Прво ниво

Координати и вектори. Сеопфатен водич (2019)

Во оваа статија, ќе започнеме да разговараме за едно „магично стапче“ кое ќе ви овозможи да намалите многу геометриски проблеми на едноставна аритметика. Овој „стап“ може многу да ви го олесни животот, особено кога не сте сигурни за градење просторни фигури, делови итн. Сето ова бара одредена имагинација и практични вештини. Методот што ќе почнеме да го разгледуваме овде ќе ви овозможи речиси целосно да се апстрахирате од секаков вид геометриски конструкциии расудување. Методот се нарекува „Координатен метод“. Во оваа статија ќе ги разгледаме следниве прашања:

1. Координатен авион
2. Точки и вектори на рамнината
3. Конструирање на вектор од две точки
4. Векторска должина (растојание помеѓу две точки).
5. Координати на средината на сегментот
6. Скаларен производвектори
7. Агол помеѓу два вектори

Мислам дека веќе погодивте зошто методот на координати се нарекува така? Така е, го доби тоа име затоа што не работи геометриски објекти, и со нив нумерички карактеристики(координати). И самата трансформација, која ни овозможува да преминеме од геометријата во алгебра, се состои во воведување на координатен систем. Ако првобитната фигура била рамна, тогаш координатите се дводимензионални, а ако фигурата е тродимензионална, тогаш координатите се тридимензионални. Во оваа статија ќе го разгледаме само дводимензионалниот случај. И главната цел на статијата е да ве научи како да користите некои основни техникикоординатен метод (некогаш испаѓаат корисни при решавање на проблеми на планиметрија во Дел Б од Обединетиот државен испит). Следните два дела на оваа тема се посветени на дискусија за методите за решавање на проблемите C2 (проблемот на стереометријата).

Каде би било логично да се започне со дискусија за методот на координати? Веројатно од концептот на координатен систем. Запомнете кога првпат се сретнавте со неа. Ми се чини дека во 7 одделение, кога научи за постоењето линеарна функција, На пример. Дозволете ми да ве потсетам дека го изградивте точка по точка. Дали се сеќаваш? Вие избравте произволен број, го замени во формулата и го пресмета на овој начин. На пример, ако, тогаш, ако, тогаш итн. Што добивте на крајот? И добивте поени со координати: и. Потоа, нацртавте „крст“ (координатен систем), избравте скала на неа (колку ќелии ќе имате како единичен сегмент) и ги означивте точките што сте ги добиле на него, кои потоа ги поврзавте со права линија; линијата е графикот на функцијата.

Овде има неколку точки што треба да ви се објаснат малку подетално:

1. Избирате еден сегмент од погодност, за се убаво и компактно да се вклопи во цртежот.

2. Прифатено е дека оската оди од лево кон десно, а оската оди од дното кон врвот

3. Тие се сечат под прав агол, а точката на нивното вкрстување се нарекува почеток. Тоа е означено со буква.

4. При пишувањето на координатите на точката, на пример, лево во загради стои координатата на точката по оската, а десно по оската. Конкретно, тоа едноставно значи дека во точката

5. Со цел да се постави која било точка на координатна оска, треба да ги наведете неговите координати (2 броја)

6. За која било точка што лежи на оската,

7. За која било точка што лежи на оската,

8. Оската се нарекува х-оска

9. Оската се нарекува y-оска

Сега ајде да го направиме тоа со вас следен чекор: Да одбележиме две точки. Ајде да ги поврземе овие две точки со отсечка. И ќе ја ставиме стрелката како да цртаме сегмент од точка до точка: односно, ќе го направиме нашиот сегмент насочен!

Запомнете како се нарекува друг насочен сегмент? Така е, се вика вектор!

Значи, ако поврземе точка со точка, и почетокот ќе биде точка А, а крајот ќе биде точка Б,тогаш добиваме вектор. Оваа конструкција ја правевте и во 8 одделение, се сеќавате?

Излегува дека векторите, како и точките, може да се означат со два броја: овие броеви се нарекуваат векторски координати. Прашање: Дали мислите дека е доволно да ги знаеме координатите на почетокот и крајот на векторот за да ги најдеме неговите координати? Излегува дека да! И ова е направено многу едноставно:

Така, бидејќи во векторот точката е почеток, а точката е крај, векторот ги има следните координати:

На пример, ако, тогаш координатите на векторот

Сега да го направиме спротивното, да ги пронајдеме координатите на векторот. Што треба да промениме за ова? Да, треба да го замените почетокот и крајот: сега почетокот на векторот ќе биде во точката, а крајот ќе биде во точката. Потоа:

Погледнете внимателно, која е разликата помеѓу вектори и? Нивната единствена разлика се знаците во координатите. Тие се спротивни. Овој факт обично се пишува вака:

Понекогаш, ако конкретно не е наведено која точка е почеток на векторот, а која е крај, тогаш векторите се означуваат со повеќе од два со големи букви, и една мала буква, на пример: , итн.

Сега малку вежбањесами и пронајдете ги координатите на следните вектори:

Испитување:

Сега реши малку потежок проблем:

Вектор со почеток во точка има co-or-di-na-you. Најдете ги точките abs-cis-su.

Сеедно е сосема прозаично: Нека се координатите на точката. Потоа

Системот го составив врз основа на дефиницијата што се векторски координати. Тогаш точката има координати. Ние сме заинтересирани за апсцисата. Потоа

Одговор:

Што друго можете да направите со вектори? Да, речиси сè е исто како и со обични броеви(освен што не можете да делите, но можете да множите на два начина, од кои едниот ќе разговараме овде малку подоцна)

1. Векторите може да се додадат еден на друг
2. Векторите може да се одземат еден од друг
3. Векторите може да се помножат (или поделат) со произволен број што не е нула
4. Векторите можат да се множат еден со друг

Сите овие операции имаат многу јасна геометриска претстава. На пример, правилото за триаголник (или паралелограм) за собирање и одземање:

Вектор се протега или се собира или ја менува насоката кога се множи или дели со број:

Меѓутоа, овде ќе не интересира прашањето што се случува со координатите.

1. При собирање (одземање) два вектори, ги додаваме (одземаме) нивните координати елемент по елемент. Тоа е:

2. При множење (делење) на вектор со број, сите негови координати се множат (поделат) со овој број:

На пример:

· Најдете ја количината на ко-ор-ди-нат век-до-ра.

Ајде прво да ги најдеме координатите на секој од векторите. И двајцата имаат исто потекло - точка на потекло. Нивните краеви се различни. Потоа,. Сега да ги пресметаме координатите на векторот.Тогаш збирот на координатите на добиениот вектор е еднаков.

Одговор:

Сега сами решете го следниот проблем:

· Најдете го збирот на векторските координати

Проверуваме:

Ајде сега да го разгледаме следниот проблем: имаме две точки координатна рамнина. Како да се најде растојанието меѓу нив? Нека биде првата точка, а втората. Да го означиме растојанието меѓу нив со. Ајде да го направиме следниот цртеж за јасност:

Што направив? Прво, ги поврзав точките и исто така повлеков линија од точката, паралелно со оската, и од точката нацртав права паралелна на оската. Дали тие се пресекле во точка, формирајќи извонредна фигура? Што е толку посебно за неа? Да, јас и ти знаеме скоро сè правоаголен триаголник. Па, Питагоровата теорема сигурно. Потребниот сегмент е хипотенузата на овој триаголник, а отсечките се катетите. Кои се координатите на точката? Да, тие се лесно да се најдат од сликата: Бидејќи отсечките се паралелни со оските и, соодветно, лесно се наоѓаат нивните должини: ако должините на отсечките ги означуваме со, соодветно, тогаш

Сега да ја користиме Питагоровата теорема. Ги знаеме должините на нозете, ќе ја најдеме хипотенузата:

Така, растојанието помеѓу две точки е коренот на збирот на квадратните разлики од координатите. Или - растојанието помеѓу две точки е должината на сегментот што ги поврзува. Лесно е да се види дека растојанието помеѓу точките не зависи од насоката. Потоа:

Од тука извлекуваме три заклучоци:

Ајде да вежбаме малку за пресметување на растојанието помеѓу две точки:

На пример, ако, тогаш растојанието помеѓу и е еднакво на

Или да одиме на друг начин: најдете ги координатите на векторот

И пронајдете ја должината на векторот:

Како што можете да видите, тоа е истото!

Сега вежбајте малку сами:

Задача: најдете го растојанието помеѓу наведените точки:

Проверуваме:

Еве уште неколку проблеми со користење на истата формула, иако звучат малку поинаку:

1. Најдете го квадратот на должината на очниот капак.

2. Најдете го квадратот на должината на очниот капак

Мислам дека се справивте со нив без тешкотии? Проверуваме:

1. И ова е за внимание) Координатите на векторите веќе ги најдовме порано: . Тогаш векторот има координати. Квадратот на неговата должина ќе биде еднаков на:

2. Најдете ги координатите на векторот

Тогаш квадратот на неговата должина е

Ништо комплицирано, нели? Едноставна аритметика, ништо повеќе.

Следниве проблеми не можат да се класифицираат недвосмислено; тие се повеќе за општата ерудиција и способноста за цртање едноставни слики.

1. Најдете го синусот на аголот од сечењето, поврзувајќи ја точката, со оската на апсцисата.

И

Како ќе продолжиме овде? Треба да го најдеме синусот на аголот помеѓу и оската. Каде можеме да бараме синус? Така е, во правоаголен триаголник. Значи, што треба да правиме? Изградете го овој триаголник!

Бидејќи координатите на точката се и, тогаш отсечката е еднаква на, и отсечката. Треба да го најдеме синусот на аголот. Да ве потсетам дека синусот е сооднос спротивна ногадо хипотенузата, тогаш

Што ни останува да направиме? Најдете ја хипотенузата. Можете да го направите ова на два начина: користејќи ја Питагоровата теорема (нозете се познати!) или користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки (всушност, исто како и првиот метод!). Ќе одам по вториот пат:

Одговор:

Следната задача ќе ви изгледа уште полесна. Таа е на координатите на точката.

Задача 2.Од точката per-pen-di-ku-lyar се спушта на оската ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Ајде да направиме цртеж:

Основата на нормалната е точката во која ја сече оската x (оската), за мене ова е точка. На сликата се гледа дека има координати: . Ние сме заинтересирани за апсцисата - односно компонентата „x“. Таа е еднаква.

Одговор: .

Задача 3.Во услови на претходната задача, најдете го збирот на растојанијата од точката до координатните оски.

Задачата е генерално елементарна ако знаете колку е растојанието од точка до оските. Знаеш? Се надевам, но сепак ќе ве потсетам:

Значи, на мојот цртеж веднаш погоре, дали веќе нацртав една таква нормална? На која оска е? До оската. И колкава е неговата должина тогаш? Таа е еднаква. Сега сами нацртајте нормална на оската и пронајдете ја нејзината должина. Ќе биде еднакво, нели? Тогаш нивниот збир е еднаков.

Одговор: .

Задача 4.Во услови на задача 2, најдете ја ординатата на точката, симетрична точкаво однос на оската на апсцисата.

Мислам дека интуитивно ти е јасно што е симетрија? Многу предмети го имаат: многу згради, маси, авиони, многу геометриски форми: топка, цилиндар, квадрат, ромб итн. Грубо кажано, симетријата може да се разбере на следниов начин: фигурата се состои од две (или повеќе) идентични половини. Оваа симетрија се нарекува аксијална симетрија. Што е тогаш оска? Ова е токму линијата по која фигурата може, релативно кажано, да се „пресече“ на еднакви половини (на оваа слика оската на симетријата е права):

Сега да се вратиме на нашата задача. Знаеме дека бараме точка која е симетрична во однос на оската. Тогаш оваа оска е оската на симетрија. Тоа значи дека треба да означиме точка така што оската ќе го пресече сегментот на два еднакви дела. Обидете се сами да означите таква точка. Сега споредете со моето решение:

Дали ти успеа на ист начин? Добро! Ние сме заинтересирани за ординатата на пронајдената точка. Тоа е еднакво

Одговор:

Сега кажи ми, откако ќе размислам неколку секунди, колкава ќе биде апсцисата на точката симетрична на точката А во однос на ординатата? Кој е вашиот одговор? Точен одговор: .

ВО општ случајправилото може да се напише вака:

Точка симетрична на точка во однос на оската на апсцисата ги има координатите:

Точка симетрична на точка во однос на оската на ординатите има координати:

Па, сега е сосема страшно задача: најдете координати на точка симетрична на точката во однос на потеклото. Прво размислете сами, а потоа погледнете го мојот цртеж!

Одговор:

Сега проблем на паралелограм:

Задача 5: Точките се појавуваат вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.

Овој проблем можете да го решите на два начина: логика и метод на координати. Прво ќе го користам методот на координати, а потоа ќе ви кажам како можете да го решите поинаку.

Сосема е јасно дека апсцисата на точката е еднаква. (тоа лежи на нормалната нацртана од точката до оската на апсцисата). Треба да ја најдеме ординатата. Ајде да го искористиме фактот дека нашата фигура е паралелограм, тоа значи. Ајде да ја најдеме должината на отсечката користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки:

Ние го спуштаме нормалното поврзување на точката со оската. Пресечната точка ќе ја означам со буква.

Должината на сегментот е еднаква. (најдете го проблемот сами каде што разговаравме за оваа точка), тогаш ќе ја најдеме должината на сегментот користејќи ја Питагоровата теорема:

Должината на отсечката точно се совпаѓа со нејзината ордината.

Одговор: .

Друго решение (само ќе дадам слика што го илустрира тоа)

Напредокот на решението:

1. Спроведување

2. Најдете ги координатите на точката и должината

3. Докажете го тоа.

