik liczb 12 i 9.
Najpierw znajdziemy wszystkie możliwe dzielniki liczby 12. Aby to zrobić, podzielimy 12 przez wszystkie dzielniki z zakresu od 1 do 12. Jeśli dzielnik pozwala nam podzielić 12 bez reszty, to podświetlimy to w niebieski i dokonaj odpowiedniego wyjaśnienia w nawiasach.
12: 1 = 12
(12 dzieli się przez 1 bez reszty, co oznacza, że 1 jest dzielnikiem liczby 12)
12: 2 = 6
(12 dzieli się przez 2 bez reszty, co oznacza, że 2 jest dzielnikiem liczby 12)
12: 3 = 4
(12 dzieli się przez 3 bez reszty, co oznacza, że 3 jest dzielnikiem liczby 12)
12: 4 = 3
(12 dzieli się przez 4 bez reszty, co oznacza, że 4 jest dzielnikiem liczby 12)
12: 5 = 2 (2 pozostały)
(12 nie dzieli się przez 5 bez reszty, co oznacza, że 5 nie jest dzielnikiem liczby 12)
12: 6 = 2
(12 dzieli się przez 6 bez reszty, co oznacza, że 6 jest dzielnikiem liczby 12)
12: 7 = 1 (5 pozostałych)
(12 nie dzieli się przez 7 bez reszty, co oznacza, że 7 nie jest dzielnikiem liczby 12)
12: 8 = 1 (4 pozostałe)
(12 nie dzieli się przez 8 bez reszty, co oznacza, że 8 nie jest dzielnikiem 12)
12: 9 = 1 (3 pozostałe)
(12 nie dzieli się przez 9 bez reszty, co oznacza, że 9 nie jest dzielnikiem liczby 12)
12: 10 = 1 (2 pozostałe)
(12 nie dzieli się przez 10 bez reszty, co oznacza, że 10 nie jest dzielnikiem liczby 12)
12: 11 = 1 (1 pozostałość)
(12 nie jest dzielone przez 11 bez reszty, co oznacza, że 11 nie jest dzielnikiem 12)
12: 12 = 1
(12 dzieli się przez 12 bez reszty, co oznacza, że 12 jest dzielnikiem liczby 12)
Teraz znajdźmy dzielniki liczby 9. Aby to zrobić, sprawdź wszystkie dzielniki od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 dzieli się przez 1 bez reszty, co oznacza, że 1 jest dzielnikiem liczby 9)
9: 2 = 4 (1 pozostałość)
(9 nie dzieli się przez 2 bez reszty, co oznacza, że 2 nie jest dzielnikiem liczby 9)
9: 3 = 3
(9 dzieli się przez 3 bez reszty, co oznacza, że 3 jest dzielnikiem liczby 9)
9: 4 = 2 (1 pozostałość)
(9 nie jest dzielone przez 4 bez reszty, co oznacza, że 4 nie jest dzielnikiem liczby 9)
9: 5 = 1 (4 resztki)
(9 nie dzieli się przez 5 bez reszty, co oznacza, że 5 nie jest dzielnikiem liczby 9)
9: 6 = 1 (3 pozostałe)
(9 nie dzieli się przez 6 bez reszty, co oznacza, że 6 nie jest dzielnikiem liczby 9)
9: 7 = 1 (2 pozostały)
(9 nie dzieli się przez 7 bez reszty, co oznacza, że 7 nie jest dzielnikiem liczby 9)
9: 8 = 1 (1 pozostałość)
(9 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, co oznacza, że 8 nie jest dzielnikiem liczby 9)
9: 9 = 1
(9 dzieli się przez 9 bez reszty, co oznacza, że 9 jest dzielnikiem liczby 9)
Zapiszmy teraz dzielniki obu liczb. Liczby zaznaczone na niebiesko to dzielniki. Zapiszmy je:
Po zapisaniu dzielników możesz od razu określić, który jest największy i najczęstszy.
Z definicji największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba dzieląca 12 i 9 bez reszty. Największym i wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba 3
Zarówno liczba 12, jak i liczba 9 są podzielne przez 3 bez reszty:
Zatem gcd (12 i 9) = 3
Drugi sposób na znalezienie GCD
Przyjrzyjmy się teraz drugiej metodzie znajdowania największego wspólnego dzielnika. Istota tej metody polega na rozłożeniu obu liczb na czynniki pierwsze i pomnożeniu wspólnych.
