Пример 8

Дадени се вектори. Покажете дека векторите формираат основа во тродимензионалниот простор и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа.

Решение:Прво, да се справиме со состојбата. По услов, дадени се четири вектори и, како што можете да видите, тие веќе имаат координати во одредена основа. Што е оваа основа не нè интересира. Дали си заинтересиран? следното нешто: може да се формираат три вектори нова основа. И првата фаза целосно се совпаѓа со решението на Пример 6; потребно е да се провери дали векторите се навистина линеарно независни:

Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:

, што значи дека векторите се линеарно независни и ја формираат основата на тродимензионалниот простор.

! Важно: векторски координати ЗадолжителноНапиши во колонидетерминанта, не во жици. Во спротивно, ќе има забуна во понатамошниот алгоритам за решение.

Сега да се потсетиме теоретски дел: ако векторите формираат основа, тогаш секој вектор може да биде единствениот начинсе прошири на дадена основа: , каде се координатите на векторот во основата.

Бидејќи нашите вектори ја формираат основата на тридимензионалниот простор (ова е веќе докажано), векторот може да се прошири на единствен начин преку оваа основа:
, каде се координатите на векторот во основата.

Според условот и се бара да се најдат координатите.

За полесно објаснување, ќе ги заменам деловите: . За да го најдете, треба да ја запишете оваа координата за еднаквост по координати:

На која основа се поставени коефициентите? Сите коефициенти на левата страна се точно префрлени од детерминантата , на десната страна се запишани координатите на векторот.

Испадна систем од три линеарни равенкисо три непознати. Обично тоа се решава со Формулите на Крамер, често дури и во изјавата за проблемот постои такво барање.

Главната детерминанта на системот е веќе пронајдена:
, што значи дека системот има уникатно решение.

Она што следува е прашање на техника:

Така:
– разложување на векторот според основата.

Одговор:

Како што веќе забележав, проблемот е од алгебарска природа. Векторите што беа разгледани не се нужно оние вектори што може да се нацртаат во просторот, туку, пред сè, вектори на апстрактни курсеви линеарна алгебра. За случајот на дводимензионални вектори, може да се формулира и реши сличен проблем; решението ќе биде многу поедноставно. Меѓутоа, во пракса никогаш не сум сретнал таква задача, поради што ја прескокнав во претходниот дел.

Истиот проблем со тридимензионални вектори за независна одлука:

Пример 9

Дадени се вектори. Покажете дека векторите формираат основа и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа. Решете систем од линеарни равенки со помош на Крамеровиот метод.

Целосно решениеИ приближен примерокзавршувајќи на крајот на часот.

Слично на тоа, можеме да разгледаме четиридимензионални, петдимензионални итн. векторски простори, каде што векторите имаат 4, 5 или повеќе координати, соодветно. За овие векторски простори, постои и концепт на линеарна зависност, линеарна независност на вектори, постои основа, вклучително и ортонормална основа, проширување на векторот во однос на основата. Да, таквите простори не можат да се нацртаат геометриски, но во нив функционираат сите правила, својства и теореми на дводимензионални случаи - чиста алгебра. Всушност, ох филозофски прашањаВеќе бев во искушение да зборувам во статијата Делумни деривати функции од трипроменливи, кој се појави порано од оваа лекција.

Сакајте вектори, и векторите ќе ве сакаат!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение: да направиме пропорција од соодветните координати на векторите:

Одговор: на

Пример 4: Доказ: ТрапезЧетириаголник се нарекува четириаголник во кој двете страни се паралелни, а другите две страни не се паралелни.
1) Да ја провериме паралелноста на спротивните страни и .
Ајде да ги најдеме векторите:


, што значи дека овие вектори не се колинеарни и страните не се паралелни.
2) Проверете ја паралелноста на спротивните страни и .
Ајде да ги најдеме векторите:

Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:
, што значи дека овие вектори се колинеарни и .
Заклучок: Две страни на четириаголник се паралелни, но другите две страни не се паралелни, што значи дека е трапез по дефиниција. Q.E.D.