Друг проблем со должина на сегментот:

Точките се појавуваат на врвот на триаголникот. Најдете ја должината на нејзината средна линија, паралелна.

Дали се сеќавате што е тоа средна линијатријаголник? Тогаш оваа задача е елементарна за вас. Ако не се сеќавате, тогаш ќе ве потсетам: средната линија на триаголникот е линијата што ги поврзува средните точки спротивни страни. Таа е паралелна со основата и еднаква на половина од неа.

Основата е сегмент. Должината требаше да ја бараме порано, еднаква е. Тогаш должината на средната линија е половина поголема и еднаква.

Одговор: .

Коментар: овој проблем може да се реши на друг начин, на кој ќе се осврнеме малку подоцна.

Во меѓувреме, еве неколку проблеми за вас, вежбајте на нив, тие се многу едноставни, но ви помагаат да се подобрите во користењето на методот на координати!

1. Точките се врвот на тра-пе-циите. Најдете ја должината на нејзината средна линија.

2. Поени и појави вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.

3. Најдете ја должината од сечењето, поврзувајќи ја точката и

4. Најдете ја областа зад обоената фигура на координативната рамнина.

5. Низ точката поминува круг со центар во na-cha-le ko-or-di-nat. Најди ја ра-ди-нас.

6. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за прав-агол-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или -ди-на-толку си одговорен.

Решенија:

1. Познато е дека средната линија на трапезот е еднаква на половина од збирот на неговите основи. Основата е еднаква, а основата. Потоа

Одговор:

2. Најлесен начин да се реши овој проблем е да се забележи тоа (паралелограм правило). Пресметувањето на координатите на векторите не е тешко: . Кога се собираат вектори, се додаваат координатите. Потоа има координати. Точката исто така ги има овие координати, бидејќи потеклото на векторот е точката со координатите. Ние сме заинтересирани за ординатата. Таа е еднаква.

Одговор:

3. Веднаш постапуваме според формулата за растојание помеѓу две точки:

Одговор:

4. Погледни ја сликата и кажи ми меѓу кои две фигури се наоѓа засенчената област? Сендвич е помеѓу два квадрати. Тогаш површината на саканата фигура е еднаква на површината на големиот квадрат минус плоштината на малиот. Страна мал плоштаде отсечка што поврзува точки и Неговата должина е

Тогаш површината на малиот плоштад е

Ние го правиме истото со голем плоштад: неговата страна е отсечка што ги поврзува точките и Неговата должина е

Тогаш површината на големиот плоштад е

Ја наоѓаме областа на саканата фигура користејќи ја формулата:

Одговор:

5. Ако кругот го има потеклото како центар и минува низ точка, тогаш неговиот радиус ќе биде точно еднаква на должинатасегмент (направете цртеж и ќе разберете зошто е тоа очигледно). Ајде да ја најдеме должината на овој сегмент:

Одговор:

6. Познато е дека радиусот на кругот опкружен со правоаголник еднаква на половинанеговите дијагонали. Ајде да ја најдеме должината на која било од двете дијагонали (на крајот на краиштата, во правоаголник тие се еднакви!)

Одговор:

Па, дали се справивте со се? Не беше многу тешко да се сфати, нели? Тука има само едно правило - бидете во можност да направите визуелна слика и едноставно да ги „прочитате“ сите податоци од неа.

Ни остана многу малку. Има буквално уште две точки за кои би сакал да разговарам.

Ајде да се обидеме да го решиме овој едноставен проблем. Дозволете два поени и се дадени. Најдете ги координатите на средната точка на отсечката. Решението за овој проблем е следново: нека точката е посакуваната средина, тогаш таа има координати:

Тоа е: координати на средината на отсечката = аритметичка средина на соодветните координати на краевите на отсечката.

Ова правило е многу едноставно и обично не предизвикува потешкотии за учениците. Ајде да видиме во какви проблеми и како се користи:

1. Најди-ди-те или-ди-на-ту се-ре-ди-ни од-сече, поврзи-точка и

2. Се чини дека бодовите се врвот на светот. Најди-ди-те или-ди-на-ту поени пер-ре-се-че-нија на неговата дија-го-на-леј.

3. Најди-ди-те апс-цис-су центарот на кругот, опише-сан-ној за правоаголното-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или-ди-на-ти така-одговорно-но.

Решенија:

1. Првиот проблем е едноставно класичен. Продолжуваме веднаш да ја одредиме средината на сегментот. Има координати. Ординатата е еднаква.

Одговор:

2. Лесно е да се види дека овој четириаголник е паралелограм (дури и ромб!). Можете да го докажете тоа сами со пресметување на должините на страните и споредувајќи ги едни со други. Што знам за паралелограмите? Неговите дијагонали се поделени на половина со точката на пресек! Да! Значи, која е точката на пресек на дијагоналите? Ова е средината на која било од дијагоналите! Ќе изберам, особено, дијагоналата. Тогаш точката има координати Ординатата на точката е еднаква на.

Одговор:

3. Со што се совпаѓа центарот на кругот опишан околу правоаголникот? Се совпаѓа со пресечната точка на неговите дијагонали. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот? Тие се еднакви и точката на пресек ги дели на половина. Задачата беше сведена на претходната. Да ја земеме, на пример, дијагоналата. Тогаш, ако е центарот на кружниот круг, тогаш е средната точка. Барам координати: Апсцисата е еднаква.

Одговор:

Сега вежбајте малку сами, само ќе ги дадам одговорите на секој проблем за да можете да се тестирате.

1. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за триаголникот-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-ор-ди -нема господари

2. Најдете-ди-те или-ди-на-оној центар на кругот, опишете-сан-ној за триаголникот-но-ка, чии врвови имаат координати

3. Каква ра-ди-у-са треба да има круг со центар во точка така што ќе ја допира оската ab-ciss?

4. Најди-ди-тие или-ди-на-таа точка на повторно пресекување на оската и од-пресечете, поврзете ја-точката и

Одговори:

Дали сè беше успешно? Навистина се надевам на тоа! Сега - последниот притисок. Сега бидете особено внимателни. Материјалот што сега ќе го објаснам е директно поврзан не само со едноставни проблеми на методот на координати од Дел Б, туку се наоѓа и насекаде во задачата C2.

Кое од моите ветувања сè уште не сум го исполнил? Запомнете кои операции на вектори ветив дека ќе ги воведам и кои на крајот ги воведов? Дали си сигурен дека ништо не заборавив? Заборави! Заборавив да објаснам што значи векторско множење.

Постојат два начина да се множи вектор со вектор. Во зависност од избраниот метод, ќе добиеме предмети од различна природа:

Вкрстениот производ е направен доста паметно. Како да го направиме тоа и зошто е потребно, ќе разговараме во следната статија. И во овој ќе се фокусираме на скаларниот производ.

Постојат два начини кои ни овозможуваат да го пресметаме:

Како што претпоставувате, резултатот треба да биде ист! Значи, прво да го погледнеме првиот метод:

Точка производ преку координати

Најдете: - општо прифатена нотација за скаларен производ

Формулата за пресметка е како што следува:

Односно скаларниот производ = збирот на производите на векторските координати!

Пример:

Најди-ди-те

Решение:

Ајде да ги најдеме координатите на секој од векторите:

Ние го пресметуваме скаларниот производ користејќи ја формулата:

Одговор:

Видете, апсолутно ништо комплицирано!

Па, сега пробајте сами:

· Најдете скаларен про-из-ве-де-ние од векови и

Дали се снајде? Можеби забележавте мал улов? Ајде да провериме:

Векторски координати како во последна задача! Одговор:.

Покрај координатниот, постои уште еден начин за пресметување на скаларниот производ, имено, преку должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив:

Го означува аголот помеѓу векторите и.

Односно, скаларниот производ е еднаков на производот од должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив.

Зошто ни е потребна оваа втора формула, ако ја имаме првата, која е многу поедноставна, барем во неа нема косинуси. И тоа е потребно за од првата и втората формула да можеме јас и ти да заклучиме како да го најдеме аголот помеѓу векторите!

Нека Потоа запомнете ја формулата за должината на векторот!

Потоа, ако ги заменам овие податоци во формулата за скаларен производ, добивам:

Но, на друг начин:

Па, што добивме јас и ти? Сега имаме формула која ни овозможува да го пресметаме аголот помеѓу два вектори! Понекогаш за кратко се пишува и вака:

Односно, алгоритмот за пресметување на аголот помеѓу векторите е како што следува:

1. Пресметајте го скаларниот производ преку координати
2. Најдете ги должините на векторите и помножете ги
3. Поделете го резултатот од точка 1 со резултатот од точка 2

Ајде да вежбаме со примери:

1. Најдете го аголот помеѓу очните капаци и. Дајте го одговорот во град-ду-сах.

2. Во услови на претходната задача, најди го косинусот меѓу векторите

Ајде да го направиме ова: ќе ти помогнам да го решиш првиот проблем, а вториот обиди се да го направиш самиот! Се согласувате? Тогаш да почнеме!

1. Овие вектори се нашите стари пријатели. Веќе го пресметавме нивниот скаларен производ и беше еднаков. Нивните координати се: , . Потоа ги наоѓаме нивните должини:

Потоа го бараме косинусот помеѓу векторите:

Колку изнесува косинусот на аголот? Ова е аголот.

Одговор:

Па, сега сами решете го вториот проблем, па споредете! Ќе дадам само едно многу кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е аголот помеѓу векторите и тогаш

Одговор:

Треба да се забележи дека проблемите директно на вектори и методот на координати во делот Б испитен труддоста ретко. Сепак, огромното мнозинство на C2 проблеми може лесно да се решат со воведување на координатен систем. Така, оваа статија можете да ја сметате за основата врз основа на која ќе направиме доста паметни конструкции што ќе треба да ги решиме сложени задачи.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Јас и ти продолжуваме да го проучуваме методот на координати. Во последниот дел изведовме серија важни формули, кои дозволуваат:

1. Најдете векторски координати
2. Најдете ја должината на векторот (алтернативно: растојанието помеѓу две точки)
3. Додавање и одземање вектори. Помножете ги со реален број
4. Најдете ја средната точка на отсечката
5. Пресметај производ на точки на вектори
6. Најдете го аголот помеѓу векторите

Се разбира, целиот координатен метод не се вклопува во овие 6 точки. Таа лежи во основата на таквата наука како аналитичката геометрија, со која ќе се запознаете на универзитет. Само сакам да изградам основа која ќе ви овозможи да ги решавате проблемите во една држава. испит. Се занимававме со задачите од делот Б. Сега е време да преминеме на висококвалитетно ново ниво! Оваа статија ќе биде посветена на метод за решавање на оние C2 проблеми во кои би било разумно да се префрли на методот на координати. Оваа разумност се одредува според тоа што се бара да се најде во проблемот и која бројка е дадена. Значи, би го користел координатниот метод ако прашањата се:

1. Најдете го аголот помеѓу две рамнини
2. Најдете го аголот помеѓу права линија и рамнина
3. Најдете го аголот помеѓу две прави линии
4. Најдете го растојанието од точка до рамнина
5. Најдете го растојанието од точка до права
6. Најдете го растојанието од права линија до рамнина
7. Најдете го растојанието помеѓу две линии

Ако фигурата дадена во изјавата за проблемот е тело на ротација (топче, цилиндар, конус...)

Соодветни бројки за координатен метод се:

1. Правоаголен паралелепипед
2. Пирамида (триаголна, четириаголна, шестоаголна)

Исто така од моето искуство несоодветно е да се користи методот на координати за:

1. Наоѓање области на попречни пресек
2. Пресметка на волумени на тела

Сепак, веднаш треба да се забележи дека трите „неповолни“ ситуации за координатниот метод се доста ретки во пракса. Во повеќето задачи, може да стане ваш спасител, особено ако не сте многу добри во тродимензионалните конструкции (кои понекогаш знаат да бидат прилично сложени).

Кои се сите бројки што ги наведов погоре? Тие веќе не се рамни, како, на пример, квадрат, триаголник, круг, туку обемни! Соодветно на тоа, треба да разгледаме не дводимензионален, туку тридимензионален координатен систем. Сосема е лесно да се конструира: само покрај оската на апсцисата и ординатите, ќе воведеме уште една оска, апликативната оска. Сликата шематски ја прикажува нивната релативна положба:

Сите тие се меѓусебно нормални и се сечат во една точка, која ќе ја наречеме потекло на координатите. Како и досега, ќе ја означиме оската на апсцисата, оската на ординатите - и воведената апликативна оска - .

Ако претходно секоја точка на рамнината се карактеризирала со два броја - апсциса и ордината, тогаш секоја точка во просторот е веќе опишана со три броја - апсциса, ордината и апликативна. На пример:

Според тоа, апсцисата на точката е еднаква, ординатата е , а апликативната е .

Понекогаш апсцисата на точка се нарекува и проекција на точка на оската на апсцисата, ординатата - проекција на точка на оската на ординатите, а апликативната - проекција на точка на апликативната оска. Според тоа, ако е дадена точка, тогаш точка со координати:

наречена проекција на точка на рамнина

наречена проекција на точка на рамнина

Се поставува природно прашање: дали сите формули изведени за дводимензионалниот случај важат во просторот? Одговорот е да, тие се фер и имаат ист изглед. За мал детал. Мислам дека веќе погодивте која е. Во сите формули ќе треба да додадеме уште еден термин одговорен за апликативната оска. Имено.

