Ќе ја започнеме нашата студија за тригонометријата со правоаголен триаголник. Ајде да дефинираме што се синус и косинус, како и тангента и котангента остар агол. Ова се основите на тригонометријата.
Да се потсетиме на тоа прав аголе агол еднаков на 90 степени. Со други зборови, половина свртен агол.
Остар агол- помалку од 90 степени.
Тап агол- поголема од 90 степени. Во однос на таков агол, „тап“ не е навреда, туку математички термин :-)
Ајде да нацртаме правоаголен триаголник. Правиот агол обично се означува со . Ве молиме имајте предвид дека страната спроти аголот е означена со истата буква, само мала. Така, се означува страната спротивна на аголот А.
Аголот е означен со соодветниот Грчко писмо.
Хипотенузана правоаголен триаголник е страната спротивна на правиот агол.
Нозете- страни што лежат спроти акутни агли.
Ногата што лежи спроти аголот се нарекува спротивно(во однос на аголот). Другата нога, која лежи на една од страните на аголот, се нарекува соседните.
Синусостар агол во правоаголен триаголник е односот спротивна странадо хипотенузата:
Косинусотостар агол во правоаголен триаголник - однос соседната ногадо хипотенузата:
Тангентаостар агол во правоаголен триаголник - односот на спротивната страна со соседната:
Друга (еквивалентна) дефиниција: тангентата на остар агол е односот на синусот на аголот и неговиот косинус:
Котангенсостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната страна кон спротивната (или, што е исто, односот на косинус и синус):
Забележете ги основните односи за синус, косинус, тангента и котангента подолу. Тие ќе ни бидат корисни при решавање на проблеми.
Ајде да докажеме некои од нив.
Добро, дадовме дефиниции и запишавме формули. Но, зошто сè уште ни се потребни синус, косинус, тангента и котангента?
Ние го знаеме тоа збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на.
Ја знаеме врската помеѓу забавиправоаголен триаголник. Ова е Питагоровата теорема: .
Излегува дека знаејќи два агли во триаголник, можете да го најдете третиот. Знаејќи ги двете страни на правоаголен триаголник, можете да ја најдете третата. Тоа значи дека аглите имаат свој сооднос, а страните имаат свој. Но, што треба да направите ако во правоаголен триаголник знаете еден агол (освен правиот агол) и едната страна, но треба да ги најдете другите страни?
Ова е она што луѓето во минатото го сретнале кога правеле мапи на областа и ѕвезденото небо. На крајот на краиштата, не е секогаш можно директно да се измерат сите страни на триаголникот.
Синус, косинус и тангента - тие исто така се нарекуваат Функции на тригонометриски агол- Дајте врски помеѓу забавиИ аглитетријаголник. Знаејќи го аголот, можете да ги најдете сите негови тригонометриски функции користејќи специјални табели. И знаејќи ги синусите, косинусите и тангентите на аглите на триаголникот и една од неговите страни, можете да ги најдете останатите.
Ќе нацртаме и табела со вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за „добри“ агли од до.
Забележете ги двете црвени цртички во табелата. При соодветни аголни вредности, тангента и котангента не постојат.
Ајде да погледнеме неколку тригонометриски проблеми од FIPI Task Bank.
1. Во триаголник, аголот е,. Најдете .
Проблемот е решен за четири секунди.
Затоа што , .
2. Во триаголник, аголот е ,,. Најдете .
Ајде да го најдеме користејќи ја теоремата на Питагореј.
Проблемот е решен.
Често во проблемите има триаголници со агли и или со агли и. Запомнете ги основните коефициенти за нив по срце!
За триаголник со агли и кракот спроти аголот во е еднаков на половина од хипотенузата.
Триаголник со агли и е рамнокрак. Во него, хипотенузата е пати поголема од ногата.
Разгледавме проблеми за решавање правоаголни триаголници - односно наоѓање непознати страниили агли. Но, тоа не е се! ВО Опции за обединет државен испитво математиката има многу проблеми каде што се појавува синус, косинус, тангента или котангента на надворешниот агол на триаголникот. Повеќе за ова во следната статија.
Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата.
Поглавје 5: Решавање триаголници
5.1. Правоаголен триаголник
Аксиомите 1.4 и 2.1 овозможија да се доделат броеви еднакви на нивните мерки на отсечки и агли, односно да се измерат отсечки и агли. Досега немаше врска меѓу величините на аглите и должините на отсечките. Со воведувањето на триаголниците, станува возможно да се поврзат степените мерки на аглите на триаголникот и должините на неговите страни. Размислете за односите помеѓу страните и аглите на правоаголен триаголник.
1
Слика 5.1.1.
Правоаголен триаголник.
Косинус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата. Нека аголот (BAC) е саканиот остар агол. Така, на пример, за аголот BAC (сл. 5.1.1)
Теорема 5.1.
Косинусот на аголот зависи само од степен меркаагол и не зависи од локацијата и големината на триаголникот.
Доказ
Нека ABC и A1B1C1 се два правоаголни триаголници со ист агол на темињата A и A1, еднакви на α. Ајде да конструираме триаголник AB2C2, еднаква на триаголник A1B1C1 како што е прикажано на сл. 5.1.2. Ова е можно според аксиомата 4.1. Бидејќи аглите A и A1 се еднакви, тогаш B2 лежи на правата AB. Правите BC и B2C2 се нормални на правата AC, а според заклучокот 3.1 тие се паралелни. Со теорема 4.13
2
Слика 5.1.2.
За теорема 5.1.
Но по конструкција AC2 = A1C1; AB2 = A1B1, значи
Q.E.D.
Теорема 5.2.
Питагорова теорема. Во правоаголен триаголник, квадратот на хипотенузата еднаков на збиротквадрати на нозе.
Модел 5.2. Доказ за Питагоровата теорема.
Слика 5.1.3 покажува правоаголен триаголник. BC и AC се неговите нозе, AB е хипотенузата. По теорема BC2 + AC2 = AB2.
Доказ
Нека ABC е даден правоаголен триаголник со прав агол на темето C.
3
Слика 5.1.3.
Кон докажувањето на Питагоровата теорема.
Дозволете ни да ја нацртаме висината CD од темето C. По дефиниција, од триаголникот ACD и од триаголник ABC. Со теорема 5.1 и, според тоа, . Слично од Δ CDB, од Δ ACB и оттука AB · BD = BC2. Додавајќи ги добиените еднаквости и забележувајќи дека AD + BD = AB, добиваме AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Теоремата е докажана.
Во правоаголен триаголник, која било од катетите е помала од хипотенузата. Косинусот на кој било остар агол е помал од еден.
Нека е нормалната нацртана од точката B до правата a, а A е која било точка од оваа права различна од C. Отсечката AB се нарекува наклонета права нацртана од точката B до правата a. Точката C се нарекува основа на наклонот. Отсечката AC се нарекува коси проекција.
Користејќи ја Питагоровата теорема, може да се покаже дека ако нормална и наклонета права се повлечени на права линија од една точка, тогаш
секој наклон е поголем од нормален,
еднакви коси имаат еднакви проекции,
Од двете наклонети, поголема е онаа со поголема проекција.
Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата. А-приоритет
Тангента на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна. За аголот (BAC) на правоаголниот триаголник прикажан на сл. 5.1.1, имаме
Исто како косинус, синусот на аголот и тангентата на аголот зависат само од големината на аголот.
4
Слика 5.1.4.
Од овие дефиниции ги добиваме следните односи меѓу аглите и страните на правоаголен триаголник: ако α е остар агол на правоаголен триаголник, тогаш
нога спротивна на аголот α, еднаков на производотхипотенуза со грев α;
кракот во непосредна близина на аголот α е еднаков на производот на хипотенузата и cos α;
кракот спроти аголот α е еднаков на производот на вториот крак со tan α.
Тригонометриските функции на остар агол се нумерички вредности на меѓусебниот однос на кои било две страни на правоаголен триаголник. Во зависност од односот на кои страни на правоаголен триаголник се разгледуваат, тригонометриските функции се нарекуваат: синус (sin), косинус (cos), тангента (tg), котангента (ctg) итн.
Синус Акутен агол е нумеричката вредност на односот на должината на спротивната нога до должината на хипотенузата:
(31)
Косинусот Акутен агол е нумеричката вредност на односот на должината на соседната нога до должината на хипотенузата:
(32)
Тангента Акутен агол е нумеричката вредност на односот на должината на спротивната нога до должината на соседната нога:
(33)
Котангенс Акутен агол е нумеричката вредност на односот на должината на соседната нога до должината на спротивната нога:
(34)
Функциите на акутните агли играат важна улогапри решавање на многу математички и геодетски проблеми, сепак нивната употреба е ограничена со границите на промените на акутните агли од 0 (0-00) до 90 (30-00). При топогеодетско референцирање, системот за определување на насочните агли користи агли (насоки) со мерни граници до 360 (60-00). Затоа, постои потреба да се прошири концептот на тригонометриски функции на агли од која било големина.
Тригонометриските функции на кој било произволен агол може да се изразат преку вредностите на тригонометриските функции на остар агол (четврт агол, видете Слика 23). Земајќи ги предвид ваквите трансформации, составена е „Табела на природни вредности на тригонометриските функции на синусите и косинусите“. (Прилог 6).Користејќи ја табелата, можете да ги одредите тригонометриските функции на синус и косинус без да го намалите аголот на четвртина.
Решение на триаголник.
Сите видови серифи се поврзани со решавање на триаголник. Решавањето на триаголник значи одредување на непознатите вредности на аголните и линеарните елементи. За да решите триаголник, треба да ги знаете вредностите на кои било три негови елементи, од кои мора да има најмалку една страна.
Во практиката на топографско и геодетско работење, поврзувањето на елементите на борбената формација со серифите се сведува на пресметување на третиот агол и две други страни од познати два агли и една страна, или на пресметување на третата страна и два агли од познатите две страни и аголот меѓу нив.
Решението на триаголник се изведува со помош на формули за односот на неговите елементи, познати од курсот на тригонометрија.
Означени во триаголник ABC(сл. 17) страни преку 
,
И
и аглите низ А, БИ СО,Ајде да ги запишеме основните врски:
(теорема за сума на агол); (35)
(теорема на синуси); (36)
(теорема на косинус); (37)
(тангента теорема). (38)