Во оваа лекција ќе разгледаме уште две операции со вектори: векторски производ на векториИ мешан производ на вектори (ведна врска за оние на кои им треба). Во ред е, понекогаш се случува за целосна среќа, покрај скаларен производ на вектори, се бараат се повеќе и повеќе. Ова е векторска зависност. Можеби се чини дека влегуваме во дивината аналитичка геометрија. Ова е погрешно. Во овој дел од вишата математика генерално има малку дрво, освен можеби доволно за Пинокио. Всушност, материјалот е многу вообичаен и едноставен - тешко покомплициран од истиот скаларен производ, дури типични задачиќе има помалку. Главната работа во аналитичката геометрија, како што многумина ќе се уверат или веќе биле убедени, е ДА НЕ ПРАВИ ГРЕШКИ ВО ПРЕСМЕТКИТЕ. Повторете како магија и ќе бидете среќни =)

Ако векторите светкаат некаде далеку, како молња на хоризонтот, не е важно, започнете со лекцијата Вектори за куклида се врати или повторно да се стекне Основно знаењеза вектори. Поподготвените читатели можат селективно да се запознаат со информациите, се обидов да соберам најкомплетна збирка примери кои често се наоѓаат во практична работа

Што ќе ве направи среќна веднаш? Кога бев мал, можев да жонглирам со две, па дури и со три топки. Добро успеа. Сега нема да морате воопшто да жонглирате, бидејќи ќе размислиме само просторни вектори , а рамните вектори со две координати ќе бидат изоставени. Зошто? Така се родиле овие дејства - векторот и мешаниот производ на вектори се дефинирани и функционираат тридимензионален простор. Веќе е полесно!

Оваа операција, исто како и скаларниот производ, вклучува два вектори. Нека бидат овие непропадливи букви.

Самата акција означено со на следниот начин: . Има и други опции, но јас сум навикнат да го означувам векторскиот производ на вектори на овој начин, во квадратни заградисо крст.

И веднаш прашање: ако во скаларен производ на векторивклучени се два вектори, а тука се множат и два вектори, тогаш што е разликата? Очигледната разлика е, пред сè, во РЕЗУЛТАТ:

Резултатот од скаларниот производ на вектори е БРОЈ:

Резултатот од вкрстениот производ на вектори е ВЕКТОР: , односно ги множиме векторите и повторно добиваме вектор. Затворен клуб. Всушност, оттука доаѓа и името на операцијата. Во различни едукативна литератураознаките исто така може да се разликуваат, ќе ја користам буквата .

Дефиниција на вкрстен производ

Прво ќе има дефиниција со слика, па коментари.

Дефиниција: Векторски производ неколинеарнивектори, земен во по овој редослед , наречен ВЕКТОР, должинашто е нумерички еднаква на плоштината на паралелограмот, изграден на овие вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така што основата има правилна ориентација:

Ајде да ја разложиме дефиницијата дел по дел, има многу интересни работи овде!

Значи, може да се истакнат следните значајни точки:

1) Оригиналните вектори, означени со црвени стрелки, по дефиниција не колинеарна. Се случува колинеарни векториЌе биде соодветно да се разгледа малку подоцна.

2) Се земаат вектори во строга по одреден редослед : – „а“ се множи со „биди“, не „биди“ со „а“. Резултат на векторско множењее ВЕКТОР, кој е означен со сина боја. Ако векторите се помножат со обратен редослед, тогаш добиваме вектор еднаков по должина и спротивен по правец (боја на малина). Односно, еднаквоста е вистина .

3) Сега да се запознаеме со геометриското значење на векторскиот производ. Ова е многу важна точка! ДОЛЖИНАТА на синиот вектор (и, според тоа, темноцрвениот вектор) е нумерички еднаква на ПЛОШТИНАТА на паралелограмот изграден на векторите. На сликата, овој паралелограм е засенчен во црно.

Забелешка : цртежот е шематски и, природно, номиналната должина на векторскиот производ не е еднаква на областа на паралелограмот.

