Znajdź największą lub najmniejszą wartość funkcji. Jak znaleźć największą wartość funkcji w przedziale

Stwierdzenie problemu 2:

Dana funkcja jest zdefiniowana i ciągła w pewnym przedziale. Musisz znaleźć największą (najmniejszą) wartość funkcji w tym przedziale.

Podstawy teoretyczne.
Twierdzenie (Drugie twierdzenie Weierstrassa):

Jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale zamkniętym, to w tym przedziale osiąga swoje wartości maksymalne i minimalne.

Funkcja może osiągnąć swoje największe i najmniejsze wartości albo przez punkty wewnętrzne szczelinę lub na jej granicach. Zilustrujmy wszystkie możliwe opcje.

Wyjaśnienie:
1) Funkcja osiąga największą wartość na lewej granicy przedziału w punkcie , a minimalną wartość na prawej granicy przedziału w punkcie .
2) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie (jest to punkt maksymalny), a wartość minimalną na prawej granicy przedziału w tym punkcie.
3) Funkcja osiąga wartość maksymalną na lewej granicy przedziału w punkcie , a wartość minimalną w punkcie (jest to punkt minimalny).
4) Funkcja jest stała na przedziale, tj. osiąga wartości minimalne i maksymalne w dowolnym punkcie przedziału, a wartości minimalne i maksymalne są sobie równe.
5) Funkcja osiąga wartość maksymalną w punkcie , a minimalną w punkcie (mimo że funkcja ma w tym przedziale zarówno maksimum, jak i minimum).
6) Funkcja osiąga w punkcie największą wartość (jest to punkt maksymalny), a w punkcie minimalną (jest to punkt minimalny).
Komentarz:

„Maksimum” i „ maksymalna wartość" - Różne rzeczy. Wynika to z definicji maksimum i intuicyjnego rozumienia pojęcia „wartość maksymalna”.

Algorytm rozwiązania zadania 2.

4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 4:

Określ największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie.
Rozwiązanie:
1) Znajdź pochodną funkcji.

2) Znajdź punkty stacjonarne (i punkty podejrzane o ekstremum), rozwiązując równanie. Zwróć uwagę na punkty, w których nie ma dwustronnej skończonej pochodnej.

3) Oblicz wartości funkcji w punktach stacjonarnych i na granicach przedziału.

4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.

Funkcja na tym odcinku osiąga największą wartość w punkcie o współrzędnych .

Funkcja na tym odcinku osiąga wartość minimalną w punkcie o współrzędnych .

Poprawność obliczeń możesz sprawdzić, patrząc na wykres badanej funkcji.

Komentarz: Funkcja osiąga największą wartość w punkcie maksymalnym, a minimalną na granicy odcinka.

Specjalny przypadek.

Załóżmy, że musisz znaleźć maksymalną i minimalną wartość jakiejś funkcji w segmencie. Po wykonaniu pierwszego punktu algorytmu, tj. obliczeniu instrumentów pochodnych, staje się jasne, że wystarczy np wartości ujemne w całym rozpatrywanym segmencie. Pamiętaj, że jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje. Stwierdziliśmy, że funkcja maleje na całym odcinku. Sytuację tę przedstawia wykres nr 1 na początku artykułu.

Funkcja maleje na odcinku, tj. nie ma ekstremów. Z rysunku widać, że funkcja przyjmie najmniejszą wartość na prawej granicy odcinka, a najwyższa wartość- po lewej. jeśli pochodna odcinka jest wszędzie dodatnia, to funkcja rośnie. Najmniejsza wartość znajduje się na lewej krawędzi segmentu, największa po prawej stronie.

Miniaturowe i dość proste zadanie, które służy jako ratunek dla pływającego ucznia. Mamy środek lipca, więc czas rozsiąść się z laptopem na plaży. Grał wcześnie rano słoneczny króliczek teorii, aby wkrótce skupić się na praktyce, która pomimo rzekomej łatwości zawiera w piasku odłamki szkła. W związku z tym radzę sumiennie rozważyć kilka przykładów z tej strony. Dla rozwiązań zadania praktyczne musi móc znaleźć pochodne i zrozumieć treść artykułu Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

Najpierw krótko o najważniejszej rzeczy. Na lekcji o ciągłość funkcji Podałem definicję ciągłości w punkcie i ciągłości w odstępie czasu. W podobny sposób formułuje się przykładowe zachowanie funkcji na segmencie. Funkcja jest ciągła na przedziale, jeśli:

1) jest ciągła na przedziale ;
2) ciągły w punkcie po prawej i w punkcie lewy.