Przykład 1. Znajdź gcd liczb 24 i 18
Najpierw rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
Teraz pomnóżmy ich wspólne czynniki. Aby uniknąć nieporozumień, można podkreślić wspólne czynniki.
Przyglądamy się rozwinięciu liczby 24. Jej pierwszym dzielnikiem jest 2. Szukamy tego samego czynnika przy rozwinięciu liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy oba:
Patrzymy ponownie na rozwinięcie liczby 24. Jej drugi dzielnik również wynosi 2. Szukamy tego samego czynnika w rozwinięciu liczby 18 i widzimy, że po raz drugi już go nie ma. Wtedy niczego nie podkreślamy.
Kolejne dwa w rozwinięciu liczby 24 są również nieobecne w rozwinięciu liczby 18.
Przejdźmy do ostatniego czynnika rozwinięcia liczby 24. To jest czynnik 3. Szukamy tego samego czynnika w rozwinięciu liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy obie trójki:
Zatem wspólnymi czynnikami liczb 24 i 18 są czynniki 2 i 3. Aby otrzymać NWD, należy pomnożyć te czynniki:
Zatem gcd (24 i 18) = 6
Trzeci sposób na znalezienie GCD
Przyjrzyjmy się teraz trzeciemu sposobowi znalezienia największego wspólnego dzielnika. Istota tej metody polega na tym, że liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze. Następnie z rozwinięcia pierwszej liczby skreśla się czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Pozostałe liczby z pierwszego rozwinięcia są mnożone i otrzymywane GCD.
Na przykład, przy użyciu tej metody znajdźmy GCD dla liczb 28 i 16. Najpierw rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:
Mamy dwa rozszerzenia: i
Teraz z rozkładu pierwszej liczby usuniemy czynniki, które nie są uwzględnione w rozkładzie drugiej liczby. Rozwinięcie drugiej liczby nie obejmuje siedmiu. Skreślmy to z pierwszego rozwinięcia:
Teraz mnożymy pozostałe czynniki i otrzymujemy NWD:
Liczba 4 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 28 i 16. Obie te liczby dzielą się przez 4 bez reszty:
Przykład 2. Znajdź gcd liczb 100 i 40
Faktoring liczby 100
Rozłóż na czynniki liczbę 40
Dostaliśmy dwa rozszerzenia:
Teraz z rozkładu pierwszej liczby usuniemy czynniki, które nie są uwzględnione w rozkładzie drugiej liczby. Rozwinięcie drugiej liczby nie obejmuje jednej piątki (jest tylko jedna piątka). Skreślmy to z pierwszego rozszerzenia
Pomnóżmy pozostałe liczby:
Otrzymaliśmy odpowiedź 20. Oznacza to, że liczba 20 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 100 i 40. Te dwie liczby dzielą się przez 20 bez reszty:
NWD (100 i 40) = 20.
Przykład 3. Znajdź gcd liczb 72 i 128
Rozłóż na czynniki liczbę 72
Rozłóż na czynniki liczbę 128
2×2×2×2×2×2×2
Teraz z rozkładu pierwszej liczby usuniemy czynniki, które nie są uwzględnione w rozkładzie drugiej liczby. Rozwinięcie drugiej liczby nie obejmuje dwóch trójek (w ogóle ich nie ma). Skreślmy je z pierwszego rozwinięcia:
Otrzymaliśmy odpowiedź 8. Oznacza to, że liczba 8 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 72 i 128. Te dwie liczby są podzielne przez 8 bez reszty:
NWD (72 i 128) = 8
Znajdowanie GCD dla kilku liczb
Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb.
Na przykład znajdźmy GCD dla liczb 18, 24 i 36
Rozłóżmy na czynniki liczbę 18
Rozłóżmy na czynniki liczbę 24
Rozłóżmy na czynniki liczbę 36
Dostaliśmy trzy rozszerzenia:
Teraz podkreślmy i podkreślmy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą występować we wszystkich trzech liczbach:
Widzimy, że wspólnymi czynnikami dla liczb 18, 24 i 36 są czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy szukaną wartość gcd:
Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Oznacza to, że liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18, 24 i 36. Te trzy liczby dzielą się przez 6 bez reszty:
NWD (18, 24 i 36) = 6
Przykład 2. Znajdź NWD dla liczb 12, 24, 36 i 42
Rozłóżmy każdą liczbę na czynniki pierwsze. Następnie znajdujemy iloczyn wspólnych czynników tych liczb.
