Punkt i prosta to podstawowe figury geometryczne na płaszczyźnie.
Starożytny grecki uczony Euklides powiedział: „punkt” to coś, co nie ma części. Słowo „punkt” przetłumaczone z język łaciński oznacza wynik natychmiastowego dotyku, ukłucia. Punkt jest podstawą do zbudowania dowolnej figury geometrycznej.
Linia prosta lub po prostu linia prosta to linia, wzdłuż której odległość między dwoma punktami jest najkrótsza. Linia prosta jest nieskończona i nie da się zobrazować całej linii prostej i jej zmierzyć.
Punkty podano wielkimi literami z literami łacińskimi A, B, C, D, E itd., a linie proste to te same litery, ale małe a, b, c, d, e itd. Linię prostą można również oznaczyć dwiema literami odpowiadającymi punktom leżącym na tym. Na przykład linia prosta a może być oznaczona jako AB.
Można powiedzieć, że punkty AB leżą na prostej a lub należą do prostej a. I możemy powiedzieć, że prosta a przechodzi przez punkty A i B.
Najprostsze figury geometryczne na płaszczyźnie to odcinek, półprosta, linia przerywana.
Odcinek to część linii składająca się ze wszystkich punktów tej linii, ograniczona dwoma wybranymi punktami. Punkty te są końcami odcinka. Segment jest oznaczony poprzez wskazanie jego końców.
Półprosta lub półprosta to część linii, na którą składają się wszystkie punkty tej linii leżące po jednej stronie danego punktu. Punkt ten nazywany jest punktem początkowym półprostej lub początkiem półprostej. Belka ma punkt początkowy, ale nie ma końca.
Linie półproste lub półproste są oznaczone dwiema małymi literami łacińskimi: pierwszą i dowolną inną literą, odpowiedni punkt należący do półprostej. W tym przypadku punkt wyjścia jest umieszczony na pierwszym miejscu.
Okazuje się, że linia prosta jest nieskończona: nie ma początku ani końca; promień ma tylko początek, ale nie ma końca, natomiast odcinek ma początek i koniec. Dlatego możemy zmierzyć tylko segment.
Kilka odcinków połączonych ze sobą sekwencyjnie w taki sposób, że odcinki (sąsiadujące) posiadające jeden wspólny punkt nie leżą na tej samej prostej, reprezentują linia przerywana.
Linia przerywana może być zamknięta lub otwarta. Jeżeli koniec ostatniego odcinka pokrywa się z początkiem pierwszego, mamy do czynienia z linią łamaną zamkniętą, jeżeli nie, jest to linia otwarta.
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Temat lekcji
Co to jest figura geometryczna
Figury geometryczne to zbiór wielu punktów, linii, powierzchni lub ciał, które znajdują się na powierzchni, płaszczyźnie lub przestrzeni i tworzą skończoną liczbę linii.
Termin „figura” w pewnym stopniu formalnie odnosi się do zbioru punktów, ale z reguły figurę nazywa się zbiorem, który znajduje się na płaszczyźnie i jest ograniczony skończoną liczbą linii.
Punkt i linia prosta to podstawowe figury geometryczne usytuowane na płaszczyźnie.
Najprostsze figury geometryczne na płaszczyźnie to odcinek, półprosta i linia przerywana.
Co to jest geometria
Geometria jest taka nauka matematyczna, który bada właściwości kształtów geometrycznych. Jeśli dosłownie przetłumaczymy termin „geometria” na język rosyjski, oznacza to „geodezję”, ponieważ w starożytności głównym zadaniem geometrii jako nauki był pomiar odległości i powierzchni na powierzchni ziemi.
Praktyczne zastosowanie geometrii jest nieocenione w każdym czasie i niezależnie od zawodu. Ani robotnik, ani inżynier, ani architekt, ani nawet artysta nie może obejść się bez znajomości geometrii.
W geometrii istnieje sekcja zajmująca się badaniem różne figury na płaszczyźnie i nazywa się to planimetrią.
Wiesz już, że figura to dowolny zbiór punktów znajdujących się na płaszczyźnie.
Figury geometryczne obejmują: punkt, linię prostą, odcinek, półprosty, trójkąt, kwadrat, okrąg i inne figury badane przez planimetrię.
Kropka
Z materiału przestudiowanego powyżej wiesz już, że punkt odnosi się do głównych figur geometrycznych. I chociaż jest to najmniejsza figura geometryczna, jest ona niezbędna do konstruowania kolejnych figur na płaszczyźnie, rysunku czy obrazie i stanowi podstawę wszelkich innych konstrukcji. Przecież konstrukcja bardziej skomplikowanych figur geometrycznych składa się z wielu punktów charakterystycznych dla danej figury.
W geometrii punkty reprezentują wielkimi literami Alfabet łaciński np. takie jak: A, B, C, D....
Podsumujmy teraz, a zatem z matematycznego punktu widzenia punkt to taki abstrakcyjny obiekt w przestrzeni, który nie ma objętości, pola, długości i innych cech, ale pozostaje jednym z podstawowych pojęć w matematyce. Punkt to obiekt zerowymiarowy, który nie ma definicji. Według definicji Euklidesa punkt to coś, czego nie da się zdefiniować.
Prosty
Podobnie jak punkt, linia prosta odnosi się do figur na płaszczyźnie, która nie ma definicji, ponieważ się składa nieskończona liczba punkty znajdujące się na tej samej linii, która nie ma początku ani końca. Można argumentować, że linia prosta jest nieskończona i nie ma granic.
Jeżeli linia prosta zaczyna się i kończy punktem, to nie jest już linią prostą i nazywa się ją odcinkiem.
Ale czasami linia prosta ma punkt po jednej stronie, a nie po drugiej. W tym przypadku linia prosta zamienia się w belkę.
Jeśli weźmiesz linię prostą i umieścisz punkt na jej środku, wówczas linia prosta zostanie podzielona na dwa promienie skierowane przeciwnie. Te promienie są dodatkowe.
Jeśli przed tobą znajduje się kilka odcinków połączonych ze sobą w taki sposób, że koniec pierwszego odcinka staje się początkiem drugiego, a koniec drugiego odcinka staje się początkiem trzeciego itd., a odcinki te nie są leżą na tej samej prostej i gdy są połączone mają wspólny punkt, to taki łańcuch jest linią przerywaną.
Ćwiczenia
Która linia przerywana nazywa się niezamkniętą?
Jak wyznacza się linię prostą?
Jak nazywa się linia przerywana, która ma cztery zamknięte łącza?
Jak nazywa się linia przerywana z trzema zamkniętymi łączami?
