Мислам дека заслужуваш повеќе од ова. Еве го мојот клуч за тригонометријата:

• Нацртајте ја куполата, ѕидот и таванот
• Тригонометриските функции не се ништо друго туку проценти од овие три форми.

Метафора за синус и косинус: купола

Наместо само да ги гледате самите триаголници, замислете ги во акција така што ќе пронајдете некои посебен примерод животот.

Замислете дека сте среде купола и сакате да обесите екран од филмски проектор. Го вперувате прстот кон куполата под одреден агол „x“ и екранот треба да биде суспендиран од оваа точка.

Аголот на кој покажувате одредува:

• синус (x) = грев (x) = висина на екранот (од подот до точката за монтирање на куполата)
• косинус (x) = cos (x) = растојание од вас до екранот (по кат)
• хипотенуза, растојанието од вас до врвот на екранот, секогаш исто, еднакво на радиусот на куполата

Дали сакате екранот да биде што поголем? Закачете го директно над вас.

Дали сакате екранот да виси што подалеку од вас? Закачете го директно нормално. Екранот ќе има нула висина во оваа позиција и ќе виси најдалеку, како што прашавте.

Висината и растојанието од екранот се обратно пропорционални: колку поблиску виси екранот, толку е поголема неговата висина.

Синус и косинус се проценти

Никој во текот на моите години студирање, за жал, не ми објасни дека тригонометриските функции синус и косинус не се ништо повеќе од проценти. Нивните вредности се движат од +100% до 0 до -100%, или од позитивен максимум до нула до негативен максимум.

Да речеме дека платив данок од 14 рубли. Не знаеш колку е. Но, ако кажеш дека сум платил 95% данок, ќе разбереш дека едноставно сум бил со руно.

Апсолутна висина не значи ништо. Но, ако синусната вредност е 0,95, тогаш разбирам дека телевизорот виси речиси на врвот на куполата. Многу брзо ќе стигне максимална висинаво центарот на куполата, а потоа повторно почнува да опаѓа.

Како можеме да го пресметаме овој процент? Многу е едноставно: поделете ја тековната висина на екранот со максималната можна (радиусот на куполата, исто така наречена хипотенуза).

Затоани е кажано дека „косинус = спротивна страна / хипотенуза“. Се работи за добивање камата! Најдобро е да се дефинира синус како „процент на тековната висина од максималното можно“. (Синусот станува негативен ако вашиот агол покажува „под земја“. Косинусот станува негативен ако аголот е насочен кон точката на куполата зад вас.)

Ајде да ги поедноставиме пресметките со претпоставка дека сме во центарот единица круг(радиус = 1). Можеме да ја прескокнеме поделбата и само да го земеме синусот еднаков на висината.

Секој круг е во суштина единица, зголемена или намалена во размер до вистинската големина. Затоа, одредете ги врските на кругот на единицата и применете ги резултатите на вашата специфична големина на кругот.

Експериментирајте: земете кој било агол и видете што процентотвисина до ширина се прикажува:

Графикот на растот на синусната вредност не е само права линија. Првите 45 степени покриваат 70% од висината, но последните 10 степени (од 80° до 90°) покриваат само 2%.

Така ќе ви биде појасно: ако одите во круг, на 0° се кревате речиси вертикално, но како што се приближувате до врвот на куполата, висината се менува сè помалку.

Тангента и секанта. Ѕид

Еден ден сосед изгради ѕид веднаш еден до другдо твојата купола. Плачеше вашиот поглед од прозорецот и добра цена за препродажба!

Но, дали е можно некако да се победи во оваа ситуација?

Се разбира да. Што ако закачиме филмско платно токму на ѕидот на соседот? Го насочувате аголот (x) и добивате:

• tan(x) = tan(x) = висина на екранот на ѕидот
• растојание од вас до ѕидот: 1 (ова е радиусот на вашата купола, ѕидот не се движи никаде од вас, нели?)
• секант(x) = сек(x) = „должина на скалата“ од вас што стоите во центарот на куполата до врвот на висениот екран

Ајде да разјасниме неколку точки во врска со тангентата или висината на екранот.