W drugim akapicie mówiliśmy o tzw jednostronna ciągłość funkcjonuje w jednym punkcie. Istnieje kilka podejść do jego zdefiniowania, ja jednak będę trzymał się linii, którą zacząłem wcześniej:

Funkcja jest ciągła w punkcie po prawej, jeżeli jest ona zdefiniowana w danym punkcie i jej prawa granica pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie: . W punkcie jest ciągły lewy, jeżeli jest zdefiniowany w danym punkcie i jego lewa granica jest równa wartości w tym punkcie:

Wyobraź sobie, że zielone kropki to paznokcie z przyczepioną do nich magiczną gumką:

Mentalnie weź czerwoną linię w swoje ręce. Oczywiście niezależnie od tego jak bardzo rozciągniemy wykres w górę i w dół (wzdłuż osi), funkcja nadal pozostanie ograniczony– na górze płot, na dole płot, a nasz produkt pasie się na wybiegu. Zatem, funkcja ciągła na przedziale jest na nim ograniczona. W toku analizy matematycznej ten pozornie prosty fakt zostaje stwierdzony i rygorystycznie udowodniony. Pierwsze twierdzenie Weierstrassa....Wiele osób denerwuje, że twierdzenia elementarne są żmudnie uzasadniane w matematyce, ale ma to ważne znaczenie. Załóżmy, że pewien mieszkaniec średniowiecza frotte wyciągnął wykres w niebo poza granicami widoczności, został on wstawiony. Przed wynalezieniem teleskopu ograniczona funkcja w przestrzeni wcale nie była oczywista! Tak naprawdę, skąd wiesz, co nas czeka za horyzontem? Przecież kiedyś Ziemię uważano za płaską, więc dziś nawet zwykła teleportacja wymaga dowodu =)

Według Drugie twierdzenie Weierstrassa, ciągły w segmenciefunkcja osiąga swoją wartość dokładny górna krawędź i Twoje dokładnie dolna krawędź .

Numer jest również nazywany maksymalna wartość funkcji w segmencie i są oznaczone przez , a liczbą jest minimalna wartość funkcji w segmencie zaznaczone.

W naszym przypadku:

Notatka : teoretycznie nagrania są powszechne .

Z grubsza rzecz biorąc, największą wartością jest to, gdzie jest najwięcej wysoka temperatura grafika, a najmniejszy – gdzie jest najwięcej niski punkt.

Ważny! Jak już podkreślono w artykule o ekstrema funkcji, największą wartość funkcji I najmniejsza wartość funkcji – NIE TEN SAM, Co maksymalna funkcja I funkcja minimalna. Zatem w rozważanym przykładzie liczba jest minimum funkcji, ale nie wartością minimalną.

Swoją drogą, co dzieje się poza segmentem? Tak, nawet powódź, w kontekście rozpatrywanego problemu, to nas w ogóle nie interesuje. Zadanie polega wyłącznie na znalezieniu dwóch liczb i to wszystko!

Co więcej, rozwiązanie ma zatem charakter czysto analityczny nie ma potrzeby rysowania!

Algorytm leży na powierzchni i sugeruje się z powyższego rysunku:

1) Znajdź wartości funkcji w punkt krytyczny, które należą ten segment .

Złap kolejną bułkę: tutaj nie ma potrzeby sprawdzania warunek wystarczający ekstremum, ponieważ, jak właśnie pokazano, obecność minimum lub maksimum jeszcze nie gwarantuje jaka jest wartość minimalna lub maksymalna. Funkcja demonstracyjna osiąga maksimum i zgodnie z wolą losu ta sama liczba jest największą wartością funkcji w segmencie. Ale oczywiście taki zbieg okoliczności nie zawsze występuje.

Zatem w pierwszym kroku szybciej i łatwiej jest obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych należących do odcinka, nie przejmując się tym, czy występują w nich ekstrema, czy nie.