Пример 5: Решение:
б) Да провериме дали има коефициент на пропорционалност за соодветните координати на векторите:

Системот нема решение, што значи дека векторите не се колинеарни.
Поедноставен дизајн:
– втората и третата координата не се пропорционални, што значи дека векторите не се колинеарни.
Одговор: векторите не се колинеарни.
в) Ги испитуваме векторите за колинеарност . Ајде да создадеме систем:

Соодветните координати на векторите се пропорционални, што значи
Ова е местото каде што методот на дизајнирање „foppish“ не успева.
Одговор:

Пример 6: Решение: б) Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати (детерминантата се открива во првата линија):

, што значи дека векторите се линеарно зависни и не ја формираат основата на тродимензионалниот простор.
Одговори : овие вектори не формираат основа

Пример 9: Решение:Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:


Така, векторите се линеарно независни и формираат основа.
Да го претставиме векторот како линеарна комбинација на базични вектори:

Координирано:

Ајде да го решиме системот користејќи ги формулите на Крамер:
, што значи дека системот има уникатно решение.

Одговор:Векторите формираат основа,

Виша математика за дописни студенти и повеќе >>>

(Оди на главната страница)

Векторски уметнички делавектори.
Мешан производ на вектори

Во оваа лекција ќе разгледаме уште две операции со вектори: векторски производ на векториИ мешана работавектори. Во ред е, понекогаш се случува за целосна среќа, покрај скаларен производ на вектори, се бараат се повеќе и повеќе. Ова е векторска зависност. Можеби изгледа дека влегуваме во дивината аналитичка геометрија. Ова е погрешно. ВО овој дел виша математикаВо принцип, нема доволно огревно дрво, можеби доволно за Пинокио. Всушност, материјалот е многу вообичаен и едноставен - тешко покомплициран од истиот скаларен производ, ќе има дури и помалку типични задачи. Главната работа во аналитичката геометрија, како што многумина ќе се уверат или веќе биле убедени, е ДА НЕ ПРАВИ ГРЕШКИ ВО ПРЕСМЕТКИТЕ. Повторете како магија и ќе бидете среќни =)

Ако векторите светкаат некаде далеку, како молња на хоризонтот, не е важно, започнете со лекцијата Вектори за куклида се врати или повторно да се стекне Основно знаењеза вектори. Поподготвените читатели можат селективно да се запознаат со информациите, се обидов да соберам најкомплетна збирка примери кои често се наоѓаат во практична работа

Што ќе ве направи среќни веднаш? Кога бев мал, можев да жонглирам со две или дури три топки. Добро успеа. Сега нема да морате воопшто да жонглирате, бидејќи ќе размислиме само просторни вектори, а рамните вектори со две координати ќе бидат изоставени. Зошто? Така се родиле овие дејства - векторот и мешаниот производ на вектори се дефинирани и работат во тродимензионален простор. Веќе е полесно!

Линеарна зависности линеарна независност на векторите.
Основа на вектори. Афин координатен систем

Во аудиториумот има количка со чоколади, а секој посетител денеска ќе добие сладок пар - аналитичка геометрија со линеарна алгебра. Оваа статија ќе допре два дела од вишата математика одеднаш, и ќе видиме како тие коегзистираат во една обвивка. Одморете, јадете Твикс! ...проклето, какви глупости. Иако, во ред, нема да постигнам гол, на крајот, треба да имате позитивен став кон учењето.

Линеарна зависност на вектори, линеарна векторска независност, основа на векториа другите поими имаат не само геометриско толкување, туку, пред сè, алгебарско значење. Самиот концепт на „вектор“ од гледна точка на линеарна алгебра не е секогаш „обичниот“ вектор што можеме да го прикажеме на рамнина или во вселената. Не треба да барате далеку за доказ, обидете се да нацртате вектор на петдимензионален простор . Или векторот на времето, за кој штотуку отидов во Гисметео: – температура и Атмосферски притисоксоодветно. Примерот, се разбира, е неточен од гледна точка на својствата векторски простор, но, сепак, никој не забранува формализирање на овие параметри како вектор. Здивот на есента...

Не, нема да ви досадувам со теорија, линеарни векторски простори, задачата е да разбередефиниции и теореми. Новите поими (линеарна зависност, независност, линеарна комбинација, основа итн.) важат за сите вектори од алгебарски аспект, но ќе бидат дадени геометриски примери. Така, сè е едноставно, достапно и јасно. Покрај проблемите на аналитичката геометрија, ќе разгледаме и некои типични задачиалгебра За да го совладате материјалот, препорачливо е да се запознаете со лекциите Вектори за куклиИ Како да се пресмета детерминантата?

