Prędkość średnia i wartość chwilowa. Zagadnienia ciał swobodnie spadających: przykłady rozwiązywania problemów z kinematyki

3.1. Ruch jednostajny po linii prostej.

3.1.1. Ruch jednostajny po linii prostej- ruch po linii prostej ze stałą wartością i kierunkiem przyspieszenia:

3.1.2. Przyśpieszenie()- fizyczna wielkość wektora pokazująca, jak bardzo zmieni się prędkość w ciągu 1 s.

W formie wektorowej:

gdzie jest prędkością początkową ciała, jest prędkością ciała w chwili czasu T.

W rzucie na oś Wół:

gdzie jest rzutem prędkości początkowej na oś Wół, - rzut prędkości ciała na oś Wół w pewnym momencie T.

Znaki rzutów zależą od kierunku wektorów i osi Wół.

3.1.3. Wykres projekcyjny przyspieszenia w funkcji czasu.

Przy ruchu równomiernie naprzemiennym przyspieszenie jest stałe, dlatego będzie widoczne jako linie proste równoległe do osi czasu (patrz rysunek):

3.1.4. Prędkość podczas ruchu jednostajnego.

W formie wektorowej:

W rzucie na oś Wół:

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:

Aby uzyskać jednolite zwolnione tempo:

3.1.5. Wykres projekcyjny prędkości w funkcji czasu.

Wykres rzutu prędkości w funkcji czasu jest linią prostą.

Kierunek ruchu: jeśli wykres (lub jego część) znajduje się powyżej osi czasu, wówczas ciało porusza się w dodatnim kierunku osi Wół.

Wartość przyspieszenia: im większa tangens kąta nachylenia (im bardziej stromo wznosi się lub opada), tym większy jest moduł przyspieszenia; gdzie jest zmiana prędkości w czasie

Przecięcie z osią czasu: jeżeli wykres przecina oś czasu, to przed punktem przecięcia ciało zwalniało (ruch równomiernie powolny), a po punkcie przecięcia zaczynało przyspieszać w przeciwnym kierunku (ruch równomiernie przyspieszany).

3.1.6. Znaczenie geometryczne pola pod wykresem w osiach

Obszar pod wykresem na osi Oj prędkość jest opóźniona i na osi Wół- czas to droga, którą przebywa ciało.

Na ryc. Rysunek 3.5 przedstawia przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego. Ścieżka w tym przypadku będzie równa powierzchni trapezu: (3.9)

3.1.7. Wzory obliczania ścieżki

Ruch równomiernie przyspieszonyRówne zwolnione tempo
(3.10) (3.12)
(3.11) (3.13)
(3.14)

Wszystkie wzory przedstawione w tabeli działają tylko przy zachowaniu kierunku ruchu, czyli do momentu przecięcia się prostej z osią czasu na wykresie rzutu prędkości w funkcji czasu.

Jeśli nastąpiło przecięcie, ruch łatwiej jest podzielić na dwa etapy:

przed przekroczeniem (hamowaniem):

Po skrzyżowaniu (przyspieszenie, ruch w przeciwnym kierunku)

We wzorach powyższych - czas od rozpoczęcia ruchu do przecięcia z osią czasu (czas przed zatrzymaniem), - droga, jaką przebyło ciało od początku ruchu do przecięcia z osią czasu, - czas, jaki upłynął od momentu przekroczenia osi czasu do chwili obecnej T, - droga, jaką przebyło ciało w przeciwnym kierunku w czasie, jaki upłynął od momentu przekroczenia osi czasu do tego momentu T, - moduł wektora przemieszczenia dla całego czasu ruchu, L- droga, którą przebyło ciało podczas całego ruchu.

3.1.8. Ruch w setnej sekundzie.

W tym czasie ciało przebędzie następującą drogę:

W tym czasie ciało przebędzie następującą drogę:

Następnie w tym przedziale ciało przebędzie następującą drogę:

Za przerwę można uznać dowolny okres czasu. Najczęściej z.