Kiedy koniec ostatniego odcinka linii łamanej zbiega się z początkiem pierwszego odcinka, wówczas taką linię przerywaną nazywa się zamkniętą. Przykładem zamkniętej polilinii jest dowolny wielokąt.
Samolot
Podobnie jak punkt i linia prosta, płaszczyzna jest pojęciem pierwotnym, nie ma definicji i nie widać ani początku, ani końca. Dlatego rozważając płaszczyznę, bierzemy pod uwagę tylko tę jej część, która jest ograniczona zamkniętą linią przerywaną. Zatem każdą gładką powierzchnię można uznać za płaszczyznę. Powierzchnią tą może być kartka papieru lub stół.
Narożnik
Figurę składającą się z dwóch promieni i wierzchołka nazywamy kątem. Złącze promieni jest wierzchołkiem tego kąta, a jego boki są promieniami tworzącymi ten kąt.
Ćwiczenia:
1. Jak w tekście jest wskazany kąt?
2. Jakich jednostek można używać do pomiaru kąta?
3. Jakie są kąty?
Równoległobok
Równoległobok jest czworokątem przeciwne strony które są parami równoległe.
Prostokąt, kwadrat i romb to szczególne przypadki równoległoboku.
Równoległobok z kątami prostymi równymi 90 stopni jest prostokątem.
Kwadrat jest tym samym równoległobokiem; jego kąty i boki są równe.
Jeśli chodzi o definicję rombu, jest to figura geometryczna, której wszystkie boki są równe.
Ponadto powinieneś wiedzieć, że każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb może być kwadratem.
Trapez
Rozważając figurę geometryczną, taką jak trapez, możemy powiedzieć, że w szczególności podobnie jak czworokąt ma jedną parę równoległych przeciwległych boków i jest krzywoliniowy.
Koło i koło
Obwód - umiejscowienie punkty płaszczyzny równoodległe od dany punkt, zwany środkiem, do danej niezerowej odległości, zwanej jego promieniem.
Trójkąt
Trójkąt, który już badałeś, również należy do prostych figur geometrycznych. Jest to jeden z typów wielokątów, w których część płaszczyzny jest ograniczona przez trzy punkty i trzy odcinki łączące te punkty parami. Każdy trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki.
Ćwiczenia: Który trójkąt nazywa się zdegenerowanym?
Wielokąt
Wielokąty obejmują kształty geometryczne Różne formy, które mają zamkniętą linię przerywaną.
W wielokącie wszystkie punkty łączące odcinki są jego wierzchołkami. A segmenty tworzące wielokąt to jego boki.
Czy wiesz, że pojawienie się geometrii sięga wieków wstecz i wiąże się z rozwojem różnorodnych rzemiosł, kultury, sztuki oraz obserwacją otaczającego świata. A nazwa figur geometrycznych jest tego potwierdzeniem, ponieważ ich terminy nie powstały tak po prostu, ale z powodu ich podobieństwa i podobieństwa.
W końcu termin „trapez” został przetłumaczony z starożytny język grecki od słowa „trapezion” oznacza stół, posiłek i inne słowa pochodne.
„Stożek” pochodzi z greckie słowo„konos”, co w tłumaczeniu brzmi jak szyszka.
„Linia” ma korzenie łacińskie i pochodzi od słowa „linum”, w tłumaczeniu brzmi jak lniana nić.
Czy wiesz, że jeśli weźmiesz figury geometryczne o tym samym obwodzie, to wśród nich będzie ich najwięcej Duża powierzchnia okazało się, że jest to okrąg.
Planimetria to dziedzina geometrii zajmująca się badaniem figur na płaszczyźnie.
Liczby badane metodą planimetryczną:
3. Równoległobok (przypadki szczególne: kwadrat, prostokąt, romb)
4. Trapez
5. Obwód
6. Trójkąt
7. Wielokąt
1) Punkt:
W geometrii, topologii i pokrewnych gałęziach matematyki punkt to abstrakcyjny obiekt w przestrzeni, który nie ma objętości, powierzchni, długości ani żadnych innych podobnych cech o dużych wymiarach. Zatem punkt jest obiektem zerowymiarowym. Punkt jest jednym z podstawowych pojęć w matematyce.
Punkt w geometrii euklidesowej:
Punkt jest jednym z podstawowych pojęć geometrii, dlatego „punkt” nie ma definicji. Euklides zdefiniował punkt jako coś, czego nie można podzielić.
Linia prosta jest jednym z podstawowych pojęć geometrii.
Linia prosta geometryczna (linia prosta) - obustronnie niezamknięta, wydłużona i nie zakrzywiona obiekt geometryczny, Przekrój która dąży do zera, a rzut podłużny na płaszczyznę daje punkt.
W systematycznym przedstawianiu geometrii za jedną z nich zwykle przyjmuje się linię prostą oryginalne koncepcje, o czym tylko pośrednio decydują aksjomaty geometrii.
Jeżeli podstawą konstruowania geometrii jest pojęcie odległości pomiędzy dwoma punktami w przestrzeni, to linię prostą można zdefiniować jako linię, po której przebiega ścieżka równa odległości pomiędzy dwoma punktami.
3) Równoległobok:
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami, to znaczy leżą na równoległych liniach. Szczególnymi przypadkami równoległoboku są prostokąt, kwadrat i romb.
Specjalne przypadki:
Kwadrat- regularny czworobok lub romb, w którym wszystkie kąty są proste, lub równoległobok, w którym wszystkie boki i kąty są równe.
Kwadrat można zdefiniować jako: prostokąt, którego dwa sąsiednie boki są równe;
romb, w którym wszystkie kąty są proste (każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem).
Prostokąt jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty są kątami prostymi (równymi 90 stopni).
Romb jest równoległobokiem, w którym wszystkie boki są równe. Romb mający kąty proste nazywa się kwadratem.
4) Trapez:
Trapez- czworokąt mający dokładnie jedną parę przeciwległych boków równoległych.
1. Trapez, który boki nie równe,
zwany wszechstronny .
2. Nazywa się trapez, którego boki są równe równoramienny.
3. Nazywa się trapez, w którym jeden bok tworzy z podstawami kąt prosty prostokątny .
Odcinek łączący środki boków trapezu nazywa się linia środkowa czworoboczny (MN). Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.
Trapez można nazwać trójkątem obciętym, dlatego nazwy trapezów są podobne do nazw trójkątów (trójkąty mogą być skalenowe, równoramienne lub prostokątne).
5) Obwód:
Koło- miejsce geometryczne punktów płaszczyzny równoodległych od danego punktu, zwane środkiem, w danej niezerowej odległości, zwanej jej promieniem.
6) Trójkąt:
Trójkąt - najprostszy wielokąt mający 3 wierzchołki (kąty) i 3 boki; część płaszczyzny ograniczona trzema punktami i trzema odcinkami łączącymi te punkty parami.
