1 równania trygonometryczne. Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych

Temat lekcji: „Jednorodne równania trygonometryczne”

(10. klasa)

Cel: wprowadzić pojęcie homogeniczności równania trygonometryczne I i II stopień; formułować i opracowywać algorytm rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych stopnia I i II; uczyć studentów rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych stopnia I i II; rozwinąć umiejętność identyfikowania wzorców i generalizowania; pobudzać zainteresowanie tematem, rozwijać poczucie solidarności i zdrowej rywalizacji.

Typ lekcji: lekcja tworzenia nowej wiedzy.

Formularz: Praca w grupach.

Sprzęt: komputer, instalacja multimedialna

Podczas zajęć

    Organizowanie czasu

Powitanie uczniów, mobilizacja uwagi.

Na lekcji system oceniania ocena wiedzy (nauczyciel objaśnia system oceniania wiedzy, wypełniając kartę oceny przez niezależnego eksperta wybranego przez nauczyciela spośród uczniów). Lekcji towarzyszy prezentacja. .

    Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Prace domowe są sprawdzane i oceniane przez niezależnego eksperta i konsultantów przed zajęciami i zapisywane dokument ewaluacyjny.

Nauczyciel podsumowuje pracę domową.

Nauczyciel: Kontynuujemy naukę tematu „Równania trygonometryczne”. Dziś na lekcji przedstawimy Wam inny rodzaj równań trygonometrycznych i metody ich rozwiązywania, dlatego powtórzymy to, czego się nauczyliśmy. Rozwiązując wszelkiego rodzaju równania trygonometryczne, sprowadzają się one do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.

Sprawdzana jest indywidualna praca domowa wykonywana w grupach. Obrona prezentacji „Rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych”

(Praca grupy oceniana jest przez niezależnego eksperta)

    Motywacja do nauki.

Nauczyciel: Mamy pracę do wykonania, aby rozwiązać krzyżówkę. Po rozwiązaniu poznamy nazwę nowego typu równań, które dzisiaj nauczymy się rozwiązywać na zajęciach.

Pytania są wyświetlane na tablicy. Uczniowie zgadują, a niezależny ekspert wpisuje do arkusza ocen wyniki uczniów, którzy udzielili odpowiedzi.

Po rozwiązaniu krzyżówki dzieci przeczytają słowo „jednorodny”.

    Asymilacja nowej wiedzy.

Nauczyciel: Temat lekcji to „Jednorodne równania trygonometryczne”.

Zapiszmy temat lekcji w zeszycie. Równania trygonometryczne jednorodne są pierwszego i drugiego stopnia.

Zapiszmy definicję równanie jednorodne pierwszy stopień. Pokazuję przykład rozwiązania tego typu równania; tworzysz algorytm rozwiązywania jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia.

Równanie postaci A grzech + B cosx = 0 nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia.

Rozważmy rozwiązanie równania, gdy współczynniki A I V są różne od 0.

Przykład: sinx + cosx = 0

R dzieląc obie strony równania przez cosx, otrzymujemy

Uwaga! Możesz dzielić przez 0 tylko wtedy, gdy to wyrażenie nigdzie nie zmieni się na 0. Przeanalizujmy. Jeśli cosinus jest równy 0, to sinus również będzie równy 0, biorąc pod uwagę, że współczynniki są różne od 0, ale wiemy, że sinus i cosinus dążą do zera różne punkty. Dlatego operację tę można wykonać przy rozwiązywaniu tego typu równań.

Algorytm rozwiązywania jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia: dzielenie obu stron równania przez cosx, cosx 0

Równanie postaci A grzech mx +B cos mx = 0 zwane także jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia, a także rozwiązują dzielenie obu stron równania przez cosinus mx.

Równanie postaci A grzech 2 x+B sinx cos +C cos2x = 0 nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym drugiego stopnia.

Przykład : grzech 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Współczynnik a jest różny od 0 i dlatego, podobnie jak w poprzednim równaniu, cosx nie jest równy 0, dlatego można zastosować metodę dzielenia obu stron równania przez cos 2 x.

