W artykule omówiono koncepcję linii prostej na płaszczyźnie. Spójrzmy na podstawowe terminy i ich oznaczenia. Popracujmy nad względnym położeniem linii i punktu oraz dwóch linii na płaszczyźnie. Porozmawiajmy o aksjomatach. Na koniec omówimy metody i metody definiowania linii prostej na płaszczyźnie.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Linia prosta na płaszczyźnie - koncepcja
Najpierw musisz mieć jasne pojęcie o tym, czym jest samolot. Dowolną powierzchnię czegoś można zaliczyć do płaszczyzny, różni się ona od obiektów swoją bezgranicznością. Jeśli wyobrazimy sobie, że płaszczyzna jest stołem, to w naszym przypadku nie będzie ona miała granic, ale będzie nieskończenie ogromna.
Jeśli dotkniesz stołu ołówkiem, pozostanie znak, który można nazwać „kropką”. W ten sposób mamy wyobrażenie o punkcie na płaszczyźnie.
Rozważmy koncepcję linii prostej na płaszczyźnie. Jeśli narysujesz linię prostą na arkuszu, pojawi się ona na nim z ograniczoną długością. Nie otrzymaliśmy całej prostej, a jedynie jej część, gdyż tak naprawdę nie ma ona końca, podobnie jak samolot. Dlatego przedstawienie linii i płaszczyzn w notatniku jest formalne.
Mamy aksjomat:
Definicja 1
Punkty można zaznaczać na każdej prostej i w każdej płaszczyźnie.
Punkty są oznaczone zarówno dużymi, jak i małymi literami łacińskimi. Na przykład A i D lub a i d.
W przypadku punktu i prostej znane są tylko dwa możliwe położenia: punkt na prostej, czyli taki, przez który przechodzi linia, lub punkt nie leżący na prostej, czyli linia przez nią nie przechodzi.
Aby wskazać, czy punkt należy do płaszczyzny, czy punkt do prostej, należy użyć znaku „∈”. Jeżeli spełniony jest warunek, że punkt A leży na prostej a, to ma on następującą postać zapisu A ∈ a. W przypadku, gdy punkt A nie należy, wówczas kolejny wpis A ∉ a.
Sprawiedliwy osąd:
Definicja 2
Przez dowolne dwa punkty leżące na dowolnej płaszczyźnie przechodzi przez nie jedna prosta.
To stwierdzenie jest uważane za akisomę i dlatego nie wymaga dowodu. Jeśli sam się nad tym zastanowisz, zobaczysz, że w przypadku dwóch istniejących punktów istnieje tylko jedna opcja ich połączenia. Jeżeli mamy dane dwa punkty A i B, to prostą przechodzącą przez nie można nazwać tymi literami, np. linią A B. Rozważmy poniższy rysunek.
Linia prosta położona na płaszczyźnie ma dużą liczbę punktów. Stąd pochodzi aksjomat:
Definicja 3
Jeżeli dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to wszystkie pozostałe punkty tej prostej należą do tej płaszczyzny.
Zbiór punktów położonych pomiędzy dwoma danymi punktami nazywa się odcinek prosty. Ma początek i koniec. Wprowadzono dwuliterowe oznaczenie.
Jeżeli przyjąć, że punkty A i P są końcami odcinka, to jego oznaczenie przyjmie postać P A lub A P. Ponieważ oznaczenia odcinka i linii pokrywają się, zaleca się dodanie lub zakończenie słów „odcinek ", "linia prosta".
Skrócona notacja członkostwa obejmuje użycie znaków ∈ i ∉. Aby ustalić położenie odcinka względem danej prostej, należy użyć ⊂. Jeżeli warunek stwierdza, że odcinek AP należy do odcinka b, to zapis będzie wyglądał następująco: A P ⊂ b.
Zachodzi przypadek, gdy trzy punkty jednocześnie należą do jednej prostej. Dzieje się tak, gdy jeden punkt leży pomiędzy dwoma innymi. To stwierdzenie jest uważane za aksjomat. Jeśli dane są punkty A, B, C należące do tej samej prostej i punkt B leży pomiędzy A i C, to wynika z tego, że wszystkie dane punkty leżą na tej samej prostej, gdyż leżą po obu stronach punktu B.