2) Obliczamy wartości funkcji na końcach segmentu.

3) Spośród wartości funkcji znajdujących się w akapicie 1. i 2. wybierz najmniejszą i największą duża liczba, zapisz odpowiedź.

Siadamy na brzegu niebieskie morze i uderzamy piętami w płytką wodę:

Przykład 1

Znajdź największe i najmniejsza wartość działa w przedziale

Rozwiązanie:
1) Obliczmy wartości funkcji w punktach krytycznych należących do tego odcinka:

Obliczmy wartość funkcji w drugiej punkt krytyczny:

2) Obliczmy wartości funkcji na końcach odcinka:

3) „Pogrubione” wyniki uzyskano z wykładnikami i logarytmami, co znacznie komplikuje ich porównanie. Z tego powodu uzbroimy się w kalkulator lub Excel i obliczmy przybliżone wartości, nie zapominając o tym, że:

Teraz wszystko jest jasne.

Odpowiedź:

Ułamkowy racjonalny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 6

Znajdź maksimum i minimalna wartość działa w przedziale

Aby go rozwiązać, potrzebujesz minimalnej wiedzy na ten temat. Kończy się następny rok akademicki, każdy chce jechać na wakacje i żeby przybliżyć ten moment przejdę od razu do rzeczy:

Zacznijmy od okolicy. Obszar, o którym mowa w warunku to ograniczony Zamknięte zbiór punktów na płaszczyźnie. Na przykład zbiór punktów ograniczony trójkątem, obejmujący CAŁY trójkąt (jeśli z granice„wybić” chociaż jeden punkt, wtedy region nie będzie już zamknięty). W praktyce zdarzają się również obszary prostokątne, okrągłe i nieco większe. złożone kształty. Warto zaznaczyć, że w teorii Analiza matematyczna podano ścisłe definicje ograniczenia, izolacja, granice itp., ale myślę, że każdy jest świadomy tych koncepcji na poziomie intuicyjnym i teraz nic więcej nie jest potrzebne.

Region płaski jest standardowo oznaczany literą i z reguły jest określany analitycznie - kilkoma równaniami (niekoniecznie liniowy); rzadziej nierówności. Typowe powiedzenie: „obszar zamknięty, ograniczone liniami ».

Integralna część Zadanie polega na skonstruowaniu obszaru na rysunku. Jak to zrobić? Musisz narysować wszystkie wymienione linie (w w tym przypadku 3 prosty) i przeanalizuj, co się stało. Przeszukiwany obszar jest zwykle lekko zacieniony, a jego granica zaznaczona jest grubą linią:

Można również ustawić ten sam obszar nierówności liniowe: , które z jakiegoś powodu są często zapisywane jako lista wyliczeniowa, a nie system.
Ponieważ granica należy do regionu, wówczas oczywiście wszystkie nierówności niedbały.

A teraz istota zadania. Wyobraź sobie, że oś wychodzi prosto od początku w twoją stronę. Rozważmy funkcję, która ciągły w każdym punkt obszaru. Wykres tej funkcji przedstawia niektóre powierzchnia, a małe szczęście jest takie, że aby rozwiązać dzisiejszy problem, nie musimy wiedzieć, jak ta powierzchnia wygląda. Może być umieszczony wyżej, niżej, przecinać płaszczyznę - to wszystko nie ma znaczenia. I ważne jest: wg Twierdzenia Weierstrassa, ciągły V ograniczona, zamknięta obszarze funkcja osiąga największą wartość (najwyższy") i najmniej (Najniższy") wartości, które należy znaleźć. Takie wartości osiąga się Lub V punkty stacjonarne, należący do regionuD , Lub w punktach leżących na granicy tego obszaru. Prowadzi to do prostego i przejrzystego algorytmu rozwiązania:

Przykład 1

W ograniczonym teren zamknięty

Rozwiązanie: Przede wszystkim musisz zobrazować obszar na rysunku. Niestety, technicznie trudno jest mi stworzyć interaktywny model problemu, dlatego od razu przedstawię ostateczną ilustrację, która pokazuje wszystkie „podejrzane” punkty wykryte podczas badań. Zwykle są one wymieniane jeden po drugim w miarę ich odkrycia:

Na podstawie preambuły decyzję można wygodnie podzielić na dwa punkty:

I) Znajdź punkty stacjonarne. Jest to standardowa czynność, którą wielokrotnie wykonywaliśmy na zajęciach. o ekstremach kilku zmiennych:

Znaleziono punkt stacjonarny należy obszary: (zaznacz to na rysunku), co oznacza, że powinniśmy obliczyć wartość funkcji w danym punkcie:

- jak w artykule Największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie, ważne wyniki podkreślę pogrubione. Wygodnie jest prześledzić je w notatniku ołówkiem.