Rozłóżmy na czynniki liczbę 12
Rozłóżmy na czynniki liczbę 42
Dostaliśmy cztery rozszerzenia:
Teraz podkreślmy i podkreślmy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą występować we wszystkich czterech liczbach:
Widzimy, że wspólne czynniki dla liczb 12, 24, 36 i 42 to czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki przez siebie, otrzymujemy szukaną wartość gcd:
Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Oznacza to, że liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12, 24, 36 i 42. Liczby te dzielą się przez 6 bez reszty:
NWD (12, 24, 36 i 42) = 6
Z poprzedniej lekcji wiemy, że jeśli liczba jest dzielona przez inną bez reszty, nazywa się to wielokrotnością tej liczby.
Okazuje się, że kilka liczb może mieć wspólną wielokrotność. A teraz będziemy zainteresowani wielokrotnością dwóch liczb i powinna ona być jak najmniejsza.
Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb A I B- A I B A i numer B.
Definicja zawiera dwie zmienne A I B. Zamiast tych zmiennych podstawimy dowolne dwie liczby. Na przykład zamiast zmiennej A Zastąpmy liczbę 9 i zamiast zmiennej B Zastąpmy liczbę 12. Spróbujmy teraz przeczytać definicję:
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb 9 I 12 - jest najmniejszą liczbą będącą wielokrotnością 9 I 12 . Innymi słowy, jest to tak mała liczba, która jest podzielna bez reszty przez tę liczbę 9 i według numeru 12 .
Z definicji jasno wynika, że LCM to najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez 9 i 12. Tę LCM należy znaleźć.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM), możesz skorzystać z dwóch metod. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie spośród tych wielokrotności wybrać liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i będzie mała. Zastosujmy tę metodę.
Najpierw znajdźmy pierwsze wielokrotności liczby 9. Aby znaleźć wielokrotności 9, musisz pomnożyć te dziewięć przez liczby od 1 do 9. Otrzymane odpowiedzi będą wielokrotnościami liczby 9. Zatem zaczynajmy. Zaznaczymy wielokrotności na czerwono:
Teraz znajdujemy wielokrotności liczby 12. Aby to zrobić, mnożymy 12 jeden po drugim przez wszystkie liczby od 1 do 12.
Teraz i w dalszej części założymy, że co najmniej jedna z tych liczb jest różna od zera. Jeśli wszystkie podane liczby są równe zero, to ich wspólnym dzielnikiem jest dowolna liczba całkowita, a ponieważ liczb całkowitych jest nieskończenie wiele, nie można mówić o największej z nich. Dlatego nie możemy mówić o największym wspólnym dzielniku liczb, z których każdy jest równy zero.
Teraz możemy dać określenie największego wspólnego dzielnika dwie liczby.
Definicja.
Największy wspólny dzielnik dwie liczby całkowite to największa liczba całkowita dzieląca dwie dane liczby całkowite.
Aby krótko napisać największy wspólny dzielnik, często używany jest skrót GCD - Greatest Common Divisor. Również największy wspólny dzielnik dwóch liczb aib jest często oznaczany jako NWD(a, b).
Dajmy przykład największego wspólnego dzielnika (NWD) dwie liczby całkowite. Największym wspólnym dzielnikiem liczb 6 i –15 jest 3. Uzasadnijmy to. Zapiszmy wszystkie dzielniki liczby szóstej: ±6, ±3, ±1, a dzielnikami liczby −15 są liczby ±15, ±5, ±3 i ±1. Teraz możesz znaleźć wszystkie wspólne dzielniki liczb 6 i -15, są to liczby -3, -1, 1 i 3. Od -3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb całkowitych jest podobne do wyznaczania gcd dwóch liczb.
Definicja.
Największy wspólny dzielnik trzy lub więcej liczb całkowitych to największa liczba całkowita dzieląca wszystkie podane liczby w tym samym czasie.