1. Ако се дадени две точки: , тогаш:

• Векторски координати:
• Растојание помеѓу две точки (или векторска должина)
• Средината на отсечката има координати

2. Ако се дадени два вектори: и, тогаш:

• Нивниот скаларен производ е еднаков на:
• Косинусот на аголот помеѓу векторите е еднаков на:

Сепак, просторот не е толку едноставен. Како што разбирате, додавањето на уште една координата внесува значителна разновидност во спектарот на фигури кои „живеат“ во овој простор. А за понатамошно раскажување ќе треба да воведам некоја, грубо кажано, „генерализација“ на правата линија. Оваа „генерализација“ ќе биде рамнина. Што знаете за авионот? Обидете се да одговорите на прашањето што е авион? Многу е тешко да се каже. Сепак, сите ние интуитивно замислуваме како тоа изгледа:

Грубо кажано, ова е еден вид бескраен „чаршаф“ заглавен во вселената. „Бесконечност“ треба да се разбере дека рамнината се протега во сите правци, односно неговата површина е еднаква на бесконечноста. Сепак, ова „практично“ објаснување не дава ни најмала идеја за структурата на авионот. И токму таа ќе биде заинтересирана за нас.

Да се ​​потсетиме на една од основните аксиоми на геометријата:

• во два различни точкиима права линија на авионот и само една:

Или неговиот аналог во вселената:

Се разбира, се сеќавате како да ја изведете равенката на правата од две дадени точки; тоа не е воопшто тешко: ако првата точка има координати: а втората, тогаш равенката на правата ќе биде како што следува:

Го земавте ова во 7 одделение. Во просторот, равенката на правата изгледа вака: да ни бидат дадени две точки со координати: , тогаш равенката на правата што минува низ нив има форма:

На пример, линија поминува низ точки:

Како треба да се разбере ова? Ова треба да се сфати на следниов начин: точка лежи на права ако нејзините координати го задоволуваат следниов систем:

Нема да бидеме многу заинтересирани за равенката на линијата, но треба да обрнеме внимание на самото важен концептнасочувачки вектор права линија. - кој било вектор кој не е нула што лежи на дадена права или паралелна со неа.

На пример, двата вектори се вектори на насока на права линија. Нека е точка која лежи на права и нека е нејзиниот вектор на насока. Тогаш равенката на линијата може да се напише во следнава форма:

Уште еднаш, нема да ме интересира многу равенката на права линија, но навистина ми треба да запомните што е векторот на насока! Повторно: ова е СЕКОЈ не-нулта вектор што лежи на права или паралелна со неа.

Повлечете равенка на рамнина заснована на три дадени точкиповеќе не е толку тривијално, и обично ова прашање не се решава во текот средно школо. Но, залудно! Оваа техника е од витално значење кога прибегнуваме кон координатен метод за решавање на сложени проблеми. Сепак, претпоставувам дека сте желни да научите нешто ново? Покрај тоа, ќе можете да го импресионирате вашиот наставник на универзитетот кога ќе се покаже дека веќе можете да ја користите техниката што обично се изучува на курсот аналитичка геометрија. Па ајде да започнеме.

Равенката на рамнината не се разликува премногу од равенката на права линија на рамнина, имено, има форма:

некои бројки (не сите еднаква на нула), и променливи, на пример: итн. Како што можете да видите, равенката на рамнината не се разликува многу од равенката на права линија (линеарна функција). Сепак, се сеќаваш што се расправавме јас и ти? Рековме дека ако имаме три точки кои не лежат на иста линија, тогаш равенката на рамнината може уникатно да се реконструира од нив. Но како? Ќе се обидам да ти објаснам.

Бидејќи равенката на рамнината е:

И точките припаѓаат на оваа рамнина, тогаш кога ги заменуваме координатите на секоја точка во равенката на рамнината треба да го добиеме точниот идентитет:

Така, има потреба да се решат три равенки со непознати! Дилема! Сепак, секогаш можете да претпоставите дека (за да го направите ова треба да се подели со). Така, добиваме три равенки со три непознати:

Сепак, ние нема да решиме таков систем, туку ќе го испишеме мистериозниот израз што следи од него:

Равенка на рамнина што минува низ три дадени точки

\[\лево| (\begin(низа)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(низа)) \десно| = 0\]

Стоп! Што е ова? Некој многу необичен модул! Меѓутоа, објектот што го гледате пред вас нема никаква врска со модулот. Овој објект се нарекува детерминанта од трет ред. Отсега натаму, кога се занимавате со методот на координати на рамнина, многу често ќе се сретнете со истите тие детерминанти. Што е детерминанта од трет ред? Доволно чудно, тоа е само бројка. Останува да разбереме која конкретна бројка ќе ја споредиме со детерминантата.

Ајде прво да ја напишеме детерминантата од трет ред во повеќе општ поглед:

Каде се некои бројки. Притоа, под прв индекс го мислиме бројот на редот, а под индекс го мислиме бројот на колоната. На пример, тоа значи даден бројстои на пресекот на вториот ред и третата колона. Ајде да го облечеме следно прашање: Како точно ќе пресметаме ваква детерминанта? Односно, која конкретна бројка ќе споредиме со неа? За детерминантата од трет ред постои правило за хеуристичко (визуелно) триаголник, изгледа како на следниот начин:

1. Производот на елементите од главната дијагонала (од горниот лев агол до долниот десен) производот од елементите што го формираат првиот триаголник „нормален“ на главната дијагонала, производот од елементите што го формираат вториот триаголник „нормален“ на главна дијагонала
2. Производот на елементите на секундарната дијагонала (од горниот десен агол до долниот лев агол) производот од елементите што го формираат првиот триаголник „нормален“ на секундарната дијагонала, производот од елементите што го формираат вториот триаголник „нормален“ на секундарна дијагонала
3. Тогаш детерминантата е еднаква на разликата помеѓу вредностите добиени на чекорот и

Ако сето ова го запишеме во бројки, ќе го добиеме следниот израз:

Сепак, не треба да се сеќавате на начинот на пресметување во оваа форма; доволно е само да ги задржите во главата триаголниците и самата идеја за тоа што се собира на што и што потоа се одзема од што).

Ајде да го илустрираме методот на триаголник со пример:

1. Пресметај ја детерминантата:

Ајде да откриеме што додаваме, а што одземаме:

Услови кои доаѓаат со плус:

Ова е главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Првиот триаголник, „нормален на главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Втор триаголник, „нормален на главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Соберете три броја:

Услови кои доаѓаат со минус

Ова е странична дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Првиот триаголник, „нормален на секундарната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Вториот триаголник, „нормален на секундарната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Соберете три броја:

Сè што останува да се направи е да се одземе збирот на членовите „плус“ од збирот на членовите „минус“:

Така,

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано или натприродно во пресметувањето на детерминантите од трет ред. Важно е само да запомните за триаголниците и да не дозволите аритметички грешки. Сега обидете се сами да го пресметате:

Проверуваме:

1. Првиот триаголник нормално на главната дијагонала:
2. Втор триаголник нормално на главната дијагонала:
3. Збир на термини со плус:
4. Првиот триаголник нормално на секундарната дијагонала:
5. Втор триаголник нормално на страничната дијагонала:
6. Збир на термини со минус:
7. Збирот на членовите со плус минус збирот на членовите со минус:

Еве уште неколку детерминанти, пресметајте ги самите нивните вредности и споредете ги со одговорите:

Одговори:

Па, дали сè се совпадна? Одлично, тогаш можете да продолжите понатаму! Ако има потешкотии, тогаш мојот совет е ова: на Интернет има многу програми за пресметување на детерминантата онлајн. Сè што ви треба е да смислите своја детерминанта, да ја пресметате сами, а потоа да ја споредите со она што го пресметува програмата. И така натаму додека резултатите не почнат да се совпаѓаат. Сигурен сум дека овој момент нема да потрае многу за да дојде!

Сега да се вратиме на детерминантата што ја напишав кога зборував за равенката на рамнина што минува низ три дадени точки:

Сè што ви треба е директно да ја пресметате неговата вредност (со методот на триаголник) и да го поставите резултатот на нула. Секако, бидејќи тоа се променливи, ќе добиете израз што зависи од нив. Токму овој израз ќе биде равенката на рамнината што минува низ три дадени точки кои не лежат на иста права линија!

Ајде да го илустрираме ова со едноставен пример:

1. Конструирај ја равенката на рамнина што минува низ точките

Ние составуваме детерминанта за овие три точки:

Ајде да поедноставиме:

Сега го пресметуваме директно користејќи го правилото триаголник:

\[(\лево| (\почеток(низа)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\крај (низа)) \ десно| = \лево((x + 3) \десно) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \десно) + \лево((y - 2) \десно) \cточка 5 \cточка 6 - )\]

Така, равенката на рамнината што минува низ точките е:

Сега обидете се сами да решите еден проблем, а потоа ќе разговараме за тоа:

2. Најдете ја равенката на рамнината што минува низ точките

Па, ајде сега да разговараме за решението:

Ајде да создадеме детерминанта:

И пресметајте ја неговата вредност:

Тогаш равенката на рамнината има форма:

Или, намалувајќи се за, добиваме:

Сега две задачи за самоконтрола:

1. Конструирај ја равенката на рамнина што минува низ три точки:

Одговори:

Дали сè се совпадна? Повторно, ако има одредени потешкотии, тогаш мојот совет е овој: земете три поени од вашата глава (со во голема мерашансите се дека нема да лежат на иста права линија), ќе изградите авион врз основа на нив. А потоа се проверуваш на интернет. На пример, на страницата:

Меѓутоа, со помош на детерминанти ќе ја конструираме не само равенката на рамнината. Запомнете, ви реков дека не само производ со точки е дефиниран за вектори. Постои и векторски производ, како и мешан производ. И ако скаларниот производ на два вектори е број, тогаш векторскиот производ на два вектори ќе биде вектор, а овој вектор ќе биде нормален на дадените:

Згора на тоа, неговиот модул ќе биде еднаква на површинапаралелограм конструиран на вектори и. Овој векторЌе ни треба за да го пресметаме растојанието од точка до права. Како можеме да броиме? векторски производвектори и, ако се дадени нивните координати? Повторно ни доаѓа на помош одредницата од трет ред. Меѓутоа, пред да преминам на алгоритмот за пресметување на векторскиот производ, морам да направам мала дигресија.

Оваа дигресија се однесува на основните вектори.

Тие се прикажани шематски на сликата:

Зошто мислиш дека се нарекуваат основни? Факт е дека:

Или на сликата:

Валидноста на оваа формула е очигледна, бидејќи:

Векторски уметнички дела

Сега можам да започнам со воведување на вкрстен производ:

Векторскиот производ на два вектори е вектор, кој се пресметува според следново правило:

Сега да дадеме неколку примери за пресметување на вкрстен производ:

Пример 1: Најдете го вкрстениот производ на вектори:

Решение: Составувам детерминанта:

И јас го пресметам:

Сега од пишувањето преку основни вектори, ќе се вратам на вообичаената векторска нотација:

Така:

Сега пробајте го.

Подготвени? Проверуваме:

И традиционално два задачи за контрола:

1. Најдете го векторскиот производ на следните вектори:
2. Најдете го векторскиот производ на следните вектори:

Одговори:

Мешан производ од три вектори

Последната конструкција што ќе ми треба е измешаниот производ од три вектори. Тоа, како скалар, е бројка. Постојат два начина да се пресмета. - преку детерминанта, - преку мешан производ.

Имено, да ни бидат дадени три вектори:

Тогаш измешаниот производ на три вектори, означен со, може да се пресмета како:

1. - односно мешаниот производ е скаларен производ на вектор и векторски производ на два други вектори

На пример, мешаниот производ на три вектори е:

Обидете се сами да го пресметате користејќи го векторскиот производ и уверете се дека резултатите се совпаѓаат!

И повторно - два примери за независна одлука:

Одговори:

Избор на координатен систем

Па, сега ги имаме сите потребни основи на знаење за решавање на сложени стереометриски геометриски проблеми. Сепак, пред да се продолжи директно на примери и алгоритми за нивно решавање, верувам дека ќе биде корисно да се задржиме на следното прашање: како точно изберете координатен систем за одредена фигура.На крајот на краиштата, тоа е изборот релативна положбакоординатни системи и форми во вселената на крајот ќе одредат колку ќе бидат незгодни пресметките.

Дозволете ми да ве потсетам дека во овој дел ги разгледуваме следните бројки:

1. Правоаголен паралелепипед
2. Права призма (триаголна, шестоаголна...)
3. Пирамида (триаголна, четириаголна)
4. Тетраедар (исто како триаголна пирамида)

За правоаголен паралелепипед или коцка, ви ја препорачувам следната конструкција:

Тоа е, ќе ја поставам фигурата „во аголот“. Коцката и паралелепипедот се многу добри фигури. За нив, секогаш можете лесно да ги најдете координатите на нејзините темиња. На пример, ако (како што е прикажано на сликата)

тогаш координатите на темињата се следни:

Се разбира, не треба да го запомните ова, но запомнете како најдобро да ја поставите коцката или кубоид- пожелно.

Права призма

Призмата е поштетна фигура. Може да се позиционира во вселената на различни начини. Сепак, следнава опција ми се чини најприфатлива:

Триаголна призма:

Односно, една од страните на триаголникот ја поставуваме целосно на оската, а едно од темињата се совпаѓа со потеклото на координатите.

Шестоаголна призма:

Тоа е, едно од темињата се совпаѓа со потеклото, а едната од страните лежи на оската.

Четириаголна и шестоаголна пирамида:

Ситуацијата е слична на коцка: порамнуваме две страни од основата со координатните оски, а едно од темињата порамнуваме со потеклото на координатите. Единствената мала тешкотија ќе биде да се пресметаат координатите на точката.