7) Wielokąt:
Wielokąt- jest to figura geometryczna, definiowana jako zamknięta linia przerywana. Są trzy różne opcje definicje:
Płaskie zamknięte linie przerywane;
Płaskie zamknięte polilinie bez samoprzecięć;
Części płaszczyzny ograniczone liniami przerywanymi.
Wierzchołki wielokąta nazywane są wierzchołkami wielokąta, a odcinki nazywane są bokami wielokąta.
Podstawowe właściwości linii i punktu:
1. Niezależnie od linii, istnieją punkty, które należą do tej linii i do niej nie należą.
Przez dowolne dwa punkty można narysować linię prostą i tylko jedną.
2. Z trzech punktów na linii jeden i tylko jeden leży pomiędzy dwoma pozostałymi.
3. Każdy segment ma pewną długość większą od zera. Długość odcinka jest równa sumie długości części, na które jest on podzielony przez dowolny z jego punktów.
6. Na dowolnej półprostej od jej punktu początkowego możesz wykreślić odcinek podana długość i tylko jeden.
7. Z dowolnej półprostej do danej półpłaszczyzny można wykreślić kąt z danym miara stopnia, mniej niż 180O i tylko jeden.
8. Niezależnie od trójkąta, w danym miejscu względem danej półprostej znajduje się trójkąt równy.
Właściwości trójkąta:
Zależności między bokami i kątami trójkąta:
1) Przeciw większa strona leży większy kąt.
2) Większy bok leży naprzeciwko większego kąta.
3) Przeciw równe strony leżą równe kąty i odwrotnie, równe boki leżą naprzeciw równych kątów.
Zależność między kątami wewnętrznymi i zewnętrznymi trójkąta:
1) Suma dowolnych dwóch narożniki wewnętrzne trójkąt jest równy zewnętrzny narożnik trójkąt sąsiadujący z trzecim kątem.
2) Boki i kąty trójkąta są również powiązane ze sobą relacjami zwanymi twierdzeniem o sinusach i twierdzeniem o cosinusach.
Trójkąt nazywa się rozwarte, prostokątne lub ostrokątne , jeżeli jego największy kąt wewnętrzny jest odpowiednio większy, równy lub mniejszy niż 90∘.
Środkowa linia trójkąta to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta.
Właściwości linii środkowej trójkąta:
1) Linia zawierająca środkową linię trójkąta jest równoległa do linii zawierającej trzeci bok trójkąta.
2) Środkowa linia trójkąta jest równa połowie trzeciego boku.
3) Linia środkowa trójkąta odcina podobny trójkąt od trójkąta.
Właściwości prostokąta:
1) przeciwległe boki są równe i równoległe do siebie;
2) przekątne w punkcie przecięcia są równe i podzielone na pół;
3) suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich (czterech) boków;
4) prostokąty tej samej wielkości mogą całkowicie pokryć płaszczyznę;
5) prostokąt można podzielić na dwa równe prostokąty na dwa sposoby;
6) prostokąt można podzielić na dwa równe trójkąty prostokątne;
7) wokół prostokąta można opisać okrąg, którego średnica jest równa przekątnej prostokąta;
8) nie da się wpisać koła w prostokąt (z wyjątkiem kwadratu) tak, aby dotykał wszystkich jego boków.
Właściwości równoległoboku:
1) Środek przekątnej równoległoboku jest jego środkiem symetrii.
2) Przeciwległe boki równoległoboku są równe.
3) Przeciwne kąty równoległoboku są równe.
4) Każda przekątna równoległoboku dzieli go na dwa równe trójkąty.
5) Przekątne równoległoboku są podzielone na pół przez punkt przecięcia.
6) Suma kwadratów przekątnych równoległoboku (d1 i d2) jest równa sumie kwadratów wszystkich jego boków: d21+d22=2(a2+b2)
Z właściwości kwadratu:
1) Wszystkie kąty kwadratu są proste, wszystkie boki kwadratu są równe.
2) Przekątne kwadratu są równe i przecinają się pod kątem prostym.
3) Przekątne kwadratu dzielą jego kąty na pół.
Właściwości rombu:
1. Przekątna rombu dzieli go na dwa równe trójkąty.
2. Przekątne rombu są podzielone na pół w miejscu ich przecięcia.
3. Przeciwne boki rombu są sobie równe, równe i przeciwne kąty jego.
Ponadto romb ma następujące właściwości:
a) przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe;
b) przekątna rombu dzieli jego kąt na pół.
Właściwości okręgu:
1) Linia prosta nie może mieć punktów wspólnych z okręgiem; mieć jeden punkt wspólny z okręgiem (styczna); mają z nim dwa punkty wspólne (sieczną).
2) Przez trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii, możesz narysować okrąg i tylko jeden.
3) Punkt styku dwóch okręgów leży na linii łączącej ich środki.
Właściwości wielokąta:
1) Suma kątów wewnętrznych płaszczyzny wypukły n-gon równy.
2) Liczba przekątnych dowolnego n-kątu jest równa.
3).Iloczyn boków wielokąta i sinusa kąta między nimi jest równy powierzchni wielokąta.
Tekst pracy publikujemy bez obrazów i formuł.
Pełna wersja praca dostępna jest w zakładce „Pliki Pracy” w formacie PDF
Wstęp
Geometria jest jednym z istotne komponenty edukacja matematyczna niezbędnych do zdobycia konkretnej wiedzy o przestrzeni i praktyce znaczące umiejętności, ukształtowanie języka opisu obiektów otaczającego świata, dla rozwoju wyobraźnię przestrzenną i intuicja, kultura matematyczna, a także dla edukacja estetyczna. Badanie geometrii przyczynia się do rozwoju logiczne myślenie, kształtowanie umiejętności dowodowych.
Zajęcia z geometrii w klasie VII systematyzują wiedzę o najprostszych figurach geometrycznych i ich własnościach; wprowadzono pojęcie równości liczb; rozwijana jest umiejętność udowadniania równości trójkątów za pomocą badanych znaków; wprowadzono klasę problemów związanych z konstruowaniem przy użyciu kompasu i linijki; jeden z najważniejsze pojęcia- koncepcja linii równoległych; nowe ciekawe i ważne właściwości trójkąty; jeden z najważniejsze twierdzenia w geometrii - twierdzenie o sumie kątów trójkąta, które pozwala klasyfikować trójkąty ze względu na ich kąty (ostry, prostokątny, rozwarty).