Największy wspólny dzielnik n liczb całkowitych będziemy oznaczać a 1 , a 2 , …, an jako NWD(a 1 , a 2 , …, a n) . Jeśli zostanie znaleziona wartość b największego wspólnego dzielnika tych liczb, wówczas możemy pisać NWD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Jako przykład podamy gcd czterech liczb całkowitych -8, 52, 16 i -12, jest ono równe 4, czyli gcd(-8, 52, 16, -12)=4. Można to sprawdzić zapisując wszystkie dzielniki danych liczb, wybierając z nich wspólne i wyznaczając największy wspólny dzielnik.
Należy pamiętać, że największy wspólny dzielnik liczb całkowitych może być równy jednej z tych liczb. To stwierdzenie jest prawdziwe, jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich (dowód znajduje się w następnym akapicie tego artykułu). Na przykład NWD(15, 60, -45)=15. To prawda, ponieważ 15 dzieli zarówno liczbę 15, jak i liczbę 60 oraz liczbę -45 i nie ma wspólnego dzielnika liczb 15, 60 i -45 przekraczającego 15.
Szczególnie interesujące są tzw. liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największy wspólny dzielnik jest równy jeden.
Własności największego wspólnego dzielnika, algorytm euklidesowy
Największy wspólny dzielnik ma wiele charakterystycznych wyników, innymi słowy, wiele właściwości. Teraz wymienimy główne właściwości największego wspólnego dzielnika (NWD), sformułowamy je w formie twierdzeń i od razu przedstawimy dowody.
Sformułujemy wszystkie właściwości największego wspólnego dzielnika dla dodatnich liczb całkowitych i rozważymy tylko dodatnie dzielniki tych liczb.
Największy wspólny dzielnik liczb a i b jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi liczb b i a , czyli gcd(a, b) = gcd(a, b) .
Ta właściwość NWD wynika bezpośrednio z definicji największego wspólnego dzielnika.
Jeżeli a jest podzielne przez b, to zbiór wspólnych dzielników liczb a i b pokrywa się ze zbiorem dzielników liczby b, w szczególności gcd(a, b)=b.
Dowód.
Dowolny wspólny dzielnik liczb aib jest dzielnikiem każdej z tych liczb, łącznie z liczbą b. Natomiast skoro a jest wielokrotnością b, to każdy dzielnik liczby b jest dzielnikiem liczby a ze względu na fakt, że podzielność ma właściwość przechodniości, zatem każdy dzielnik liczby b jest wspólny dzielnik liczb a i b. Dowodzi to, że jeśli a jest podzielne przez b, to zbiór dzielników liczb a i b pokrywa się ze zbiorem dzielników jednej liczby b. A ponieważ największym dzielnikiem liczby b jest sama liczba b, to największy wspólny dzielnik liczb aib jest również równy b, czyli gcd(a, b)=b.
W szczególności, jeśli liczby a i b są równe, to gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Na przykład NWD(132, 132)=132.
Sprawdzona właściwość największego dzielnika pozwala nam znaleźć gcd dwóch liczb, gdy jedna z nich jest dzielona przez drugą. W tym przypadku GCD jest równe jednej z tych liczb, która jest podzielona przez inną liczbę. Na przykład NWD(8, 24)=8, ponieważ 24 jest wielokrotnością ośmiu.
Jeżeli a=b·q+c, gdzie a, b, c i q są liczbami całkowitymi, to zbiór wspólnych dzielników liczb aib pokrywa się ze zbiorem wspólnych dzielników liczb b i c, w szczególności gcd (a, b)=gcd (b, c) .
Uzasadnijmy tę własność NWD.
Ponieważ zachodzi równość a=b·q+c, to każdy wspólny dzielnik liczb aib dzieli także c (wynika to z własności podzielności). Z tego samego powodu każdy wspólny dzielnik b i c dzieli a. Zatem zbiór wspólnych dzielników liczb a i b pokrywa się ze zbiorem wspólnych dzielników liczb b i c. W szczególności największy z tych wspólnych dzielników również musi się pokrywać, to znaczy, że następująca równość GCD(a, b) = NWD(b, c) musi być prawdziwa.
Teraz sformułowamy i udowodnimy twierdzenie, które jest Algorytm euklidesowy. Algorytm Euclid pozwala znaleźć GCD dwóch liczb (patrz znajdowanie GCD za pomocą algorytmu Euclid). Ponadto algorytm Euklidesa pozwoli nam udowodnić następujące właściwości największego wspólnego dzielnika.