Punkt dzieli prostą na dwie części zwane promieniami. Mamy aksjomat:
Definicja 4
Dowolny punkt O położony na linii prostej dzieli ją na dwie półproste, przy czym dowolne dwa punkty jednego promienia leżą po jednej stronie promienia względem punktu O, a pozostałe po drugiej stronie promienia.
Układ prostych na płaszczyźnie może przybierać postać dwóch stanów.
Definicja 5
zbiec się.
Możliwość ta pojawia się, gdy linie proste mają wspólne punkty. Na podstawie powyższego aksjomatu mamy, że linia prosta przechodzi przez dwa punkty i tylko jeden. Oznacza to, że gdy 2 linie proste przechodzą przez dane 2 punkty, pokrywają się one.
Definicja 6
Dwie proste linie na płaszczyźnie mogą przechodzić.
Ten przypadek pokazuje, że istnieje jeden punkt wspólny, który nazywa się przecięciem linii. Skrzyżowanie jest oznaczone znakiem ∩. Jeżeli istnieje zapis w postaci a ∩ b = M, to wynika z tego, że dane proste a i b przecinają się w punkcie M.
Kiedy proste przecinają się, mamy do czynienia z powstałym kątem. Oddzielnemu rozpatrzeniu podlega odcinek, w którym proste przecinają się na płaszczyźnie tworząc kąt 90 stopni, czyli kąt prosty. Proste nazywamy wówczas prostopadłymi.Postać zapisu dwóch prostych prostopadłych jest następująca: a ⊥ b, co oznacza, że prosta a jest prostopadła do prostej b.
Definicja 7
Mogą być dwie linie proste na płaszczyźnie równoległy.
Tylko wtedy, gdy dwie dane linie nie mają wspólnych przecięć, a zatem nie mają punktów, są one równoległe. Stosuje się zapis, który można zapisać dla zadanej równoległości prostych a i b: a ∥ b.
Linię prostą na płaszczyźnie rozważa się łącznie z wektorami. Szczególną wagę przywiązuje się do wektorów zerowych leżących na danej prostej lub na którejkolwiek z prostych równoległych; nazywane są one wektorami kierunkowymi linii. Rozważ poniższy rysunek.
Niezerowe wektory leżące na prostych prostopadłych do danej nazywane są inaczej normalnymi wektorami liniowymi. W artykule znajduje się szczegółowy opis wektora normalnego linii na płaszczyźnie. Rozważ poniższy obrazek.
Jeśli na płaszczyźnie znajdują się 3 linie, ich położenie może być bardzo różne. Istnieje kilka opcji ich lokalizacji: przecięcie wszystkich, równoległość lub obecność różnych punktów przecięcia. Rysunek przedstawia prostopadłe przecięcie dwóch linii względem jednej.
Aby to zrobić, przedstawiamy niezbędne czynniki potwierdzające ich względną pozycję:
- jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej, to wszystkie są równoległe;
- jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej, to te dwie linie są równoległe;
- Jeśli na płaszczyźnie linia prosta przecina jedną równoległą, to przetnie także inną.
Spójrzmy na to na zdjęciach.
Linię prostą na płaszczyźnie można określić na kilka sposobów. Wszystko zależy od uwarunkowań problemu i od tego, na czym będzie opierać się jego rozwiązanie. Wiedza ta może pomóc w praktycznym układaniu linii prostych.
Definicja 8
Linię prostą definiuje się za pomocą określonych dwóch punktów znajdujących się na płaszczyźnie.
Z rozważanego aksjomatu wynika, że przez dwa punkty można poprowadzić linię prostą i to tylko jedną. Gdy prostokątny układ współrzędnych określa współrzędne dwóch rozbieżnych punktów, wówczas można ustalić równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Rozważmy rysunek, na którym mamy linię przechodzącą przez dwa punkty. 
Definicja 9
Linię prostą można wyznaczyć poprzez punkt i linię, do której jest ona równoległa.