Zwróć uwagę na nasze drugie szczęście - nie ma sensu sprawdzać warunek wystarczający na ekstremum. Dlaczego? Nawet jeśli w pewnym momencie funkcja osiągnie np. minimum lokalne, to NIE OZNACZA, że wynikowa wartość będzie taka minimalny w całym regionie (patrz początek lekcji o bezwarunkowych skrajnościach) .

Co zrobić, jeśli punkt stacjonarny NIE należy do obszaru? Prawie nic! Należy to odnotować i przejść do następnego punktu.

II) Badamy granicę regionu.

Ponieważ obramowanie składa się z boków trójkąta, wygodnie jest podzielić badanie na 3 podrozdziały. Ale w każdym razie lepiej tego nie robić. Z mojego punktu widzenia korzystniej jest najpierw rozważyć odcinki równoległe osie współrzędnych, a przede wszystkim te leżące na samych toporach. Aby ogarnąć całą sekwencję i logikę działań, spróbuj przestudiować zakończenie „jednym tchem”:

1) Zajmijmy się dolną stroną trójkąta. Aby to zrobić, podstaw bezpośrednio do funkcji:

Alternatywnie możesz to zrobić w ten sposób:

Geometrycznie to oznacza płaszczyzna współrzędnych (co jest również dane równaniem)„wyrzeźbia” z powierzchnie parabola „przestrzenna”, której wierzchołek natychmiast staje się podejrzany. Dowiedzmy Się gdzie ona się znajduje:

– wynikowa wartość „wpadła” w obszar i może się okazać, że w tym momencie (zaznaczone na rysunku) funkcja osiąga największą lub najmniejszą wartość w całym obszarze. Tak czy inaczej, wykonajmy obliczenia:

Pozostali „kandydaci” to oczywiście końce segmentu. Obliczmy wartości funkcji w punktach (zaznaczone na rysunku):

Nawiasem mówiąc, tutaj możesz przeprowadzić mini-kontrolę ustną, korzystając z „okrojonej” wersji:

2) Do badań prawa strona podstawiamy trójkąt do funkcji i „porządkujemy”:

Tutaj natychmiast przeprowadzimy zgrubną kontrolę, „dzwoniąc” już przetworzonego końca segmentu:
, Świetnie.

Sytuacja geometryczna jest powiązana poprzedni punkt:

– otrzymana wartość również „weszła w zakres naszych zainteresowań”, co oznacza, że musimy obliczyć, jaka funkcja w pojawiającym się punkcie jest równa:

Przyjrzyjmy się drugiemu końcowi segmentu:

Korzystanie z funkcji , przeprowadźmy kontrolę kontrolną:

3) Chyba każdy domyśla się jak zbadać pozostałą stronę. Podstawiamy go do funkcji i przeprowadzamy uproszczenia:

Końce segmentu zostały już zbadane, ale w wersji roboczej nadal sprawdzamy, czy poprawnie znaleźliśmy funkcję :
– zbiegło się z wynikiem akapitu pierwszego;
– zbiegło się z wynikiem z akapitu drugiego.

Pozostaje dowiedzieć się, czy w segmencie jest coś interesującego:

- Jest! Podstawiając prostą do równania otrzymujemy rzędną tej „ciekawości”:

Zaznaczamy punkt na rysunku i znajdujemy odpowiednią wartość funkcji:

Sprawdźmy obliczenia w wersji „budżetowej”. :
, zamówienie.