Линеарна зависност и независност на рамни вектори.
Рамнинска основа и афин координатен систем

Размислете за вашиот авион компјутерско биро(само маса, ноќна маса, под, таван, што сакате). Задачата ќе се состои од следниве активности:

1) Изберете рамнина основа. Грубо кажано, масата има должина и ширина, па затоа е интуитивно дека ќе бидат потребни два вектори за да се изгради основата. Еден вектор очигледно не е доволен, три вектори се премногу.

2) Врз основа на избраната основа поставете координатен систем(координатна мрежа) за доделување координати на сите објекти на табелата.

Немојте да се чудите, прво објаснувањата ќе бидат на прсти. Згора на тоа, на твоето. Ве молиме поставете показалецотлевата ракана работ на масата за да гледа во мониторот. Ова ќе биде вектор. Сега место мал прст десна рака на работ на масата на ист начин - така што е насочен кон екранот на мониторот. Ова ќе биде вектор. Насмевнете се, изгледате одлично! Што можеме да кажеме за векторите? Вектори на податоци колинеарна, што значи линеарнаизразени едни преку други:
, добро, или обратно: , каде е некој број различен од нула.

Можете да видите слика од оваа акција на час. Вектори за кукли, каде што го објаснив правилото за множење вектор со број.

Дали вашите прсти ќе ја постават основата на рамнината на компјутерското биро? Очигледно не. Колинеарни вектори патуваат напред-назад низ самнасока, а рамнината има должина и ширина.

Таквите вектори се нарекуваат линеарно зависни.

Референца: Зборовите „линеарно“, „линеарно“ го означуваат фактот дека во математички равенки, изразите не содржат квадрати, коцки, други сили, логаритми, синуси итн. Има само линеарни (1 степен) изрази и зависности.

Два рамни вектори линеарно зависниако и само ако се колинеарни.

Прекрстете ги прстите на масата за да има агол меѓу нив, освен 0 или 180 степени. Два рамни векторилинеарна Независни ако и само ако не се колинеарни. Значи, основата е добиена. Нема потреба да се срамиме што основата се покажа како „искривена“ со ненормални вектори со различни должини. Многу наскоро ќе видиме дека не е погоден само агол од 90 степени за негова конструкција, а не само единечни вектори со еднаква должина

Било којавион вектор единствениот начинсе проширува според основата:
, каде се реалните броеви. Броевите се повикани векторски координативо оваа основа.

Се вели и дека векторпретставен како линеарна комбинацијаосновни вектори. Тоа е, изразот се нарекува векторско распаѓањепо основаили линеарна комбинацијаосновни вектори.

На пример, можеме да кажеме дека векторот е разложен по ортонормална основа на рамнината, или можеме да кажеме дека е претставен како линеарна комбинација на вектори.

Ајде да формулираме дефиниција на основаформално: Основата на авионотсе нарекува пар линеарно независни (неколинеарни) вектори, , при што било којрамен вектор е линеарна комбинација на базични вектори.

Суштинска точка на дефиницијата е фактот дека векторите се земени В по одреден редослед . Основи – тоа се две сосема различни основи! Како што велат, не можете да го замените малиот прст од левата рака на местото на малиот прст од десната рака.

Ја сфативме основата, но не е доволно да поставите координатна мрежа и да доделите координати на секоја ставка на вашата компјутерска маса. Зошто не е доволно? Векторите се слободни и талкаат низ целата рамнина. Па, како да им доделите координати на оние мали валкани места на масата останати од дивиот викенд? Потребна е почетна точка. И такво обележје е точка позната на сите - потеклото на координатите. Ајде да го разбереме координатниот систем:

Ќе почнам со „училишниот“ систем. Веќе во воведната лекција Вектори за куклиНагласив некои разлики помеѓу правоаголниот координатен систем и ортонормалната основа. Еве ја стандардната слика:

Кога зборуваат за правоаголен координатен систем, тогаш најчесто значат потекло на координати, координатни оскии скала по оските. Обидете се да напишете „правоаголен координатен систем“ во пребарувачот и ќе видите дека многу извори ќе ви кажат за координатни оски познати од 5-то до 6-то одделение и како да нацртате точки на рамнина.

Од друга страна, се чини дека правоаголен системкоординатите можат целосно да се одредат преку ортонормална основа. И тоа е речиси точно. Звучи формулацијата на следниот начин:

потекло, И ортонормалниосновата е поставена Декартов правоаголна рамнина координатен систем . Односно правоаголниот координатен систем дефинитивносе дефинира со една точка и два единечни ортогонални вектори. Затоа го гледате цртежот што го дадов погоре - во геометриски проблемиЧесто (но не секогаш) се цртаат и вектори и координатни оски.

