Niech będą dane dwie funkcje użyteczności
U(x) i U* (x) = h + y U(x) przy d > 0.
Osoba podejmująca decyzję dochodzi do wyniku A i h A2 na podstawie drugiej funkcji użyteczności, badając dwie alternatywy. Co by się zmieniło, gdyby zamiast tego skupiono się na pierwszej funkcji użyteczności?
Jak wyglądałaby Twoja odpowiedź, gdyby druga funkcja użyteczności miała postać U*(x) = h - y oraz (i) przy y > 0?
Jak uporządkowane są alternatywy, gdy U*(x) = h?
* *
"Do
1. Do akceptacji prowadzą dwie funkcje użyteczności identyczne rozwiązania kiedy dają się one wzajemnie „przełożyć” na siebie poprzez dodatnią transformację liniową (por. także s. 74 na ten temat). Jeśli pokażemy, że U(x) jest dodatnią transformacją liniową funkcji U*(x), wówczas wybór funkcji użyteczności nie będzie miał wpływu na uporządkowanie alternatyw. Szukamy dwóch liczb a i b dla b > 0, żeby to było prawdą
a + bU*(x) = U(x).
Jeśli podstawimy drugą funkcję użyteczności, to mamy
a + b (h + gU(x)) = U(x).
W pierwszym etapie definiujemy 6 w ten sposób, że współczynnik przez który pomnożone jest U(x) przyjmuje wartość jeden. Oczywiście musimy oznaczyć b = 1 /d. Tak się okazuje
a + - + U (x) = U (.r). 9
Następnie musimy wybrać a tak, aby po obu stronach równania pozostało tylko U(x). Stanie się tak, gdy a = -h/g.
Teraz szukamy transformacji kształtu
a + b(h-gU(x)) = U(x).
Pozyskać pożądany rezultat, musimy oznaczyć b = - - l/h. Byłaby to ujemna transformacja liniowa i odwróciłaby kolejność rang.
Osoba podejmująca decyzję, mając tę funkcję użyteczności, ocenia wszystkie alternatywy o tej samej wartości. Zatem dokonując wyboru pomiędzy alternatywami A\ i A.2, powinniśmy otrzymać wynik A i ~
Więcej na temat 2.1.5. Wyjątkowość funkcji użyteczności:
- 1. Preferencje konsumentów i użyteczność krańcowa. Funkcja użyteczności.
- 2.3.2. Kwadratowa funkcja użyteczności i oczekiwana użyteczność
- Użyteczność i racjonalny konsument. Użyteczność całkowita i krańcowa. Prawo zmniejszania użyteczności krańcowej. Zasada maksymalizacji użyteczności
- Ilościowa teoria użyteczności. Pojęcia użyteczności, wyboru konsumenta, użyteczności całkowitej i krańcowej.
Jeżeli zostanie podana reguła, zgodnie z którą każdemu punktowi M płaszczyzny (lub części płaszczyzny) przyporządkowana jest pewna liczba u, to mówi się, że na płaszczyźnie (lub na części płaszczyzny „funkcja punktowa jest dana”; definicję funkcji symbolicznie wyraża równość postaci u - Liczba u związana z punktem M nazywana jest wartością tej funkcji w punkcie M. Przykładowo, jeśli A jest punktem stałym w samolot, M to dowolny punkt, to odległość od A do M jest funkcją punktu M. B w tym przypadku f(M) = AM.
Niech zostanie podana pewna funkcja u = f(M) i jednocześnie wprowadzony układ współrzędnych. Następnie dowolny punkt M jest wyznaczany przez współrzędne x, y. Odpowiednio wartość tej funkcji w punkcie M wyznaczają współrzędne x, y lub, jak to mówią, u = f(M) jest funkcją dwóch zmiennych x i y. Funkcję dwóch zmiennych x, y oznaczamy symbolem f(x, y); jeżeli f(M) = f(x, y) to wzór u = f(x, y) nazywamy wyrażeniem tej funkcji w wybranym układzie współrzędnych. Zatem w poprzednim przykładzie f(M)=AM; jeśli wprowadzisz kartezjański układ prostokątny współrzędne z początkiem w punkcie A, otrzymujemy wyrażenie na tę funkcję:
u = √(x 2 + y 2)
146. Mając dane dwa punkty P i Q, odległość między nimi wynosi a, a funkcja f(M) = d 2 1 - d 2 2, gdzie d 1 - MP i d 2 - MQ. Wyznacz wyrażenie tej funkcji, jeśli za początek współrzędnych przyjmiemy punkt P, a oś Ox jest skierowana wzdłuż odcinka PQ.