I ostatni krok: UWAŻNIE przeglądamy wszystkie „pogrubione” liczby, polecam początkującym nawet sporządzenie jednej listy:

z których wybieramy największe i najmniejsze wartości. Odpowiedź Zapiszmy w stylu problem znalezienia największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie:

Na wszelki wypadek skomentuję jeszcze raz znaczenie geometryczne wynik:
– tu znajduje się najwyższy punkt powierzchni w regionie;
– tutaj znajduje się najniższy punkt powierzchni w okolicy.

W analizowanym zadaniu zidentyfikowaliśmy 7 punktów „podejrzanych”, jednak ich liczba różni się w zależności od zadania. W przypadku obszaru trójkątnego minimalny „zestaw badawczy” składa się z trzy punkty. Dzieje się tak, gdy na przykład funkcja określa samolot– jest całkowicie jasne, że nie ma punktów stacjonarnych, a funkcja może osiągać swoje maksimum/najmniejsze wartości jedynie w wierzchołkach trójkąta. Ale jest tylko jeden lub dwa podobne przykłady - zazwyczaj z niektórymi trzeba sobie poradzić powierzchnia II rzędu.

Jeśli spróbujesz trochę rozwiązać takie zadania, trójkąty mogą przyprawić Cię o zawrót głowy i dlatego przygotowałem dla Ciebie niezwykłe przykładyżeby zrobił się kwadratowy :))

Przykład 2

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na zamkniętym obszarze ograniczonym liniami

Przykład 3

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w ograniczonym obszarze zamkniętym.

Specjalna uwaga Zwróć uwagę na racjonalny porządek i technikę badania granicy regionu, a także na łańcuch kontroli pośrednich, który niemal całkowicie pozwoli uniknąć błędów obliczeniowych. Ogólnie rzecz biorąc, możesz to rozwiązać w dowolny sposób, ale w przypadku niektórych problemów, na przykład w przykładzie 2, istnieje duża szansa, że znacznie utrudnisz sobie życie. Przybliżona próbka dokończenie zadań na koniec lekcji.

Usystematyzujmy algorytm rozwiązania, bo inaczej przy mojej pracowitości pająka jakoś zaginął w długim wątku komentarzy do 1-go przykładu:

– W pierwszym kroku budujemy obszar, warto go zacienić i zaznaczyć granicę pogrubioną linią. Podczas rozwiązywania pojawią się punkty, które należy zaznaczyć na rysunku.

– Znajdź punkty stacjonarne i oblicz wartości funkcji tylko w tych z nich które należą do regionu. Wynikowe wartości podkreślamy w tekście (na przykład zakreślamy je ołówkiem). Jeżeli punkt stacjonarny NIE należy do danego regionu, wówczas zaznaczamy ten fakt ikoną lub słownie. Jeśli w ogóle nie ma punktów stacjonarnych, wyciągamy pisemny wniosek, że ich nie ma. W każdym razie tego punktu nie można pominąć!

– Badamy granicę regionu. Po pierwsze, korzystne jest zrozumienie linii prostych, które są równoległe do osi współrzędnych (jeśli w ogóle jakieś są). Wyróżniamy także wartości funkcji obliczone w „podejrzanych” punktach. Wiele powiedziano powyżej o technice rozwiązania, a poniżej zostanie powiedziane coś innego - czytaj, czytaj jeszcze raz, zagłębiaj się w to!

– Spośród wybranych liczb wybierz największą i najmniejszą wartość i podaj odpowiedź. Czasami zdarza się, że funkcja osiąga takie wartości w kilku punktach jednocześnie - w tym przypadku wszystkie te punkty powinny znaleźć odzwierciedlenie w odpowiedzi. Niech np. i okazało się, że jest to najmniejsza wartość. Potem to zapisujemy

Ostatnie przykłady są dedykowane innym przydatne pomysły co przyda się w praktyce:

Przykład 4

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w obszarze zamkniętym .

Zachowałem sformułowanie autora, w którym pole jest podane w postaci podwójnej nierówności. Warunek ten można zapisać za pomocą równoważnego systemu lub w bardziej tradycyjnej formie dla tego problemu:

Przypominam, że z nieliniowy napotkaliśmy nierówności na, a jeśli nie rozumiesz geometrycznego znaczenia zapisu, to nie zwlekaj i wyjaśnij sytuację już teraz ;-)

Rozwiązanie, jak zawsze, zaczyna się od zbudowania obszaru, który reprezentuje rodzaj „podeszwy”:

Hmm, czasem trzeba przeżuć nie tylko granit nauki...