Przed podaniem sformułowania twierdzenia zalecamy odświeżenie pamięci o twierdzeniu z części teoretycznej, która stwierdza, że dywidenda a może być przedstawiona jako b q + r, gdzie b jest dzielnikiem, q jest liczbą całkowitą zwaną niepełnym ilorazem, oraz r jest liczbą całkowitą spełniającą warunek, zwaną resztą.
Niech więc szereg równości będzie prawdziwy dla dwóch niezerowych dodatnich liczb całkowitych a i b 
kończąc, gdy r k+1 =0 (co jest nieuniknione, ponieważ b>r 1 >r 2 >r 3 , ... jest ciągiem malejących liczb całkowitych, a szereg ten nie może zawierać więcej niż skończoną liczbę liczb dodatnich), wówczas r k – jest to największy wspólny dzielnik liczb a i b, czyli r k = gcd(a, b) .
Dowód.
Najpierw udowodnijmy, że r k jest wspólnym dzielnikiem liczb aib, a następnie pokażemy, że r k jest nie tylko dzielnikiem, ale największym wspólnym dzielnikiem liczb aib.
Po zapisanych równościach będziemy poruszać się od dołu do góry. Z ostatniej równości możemy powiedzieć, że r k−1 jest podzielne przez rk. Biorąc pod uwagę ten fakt, a także poprzednią własność NWD, przedostatnia równość r k−2 =r k−1 ·q k +r k pozwala stwierdzić, że r k−2 jest podzielne przez r k, gdyż r k−1 jest podzielne przez r k oraz r k jest podzielne przez r k. Przez analogię z trzeciej równości od dołu wnioskujemy, że r k−3 jest podzielne przez rk . I tak dalej. Z drugiej równości wynika, że b jest podzielne przez rk, a z pierwszej równości wynika, że a jest podzielne przez rk. Dlatego r k jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b.
Pozostaje udowodnić, że r k = NWD(a, b) . Wystarczy bowiem pokazać, że dowolny wspólny dzielnik liczb a i b (oznaczmy go r 0 ) dzieli r k .
Po pierwotnych równościach będziemy poruszać się od góry do dołu. Z poprzedniej własności wynika, że z pierwszej równości r 1 jest podzielne przez r 0 . Następnie z drugiej równości otrzymujemy, że r 2 jest podzielne przez r 0 . I tak dalej. Z ostatniej równości wynika, że r k jest podzielne przez r 0 . Zatem r k = NWD(a, b) .
Z rozważanej własności największego wspólnego dzielnika wynika, że zbiór wspólnych dzielników liczb a i b pokrywa się ze zbiorem dzielników największego wspólnego dzielnika tych liczb. Ten wniosek z algorytmu Euklidesa pozwala nam znaleźć wszystkie wspólne dzielniki dwóch liczb jako dzielniki gcd tych liczb.
Niech a i b będą liczbami całkowitymi, które nie są jednocześnie równe zeru, wówczas istnieją liczby całkowite u 0 i v 0, to równość GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 jest prawdziwa. Ostatnia równość jest liniowym przedstawieniem największego wspólnego dzielnika liczb aib, równość ta nazywana jest relacją Bezouta, a liczby u 0 i v 0 nazywane są współczynnikami Bezouta.
Dowód.
Korzystając z algorytmu Euklidesa, możemy napisać następujące równości
Z pierwszej równości mamy r 1 =a−b·q 1 i oznaczając 1=s 1 oraz −q 1 =t 1, równość ta przyjmuje postać r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b, oraz liczby s 1 i t 1 są liczbami całkowitymi. Następnie z drugiej równości otrzymujemy r 2 =b−r 1 ·q 2 = b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. Oznaczając −s 1 ·q 2 =s 2 i 1−t 1 ·q 2 =t 2, ostatnią równość można zapisać jako r 2 = s 2 ·a+t 2 ·b, a s 2 i t 2 są liczbami całkowitymi (ponieważ suma, różnica i iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). Podobnie z trzeciej równości otrzymujemy r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, z czwartej równości r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b i tak dalej. Wreszcie r k =s k ·a+t k ·b, gdzie s k i t k są liczbami całkowitymi. Ponieważ r k =NWD(a, b) , i oznaczając s k =u 0 i t k =v 0 , otrzymujemy liniową reprezentację NWD o wymaganej postaci: NWD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .
Jeśli m jest dowolną liczbą naturalną, to NWD(m a, m b)=m NWD(a, b).
Uzasadnienie tej własności największego wspólnego dzielnika jest następujące. Jeśli pomnożymy przez m obie strony każdej równości algorytmu euklidesowego, otrzymamy, że GCD(m·a, m·b)=m·r k , a r k to GCD(a, b) . Stąd, NWD(m a, m b)=m NWD(a, b).
Metoda znajdowania GCD za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze opiera się na własności największego wspólnego dzielnika.
Niech p będzie zatem dowolnym wspólnym dzielnikiem liczb aib gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, w szczególności, jeśli p=NWD(a, b) mamy gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, to znaczy, że liczby a:NWD(a, b) i b:GCD(a, b) są względnie pierwsze.
Ponieważ a=p·(a:p) i b=p·(b:p) , a także dzięki poprzedniej własności, możemy zapisać łańcuch równości w postaci NWD(a, b)=NWD(p (a:p), p (b:p))= p·NWD(a:p, b:p) , z czego wynika dowodzenie równości.
Własność największego wspólnego dzielnika, którą właśnie udowodniliśmy, jest podstawą .
Porozmawiajmy teraz o własności NWD, która redukuje problem znalezienia największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb do sekwencyjnego znajdowania NWD dwóch liczb.
Największy wspólny dzielnik liczb a 1 , a 2 , …, a k jest równy liczbie d k , którą można znaleźć poprzez kolejne obliczenie NWD(a 1 , a 2)=d 2 , NWD(d 2 , a 3)= re 3 , NWD(d 3 , za 4)=d 4 , …, NWD(d k-1 , a k)=d k .
Dowód opiera się na następstwie algorytmu Euklidesa. Wspólne dzielniki liczb a 1 i a 2 pokrywają się z dzielnikami d 2. Następnie wspólne dzielniki liczb a 1, a 2 i a 3 pokrywają się ze wspólnymi dzielnikami liczb d 2 i a 3, dlatego pokrywają się z dzielnikami d 3. Wspólne dzielniki liczb a 1, a 2, a 3 i a 4 pokrywają się ze wspólnymi dzielnikami d 3 i a 4, dlatego pokrywają się z dzielnikami d 4. I tak dalej. Wreszcie wspólne dzielniki liczb a 1, a 2, ..., a k pokrywają się z dzielnikami d k. A ponieważ największym dzielnikiem liczby d k jest sama liczba d k NWD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Na tym kończy się nasz przegląd podstawowych właściwości największego wspólnego dzielnika.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. i inne Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
- Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
- Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
- Kulikov L.Ya. i inne Zbiór zagadnień algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.
Aby dowiedzieć się, jak znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb, musisz zrozumieć, czym są liczby naturalne, pierwsze i zespolone.
Liczba naturalna to dowolna liczba używana do liczenia całych obiektów.
Jeśli liczbę naturalną można podzielić tylko na siebie i jeden, nazywa się ją liczbą pierwszą.
Wszystkie liczby naturalne można podzielić przez siebie i jeden, ale jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2, wszystkie pozostałe można podzielić przez dwa. Dlatego tylko liczby nieparzyste mogą być liczbami pierwszymi.
Liczb pierwszych jest całkiem sporo, nie ma ich pełnej listy. Aby znaleźć GCD, wygodnie jest użyć specjalnych tabel z takimi liczbami.
Większość liczb naturalnych można podzielić nie tylko przez siebie, ale także przez inne liczby. Na przykład liczbę 15 można podzielić przez kolejne 3 i 5. Wszystkie nazywane są dzielnikami liczby 15.
Zatem dzielnikiem dowolnego A jest liczba, przez którą można je podzielić bez reszty. Jeśli liczba ma więcej niż dwa czynniki naturalne, nazywa się ją złożoną.
Liczba 30 może mieć dzielniki, takie jak 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Zauważysz, że liczby 15 i 30 mają te same dzielniki 1, 3, 5, 15. Największym wspólnym dzielnikiem tych dwóch liczb jest 15.