За хексагонална пирамида - исто како и за шестоаголна призма. Главната задача повторно ќе биде да се најдат координатите на темето.

Тетраедар (триаголна пирамида)

Ситуацијата е многу слична на онаа што ја дадов за триаголна призма: едно теме се совпаѓа со потеклото, едната страна лежи на координатната оска.

Па, сега ти и јас сме конечно блиску до почеток да ги решаваме проблемите. Од она што го кажав на самиот почеток на статијата, можете да го извлечете следниот заклучок: повеќето проблеми C2 се поделени во 2 категории: проблеми со агол и проблеми со растојание. Прво, ќе ги разгледаме проблемите за наоѓање агол. Тие за возврат се поделени во следните категории (како што се зголемува сложеноста):

Проблеми за наоѓање агли

1. Наоѓање на аголот помеѓу две прави линии
2. Наоѓање на аголот помеѓу две рамнини

Да ги погледнеме овие проблеми последователно: да започнеме со наоѓање на аголот помеѓу две прави линии. Па, запомнете, зарем јас и ти не одлучивме? слични примерипорано? Се сеќавате ли, веќе имавме нешто слично... Го баравме аголот помеѓу два вектори. Да ве потсетам, ако се дадени два вектори: и, тогаш аголот меѓу нив се наоѓа од релацијата:

Сега нашата цел е да го најдеме аголот помеѓу две прави линии. Ајде да ја погледнеме „рамната слика“:

Колку агли добивме кога се сечат две прави? Само неколку работи. Точно, само две од нив не се еднакви, додека другите се вертикални на нив (и затоа се совпаѓаат со нив). Значи, кој агол треба да го разгледаме аголот помеѓу две прави: или? Еве го правилото: аголот помеѓу две прави секогаш не е поголем од степени. Односно, од два агли секогаш ќе го избираме аголот со најмал степен мерка. Односно, на оваа слика аголот помеѓу две прави линии е еднаков. За да не се мачат секој пат со наоѓање на најмалиот од двата агли, лукавите математичари предложија користење на модул. Така, аголот помеѓу две прави линии се одредува со формулата:

Вие, како внимателен читател, требаше да имате прашање: каде точно ги добиваме истите бројки што ни се потребни за да го пресметаме косинусот на аголот? Одговор: ќе ги земеме од векторите на насоката на правите! Така, алгоритмот за наоѓање на аголот помеѓу две прави е како што следува:

1. Ја применуваме формулата 1.

Или подетално:

1. Ги бараме координатите на векторот на насоката на првата права линија
2. Ги бараме координатите на векторот на насоката на втората права линија
3. Го пресметуваме модулот на нивниот скаларен производ
4. Ја бараме должината на првиот вектор
5. Ја бараме должината на вториот вектор
6. Помножете ги резултатите од точка 4 со резултатите од точка 5
7. Резултатот од точката 3 го делиме со резултатот од точката 6. Добиваме косинус на аголот помеѓу правите
8. Ако овој резултатви овозможува прецизно да го пресметате аголот, побарајте го
9. Во спротивно пишуваме преку лак косинус

Па, сега е време да се префрлиме на проблемите: ќе го покажам решението за првите два детално, ќе го претставам решението на друго во накратко, а за последните два проблема ќе дадам само одговори, мора сами да ги извршите сите пресметки за нив.

Задачи:

1. Во десната тет-ра-ед-ре, пронајдете го аголот помеѓу висината на тет-ра-ед-ра и средната страна.

2. Во десниот шестаголник пи-ра-ми-де, стоте ос-но-ва-нија се еднакви, а страничните рабови се еднакви, пронајдете го аголот помеѓу линиите и.

3. Должините на сите рабови на десниот четиријаглен пи-ра-ми-ди се еднакви една со друга. Најди го аголот меѓу правите линии и ако од рез - ти си со дадениот пи-ра-ми-ди, точката е се-ре-ди-на неговите бо-ко- втори ребра.

4. На работ на коцката има точка така што Најди го аголот помеѓу правите и

5. Точка - на рабовите на коцката Најдете го аголот помеѓу правите линии и.

Не случајно ги подредив задачите по овој редослед. Додека сè уште не сте почнале да се движите по методот на координати, јас сам ќе ги анализирам најпроблематичните бројки и ќе ве оставам да се справите со наједноставната коцка! Постепено ќе треба да научите како да работите со сите фигури; јас ќе ја зголемувам сложеноста на задачите од тема до тема.

Да почнеме да ги решаваме проблемите:

1. Нацртајте тетраедар, ставете го во координатен систем како што предложив претходно. Бидејќи тетраедарот е правилен, тогаш сите негови лица (вклучувајќи ја и основата) се правилни триаголници. Бидејќи не ни е дадена должината на страната, можам да земам дека е еднаква. Мислам дека разбирате дека аголот всушност нема да зависи од тоа колку нашиот тетраедар е „испружен“?. Ќе ги нацртам и висината и медијаната во тетраедарот. Попатно ќе ја нацртам неговата основа (исто така ќе ни биде од корист).

Треба да го најдам аголот помеѓу и. Што знаеме? Ја знаеме само координатата на точката. Тоа значи дека треба да ги најдеме координатите на точките. Сега мислиме: точка е точката на пресек на надморските височини (или симетрали или средни) на триаголникот. И точка е подигната точка. Поентата е средината на сегментот. Тогаш конечно треба да ги најдеме: координатите на точките: .

Да почнеме со наједноставната работа: координатите на точка. Погледнете ја сликата: Јасно е дека примената на точката е еднаква на нула (точката лежи на рамнината). Нејзината ордината е еднаква (бидејќи е медијаната). Потешко е да се најде нејзината апсциса. Сепак, ова лесно се прави врз основа на Питагоровата теорема: Размислете за триаголник. Неговата хипотенуза е еднаква, а едната нога е еднаква. Тогаш:

Конечно имаме: .

Сега да ги најдеме координатите на точката. Јасно е дека неговата апликација е повторно еднаква на нула, а нејзината ордината е иста како онаа на точката, т.е. Да ја најдеме нејзината апсциса. Ова е направено сосема тривијално ако се сеќавате на тоа висини рамностран триаголникпресечната точка е поделена пропорционално, броејќи од врвот. Бидејќи: , тогаш потребната апсциса на точката, еднаква на должината на отсечката, е еднаква на: . Така, координатите на точката се:

Да ги најдеме координатите на точката. Јасно е дека нејзината апсциса и ордината се поклопуваат со апсцисата и ординатата на точката. А апликацијата е еднаква на должината на сегментот. - ова е една од краците на триаголникот. Хипотенузата на триаголник е отсечка - крак. Се бара од причини што ги истакнав со задебелени букви:

Поентата е средината на сегментот. Потоа треба да ја запомниме формулата за координатите на средната точка на сегментот:

Тоа е сè, сега можеме да ги бараме координатите на векторите на насоката:

Па, сè е подготвено: ги заменуваме сите податоци во формулата:

Така,

Одговор:

Не треба да ве плашат таквите „страшни“ одговори: за проблемите со C2 ова е вообичаена практика. Повеќе би сакал да ме изненади „убавиот“ одговор во овој дел. Исто така, како што забележавте, практично не прибегнав кон ништо друго освен Питагоровата теорема и својството на височини на рамностран триаголник. Односно, за да го решам стереометрискиот проблем, го искористив самиот минимум на стереометрија. Добивката во ова е делумно „изгаснат“ со прилично незгодни пресметки. Но, тие се доста алгоритамски!

2. Да го нацртаме точниот хексагонална пирамидазаедно со координатниот систем, како и неговата база:

Треба да го најдеме аголот помеѓу линиите и. Така, нашата задача се сведува на наоѓање на координатите на точките: . Координатите на последните три ќе ги најдеме со помош на мал цртеж, а координатата на темето ќе ја најдеме преку координатата на точката. Има многу работа, но треба да започнеме!

а) Координати: јасно е дека нејзината апликација и ордината се еднакви на нула. Ајде да ја најдеме апсцисата. За да го направите ова, размислете за правоаголен триаголник. За жал, во него ја знаеме само хипотенузата, која е еднаква. Ќе се обидеме да ја најдеме ногата (затоа што е јасно дека двојната должина на ногата ќе ни ја даде апсцисата на точката). Како можеме да го бараме? Да се ​​потсетиме каква фигура имаме во основата на пирамидата? Ова е редовен шестоаголник. Што значи тоа? Ова значи дека сите страни и сите агли се еднакви. Треба да најдеме еден таков агол. Некои идеи? Има многу идеи, но има формула:

Збир на агли регуларен n-гонеднаква на .

Така, збирот на аглите правилен шестоаголникеднаква на степени. Тогаш секој од аглите е еднаков на:

Ајде да ја погледнеме сликата повторно. Јасно е дека отсечката е симетрала на аголот. Потоа аголот еднаква на степени. Потоа:

Тогаш од каде.

Така, има координати

б) Сега лесно можеме да ја најдеме координатата на точката: .

в) Најдете ги координатите на точката. Бидејќи нејзината апсциса се совпаѓа со должината на сегментот, таа е еднаква. Наоѓањето на ординатата исто така не е многу тешко: ако ги поврземе точките и ја означиме точката на пресек на правата линија како, да речеме, . (направете го тоа сами едноставна конструкција). Тогаш Така, ординатата на точката Б е еднаква на збирот на должините на отсечките. Ајде повторно да го погледнеме триаголникот. Потоа

Потоа од Тогаш точката има координати

г) Сега да ги најдеме координатите на точката. Разгледајте го правоаголникот и докажете дека Така, координатите на точката се:

д) Останува да се најдат координатите на темето. Јасно е дека нејзината апсциса и ордината се поклопуваат со апсцисата и ординатата на точката. Ајде да ја најдеме апликацијата. Од тогаш. Размислете за правоаголен триаголник. Според условите на проблемот странично ребро. Ова е хипотенузата на мојот триаголник. Тогаш висината на пирамидата е крак.

Тогаш точката има координати:

Па, тоа е тоа, ги имам координатите на сите точки што ме интересираат. Ги барам координатите на насочувачките вектори на прави линии:

Го бараме аголот помеѓу овие вектори:

Одговор:

Повторно, при решавањето на овој проблем не користев никакви софистицирани техники освен формулата за збир на аглите на правилен n-аголник, како и дефиницијата на косинус и синус на правоаголен триаголник.

3. Бидејќи повторно не ни се дадени должините на рабовите во пирамидата, ќе ги избројам еднакво на еден. Така, бидејќи СИТЕ рабови, а не само страничните, се еднакви еден на друг, тогаш во основата на пирамидата и јас има квадрат, а страничните лица се правилни триаголници. Дозволете ни да нацртаме таква пирамида, како и нејзината основа на рамнина, забележувајќи ги сите податоци дадени во текстот на проблемот:

Го бараме аголот помеѓу и. Ќе направам многу кратки пресметки кога ќе ги барам координатите на точките. Ќе треба да ги „дешифрирате“:

б) - средината на сегментот. Неговите координати:

в) Ќе ја најдам должината на отсечката користејќи ја Питагоровата теорема во триаголник. Можам да го најдам користејќи ја Питагоровата теорема во триаголник.

Координати:

г) - средината на сегментот. Нејзините координати се

д) Векторски координати

ѓ) Векторски координати

е) Барање агол:

коцка - наједноставна фигура. Сигурен сум дека ќе го сфатиш сам. Одговорите на проблемите 4 и 5 се како што следува:

Наоѓање на аголот помеѓу права линија и рамнина

Па, времето за едноставни загатки заврши! Сега примерите ќе бидат уште покомплицирани. За да го пронајдеме аголот помеѓу права линија и рамнина, ќе постапиме на следниов начин:

1. Користејќи три точки, конструираме равенка на рамнината
   ,
   користејќи детерминанта од трет ред.
2. Користејќи две точки, ги бараме координатите на векторот за насочување на права линија:
3. Ја применуваме формулата за да го пресметаме аголот помеѓу права линија и рамнина:

Како што можете да видите, оваа формула е многу слична на онаа што ја користевме за наоѓање агли помеѓу две прави. Структурата на десната страна е едноставно иста, а од левата сега го бараме синусот, а не косинусот како порано. Па, додадена е една гадна акција - пребарување на равенката на авионот.

Да не одолговлекуваме примери за решенија:

1. Директната призма главната-но-ва-ни-ем-ние сме триаголник еднаков на сиромашните. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината

2. Во правоаголна par-ral-le-le-pi-pe-de од запад Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината

3. Во десна шестаголна призма, сите рабови се еднакви. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината.

4. Во десниот триаголен пи-ра-ми-де со ос-но-ва-ни-ем од познатите ребра Најди агол, об-ра-зо-ван -рамен во основа и прави, поминува низ сивилото. ребра и

5. Должините на сите рабови на правоаголен четириаголен пи-ра-ми-ди со теме се еднакви една со друга. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината ако точката е на страната на работ на пи-ра-ми-ди.

Пак ќе ги решам првите два проблема детално, третиот накратко, а последните два ти оставам да си ги решиш сам. Освен тоа, веќе сте морале да се справите со триаголното и четириаголни пирамиди, но со призми - сè уште не.

Решенија:

1. Да прикажеме призма, како и нејзината основа. Ајде да го комбинираме со координатниот систем и да ги забележиме сите податоци што се дадени во изјавата за проблемот:

Се извинувам за некакво непочитување на пропорциите, но за решавање на проблемот ова, всушност, не е толку важно. Авионот е едноставно „задниот ѕид“ на мојата призма. Доволно е едноставно да се погоди дека равенката на таква рамнина има форма:

Сепак, ова може да се покаже директно:

Ајде да избереме произволни три точки на оваа рамнина: на пример, .