W trakcie zajęć, szczególnie przy przechodzeniu z jednej części lekcji na drugą, zmianie zajęć, pojawia się pytanie o utrzymanie zainteresowania zajęciami. Zatem, odpowiedni pojawia się pytanie o wykorzystanie problemów na zajęciach z geometrii, w których występuje warunek problematyczna sytuacja i elementy twórczości. Zatem, zamiar Celem pracy jest usystematyzowanie zadań o treści geometrycznej z elementami twórczości i sytuacji problemowych.
Przedmiot badań: Zadania z geometrii z elementami kreatywności, rozrywki i sytuacji problemowych.
Cele badań: Analizować istniejące zadania z geometrii mające na celu rozwój logiki, wyobraźni i kreatywne myslenie. Pokaż, jak możesz rozwinąć zainteresowanie danym tematem, stosując techniki rozrywkowe.
Teoretyczne i Praktyczne znaczenie badania polega na tym, że zebrany materiał można wykorzystać w procesie zajęcia dodatkowe w geometrii, a mianowicie na olimpiadach i zawodach geometrycznych.
Zakres i struktura badania:
Opracowanie składa się ze wstępu, dwóch rozdziałów, zakończenia, bibliografii, zawiera 14 stron tekstu głównego maszynowego, 1 tabelę, 10 rycin.
Rozdział 1. PŁASKIE FIGURY GEOMETRYCZNE. PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1.1. Podstawowe figury geometryczne w architekturze budynków i budowli
W otaczającym nas świecie istnieje wiele obiektów materialnych o różnych kształtach i rozmiarach: budynki mieszkalne, części maszyn, książki, biżuteria, zabawki itp.
W geometrii zamiast wyrazu obiekt mówi się figurę geometryczną, dzieląc figury geometryczne na płaskie i przestrzenne. W tej pracy rozważymy jeden z najciekawsze sekcje geometria - planimetria, która uwzględnia tylko płaskie figury. Planimetria(z łac. planum - „płaszczyzna”, starożytny grecki μετρεω - „miara”) - część geometrii euklidesowej badająca figury dwuwymiarowe (jednopłaszczyznowe), to znaczy figury, które można umieścić w tej samej płaszczyźnie. Płaska figura geometryczna to taka, w której wszystkie punkty leżą na tej samej płaszczyźnie. Każdy rysunek wykonany na kartce papieru daje wyobrażenie o takiej figurze.
Ale zanim rozważymy figury płaskie, należy zapoznać się z prostymi, ale bardzo ważnymi figurami, bez których figury płaskie po prostu nie mogą istnieć.
Najprostsza figura geometryczna to kropka. To jedna z głównych figur geometrycznych. Jest bardzo mały, ale zawsze służy do budowy różne formy na powierzchni. Chodzi o główną postać dla absolutnie wszystkich konstrukcji, nawet najbardziej wysoka złożoność. Z matematycznego punktu widzenia punkt to abstrakcyjny obiekt przestrzenny, który nie ma takich cech jak powierzchnia czy objętość, ale jednocześnie pozostaje podstawowym pojęciem w geometrii.
Prosty- jedno z podstawowych pojęć geometrii.W systematycznym przedstawianiu geometrii za jedno z pojęć początkowych przyjmuje się zwykle linię prostą, o której jedynie pośrednio decydują aksjomaty geometrii (euklidesowe). Jeżeli podstawą konstruowania geometrii jest pojęcie odległości między dwoma punktami w przestrzeni, to linię prostą można zdefiniować jako linię, po której droga jest równa odległości między dwoma punktami.
Linie proste w przestrzeni mogą zajmować różne pozycje, rozważmy niektóre z nich i podamy przykłady występujące w wyglądzie architektonicznym budynków i budowli (tabela 1):
Tabela 1
|
Równoległe linie |
Właściwości prostych równoległych |
|
|
Jeśli linie są równoległe, wówczas ich rzuty o tej samej nazwie są równoległe: |
Essentuki, budynek łaźni borowinowej (fot. autorka) |
|
|
Przecinające się linie |
Właściwości linii przecinających się |
Przykłady w architekturze budynków i budowli |
|
Przecinające się linie mają wspólny punkt, to znaczy punkty przecięcia ich rzutów o tej samej nazwie leżą na wspólnej linii połączenia: |
Budynki „górskie” na Tajwanie https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane |
|
|
Przekraczanie linii |
Właściwości linii skośnych |
Przykłady w architekturze budynków i budowli |
|
Linie proste, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie i nie są do siebie równoległe, przecinają się. Żadna nie jest wspólną linią komunikacyjną. Jeżeli linie przecinające się i równoległe leżą w tej samej płaszczyźnie, to linie przecinające się leżą w dwóch równoległych płaszczyznach. |
Robercie, Hubercie – Villa Madama pod Rzymem https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Płaskie kształty geometryczne. Właściwości i definicje
Obserwując formy roślin i zwierząt, góry i meandry rzek, cechy krajobrazu i odległe planety, człowiek zapożyczył od natury swoje poprawne formularze, wymiary i właściwości. Potrzeby materialne skłoniły ludzi do budowy domów, wytwarzania narzędzi do pracy i polowań, rzeźbienia naczyń z gliny i tak dalej. Wszystko to stopniowo przyczyniło się do zrozumienia przez człowieka podstawowych pojęć geometrycznych.
Czworokąty:
Równoległobok(starożytny grecki παραλληλόγραμμον od παράλληλος - równoległy i γραμμή - linia, linia) to czworobok, którego przeciwne strony są parami równoległe, to znaczy leżą na równoległych liniach.
Znaki równoległoboku:
Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków: 1. Jeżeli w czworokącie przeciwne boki są parami równe, to czworokąt jest równoległobokiem. 2. Jeśli w czworokącie przekątne przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia, to ten czworobok jest równoległobokiem. 3. Jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe, to ten czworokąt jest równoległobokiem.
Równoległobok, którego wszystkie kąty są proste, nazywa się prostokąt.
Nazywa się równoległobok, w którym wszystkie boki są równe diament
Trapez— Jest to czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe. Trapez jest także czworokątem, w którym jedna para przeciwnych boków jest równoległa, a boki nie są sobie równe.
Trójkąt to najprostsza figura geometryczna utworzona przez trzy odcinki łączące trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej. Te trzy punkty nazywane są wierzchołkami trójkąt, a segmenty są bokami trójkąt. Właśnie ze względu na swoją prostotę trójkąt był podstawą wielu pomiarów. Geodeci w swoich obliczeniach powierzchni działki a astronomowie wykorzystują właściwości trójkątów do obliczania odległości do planet i gwiazd. W ten sposób powstała trygonometria – nauka o mierzeniu trójkątów, wyrażaniu boków poprzez ich kąty. Pole dowolnego wielokąta wyraża się poprzez obszar trójkąta: wystarczy podzielić ten wielokąt na trójkąty, obliczyć ich pola i dodać wyniki. Czy to prawda, poprawna formuła Nie było od razu możliwe znalezienie go dla obszaru trójkąta.