Otrzymujemy tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Rozwiązujemy wprowadzając nową zmienną niech tgx = a, wtedy otrzymujemy równanie

za 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

za 1 = 1 za 2 = –3

Powrót do wymiany

Odpowiedź:

Jeżeli współczynnik a = 0, to równanie przyjmie postać 2sinx cosx – 3cos2x = 0, rozwiązujemy je metodą odejmowania wspólny mnożnik cosx poza nawiasami. Jeżeli współczynnik c = 0, to równanie ma postać sin2x +2sinx cosx = 0, rozwiązujemy je poprzez usunięcie wspólnego czynnika sinx z nawiasów. Algorytm rozwiązywania jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia:

Sprawdź, czy równanie zawiera wyraz asin2 x.

Jeżeli w równaniu występuje wyraz asin2 x (tj. 0), to równanie rozwiązuje się dzieląc obie strony równania przez cos2x i następnie wprowadzając nową zmienną.

Jeżeli w równaniu nie występuje wyraz asin2 x (tzn. a = 0), to równanie rozwiązuje się poprzez faktoryzację: cosx jest usuwany z nawiasów. Równania jednorodne postaci a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 rozwiązuje się w ten sam sposób

Algorytm rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych napisano w podręczniku na stronie 102.

Minuta wychowania fizycznego

    Kształtowanie umiejętności rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych

Otwieranie książek z zadaniami, strona 53

Grupy 1. i 2. postanawiają nr 361-v

Grupy 3. i 4. decydują nr 363-v

Pokaż rozwiązanie na tablicy, wyjaśnij, uzupełnij. Niezależny ekspert ocenia.

Rozwiązywanie przykładów z zeszytu zadań nr 361-v
sinx – 3cosx = 0
dzielimy obie strony równania przez cosx 0 i otrzymujemy

nr 363-w
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
dzielimy obie strony równania przez cos2x, otrzymujemy tg2x + tanx – 2 = 0

rozwiązać, wprowadzając nową zmienną
niech tgx = a, wtedy otrzymamy równanie
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
powrót do wymiany

    Niezależna praca.

Rozwiąż równania.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Po zakończeniu niezależna praca zmień pracę i sprawdźcie się wzajemnie. Prawidłowe odpowiedzi są wyświetlane na tablicy.

Następnie przekazują sprawę niezależnemu ekspertowi.

Rozwiązanie „zrób to sam”.

    Podsumowanie lekcji.

    O jakim typie równań trygonometrycznych uczyliśmy się na zajęciach?

    Algorytm rozwiązywania równań trygonometrycznych pierwszego i drugiego stopnia.

    Praca domowa: § 20,3 przeczytane. nr 361(d), 363(b), zwiększona trudność dodatkowo nr 380(a).

Krzyżówka.

Jeśli wejdziesz Prawdziwe słowa, wówczas otrzymasz nazwę jednego z typów równań trygonometrycznych.

    Wartość zmiennej, w którą przekształca się równanie prawdziwa równość? (Źródło)

    Jednostka miary kątów? (Radian)

    Czynnik liczbowy w produkcie? (Współczynnik)

    Oddział studiów matematycznych funkcje trygonometryczne? (Trygonometria)

    Który model matematyczny konieczne do wprowadzenia funkcji trygonometrycznych? (Koło)

    Która funkcja trygonometryczna jest parzysta? (Cosinus)

    Jak nazywa się prawdziwa równość? (Tożsamość)

    Równość ze zmienną? (Równanie)

    Równania posiadające identyczne korzenie? (równowartość)

    Zbiór pierwiastków równania ? (Rozwiązanie)

Dokument ewaluacyjny

№
n\n

Nazwisko, imię nauczyciela

Praca domowa

Prezentacja

Aktywność poznawcza
uczenie się

Rozwiązywanie równań

Niezależny
Stanowisko

    Praca domowa – 12 punktów (za pracę domową przypisano 3 równania 4 x 3 = 12)