Да се ​​потсетиме на една од геометриски формули: Површината на паралелограм е еднаква на производот на соседните страни и синусот на аголот меѓу нив. Според тоа, врз основа на горенаведеното, формулата за пресметување на ДОЛЖИНА на векторски производ е валидна:

Нагласувам дека формулата е за ДОЛЖИНАТА на векторот, а не за самиот вектор. Што практично значење? А значењето е дека во проблемите на аналитичката геометрија, областа на паралелограм често се наоѓа преку концептот на векторски производ:

Ајде да го земеме вториот важна формула. Дијагоналата на паралелограмот (црвена точкаста линија) го дели на два еднаков триаголник. Затоа, областа на триаголник изграден на вектори (црвено засенчување) може да се најде со помош на формулата:

4) Не помалку важен факте дека векторот е ортогонален на векторите, т.е . Се разбира, спротивно насочениот вектор (стрелката од малина) е исто така ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторот е насочен така што основаТоа има правоориентација. Во лекцијата за транзиција кон нова основаЗборував доволно детално за ориентација на авион, и сега ќе откриеме што е ориентација во просторот. Ќе ти објаснам на прсти десна рака . Ментално комбинирајте показалецотсо вектор и среден прстсо вектор. Прстенот на прстоти малиот прстпритиснете го во вашата дланка. Како резултат палецот – векторскиот производ ќе погледне нагоре. Ова е основа ориентирана кон десно (ова е оваа на сликата). Сега сменете ги векторите ( показалецот и средниот прст) на некои места, како резултат на тоа палецот ќе се сврти, а векторскиот производ веќе ќе гледа надолу. Ова е исто така десно ориентирана основа. Можеби имате прашање: која основа ја има левата ориентација? „Доделете“ на истите прсти левата ракавектори, и добијте ја левата основа и левата ориентација на просторот (во овој случај, палецот ќе се наоѓа во насока на долниот вектор). Фигуративно кажано, овие основи се „извртуваат“ или го ориентираат просторот внатре различни страни. И овој концепт не треба да се смета за нешто пресилен или апстрактен - на пример, ориентацијата на просторот се менува од најобичното огледало, и ако го „извлечете рефлектираниот предмет од стаклото за гледање“, тогаш тоа ќе општ случајне може да се комбинира со „оригиналот“. Патем, држете три прста до огледалото и анализирајте го одразот ;-)

...колку е добро што сега знаеш десно и лево ориентираниоснови, затоа што изјавите на некои предавачи за промена на ориентацијата се страшни =)

Вкрстен производ на колинеарни вектори

Дефиницијата е детално дискутирана, останува да откриеме што се случува кога векторите се колинеарни. Ако векторите се колинеарни, тогаш тие можат да се постават на една права линија, а нашиот паралелограм исто така се „преклопува“ во една права линија. Областа на такви, како што велат математичарите, дегенерирапаралелограмот е еднаков на нула. Истото следува и од формулата - синус од нула или 180 степени еднаква на нула, и затоа површината е нула

Така, ако, тогаш . Строго кажано, самиот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, но во пракса тоа често се занемарува и се пишува дека е едноставно еднаков на нула.

Посебен случај– векторски производ на вектор со самиот себе:

Можете да ја проверите колинеарноста користејќи го вкрстениот производ тридимензионални вектори, И оваа задачамеѓу другото ќе анализираме и.

За решенија практични примериможе да се бара тригонометриска табелада се најдат вредностите на синусите од него.

Па, ајде да го запалиме огнот:

Пример 1

а) Најдете ја должината на векторскиот производ на вектори ако

б) Најдете ја плоштината на паралелограм изграден на вектори ако

Решение: Не, ова не е печатна грешка, првичните податоци во клаузулите намерно ги направив исти. Затоа што дизајнот на решенијата ќе биде различен!

а) Според условот, треба да најдете должинавектор (вкрстен производ). Според соодветната формула:

Одговори:

Ако ве прашаа за должина, тогаш во одговорот ја посочуваме димензијата - единици.

б) Според условот, треба да најдете квадратпаралелограм изграден на вектори. Површината на овој паралелограм е нумерички еднаква на должината на векторскиот производ:

Одговори:

Ве молиме имајте предвид дека одговорот воопшто не зборува за векторскиот производ; бевме прашани за тоа областа на фигурата, соодветно, димензијата е квадратни единици.

Секогаш гледаме ШТО треба да најдеме според условот и, врз основа на ова, формулираме јасноодговори. Можеби изгледа како буквално, но меѓу наставниците има многу буквалисти, а задачата со добри шансиќе се врати на ревизија. Иако ова не е особено пресилен препирка - ако одговорот е неточен, тогаш се добива впечаток дека личноста не разбира едноставни работии/или не ја разбрале суштината на задачата. Оваа точка секогаш треба да се држи под контрола при решавање на каков било проблем виша математика, а и во други предмети.