Następnie w ciągu 1 sekundy ciało pokonuje następującą drogę:

Za 2 sekundy:

Za 3 sekundy:

Jeśli przyjrzymy się uważnie, zobaczymy to itp.

W ten sposób dochodzimy do wzoru:

Słowem: drogi, jakie przebywa ciało w kolejnych okresach czasu, powiązane są ze sobą ciągiem liczb nieparzystych, a to nie zależy od przyspieszenia, z jakim porusza się ciało. Podkreślamy, że ta relacja obowiązuje dla

3.1.9. Równanie współrzędnych ciała dla ruchu jednostajnego

Równanie współrzędnych

Znaki rzutów prędkości początkowej i przyspieszenia zależą od względnego położenia odpowiednich wektorów i osi Wół.

Aby rozwiązać problemy, należy do równania dodać równanie na zmianę rzutu prędkości na oś:

3.2. Wykresy wielkości kinematycznych dla ruchu prostoliniowego

3.3. Ciało swobodnego spadania

Przez spadek swobodny rozumiemy następujący model fizyczny:

1) Upadek następuje pod wpływem grawitacji:

2) Nie ma oporu powietrza (w problemach czasami piszą „pomiń opór powietrza”);

3) Wszystkie ciała, niezależnie od masy, spadają z tym samym przyspieszeniem (czasami dodają „niezależnie od kształtu ciała”, ale bierzemy pod uwagę ruch tylko punktu materialnego, więc kształt ciała nie jest już brany pod uwagę na konto);

4) Przyspieszenie ziemskie jest skierowane ściśle w dół i na powierzchni Ziemi jest równe (w zadaniach, które często przyjmujemy dla wygody obliczeń);

3.3.1. Równania ruchu w rzucie na oś Oj

W przeciwieństwie do ruchu po poziomej linii prostej, gdy nie wszystkie zadania wiążą się ze zmianą kierunku ruchu, przy swobodnym spadku najlepiej od razu skorzystać z równań zapisanych w rzutach na oś Oj.

Równanie współrzędnych ciała:

Równanie projekcji prędkości:

Z reguły w przypadku problemów wygodnie jest wybrać oś Oj w następujący sposób:

Oś Oj skierowany pionowo w górę;

Początek pokrywa się z poziomem Ziemi lub najniższym punktem trajektorii.

Przy takim wyborze równania i zostaną przepisane w następującej postaci:

3.4. Ruch w płaszczyźnie Oksy.

Rozważaliśmy ruch ciała z przyspieszeniem po linii prostej. Jednak ruch jednostajnie zmienny nie ogranicza się do tego. Na przykład ciało rzucone pod kątem do poziomu. W takich problemach należy wziąć pod uwagę ruch wzdłuż dwóch osi jednocześnie:

Lub w formie wektorowej:

Oraz zmiana rzutu prędkości na obie osie:

3.5. Zastosowanie pojęcia pochodnej i całki

Nie będziemy tutaj podawać szczegółowej definicji pochodnej i całki. Do rozwiązywania problemów potrzebujemy jedynie małego zestawu formuł.

Pochodna:

Gdzie A, B i to jest wartości stałe.

Całka:

Zobaczmy teraz, jak pojęcia pochodnej i całki odnoszą się do wielkości fizycznych. W matematyce pochodną oznacza się przez „”, w fizyce pochodną po czasie oznacza się przez „∙” nad funkcją.

Prędkość:

oznacza to, że prędkość jest pochodną wektora promienia.

Dla projekcji prędkości:

Przyśpieszenie:

to znaczy przyspieszenie jest pochodną prędkości.

Dla projekcji przyspieszenia:

Znając zatem prawo ruchu, łatwo możemy znaleźć zarówno prędkość, jak i przyspieszenie ciała.