    Prezentacja – 1 punkt

    Aktywność studenta – 1 odpowiedź – 1 punkt (maksymalnie 4 punkty)

    Rozwiązywanie równań 1 punkt

    Samodzielna praca – 4 punkty

Ocena grupowa:

„5” – 22 punkty lub więcej
„4” – 18 – 21 punktów
„3” – 12 – 17 punktów

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam się z Tobą skontaktować i poinformować Cię o unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, V test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Ostatni szczegół, jak rozwiązać zadania C1 z jednolitego egzaminu państwowego z matematyki - rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych. W ostatniej lekcji powiemy Ci, jak je rozwiązać.

Jakie są te równania? Zapiszmy je ogólna perspektywa.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

gdzie „a” i „b” są pewnymi stałymi. Równanie to nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia.

Jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia

Aby rozwiązać takie równanie, należy je podzielić przez „\cos x”. Wtedy przybierze formę

$$\nowe polecenie(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Odpowiedź na takie równanie można łatwo zapisać za pomocą arcustangens.

Zauważ, że `\cos x ≠0`. Aby to sprawdzić, podstawiamy do równania zero zamiast cosinusa i stwierdzamy, że sinus również powinien być równy zeru. Nie mogą jednak być jednocześnie równe zeru, co oznacza, że ​​cosinus nie jest zerem.

Niektóre pytania na tegorocznym prawdziwym egzaminie dotyczyły jednorodnego równania trygonometrycznego. Kliknij link do. Przyjmiemy nieco uproszczoną wersję problemu.

Pierwszy przykład. Rozwiązanie jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Podziel przez `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Powtarzam, podobne zadanie było na egzaminie Unified State Exam :) oczywiście nadal musisz wybrać korzenie, ale to również nie powinno powodować żadnych specjalnych trudności.

Przejdźmy teraz do następny typ równania.

Jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia

Ogólnie wygląda to tak:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

gdzie `a, b, c` to pewne stałe.

Takie równania rozwiązuje się dzieląc przez `\cos^2 x` (co również nie jest równe zero). Spójrzmy od razu na przykład.

Drugi przykład. Rozwiązanie jednorodnego równania trygonometrycznego drugiego stopnia

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Podziel przez `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Zastąpmy `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Odwrotna wymiana

$$\tg x = 3, \text( lub ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( lub ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Odpowiedź została otrzymana.

Trzeci przykład. Rozwiązanie jednorodnego równania trygonometrycznego drugiego stopnia

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Wszystko byłoby dobrze, ale to równanie nie jest jednorodne - przeszkadza nam „-2” po prawej stronie. Co robić? Użyjmy podstawowej tożsamości trygonometrycznej i napiszmy za jej pomocą „-2”.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0, $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Podziel przez `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Zastąpienie `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Po wykonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujemy:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( lub ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Ten ostatni przykład w tej lekcji.

Jak zwykle przypominam: trening jest dla nas wszystkim. Bez względu na to, jak genialna jest dana osoba, umiejętności nie rozwiną się bez szkolenia. Podczas egzaminu wiąże się to z niepokojem, błędami i stratą czasu (sam kontynuuj tę listę). Koniecznie się ucz!

Zadania szkoleniowe

Rozwiąż równania:

  • `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. To zadanie pochodzi z prawdziwy ujednolicony egzamin państwowy 2013. Nikt nie anulował wiedzy o właściwościach stopni, ale jeśli zapomniałeś, spójrz;
  • `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Przyda się formuła z lekcji siódmej.
  • `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

To wszystko. I jak zwykle na koniec: zadawajcie pytania w komentarzach, lajkujcie, oglądajcie filmy, dowiedzcie się, jak rozwiązać Unified State Exam.

Równania nieliniowe z dwiema niewiadomymi

Definicja 1. Niech A będzie jakimś zbiór par liczb (X; y) . Mówią, że zbiór A jest dany funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y, jeśli zostanie podana reguła, za pomocą której każda para liczb ze zbioru A jest powiązana z określoną liczbą.