Мислам дека секој го разбира тоа користење на точка (потекло) и ортонормална основа БИЛО БИЛО ТОЧКА на авионот и БИЛО БИЛО ВЕКТОР во авионотможе да се доделат координати. Фигуративно кажано, „сè во авион може да се нумери“.

Дали се обврзани координатни векторида биде изолиран? Не, тие можат да имаат произволна должина што не е нула. Размислете за точка и две ортогонален векторпроизволна не-нулта должина:

Таквата основа се нарекува ортогонални. Потеклото на координатите со вектори се дефинира со координатна мрежа, а секоја точка на рамнината, секој вектор има свои координати во дадена основа. На пример, или. Очигледната непријатност е што координатните вектори В општ случај имаат различни должини освен единството. Ако должините се еднакви на единство, тогаш се добива вообичаената ортонормална основа.

! Забелешка : во ортогоналната основа, како и подолу во афините основи на рамнина и простор, се разгледуваат единици по оските УСЛОВНА. На пример, една единица по должината на оската x содржи 4 cm, една единица по должината на оската на ординатите содржи 2 cm. Овие информации се доволни за, доколку е потребно, да се претворат „нестандардни“ координати во „наши вообичаени сантиметри“.

И второто прашање, кое всушност веќе е одговорено, е дали аголот помеѓу основните вектори мора да биде еднаков на 90 степени? Не! Како што вели дефиницијата, основните вектори мора да бидат само неколинеарни. Според тоа, аголот може да биде сè освен 0 и 180 степени.

Се јави точка на авионот потекло, И неколинеарнивектори, , сет координатен систем на афина рамнина :

Понекогаш се нарекува таков координатен систем косисистем. Како примери, цртежот покажува точки и вектори:

Како што разбирате, афиниот координатен систем е уште помалку удобен; формулите за должините на вектори и отсечки, за кои разговаравме во вториот дел од лекцијата, не работат во него. Вектори за кукли, многу вкусни формули поврзани со скаларен производ на вектори. Но, валидни се правилата за собирање вектори и множење вектор со број, формули за делење отсечка во оваа релација, како и некои други видови проблеми што ќе ги разгледаме наскоро.

И заклучокот е дека најзгодниот посебен случај на афин координатен систем е Декартовиот правоаголен систем. Затоа најчесто мораш да ја гледаш, драга моја. ...Сепак, сè во овој живот е релативно - има многу ситуации во кои кос агол (или некој друг, на пример, поларна) координатен систем. И на хуманоидите можеби им се допаѓаат такви системи =)

Да преминеме на практичниот дел. Сите проблеми во оваа лекција важат и за правоаголниот координатен систем и за општиот афин случај. Нема ништо комплицирано овде, целиот материјал е достапен дури и за ученик.

Како да се одреди колинеарноста на рамни вектори?

Типична работа. Со цел за два рамни вектори беа колинеарни, потребно е и доволно нивните соодветни координати да бидат пропорционалниВо суштина, ова е координатно-по-координати детали за очигледната врска.

Пример 1

а) Проверете дали векторите се колинеарни .
б) Дали векторите формираат основа? ?

Решение:
а) Да откриеме дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така што еднаквостите се задоволени:

Дефинитивно ќе ви кажам за „непромислената“ верзија на примена на ова правило, која функционира доста добро во пракса. Идејата е веднаш да се направи пропорцијата и да се види дали е точна:

Да направиме пропорција од соодносите на соодветните координати на векторите:

Да скратиме:
, така што соодветните координати се пропорционални, затоа,

Врската може да се направи обратно; ова е еквивалентна опција:

За само-тестирање, можете да го искористите фактот дека колинеарните вектори се линеарно изразени еден преку друг. ВО во овој случајпостојат еднаквости . Нивната валидност може лесно да се потврди преку елементарни операции со вектори:

б) Два рамни вектори формираат основа ако не се колинеарни (линеарно независни). Ги испитуваме векторите за колинеарност . Ајде да создадеме систем:

Од првата равенка произлегува дека, од втората равенкапроизлегува дека тоа значи системот е неконзистентен(без решенија). Така, соодветните координати на векторите не се пропорционални.

Заклучок: векторите се линеарно независни и претставуваат основа.