Skorzystajmy teraz z pojęcia całki.

Prędkość:

oznacza to, że prędkość można znaleźć jako całkę przyspieszenia po czasie.

Wektor promienia:

to znaczy wektor promienia można znaleźć, całkując funkcję prędkości.

Znając zatem funkcję, możemy łatwo znaleźć zarówno prędkość, jak i prawo ruchu ciała.

Stałe we wzorach wyznacza się z warunków początkowych – wartości i chwili czasu

3.6. Trójkąt prędkości i trójkąt przemieszczenia

3.6.1. Trójkąt prędkości

W postaci wektorowej przy stałym przyspieszeniu prawo zmiany prędkości ma postać (3.5):

Wzór ten oznacza, że ​​wektor jest równy sumie wektorów i sumę wektorów można zawsze przedstawić na rysunku (patrz rysunek).

W każdym zadaniu, w zależności od warunków, trójkąt prędkości będzie miał swoją własną postać. Taka reprezentacja pozwala na wykorzystanie w rozwiązaniu rozważań geometrycznych, co często upraszcza rozwiązanie problemu.

3.6.2. Trójkąt ruchów

W postaci wektorowej zasada ruchu ze stałym przyspieszeniem ma postać:

Rozwiązując zadanie, można wybrać układ odniesienia w najwygodniejszy sposób, zatem nie tracąc na ogólności, możemy wybrać układ odniesienia w taki sposób, że początek układu współrzędnych umieścimy w punkcie, w którym ciało znajduje się w chwili początkowej. Następnie

to znaczy wektor jest równy sumie wektorów i przedstawmy to na rysunku (patrz rysunek).

Podobnie jak w poprzednim przypadku, w zależności od warunków, trójkąt przemieszczenia będzie miał swój własny kształt. Taka reprezentacja pozwala na wykorzystanie w rozwiązaniu rozważań geometrycznych, co często upraszcza rozwiązanie problemu.



Część 1

Obliczanie prędkości chwilowej

  1. Zacznij od równania. Aby obliczyć prędkość chwilową, trzeba znać równanie opisujące ruch ciała (jego położenie w określonym momencie), czyli równanie, którego jedna strona to s (ruch ciała), oraz po drugiej stronie znajdują się terminy ze zmienną t (czas). Na przykład:

    s = -1,5 t 2 + 10 t + 4

    • W tym równaniu: Przemieszczenie = s. Przemieszczenie to droga, jaką przebywa obiekt. Na przykład, jeśli ciało przesunie się 10 m do przodu i 7 m do tyłu, wówczas całkowite przemieszczenie ciała wyniesie 10 - 7 = 3 m(i przy 10 + 7 = 17 m). Czas = t. Zwykle mierzony w sekundach.

  2. Oblicz pochodną równania. Aby znaleźć chwilową prędkość ciała, którego ruchy opisuje powyższe równanie, należy obliczyć pochodną tego równania. Pochodna to równanie, które pozwala obliczyć nachylenie wykresu w dowolnym punkcie (w dowolnym momencie). Aby znaleźć pochodną, ​​różniczkujmy funkcję w następujący sposób: jeśli y = a*x n , to pochodna = a*n*x n-1. Zasada ta dotyczy każdego wyrazu wielomianu.

    • Innymi słowy, pochodna każdego wyrazu ze zmienną t jest równa iloczynowi współczynnika (przed zmienną) i potęgi zmiennej pomnożonej przez zmienną do potęgi równej pierwotnej mocy minus 1. termin fikcyjny (termin bez zmiennej, czyli liczba) znika, ponieważ jest pomnożony przez 0. W naszym przykładzie:

      s = -1,5 t 2 + 10 t + 4
      (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
      -3t 1 + 10t 0
      -3t+10

  3. Zamień „s” na „ds/dt”, aby pokazać, że nowe równanie jest pochodną pierwotnego równania (tj. pochodną s z t). Pochodna to nachylenie wykresu w pewnym momencie (w pewnym momencie). Na przykład, aby znaleźć nachylenie prostej opisanej funkcją s = -1,5t 2 + 10t + 4 w t = 5, po prostu wstaw 5 do równania pochodnej.