Ćwiczenia funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y często oznaczać Więc:

Gdzie F (X , y) – dowolna funkcja inna niż funkcja

F (X , y) = topór+by+c ,

gdzie a, b, c – podane liczby.

Definicja 3. Rozwiązywanie równania (2) zadzwoń pod parę liczb ( X; y), dla którego wzór (2) jest prawdziwą równością.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, ze wzoru (4) wynika, że ​​niewiadome x i y spełniają układ równań

którego rozwiązaniem jest para liczb (6; 3).

Odpowiedź: (6; 3)

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Dlatego rozwiązaniem równania (6) jest nieskończony zbiór pary liczb Uprzejmy

(1 + y ; y) ,

gdzie y jest dowolną liczbą.

liniowy

Definicja 4. Rozwiązywanie układu równań

zadzwoń pod parę liczb ( X; y) , podstawiając je do każdego z równań tego układu, uzyskuje się poprawną równość.

Układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, mają postać

G(X , y)

Przykład 4. Rozwiązać układ równań

Rozwiązanie . Wyraźmy niewiadome y z pierwszego równania układu (7) poprzez nieznane x i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania układu:

Rozwiązanie równania

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Stąd,

y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne

Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne, mają postać

gdzie a, b, c są danymi liczbami i G(X , y) – funkcja dwóch zmiennych x i y.

Przykład 6. Rozwiązać układ równań

Rozwiązanie . Rozwiążmy równanie jednorodne

3X 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

traktując to jako równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą x:

.

W razie X = - 5y, z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie

5y 2 = - 20 ,

który nie ma korzeni.

W razie

z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie

,

którego pierwiastkiem są liczby y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Znajdując dla każdej z tych wartości y odpowiednią wartość x, otrzymujemy dwa rozwiązania układu: (- 2 ; 3), (2; - 3).

Odpowiedź: (- 2; 3), (2; - 3)

Przykłady rozwiązywania układów równań innych typów

Przykład 8. Rozwiąż układ równań (MIPT)

Rozwiązanie . Wprowadźmy nowe niewiadome u i v, które wyrażamy poprzez x i y według wzorów:

Aby przepisać układ (12) w kategoriach nowych niewiadomych, najpierw wyrażamy niewiadome x i y w kategoriach u i v. Z układu (13) wynika, że

Rozwiążmy układ liniowy (14) usuwając zmienną x z drugiego równania tego układu. W tym celu dokonujemy na układzie (14) następujących przekształceń:

  • Pierwsze równanie układu pozostawimy bez zmian;
  • od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie i zastępujemy drugie równanie układu powstałą różnicą.

W rezultacie układ (14) zostaje przekształcony w układ równoważny

z którego znajdujemy

Korzystając ze wzorów (13) i (15) przepisujemy oryginalny układ (12) w postaci

Pierwsze równanie układu (16) jest liniowe, zatem możemy z niego wyrazić nieznane u poprzez nieznane v i podstawić to wyrażenie do drugiego równania układu.

Dzisiaj będziemy studiować jednorodne równania trygonometryczne. Najpierw spójrzmy na terminologię: czym jest jednorodne równanie trygonometryczne. Ma następujące cechy:

  1. musi zawierać kilka terminów;
  2. wszystkie terminy muszą mieć ten sam stopień;
  3. wszystkie funkcje zawarte w jednorodnej tożsamości trygonometrycznej muszą koniecznie mieć ten sam argument.