Szczególnie aktywnie badano właściwości trójkąta XV-XVI wiek. Oto jedno z najpiękniejszych twierdzeń tamtych czasów, autorstwa Leonharda Eulera:
Ogromny nakład prac nad geometrią trójkąta, prowadzony w XY-XIX w., stworzył wrażenie, że o trójkącie wiedziano już wszystko.
Wielokąt - jest to figura geometryczna, zwykle definiowana jako zamknięta polilinia.
Koło- miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, od którego odległość do danego punktu, zwanego środkiem okręgu, nie przekracza zadanej liczba nieujemna, zwany promieniem tego okręgu. Jeśli promień równy zeru, wówczas okrąg degeneruje się w punkt.
Istnieje duża liczba geometryczne kształty, wszystkie różnią się parametrami i właściwościami, czasem zaskakując swoimi kształtami.
Aby lepiej zapamiętać i rozróżnić figury płaskie według właściwości i cech, wymyśliłem geometryczną bajkę, którą chciałbym Państwu przedstawić w następnym akapicie.
Rozdział 2. PUZZLE Z PŁASKICH FIGUR GEOMETRYCZNYCH
2.1.Łamigłówki do budowy złożonej figury z zestawu płaskich elementów geometrycznych.
Po przestudiowaniu płaskich kształtów zastanawiałem się, czy są jakieś interesujące problemy z płaskimi kształtami, które można wykorzystać jako gry lub puzzle. Pierwszym problemem, jaki znalazłem, była łamigłówka Tangram.
To chińska łamigłówka. W Chinach nazywa się to „chi tao tu”, czyli siedmioelementową łamigłówką mentalną. W Europie nazwa „Tangram” najprawdopodobniej powstała od słowa „tan”, co oznacza „chiński” i rdzenia „gram” (z greckiego „litera”).
Najpierw musisz narysować kwadrat 10 x 10 i podzielić go na siedem części: pięć trójkątów 1-5 , kwadrat 6 i równoległobok 7 . Istota układanki polega na tym, aby ze wszystkich siedmiu elementów ułożyć figury pokazane na ryc. 3.
Ryc.3. Elementy gry „Tangram” i kształty geometryczne
Ryc.4. Zadania tangramowe
Szczególnie interesujące jest tworzenie „ukształtowanych” wielokątów z płaskich figur, znając jedynie kontury obiektów (ryc. 4). Kilka takich zadań konspektowych wymyśliłam sama i pokazałam je kolegom z klasy, którzy z radością przystąpili do rozwiązywania zadań i stworzyli wiele ciekawych figur wielościennych, przypominających kontury obiektów w otaczającym nas świecie.
Aby rozwijać wyobraźnię, można wykorzystać także takie formy zabawnych puzzli, jak zadania polegające na wycinaniu i odtwarzaniu podanych figur.
Przykład 2. Zadania związane z cięciem (parkietem) mogą na pierwszy rzut oka wydawać się dość zróżnicowane. Jednak większość z nich stosuje tylko kilka podstawowych rodzajów cięć (najczęściej takie, które można wykorzystać do stworzenia kolejnego z jednego równoległoboku).
Przyjrzyjmy się niektórym technikom cięcia. W tym przypadku będziemy nazywać liczby wycięte wielokąty.
Ryż. 5. Techniki cięcia
Rysunek 5 przedstawia kształty geometryczne, z których można złożyć różne kompozycje zdobnicze i stworzyć ozdobę własnoręcznie.
Przykład 3. Kolejny ciekawe zadanie, które możesz sam wymyślić i wymienić się z innymi uczniami, a zwycięzcą zostaje ten, kto zbierze najwięcej wyciętych figurek. Zadań tego typu może być całkiem sporo. Do kodowania można wykorzystać wszystkie istniejące kształty geometryczne, które są pocięte na trzy lub cztery części.
Rys. 6. Przykładowe zadania cięcia:
------ - odtworzony plac; - ciąć nożyczkami;
Podstawowa figura
2.2 Postacie jednakowej wielkości i jednakowo skomponowane
Rozważmy inną interesującą technikę wycinania płaskich figur, gdzie głównymi „bohaterami” cięć będą wielokąty. Przy obliczaniu pól wielokątów stosuje się prostą technikę zwaną metodą partycjonowania.
Ogólnie wielokąty nazywane są równo utworzonymi, jeśli po przecięciu wielokąta w określony sposób F NA ostateczny numer części, można poprzez odmienne ułożenie tych części utworzyć z nich wielokąt N.
Prowadzi to do następujących rzeczy twierdzenie: Wielokąty równoboczne mają tę samą powierzchnię, więc będą uważane za równe pod względem powierzchni.
Na przykładzie wielokątów równostronnych możemy rozważyć tak ciekawe cięcie, jak przekształcenie „krzyża greckiego” w kwadrat (ryc. 7).
Ryc.7. Transformacja „Krzyża greckiego”
W przypadku mozaiki (parkietu) złożonej z krzyży greckich równoległobok kropek jest kwadratem. Problem możemy rozwiązać nakładając mozaikę złożoną z kwadratów na mozaikę utworzoną za pomocą krzyżyków, tak aby punkty przystające jednej mozaiki pokrywały się z punktami przystającymi drugiej (ryc. 8).
Na rysunku przystające punkty mozaiki krzyży, a mianowicie środki krzyży, pokrywają się z przystającymi punktami mozaiki „kwadratowej” - wierzchołkami kwadratów. Przesuwając kwadratową mozaikę równolegle, zawsze uzyskamy rozwiązanie problemu. Co więcej, problem ma kilka możliwych rozwiązań, jeśli przy komponowaniu ozdoby parkietowej zostanie zastosowany kolor.
Ryc.8. Parkiet wykonany z krzyża greckiego
Inny przykład figur o jednakowych proporcjach można rozważyć na przykładzie równoległoboku. Na przykład równoległobok jest odpowiednikiem prostokąta (ryc. 9).
Przykład ten ilustruje metodę partycjonowania, która polega na obliczeniu pola wielokąta poprzez próbę podzielenia go na skończoną liczbę części w taki sposób, aby z tych części można było stworzyć prostszy wielokąt, którego powierzchnię już znamy.
Na przykład trójkąt jest odpowiednikiem równoległoboku mającego tę samą podstawę i połowę wysokości. Z tej pozycji łatwo wyprowadzić wzór na pole trójkąta.
Należy zauważyć, że powyższe twierdzenie również jest prawdziwe twierdzenie odwrotne: jeśli dwa wielokąty są równej wielkości, to są one równoważne.