147. W warunkach zadania 146 wyznacz wyrażenie funkcji f(M) (bezpośrednio i za pomocą transformacji współrzędnych, wykorzystując wynik zadania 146), jeżeli:
1) początek współrzędnych wybiera się w środku odcinka PQ, oś Wół jest skierowana wzdłuż odcinka PQ.
2) początek współrzędnych wybiera się w punkcie P, a oś Ox jest skierowana wzdłuż odcinka QP.
148. Dane: kwadrat ABCD z bokiem a i funkcją f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, gdzie d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC i d 4 = lekarz. Znajdź wyrażenie tej funkcji, jeśli za osie współrzędnych przyjmiemy przekątne kwadratu (oś Ox jest skierowana wzdłuż odcinka AC, oś Oy jest skierowana wzdłuż odcinka BD).
149. W warunkach zadania 148 wyznacz wyrażenie na f(M) (bezpośrednio i poprzez transformację współrzędnych, korzystając z wyniku zadania 148), jeżeli początek współrzędnych zostanie wybrany w punkcie A, a osie współrzędnych są skierowane wzdłuż jego boki (oś Wół przebiega wzdłuż odcinka AB, oś Oy – wzdłuż odcinka AD).
150. Biorąc pod uwagę funkcję f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. Wyznacz wyrażenie tej funkcji w nowym układzie współrzędnych, jeśli początek współrzędnych zostanie przesunięty (bez zmiany kierunku osi) do punktu O”(3; -4).
151. Mając daną funkcję f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. Wyznacz wyrażenie tej funkcji w nowym układzie współrzędnych, jeżeli osie współrzędnych zostaną obrócone o kąt -45°.
152. Biorąc pod uwagę funkcję f(x, y) = x 2 + y 2 . Wyznacz wyrażenie tej funkcji w nowym układzie współrzędnych, jeśli osie współrzędnych zostaną obrócone o określony kąt α.
153. Znajdź taki punkt, aby po przeniesieniu na niego początku współrzędnych wyrażenie funkcji f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 po przekształceniu nie zawierało wyrazów pierwszego stopień w odniesieniu do nowych zmiennych.
154. Znajdź taki punkt, aby po przeniesieniu na niego początku współrzędnych wyrażenie funkcji f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 nie zawierało wyrazów pierwszego stopnia w odniesieniu do nowych zmiennych.
155. O jaki kąt należy obrócić osie współrzędnych, aby wyrażenie funkcji f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 po przekształceniu nie zawierało wyrazu z iloczynem nowych zmiennych ?
156. O jaki kąt należy obrócić osie współrzędnych, aby wyrażenie funkcji f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 po przekształceniu nie zawierało wyrazu będącego iloczynem nowych zmiennych?