Ајде да ја создадеме равенката на рамнината:

Вежба за вас: пресметајте ја оваа одредница сами. Дали успеавте? Тогаш равенката на рамнината изгледа вака:

Или едноставно

Така,

За да го решам примерот, треба да ги најдам координатите на векторот на насоката на правата линија. Бидејќи точката се совпаѓа со потеклото на координатите, координатите на векторот едноставно ќе се совпаднат со координатите на точката.За да го направите ова, прво ги наоѓаме координатите на точката.

За да го направите ова, размислете за триаголник. Ајде да ја нацртаме висината (позната и како медијана и симетрала) од темето. Бидејќи, ординатата на точката е еднаква на. За да ја најдеме апсцисата на оваа точка, треба да ја пресметаме должината на отсечката. Според Питагоровата теорема имаме:

Тогаш точката има координати:

Точката е „подигната“ точка:

Тогаш векторските координати се:

Одговор:

Како што можете да видите, нема ништо фундаментално тешко при решавање на вакви проблеми. Всушност, процесот е малку повеќе поедноставен со „правилото“ на фигура како што е призмата. Сега да преминеме на следниот пример:

2. Нацртајте паралелепипед, нацртајте рамнина и права линија во него, а исто така одделно нацртајте ја неговата долна основа:

Прво, ја наоѓаме равенката на рамнината: Координатите на трите точки што лежат во неа:

(првите две координати се добиваат на очигледен начин и последна координатаможете лесно да го најдете од сликата од точката). Потоа ја составуваме равенката на рамнината:

Ние пресметуваме:

Ги бараме координатите на водечкиот вектор: Јасно е дека неговите координати се совпаѓаат со координатите на точката, нели? Како да најдете координати? Ова се координатите на точката, подигнати по апликативната оска за еден! . Потоа го бараме саканиот агол:

Одговор:

3. Нацртајте правилна шестоаголна пирамида, а потоа нацртајте рамнина и права линија во неа.

Тука е дури и проблематично да се нацрта рамнина, а да не зборуваме за решавање на овој проблем, но на методот на координација не му е грижа! Неговата разновидност е нејзината главна предност!

Авионот минува низ три точки: . Ги бараме нивните координати:

1) . Откријте ги сами координатите за последните две точки. За ова ќе треба да го решите проблемот со хексагоналната пирамида!

2) Ја конструираме равенката на рамнината:

Ги бараме координатите на векторот: . (Повторно погледнете го проблемот со триаголната пирамида!)

3) Барате агол:

Одговор:

Како што можете да видите, нема ништо натприродно тешко во овие задачи. Само треба да бидете многу внимателни со корените. Ќе дадам одговори само на последните два проблеми:

Како што можете да видите, техниката за решавање проблеми е иста насекаде: главната задача е да ги пронајдете координатите на темињата и да ги замените во одредени формули. Сè уште треба да разгледаме уште една класа проблеми за пресметување агли, имено:

Пресметување агли помеѓу две рамнини

Алгоритмот за решение ќе биде како што следува:

1. Користејќи три точки, ја бараме равенката на првата рамнина:
2. Користејќи ги другите три точки, ја бараме равенката на втората рамнина:
3. Ја применуваме формулата:

Како што можете да видите, формулата е многу слична на двете претходни, со чија помош баравме агли помеѓу прави и помеѓу права и рамнина. Така, нема да ви биде тешко да го запомните ова. Да преминеме на анализа на задачите:

1. Страната на основата на десната триаголна призма е еднаква, а дијагоналата на страничното лице е еднаква. Најдете го аголот помеѓу рамнината и рамнината на оската на призмата.

2. Во десниот четириаголник пи-ра-ми-де, чиишто рабови се еднакви, пронајдете го синусот на аголот помеѓу рамнината и рамнината коска, минувајќи низ точката per-pen-di-ku- лажго-но прав.

3. Во правилна четириаголна призма, страните на основата се еднакви, а страничните рабови се еднакви. Има точка на работ од-ме-че-на така што. Најдете го аголот помеѓу рамнините и

4. Во правоаголна четириаголна призма, страните на основата се еднакви, а страничните рабови се еднакви. Има точка на работ од точката така што Најдете го аголот помеѓу рамнините и.

5. Во коцка најди го co-si-nus на аголот помеѓу рамнините и

Проблемски решенија:

1. Го цртам точниот (во основата има рамностран триаголник) триаголна призмаи означете ги рамнините што се појавуваат во изјавата за проблемот:

Треба да ги најдеме равенките на две рамнини: Равенката на основата е тривијална: можете да ја составите соодветната детерминанта користејќи три точки, но јас веднаш ќе ја составам равенката:

Сега да ја најдеме равенката Точка има координати Точка - Бидејќи е средна и надморска височина на триаголникот, лесно се наоѓа со помош на Питагоровата теорема во триаголникот. Тогаш точката има координати: Да ја најдеме примената на точката За да го направите ова, разгледајте правоаголен триаголник

Потоа ги добиваме следните координати: Ја составуваме равенката на рамнината.

Го пресметуваме аголот помеѓу рамнините:

Одговор:

2. Изработка на цртеж:

Најтешко е да се разбере каков вид на мистериозна рамнина е ова, поминувајќи нормално низ точката. Па, главната работа е, што е тоа? Главната работа е внимателност! Всушност, линијата е нормална. Правата линија е исто така нормална. Тогаш рамнината што минува низ овие две линии ќе биде нормална на линијата и, патем, ќе помине низ точката. Овој авион исто така поминува низ врвот на пирамидата. Тогаш посакуваниот авион - И авионот веќе ни е даден. Ги бараме координатите на точките.

Ја наоѓаме координатата на точката низ точката. Од малата слика лесно може да се заклучи дека координатите на точката ќе бидат како што следува: Што останува сега да се најде за да се најдат координатите на врвот на пирамидата? Исто така, треба да ја пресметате неговата висина. Ова е направено со користење на истата Питагорова теорема: прво докажете го тоа (тривијално од мали триаголници кои формираат квадрат во основата). Бидејќи по услов имаме:

Сега сè е подготвено: координати на теме:

Ја составуваме равенката на рамнината:

Веќе сте експерт за пресметување на детерминанти. Без тешкотии ќе добиете:

Или поинаку (ако ги помножиме двете страни со коренот од два)

Сега да ја најдеме равенката на рамнината:

(Не сте заборавиле како ја добиваме равенката на рамнина, нели? Ако не ви е јасно од каде е овој минус еден, тогаш вратете се на дефиницијата за равенката на рамнина! Само секогаш испаѓаше пред тоа мојот авион му припаѓаше на потеклото на координатите!)

Ја пресметуваме детерминантата:

(Можете да забележите дека равенката на рамнината се совпаѓа со равенката на правата што минува низ точките и! Размислете зошто!)

Сега да го пресметаме аголот:

Треба да го најдеме синусот:

Одговор:

3. Слабо прашање: што е тоа? правоаголна призма, Како мислиш? Ова е само паралелепипед кој добро го познавате! Ајде да направиме цртеж веднаш! Не мора ни да ја отсликате основата одделно; тоа е од мала корист овде:

Рамнината, како што забележавме претходно, е напишана во форма на равенка:

Сега ајде да создадеме авион

Веднаш ја создаваме равенката на рамнината:

Барате агол:

Сега одговорите на последните два проблеми:

Па, сега е време да направиме мала пауза, бидејќи јас и ти сме одлични и завршивме одлична работа!

Координати и вектори. Напредно ниво

Во оваа статија ќе разговараме со вас за друга класа проблеми што може да се решат со помош на методот на координати: проблеми со пресметување на растојание. Имено, ќе ги разгледаме следните случаи:

1. Пресметка на растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат.

Ги нарачав овие задачи со цел поголема тежина. Излегува дека е најлесно да се најде растојание од точка до рамнина, а најтешко е да се најде растојание помеѓу линиите на вкрстување. Иако, се разбира, ништо не е невозможно! Да не одолговлекуваме и веднаш да продолжиме да ја разгледуваме првата класа на проблеми:

Пресметување на растојанието од точка до рамнина

Што ни треба за да го решиме овој проблем?

1. Точка координати

Значи, штом ги добиеме сите потребни податоци, ја применуваме формулата:

Веќе треба да знаете како ја конструираме равенката на рамнина претходните задачи, за што разговарав во последниот дел. Да преминеме директно на задачите. Шемата е следна: 1, 2 - ви помагам да одлучите, а во некои детали, 3, 4 - само одговорот, сами го спроведувате решението и споредете. Да почнеме!

Задачи:

1. Дадена е коцка. Должината на работ на коцката е еднаква. Најдете го растојанието од се-ре-ди-на од сечењето до рамнината

2. Со оглед на десниот четири-јаглен пи-ра-ми-да, страната на страната е еднаква на основата. Најдете го растојанието од точката до рамнината каде што - се-ре-ди-на рабовите.

3. Во десниот триаголен пи-ра-ми-де со ос-но-ва-ни-ем, страничниот раб е еднаков, а сто-ро-на ос-но-ва-нија е еднаков. Најдете го растојанието од врвот до авионот.

4. Во десна шестоаголна призма сите рабови се еднакви. Најдете го растојанието од точка до рамнина.

Решенија:

1. Нацртајте коцка со единечни рабови, конструирајте отсечка и рамнина, средината на отсечката означете ја со буква

.

Прво, да започнеме со лесното: пронајдете ги координатите на точката. Оттогаш (запомнете ги координатите на средината на сегментот!)

Сега ја составуваме равенката на рамнината користејќи три точки

\[\лево| (\почеток(низа)(*(20)(в))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\крај (низа)) \десно| = 0\]

Сега можам да почнам да ја наоѓам растојанието:

2. Почнуваме повторно со цртеж на кој ги означуваме сите податоци!

За пирамида, би било корисно да се нацрта нејзината основа посебно.

Дури и тоа што цртам како кокошка со шепата нема да не спречи лесно да го решиме овој проблем!

Сега е лесно да се најдат координатите на точка

Од координатите на точката, тогаш

2. Бидејќи координатите на точката a се средината на отсечката, тогаш

Без никакви проблеми можеме да ги најдеме координатите на уште две точки на рамнината.Креираме равенка за рамнината и ја поедноставуваме:

\[\лево| (\лево| (\begin(низа)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end (низа)) \десно|) \десно| = 0\]

Бидејќи точката има координати: , го пресметуваме растојанието:

Одговор (многу ретко!):

Па, дали сфативте? Ми се чини дека овде сè е исто толку техничко како и во примерите што ги разгледавме во претходниот дел. Значи, сигурен сум дека ако сте го совладале тој материјал, тогаш нема да ви биде тешко да ги решите преостанатите два проблема. Само ќе ви ги дадам одговорите:

Пресметување на растојанието од права линија до рамнина

Всушност, тука нема ништо ново. Како може права линија и рамнина да се постават релативно едни на други? Тие имаат само една можност: да се сечат, или права линија е паралелна со рамнината. Што мислите, колку е растојанието од права линија до рамнината со која се вкрстува оваа права? Ми се чини дека овде е јасно дека таквото растојание е еднакво на нула. Не е интересен случај.

Вториот случај е посложен: тука растојанието веќе е не-нула. Меѓутоа, бидејќи правата е паралелна со рамнината, тогаш секоја точка од правата е еднакво оддалечена од оваа рамнина:

Така:

Ова значи дека мојата задача е сведена на претходната: ги бараме координатите на која било точка на права линија, ја бараме равенката на рамнината и го пресметуваме растојанието од точката до рамнината. Всушност, ваквите задачи се исклучително ретки во обединетиот државен испит. Успеав да најдам само еден проблем, а податоците во него беа такви што методот на координати не беше многу применлив за него!

Сега да преминеме на друга, многу поважна класа на проблеми:

Пресметување на растојанието од точка до права

Што ни треба?

1. Координати на точката од која го бараме растојанието:

2. Координати на која било точка што лежи на права

3. Координати на насочувачкиот вектор на права линија

Која формула ја користиме?

Што значи именителот на оваа дропка треба да ви биде јасно: ова е должината на насочувачкиот векторот на правата линија. Ова е многу незгоден броител! Изразот значи модул (должина) на векторскиот производ на вектори и Како да се пресмета векторскиот производ, ги проучувавме во претходниот дел од работата. Освежете го вашето знаење, сега ќе ни треба многу!

Така, алгоритмот за решавање проблеми ќе биде како што следува:

1. Ги бараме координатите на точката од која го бараме растојанието:

2. Ги бараме координатите на која било точка на правата до која го бараме растојанието:

3. Конструирај вектор

4. Конструирај насочувачки вектор на права линија

5. Пресметај го векторскиот производ

6. Ја бараме должината на добиениот вектор:

7. Пресметајте го растојанието:

Имаме многу работа, а примерите ќе бидат доста сложени! Па сега фокусирајте го целото ваше внимание!

1. Даден е правоаголен триаголен пи-ра-ми-да со врв. Стотата-ро-на основа на пи-ра-ми-ди е еднаква, вие сте еднакви. Најдете го растојанието од сивиот раб до права линија, каде што точките и се сивите рабови и од ветеринарното.

2. Должините на ребрата и правиот агол-не-го пар-рал-ле-ле-пи-пе-да се соодветно еднакви и Најдете го растојанието од врвот до права линија

3. Во десна шестоаголна призма, сите рабови се еднакви, најдете го растојанието од точка до права линија

Решенија:

1. Правиме уреден цртеж на кој ги означуваме сите податоци:

Имаме многу работа! Прво, би сакал со зборови да опишам што ќе бараме и по кој редослед:

1. Координати на точки и

2. Точки координати

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Нивниот вкрстен производ

6. Векторска должина

7. Должина на векторскиот производ

8. Растојание од до

Па, ни претстои многу работа! Ајде да дојдеме до тоа со засукани ракави!