• почнува на 0 и може да оди бесконечно високо. Можете да го истегнете екранот повисоко и повисоко на ѕидот за да создадете бескрајно платно за гледање на вашиот омилен филм! (За толку огромен, се разбира, ќе треба да потрошите многу пари).
• тангентата е само поголема верзија на синус! И додека зголемувањето на синусот се забавува додека се движите кон врвот на куполата, тангентата продолжува да расте!

Секансу исто така има со што да се пофали:

• Секантот започнува од 1 (скалата е на подот, од вас до ѕидот) и почнува да се крева од таму
• Секантата е секогаш подолга од тангентата. Закосената скала што ја користите за да го закачите екранот треба да биде подолга од самиот екран, нели? (Со нереални големини, кога екранот е многу долг и скалата треба да се постави речиси вертикално, нивните големини се скоро исти. Но и тогаш секантот ќе биде малку подолг).

Запомнете, вредностите се проценти. Ако одлучите да го закачите екранот под агол од 50 степени, tan(50)=1,19. Вашиот екран е 19% поголем од растојанието до ѕидот (радиус на куполата).

(Внесете x=0 и проверете ја вашата интуиција - tan(0) = 0 и sec(0) = 1.)

Котангенс и косекант. Таванот

Неверојатно, вашиот сосед сега одлучи да изгради покрив над вашата купола. (Што му е? Очигледно не сака да го шпионирате додека шета гол низ дворот...)

Па, време е да изградите излез до покривот и да разговарате со вашиот сосед. Го избирате аголот на наклон и започнувате со изградба:

• вертикалното растојание помеѓу излезот на покривот и подот е секогаш 1 (радиусот на куполата)
• котангента(x) = креветче(x) = растојание помеѓу врвот на куполата и излезната точка
• cosecant(x) = csc(x) = должина на вашата патека до покривот

Тангентата и секантата го опишуваат ѕидот, а COtangent и COsecant го опишуваат таванот.

Нашите интуитивни заклучоци овојпат се слични на претходните:

• Ако го земете аголот еднаков на 0°, вашиот излез до покривот ќе трае вечно, бидејќи никогаш нема да стигне до таванот. Проблем.
• Најкратката „скала“ до покривот ќе ја добиете ако ја изградите под агол од 90 степени во однос на подот. Котангенсот ќе биде еднаков на 0 (воопшто не се движиме по покривот, излегуваме строго нормално), а косекантот ќе биде еднаков на 1 („должината на скалата“ ќе биде минимална).

Визуелизирајте врски

Ако сите три случаи се нацртани во комбинација купола-ѕид-таван, резултатот ќе биде следниот:

Па, сепак е истиот триаголник, зголемен во големина за да стигне до ѕидот и таванот. Имаме вертикални страни (синус, тангента), хоризонтални страни (косинус, котангента) и „хипотенуси“ (секанта, косекантна). (Со стрелките можете да видите до каде достигнува секој елемент. Косекантот е вкупното растојание од вас до покривот).

Малку магија. Сите триаголници делат исти еднаквости:

Од Питагоровата теорема (a 2 + b 2 = c 2) гледаме како страните на секој триаголник се поврзани. Дополнително, односот „висина до ширина“ исто така треба да биде ист за сите триаголници. (Само повлечете се од самиот почеток голем триаголникна помалку. Да, големината е променета, но соодносите ќе останат исти).

Знаејќи која страна во секој триаголник е еднаква на 1 (радиусот на куполата), лесно можеме да пресметаме дека „sin/cos = tan/1“.

Отсекогаш сум се трудел да се сетам на овие факти преку едноставна визуелизација. На сликата јасно ги гледате овие зависности и разбирате од каде доаѓаат. Оваа техника е многу подобро од меморирањесуви формули.

Не заборавајте за другите агли

Псст... Не заглавувајте се на еден график, мислејќи дека тангентата е секогаш помала од 1. Ако го зголемите аголот, можете да стигнете до таванот без да стигнете до ѕидот:

Питагорејските врски секогаш функционираат, но релативни големиниможе да бидат различни.

(Можеби сте забележале дека односот на синус и косинус се секогаш најмали бидејќи се содржани во куполата).

Да резимираме: што треба да запомниме?

За повеќето од нас, би рекол дека ова ќе биде доволно:

• тригонометријата ја објаснува анатомијата на математичките предмети како што се кругови и интервали за повторување
• Аналогијата на купола/ѕид/покрив ја покажува врската помеѓу различните тригонометриски функции
• резултат тригонометриски функциисе процентите што ги применуваме на нашата скрипта.

Не треба да меморирате формули како 1 2 + креветче 2 = csc 2 . Тие се погодни само за глупави тестови, во кој знаењето за некој факт се пренесува како негово разбирање. Одвојте една минута за да нацртате полукруг во форма на купола, ѕид и покрив, означете ги елементите и сите формули ќе ви дојдат на хартија.

Примена: Инверзни функции

Секоја тригонометриска функција зема агол како влезен параметар и го враќа резултатот како процент. sin (30) = 0,5. Тоа значи дека аголот од 30 степени зафаќа 50% од максималната висина.

Инверзната тригонометриска функција е напишана како sin -1 или arcsin. Исто така често се пишува asin in разни јазиципрограмирање.

Ако нашата висина е 25% од висината на куполата, кој е нашиот агол?

Во нашата табела со пропорции можете да најдете сооднос каде што секантата е поделена со 1. На пример, секантата со 1 (хипотенуза до хоризонталата) ќе биде еднаква на 1 поделена со косинус:

Да речеме дека нашиот секант е 3,5, т.е. 350% од радиусот на единица круг. На кој агол на наклон кон ѕидот одговара оваа вредност?

Додаток: Некои примери

Пример: Најдете го синусот на аголот x.

Досадна задача. Ајде да го комплицираме баналното „пронајди го синусот“ до „Колкава е висината како процент од максимумот (хипотенуза)?

Прво, забележете дека триаголникот е ротиран. Нема ништо лошо во тоа. Триаголникот има и висина, на сликата е означен со зелено.

На што е еднаква хипотенузата? Според Питагоровата теорема, знаеме дека:

3 2 + 4 2 = хипотенуза 2 25 = хипотенуза 2 5 = хипотенуза

Добро! Синус е процентот на висината на најдолгата страна на триаголникот или хипотенуза. Во нашиот пример, синусот е 3/5 или 0,60.

Се разбира, можеме да одиме на неколку начини. Сега знаеме дека синусот е 0,60, едноставно можеме да го најдеме лаксинот:

Асин(0,6)=36,9

Еве уште еден пристап. Забележете дека триаголникот е „свртен кон ѕидот“, така што можеме да ја користиме тангентата наместо синусот. Висината е 3, растојанието до ѕидот е 4, така што тангентата е ¾ или 75%. Можеме да го користиме арктангенсот за да се вратиме од процентуалната вредност на аголот:

Тан = 3/4 = 0,75 атан (0,75) = 36,9 Пример: Дали ќе допливаш до брегот?

Се наоѓате во чамец и имате доволно гориво за да поминете 2 км. Сега сте на 0,25 км од брегот. Под кој максимален агол на брегот можете да допливате до него за да имате доволно гориво? Дополнување на изјавата за проблемот: имаме само табела со косинусни вредности на лакот.

Што имаме? крајбрежјеможе да се претстави како „ѕид“ во нашиот познат триаголник, а „должината на скалата“ прикачена на ѕидот е максималното можно растојание што треба да се помине со брод до брегот (2 км). Се појавува секант.

Прво, треба да отидете на проценти. Имаме 2 / 0,25 = 8, односно можеме да пливаме растојание што е 8 пати поголемо од директното растојание до брегот (или до ѕидот).

Се поставува прашањето: „Која е секантата на 8? Но, не можеме да одговориме, бидејќи имаме само лачни косинуси.

Ги користиме нашите претходно изведени зависности за да ја поврземе секантата со косинус: „sec/1 = 1/cos“

Секанс 8 еднакво на косинус⅛. Аголот чиј косинус е ⅛ е еднаков на acos(1/8) = 82,8. И ова е најголемиот агол што можеме да си го дозволиме на брод со одредената количина гориво.

Не е лошо, нели? Без аналогијата купола-ѕид-таван, ќе се изгубев во еден куп формули и пресметки. Визуелизирањето на проблемот во голема мера го поедноставува барањето решение, а исто така е интересно да се види која тригонометриска функција на крајот ќе помогне.

Размислете кога го решавате секој проблем на следниот начин: Дали сум заинтересиран за купола (sin/cos), ѕид (tan/sec) или таван (креветче/csc)?

И тригонометријата ќе стане многу попријатна. Лесни пресметки за вас!

Час на тема „Синус, косинус и тангента остар аголправоаголен триаголник"

Цели на лекцијата:

едукативно - воведете го концептот на синус, косинус, тангента на остар агол во правоаголен триаголник, истражувајте ги зависностите и односите помеѓу овие величини;

развој - формирање на концептот на синус, косинус, тангента како функции на агол, домен на дефинирање на тригонометриски функции, развој логично размислување, развој на правилен математички говор;

воспитно – развој на вештини за самостојна работа, култура на однесување, точност во водење на евиденција.

Напредокот на лекцијата:

1. Време на организирање

„Образованието не е бројот на земени лекции, туку бројот на разбрани. Затоа, ако сакате да одите напред, тогаш побрзајте полека и бидете внимателни“.

2. Мотивација на лекцијата.

Еден мудар човек рекол: Врвна манифестацијадухот е умот. Највисоката манифестација на разумот е геометријата. Ќелијата за геометрија е триаголник. Таа е неисцрпна како и Универзумот. Кругот е душата на геометријата. Познајте го кругот и не само што ќе ја знаете душата на геометријата, туку и ќе ја воздигнете вашата душа“.

Ќе се обидеме да направиме мало истражување заедно со вас. Ајде да ги споделиме вашите идеи што ќе ви паднат на ум, и не плашете се да правите грешки, секоја мисла може да ни даде нов правец за пребарување. Нашите достигнувања можеби некому не му изгледаат големи, но тие ќе бидат наши достигнувања!

3. Ажурирање на основните знаења.

Кои агли може да има?

Што се триаголници?

Кои се главните елементи што го дефинираат триаголникот?

Какви видови триаголници постојат во зависност од страните?

Какви видови триаголници постојат во зависност од аглите?

Што е нога?

Што е хипотенуза?

Како се викаат страните на правоаголен триаголник?

Какви односи меѓу страните и аглите на овој триаголник знаете?

Зошто треба да ги знаете односите помеѓу страните и аглите?

Кои задачи во животот може да доведат до потреба за пресметување непознати страниво триаголник?

Терминот „хипотенуза“ доаѓа од грчки збор„хипоиноза“, што значи „се протега над нешто“, „договарање“. Зборот потекнува од ликот на старогрчките харфи, на кои се протегаат жиците на краевите на две меѓусебно нормални штандови. Терминот „катетус“ потекнува од грчкиот збор „катетос“, што значи почеток на „водна линија“, „нормална“.

Евклид рекол: „Нозете се страните што затвораат прав агол“.

ВО Античка Грцијавеќе беше познат метод за конструирање правоаголен триаголник на земјата. За да го направат тоа користеле јаже на кое биле врзани 13 јазли, на исто растојание еден од друг. За време на изградбата на пирамидите во Египет, на овој начин биле направени правоаголни триаголници. Веројатно затоа правоаголен триаголниксо страни 3,4,5 и повикани египетски триаголник.

4. Проучување на нов материјал.

Во античко време, луѓето ги гледале ѕвездите и, врз основа на овие набљудувања, воделе календар, пресметале датуми на сеење и време на поплави на реките; бродовите на море и караваните на копно го пловеа своето патување покрај ѕвездите. Сето ова доведе до потреба да се научи како да се пресметаат страните во триаголник, чии две темиња се на земја, а третото е претставено со точка на ѕвезденото небо. Врз основа на оваа потреба, се појави науката за тригонометрија - наука која ги проучува врските помеѓу страните на триаголникот.

Дали мислите дека врските што веќе ги знаеме се доволни за решавање на ваквите проблеми?

Целта на денешниот час е да се истражат нови врски и зависности, да се изведат врски, користејќи кои во следните лекции по геометрија ќе можете да решавате вакви проблеми.

Да се ​​чувствуваме како да сме во улогата научни работниции следејќи ги генијалците од антиката Талес, Евклид, Питагора да одиме по патекатапотрага по вистината.

За ова ни треба теоретска основа.

Означете го аголот А и ногата BC со црвено.

Истакнете зеленанога AC.

Ајде да пресметаме кој дел е спротивната страна за остар агол А до неговата хипотенуза, за ова го создаваме односот спротивна ногадо хипотенузата:

Оваа врска има посебно име - такво што секој човек во секоја точка на планетата го разбира тоа ние зборуваме заза број што го претставува односот на спротивната страна на остриот агол со хипотенузата. Овој збор е синус. Запишете го. Бидејќи зборот синус без името на аголот го губи целото значење, математичката нотација е следна:

Сега составете го односот на соседната нога до хипотенузата за акутниот агол А:

Овој однос се нарекува косинус. Неговата математичка нотација:

Да разгледаме друга врска за остар агол А: односот на спротивната страна со соседната нога:

Овој однос се нарекува тангента. Неговата математичка нотација:

5. Консолидација на нов материјал.

Ајде да ги консолидираме нашите средни откритија.

Сине е...

Косинусот е ...

Тангентата е ...

грев А =	грев ЗА =	грев А 1 =
cos A =	cos ЗА =	бидејќи А 1 =
тен А =	тг ЗА =	тен А 1 =

Решете усно бр.88,889,892 (работа во парови).

Користење на стекнатото знаење за решавање практичен проблем:

„Од кулата на светилникот, висока 70 метри, е видлив брод под агол од 3° во однос на хоризонтот. Како е

растојание од светилникот до бродот?

Проблемот е решен фронтално. Во текот на дискусијата правиме цртеж и потребните белешки на табла и во тетратки.

При решавање на проблемот се користат табелите Брадис.

Размислете за решението на проблемот стр. 175.

Решете бр.902(1).

6. Вежба за очи.

Без да ја вртите главата, погледнете околу ѕидот на училницата околу периметарот во насока на стрелките на часовникот, таблата околу периметарот спротивно од стрелките на часовникот, триаголникот прикажан на држачот во насока на стрелките на часовникот и еднаквиот триаголник спротивно од стрелките на часовникот. Свртете ја главата налево и погледнете ја линијата на хоризонтот, а сега на врвот на носот. Затворете ги очите, избројте до 5, отворете ги очите и...

Ќе ги ставиме дланките на очите,
Да ги рашириме нашите силни нозе.
Свртување надесно
Ајде величествено да погледнеме наоколу.
И вие треба да одите лево
Погледни од под твоите дланки.
И - десно! И понатаму
Над левото рамо!
Сега да продолжиме да работиме.

7. Самостојна работаучениците.

Решете бр.

8. Резиме на лекцијата. Рефлексија. D/z.

Кои нови работи научивте? На лекцијата:

дали сте размислувале...

анализиравте...

Ти прими …

сте заклучиле...

сте надополниле лексиконследните термини...

Светската наука започна со геометријата. Човекот не може вистински да се развива културно и духовно ако не учел геометрија на училиште. Геометријата произлезе не само од практичните, туку и од духовните потреби на човекот.

Вака поетски ја објасни својата љубов кон геометријата

Ја сакам геометријата...

Предавам геометрија затоа што ја сакам

Потребна ни е геометрија, без неа не можеме да стигнеме никаде.

Синус, косинус, обем - сè е важно овде,

Сè е потребно овде

Треба само да научите и да разберете сè многу јасно,

Завршете ги задачите и тестовите на време.

Нека се дадени правоаголен координатен систем и права линија . Нека И - две различни рамнини кои се сечат во права линија и соодветно дадени со равенки. Овие две равенки заеднички ја дефинираат правата линија ако и само ако тие не се паралелни и не се совпаѓаат едни со други, т.е. нормални вектори
И
овие рамнини не се колинеарни.

Дефиниција.Ако коефициентите на равенките

не се пропорционални, тогаш се нарекуваат овие равенки општи равенки права линија, дефинирана како линија на пресек на рамнини.

Дефиниција.Се нарекува секој ненулта вектор паралелен на права водич вектороваа права линија.

Да ја изведеме равенката на права линија поминувајќи низ дадена точка
простор и имајќи даден вектор на насока
.

Нека поентата
- произволна точка на права линија . Оваа точка лежи на права ако и само ако векторот
, имајќи координати
, колинеарна со векторот на насоката
директно. Според (2.28), условот за колинеарност на вектори
И изгледа како

. (3.18)

Се повикуваат равенките (3.18). канонски равенкиправа линија што минува низ точка
и има вектор на насока
.

Ако директно се дава со општи равенки (3.17), потоа векторот на насоката оваа линија е ортогонална на нормалните вектори
И
рамнини одредени со равенки. Вектор
според својството на векторски производ, тој е ортогонален на секој од векторите И . Според дефиницијата, како вектор на насока директно можете да земете вектор
, т.е.
.

Да се ​​најде точка
разгледајте го системот на равенки
. Бидејќи рамнините дефинирани со равенките не се паралелни и не се совпаѓаат, тогаш барем една од равенките не важи
. Ова води до фактот дека барем една од детерминантите ,
,
различен од нула. За дефинитивно, ќе го претпоставиме тоа
. Потоа, земајќи произволна вредност , добиваме систем од равенки за непознатите И :

.

Според теоремата на Крамер, овој систем има единствено решение дефинирано со формулите

,
. (3.19)

Ако земете
, тогаш правата линија дадена со равенките (3.17) поминува низ точката
.

Така, за случајот кога
, канонски равенкиправи линии (3.17) имаат форма

.

Канонските равенки на права линија (3.17) се напишани слично за случајот кога детерминантата е ненула
или
.

Ако права минува низ две различни точки
И
, тогаш неговите канонски равенки имаат форма

. (3.20)

Ова произлегува од фактот дека правата линија минува низ точката
и има вектор на насока.

Да ги разгледаме канонските равенки (3.18) на права линија. Да ја земеме секоја од релациите како параметар , т.е.
. Еден од именителот на овие дропки не е нула, а соодветниот броител може да земе која било вредност, па параметарот може да преземе какви било вистински вредности. Имајќи предвид дека секој од соодносите е еднаков , добиваме параметарски равенки директно:

,
,
. (3.21)

Пушти го авионот е дадена со општа равенка, а права линија - параметарски равенки
,
,
. Точка
пресек на права линија и авиони мора истовремено да припаѓа на рамнина и линија. Ова е можно само ако параметарот ја задоволува равенката, т.е.
. Така, точката на пресек на права линија и рамнина има координати

,

,

.

Пример 32. Напиши параметарски равенки за права што минува низ точки
И
.

Решение.За насочувачкиот вектор на правата линија го земаме векторот

. Права линија поминува низ точка , затоа, според формулата (3.21), бараните равенки на права линија ја имаат формата
,
,
.

Пример 33. Темиња на триаголникот
имаат координати
,
И
соодветно. Состави параметарски равенки за медијаната извлечена од темето .

Решение.Нека
- средината на страната
, Потоа
,
,
. Како водечки вектор на медијаната, го земаме векторот
. Тогаш параметарските равенки на медијаната имаат форма
,
,
.

Пример 34. Составете ги канонските равенки на права што минува низ точка
паралелно со линијата
.

Решение.Правата линија се дефинира како линија на пресек на рамнини со нормални вектори
И
. Како водич вектор земете го векторот на оваа линија
, т.е.
. Според (3.18), бараната равенка ја има формата
или
.

3.8. Аголот помеѓу прави линии во просторот. Агол помеѓу права линија и рамнина

Нека две прави линии И во просторот се дадени со нивните канонски равенки
И
. Потоа еден од аглите помеѓу овие редови еднаков на аголотпомеѓу нивните вектори на насока
И
. Со помош на формулата (2.22), да се одреди аголот ја добиваме формулата

. (3.22)

Втор агол помеѓу овие линии е еднаква
И
.

Услов за паралелни прави И е еквивалентно на условот за колинеарност на вектори
И
а лежи во пропорционалноста на нивните координати, односно условот за паралелни прави ја има формата

. (3.23)

Ако директно И се нормални, тогаш нивните вектори на насока се ортогонални, т.е. условот за перпендикуларност се определува со еднаквоста

. (3.24)

Размислете за авион , дадена со општата равенка и правата линија , дадени со канонските равенки
.

Катче помеѓу права линија и авион е комплементарен на аголот помеѓу насочувачкиот вектор на права линија и нормалниот вектор на рамнината, т.е.
И
, или

. (3.24)

Услов за паралелизам на права и авиони е еквивалентно на условот дека векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината се нормални, т.е. скаларниот производ на овие вектори мора да биде еднаков на нула:

Ако правата е нормална на рамнината, тогаш векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината мора да бидат колинеарни. Во овој случај, координатите на векторите се пропорционални, т.е.

. (3.26)

Пример 35. Најдете тап аголпомеѓу прави линии
,
,
И
,
,
.

Решение.Векторите на насоката на овие линии имаат координати
И
. Затоа еден агол помеѓу прави линии се определува со односот, т.е.
. Според тоа, условот на проблемот е задоволен со вториот агол меѓу линиите, еднаков на
.

3.9. Растојание од точка до линија во просторот

Нека
 точка во просторот со координати
, права линија дадена со канонски равенки
. Ајде да ја најдеме растојанието од точка
до права линија .

Ајде да примениме водич вектор
до точка
. Растојание од точка
до права линија е висината на паралелограм изграден на вектори И
. Ајде да ја најдеме плоштината на паралелограм користејќи го вкрстениот производ:

На другата страна, . Од еднаквоста на десните страни на последните две релации произлегува дека

. (3.27)

3.10. Елипсоид

Дефиниција. Елипсоиде површина од втор ред, која во некој координатен систем се дефинира со равенката

. (3.28)

Равенката (3.28) се нарекува канонска равенка на елипсоидот.

Од равенката (3.28) произлегува дека координатните рамнини се рамнини на симетрија на елипсоидот, а потеклото на координатите е центарот на симетријата. Броеви
се нарекуваат полуоски на елипсоидот и ги претставуваат должините на отсечките од почетокот до пресекот на елипсоидот со координатните оски. Елипсоид е ограничена површина затворена во паралелепипед
,
,
.

Да ја утврдиме геометриската форма на елипсоидот. За да го направите ова, дозволете ни да го дознаеме обликот на линиите на пресек на неговите рамнини паралелни со координатните оски.

Да бидеме конкретни, разгледајте ги линиите на пресек на елипсоидот со рамнините
, паралелно со авионот
. Равенка за проекција на линијата на пресек на рамнина
се добива од (3.28) ако ставиме во него
. Равенката на оваа проекција е

. (3.29)

Ако
, тогаш (3.29) е равенката на имагинарна елипса и точките на пресек на елипсоидот со рамнината
бр. Го следи тоа
. Ако
, тогаш линијата (3.29) се дегенерира во точки, т.е. рамнини
допрете го елипсоидот во точките
И
. Ако
, Тоа
и можете да ја воведете ознаката

,
. (3.30)

Тогаш равенката (3.29) добива форма

, (3.31)

односно проекција на авион
линии на пресек на елипсоидот и рамнината
е елипса со полуоски, кои се определуваат со еднаквости (3.30). Бидејќи линијата на пресек на површината со рамнини паралелни на координатните рамнини е проекција „подигната“ на висина , тогаш самата линија на пресек е елипса.

При намалување на вредноста осовините И се зголемуваат и ја достигнуваат својата најголема вредност во
, односно во пресекот на елипсоидот со координатната рамнина
се добива најголемата елипса со полуоски
И
.

Идејата за елипсоид може да се добие на друг начин. Размислете во авионот
фамилија на елипси (3.31) со полуоски И , дефинирани со релации (3.30) и во зависност од . Секоја таква елипса е линија на линија, односно линија во секоја точка од која вредноста исто. „Подигање“ на секоја таква елипса до висина , добиваме просторен приказ на елипсоидот.

Слична слика се добива кога дадена површина се пресекува со рамнини паралелни на координатните рамнини
И
.

Така, елипсоид е затворена елипсовидна површина. Кога
Елипсоидот е сфера.

Линијата на пресек на елипсоид со која било рамнина е елипса, бидејќи таквата линија е ограничена линија од втор ред, а единствената ограничена линија од втор ред е елипса.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми што ви се потребни успешно завршувањеУнифициран државен испит по математика за 60-65 поени. Целосно сите проблеми 1-13 Профил унифициран државен испитматематика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Сите неопходна теорија. Брзи начинирешенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборовии теоријата на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Визуелно објаснување сложени концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решение сложени задачи 2 дела од Единствениот државен испит.