    • W naszym przykładzie równanie pochodnej powinno wyglądać następująco:

      ds/dt = -3t + 10

  4. Podstaw odpowiednią wartość t do równania pochodnej, aby znaleźć prędkość chwilową w określonym momencie. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć prędkość chwilową w t = 5, po prostu wstaw 5 (za t) do równania pochodnego ds/dt = -3 + 10. Następnie rozwiąż równanie:

    ds/dt = -3t + 10
    ds/dt = -3(5) + 10
    ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

    • Proszę zwrócić uwagę na jednostkę miary prędkości chwilowej: m/s. Ponieważ wartość przemieszczenia podano w metrach, czas w sekundach, a prędkość jest równa stosunkowi przemieszczenia do czasu, wówczas poprawna jest jednostka miary m/s.

    Część 2

    Graficzna ocena prędkości chwilowej

    1. Sporządź wykres przemieszczenia ciała. W poprzednim rozdziale prędkość chwilową obliczyłeś za pomocą wzoru (równania pochodnego, które pozwala znaleźć nachylenie wykresu w określonym punkcie). Rysując wykres ruchu ciała, możesz znaleźć jego nachylenie w dowolnym punkcie, a zatem określić prędkość chwilową w określonym momencie.

      • Oś Y to przemieszczenie, a oś X to czas. Współrzędne punktów (x, y) uzyskuje się poprzez podstawienie różnych wartości t do pierwotnego równania przemieszczenia i obliczenie odpowiednich wartości s.
      • Wykres może spaść poniżej osi X. Jeśli wykres ruchu ciała spadnie poniżej osi X, oznacza to, że ciało porusza się w kierunku przeciwnym do punktu, w którym rozpoczął się ruch. Zazwyczaj wykres nie wykracza poza oś Y (ujemne wartości x) - nie mierzymy prędkości obiektów poruszających się wstecz w czasie!

    2. Wybierz punkt P i punkt Q blisko niego na wykresie (krzywej). Aby znaleźć nachylenie wykresu w punkcie P, używamy pojęcia granicy. Limit - stan, w którym wartość siecznej narysowanej przez 2 punkty P i Q leżące na krzywej dąży do zera.

      • Weźmy na przykład pod uwagę punkty P(1,3) I P(4,7) i oblicz prędkość chwilową w punkcie P.

    3. Znajdź nachylenie odcinka PQ. Nachylenie odcinka PQ jest równe stosunkowi różnicy wartości współrzędnych y punktów P i Q do różnicy wartości współrzędnych x punktów P i Q. Innymi słowy, H = (y Q – y P)/(x Q – x P), gdzie H jest nachyleniem odcinka PQ. W naszym przykładzie nachylenie odcinka PQ wynosi:

      H = (y Q – y P)/(x Q – x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

    4. Powtórz ten proces kilka razy, przybliżając punkt Q do punktu P. Im mniejsza odległość między dwoma punktami, tym nachylenie powstałych odcinków jest bliższe nachyleniu wykresu w punkcie P. W naszym przykładzie obliczenia wykonamy dla punktu Q o współrzędnych (2,4.8), (1.5,3.95 ) i (1.25,3.49) (współrzędne punktu P pozostają bez zmian):

      Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
      H = (0,95)/(0,5) = 1.9

      Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
      H = (0,49)/(0,25) = 1.96

    5. Im mniejsza odległość między punktami P i Q, tym wartość H jest bliżej nachylenia wykresu w punkcie P. Jeżeli odległość między punktami P i Q jest wyjątkowo mała, wartość H będzie równa nachyleniu wykresu wykres w punkcie P. Ponieważ nie możemy zmierzyć ani obliczyć bardzo małej odległości między dwoma punktami, metoda graficzna pozwala oszacować nachylenie wykresu w punkcie P.