1. За да ги најдеме координатите на висината на пирамидата, треба да ги знаеме координатите на точката. Неговата апликација е нула, а нејзината ордината е еднаква на нејзината апсциса е еднаква на должината на отсечката. Бидејќи е висината на рамностран триаголник, тој се дели во однос, сметајќи од темето, од тука. Конечно, ги добивме координатите:

Точка координати

2. - средината на сегментот

3. - средината на сегментот

Средината на сегментот

4.Координати

Векторски координати

5. Пресметајте го векторскиот производ:

6. Векторска должина: најлесниот начин за замена е дека отсечката е средната линија на триаголникот, што значи дека е еднаква на половина од основата. Значи.

7. Пресметајте ја должината на векторскиот производ:

8. Конечно, го наоѓаме растојанието:

Уф, тоа е тоа! Искрено ќе ви кажам: решението за овој проблем е традиционални методи(преку конструкција), би било многу побрзо. Но, тука сведев сè на готов алгоритам! Мислам дека алгоритмот за решение ти е јасен? Затоа, ќе ве замолам сами да ги решите преостанатите два проблема. Ајде да ги споредиме одговорите?

Повторно, повторувам: полесно (побрзо) е да се решат овие проблеми преку конструкции, наместо да се прибегне кон координатен метод. Ова решение го покажав само за да ви покажам универзален метод, што ви овозможува „да не завршите ништо со изградбата“.

Конечно, разгледајте ја последната класа на проблеми:

Пресметување на растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат

Овде алгоритмот за решавање проблеми ќе биде сличен на претходниот. Она што го имаме:

3. Секој вектор што ги поврзува точките од првата и втората линија:

Како го наоѓаме растојанието помеѓу линиите?

Формулата е како што следува:

Бројачот е модулот мешан производ(го воведовме во претходниот дел), а именителот е како во претходната формула (модулот на векторскиот производ на насочувачките вектори на правите, растојанието меѓу кое го бараме).

Ќе те потсетам на тоа

Потоа формулата за растојанието може да се препише како:

Ова е детерминанта поделена со одредница! Иако, да бидам искрен, немам време за шеги овде! Оваа формула, всушност, е многу незгоден и води до доста сложени пресметки. Да сум на твое место, би прибегнал кон тоа само како последно средство!

Ајде да се обидеме да решиме неколку проблеми користејќи го горенаведениот метод:

1. Во вистинската насока триаголна призма, чиишто рабови се еднакви, пронајдете го растојанието помеѓу правите линии и.

2. Со правоаголна триаголна призма, сите рабови на основата се еднакви на делот што минува низ реброто на телото, а ребрата на се-ре-ди-бунарот се квадрат. Најдете го растојанието помеѓу правите линии и

Јас го одлучувам првото, а врз основа на него, вие одлучувате за второто!

1. Цртам призма и означувам прави и

Координати на точка В: тогаш

Точка координати

Векторски координати

Точка координати

Векторски координати

Векторски координати

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \десно) = \лево| (\почеток(низа)(*(20)(л))(\почеток(низа)(*(20)(в))0&1&0\крај(низа)\\(\почеток(низа)(*(20) (в))0&0&1\крај (низа))\\(\почеток(низа)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\крај (низа))\крај (низа)) \десно| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Го пресметуваме векторскиот производ помеѓу вектори и

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \лево| \почетна(низа)(л)\почеток(низа)(*(20)(в))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(низа)\\\почеток(низа )(*(20)(в))0&0&1\крај(низа)\\\почеток(низа)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(низа)\крај(низа) \десно| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Сега ја пресметуваме неговата должина:

Одговор:

Сега обидете се внимателно да ја завршите втората задача. Одговорот на тоа ќе биде: .

Координати и вектори. Краток опис и основни формули

Вектор е насочен сегмент. - почетокот на векторот, - крајот на векторот.
Векторот се означува со или.

Абсолутна вредноствектор - должината на сегментот што го претставува векторот. Означено како.

Векторски координати:

,
каде се краевите на векторот \displaystyle a .

Збир на вектори: .

Производ на вектори:

Точка производ на вектори:

Можете да поставите различни начини(една точка и вектор, две точки и вектор, три точки итн.). Имајќи го ова предвид дека равенката на рамнината може да има различни видови. Исто така, под одредени услови, рамнините можат да бидат паралелни, нормални, пресечни итн. Ќе зборуваме за ова во оваа статија. Ќе научиме како да креираме општа равенка на рамнина и многу повеќе.

Нормална форма на равенка

Да речеме дека има простор R 3 кој има правоаголен XYZ координатен систем. Да го дефинираме векторот α, кој ќе се ослободи од почетната точка O. Низ крајот на векторот α цртаме рамнина P, која ќе биде нормална на него.

Да означиме произволна точка на P како Q = (x, y, z). Да го потпишеме векторот на радиусот на точката Q со буквата p. Во овој случај, должината на векторот α е еднаква на р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ова единица вектор, кој е насочен на страна, како векторот α. α, β и γ се аглите што се формираат помеѓу векторот Ʋ и позитивните насоки на просторните оски x, y, z, соодветно. Проекцијата на која било точка QϵП на векторот Ʋ е константна вредност, што е еднакво на p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Горенаведената равенка има смисла кога p=0. Единственото нешто е што рамнината P во овој случај ќе ја пресече точката O (α=0), која е почеток на координатите, а единечниот вектор Ʋ ослободен од точката O ќе биде нормална на P, и покрај неговата насока, која значи дека векторот Ʋ е одреден со точност до знакот. Претходната равенка е равенката на нашата рамнина P, изразена во векторска форма. Но, во координати ќе изгледа вака:

P овде е поголем или еднаков на 0. Ја најдовме равенката на рамнината во просторот во нормална форма.

Општа равенка

Ако ја помножиме равенката во координати со кој било број што не е еднаков на нула, ќе добиеме равенка еквивалентна на оваа, дефинирајќи ја токму таа рамнина. Ќе изгледа вака:

Овде A, B, C се броеви кои се истовремено различни од нула. Оваа равенка се нарекува равенка на општа рамнина.

Равенки на рамнини. Посебни случаи

Равенката во општа форма може да се измени доколку постои дополнителни услови. Ајде да погледнеме некои од нив.

Да претпоставиме дека коефициентот А е 0. Тоа значи дека даден авионпаралелно со дадената оска Ox. Во овој случај, формата на равенката ќе се промени: Ву+Cz+D=0.

Слично на тоа, формата на равенката ќе се промени под следниве услови:

• Прво, ако B = 0, тогаш равенката ќе се промени во Ax + Cz + D = 0, што ќе укаже на паралелизам со оската Oy.
• Второ, ако C=0, тогаш равенката ќе се трансформира во Ax+By+D=0, што ќе укаже на паралелизам со дадената оска Оз.
• Трето, ако D=0, равенката ќе изгледа како Ax+By+Cz=0, што ќе значи дека рамнината го пресекува O (почетокот).
• Четврто, ако A=B=0, тогаш равенката ќе се смени во Cz+D=0, што ќе се покаже паралелно со Oxy.
• Петто, ако B=C=0, тогаш равенката станува Ax+D=0, што значи дека рамнината до Oyz е паралелна.
• Шесто, ако A=C=0, тогаш равенката ќе има форма Ву+D=0, односно ќе пријави паралелизам на Oxz.

Вид на равенка во отсечки

Во случај кога броевите A, B, C, D се различни од нула, формата на равенката (0) може да биде како што следува:

x/a + y/b + z/c = 1,

во кои a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Добиваме како резултат.Вреди да се напомене дека оваа рамнина ќе ја пресече оската Ox во точка со координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c ).

Земајќи ја предвид равенката x/a + y/b + z/c = 1, не е тешко визуелно да се замисли поставеноста на рамнината во однос на даден координатен систем.

Нормални векторски координати

Нормалниот вектор n на рамнината P има координати кои се коефициенти општа равенкана дадена рамнина, односно n (A, B, C).

За да се одредат координатите на нормалното n, доволно е да се знае општата равенка на дадена рамнина.

Кога користите равенка во отсечки, која има форма x/a + y/b + z/c = 1, како и кога користите општа равенка, можете да ги запишете координатите на кој било нормален вектор на дадена рамнина: (1 /a + 1/b + 1/ Со).

Вреди да се напомене дека нормалниот вектор помага во решавањето различни задачи. Најчестите вклучуваат проблеми кои вклучуваат докажување на перпендикуларноста или паралелизмот на рамнините, проблеми со наоѓање агли помеѓу рамнините или агли помеѓу рамнините и правите линии.

Вид на равенка на рамнина според координатите на точката и нормалниот вектор

Ненулта вектор n нормален на дадена рамнина се нарекува нормален за дадена рамнина.

Да претпоставиме дека во координатниот простор (правоаголен координатен систем) се дадени Oxyz:

• точка Мₒ со координати (xₒ,yₒ,zₒ);
• нула вектор n=A*i+B*j+C*k.

Потребно е да се создаде равенка за рамнина која ќе минува низ точката Mₒ нормална на нормалната n.

Избираме која било произволна точка во просторот и ја означуваме M (x y, z). Нека векторот на радиусот на која било точка M (x,y,z) е r=x*i+y*j+z*k, а векторот на радиусот на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Точката M ќе припаѓа на дадена рамнина ако векторот MₒM е нормален на векторот n. Дозволете ни да го напишеме условот за ортогоналност користејќи го скаларниот производ:

[MₒM, n] = 0.

Бидејќи MₒM = r-rₒ, векторската равенка на рамнината ќе изгледа вака:

Оваа равенка може да има друга форма. За да го направите ова, се користат својствата на скаларниот производ, а трансформацијата е лева странаравенки = -. Ако го означиме како c, ја добиваме следната равенка: - c = 0 или = c, која ја изразува постојаноста на проекциите на нормалниот вектор на вектори на радиус на дадените точки кои припаѓаат на рамнината.

Сега можете да го добиете координатниот приказ на записот векторска равенканашата рамнина = 0. Бидејќи r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, и n = A*i+B*j+C*k, ние ние имаме:

Излегува дека имаме равенка за рамнина што минува низ точка нормална на нормалната n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Вид на равенка на рамнина според координатите на две точки и вектор колинеарен на рамнината

Да наведеме две произволни точки M′ (x′,y′,z′) и M″ (x″,y″,z″), како и вектор a (a′,a″,a‴).

Сега можеме да создадеме равенка за дадена рамнина што ќе помине низ постоечките точки M′ и M″, како и која било точка M со координати (x, y, z) паралелни на дадениот вектор a.

Во овој случај, векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) мора да бидат компланарни со векторот a=(a′,a″,a‴), што значи дека (M′M, M″M, a)=0.

Значи, нашата равенка на рамнината во вселената ќе изгледа вака:

Вид на равенка на рамнина што пресекува три точки

Да речеме дека имаме три точки: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), кои не припаѓаат на иста права. Потребно е да се напише равенката на рамнина што минува низ дадени три точки. Теоријата на геометријата тврди дека овој вид авион навистина постои, но тој е единствениот и единствен. Бидејќи оваа рамнина ја пресекува точката (x′,y′,z′), формата на нејзината равенка ќе биде како што следува:

Овде A, B, C се различни од нула во исто време. Исто така, дадената рамнина пресекува уште две точки: (x″,y″,z″) и (x‴,y‴,z‴). Во овој поглед, мора да се исполнат следниве услови:

Сега можеме да составиме хомоген системсо непознати u, v, w:

Во нашата случај x,yили z се штрчи произволна точка, што ја задоволува равенката (1). Со оглед на равенката (1) и системот на равенки (2) и (3), системот на равенки наведен на сликата погоре е задоволен со векторот N (A,B,C), кој е нетривијален. Затоа детерминантата на овој систем е еднаква на нула.

Равенката (1) што ја добивме е равенката на рамнината. Поминува точно низ 3 точки, и ова е лесно да се провери. За да го направите ова, треба да ја прошириме нашата одредница во елементите во првиот ред. Од постоечки својствадетерминанта следува дека нашата рамнина истовремено пресекува три првично дадени точки (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴). Односно, ја решивме задачата што ни беше доделена.

Диедрален агол помеѓу рамнините

Диедрален агол претставува простор геометриска фигура, формирана од две полурамнини кои произлегуваат од една права линија. Со други зборови, ова е дел од просторот што е ограничен со овие полурамнини.

Да речеме дека имаме две рамнини со следните равенки:

Знаеме дека векторите N=(A,B,C) и N1=(A1,B1,C1) се нормални според дадени авиони. Во овој поглед, аголот φ помеѓу векторите N и N1 е еднаков на аголот (диедрален) што се наоѓа помеѓу овие рамнини. Производот со точки има форма:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

токму затоа што

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Доволно е да се земе предвид дека 0≤φ≤π.

Всушност, две рамнини што се сечат формираат два агли (диедрални): φ 1 и φ 2. Нивниот збир е еднаков на π (φ 1 + φ 2 = π). Што се однесува до нивните косинуси, нивните апсолутни вредности се еднакви, но тие се разликуваат по знак, односно cos φ 1 = -cos φ 2. Ако во равенката (0) ги замениме A, B и C со броевите -A, -B и -C, соодветно, тогаш равенката што ја добиваме ќе ја одреди истата рамнина, единствената, аголот φ во cos равенкаφ=NN 1 /|N||N 1 | ќе се замени со π-φ.