Metoda ta istnieje, ponieważ przez punkt można poprowadzić linię prostą równoległą do danej i tylko jedną. Dowód znany jest już ze szkolnych zajęć z geometrii.
Jeżeli prostą podaje się względem kartezjańskiego układu współrzędnych, to można skonstruować równanie na prostą przechodzącą przez dany punkt, równoległą do danej prostej. Rozważmy zasadę definiowania linii prostej na płaszczyźnie.
Definicja 10
Linia prosta przechodzi przez określony punkt i wektor kierunkowy.
W przypadku określenia linii prostej w prostokątnym układzie współrzędnych możliwe jest układanie równań kanonicznych i parametrycznych na płaszczyźnie. Rozważmy na rysunku położenie linii prostej w obecności wektora kierunkowego.
Czwarty punkt określenia linii prostej ma sens, gdy zostanie wskazany punkt, przez który należy ją poprowadzić, oraz prosta do niej prostopadła. Z aksjomatu mamy:
Definicja 11
Przez dany punkt położony na płaszczyźnie przechodzi tylko jedna prosta, prostopadła do danej.
Ostatnim punktem związanym z określeniem linii na płaszczyźnie jest podany punkt, przez który linia przechodzi, i w obecności wektora normalnego tej linii. Znając znane współrzędne punktu leżącego na danej prostej oraz współrzędne wektora normalnego, można zapisać ogólne równanie tej prostej.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W tym artykule szczegółowo omówimy jedno z podstawowych pojęć geometrii - pojęcie linii prostej na płaszczyźnie. Najpierw zdefiniujmy podstawowe terminy i oznaczenia. Następnie omówimy względne położenie prostej i punktu oraz dwóch prostych na płaszczyźnie i przedstawimy niezbędne aksjomaty. Podsumowując, rozważymy sposoby zdefiniowania linii prostej na płaszczyźnie i przedstawimy ilustracje graficzne.
Nawigacja strony.
Linia prosta na płaszczyźnie jest koncepcją.
Przed podaniem koncepcji linii prostej na płaszczyźnie powinieneś jasno zrozumieć, czym jest płaszczyzna. Koncepcja samolotu pozwala uzyskać np. płaską powierzchnię na stole lub ścianie w domu. Należy jednak mieć na uwadze, że wymiary stołu są ograniczone, a płaszczyzna rozciąga się poza te granice w nieskończoność (jakbyśmy mieli dowolnie duży stół).
Jeśli weźmiemy dobrze naostrzony ołówek i dotkniemy jego końcówką powierzchni „stołu”, otrzymamy obraz punktu. W ten sposób otrzymujemy reprezentacja punktu na płaszczyźnie.
Teraz możesz przejść dalej koncepcja linii prostej na płaszczyźnie.
Połóż kartkę czystego papieru na powierzchni stołu (na płaszczyźnie). Aby narysować linię prostą, musimy wziąć linijkę i narysować linię ołówkiem na tyle, na ile pozwala nam rozmiar linijki i kartki papieru, której używamy. Należy zaznaczyć, że w ten sposób uzyskamy jedynie część linii. Możemy sobie tylko wyobrazić całą linię prostą rozciągającą się w nieskończoność.
Względne położenie linii i punktu.
Zacznijmy od aksjomatu: na każdej prostej i w każdej płaszczyźnie znajdują się punkty.
Punkty są zwykle oznaczane dużymi literami łacińskimi, na przykład punkty A i F. Z kolei linie proste oznacza się małymi literami łacińskimi, na przykład liniami prostymi a i d.
Możliwy dwie opcje względnego położenia linii i punktu na płaszczyźnie: albo punkt leży na prostej (w tym przypadku mówi się też, że prosta przechodzi przez punkt), albo punkt nie leży na prostej (mówi się też, że punkt nie należy do prostej lub linia nie przechodzi przez punkt).
Aby wskazać, że punkt należy do określonej linii, użyj symbolu „”. Na przykład, jeśli punkt A leży na prostej a, to możemy napisać . Jeśli punkt A nie należy do prostej a, wpisz .
Prawdziwe jest następujące stwierdzenie: przez dowolne dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.