2. Funkcje. Najprostsze własności funkcji 21 2.11. Udowodnić, że jeśli f(x) jest funkcją okresową o okresie T, to funkcja f(ax) jest również okresowa o okresie T/a. Rozwiązanie. Rzeczywiście, f = f (ax + T) = f (ax), tj. T /a jest jednym z okresów funkcji f (ax). 2.12. Znajdź okres funkcji f (x) = cos2 x. 1 + cos 2x Rozwiązanie. Możemy napisać: cos2 x = . Widzimy ten okres 2 funkcje cos 2 x jest takie samo jak okres funkcji cos 2x. Ponieważ okres funkcji cos x jest równy 2π, to według Zadania 2.11 okres funkcji cos 2x jest równy π. 2.13. Znajdź okres funkcji: a) f (x) = sin 2πx; b) fa (x) = | cox|. Odpowiedź: a) T = 1; b) T = π. Zadania dla niezależna decyzja 2.14. Niech f (x) = x2 i ϕ(x) = 2x. Znajdź: a) f [ϕ(x)], b) ϕ. 2.15. Znajdź f (x + 1), jeśli f (x - 1) = x2. 1 2.16. Podana jest funkcja f (x) =. 1−x Znajdź ϕ(x) = f (f ). 2.17. Mając daną funkcję f (x) = 3x2 − 4x − 2. Udowodnij, że funkcję f (2x + 1) można przedstawić jako f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C. Znajdź wartości stałych A, B, C 2.18. Biorąc pod uwagę dwa funkcje liniowe f1 (x) = 5x + 4 i f2 (x) = 3x − 1. Udowodnij, że funkcja f (x) = f2 jest również liniowa, czyli ma postać f (x) = Ax + B. Znajdź wartości stałych A i B. 3x + 7 5x + 4 2.19. Dane dwie funkcje f1 (x) = i f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 nazywane są liniowymi ułamkami. Udowodnij, że funkcja f (x) = f1 jest również liniowa ułamkowo, czyli ma postać Ax + B f (x) = . Podaj wartości stałych A, B, C, D. Cx + D 22 Wprowadzenie do Analiza matematyczna 2.20. Dla pewnej funkcji f: X ⊂ R → Y ⊂ R wiadomo, że f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Udowodnij, że funkcję f (x) można przedstawić jako f (x) = Ax2 + Bx + C. Znajdź wartości stałych A, B, C. 2.21. Znajdź dziedzinę definicji następujące funkcje: √ 2+x a) fa (x) = x + 1; b) fa (x) = lg ; √ 2−x do) fa (x) = 2 + x − x2 ; d) f (x) = arcsin(log2 x); 1 + x2 d) fa (x) = cos(sin x) + arcsin. 2x 2,22. Znajdź dziedzinę definicji następujących funkcji: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; b) fa (x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = log[(1 + x)(12 − x)]; d) f (x) = arcsin; x−6 d) fa (x) = (x + 9)(x + 8)(x − 14); 15 f) f (x) = arcsin; x − 11 −x f) fa (x) = x2 + 13x + 42 + arcsin . 13 2.23. Skonstruuj dziedzinę definicji następujących funkcji: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) fa (x, y) = x2 – 4 + 4 – y 2 ; x2 + y2 c) fa (x, y) = arcsin; 4 √ g) fa (x, y) = xy. 2.24. Znajdź dziedzinę definicji następujących funkcji: 1 − log x 3 − 2x arcsin a) f (x) = 1 ; b) fa (x) = √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. Funkcje. Najprostsze własności funkcji 23 2.25. Znajdź i skonstruuj dziedzinę definicji następujących funkcji: 4x − y 2 a) f (x, y) = ; log(1 - x2 - y 2) x2 + 2x + y 2 b) fa (x, y) = . x2 − 2x + y2 2,26. Udowodnij, że funkcje 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x - 1| nawet; 2x − 2−x 3x + 1 b) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x , 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg nieparzyste; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 postaci ogólnej. 2.27. Dane są funkcje: 1 a) y = sin2 x; b) y = grzech x2 ; c) y = 1 + tan x; d) y = grzech. x Które z nich są okresowe? 2x 2,28. Udowodnij, że funkcja y = ma odwrotność 1 + 2x i znajdź ją. 2.29. Udowodnić, że funkcja y = x2 − 2x ma dwie odwrotności: y1 = 1 + x + 1 i y2 = 1 − x + 1. 2,30. Udowodnij, że następujące funkcje są ograniczone od dołu: a) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; b) f2 (x) = x4 – 8x3 + 22x2. 2.31. Udowodnić, że następujące funkcje są ograniczone z góry: 1 5 a) f1 (x) = √ ; b) f1 (x) = √ . 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 Wprowadzenie do rachunku różniczkowego 2.32. Znajdź najmniejszy i najwyższa wartość następujące funkcje: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 grzech x + 12 cos x. 2.33. Opisz postać wykresu następujących funkcji: a) z = 1 – x2 – y 2 ; b) z = x2 + y2; c) z = x2 + y2; d) z = x2 - y 2 . 2,34. Narysuj linie poziomów dla tych funkcji, podając wartości z od -3 do +3 do 1: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2.35. Wykres funkcji y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ przekształcając wykres funkcji y = x. 2,36. Narysuj wykres funkcji y = 3 sin(2x − 4), przekształcając wykres funkcji y = sin x. 2,37. Korzystając z podstawowych badań funkcji (bez stosowania pochodnych), wykreśl wykresy następujących funkcji: 1 x a) y = 2 ; b) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 − 2x2 + 5; d) y = 2; x + 4x + 5 2x - 5 d) y = ; e) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2,38. Wykreśl wykresy następujących funkcji: x, jeśli − ∞< x < 1;
1 1
а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
2
2
4, если 3 < x < +∞;
б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|;
в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π;
д) f (x) = arccos(cos x);
t+5 t+1
е) f (t) = ; ж) f (t) = .