I) Znajdź punkty stacjonarne:

System to marzenie idioty :)

Do obszaru należy punkt stacjonarny, czyli leży na jego granicy.

No cóż, nie ma problemu… lekcja przebiegła pomyślnie – oto co znaczy pić odpowiednią herbatę =)

II) Badamy granicę regionu. Bez zbędnych ceregieli zacznijmy od osi x:

1) Jeśli , to

Ustalmy, gdzie znajduje się wierzchołek paraboli:
– doceniaj takie momenty – „trafiłeś” aż do momentu, w którym wszystko jest już jasne. Ale nadal nie zapominamy o sprawdzeniu:

Obliczmy wartości funkcji na końcach odcinka:

2) C spód Wyznaczmy „dna” „na jednym posiedzeniu” - podstawiamy je do funkcji bez żadnych kompleksów i będziemy zainteresowani tylko segmentem:

Kontrola:

To już wnosi trochę emocji do monotonnej jazdy po radełkowanym torze. Znajdźmy punkty krytyczne:

Zdecydujmy równanie kwadratowe, pamiętasz coś jeszcze na ten temat? ...Jednak pamiętaj, inaczej nie czytałbyś tych linijek =) Jeśli w dwóch poprzednich przykładach obliczenia w miejsca dziesiętne(co, swoją drogą, jest rzadkie), to czekają nas tutaj zwykłe ułamki zwykłe. Znajdujemy pierwiastki „X” i za pomocą równania określamy odpowiednie współrzędne „gry” punktów „kandydatów”:

Obliczmy wartości funkcji w znalezionych punktach:

Sprawdź działanie samodzielnie.

Teraz dokładnie studiujemy zdobyte trofea i zapisujemy odpowiedź:

To są „kandydaci”, to są „kandydaci”!

Aby rozwiązać ten problem samodzielnie:

Przykład 5

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na zamkniętym terenie

Wpis z nawiasami klamrowymi brzmi następująco: „zbiór punktów taki, że”.

Czasami w podobne przykłady używać Metoda mnożnika Lagrange'a, ale jest mało prawdopodobne, aby istniała realna potrzeba jego użycia. Jeśli więc np. dana jest funkcja o tym samym obszarze „de”, to po podstawieniu do niej – z pochodną od bez trudności; Co więcej, wszystko jest narysowane „w jednej linii” (ze znakami) bez konieczności osobnego rozpatrywania górnego i dolnego półkola. Ale oczywiście jest ich więcej złożone przypadki, gdzie bez funkcji Lagrange'a (gdzie na przykład jest to samo równanie okręgu) Trudno się obejść – tak samo jak trudno obejść się bez dobrego wypoczynku!

Życzę wszystkim miłej zabawy i do zobaczenia wkrótce w przyszłym sezonie!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) przyjęta wartość rzędnej w rozpatrywanym przedziale.

Aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji, należy:

Sprawdź, które punkty stacjonarne wchodzą w skład danego odcinka.
Oblicz wartość funkcji na końcach odcinka i w punktach stacjonarnych z kroku 3
Spośród uzyskanych wyników wybierz największą lub najmniejszą wartość.

Aby znaleźć maksymalną lub minimalną liczbę punktów, musisz:

Znajdź pochodną funkcji $f"(x)$
Znajdź punkty stacjonarne rozwiązując równanie $f"(x)=0$
Rozważ pochodną funkcji.
Narysuj linię współrzędnych, umieść na niej punkty stacjonarne i wyznacz znaki pochodnej w otrzymanych przedziałach, korzystając z zapisu z kroku 3.
Znajdź maksimum lub minimum punktów zgodnie z zasadą: jeśli w punkcie pochodna zmieni znak z plusa na minus, to będzie to punkt maksymalny (jeśli z minus na plus, to będzie to punkt minimalny). W praktyce wygodnie jest używać obrazu strzałek na przedziałach: na przedziale, w którym pochodna jest dodatnia, strzałka jest rysowana w górę i odwrotnie.