      • W naszym przykładzie, gdy Q zbliżyło się do P, otrzymaliśmy następujące wartości H: 1,8; 1,9 i 1,96. Ponieważ liczby te dążą do 2, można powiedzieć, że nachylenie wykresu w punkcie P jest równe 2 .
      • Pamiętaj, że nachylenie wykresu w danym punkcie jest równe pochodnej funkcji (z której wykreślany jest wykres) w tym punkcie. Wykres przedstawia ruch ciała w czasie i jak zauważono w poprzednim podrozdziale, chwilowa prędkość ciała jest równa pochodnej równania przemieszczenia tego ciała. Zatem możemy stwierdzić, że w chwili t = 2 prędkość chwilowa wynosi 2 m/s(jest to wartość szacunkowa).

    Część 3

    Przykłady

    1. Oblicz prędkość chwilową w t = 4, jeśli ruch ciała opisuje równanie s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Ten przykład jest podobny do problemu z pierwszej części, z tą tylko różnicą, że tutaj mamy równanie trzeciego rzędu (a nie drugiego).

      • Najpierw obliczmy pochodną tego równania:

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

      • Podstawmy teraz wartość t = 4 do równania pochodnej:

        s = 15 t (2) - 6 t + 2
        15(4) (2) - 6(4) + 2
        15(16) - 6(4) + 2
        240 - 24 + 2 = 22 m/s

    2. Oszacujmy wartość prędkości chwilowej w punkcie o współrzędnych (1,3) na wykresie funkcji s = 4t 2 - t. W tym przypadku punkt P ma współrzędne (1,3) i należy znaleźć kilka współrzędnych punktu Q, który leży blisko punktu P. Następnie obliczamy H i znajdujemy szacunkowe wartości prędkości chwilowej.

      • Najpierw znajdźmy współrzędne Q w t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.

        s = 4t 2 - t

        t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
        4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, tzw Q = (2,14)

        t = 1,5: s = 4(1,5) 2 - (1,5)
        4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, więc Q = (1,5,7,5)

        t = 1,1: s = 4(1,1) 2 - (1,1)
        4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, więc Q = (1,1,3,74)

        t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
        4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, więc Q = (1,01,3,0704)

Jest to wektorowa wielkość fizyczna, liczbowo równa granicy, do której dąży średnia prędkość w nieskończenie małym okresie czasu:

Innymi słowy, prędkość chwilowa jest wektorem promienia w czasie.

Wektor prędkości chwilowej jest zawsze skierowany stycznie do toru ciała w kierunku ruchu ciała.

Prędkość chwilowa dostarcza precyzyjnych informacji o ruchu w określonym momencie. Przykładowo, jadąc samochodem, kierowca w pewnym momencie patrzy na prędkościomierz i widzi, że urządzenie wskazuje 100 km/h. Po pewnym czasie wskazówka prędkościomierza wskazuje 90 km/h, a po kilku minutach – 110 km/h. Wszystkie wymienione odczyty prędkościomierza są wartościami chwilowej prędkości samochodu w określonych momentach. Prędkość w każdym momencie i w każdym punkcie trajektorii musi być znana podczas dokowania stacji kosmicznych, lądowania samolotu itp.

Czy pojęcie „prędkości chwilowej” ma znaczenie fizyczne? Prędkość jest cechą zmian w przestrzeni. Aby jednak określić, jak zmienił się ruch, należy obserwować ruch przez jakiś czas. Nawet najbardziej zaawansowane przyrządy do pomiaru prędkości, takie jak instalacje radarowe, mierzą prędkość w pewnym okresie czasu – wprawdzie dość małym, ale wciąż jest to skończony przedział czasu, a nie moment. Wyrażenie „prędkość ciała w danym momencie” nie jest poprawne z fizycznego punktu widzenia. Jednak koncepcja prędkości chwilowej jest bardzo wygodna w obliczeniach matematycznych i jest stale używana.