Zatem wspólnym dzielnikiem liczb A i B jest liczba, przez którą można je całkowicie podzielić. Największą można uznać za maksymalną całkowitą liczbę, przez którą można je podzielić.
Aby rozwiązać problemy, stosuje się następujący skrócony napis:
NWD (A; B).
Na przykład gcd (15; 30) = 30.
Aby zapisać wszystkie dzielniki liczby naturalnej, należy zastosować zapis:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
NWD (9; 15) = 1
W tym przykładzie liczby naturalne mają tylko jeden wspólny dzielnik. Nazywa się je względnie pierwszymi, więc jedność jest ich największym wspólnym dzielnikiem.
Jak znaleźć największy wspólny dzielnik liczb
Aby znaleźć gcd kilku liczb, potrzebujesz:
Znajdź wszystkie dzielniki każdej liczby naturalnej osobno, to znaczy rozłóż je na czynniki (liczby pierwsze);
Wybierz wszystkie identyczne czynniki podanych liczb;
Pomnóż je razem.
Na przykład, aby obliczyć największy wspólny dzielnik liczb 30 i 56, należy napisać:
Aby uniknąć nieporozumień, wygodnie jest zapisywać współczynniki w kolumnach pionowych. Po lewej stronie linii należy umieścić dywidendę, a po prawej - dzielnik. Pod dywidendą należy wskazać uzyskany iloraz.
Zatem w prawej kolumnie znajdą się wszystkie czynniki potrzebne do rozwiązania.
Identyczne dzielniki (znalezione czynniki) można dla wygody podkreślić. Należy je przepisać, pomnożyć i zapisać największy wspólny dzielnik.
NWD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Oto, jak łatwo jest znaleźć największy wspólny dzielnik liczb. Jeśli trochę poćwiczysz, możesz to zrobić prawie automatycznie.
Największy wspólny dzielnik
Definicja 2
Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, wówczas $b$ nazywa się dzielnikiem $a$, a $a$ nazywa się wielokrotnością $b$.
Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczbę $c$ nazywa się wspólnym dzielnikiem zarówno $a$, jak i $b$.
Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników znajduje się największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$ i jest oznaczony następującą notacją:
$GCD\(a;b)\ lub \D\(a;b)$
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, potrzebujesz:
- Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
Przykład 1
Znajdź gcd liczb 121 $ i 132 $
242 $ = 2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Wybierz liczby, które zostaną uwzględnione w rozwinięciu tych liczb
242 $ = 2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$GCD=2\cdot 11=22$
Przykład 2
Znajdź gcd jednomianów $63$ i $81$.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Wybieramy liczby, które wchodzą w rozwinięcie tych liczb
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$GCD=3\cdot 3=9$
Współczynnik gcd dwóch liczb można znaleźć w inny sposób, korzystając z zestawu dzielników liczb.
Przykład 3
Znajdź gcd liczb 48 $ i 60 $.
Rozwiązanie:
Znajdźmy zbiór dzielników liczby $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Znajdźmy teraz zbiór dzielników liczby $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - zbiór ten wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Oznacza to, że największy wspólny dzielnik liczb 48 $ i 60 $ wynosi 12 $.
Definicja NPL
Definicja 3
Wspólne wielokrotności liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które można podzielić przez liczby pierwotne bez reszty. Na przykład dla liczb 25 USD i 50 USD wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 USD itd.
Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i będzie oznaczona LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$
Aby znaleźć LCM dwóch liczb, musisz:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
- Zapisz czynniki wchodzące w skład pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki wchodzące w skład drugiej liczby i niebędące częścią pierwszej
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
99 $ = 3\cdot 3\cdot 11$
Zapisz czynniki zawarte w pierwszym
dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego, a nie pierwszego
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądaną najmniejszą wspólną wielokrotnością
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Kompilowanie list dzielników liczb jest często bardzo pracochłonnym zadaniem. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.
Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vdots b$, to $D(a;b)=b$
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b
Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie redukować rozważane liczby, aż otrzymamy parę takich liczb, że jedna z nich będzie podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$.
Właściwości GCD i LCM
- Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
- Jeśli $a\vdots b$ , to К$(a;b)=a$
Jeżeli K$(a;b)=k$ i $m$ jest liczbą naturalną, to K$(am;bm)=km$
Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ zachodzi równość
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Dowolny wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ jest dzielnikiem liczby $D(a;b)$