Tabela pochodnych niektórych funkcji elementarnych:

Funkcjonować	Pochodna
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-grzech2x$
$grzech^2x$	$grzech2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Podstawowe zasady różniczkowania

1. Pochodna sumy i różnicy jest równa pochodnej każdego wyrazu

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Znajdź pochodną funkcji $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Pochodna sumy i różnicy jest równa pochodnej każdego wyrazu

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Pochodna produktu.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Znajdź pochodną $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Pochodna ilorazu

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Znajdź pochodną $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Pochodna złożona funkcja równy iloczynowi pochodnej funkcja zewnętrzna do pochodnej funkcji wewnętrznej

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - grzech(5x)∙5= -5sin(5x)$

Znajdź minimalny punkt funkcji $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Znajdźmy Funkcje ODZ: $x+11>0; x>-11$

2. Znajdź pochodną funkcji $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Znajdź punkty stacjonarne przyrównując pochodną do zera

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ułamek jest równy zero, jeśli licznik równy zeru, a mianownik nie jest zerem

$2x+21=0; x≠-11$

4. Narysujmy linię współrzędnych, umieść na niej punkty stacjonarne i wyznaczmy znaki pochodnej w otrzymanych przedziałach. Aby to zrobić, podstaw dowolną liczbę z prawego obszaru do pochodnej, na przykład zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. W punkcie minimalnym pochodna zmienia znak z minus na plus, zatem punktem minimalnym jest punkt $-10,5$.

Odpowiedź: $-10,5 $

Znajdź największą wartość funkcji $y=6x^5-90x^3-5$ na odcinku $[-5;1]$

1. Znajdź pochodną funkcji $y′=30x^4-270x^2$

2. Przyrównaj pochodną do zera i znajdź punkty stacjonarne

30x^4-270x^2=0$

Wyciągniemy to wspólny mnożnik 30x^2$ w nawiasach

30x^2(x^2-9)=0$

30x^2(x-3)(x+3)=0$

Przyrównajmy każdy czynnik do zera

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wybierz punkty stacjonarne, do których należą dany segment $[-5;1]$

Odpowiadają nam punkty stacjonarne $x=0$ i $x=-3$

4. Oblicz wartość funkcji na końcach odcinka i w punktach stacjonarnych z kroku 3

Z praktycznego punktu widzenia największe zainteresowanie budzi wykorzystanie pochodnej do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji. Z czym to się wiąże? Maksymalizacja zysków, minimalizacja kosztów, ustalenie optymalnego obciążenia sprzętu... Inaczej mówiąc, w wielu obszarach życia musimy rozwiązywać problemy optymalizacji niektórych parametrów. A to są zadania znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji.

Należy zauważyć, że największych i najmniejszych wartości funkcji szuka się zwykle na pewnym przedziale X, który jest albo całą dziedziną funkcji, albo częścią dziedziny definicji. Sam przedział X może być odcinkiem, przedziałem otwartym , nieskończony odstęp.

W tym artykule porozmawiamy o jawnym znajdowaniu największych i najmniejszych wartości dana funkcja jedna zmienna y=f(x) .

Nawigacja strony.

Największa i najmniejsza wartość funkcji - definicje, ilustracje.

Przyjrzyjmy się pokrótce głównym definicjom.

Największa wartość funkcji to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Najmniejsza wartość funkcji Taką wartością nazywa się y=f(x) w przedziale X to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Definicje te są intuicyjne: największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) akceptowana wartość na rozpatrywanym przedziale przy odciętej.

Punkty stacjonarne– są to wartości argumentu, przy których pochodna funkcji przyjmuje wartość zero.

Dlaczego potrzebujemy punktów stacjonarnych przy znajdowaniu największych i najmniejszych wartości? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie Fermata. Z twierdzenia tego wynika, że jeśli funkcja różniczkowalna ma w pewnym punkcie ekstremum (lokalne minimum lub lokalne maksimum), to punkt ten jest stacjonarny. Zatem funkcja często przyjmuje największą (najmniejszą) wartość w przedziale X w jednym ze stacjonarnych punktów tego przedziału.

Ponadto funkcja często może przyjmować swoje największe i najmniejsze wartości w punktach, w których pierwsza pochodna tej funkcji nie istnieje, a sama funkcja jest zdefiniowana.