Twierdzenie to udowodnione w pierwszej połowie XIX wieku. Węgierski matematyk F. Bolyai i Oficer niemiecki i miłośnika matematyki P. Gervina można przedstawić w ten sposób: jeśli jest ciasto w kształcie wielokąta i wielokątne pudełko o zupełnie innym kształcie, ale tej samej powierzchni, to można pokroić ciasto na skończoną liczbę sztuk (bez odwracania ich kremową stroną do dołu), jaką można umieścić w tym pudełku.
Wniosek
Podsumowując, zauważam, że problemy na figurach płaskich są wystarczająco reprezentowane w różne źródła, ale te, które mnie zainteresowały, opierały się na nich, na podstawie których musiałem wymyślać własne problemy z łamigłówkami.
W końcu rozwiązując takie problemy, możesz nie tylko gromadzić doświadczenie życiowe ale także zdobyć nową wiedzę i umiejętności.
W łamigłówkach, konstruując akcje-ruchy za pomocą rotacji, przesunięć, translacji na płaszczyźnie lub ich kompozycji, samodzielnie tworzyłem nowe obrazy, na przykład figury wielościanowe z gry „Tangram”.
Wiadomo, że głównym kryterium mobilności myślenia człowieka jest zdolność do odtwarzania i twórcza wyobraźnia ukończyć w określonym terminie pewne działania, a w naszym przypadku - ruchy figur na płaszczyźnie. Dlatego studiowanie w szkole matematyki, a w szczególności geometrii, da mi jeszcze większą wiedzę, którą będę mógł później zastosować w mojej przyszłej działalności zawodowej.
Bibliografia
1. Pavlova, L.V. Nietradycyjne podejścia do nauczania rysunku: instruktaż/ LV Pawłowa. - Niżny Nowogród: Wydawnictwo NSTU, 2002. - 73 s.
2. słownik encyklopedyczny młody matematyk / komp. AP Sabina. - M.: Pedagogika, 1985. - 352 s.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Aneks 1
Ankieta dla kolegów z klasy
1. Czy wiesz, czym jest łamigłówka Tangram?
2. Co to jest „ krzyż grecki»?
3. Czy chciałbyś wiedzieć, czym jest „Tangram”?
4. Czy chciałbyś wiedzieć, czym jest „krzyż grecki”?
Przebadano 22 uczniów klas ósmych. Wyniki: 22 uczniów nie wie, co to jest „Tangram” i „krzyż grecki”. 20 uczniów byłoby zainteresowanych nauką korzystania z układanki „Tangram”, składającej się z siedmiu płaskich figurek, aby uzyskać więcej złożona postać. Wyniki ankiety podsumowano na wykresie.
Załącznik 2
Elementy gry „Tangram” i kształty geometryczne
Transformacja „Krzyża greckiego”
2.1. Kształty geometryczne na płaszczyźnie
W ostatnie lata Istnieje tendencja do włączania znaczącego materiału geometrycznego do kurs początkowy matematyka. Aby jednak zapoznać uczniów z różnymi kształtami geometrycznymi i nauczyć ich prawidłowego przedstawiania, potrzebuje odpowiedniego szkolenie matematyczne. Nauczyciel musi znać wiodące idee kursu geometrii, znać podstawowe właściwości figur geometrycznych i umieć je konstruować.
Podczas przedstawiania płaskiej figury nie pojawiają się żadne problemy geometryczne. Rysunek służy albo jako dokładna kopia oryginału, albo go przedstawia podobna figura. Patrząc na obraz koła na rysunku, mamy takie samo wrażenie wizualne, jak gdybyśmy patrzyli na oryginalne koło.
Dlatego badanie geometrii rozpoczyna się od planimetrii.
Planimetria to dziedzina geometrii, w której badane są figury na płaszczyźnie.
Figurę geometryczną definiuje się jako dowolny zbiór punktów.
Odcinek, linia prosta, okrąg to kształty geometryczne.
Jeśli wszystkie punkty figury geometrycznej należą do jednej płaszczyzny, nazywa się ją płaską.
Na przykład odcinek, prostokąt to figury płaskie.
Istnieją figury, które nie są płaskie. Jest to na przykład sześcian, kula, piramida.
Ponieważ pojęcie figury geometrycznej definiuje się poprzez koncepcję zbioru, można powiedzieć, że jedna figura zawiera się w drugiej, możemy rozważać sumę, przecięcie i różnicę figur.
Przykładowo suma dwóch półprostych AB i MK to prosta KB, a ich przecięcie to odcinek AM.
Istnieją figury wypukłe i niewypukłe. Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli wraz z dwoma dowolnymi jej punktami zawiera także łączący je odcinek.
Figura F1 jest wypukła, a figura F2 nie jest wypukła.
Figury wypukłe to płaszczyzna, linia prosta, półprosta, odcinek i punkt. Nie jest trudno sprawdzić, czy figura wypukła jest okręgiem.
Jeśli będziemy kontynuować odcinek XY, aż przetnie się on z okręgiem, otrzymamy cięciwę AB. Ponieważ cięciwa zawarta jest w okręgu, odcinek XY również należy do okręgu, a zatem okrąg jest wypukła figura.
Podstawowe własności najprostszych figur na płaszczyźnie wyrażają się w następujących aksjomatach:
1. Niezależnie od linii, istnieją punkty, które należą do tej linii i do niej nie należą.
Przez dowolne dwa punkty można narysować linię prostą i tylko jedną.
Aksjomat ten wyraża podstawową własność przynależności do punktów i prostych na płaszczyźnie.
2. Z trzech punktów na linii jeden i tylko jeden leży pomiędzy dwoma pozostałymi.
Aksjomat ten wyraża podstawową właściwość położenia punktów na linii prostej.
3. Każdy segment ma pewną długość większą od zera. Długość odcinka jest równa sumie długości części, na które jest on podzielony przez dowolny z jego punktów.
Oczywiście aksjomat 3 wyraża główną właściwość segmentów pomiarowych.
Zdanie to wyraża podstawową właściwość położenia punktów względem prostej na płaszczyźnie.
5. Każdy kąt ma miarę stopnia większą od zera. Kąt rozłożenia wynosi 180°. Miara stopnia kąta jest równa sumie miar stopnia kątów, na które jest on podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami.
Aksjomat ten wyraża podstawową właściwość pomiaru kątów.
6. Na dowolnej półprostej od jej punktu początkowego można wykreślić odcinek o danej długości i tylko jeden.
7. Z dowolnej półprostej, w daną półpłaszczyznę, można wprowadzić kąt o danej mierze stopnia mniejszej niż 180 O i tylko jeden.
Aksjomaty te odzwierciedlają podstawowe właściwości układania kątów i odcinków.