Algorytm rozwiązania

Wybierzmy warunki

A jeśli wszystko jest jasne w pierwszym punkcie, warto omówić drugi bardziej szczegółowo. Co znaczy ten sam stopień warunki? Spójrzmy na pierwszy problem:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Pierwszym wyrazem tego równania jest 3cosx 3\cos x. Należy pamiętać, że istnieje tutaj tylko jedna funkcja trygonometryczna - cosx\cos x - i nie ma tu żadnych innych funkcji trygonometrycznych, więc stopień tego wyrazu wynosi 1. To samo z drugim - 5 grzechów 5\sin x - występuje tu tylko sinus, czyli stopień tego wyrazu również jest równy jeden. Mamy więc przed sobą tożsamość składającą się z dwóch elementów, z których każdy zawiera funkcję trygonometryczną i tylko jedną. To jest równanie pierwszego stopnia.

Przejdźmy do drugiego wyrażenia:

4grzech2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Pierwszym elementem tej konstrukcji jest 4grzech2 X 4((\sin )^(2))x.

Teraz możemy napisać następujące rozwiązanie:

grzech2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Innymi słowy, pierwszy wyraz zawiera dwie funkcje trygonometryczne, tj. jego stopień wynosi dwa. Zajmijmy się drugim elementem - grzech2x\grzech 2x. Przypomnijmy sobie tę formułę – formułę podwójny kąt:

grzech2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

I znowu w otrzymanym wzorze mamy dwie funkcje trygonometryczne - sinus i cosinus. Zatem wartość mocy tego terminu konstrukcyjnego jest również równa dwa.

Przejdźmy do trzeciego elementu - 3. Z kursu matematyki Liceum Pamiętamy, że każdą liczbę można pomnożyć przez 1, dlatego zapisujemy ją:

˜ 3=3⋅1

Jednostka korzystająca z głównego tożsamość trygonometryczna można zapisać w następującej postaci:

1=grzech2 x⋅ sałata2 X

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Dlatego możemy przepisać 3 w następujący sposób:

3=3(grzech2 x⋅ sałata2 X)=3grzech2 x+3 sałata2 X

3=3\lewo(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \prawo)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Zatem nasz termin 3 jest podzielony na dwa elementy, z których każdy jest jednorodny i ma drugi stopień. Sinus w pierwszym wyrazie występuje dwukrotnie, cosinus w drugim wyrazie również występuje dwukrotnie. Zatem liczbę 3 można również przedstawić jako wyraz z wykładnikiem potęgi dwójki.

To samo z trzecim wyrażeniem:

grzech3 x+ grzech2 xcosx=2 sałata3 X

Przyjrzyjmy się. Pierwszy termin to grzech3 X((\sin )^(3))x jest funkcją trygonometryczną trzeciego stopnia. Drugi element - grzech2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

grzech2 ((\sin )^(2)) jest łączem o wartości potęgi dwa pomnożonej przez cosx\cos x jest pierwszym wyrazem. W sumie trzeci wyraz ma również wartość potęgi trzy. Wreszcie po prawej stronie znajduje się kolejny link - 2sałata3 X 2((\cos )^(3))x jest elementem trzeciego stopnia. Mamy zatem przed sobą jednorodne równanie trygonometryczne trzeciego stopnia.

Mamy zapisane trzy tożsamości różne stopnie. Zwróć jeszcze raz uwagę na drugie wyrażenie. W oryginalnym zapisie jeden z członków kłóci się 2x 2x. Jesteśmy zmuszeni pozbyć się tego argumentu, przekształcając go za pomocą wzoru na sinus podwójnego kąta, ponieważ wszystkie funkcje zawarte w naszej tożsamości muszą koniecznie mieć ten sam argument. Jest to wymóg jednorodnych równań trygonometrycznych.

Korzystamy ze wzoru na główną tożsamość trygonometryczną i zapisujemy rozwiązanie końcowe

Ustaliliśmy warunki, przejdźmy do rozwiązania. Niezależnie od wykładnika potęgi, rozwiązywanie równości tego typu zawsze odbywa się dwuetapowo:

1) udowodnij to

cosx≠0

\cos x\ne 0. Aby to zrobić, wystarczy przypomnieć sobie wzór na główną tożsamość trygonometryczną (grzech2 x⋅ sałata2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) i podstaw do tego wzoru cosx=0\cosx=0. Otrzymamy następujące wyrażenie:

grzech2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Podstawiając otrzymane wartości, czyli zamiast cosx\cos x wynosi zero, a zamiast tego grzech\sin x - 1 lub -1 do pierwotnego wyrażenia otrzymamy błąd równość liczbowa. To jest uzasadnienie

cosx≠0

2) drugi krok logicznie wynika z pierwszego. Ponieważ

cosx≠0

\cos x\ne 0, dzielimy obie strony konstrukcji przez sałataN X((\cos )^(n))x, gdzie N n- to tyle wykładnik potęgowy jednorodne równanie trygonometryczne. Co nam to daje:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

grzechcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(tablica)\]

Dzięki temu nasza uciążliwa wstępna konstrukcja sprowadza się do równania N n-stopień względem stycznej, którego rozwiązanie można łatwo zapisać za pomocą zmiany zmiennej. Ot cały algorytm. Zobaczmy jak to działa w praktyce.

Rozwiązujemy realne problemy

Zadanie nr 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Dowiedzieliśmy się już, że jest to jednorodne równanie trygonometryczne z wykładnikiem potęgi równym jeden. Dlatego przede wszystkim dowiedzmy się tego cosx≠0\cos x\ne 0. Załóżmy, że jest odwrotnie

cosx=0 → sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Podstawiamy wynikową wartość do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Na tej podstawie możemy to stwierdzić cosx≠0\cos x\ne 0. Podziel nasze równanie przez cosx\cos x, ponieważ całe nasze wyrażenie ma wartość potęgową, równy jeden. Otrzymujemy:

3(cosxcosx) +5(grzechcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

To nie jest wartość tabelaryczna, więc odpowiedź będzie zawierać arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Ponieważ arctg arctg arctg jest funkcją nieparzystą, możemy usunąć „minus” z argumentu i umieścić go przed arctg. Otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Zadanie nr 2

4grzech2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Jak pamiętasz, zanim zaczniesz go rozwiązywać, musisz wykonać pewne przekształcenia. Wykonujemy przekształcenia:

4grzech2 x+2sinxcosx−3 (grzech2 x+ sałata2 X)=0 4grzech2 x+2sinxcosx−3 grzech2 x-3 sałata2 x=0grzech2 x+2sinxcosx−3 sałata2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (wyrównywać)

Otrzymaliśmy konstrukcję składającą się z trzech elementów. W pierwszym terminie widzimy grzech2 ((\sin )^(2)), czyli jego wartość potęgi wynosi dwa. W drugim terminie widzimy grzech\sin x i cosx\cos x - znowu są dwie funkcje, są one mnożone, więc całkowity stopień znowu wynosi dwa. W trzecim łączu widzimy sałata2 X((\cos )^(2))x - podobnie do pierwszej wartości.

Udowodnijmy to cosx=0\cos x=0 nie jest rozwiązaniem tej konstrukcji. Aby to zrobić, załóżmy odwrotnie:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(tablica)\]

Udowodniliśmy to cosx=0\cos x=0 nie może być rozwiązaniem. Przejdźmy do drugiego kroku - podziel całe nasze wyrażenie przez sałata2 X((\cos)^(2))x. Dlaczego do kwadratu? Ponieważ wykładnik potęgi tego jednorodnego równania jest równy dwa:

grzech2 Xsałata2 X+2sinxcosxsałata2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Czy można się zdecydować to wyrażenie używając dyskryminatora? Oczywiście, że możesz. Proponuję jednak przypomnieć sobie twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety i to zrozumiemy dany wielomian Przedstawmy to w postaci dwóch prostych wielomianów, a mianowicie:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1 →x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ tekst( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Wielu uczniów zadaje sobie pytanie, czy warto pisać osobne współczynniki dla każdej grupy rozwiązań tożsamości, czy nie zawracać sobie głowy i pisać wszędzie te same. Osobiście uważam, że jest lepszy i pewniejszy w użyciu różne litery tak, że w przypadku, gdy wejdziesz na poważnie Uniwersytet Techniczny Z dodatkowe testy z matematyki egzaminatorzy nie znaleźli błędów w odpowiedzi.