Поедноставената верзија на решението изгледа вака:

Да направиме пропорција од соодветните координати на векторите :
, што значи дека овие вектори се линеарно независни и претставуваат основа.

Обично оваа опција не е отфрлена од рецензентите, но проблем се јавува во случаи кога некои координати се еднакви на нула. Како ова: . Или вака: . Или вака: . Како да се работи преку пропорцијата овде? (навистина, не можете да делите со нула). Токму поради оваа причина, поедноставеното решение го нареков „безобразно“.

Одговор:а) , б) форма.

Мали креативен примерза независно решение:

Пример 2

На која вредност на параметарот се векторите ќе бидат колинеарни?

Во примерокот решение, параметарот се наоѓа преку пропорцијата.

Постои елегантен алгебарски начин за проверка на векторите за колинеарност. Да го систематизираме нашето знаење и да го додадеме како петта точка:

За два рамни вектори, следните искази се еквивалентни:

2) векторите формираат основа;
3) векторите не се колинеарни;

+ 5) детерминантата составена од координатите на овие вектори е ненула.

Соодветно, следните спротивни искази се еквивалентни:
1) векторите се линеарно зависни;
2) векторите не формираат основа;
3) векторите се колинеарни;
4) векторите можат линеарно да се изразуваат еден преку друг;
+ 5) детерминанта составена од координатите на овие вектори, еднаква на нула .

Навистина, навистина се надевам на тоа овој моментвеќе ги разбирате сите поими и изјави на кои наидувате.

Да ја разгледаме подетално новата, петта точка: два рамни вектори се колинеарни ако и само ако детерминантата составена од координатите на дадените вектори е еднаква на нула:. За да ја примените оваа функција, се разбира, треба да бидете во можност најдете детерминанти.

Ајде да одлучимеПример 1 на вториот начин:

а) Да ја пресметаме детерминантата составена од координатите на векторите :
, што значи дека овие вектори се колинеарни.

б) Два рамни вектори формираат основа ако не се колинеарни (линеарно независни). Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати :
, што значи дека векторите се линеарно независни и формираат основа.

Одговор:а) , б) форма.

Изгледа многу покомпактно и поубаво од решение со пропорции.

Со помош на разгледуваниот материјал, можно е да се утврди не само колинеарноста на векторите, туку и да се докаже паралелизмот на отсечки и прави линии. Ајде да разгледаме неколку проблеми со специфични геометриски форми.

Пример 3

Дадени се темињата на четириаголник. Докажи дека четириаголник е паралелограм.

Доказ: Нема потреба да се креира цртеж во проблемот, бидејќи решението ќе биде чисто аналитичко. Да се ​​потсетиме на дефиницијата за паралелограм:
Паралелограм Се нарекува четириаголник чии спротивставени страни се паралелни во парови.

Така, потребно е да се докаже:
1) паралелизам на спротивни страни и;
2) паралелизам на спротивните страни и.

Докажуваме:

1) Најдете ги векторите:

2) Најдете ги векторите:

Резултатот е истиот вектор („училишен стил“ - еднакви вектори). Колинеарноста е сосема очигледна, но подобро е да се формализира одлуката јасно, со аранжман. Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:
, што значи дека овие вектори се колинеарни и .

Заклучок: Спротивни страничетириаголниците се паралелни во парови, што значи дека по дефиниција е паралелограм. Q.E.D.

Повеќе фигуридобри и различни:

Пример 4

Дадени се темињата на четириаголник. Докажи дека четириаголник е трапез.

За поригорозна формулација на доказот, подобро е, се разбира, да се добие дефиницијата за трапез, но доволно е едноставно да се потсетиме како изгледа.

Ова е задача која треба да ја решите сами. Целосно решение на крајот од лекцијата.

И сега е време полека да се движиме од авионот во вселената:

Како да се одреди колинеарноста на просторните вектори?

Правилото е многу слично. За два просторни вектори да бидат колинеарни, потребно е и доволно нивните соодветни координати да бидат пропорционални.

Пример 5

Откријте дали следните вектори на просторот се колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да провериме дали има коефициент на пропорционалност за соодветните координати на векторите:

Системот нема решение, што значи дека векторите не се колинеарни.

„Поедноставено“ се формализира со проверка на пропорцијата. Во овој случај:
– соодветните координати не се пропорционални, што значи дека векторите не се колинеарни.

Одговор:векторите не се колинеарни.