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prędkość chwilowa”

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 2

Ćwiczenia Prawo ruchu punktu na linii prostej wyraża równanie. Znajdź chwilową prędkość punktu 10 sekund po rozpoczęciu ruchu.
Rozwiązanie Chwilowa prędkość punktu jest wektorem promienia w czasie. Dlatego dla prędkości chwilowej możemy napisać:

Po 10 sekundach od rozpoczęcia ruchu prędkość chwilowa będzie miała wartość:
Odpowiedź 10 sekund po rozpoczęciu ruchu chwilowa prędkość punktu wynosi m/s.

PRZYKŁAD 3

Ćwiczenia Ciało porusza się po linii prostej tak, że jego współrzędne (w metrach) zmieniają się zgodnie z prawem. Po ilu sekundach od rozpoczęcia ruchu ciało się zatrzyma?
Rozwiązanie Znajdźmy chwilową prędkość ciała:

Toczenie ciała po pochyłej płaszczyźnie (ryc. 2);

Ryż. 2. Staczanie ciała po pochyłej płaszczyźnie ()

Swobodny spadek (ryc. 3).

Wszystkie te trzy rodzaje ruchu nie są jednolite, to znaczy zmienia się ich prędkość. Na tej lekcji przyjrzymy się ruchowi nierównemu.

Jednolity ruch - ruch mechaniczny, podczas którego ciało pokonuje tę samą odległość w równych odstępach czasu (ryc. 4).

Ryż. 4. Jednolity ruch

Ruch nazywa się nierównym, w którym ciało pokonuje nierówne ścieżki w równych odstępach czasu.

Ryż. 5. Nierówny ruch

Głównym zadaniem mechaniki jest określenie położenia ciała w dowolnym momencie. Kiedy ciało porusza się nierównomiernie, zmienia się prędkość ciała, dlatego należy nauczyć się opisywać zmianę prędkości ciała. W tym celu wprowadza się dwie koncepcje: prędkość średnią i prędkość chwilową.

Fakt zmiany prędkości ciała podczas nierównomiernego ruchu nie zawsze musi być brany pod uwagę; gdy rozważamy ruch ciała na dużym odcinku drogi jako całość (prędkość w każdym momencie jest nie jest dla nas ważne), wygodnie jest wprowadzić pojęcie średniej prędkości.

Na przykład delegacja uczniów jedzie pociągiem z Nowosybirska do Soczi. Odległość kolejowa między tymi miastami wynosi około 3300 km. Prędkość pociągu w momencie wyjazdu z Nowosybirska wynosiła, czy to oznacza, że ​​w połowie podróży prędkość była taka to samo, ale przy wejściu do Soczi [M1]? Czy mając tylko te dane można powiedzieć, że czas podróży będzie (ryc. 6). Oczywiście, że nie, skoro mieszkańcy Nowosybirska wiedzą, że dotarcie do Soczi zajmuje około 84 godzin.

Ryż. 6. Ilustracja na przykład

Rozważając ruch ciała na dużym odcinku drogi jako całości, wygodniej jest wprowadzić pojęcie prędkości średniej.

Średnia prędkość nazywają to stosunkiem całkowitego ruchu wykonanego przez ciało do czasu, w którym ten ruch został wykonany (ryc. 7).

Ryż. 7. Średnia prędkość

Ta definicja nie zawsze jest wygodna. Na przykład zawodnik biegnie 400 m – dokładnie jedno okrążenie. Przemieszczenie sportowca wynosi 0 (ryc. 8), ale rozumiemy, że jego średnia prędkość nie może wynosić zero.

Ryż. 8. Przemieszczenie wynosi 0

W praktyce najczęściej stosuje się pojęcie średniej prędkości jazdy.

Średnia prędkość jazdy jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do czasu, w którym tę drogę przebyło (rys. 9).

Ryż. 9. Średnia prędkość jazdy

Istnieje inna definicja średniej prędkości.

Średnia prędkość- jest to prędkość, z jaką ciało musi poruszać się ruchem jednostajnym, aby pokonać daną drogę w tym samym czasie, w jakim ją pokonało, poruszając się nierównomiernie.

Z kursu matematyki wiemy, czym jest średnia arytmetyczna. Dla liczb 10 i 36 będzie to równe:

Aby sprawdzić możliwość wykorzystania tego wzoru do obliczenia średniej prędkości, rozwiążmy następujący problem.

Zadanie

Rowerzysta wjeżdża na wzniesienie z prędkością 10 km/h, spędzając na nim 0,5 godziny. Następnie spada z prędkością 36 km/h w 10 minut. Znajdź średnią prędkość rowerzysty (ryc. 10).

Ryż. 10. Ilustracja problemu

Dany:; ; ;

Znajdować:

Rozwiązanie:

Ponieważ jednostką miary tych prędkości jest km/h, średnią prędkość znajdziemy w km/h. Dlatego nie będziemy konwertować tych problemów na SI. Zamieńmy na godziny.

Średnia prędkość wynosi:

Pełna ścieżka () składa się ze ścieżki w górę zbocza () i w dół zbocza ():

Ścieżka wspinania się na zbocze to:

Ścieżka w dół zbocza to:

Czas potrzebny na przebycie całej ścieżki wynosi:

Odpowiedź:.

Na podstawie odpowiedzi na pytanie widzimy, że nie da się zastosować wzoru na średnią arytmetyczną do obliczenia średniej prędkości.

Pojęcie średniej prędkości nie zawsze jest przydatne do rozwiązania głównego problemu mechaniki. Wracając do problemu z pociągiem, nie można powiedzieć, że jeśli średnia prędkość na całej trasie pociągu będzie równa , to po 5 godzinach będzie już w odległości z Nowosybirska.

Nazywa się średnią prędkość zmierzoną w nieskończenie krótkim czasie chwilowa prędkość ciała(przykładowo: prędkościomierz samochodu (rys. 11) pokazuje prędkość chwilową).

Ryż. 11. Prędkościomierz samochodu pokazuje prędkość chwilową

Istnieje inna definicja prędkości chwilowej.

Chwilowa prędkość– prędkość ruchu ciała w danym momencie, prędkość ciała w danym punkcie trajektorii (ryc. 12).

Ryż. 12. Natychmiastowa prędkość

Aby lepiej zrozumieć tę definicję, spójrzmy na przykład.

Pozwól samochodowi jechać prosto odcinkiem autostrady. Mamy wykres rzutu przemieszczenia w funkcji czasu dla danego ruchu (rys. 13), przeanalizujmy ten wykres.

Ryż. 13. Wykres projekcji przemieszczenia w funkcji czasu

Wykres pokazuje, że prędkość samochodu nie jest stała. Załóżmy, że trzeba znaleźć chwilową prędkość samochodu 30 sekund po rozpoczęciu obserwacji (w punkcie A). Korzystając z definicji prędkości chwilowej, znajdujemy wielkość średniej prędkości w przedziale czasu od do . Aby to zrobić, rozważ fragment tego wykresu (ryc. 14).

Ryż. 14. Wykres projekcji przemieszczenia w funkcji czasu

Aby sprawdzić poprawność wyznaczenia prędkości chwilowej, znajdźmy moduł średniej prędkości dla przedziału czasu od do , w tym celu rozważymy fragment wykresu (rys. 15).

Ryż. 15. Wykres projekcji przemieszczenia w funkcji czasu

Obliczamy średnią prędkość w danym okresie czasu:

Otrzymaliśmy dwie wartości prędkości chwilowej samochodu 30 sekund po rozpoczęciu obserwacji. Bardziej dokładna będzie wartość, przy której odstęp czasu jest mniejszy, tj. Jeśli mocniej zmniejszymy rozpatrywany przedział czasu, to chwilową prędkość samochodu w tym punkcie A zostaną określone dokładniej.

Prędkość chwilowa jest wielkością wektorową. Dlatego oprócz znalezienia go (znalezienia jego modułu) należy wiedzieć, w jaki sposób jest on skierowany.

(at ) – prędkość chwilowa

Kierunek prędkości chwilowej pokrywa się z kierunkiem ruchu ciała.

Jeżeli ciało porusza się krzywoliniowo, wówczas prędkość chwilowa jest kierowana stycznie do toru ruchu w danym punkcie (rys. 16).

Ćwiczenie 1

Czy prędkość chwilowa () może zmieniać się tylko w kierunku, bez zmiany wielkości?

Rozwiązanie

Aby rozwiązać ten problem, rozważ następujący przykład. Ciało porusza się po zakrzywionej ścieżce (ryc. 17). Zaznaczmy punkt na trajektorii ruchu A i okres B. Zwróćmy uwagę na kierunek prędkości chwilowej w tych punktach (prędkość chwilowa jest skierowana stycznie do punktu trajektorii). Niech prędkości i będą równe i równe 5 m/s.

Odpowiedź: Może.

Zadanie 2

Czy prędkość chwilowa może zmieniać się tylko pod względem wielkości, bez zmiany kierunku?

Rozwiązanie

Ryż. 18. Ilustracja problemu

Rysunek 10 pokazuje to w tym momencie A i w punkcie B chwilowa prędkość jest w tym samym kierunku. Jeżeli ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem, to .

Odpowiedź: Może.

Na tej lekcji zaczęliśmy uczyć się ruchu nierównego, czyli poruszania się ze zmienną prędkością. Cechą charakterystyczną ruchu nierównego są prędkości średnie i chwilowe. Koncepcja średniej prędkości opiera się na mentalnym zastąpieniu ruchu nierównego ruchem jednostajnym. Czasami koncepcja średniej prędkości (jak widzieliśmy) jest bardzo wygodna, ale nie nadaje się do rozwiązania głównego problemu mechaniki. Dlatego wprowadzono pojęcie prędkości chwilowej.

Bibliografia

  1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Socki. Fizyka 10. - M.: Edukacja, 2008.
  2. AP Rymkiewicz. Fizyka. Książka problemów 10-11. - M.: Drop, 2006.
  3. O tak. Sawczenko. Problemy z fizyką. - M.: Nauka, 1988.
  4. AV Peryszkin, V.V. Krauklisa. Kurs fizyki. T. 1. - M.: Państwo. nauczyciel wyd. min. edukacja RFSRR, 1957.
  1. Portal internetowy „School-collection.edu.ru” ().
  2. Portal internetowy „Virtulab.net” ().

Praca domowa

  1. Pytania (1-3, 5) na końcu akapitu 9 (strona 24); G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Socki. Fizyka 10 (zobacz listę zalecanych lektur)
  2. Czy, znając średnią prędkość w pewnym okresie czasu, można obliczyć przemieszczenie ciała w dowolnej części tego przedziału czasu?
  3. Jaka jest różnica między prędkością chwilową podczas ruchu jednostajnego liniowego a prędkością chwilową podczas ruchu nierównego?
  4. Podczas prowadzenia samochodu odczyty prędkościomierza były dokonywane co minutę. Czy na podstawie tych danych można określić średnią prędkość samochodu?
  5. Rowerzysta pierwszą jedną trzecią trasy przejechał z prędkością 12 km na godzinę, drugą trzecią z prędkością 16 km na godzinę, a ostatnią trzecią z prędkością 24 km na godzinę. Znajdź średnią prędkość roweru na całej trasie. Podaj odpowiedź w km/h