To stwierdzenie jest aksjomatem i należy je przyjąć jako fakt. Poza tym jest to dość oczywiste: zaznaczamy na papierze dwa punkty, przykładamy do nich linijkę i rysujemy linię prostą. Linię prostą przechodzącą przez dwa dane punkty (na przykład przez punkty A i B) można oznaczyć tymi dwoma literami (w naszym przypadku prostą AB lub BA).
Należy rozumieć, że na prostej wyznaczonej na płaszczyźnie znajduje się nieskończenie wiele różnych punktów i wszystkie te punkty leżą na tej samej płaszczyźnie. Stwierdzenie to opiera się na aksjomacie: jeśli dwa punkty prostej leżą na pewnej płaszczyźnie, to wszystkie punkty tej prostej leżą na tej płaszczyźnie.
Zbiór wszystkich punktów znajdujących się pomiędzy dwoma punktami podanymi na prostej, wraz z tymi punktami, nazywa się odcinek linii prostej lub po prostu człon. Punkty ograniczające odcinek nazywane są końcami odcinka. Segment jest oznaczony dwiema literami odpowiadającymi punktom końcowym segmentu. Na przykład, niech punkty A i B będą końcami odcinka, wówczas odcinek ten można oznaczyć jako AB lub BA. Należy pamiętać, że to oznaczenie odcinka pokrywa się z oznaczeniem linii prostej. Aby uniknąć nieporozumień, zalecamy dodanie do oznaczenia słowa „segment” lub „prosty”.
Aby krótko zapisać, czy dany punkt należy, czy nie należy do określonego segmentu, stosuje się te same symbole i. Aby pokazać, że dany odcinek leży lub nie leży na prostej, należy użyć odpowiednio symboli i. Na przykład, jeśli odcinek AB należy do wiersza a, możesz krótko napisać .
Warto zastanowić się także nad przypadkiem, gdy trzy różne punkty należą do tej samej prostej. W tym przypadku jeden i tylko jeden punkt leży pomiędzy dwoma pozostałymi. To stwierdzenie jest kolejnym aksjomatem. Niech punkty A, B i C leżą na tej samej prostej, a punkt B leży pomiędzy punktami A i C. Wtedy możemy powiedzieć, że punkty A i C leżą po przeciwnych stronach punktu B. Możemy również powiedzieć, że punkty B i C leżą po tej samej stronie punktu A oraz punkty A i B leżą po tej samej stronie punktu C.
Aby uzupełnić obraz, zauważamy, że dowolny punkt linii dzieli tę linię na dwie części - dwie Belka. W tym przypadku dany jest aksjomat: dowolny punkt O należący do prostej dzieli tę prostą na dwa promienie, a dowolne dwa punkty jednego promienia leżą po tej samej stronie punktu O, a dowolne dwa punkty różnych promieni leżą po przeciwnych stronach punktu O.
Względne położenie linii na płaszczyźnie.
Odpowiedzmy teraz na pytanie: „Jak dwie linie proste mogą znajdować się na płaszczyźnie względem siebie?”
Po pierwsze, dwie linie proste na płaszczyźnie mogą zbiec się.
Jest to możliwe, gdy proste mają co najmniej dwa punkty wspólne. Rzeczywiście, na mocy aksjomatu podanego w poprzednim akapicie, istnieje tylko jedna linia prosta przechodząca przez dwa punkty. Innymi słowy, jeśli dwie linie proste przechodzą przez dwa dane punkty, to pokrywają się.
Po drugie, dwie linie proste na płaszczyźnie mogą przechodzić.
W tym przypadku linie mają jeden wspólny punkt, który nazywany jest punktem przecięcia linii. Przecięcie linii oznaczone jest symbolem „”, np. wpis oznacza, że linie a i b przecinają się w punkcie M. Przecinające się linie prowadzą nas do pojęcia kąta między przecinającymi się liniami. Osobno warto rozważyć położenie linii prostych na płaszczyźnie, gdy kąt między nimi wynosi dziewięćdziesiąt stopni. W tym przypadku linie są nazywane prostopadły(polecamy artykuł linie prostopadłe, prostopadłość linii). Jeśli linia a jest prostopadła do linii b, można zastosować krótką notację.