б-в) Тоа се точки за независно одлучување. Пробајте го на два начина.

Постои метод за проверка на просторните вектори за колинеарност преку детерминанта од трет ред, овој методопфатени во статијата Векторски производ на вектори.

Слично на случајот со рамнина, разгледаните алатки може да се користат за проучување на паралелизмот на просторните сегменти и прави линии.

Добредојдовте во вториот дел:

Линеарна зависност и независност на векторите во тродимензионален простор.
Просторна основа и афин координатен систем

Многу од обрасците што ги испитавме во авионот ќе важат за вселената. Се обидов да ги минимизирам теориските белешки бидејќи лавовски делинформациите се веќе преџвакани. Сепак, ви препорачувам внимателно да го прочитате воведниот дел, бидејќи ќе се појават нови поими и концепти.

Сега, наместо рамнината на компјутерското биро, истражуваме тродимензионален простор. Прво, да ја создадеме нејзината основа. Некој сега е внатре, некој на отворено, но во секој случај не можеме да избегаме од три димензии: ширина, должина и висина. Затоа, за да се изгради основа ќе бидат потребни три просторни вектори. Еден или два вектори не се доволни, четвртиот е излишен.

И повторно се загреваме на прстите. Ве молиме кренете ја раката и раширете ја различни страни палецот, показалецот и средниот прст. Тоа ќе бидат вектори, гледаат во различни насоки, имаат различни должинии имаат различни аглимеѓу себе. Честитки, основата на тридимензионалниот простор е подготвена! Патем, нема потреба тоа да им го демонстрирате на наставниците, колку и да ги вртите прстите, но нема бегање од дефинициите =)

Следно, ајде да прашаме важно прашање, дали трите вектори формираат основа за тродимензионален простор? Ве молиме цврсто притиснете три прста на горниот дел од работната маса на компјутерот. Што се случи? Во иста рамнина се наоѓаат три вектори, а грубо кажано, изгубивме една од димензиите - висината. Такви вектори се компланарнии, сосема е очигледно дека основата на тридимензионалниот простор не е создадена.

Треба да се забележи дека компланарните вектори не мора да лежат во иста рамнина; тие можат да бидат во паралелни рамнини(само не правете го ова со прстите, само Салвадор Дали се повлече на овој начин =)).

Дефиниција: се нарекуваат вектори компланарни, ако има рамнина на која се паралелни. Логично е овде да се додаде дека ако таква рамнина не постои, тогаш векторите нема да бидат компланарни.

Три компланарен векторсекогаш линеарно зависни, односно линеарно се изразуваат еден преку друг. За едноставност, повторно да замислиме дека лежат во иста рамнина. Прво, векторите не се само компланарни, тие можат да бидат и колинеарни, потоа секој вектор може да се изрази преку кој било вектор. Во вториот случај, ако, на пример, векторите не се колинеарни, тогаш третиот вектор се изразува преку нив на единствен начин: (а зошто е лесно да се погоди од материјалите во претходниот дел).

Вистина е и обратното: три некомпланарни вектори се секогаш линеарно независни, односно никако не се изразуваат еден преку друг. И, очигледно, само таквите вектори можат да ја формираат основата на тридимензионалниот простор.

Дефиниција: Основата на тридимензионалниот просторсе нарекува тројка од линеарно независни (некомпланарни) вектори, земени по одреден редоследи секој вектор на просторот единствениот начинсе разложува на дадена основа, каде се координатите на векторот во оваа основа

Да ве потсетам дека можеме да кажеме и дека векторот е претставен во форма линеарна комбинацијаосновни вектори.

Концептот на координатен систем е воведен на ист начин како и за рамнината; една точка и кои било три линеарни независни вектори:

потекло, И некомпланарнивектори, земени по одреден редослед, сет афин координатен систем на тридимензионален простор :

Секако, координатна мрежа„коси“ и незгодно, но, сепак, конструираниот координатен систем ни дозволува дефинитивнода ги определи координатите на кој било вектор и координатите на која било точка во просторот. Слично на авион, некои формули што веќе ги споменав нема да работат во афиниот координатен систем на просторот.

Најпознатиот и најзгодниот посебен случај на афински координатен систем, како што сите претпоставуваат, е правоаголен просторен координатен систем:

Точка во просторот наречена потекло, И ортонормалниосновата е поставена Декартов правоаголен простор координатен систем . Позната слика:

Пред да преминеме на практични задачи, повторно да ги систематизираме информациите:

За три векторипразно следните искази се еквивалентни:
1) векторите се линеарно независни;
2) векторите формираат основа;
3) векторите не се компланарни;
4) векторите не можат линеарно да се изразуваат еден преку друг;
5) детерминантата, составена од координатите на овие вектори, е различна од нула.

Мислам дека спротивните изјави се разбирливи.

Линеарната зависност/независноста на просторните вектори традиционално се проверува со помош на детерминанта (точка 5). Преостанати практични задачиќе има изразен алгебарски карактер. Време е да го закачите стапот за геометрија и да ракувате со безбол палката од линеарна алгебра:

Три вектори на просторотсе компланарни ако и само ако детерминантата составена од координатите на дадените вектори е еднаква на нула: .

Би сакал да го привлечам вашето внимание на мала техничка нијанса: координатите на векторите можат да се напишат не само во колони, туку и во редови (вредноста на детерминантата нема да се промени поради ова - видете ги својствата на детерминантите). Но, тоа е многу подобро во колони, бидејќи е покорисно за решавање на некои практични проблеми.

За оние читатели кои малку ги заборавиле методите на пресметување детерминанти или можеби малку ги разбираат, препорачувам една од моите најстари лекции: Како да се пресмета детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори ја формираат основата на тридимензионалниот простор:

Решение: Всушност, целото решение се сведува на пресметување на детерминантата.

а) Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати (детерминантата е откриена во првата линија):

, што значи дека векторите се линеарно независни (не компланарни) и ја формираат основата на тродимензионалниот простор.

Одговори: овие вектори формираат основа

б) Ова е точка за независно одлучување. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Запознајте и креативни задачи:

Пример 7

При која вредност на параметарот векторите ќе бидат компланарни?

Решение: Векторите се компланарни ако и само ако детерминантата составена од координатите на овие вектори е еднаква на нула:

Во суштина, треба да решите равенка со детерминанта. Се нафрламе на нули како змејови на жарбоа - најдобро е да ја отворите одредницата во втората линија и веднаш да се ослободите од минусите:

Ние вршиме дополнителни поедноставувања и ја сведуваме материјата на наједноставната линеарна равенка:

Одговори: во

Лесно е да се провери овде; за да го направите ова, треба да ја замените добиената вредност во оригиналната детерминанта и да бидете сигурни дека , отворајќи го повторно.

Како заклучок, ајде да погледнеме уште еден типична задача, кој е поалгебарски по природа и традиционално се вклучува во текот на линеарната алгебра. Толку е вообичаено што заслужува своја тема:

Докажете дека 3 вектори ја формираат основата на тродимензионалниот простор
и најдете ги координатите на четвртиот вектор во оваа основа

Пример 8

Дадени се вектори. Покажете дека векторите формираат основа во тродимензионалниот простор и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа.

Решение: Прво, да се справиме со состојбата. По услов, дадени се четири вектори и, како што можете да видите, тие веќе имаат координати во одредена основа. Што е оваа основа не нè интересира. И следново е од интерес: три вектори може да формираат нова основа. И првата фаза целосно се совпаѓа со решението на Пример 6; потребно е да се провери дали векторите се навистина линеарно независни:

Да ја пресметаме детерминантата составена од векторски координати:

, што значи дека векторите се линеарно независни и ја формираат основата на тродимензионалниот простор.

! Важно : векторски координати ЗадолжителноНапиши во колонидетерминанта, не во жици. Во спротивно, ќе има забуна во понатамошниот алгоритам за решение.

Основата на простороттие го нарекуваат таков систем на вектори во кој сите други вектори во просторот можат да се претстават како линеарна комбинација на вектори вклучени во основата.
Во пракса, сето ова се спроведува прилично едноставно. Основата, по правило, се проверува на рамнина или во вселената, а за ова треба да ја пронајдете детерминантата на матрица од втор, трет ред составена од векторски координати. Подолу се шематски напишани услови под кои векторите формираат основа

До проширете го векторот b во вектори на основата
e,e...,e[n] потребно е да се најдат коефициентите x, ..., x[n] за кои линеарната комбинација на вектори e,e...,e[n] е еднаква на вектор б:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
За ова векторска равенкатреба да се претвори во систем на линеарни равенки и пронајдени решенија. Ова е исто така прилично едноставно за спроведување.
Се повикуваат пронајдените коефициенти x, ..., x[n] координати на векторот b во основата e, e..., e[n].
Да преминеме на практичната страна на темата.