Равенка на нормална рамнина

Рамнините меѓу кои аголот е 90 степени се нарекуваат нормални. Користејќи го материјалот претставен погоре, можеме да ја најдеме равенката на рамнина нормална на друга. Да речеме дека имаме две рамнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B1y+C¹z+D=0. Можеме да кажеме дека ќе бидат нормални ако cosφ=0. Ова значи дека NN1=AA1+BB1+CC1=0.

Равенка на паралелна рамнина

Две рамнини кои не содржат заеднички точки се нарекуваат паралелни.

Состојба (нивните равенки се исти како во претходниот став) е дека векторите N и N1, кои се нормални на нив, се колинеарни. А тоа значи дека се исполнети следните условипропорционалност:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ако се прошират условите за пропорционалност - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ова покажува дека овие авиони се совпаѓаат. Тоа значи дека равенките Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B1y+C1z+D1=0 опишуваат една рамнина.

Растојание до авион од точка

Да речеме дека имаме рамнина P, која е дадена со равенката (0). Потребно е да се најде растојанието до него од точка со координати (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За да го направите ова, треба да ја доведете равенката на рамнината P во нормална форма:

(ρ,v)=р (р≥0).

ВО во овој случајρ (x,y,z) е векторот на радиусот на нашата точка Q лоцирана на P, p е должината на нормалната P што се ослободи од нулта точка, v е единичен вектор, кој се наоѓа во насока a.

Различниот вектор на радиус ρ-ρº на некоја точка Q = (x, y, z), што припаѓа на P, како и векторот на радиусот на дадена точка Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) е таков вектор, абсолутна вредностчија проекција на v е еднаква на растојанието d, кое треба да се најде од Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) до P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Така излегува

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Така ќе најдеме абсолутна вредностдобиениот израз, односно саканиот г.

Користејќи го јазикот на параметарот, го добиваме очигледното:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ако поставена точка Q 0 е од другата страна на рамнината P, како потеклото на координатите, тогаш помеѓу векторот ρ-ρ 0 и v затоа се наоѓа:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Во случај кога точката Q 0, заедно со потеклото на координатите, се наоѓа на истата страна на P, тогаш создадениот агол е остар, односно:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Како резултат на тоа, излегува дека во првиот случај (ρ 0 ,v)>р, во вториот (ρ 0 ,v)<р.

Тангентна рамнина и нејзината равенка

Тангентата рамнина на површината во точката на допир Mº е рамнина што ги содржи сите можни тангенти на кривите извлечени низ оваа точка на површината.

Со овој тип површинска равенка F(x,y,z)=0, равенката на тангентната рамнина во тангентата точка Mº(xº,yº,zº) ќе изгледа вака:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ако ја наведете површината во експлицитна форма z=f (x,y), тогаш тангентата рамнина ќе биде опишана со равенката:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Пресек на две рамнини

Во координатниот систем (правоаголен) се наоѓа Oxyz, дадени се две рамнини П′ и П″ кои се сечат и не се совпаѓаат. Бидејќи секоја рамнина сместена во правоаголен координатен систем е одредена со општа равенка, ќе претпоставиме дека P' и P″ се дадени со равенките A'x+B'y+C'z+D'=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. Во овој случај, ја имаме нормалната n′ (A′,B′,C′) на рамнината P′ и нормалната n″ (A″,B″,C″) на рамнината P″. Бидејќи нашите рамнини не се паралелни и не се совпаѓаат, овие вектори не се колинеарни. Користејќи го јазикот на математиката, овој услов можеме да го запишеме на следниов начин: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Нека правата линија што лежи на пресекот на P′ и P″ се означува со буквата a, во овој случај a = P′ ∩ P″.

a е права линија која се состои од множеството на сите точки на (заедничките) рамнини P′ и P″. Ова значи дека координатите на која било точка што припаѓа на правата a мора истовремено да ги задоволуваат равенките A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+D″=0 . Ова значи дека координатите на точката ќе бидат делумно решение на следниот систем на равенки:

Како резултат на тоа, излегува дека (општото) решение на овој систем на равенки ќе ги одреди координатите на секоја од точките на правата, која ќе дејствува како пресечна точка на P′ и P″ и ќе ја одреди правата линија. a во Оксиз (правоаголен) координатен систем во просторот.

За да може една рамнина да се повлече низ кои било три точки во просторот, неопходно е овие точки да не лежат на иста права линија.

Размислете за точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) во општиот Декартов координатен систем.

За да може произволна точка M(x, y, z) да лежи во иста рамнина со точките M 1, M 2, M 3, потребно е векторите да бидат компланарни.

Дефиниција 2.1.

Две прави во просторот се нарекуваат паралелни ако лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Ако две прави a и b се паралелни, тогаш, како во планиметријата, напишете a || б. Во просторот, линиите може да се постават така што да не се сечат или да бидат паралелни. Овој случај е посебен за стереометрија.

Дефиниција 2.2.

Прави кои немаат заеднички точки и не се паралелни се нарекуваат пресечни.

Теорема 2.1.

Низ точка надвор од дадена права, може да се повлече права паралелна на дадената и само една.

Знак на паралелни линии

Две прави во просторот се нарекуваат паралелни ако лежат во иста рамнина и не се сечат. Преку точка надвор од дадена линија можете да нацртате права линија паралелна на оваа права линија, и тоа само една. Оваа изјава се сведува на аксиома на паралели во рамнина. Теорема. Две прави паралелни на трета права се паралелни. Нека правите b и c се паралелни на правата a. Да докажеме дека b || Со. Случајот кога правите a, b и лежат на иста рамнина се разгледува во планиметријата, ние го испуштаме. Да претпоставиме дека a, b и c не лежат во иста рамнина. Но, бидејќи две паралелни прави се наоѓаат во иста рамнина, можеме да претпоставиме дека a и b се наоѓаат во рамнината, а b и c се во рамнината (сл. 61). На правата c означуваме точка (која било) M, а преку правата b и точката M цртаме рамнина. Таа, , се вкрстува во права линија l. Правата линија l не ја пресекува рамнината, бидејќи ако l се сече, тогаш точката на нивното пресекување мора да лежи на a (a и l се во иста рамнина) и на b (b и l се во иста рамнина). Така, една пресечна точка l и мора да лежи и на правата a и на правата b, што е невозможно: a || б. Затоа, а || , л || a, l || б. Бидејќи a и l лежат во иста рамнина, тогаш l се совпаѓа со правата c (по аксиома на паралелизам), а со тоа и со || б. Теоремата е докажана.

25.Знак за паралелизам помеѓу права и рамнина

Теорема

Ако правата што не припаѓа на рамнина е паралелна со некоја права во оваа рамнина, тогаш таа е паралелна со самата рамнина.

Доказ

Нека α е рамнина, а права не лежи во неа, а a1 права во α рамнината паралелна на правата a. Да ја нацртаме рамнината α1 низ правите a и a1. Рамнините α и α1 се сечат по права линија a1. Ако правата пресечена рамнина α, тогаш пресечната точка би припаѓала на правата a1. Но, ова е невозможно, бидејќи правите a и a1 се паралелни. Следствено, правата a не ја пресекува рамнината α, и затоа е паралелна со рамнината α. Теоремата е докажана.

27.Постоење на рамнина паралелна на дадена рамнина

Теорема

Низ точка надвор од дадена рамнина може да се повлече рамнина паралелна на дадената, и тоа само една.

Доказ

Дозволете ни да нацртаме во оваа рамнина α кои било две прави што се пресекуваат a и b. Низ дадена точка А повлекуваме прави a1 и b1 паралелни со нив. Рамнината β што минува низ правите a1 и b1, според теоремата за паралелизам на рамнините, е паралелна со рамнината α.

Да претпоставиме дека друга рамнина β1 поминува низ точката А, исто така паралелна со рамнината α. Да означиме точка C на β1 рамнината што не лежи во β рамнината. Да ја нацртаме рамнината γ низ точките A, C и некоја точка B од рамнината α. Оваа рамнина ќе ги пресекува рамнините α, β и β1 долж правите b, a и c. Правилата a и c не ја сечат правата b, бидејќи не ја сечат рамнината α. Затоа, тие се паралелни со правата b. Но, во рамнината γ само една права паралелна на правата b може да помине низ точката А. што е во спротивност со претпоставката. Теоремата е докажана.

28.Својства на паралелни рамнинити

29.

Нормални линии во просторот. Две прави во просторот се нарекуваат нормални ако аголот меѓу нив е 90 степени. в. м. к. к. м. в. к. Се вкрстуваат. Вкрстување.

Теорема 1 ЗНАК ЗА ПРЕПЕРЕНДИКУЛАРНОСТ НА ПРАВА И РАМНИНА. Ако правата што пресекува рамнина е нормална на две прави во оваа рамнина што минуваат низ точката на пресек на оваа права и рамнината, тогаш таа е нормална на рамнината.

Доказ: Нека a е права нормална на правите b и c во рамнината. Тогаш правата a поминува низ точката A на пресекот на правите b и c. Да докажеме дека правата а е нормална на рамнината. Да повлечеме произволна права x низ точката A во рамнината и да покажеме дека е нормална на правата a. Да повлечеме произволна права во рамнината што не поминува низ точката А и ги пресекува правите b, c и x. Нека пресечните точки се B, C и X. Да нацртаме еднакви отсечки AA 1 и AA 2 на правата a од точката A во различни насоки. Триаголникот A 1 CA 2 е рамнокрак, бидејќи отсечката AC е висината според теоремата и медијаната по конструкција (AA 1 = AA 2).Од истата причина, триаголникот A 1 BA 2 е исто така рамнокрак. Според тоа, триаголниците A 1 BC и A 2 BC се еднакви на три страни. Од еднаквоста на триаголниците A 1 BC и A 2 BC, произлегува дека аглите A 1 BC и A 2 BC се еднакви и, според тоа, триаголниците A 1 BC и A 2 BC се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив . Од еднаквоста на страните A 1 X и A 2 X на овие триаголници, заклучуваме дека триаголникот A 1 XA 2 е рамнокрак. Затоа неговата средна XA е и нејзината висина. И ова значи дека правата x е нормална на a. По дефиниција, права линија е нормална на рамнина. Теоремата е докажана.

Теорема 2 1. СВОЈСТВО НА ПРЕПЕНДИКУЛАРНИ ПРАВИ И РАМНИНИ. Ако рамнината е нормална на една од двете паралелни прави, тогаш таа е и нормална на другата.
Доказ: Нека 1 и 2 - 2 се паралелни прави и рамнина нормална на правата a 1. Да докажеме дека оваа рамнина е нормална на правата a 2. Да повлечеме произволна права линија x 2 во рамнината низ точката A 2 на пресекот на правата a 2 со рамнината. Да го нацртаме во рамнината низ точката A 1 пресекот на правата a 1 со правата x 1 паралелна на правата x 2. Бидејќи правата a 1 е нормална на рамнината, тогаш правата a 1 и x 1 се нормални. И според теорема 1, правата што се вкрстуваат паралелни со нив, a 2 и x 2, се исто така нормални. Така, правата a 2 е нормална на која било права x 2 во рамнината. И ова (по дефиниција) значи дека правата линија a 2 е нормална на рамнината. Теоремата е докажана. Видете исто така задача за поддршка бр. 2.
Теорема 3 2. СВОЈСТВО НА ПРЕПЕНДИКУЛАРНИ ПРАВИ И РАМНИНИ. Две прави нормални на иста рамнина се паралелни.
Доказ: Нека a и b се 2 прави нормални на рамнината. Да претпоставиме дека правите a и b не се паралелни. Да избереме точка C на правата b што не лежи во рамнината. Да повлечеме права b 1 до точката C, паралелна со правата a. Правата b 1 е нормална на рамнината според теорема 2. Нека B и B 1 се точките на пресек на правите b и b 1 со рамнината. Тогаш правата линија BB 1 е нормална на правата што се вкрстуваат b и b 1. И ова е невозможно. Дојдовме до контрадикторност. Теоремата е докажана.

33.Нормално, спуштен од дадена точка на дадена рамнина, е отсечка што поврзува дадена точка со точка на рамнината и лежи на права линија нормална на рамнината. Крајот на овој сегмент што лежи во рамнина се нарекува основа на нормалната.
Наклонетнацртана од дадена точка до дадена рамнина е која било отсечка што поврзува дадена точка со точка на рамнината што не е нормална на рамнината. Крајот на сегментот што лежи во рамнина се нарекува наклонета основа. Отсечка што ги поврзува основите на нормална со наклонета извлечена од иста точка се вика коси проекција.

AB е нормално на α рамнината.
AC – кос, CB – проекција.

Изјава на теоремата

Ако права линија нацртана на рамнина низ основата на наклонета линија е нормална на нејзината проекција, тогаш таа е нормална на наклонетата.

Доказ

Нека АБ- нормално на рамнината α, А.Ц.- наклонет и в- права линија во α рамнината што минува низ точката Ви нормално на проекцијата п.н.е.. Ајде да направиме директен CKпаралелно со линијата АБ. Директно CKе нормална на рамнината α (бидејќи е паралелна АБ), и затоа секоја права линија на оваа рамнина, затоа, CKнормално на права линија в. Ајде да цртаме низ паралелни линии АБИ CKрамнина β (паралелните линии дефинираат рамнина, и тоа само една). Директно внормално на две пресечни линии што лежат во β рамнината, ова е п.н.е.според состојбата и CKпо конструкција, тоа значи дека е нормално на која било линија што припаѓа на оваа рамнина, што значи дека е нормална на правата А.Ц..

Во оваа лекција ќе погледнеме како да ја користиме одредницата за креирање равенка на рамнина. Ако не знаете што е детерминанта, одете на првиот дел од лекцијата - „Матрици и детерминанти“. Во спротивно, ризикувате да не разберете ништо во денешниот материјал.