Po trzecie, dwie linie proste na płaszczyźnie mogą być równoległe.
Z praktycznego punktu widzenia wygodnie jest rozpatrywać linię prostą na płaszczyźnie wraz z wektorami. Szczególne znaczenie mają niezerowe wektory leżące na danej linii lub na dowolnej z równoległych linii; są to tzw wektory kierujące linii prostej. W artykule Kierowanie wektorem prostej na płaszczyźnie podano przykłady wektorów kierujących i przedstawiono możliwości ich wykorzystania w rozwiązywaniu problemów.
Należy także zwrócić uwagę na niezerowe wektory leżące na którejkolwiek z prostych prostopadłych do tej. Takie wektory nazywane są normalne wektory liniowe. Zastosowanie normalnych wektorów liniowych opisano w artykule Normalny wektor liniowy na płaszczyźnie.
Kiedy na płaszczyźnie podano trzy lub więcej linii prostych, pojawia się wiele różnych opcji ich względnego położenia. Wszystkie linie mogą być równoległe, w przeciwnym razie niektóre lub wszystkie z nich przecinają się. W tym przypadku wszystkie linie mogą przecinać się w jednym punkcie (zobacz artykuł o wiązce linii) lub mogą mieć różne punkty przecięcia.
Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, ale przedstawimy bez dowodu kilka niezwykłych i bardzo często używanych faktów:
- jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one do siebie równoległe;
- jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są do siebie równoległe;
- Jeśli pewna prosta na płaszczyźnie przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą linię.
Metody definiowania linii prostej na płaszczyźnie.
Teraz wymienimy główne sposoby definiowania konkretnej linii prostej na płaszczyźnie. Wiedza ta jest bardzo przydatna z praktycznego punktu widzenia, gdyż na niej opiera się rozwiązanie wielu przykładów i problemów.
Po pierwsze, linię prostą można zdefiniować poprzez określenie dwóch punktów na płaszczyźnie.
Rzeczywiście, z aksjomatu omówionego w pierwszym akapicie tego artykułu wiemy, że linia prosta przechodzi przez dwa punkty i tylko przez jeden.
Jeśli współrzędne dwóch rozbieżnych punktów zostaną wskazane w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie, wówczas można zapisać równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
Po drugie, linię można określić, określając punkt, przez który przechodzi i linię, do której jest równoległa. Metoda ta jest słuszna, gdyż przez dany punkt na płaszczyźnie przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej prostej. Dowód tego faktu przeprowadzono na lekcjach geometrii w szkole średniej.
Jeśli w ten sposób zdefiniujemy prostą na płaszczyźnie względem wprowadzonego prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych, wówczas możliwe jest ułożenie jej równania. O tym pisze się w równaniu artykułu prostej przechodzącej przez dany punkt równoległy do danej prostej.
Po trzecie, linię prostą można określić, określając punkt, przez który przechodzi i jej wektor kierunkowy.
Jeżeli w ten sposób dana jest linia prosta w prostokątnym układzie współrzędnych, to łatwo jest skonstruować jej równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie i równania parametryczne prostej na płaszczyźnie.
Czwartym sposobem określenia linii jest wskazanie punktu, przez który ona przechodzi, oraz linii, do której jest prostopadła. Rzeczywiście, przez dany punkt płaszczyzny przechodzi pojedyncza prosta prostopadła do danej prostej. Zostawmy ten fakt bez dowodu.
Na koniec można określić linię na płaszczyźnie, określając punkt, przez który przechodzi, oraz wektor normalny tej linii.
Jeżeli znane są współrzędne punktu leżącego na danej prostej oraz współrzędne wektora normalnego tej prostej, to można zapisać ogólne równanie tej prostej.
Bibliografia.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 – 9: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.
Prawa autorskie należą do mądrych studentów
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny www., łącznie z materiałami wewnętrznymi i wyglądem, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.
Istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii w przestrzeni: linie mogą się przecinać, być równoległe i przecinać.