Разложување на вектор на вектори на основа

Задача 1. Проверете дали векторите a1, a2 формираат основа на рамнината

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составуваме детерминанта од координатите на векторите и ја пресметуваме

Детерминантата не е нула, оттука векторите се линеарно независни, што значи дека формираат основа.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Ја пресметуваме детерминантата составена од вектори

Детерминантата е еднаква на 13 (не е еднаква на нула) - од ова произлегува дека векторите a1, a2 се основа на рамнината.

---=================---

Да погледнеме типични примери од програмата MAUP во дисциплината „Виша математика“.

Задача 2. Покажете дека векторите a1, a2, a3 ја формираат основата на тродимензионален векторски простор и проширете го векторот b според оваа основа (при решавање на систем на линеарна алгебарски равенкикористете го методот на Крамер).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Прво, разгледајте го системот на вектори a1, a2, a3 и проверете ја детерминантата на матрицата А

изградена на ненулта вектори. Матрицата содржи еден нула елемент, па затоа е посоодветно да се пресмета детерминантата како распоред во првата колона или третиот ред.

Како резултат на пресметките, откривме дека детерминантата е различна од нула, затоа векторите a1, a2, a3 се линеарно независни.
По дефиниција, векторите формираат основа во R3. Да го запишеме распоредот на векторот b врз основа на

Векторите се еднакви кога нивните соодветни координати се еднакви.
Според тоа, од векторската равенка добиваме систем на линеарни равенки

Ајде да го решиме SLAE Крамеровиот метод. За да го направите ова, ајде да напишеме систем на равенкикако

Главната детерминанта на SLAE е секогаш еднаква на детерминантата составена од основни вектори

Затоа, во пракса не се брои двапати. За да најдеме помошни детерминанти, ставаме колона со слободни термини наместо секоја колона од главната детерминанта. Детерминантите се пресметуваат со користење на правилото за триаголник



Да ги замениме пронајдените детерминанти во формулата на Крамер



Значи, проширувањето на векторот b во однос на основата има форма b=-4a1+3a2-a3. Координатите на векторот b во основата a1, a2, a3 ќе бидат (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Векторите ги проверуваме за основа - составуваме детерминанта од координатите на векторите и ја пресметуваме

Затоа, детерминантата не е еднаква на нула векторите формираат основа во просторот. Останува да се најде распоредот на векторот b преку оваа основа. За да го направите ова, ја пишуваме векторската равенка

и се трансформираат во систем на линеарни равенки

Ајде да го запишеме матрична равенка

Следно, за формулите на Крамер ги наоѓаме помошни квалификатори



Ги применуваме формулите на Крамер



Значи, даден вектор b има распоред низ два базични вектори b=-2a1+5a3, а неговите координати во основата се еднакви на b(-2,0, 5).

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Решение. Да покажеме дека векторите 1 (1, 2, 0, 1), 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) формираат основа. Да ја најдеме детерминантата составена од координатите на овие вектори.

Вршиме елементарни трансформации:

Одземете од редот 3, редот 1 помножен со (-1)

Одземете ја линијата 2 од линијата 3, одземете ја линијата 2 од линијата 4

Ајде да ги замениме линиите 3 и 4.

Во овој случај, детерминантата ќе го промени својот знак во спротивното:

Бидејќи детерминантата не е еднаква на нула, затоа, векторите се линеарно независни и формираат основа.

Ајде да го прошириме векторот во вектори дадена основа: , Еве, ? саканите координати на векторот во основата, . Во координатна форма, оваа равенка е (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) ја има формата:

Системот го решаваме користејќи го Гаусовиот метод:

Дозволете ни да го напишеме системот во форма на продолжена матрица

За полесно пресметување, да ги замениме линиите:

Помножете го третиот ред со (-1). Да ја додадеме 3-тата линија на 2-та. Помножете ја 3-тата линија со 2. Додадете ја 4-тата линија на 3-та:

Помножете ја првата линија со 3. Помножете ја втората линија со (-2). Ајде да ја додадеме втората линија на првата:

Помножете ја втората линија со 5. Помножете ја третата линија со 3. Додадете ја третата линија на втората:

Помножете ја втората линија со (-2). Ајде да ја додадеме втората линија на првата:

Од 1-виот ред изразуваме?4

Од 2 ред изразуваме? 3

Од 3 ред изразуваме? 2