Равенка на рамнина со три точки

Зошто воопшто ни е потребна рамна равенка? Едноставно е: знаејќи го тоа, лесно можеме да пресметаме агли, растојанија и други глупости во проблемот C2. Во принцип, не можете без оваа равенка. Затоа, го формулираме проблемот:

Задача. Во просторот се дадени три точки кои не лежат на иста линија. Нивните координати:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Треба да креирате равенка за рамнината што минува низ овие три точки. Покрај тоа, равенката треба да изгледа вака:

Ax + By + Cz + D = 0

каде што броевите A, B, C и D се коефициентите кои, всушност, треба да се најдат.

Па, како да се добие равенката на рамнина ако се познати само координатите на точките? Најлесен начин е да ги замените координатите во равенката Ax + By + Cz + D = 0. Добивате систем од три равенки кои лесно може да се решат.

Многу студенти сметаат дека ова решение е крајно досадно и несигурно. Минатогодишниот унифициран државен испит по математика покажа дека веројатноста за правење компјутерска грешка е навистина голема.

Затоа, најнапредните наставници почнаа да бараат поедноставни и поелегантни решенија. И го најдоа! Точно, добиената техника се однесува на повисока математика. Лично, морав да пребарувам низ целата Федерална листа на учебници за да се уверам дека имаме право да ја користиме оваа техника без никакво оправдување или докази.

Равенка на рамнина низ детерминанта

Доста е од текстовите, ајде да се зафатиме. За почеток, теорема за тоа како се поврзани детерминантата на матрицата и равенката на рамнината.

Теорема. Нека се дадени координатите на три точки низ кои мора да се повлече рамнината: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Тогаш равенката на оваа рамнина може да се запише преку детерминантата:

Како пример, да се обидеме да најдеме пар рамнини што всушност се појавуваат во проблемите C2. Погледнете колку брзо се пресметува се:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Составуваме детерминанта и ја изедначуваме на нула:

Ја прошируваме детерминантата:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Како што можете да видите, при пресметувањето на бројот d, малку ја „чешлав“ равенката така што променливите x, y и z беа во правилна низа. Тоа е се! Равенката на авионот е подготвена!

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Веднаш ги заменуваме координатите на точките во детерминантата:

Повторно ја прошируваме детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Значи, повторно се добива равенката на рамнината! Повторно, на последниот чекор моравме да ги смениме знаците во него за да добиеме поубава формула. Воопшто не е неопходно да се направи ова во ова решение, но сепак се препорачува - да се поедностави понатамошното решавање на проблемот.

Како што можете да видите, составувањето на равенката на авион сега е многу полесно. Ги заменуваме точките во матрицата, ја пресметуваме детерминантата - и тоа е тоа, равенката е подготвена.

Ова може да ја заврши лекцијата. Меѓутоа, многу студенти постојано забораваат што има внатре во одредницата. На пример, која линија содржи x 2 или x 3, а која линија содржи само x. За навистина да го отстраниме ова од патот, ајде да погледнеме од каде доаѓа секој број.

Од каде формулата со детерминантата?

Значи, ајде да откриеме од каде доаѓа таква груба равенка со детерминанта. Ова ќе ви помогне да го запомните и успешно да го примените.

Сите рамнини што се појавуваат во задачата C2 се дефинирани со три точки. Овие точки секогаш се означени на цртежот, па дури и директно означени во текстот на проблемот. Во секој случај, за да создадеме равенка ќе треба да ги запишеме нивните координати:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Ајде да разгледаме уште една точка на нашата рамнина со произволни координати:

T = (x, y, z)

Земете која било точка од првите три (на пример, точка М) и нацртајте вектори од неа до секоја од трите преостанати точки. Добиваме три вектори:

MN = (x 2 − x 1, y 2 − y 1, z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1, y 3 − y 1, z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1 ).

Сега да составиме квадратна матрица од овие вектори и да ја изедначиме нејзината детерминанта на нула. Координатите на векторите ќе станат редови на матрицата - и ќе ја добиеме самата детерминанта што е означена во теоремата:

Оваа формула значи дека волуменот на паралелепипед изграден на векторите MN, MK и MT е еднаков на нула. Според тоа, сите три вектори лежат во иста рамнина. Конкретно, произволна точка T = (x, y, z) е токму она што го баравме.

Замена на точки и прави на детерминанта

Детерминантите имаат неколку одлични својства кои го прават уште полесно решение на проблемот Ц2. На пример, не ни е важно од која точка ги цртаме векторите. Според тоа, следните детерминанти ја даваат истата равенка на рамнина како горенаведената:

Можете исто така да ги замените линиите на детерминантата. Равенката ќе остане непроменета. На пример, многу луѓе сакаат да напишат линија со координатите на точката T = (x; y; z) на самиот врв. Ве молиме, ако ви е погодно:

Некои луѓе се збунети од фактот дека една од линиите содржи променливи x, y и z, кои не исчезнуваат при замена на точките. Но, тие не треба да исчезнат! Заменувајќи ги броевите во детерминантата, треба да ја добиете оваа конструкција:

Потоа детерминантата се проширува според дијаграмот даден на почетокот на часот и се добива стандардната равенка на рамнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Погледнете еден пример. Тоа е последното на денешната лекција. Намерно ќе ги заменам линиите за да се уверам дека одговорот ќе ја даде истата равенка на авионот.

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Значи, разгледуваме 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Прво, да создадеме стандардна детерминанта и да ја изедначиме на нула:

Ја прошируваме детерминантата:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Тоа е тоа, го добивме одговорот: x + y + z − 2 = 0.

Сега да преуредиме неколку линии во детерминантата и да видиме што ќе се случи. На пример, да напишеме линија со променливите x, y, z не на дното, туку на врвот:

Повторно ја прошируваме добиената детерминанта:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Добивме точно иста равенка на рамнина: x + y + z − 2 = 0. Тоа значи дека навистина не зависи од редоследот на редовите. Останува само да се запише одговорот.

Значи, ние сме убедени дека равенката на рамнината не зависи од низата на линии. Можеме да извршиме слични пресметки и да докажеме дека равенката на рамнината не зависи од точката чии координати ги одземаме од другите точки.

Во проблемот разгледан погоре, ја користевме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше сосема можно да се земе C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Во принцип, секоја точка со познати координати што лежи на саканата рамнина.

Равенка на рамнина. Како да се напише равенка на рамнина?
Меѓусебно уредување на авиони. Задачи

Просторната геометрија не е многу посложена од „рамната“ геометрија, а нашите летови во вселената започнуваат со овој напис. За да ја совладате темата, треба добро да ја разберете вектори, покрај тоа, препорачливо е да се запознаете со геометријата на авионот - ќе има многу сличности, многу аналогии, така што информациите ќе се сварат многу подобро. Во серија мои лекции, 2D светот се отвора со статија Равенка на права линија на рамнина. Но, сега Бетмен го напушти рамниот ТВ екран и стартува од космодромот Бајконур.

Да почнеме со цртежи и симболи. Шематски, рамнината може да се нацрта во форма на паралелограм, што создава впечаток на простор:

Авионот е бесконечен, но имаме можност да прикажеме само дел од него. Во пракса, покрај паралелограмот, се црта и овална или дури облак. Од технички причини, попогодно ми е да го прикажам авионот токму на овој начин и токму во оваа позиција. Вистинските авиони, кои ќе ги разгледаме во практични примери, можат да се лоцираат на кој било начин - ментално земете го цртежот во ваши раце и ротирајте го во просторот, давајќи му на авионот секаков наклон, каков било агол.

Ознаки: авионите обично се означуваат со мали грчки букви, очигледно за да не се мешаат со права линија на авионили со права линија во просторот. Навикнат сум да ја користам буквата. На цртежот е буквата „сигма“, а воопшто не е дупка. Иако, дупката е секако доста смешна.

Во некои случаи, погодно е да се користат истите грчки букви со пониски знаци за да се назначат авиони, на пример, .

Очигледно е дека рамнината е уникатно дефинирана со три различни точки кои не лежат на иста линија. Затоа, ознаките со три букви на авионите се доста популарни - според точките што им припаѓаат, на пример, итн. Често буквите се затворени во загради: , за да не се помеша рамнината со друга геометриска фигура.

За искусни читатели ќе дадам мени за брз пристап:

• Како да се создаде равенка на рамнина користејќи точка и два вектори?
• Како да се создаде равенка на рамнина користејќи точка и нормален вектор?

и нема да опаѓаме во долго чекање:

Равенка на општа рамнина

Општата равенка на рамнината има форма , каде што коефициентите не се еднакви на нула во исто време.

Голем број теоретски пресметки и практични проблеми важат и за вообичаената ортонормална основа и за афината основа на просторот (ако маслото е масло, вратете се на лекцијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори). За едноставност, ќе претпоставиме дека сите настани се случуваат во ортонормална основа и Декартов правоаголен координатен систем.

Сега малку да ја вежбаме нашата просторна имагинација. Во ред е ако твоето е лошо, сега ќе го развиеме малку. Дури и играњето на нерви бара тренинг.

Во најопшт случај, кога броевите не се еднакви на нула, рамнината ги пресекува сите три координатни оски. На пример, вака:

Уште еднаш повторувам дека авионот продолжува бесконечно во сите правци, а ние имаме можност да прикажеме само дел од него.

Да ги разгледаме наједноставните равенки на рамнините:

Како да се разбере оваа равенка? Размислете за тоа: „Z“ СЕКОГАШ е еднакво на нула, за сите вредности на „X“ и „Y“. Ова е равенката на „матичната“ координатна рамнина. Навистина, формално равенката може да се преработи на следниов начин: , од каде јасно може да се види дека не ни е грижа кои вредности ги земаат „x“ и „y“, важно е „z“ да е еднакво на нула.

Исто така:
– равенка на координатната рамнина;
– равенка на координатната рамнина.

Ајде малку да го комплицираме проблемот, да разгледаме рамнина (овде и понатаму во параграфот претпоставуваме дека нумеричките коефициенти не се еднакви на нула). Да ја преработиме равенката во форма: . Како да се разбере? „X“ е СЕКОГАШ, за сите вредности на „Y“ и „Z“, еднакви на одреден број. Оваа рамнина е паралелна со координатната рамнина. На пример, рамнина е паралелна со рамнина и поминува низ точка.

Исто така:
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната рамнина;
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната рамнина.

Да додадеме членови: . Равенката може да се преработи на следниов начин: , односно, „zet“ може да биде што било. Што значи тоа? „X“ и „Y“ се поврзани со релацијата, која повлекува одредена права линија во рамнината (ќе дознаете равенка на права во рамнина?). Бидејќи „z“ може да биде што било, оваа права линија се „реплицира“ на која било висина. Така, равенката дефинира рамнина паралелна на координатната оска

Исто така:
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната оска;
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната оска.

Ако слободните членови се нула, тогаш рамнините директно ќе минуваат низ соодветните оски. На пример, класичната „директна пропорционалност“: . Нацртајте права линија во рамнината и ментално помножете ја нагоре и надолу (бидејќи „Z“ е кое било). Заклучок: рамнината дефинирана со равенката минува низ координатната оска.

Го комплетираме прегледот: равенката на рамнината поминува низ потеклото. Па, овде е сосема очигледно дека поентата ја задоволува оваа равенка.

И, конечно, случајот прикажан на цртежот: – авионот е пријателски расположен со сите координатни оски, додека секогаш „отсекува“ триаголник, кој може да се наоѓа во која било од осумте октанти.

Линеарни неравенки во просторот

За да ги разберете информациите што треба добро да ги проучите линеарни неравенки во рамнината, бидејќи многу работи ќе бидат слични. Параграфот ќе биде од краток преглед со неколку примери, бидејќи материјалот е доста редок во пракса.

Ако равенката дефинира рамнина, тогаш неравенките
прашај полупростори. Ако неравенството не е строга (последните две во списокот), тогаш решението на неравенката, покрај полупросторот, ја вклучува и самата рамнина.

Пример 5

Најдете го единечниот нормален вектор на рамнината .

Решение: Единечен вектор е вектор чија должина е една. Да го означиме овој вектор со . Апсолутно е јасно дека векторите се колинеарни:

Прво, го отстрануваме нормалниот вектор од равенката на рамнината: .

Како да се најде единичен вектор? За да го пронајдете единичниот вектор, ви треба секојподелете ја векторската координата со должината на векторот.

Ајде да го преработиме нормалниот вектор во форма и да ја најдеме неговата должина:

Според горенаведеното:

Одговори:

Верификација: што се бараше да се потврди.

Тоа веројатно го забележале и читателите кои внимателно го проучувале последниот пасус од лекцијата координатите на единечниот вектор се токму косинусите на насоката на векторот:

Ајде да се одмориме од проблемот при рака: кога ви е даден произволен вектор кој не е нула, а според условот се бара да се најдат косинусите на неговата насока (види ги последните задачи од часот Точка производ на вектори), тогаш, всушност, наоѓате единичен вектор колинеарен на овој. Всушност две задачи во едно шише.

Потребата да се најде единечниот нормален вектор се јавува во некои проблеми на математичката анализа.

Сфативме како да извлечеме нормален вектор, сега да одговориме на спротивното прашање:

Како да се создаде равенка на рамнина користејќи точка и нормален вектор?

Оваа цврста конструкција на нормален вектор и точка е добро позната на таблата со пикадо. Ве молиме истегнете ја раката напред и ментално изберете произволна точка во просторот, на пример, мала мачка во таблата. Очигледно, преку оваа точка можете да нацртате една рамнина нормална на вашата рака.

Равенката на рамнина што минува низ точка нормална на векторот се изразува со формулата: