W trójkąt wpisano okrąg. W tym artykule zebrałem dla Ciebie zadania, w których dany jest trójkąt z wpisanym lub ograniczonym wokół niego okręgiem. Warunek zadaje pytanie o znalezienie promienia okręgu lub boku trójkąta.
Wygodnie jest rozwiązać te zadania za pomocą przedstawionych wzorów. Polecam się ich nauczyć, są bardzo przydatne nie tylko przy rozwiązywaniu tego typu zadań. Jeden wzór wyraża związek promienia okręgu wpisanego w trójkąt z jego bokami i polem, drugi zaś promieniem okręgu wpisanego na trójkącie, także z jego bokami i polem:
S – pole trójkąta
Rozważmy zadania:
27900. Bok Trójkąt równoramienny jest równy 1, kąt przy wierzchołku przeciwnym do podstawy wynosi 120 0. Znajdź średnicę okręgu opisanego na tym trójkącie.
Tutaj okrąg jest opisany na trójkącie.
Pierwszy sposób:
Znając promień, możemy obliczyć średnicę. Korzystamy ze wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie:
gdzie a, b, c są bokami trójkąta
S – pole trójkąta
Znamy dwa boki (boki boczne trójkąta równoramiennego), trzeci możemy obliczyć korzystając z twierdzenia o cosinusie:
Teraz obliczmy pole trójkąta:
*Użyliśmy wzoru (2) z.
Oblicz promień:
Zatem średnica będzie równa 2.
Drugi sposób:
Ten obliczenia mentalne. Ci, którzy mają umiejętność rozwiązywania problemów z sześciokątem wpisanym w okrąg, od razu ustalą, że boki trójkąta AC i BC „pokrywają się” z bokami sześciokąta wpisanego w okrąg (kąt sześciokąta wynosi dokładnie 120 0, jak w opisie problemu). I wtedy, wychodząc z faktu, że bok sześciokąta wpisanego w okrąg jest równy promieniowi tego okręgu, nietrudno dojść do wniosku, że średnica będzie równa 2AC, czyli dwa.
Więcej informacji na temat sześciokąta można znaleźć w informacjach w (poz. 5).
Odpowiedź: 2
27931. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny wynosi 2. Znajdź przeciwprostokątną Z ten trójkąt. Proszę wskazać w swojej odpowiedzi.
gdzie a, b, c są bokami trójkąta
S – pole trójkąta
Nie znamy ani boków trójkąta, ani jego pola. Oznaczmy nogi jako x, wtedy przeciwprostokątna będzie równa:
A obszar trójkąta będzie równy 0,5 x 2.
Oznacza
Zatem przeciwprostokątna będzie równa:
W swojej odpowiedzi musisz napisać:
Odpowiedź: 4
27933. W trójkącie ABC AC = 4, BC = 3, kąt C równa się 90 0 . Znajdź promień okręgu wpisanego.
Skorzystajmy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt:
gdzie a, b, c są bokami trójkąta
S – pole trójkąta
Znane są dwie strony (są to nogi), możemy obliczyć trzecią (przeciwprostokątną) i możemy również obliczyć pole.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Znajdźmy obszar:
Zatem:
Odpowiedź 1
27934. boki trójkąta równoramiennego są równe 5, podstawa wynosi 6. Znajdź promień okręgu wpisanego.
Skorzystajmy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt:
gdzie a, b, c są bokami trójkąta
S – pole trójkąta
Wszystkie boki są znane, obliczmy pole. Możemy to znaleźć korzystając ze wzoru Herona:
Następnie
Zatem:
Odpowiedź: 1,5
27624. Obwód trójkąta wynosi 12, a promień okręgu wpisanego wynosi 1. Znajdź pole tego trójkąta. Zobacz rozwiązanie
27932. Nogi trójkąta prostokątnego równoramiennego są równe. Znajdź promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Krótkie podsumowanie.
Jeśli warunek daje trójkąt i okrąg wpisany lub opisany, a mówimy o bokach, powierzchni, promieniu, to natychmiast zapamiętaj wskazane wzory i spróbuj użyć ich przy rozwiązywaniu. Jeśli to nie pomoże, poszukaj innych rozwiązań.
To wszystko. Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Jeżeli okrąg znajduje się wewnątrz kąta i styka się z jego bokami, nazywa się go wpisanym w ten kąt. Środek takiego wpisanego koła znajduje się na dwusieczna tego kąta.
Jeśli leży wewnątrz wielokąta wypukłego i dotyka wszystkich jego boków, nazywa się go wpisanym wypukły wielokąt.
Okrąg wpisany w trójkąt styka się z każdym bokiem tej figury tylko w jednym punkcie. W jeden trójkąt można wpisać tylko jeden okrąg.
Promień takiego okręgu będzie zależał od następujących parametrów trójkąta:
- Długości boków trójkąta.
- Jego obszar.
- Jego obwód.
- Pomiary kątów trójkąta.
Aby obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt, nie zawsze trzeba znać wszystkie wymienione powyżej parametry, ponieważ są one powiązane funkcjami trygonometrycznymi.
Obliczenia przy użyciu półobwodu
- Jeśli znane są długości wszystkich boków figura geometryczna(oznaczamy je literami a, b i c), wówczas będziesz musiał obliczyć promień poprzez wyodrębnienie pierwiastek kwadratowy.
- Rozpoczynając obliczenia, należy do danych początkowych dodać jeszcze jedną zmienną - półobwód (p). Można to obliczyć dodając wszystkie długości i dzieląc otrzymaną sumę przez 2. p = (a+b+c)/2. W ten sposób można znacznie uprościć wzór na znalezienie promienia.
- Ogólnie rzecz biorąc, wzór powinien zawierać znak pierwiastka, pod którym znajduje się ułamek, mianownikiem tego ułamka będzie wartość półobwodu p.
- Licznikiem tego ułamka będzie iloczyn różnic (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Zatem, Pełny widok zostaną przedstawione formuły w następujący sposób: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Obliczenia z uwzględnieniem pola trójkąta
Jeśli wiemy obszar trójkąta i długości wszystkich jego boków, pozwoli nam to znaleźć promień interesującego nas koła bez uciekania się do wydobywania pierwiastków.
- Najpierw musisz podwoić rozmiar obszaru.
- Wynik dzieli się przez sumę długości wszystkich boków. Wtedy wzór będzie wyglądał następująco: r = 2*S/(a+b+c).
- Jeśli użyjesz wartości półobwodu, możesz uzyskać całkowicie prosta formuła: r = S/p.
Obliczenia z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych
Jeśli stwierdzenie problemu zawiera długość jednego z boków, wartość przeciwny róg i obwód, możesz użyć funkcja trygonometryczna- styczna. W takim przypadku formuła obliczeniowa będzie miała następny widok:
r = (P /2- a)* tg (α/2), gdzie r jest pożądanym promieniem, P jest obwodem, a jest długością jednego z boków, α jest wartością boku przeciwnego, a kąt.
Promień okręgu, w który należy wpisać zwykły trójkąt, można znaleźć za pomocą wzoru r = a*√3/6.
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
Można zmieścić się w trójkącie prostokątnym tylko jedno koło. Środek takiego okręgu jest jednocześnie punktem przecięcia wszystkich dwusiecznych. Ta figura geometryczna ma coś w sobie cechy charakterystyczne, co należy uwzględnić przy obliczaniu promienia okręgu wpisanego.
- Najpierw musisz zbudować trójkąt prostokątny o podanych parametrach. Możesz skonstruować taką figurę na podstawie wielkości jednego boku i wartości dwóch kątów lub dwóch boków i kąta między tymi bokami. Wszystkie te parametry muszą być określone w warunkach zadania. Trójkąt jest oznaczony jako ABC, gdzie C jest wierzchołkiem. prosty kąt. Nogi są oznaczone zmiennymi, A I B, a przeciwprostokątna jest zmienną Z.
- Do budowy klasyczna formuła i obliczając promień okręgu, należy znaleźć wymiary wszystkich boków figury opisanej w opisie problemu i obliczyć z nich półobwód. Jeśli warunki podają rozmiary dwóch nóg, można je wykorzystać do obliczenia rozmiaru przeciwprostokątnej w oparciu o twierdzenie Pitagorasa.
- Jeśli warunek podaje rozmiar jednej nogi i jednego kąta, należy zrozumieć, czy ten kąt jest sąsiadujący, czy przeciwny. W pierwszym przypadku przeciwprostokątną wyznacza się za pomocą twierdzenia o sinus: c=a/sinСАВ, w drugim przypadku stosuje się twierdzenie cosinus c=a/cosCBA.
- Po zakończeniu wszystkich obliczeń i poznaniu wartości wszystkich boków półobwód oblicza się za pomocą wzoru opisanego powyżej.
- Znając rozmiar półobwodu, możesz znaleźć promień. Formuła jest ułamkiem. Jego licznik jest iloczynem różnic między półobwodem a każdym bokiem, a mianownikiem jest wartość półobwodu.
Należy zauważyć, że licznik tego wzoru jest wskaźnikiem obszaru. W tym przypadku wzór na znalezienie promienia jest znacznie prostszy - wystarczy podzielić pole przez półobwód.
Możliwe jest określenie obszaru figury geometrycznej, nawet jeśli znane są obie strony. Suma kwadratów tych nóg służy do znalezienia przeciwprostokątnej, a następnie obliczany jest półobwód. Możesz obliczyć powierzchnię, mnożąc wartości nóg przez siebie i dzieląc wynik przez 2.
Jeśli w warunkach podane są długości nóg i przeciwprostokątnej, promień można określić za pomocą bardzo prostego wzoru: w tym celu długości nóg dodaje się do siebie, a długość przeciwprostokątnej odejmuje się od wyniku numer. Wynik należy podzielić na pół.
Wideo
W tym filmie dowiesz się jak znaleźć promień okręgu wpisanego w trójkąt.
Nie otrzymałeś odpowiedzi na swoje pytanie? Zaproponuj temat autorom.
W tym artykule porozmawiamy o tym, jak wyrazić pole wielokąta, w który można wpisać okrąg, poprzez promień tego okręgu. Warto od razu zaznaczyć, że nie każdy wielokąt zmieści się w okręgu. Jeśli jednak jest to możliwe, wzór na obliczenie pola takiego wielokąta staje się bardzo prosty. Przeczytaj ten artykuł do końca lub obejrzyj załączony film instruktażowy, a dowiesz się, jak wyrazić pole wielokąta za pomocą promienia wpisanego w niego okręgu.
Wzór na pole wielokąta w odniesieniu do promienia okręgu wpisanego
Narysujmy wielokąt A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, niekoniecznie poprawny, ale taki, w który można wpisać okrąg. Przypomnę, że okrąg wpisany to okrąg, który dotyka wszystkich boków wielokąta. Na zdjęciu jest to zielone kółko ze środkiem w punkcie O:
Jako przykład wzięliśmy tutaj 5-gon. Ale w rzeczywistości nie ma to większego znaczenia, ponieważ dalszy dowód jest ważny zarówno dla 6-kąta, jak i 8-kąta i ogólnie dla dowolnego dowolnego „gonu”.
Jeśli połączymy środek okręgu wpisanego ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta, wówczas zostanie on podzielony na tyle trójkątów, ile jest wierzchołków dany wielokąt. W naszym przypadku: na 5 trójkątów. Jeśli połączymy kropkę O ze wszystkimi punktami styczności okręgu wpisanego z bokami wielokąta, otrzymasz 5 odcinków (na poniższym rysunku są to odcinki OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 i OH 5), które są równe promieniowi okręgu i prostopadłe do boków wielokąta, do którego są narysowane. To drugie jest prawdą, ponieważ promień poprowadzony do punktu styku jest prostopadły do stycznej:
Jak znaleźć obszar naszego opisanego wielokąta? Odpowiedź jest prosta. Musisz dodać pola wszystkich powstałych trójkątów:
Zastanówmy się, jakie jest pole trójkąta. Na poniższym obrazku jest on zaznaczony na żółto:
Jest równy połowie iloczynu podstawy A 1 A 2 do wysokości OH 1 przyciągnięty do tej bazy. Ale, jak już się dowiedzieliśmy, wysokość ta jest równa promieniowi wpisanego koła. Oznacza to, że wzór na pole trójkąta ma postać: 
, Gdzie R— promień okręgu wpisanego. Obszary wszystkich pozostałych trójkątów znajdują się w podobny sposób. W rezultacie wymagany obszar wielokąta jest równy:
Widać, że pod każdym względem ta suma istnieje wspólny mnożnik, które można wyjąć z nawiasów. Wynikiem będzie następujące wyrażenie:
Oznacza to, że to, co pozostaje w nawiasach, to po prostu suma wszystkich boków wielokąta, czyli jego obwód P. Najczęściej w tej formule wyrażenie jest po prostu zastępowane przez P i nazywają tę literę „półobwodem”. W rezultacie ostateczna formuła przyjmuje postać:
Oznacza to, że obszar wielokąta, w który wpisany jest okrąg o znanym promieniu, jest równy iloczynowi tego promienia i połowy obwodu wielokąta. To jest wynik, do którego dążyliśmy.