Do podstawowych właściwości najprostszych figur należy istnienie trójkąta równego danemu.
8. Niezależnie od trójkąta, w danym miejscu względem danej półprostej znajduje się trójkąt równy.
Podstawowe właściwości prostych równoległych wyraża następujący aksjomat.
9. Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić na płaszczyźnie nie więcej niż jedną prostą równoległą do danej.
Przyjrzyjmy się niektórym kształtom geometrycznym, które są badane Szkoła Podstawowa.
Kąt to figura geometryczna składająca się z punktu i dwóch promieni wychodzących z tego punktu. Promienie nazywane są bokami kąta, a ich wspólnym początkiem jest jego wierzchołek.
Kąt nazywa się rozwiniętym, jeśli jego boki leżą na tej samej linii prostej.
Kąt będący połową kąta prostego nazywamy kątem prostym. Kąt mniejszy od kąta prostego nazywamy ostrym. Kąt większy od kąta prostego, ale mniejszy od kąta prostego, nazywany jest kątem rozwartym.
Oprócz podanego powyżej pojęcia kąta, w geometrii rozważa się pojęcie kąta płaskiego.
Kąt płaski to część płaszczyzny ograniczona dwoma różnymi promieniami wychodzącymi z jednego punktu.
Istnieją dwa kąty płaskie utworzone przez dwa promienie z wspólny początek. Nazywa się je dodatkowymi. Na rysunku przedstawiono dwa kąty płaskie o bokach OA i OB, jeden z nich jest zacieniony.
Kąty mogą przylegać do siebie lub być pionowe.
Dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, jeśli mają jedną stronę wspólną, a pozostałe strony tych kątów są dopełniającymi się półprostymi.
Suma sąsiadujące rogi wynosi 180 stopni.
Dwa kąty nazywamy pionowymi, jeśli boki jednego kąta są dopełniającymi się półprostymi boków drugiego.
Kąty AOD i SOV oraz kąty AOS i DOV są pionowe.
Pionowe kąty są równe.
Linie równoległe i prostopadłe.
Dwie linie na płaszczyźnie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają.
Jeśli linia a jest równoległa do linii b, napisz a II c.
Dwie proste nazywamy prostopadłymi, jeśli przecinają się pod kątem prostym.
Jeżeli linia a jest prostopadła do linii b, to napisz a b.
Trójkąty.
Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii i trzech łączących je parami odcinków.
Dowolny trójkąt dzieli płaszczyznę na dwie części: wewnętrzną i zewnętrzną.
W dowolnym trójkącie istnieje następujące elementy: boki, kąty, wysokości, dwusieczne, środkowe, linie środkowe.
Wysokość trójkąta spuszczonego z danego wierzchołka jest prostopadłą poprowadzoną z tego wierzchołka do prostej zawierającej przeciwny bok.
Dwusieczna trójkąta to odcinek dwusiecznej kąta trójkąta łączącego wierzchołek z punktem Przeciwna strona.
Mediana trójkąta wyciągniętego z danego wierzchołka to odcinek łączący ten wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki jego dwóch boków.
Czworoboki.
Czworokąt to figura składająca się z czterech punktów i czterech kolejnych łączących je odcinków, przy czym żadne trzy z tych punktów nie powinny leżeć na tej samej prostej, a łączące je odcinki nie powinny się przecinać. Punkty te nazywane są wierzchołkami trójkąta, a łączące je odcinki nazywane są jego bokami.
Boki czworoboku rozpoczynające się od tego samego wierzchołka nazywane są przeciwległymi.
W czworokącie ABCD wierzchołki A i B sąsiadują ze sobą, a wierzchołki A i C są przeciwne; boki AB i BC sąsiadują ze sobą, BC i AD są przeciwne; odcinki AC i WD są przekątnymi tego czworoboku.
Czworokąty mogą być wypukłe lub niewypukłe. Zatem czworobok ABCD jest wypukły, a czworobok KRMT nie jest wypukły.
Wśród wypukłe czworoboki Rozróżnia się równoległoboki i trapezy.
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe.
Trapez to czworokąt, którego tylko dwa przeciwne boki są równoległe. Te boki równoległe nazywane są podstawami trapezu. Pozostałe dwie strony nazywane są bocznymi. Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową trapezu.
BC i AD – podstawy trapezu; AB i CD – boki boczne; KM – Środkowa linia trapezoidy.
Spośród wielu równoległoboków wyróżnia się prostokąty i romby.
Prostokąt to równoległobok, którego kąty są dobre.
Romb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równe.
Kwadraty są wybierane spośród wielu prostokątów.
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe.
Koło.
Okrąg to figura składająca się ze wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo oddalonych od danego punktu, zwanego środkiem.
Odległość punktów od ich środka nazywa się promieniem. Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa się cięciwą. Cięciwa przechodząca przez środek nazywa się średnicą. OA – promień, CD – cięciwa, AB – średnica.
Kąt środkowy w okręgu to kąt płaski z wierzchołkiem w środku. Część koła znajdująca się wewnątrz kąta płaskiego nazywana jest odpowiadającym temu łukiem koła róg środkowy.
Według nowych podręczników w nowych programach M.I. Moreau, MA Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. W czwartej klasie Stepanova otrzymuje zadania konstrukcyjne, które nie były wcześniej uwzględnione w programie nauczania matematyki w szkole podstawowej. Są to zadania takie jak:
Skonstruuj prostopadłą do prostej;
Podziel segment na pół;
Zbuduj trójkąt z trzech stron;
Zbudować zwykły trójkąt, Trójkąt równoramienny;
Zbuduj sześciokąt;
Konstruuj kwadrat, korzystając z właściwości przekątnych kwadratu;
Konstruuj prostokąt, korzystając z właściwości przekątnych prostokąta.
Rozważmy konstrukcję figur geometrycznych na płaszczyźnie.
Sekcja nauki geometrii konstrukcje geometryczne, nazywa się geometrią konstrukcyjną. Główną koncepcją geometrii konstrukcyjnej jest koncepcja „konstruowania figury”. Główne twierdzenia są uformowane w formie aksjomatów i sprowadzają się do następujących.
1. Każdy tę figurę wybudowany.
2. Jeśli zbudowane zostaną dwie (lub więcej) figury, wówczas konstruowana jest również suma tych figur.
3. Jeśli zbudowane zostaną dwie figury, możesz określić, czy ich przecięcie będzie pusty zestaw albo nie.
4. Jeżeli przecięcie dwóch skonstruowanych figur nie jest puste, to zostaje zbudowane.
5. Jeśli zbudowane zostaną dwie figury, można określić, czy ich różnica jest zbiorem pustym, czy nie.
6. Jeżeli różnica dwóch skonstruowanych figur nie jest zbiorem pustym, wówczas jest ona konstruowana.
7. Możesz narysować punkt należący do zbudowanej figury.
8. Możesz skonstruować punkt, który nie należy do zbudowanej figury.
Konstruować figury geometryczne, które mają pewne określone właściwości, użyj różnych narzędzi do rysowania. Najprostsze z nich to: linijka jednostronna (zwana dalej po prostu linijką), linijka dwustronna, kwadrat, kompas itp.