Каде отиде големата буква „ен“? Во принцип, можеше дополнително да се прикачи на решението, но за да го скратам записот, не го направив ова. Се надевам дека сите го разбираат тоа и е ознака за истото.

Популарен пример за независна одлука:

Пример 2

Најдете ја плоштината на триаголник изграден на вектори ако

Формулата за наоѓање на плоштината на триаголник преку векторскиот производ е дадена во коментарите на дефиницијата. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Во пракса, задачата е навистина многу честа; триаголниците генерално можат да ве измачуваат.

За да решиме други проблеми ќе ни требаат:

Својства на векторскиот производ на вектори

Веќе разгледавме некои својства на векторскиот производ, сепак, ќе ги вклучам во оваа листа.

За произволни вектори и кој било бројвалидни се следните својства:

1) Во други извори на информации, оваа ставка обично не се истакнува во својствата, но е многу важна во во практична смисла. Така нека биде.

2) – имотот е исто така дискутиран погоре, понекогаш се нарекува антикомутативност. Со други зборови, редоследот на векторите е важен.

3) – асоцијативен или асоцијативензакони за векторски производи. Константите може лесно да се преместат надвор од векторскиот производ. Навистина, што да прават таму?

4) – дистрибуција или дистрибутивензакони за векторски производи. Нема проблеми ниту со отворањето на заградите.

За да покажеме, да погледнеме краток пример:

Пример 3

Најдете дали

Решение:Состојбата повторно бара наоѓање на должината на векторскиот производ. Ајде да ја насликаме нашата минијатура:

(1) Според асоцијативните закони, константите ги земаме надвор од опсегот на векторскиот производ.

(2) Ја поместуваме константата надвор од модулот, а модулот го „јаде“ знакот минус. Должината не може да биде негативна.

(3) Останатото е јасно.

Одговори:

Време е да додадете повеќе дрва на огнот:

Пример 4

Пресметајте ја плоштината на триаголник изграден на вектори ако

Решение: Најдете ја плоштината на триаголникот со помош на формулата . Забелешката е што векторите „tse“ и „de“ самите се претставени како збирови на вектори. Алгоритмот овде е стандарден и донекаде потсетува на примерите бр. 3 и 4 од лекцијата Точка производ на вектори. За јасност, ќе го поделиме решението во три фази:

1) На првиот чекор, го изразуваме векторскиот производ преку векторскиот производ, всушност, ајде да изразиме вектор во однос на вектор. Сè уште нема информации за должината!

(1) Заменете ги изразите на векторите.

(2) Користејќи дистрибутивни закони, ги отвораме заградите според правилото за множење на полиномите.

(3) Користејќи асоцијативни закони, ги поместуваме сите константи надвор од векторските производи. Со мало искуство, чекорите 2 и 3 можат да се изведуваат истовремено.

(4) Првиот и последниот член се еднакви на нула (нула вектор) поради пријатен имот. Во вториот член го користиме својството на антикомутативност на векторски производ:

(5) Ви претставуваме слични термини.

Како резултат на тоа, векторот се покажа дека е изразен преку вектор, што е она што се бараше да се постигне:

2) Во вториот чекор, ја наоѓаме должината на векторскиот производ што ни треба. Оваа акција е слична на Пример 3:

3) Најдете ја областа на потребниот триаголник:

Фазите 2-3 од решението можеа да бидат напишани во еден ред.

Одговори:

Разгледаниот проблем е доста чест кај тестови, еве пример за независно решение:

Пример 5

Најдете дали

Брзо решениеи одговорот на крајот од часот. Ајде да видиме колку бевте внимателни кога ги проучувавте претходните примери ;-)

Вкрстен производ на вектори во координати

, специфицирано на ортонормална основа, изразено со формулата:

Формулата е навистина едноставна: во горната линија на детерминантата пишуваме координатни вектори, во вториот и третиот ред ги „стававме“ координатите на векторите , и ставаме В по строг редослед – прво координатите на векторот „ve“, потоа координатите на векторот „double-ve“. Ако векторите треба да се множат по различен редослед, тогаш редовите треба да се заменат:

Пример 10

Проверете дали следните вектори на просторот се колинеарни:
А)
б)

Решение: Проверката се заснова на една од тврдењата во оваа лекција: ако векторите се колинеарни, тогаш нивниот векторски производ е еднаков на нула (нула вектор): .

а) Најдете го векторскиот производ:

Така, векторите не се колинеарни.

б) Најдете го векторскиот производ:

Одговори: а) не колинеарно, б)

Тука, можеби, се сите основни информации за векторскиот производ на вектори.

Овој делнема да биде многу голем, бидејќи има малку проблеми кога се користи мешан производ на вектори. Всушност, сè ќе зависи од дефиницијата, геометриско значењеи неколку работни формули.

Мешано парчевектори е производот три вектори :

Така тие се наредени како воз и едвај чекаат да бидат идентификувани.

Прво, повторно, дефиниција и слика:

Дефиниција: Мешана работа некомпланарнивектори, земени по овој редослед, повикан паралелепипеден волумен, изградени на овие вектори, опремени со знак „+“ ако основата е во право, и знак „–“ ако основата е лево.

Ајде да го направиме цртежот. Линиите невидливи за нас се нацртани со точки:

Ајде да се нурнеме во дефиницијата:

2) Се земаат вектори по одреден редослед, односно, преуредувањето на векторите во производот, како што може да претпоставите, не се случува без последици.

3) Пред да коментирам за геометриското значење, забележувам очигледен факт: мешаниот производ на вектори е БРОЈ: . Во образовната литература, дизајнот може да биде малку поинаков; јас сум навикнат да означувам мешан производ со , а резултатот од пресметките со буквата „пе“.

А-приоритет измешаниот производ е волуменот на паралелепипедот, изградена на вектори (фигурата е нацртана со црвени вектори и црни линии). Односно, бројот е еднаков на волуменот на даден паралелепипед.

Забелешка : Цртежот е шематски.

4) Да не се грижиме повторно за концептот на ориентација на основата и просторот. Значењето на последниот дел е дека може да се додаде знак минус на јачината на звукот. Со едноставни зборови, измешаниот производ може да биде негативен: .

Директно од дефиницијата следи формулата за пресметување на волуменот на паралелепипед изграден на вектори.

Областа на паралелограм изграден на вектори е еднаква на производот од должините на овие вектори и аголот на аголот што лежи меѓу нив.

Добро е кога условите ги даваат должините на истите овие вектори. Сепак, се случува и формулата за плоштина на паралелограм изграден на вектори да може да се примени само по пресметките со помош на координати.
Ако имате среќа и условите ги даваат должините на векторите, тогаш само треба да ја примените формулата, за која веќе детално разговаравме во статијата. Површината ќе биде еднаква на производот на модулите и синусот на аголот меѓу нив:

Да разгледаме пример за пресметување на плоштината на паралелограм изграден на вектори.

Задача:Паралелограмот е изграден на векторите и . Најдете ја плоштината ако , а аголот меѓу нив е 30°.
Да ги изразиме векторите преку нивните вредности:

Можеби имате прашање - од каде доаѓаат нулите? Вреди да се запамети дека работиме со вектори, и за нив . исто така забележете дека ако резултатот е израз, тој ќе се претвори во. Сега ги извршуваме конечните пресметки:

Да се ​​вратиме на проблемот кога должините на векторите не се наведени во условите. Ако вашиот паралелограм лежи во Декартов системкоординати, ќе треба да го направите следново.

Пресметување на должините на страните на фигурата дадени со координати

Прво, ги наоѓаме координатите на векторите и ги одземаме соодветните координати на почетокот од крајните координати. Да речеме дека координатите на векторот a се (x1;y1;z1), а векторот b е (x3;y3;z3).
Сега ја наоѓаме должината на секој вектор. За да го направите ова, секоја координата мора да се квадрира, а потоа да се додадат добиените резултати и од конечен бројизвлечете го коренот. Врз основа на нашите вектори ќе ги има следните пресметки:


Сега треба да најдете скаларен производнашите вектори. За да го направите ова, нивните соодветни координати се множат и додаваат.

Со оглед на должината на векторите и нивниот скаларен производ, можеме да го најдеме косинусот на аголот што лежи меѓу нив.
Сега можеме да го најдеме синусот од истиот агол:
Сега ги имаме сите потребни количини и лесно можеме да ја најдеме плоштината на паралелограм изграден на вектори користејќи ја веќе познатата формула.