Od razu odpowiedzmy na jedno z najczęstszych pytań w tym temacie: „Czy zawsze da się wyznaczyć największą (najmniejszą) wartość funkcji”? Nie, nie zawsze. Czasami granice przedziału X pokrywają się z granicami dziedziny definicji funkcji lub przedział X jest nieskończony. A niektóre funkcje w nieskończoności i na granicach dziedziny definicji mogą przyjmować zarówno nieskończenie duże, jak i nieskończenie małe wartości. W takich przypadkach nie można nic powiedzieć o największej i najmniejszej wartości funkcji.

Dla przejrzystości podamy ilustrację graficzną. Spójrz na zdjęcia, a wiele stanie się jaśniejsze.

Na segmencie

Na pierwszym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz odcinka [-6;6].

Rozważmy przypadek pokazany na drugim rysunku. Zmieńmy segment na . W tym przykładzie najmniejszą wartość funkcji osiąga się przy nieruchomy punkt, a największy - w punkcie, którego odcięta odpowiada prawej granicy przedziału.

Na rysunku 3 punkty graniczne odcinka [-3;2] są odciętymi punktów odpowiadających największej i najmniejszej wartości funkcji.

W otwartej przerwie

Na czwartym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz przerwa otwarta (-6;6) .

W przedziale nie można wyciągnąć żadnych wniosków na temat największej wartości.

W nieskończoności

W przykładzie pokazanym na rysunku siódmym funkcja przyjmuje największą wartość (max y) w punkcie stacjonarnym o odciętej x=1, a najmniejszą wartość (min y) osiąga na prawej granicy przedziału. Przy minus nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3.

W tym przedziale funkcja nie osiąga ani najmniejszej, ani największej wartości. Gdy x=2 zbliża się od prawej strony, wartości funkcji dążą do minus nieskończoności (prosta x=2 jest asymptotą pionową), a gdy odcięta zmierza do plus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3. Graficzną ilustrację tego przykładu pokazano na rysunku 8.

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłej w segmencie.

Napiszmy algorytm, który pozwoli nam znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie.

Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji i sprawdzamy, czy zawiera ona cały segment.
Znajdujemy wszystkie punkty, w których nie istnieje pierwsza pochodna, a które mieszczą się w segmencie (zwykle takie punkty znajdują się w funkcjach z argumentem pod znakiem modułu oraz w funkcje mocy z wykładnikiem ułamkowo-wymiernym). Jeśli nie ma takich punktów, przejdź do następnego punktu.
Wyznaczamy wszystkie punkty stacjonarne mieszczące się w obrębie odcinka. Aby to zrobić, przyrównujemy to do zera, rozwiązujemy powstałe równanie i wybieramy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie ma punktów stacjonarnych lub żaden z nich nie mieści się w segmencie, przejdź do następnego punktu.
Wartości funkcji obliczamy w wybranych punktach stacjonarnych (jeśli występują), w punktach, w których nie istnieje pierwsza pochodna (jeśli występują), a także w x=a i x=b.
Z uzyskanych wartości funkcji wybieramy największą i najmniejszą - będą to wymagane odpowiednio największe i najmniejsze wartości funkcji.

Przeanalizujmy algorytm rozwiązania przykładu, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie.

Przykład.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

na segmencie ;
na segmencie [-4;-1] .

Rozwiązanie.

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczby rzeczywiste, z wyjątkiem zera, tj. Obydwa segmenty mieszczą się w domenie definicyjnej.

Znajdź pochodną funkcji po:

Oczywiście pochodna funkcji istnieje we wszystkich punktach odcinków i [-4;-1].

Z równania wyznaczamy punkty stacjonarne. Jedyny prawdziwy korzeń wynosi x=2 . Ten nieruchomy punkt należy do pierwszego segmentu.

W pierwszym przypadku obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie stacjonarnym, czyli dla x=1, x=2 i x=4:

Zatem największa wartość funkcji osiąga się przy x=1 i najmniejszej wartości – przy x=2.

W drugim przypadku wartości funkcji obliczamy tylko na końcach odcinka [-4;-1] (ponieważ nie zawiera on ani jednego punktu stacjonarnego):