3.1 Przecinające się linie
Dwie różne linie nazywamy przecinającymi się, jeśli mają wspólny punkt. Punkt przecięcia jest wyjątkowy: jeśli dwie linie mają dwa punkty wspólne, to pokrywają się.
Przecinające się linie pokazano na ryc. 19 . Jak widzimy, linie aib przecinają się w punkcie A.
Ryż. 19. Linie przecinające się
Zauważ, że przez dwie przecinające się linie przechodzi pojedyncza płaszczyzna. Pokazano to również na rys. 19: pojedyncza płaszczyzna przechodzi przez linie a i b.
Pytanie. Linia a przecina linię b, linia b przecina linię c. Czy to prawda, że linie a i c przecinają się?
3.2 Równoległe linie
Od siódmej klasy pamiętasz, że „linie równoległe to te, które się nie przecinają”. Jednak w przestrzeni, aby linie były równoległe, potrzebny jest jeden dodatkowy warunek.
Definicja. Dwie linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się.
Zatem oprócz „nieprzecięcia” wymagane jest, aby linie leżały w tej samej płaszczyźnie. Na ryc. 20 przedstawia linie równoległe aib; przechodzi przez nie (pojedyncza) płaszczyzna.
Ryż. 20. Linie równoległe
Równoległość ma ważną właściwość przechodniości. Mianowicie, dla trzech różnych linii a, b i c obowiązuje:
a k b i b k c) a k c
(dwie różne linie równoległe do trzeciej linii są do siebie równoległe).
3.3 Przekraczanie linii
Jeśli dwie linie przecinają się lub są równoległe, to, jak widzieliśmy, można przez nie poprowadzić płaszczyznę (i co więcej, jedyną). Jednak w przestrzeni generalnie nie da się narysować płaszczyzny poprzez dwie linie proste.
Definicja. Dwie linie nazywane są skośnymi, jeśli nie są równoległe ani nie przecinają się.
Równoważna definicja jest następująca: dwie linie nazywane są skośnymi, jeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie.
Na ryc. 21 przedstawia przecinające się linie a i b.
B
Ryż. 21. Przekraczanie linii
Ważnym faktem jest to, że dwie równoległe płaszczyzny można poprowadzić przez dwie przecinające się linie. Mianowicie, jeśli proste aib przecinają się, to istnieje unikalna para płaszczyzn i taka, że a, b i k. Pokazano to na ryc. 21.
Wszystkie trzy rozważane opcje względnego ułożenia linii prostych można zobaczyć w trójkątnym pryzmacie ABCA1 B1 C1 (ryc. 22).
Ryż. 22. Względne położenie dwóch prostych
Mianowicie linie AB i BC przecinają się (rysunek po lewej); linie BC i B1 C1 są równoległe (obrazek w środku); linie proste AB i B1 C1 przecinają się (zdjęcie po prawej).
4 Płaszczyzny nazywane są równoległymi, jeśli nie mają punktów wspólnych.
No cóż, zgodnie z akseomatem prostych równoległych... w końcu te proste leżą w równoległych płaszczyznachTo prawda, ponieważ dwie płaszczyzny nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają. Oznacza to, że płaszczyzny te nie mają ani jednego punktu wspólnego, lecz proste leżą w tych płaszczyznach, co oznacza, że nie mogą mieć punktów wspólnych.
Podobne zadania:
Punkt leżący w jednej z przecinających się płaszczyzn znajduje się w odległości 6 cm od drugiej płaszczyzny i 12 cm od linii ich przecięcia.Oblicz kąt między tymi płaszczyznami.
Dane punkty M(3;0;-1), K(1;3;0), P(4;-1;2). Znajdź na osi Oh taki punkt A do wektorów MK I RA były prostopadłe.
Dwa wierzchołki trójkąta równobocznego leżą na płaszczyźnie alfa. Kąt między płaszczyzną alfa a płaszczyzna tego trójkąta jest równa fi. Bok trójkąta jest równy M. Oblicz:
1) odległość trzeciego wierzchołka trójkąta od płaszczyzny alfa;
2) obszar rzutu trójkąta na płaszczyznę alfa.