Na koniec zauważy, że w trójkąt zawsze można wpisać okrąg, co jest szczególnym przypadkiem wielokąta. Dlatego w przypadku trójkąta zawsze można zastosować ten wzór. W przypadku innych wielokątów mających więcej niż 3 boki należy najpierw upewnić się, czy można w nie wpisać okrąg. Jeśli tak jest, możesz bezpiecznie skorzystać z tej prostej formuły i za jej pomocą znaleźć pole tego wielokąta.
Materiał przygotowany przez Siergieja Waleriewicza
Romb to równoległobok mający wszystkie boki równe. Dlatego dziedziczy wszystkie właściwości równoległoboku. Mianowicie:
- Przekątne rombu są wzajemnie prostopadłe.
- Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych.
Okrąg można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwne strony są równe.
Zatem w dowolny romb można wpisać okrąg. Środek okręgu wpisanego pokrywa się ze środkiem przecięcia przekątnych rombu.
Promień okręgu wpisanego w romb można wyrazić na kilka sposobów
1 sposób. Promień okręgu wpisanego w romb na całej wysokości
Wysokość rombu jest równa średnicy okręgu wpisanego. Wynika to z właściwości prostokąta, który tworzy średnica wpisanego koła i wysokość rombu - prostokąt przeciwne strony są równe.
Zatem wzór na promień okręgu wpisanego w romb w zależności od wysokości:
Metoda 2. Promień okręgu wpisanego w romb przechodzący przez przekątne
Pole rombu można wyrazić promieniem okręgu wpisanego
, Gdzie R– obwód rombu. Wiedząc, że obwód jest sumą wszystkich boków czworoboku, mamy P= 4×a. Następnie
Ale powierzchnia rombu jest również równa połowie iloczynu jego przekątnych 
Zrównując prawe strony wzorów na pola, otrzymujemy następującą równość 
W rezultacie otrzymujemy wzór, który pozwala nam obliczyć promień okręgu wpisanego w romb przez przekątne
Przykład obliczenia promienia okręgu wpisanego w romb, jeśli znane są przekątne
Znajdź promień okręgu wpisanego w romb, jeśli wiadomo, że długości przekątnych wynoszą 30 cm i 40 cm
Pozwalać ABCD-w takim razie romb AC I BD jego przekątne. AC= 30cm ,BD=40cm
Niech chodzi O– jest środkiem wpisanego w romb ABCD okrąg, to będzie on jednocześnie punktem przecięcia jego przekątnych, dzieląc je na pół. 
ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, to trójkąt AOB prostokątny. Następnie z twierdzenia Pitagorasa 
, podstaw wcześniej uzyskane wartości do wzoru
AB= 25cm
Stosując wcześniej wyprowadzony wzór na promień okręgu opisanego na rombie, otrzymujemy 
3 sposoby. Promień okręgu wpisanego w romb przechodzący przez odcinki m i n
Kropka F– punkt styku okręgu z bokiem rombu, który dzieli go na odcinki AF I B.F.. Pozwalać AF=m, BF=n.
Kropka O– środek przecięcia przekątnych rombu ze środkiem okręgu w niego wpisanego.
Trójkąt AOB– prostokątny, ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.
, ponieważ jest promieniem poprowadzonym do punktu stycznego okręgu. Stąd Z– wysokość trójkąta AOB do przeciwprostokątnej. Następnie AF I BF rzuty nóg na przeciwprostokątną.
Wysokość w trójkąt prostokątny, obniżony do przeciwprostokątnej, jest średnią proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną. 
Wzór na promień okręgu wpisanego w romb przez odcinki jest równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu tych odcinków, na które punkt styczności okręgu dzieli bok rombu