Zadanie nr 3

grzech3 x+ grzech2 xcosx=2 sałata3 X

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Wiemy już, że jest to jednorodne równanie trygonometryczne trzeciego stopnia, nie są potrzebne żadne specjalne formuły, a jedyne, czego od nas wymaga, to przesunięcie terminu 2sałata3 X 2((\cos )^(3))x w lewo. Przepiszmy:

grzech3 x+ grzech2 xcosx-2 sałata3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Widzimy, że każdy element zawiera trzy funkcje trygonometryczne, więc to równanie ma potęgę trzy. Rozwiążmy to. Przede wszystkim musimy to udowodnić cosx=0\cos x=0 nie jest pierwiastkiem:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Podstawmy te liczby do naszej oryginalnej konstrukcji:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(wyrównaj)

Stąd, cosx=0\cos x=0 nie jest rozwiązaniem. Udowodniliśmy to cosx≠0\cos x\ne 0. Skoro już to udowodniliśmy, podzielmy nasze pierwotne równanie przez sałata3 X((\cos)^(3))x. Dlaczego w sześcianie? Ponieważ właśnie udowodniliśmy, że nasze pierwotne równanie ma trzecią potęgę:

grzech3 Xsałata3 X+grzech2 xcosxsałata3 X−2=0 T G3 x+t G2 x-2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(wyrównaj)

Wprowadźmy nową zmienną:

tgx=t

Przepiszmy konstrukcję:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Przed nami równanie sześcienne. Jak to rozwiązać? Początkowo, kiedy przygotowywałem ten samouczek wideo, planowałem najpierw porozmawiać o rozkładaniu na czynniki wielomianów i innych technikach. Ale w w tym przypadku wszystko jest znacznie prostsze. Spójrz, nasza tożsamość została podana z terminem z w największym stopniu koszty 1. Ponadto wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Oznacza to, że możemy skorzystać z wniosku z twierdzenia Bezouta, które stwierdza, że ​​wszystkie pierwiastki są dzielnikami liczby -2, czyli wyrazu wolnego.

Powstaje pytanie: przez co dzieli się -2? Ponieważ 2 jest liczbą pierwszą, nie ma zbyt wielu opcji. To może być następujące liczby: 1; 2; -1; -2. Negatywne korzenie natychmiast zniknąć. Dlaczego? Ponieważ oba są większe niż 0 w wartości bezwzględnej T3 ((t)^(3)) będzie większy pod względem modułu niż T2 ((t)^(2)). A ponieważ sześcian jest funkcją nieparzystą, liczba w sześcianie będzie ujemna i T2 ((t)^(2)) - dodatni i cała ta konstrukcja, z t=−1 t=-1 i t=−2 t=-2, nie będzie większe niż 0. Odejmij od tego -2 i otrzymaj liczbę, która jest z pewnością mniejsza niż 0. Pozostaje tylko 1 i 2. Podstawmy każdą z tych liczb:

˜ t=1 → 1+1−2=0 →0=0

˜t=1\do \text( )1+1-2=0\do 0=0

Otrzymaliśmy poprawną równość liczbową. Stąd, t=1 t=1 jest pierwiastkiem.

t=2 →8+4−2=0 →10≠0

t=2\do 8+4-2=0\do 10\ne 0

t=2 t=2 nie jest pierwiastkiem.