Umożliwiają to różne narzędzia do rysowania różne formacje. Właściwości narzędzi rysunkowych stosowanych do konstrukcji geometrycznych wyrażane są także w formie aksjomatów.
Od w kurs szkolny Geometria uwzględnia konstrukcję figur geometrycznych za pomocą kompasu i linijki; skupimy się także na rozważeniu podstawowych konstrukcji wykonywanych przez te konkretne rysunki za pomocą narzędzi.
Tak więc za pomocą linijki możesz wykonać następujące konstrukcje geometryczne.
1. skonstruować odcinek łączący dwa skonstruowane punkty;
2. skonstruować linię prostą przechodzącą przez dwa skonstruowane punkty;
3. skonstruować promień wychodzący ze skonstruowanego punktu i przechodzący przez skonstruowany punkt.
Kompas umożliwia wykonanie następujących konstrukcji geometrycznych:
1. skonstruować okrąg, jeżeli skonstruowano jego środek i odcinek, równy promieniowi koła;
2. skonstruować dowolny z dwóch dodatkowych łuków koła, jeżeli skonstruowany jest środek okręgu i końce tych łuków.
Podstawowe zadania budowlane.
Problemy konstrukcyjne są być może najstarsze problemy matematyczne pomagają lepiej zrozumieć właściwości kształtów geometrycznych i przyczyniają się do rozwoju umiejętności graficznych.
Zadanie konstrukcyjne uważa się za rozwiązane, jeśli zostanie wskazany sposób zbudowania figury i zostanie to udowodnione w wyniku wykonania tych konstrukcji faktycznie uzyskuje się figurę o wymaganych właściwościach.
Przyjrzyjmy się niektórym elementarnym problemom konstrukcyjnym.
1. Zbuduj odcinek CD na danej linii prostej równej ten segment AB.
Możliwość konstrukcji wynika jedynie z aksjomatu opóźnienia odcinka. Odbywa się to za pomocą kompasu i linijki. w następujący sposób. Niech będzie dana prosta a i odcinek AB. Zaznaczamy punkt C na prostej i konstruujemy okrąg ze środkiem w punkcie C na prostej i oznaczamy D. Otrzymujemy odcinek CD równy AB.
2. Przez ten punkt narysuj linię prostopadłą do danej linii.
Niech będą dane punkty O i prosta a. Istnieją dwa możliwe przypadki:
1. Punkt O leży na prostej a;
2. Punkt O nie leży na prostej a.
W pierwszym przypadku oznaczamy punkt C, który nie leży na prostej a. Z punktu C jako środka rysujemy okrąg o dowolnym promieniu. Niech A i B będą jego punktami przecięcia. Z punktów A i B opisujemy okrąg o tym samym promieniu. Niech punkt O będzie punktem ich przecięcia, różnym od C. Wtedy półprosta CO jest dwusieczną kąta rozłożonego i prostopadłą do prostej a.
W drugim przypadku od punktu O od środka rysujemy okrąg przecinający prostą a, a następnie z punktów A i B o tym samym promieniu rysujemy jeszcze dwa okręgi. Niech O będzie punktem ich przecięcia, leżącym na innej półpłaszczyźnie niż ta, w której leży punkt O. Prosta OO/ jest prostopadłą do danej prostej a. Udowodnijmy to.
Oznaczmy przez C punkt przecięcia prostych AB i OO/. Trójkąty AOB i AO/B są równe z trzech stron. Dlatego kąt OAS równy kątowi O/AC są równe po obu stronach i kąt między nimi. Zatem kąty ASO i ASO/ są równe. A ponieważ kąty sąsiadują ze sobą, są to kąty proste. Zatem OS jest prostopadły do linii a.
3. Przez dany punkt poprowadź linię równoległą do danego punktu.
Niech będzie dana prosta a i punkt A znajdujący się poza tą prostą. Weźmy punkt B na prostej a i połączmy go z punktem A. Przez punkt A rysujemy linię C, tworząc z AB ten sam kąt, jaki tworzy AB z daną prostą a, ale po przeciwnej stronie AB. Zbudowana prosta będzie równoległa do prostej a, co wynika z równości kątów poprzecznych powstałych na przecięciu prostych a i siecznej AB.
4. Skonstruuj styczną do okręgu przechodzącego przez dany punkt na nim.
Dane: 1) okrąg X (O, h)
2) punkt Ax
Konstrukcja: styczna AB.
Budowa.
2. okrąg X (A, h), gdzie h – dowolny promień(aksjomat 1 kompasu)
3. punkty M i N przecięcia okręgu x 1 i prostej AO, czyli (M, N) = x 1 AO (ogólny aksjomat 4)
4. okrąg x (M, r 2), gdzie r 2 jest dowolnym promieniem takim, że r 2 r 1 (aksjomat 1 kompasu)
I zewnętrznie - swoim otwartym zachowaniem i wewnętrznie - swoim procesy mentalne i uczucia. Wnioski z pierwszej części Dla rozwoju wszystkich procesy poznawcze młodsze dzieci w wieku szkolnym muszą ich przestrzegać następujące warunki: 1. Działania edukacyjne musi być celowy, budzić i utrzymywać stałe zainteresowanie wśród uczniów; 2. Rozwijaj się i rozwijaj zainteresowania poznawcze ty...
Cały test jako całość, który wskazuje na ich poziom rozwoju operacje umysłowe porównania i uogólnienia są częstsze niż w przypadku uczniów osiągających słabe wyniki. Jeśli przeanalizujemy poszczególne dane w podtestach, to trudności w udzieleniu odpowiedzi indywidualne kwestie mówić o słabych umiejętnościach związanych z danymi operacje logiczne. Trudności te najczęściej występują u uczniów osiągających słabe wyniki w nauce. Ten...
Młodszy uczeń. Przedmiot studiów: rozwój twórcze myślenie dla uczniów klasy II Liceum Nr 1025. Metoda: testowanie. Rozdział 1. Podstawy teoretyczne badania nad myśleniem wyobraźniowym 1.1. Pojęcie myślenia Nasza wiedza o otaczającej rzeczywistości zaczyna się od wrażeń i spostrzeżeń i przechodzi do myślenia. Funkcją myślenia jest poszerzanie granic wiedzy poprzez przekraczanie...