t−7 t2 + 2t + 2
3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по podręcznik przestudiować podrozdziały 1.4 i 1.5. Powinna być zapłacona Specjalna uwaga do podrozdziału 1.4 i znać wszystkie typy dzielnic, ich oznaczenia i formy zapisu w postaci nierówności. Stwierdzenie lim f (x) = A oznacza: dla dowolnego otoczenia x → x0 elementu A (w szczególności dowolnie małego) elementu A istnieje przebite otoczenie V (x0) elementu x0 takie, że z warunku Następuje x ∈ V˙ (x0) ∩ X, f (x) ∈ U (A), gdzie X jest dziedziną definicji funkcji f (x), a x0 jest punktem granicznym zbioru X. Często zamiast tego dowolnego sąsiedztwa U (A), rozważa się sąsiedztwo symetryczne Uε (A). W tym przypadku sąsiedztwo ˙ V (x0) może okazać się albo symetryczne, albo asymetryczne, ale z dowolnego sąsiedztwa asymetrycznego można wybrać sąsiedztwo symetryczne Vδ (x0). Ponieważ otoczenie V (x0) jest przebite, tj. nie zawiera punktu x0, to x = x0, a w punkcie x0 nie można zdefiniować funkcji f (x). Aby udowodnić, że lim f (x) = A, wystarczy znaleźć x → x0 zbiór (x) tych wartości x, dla których inkluzja f (x) ⊂ U (A) obowiązuje dla dowolnego otoczenia U ( A). Jeżeli znaleziony zbiór (x) jest otoczeniem x0, to stwierdzenie lim f (x) = A jest prawdziwe, w W przeciwnym razie to x → x0 jest fałszywe. W szczególności, jeśli zdefiniowana jest funkcja f (x) w punkcie x0 i lim f (x) = f (x0), to zbiór (x) będzie zawierał także x → x0 punktu x0. Podana definicja granicy ma zastosowanie do dowolnej klasy funkcji. W tej części zajmiemy się głównie funkcje numeryczne jeden argument numeryczny. 3.1. Na podstawie definicji granicy udowodnij: 1 1 a) lim x = x0 ; b) lim = ; x → x0 x →2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0; x →+∞ x x →−∞ x x →∞ x 26 Wprowadzenie do analizy matematycznej 1 1 d) lim = +∞; e) lim = −∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x →1 x x →2 Rozwiązanie: a) stwierdzenie lim x = x0 bezpośrednio x →x0 wynika z definicji granicy. Jeżeli sąsiedztwo Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно
принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
1 1
б) докажем, что lim = . По определению предела
x→2 x 2
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
1 ˙
Uε , ε >0 istnieje otoczenie V (2) takie, że jeśli 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), to −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле-
x 2 x 2
дующим двум неравенствам:
1 1
−ε < − < +ε
или x 2
1 1 1
− ε < < + ε.
2 x 2
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2 2