Zgodnie z wnioskiem i tym samym twierdzeniem Bezouta, każdy wielomian, którego pierwiastek wynosi X0 ((x)_(0)), przedstaw to w postaci:

Q(x)=(x= X0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

W naszym przypadku w roli X x jest zmienną T t i w roli X0 ((x)_(0)) jest pierwiastkiem równym 1. Otrzymujemy:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Jak znaleźć wielomian P (T) P\w lewo(t\w prawo)? Oczywiście musisz wykonać następujące czynności:

P(t)= T3 +T2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Zastąpmy:

T3 +T2 +0⋅t−2t-1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Zatem nasz pierwotny wielomian jest dzielony bez reszty. W ten sposób możemy przepisać naszą pierwotną równość jako:

(t-1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. Rozważaliśmy już pierwszy mnożnik. Spójrzmy na drugi:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Doświadczeni studenci prawdopodobnie już zdali sobie sprawę, że ta konstrukcja nie ma pierwiastków, ale mimo to obliczmy dyskryminator.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Dyskryminator jest mniejszy od 0, dlatego wyrażenie nie ma pierwiastków. W sumie ogromna konstrukcja została zredukowana do zwykłej równości:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Na zakończenie chciałbym dodać kilka uwag do ostatniego zadania:

  1. czy warunek zawsze będzie spełniony? cosx≠0\cos x\ne 0 i czy w ogóle warto przeprowadzać to sprawdzenie? Oczywiście, że nie zawsze. W przypadkach, gdy cosx=0\cos x=0 jest rozwiązaniem naszej równości; powinniśmy usunąć to z nawiasów, a wtedy w nawiasach pozostanie pełnoprawne równanie jednorodne.
  2. Co to jest dzielenie wielomianu przez wielomian. Rzeczywiście większość szkół tego nie uczy, a kiedy uczniowie widzą taki projekt po raz pierwszy, przeżywają lekki szok. Ale w rzeczywistości jest to prosta i piękna technika, która znacznie ułatwia rozwiązywanie równań wyższe stopnie. Oczywiście zostanie mu poświęcony osobny film instruktażowy, który opublikuję w najbliższym czasie.

Kluczowe punkty

Jednorodne równania trygonometryczne są ulubionym tematem wszelkiego rodzaju testy. Można je rozwiązać w bardzo prosty sposób – wystarczy raz poćwiczyć. Aby było jasne o czym mówimy, wprowadźmy nową definicję.

Jednorodne równanie trygonometryczne to takie, w którym każdy niezerowy wyraz składa się z tej samej liczby czynników trygonometrycznych. Mogą to być sinusy, cosinusy lub ich kombinacje – metoda rozwiązania jest zawsze taka sama.

Stopień jednorodnego równania trygonometrycznego to liczba czynników trygonometrycznych zawartych w wyrazach niezerowych. Przykłady:

    sinx+15 cos x=0

    \sin x+15\text( cos )x=0 - tożsamość pierwszego stopnia;

    2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

    2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - drugi stopień;

    grzech3x+2sinxcos2x=0

    \sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. stopień;

    sinx+cosx=1

    \sin x+\cos x=1 - i to równanie nie jest jednorodne, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka - wyraz niezerowy, w którym nie ma czynników trygonometrycznych;

    grzech2x+2sinx−3=0

    \sin 2x+2\sin x-3=0 - również równanie niejednorodne. Element grzech2x\sin 2x jest drugiego stopnia (ponieważ można go przedstawić

    grzech2x=2sinxcosx

    \sin 2x=2\sin x\cos x), 2 grzechy 2\sin x jest pierwszym, a wyraz 3 ma ogólnie wartość zero, ponieważ nie ma w nim sinusów ani cosinusów.

Ogólny schemat rozwiązania

Schemat rozwiązania jest zawsze taki sam:

Udawajmy, że cosx=0\cosx=0. Następnie sinx=±1\sin x=\pm 1 - wynika to z tożsamości głównej. Zastąpmy grzech\sin x i cosx\cos x do oryginalnego wyrażenia, a jeśli wynik jest nonsensowny (na przykład wyrażenie 5=0 5=0), przejdź do drugiego punktu;

Wszystko dzielimy przez potęgę cosinusa: cosx, cos2x, cos3x... - zależy od wartości potęgi równania. Otrzymujemy zwykłą równość ze stycznymi, którą można bezpiecznie rozwiązać po zamianie tgx=t.

tgx=tZnalezione pierwiastki będą odpowiedzią na oryginalne wyrażenie.