Се нарекува вектор чија должина е 1. Вектор е насочен сегмент во рамнина или во простор

Дефиниција

Скаларна количина- количина што може да се карактеризира со број. На пример, должина, површина, маса, температура итн.

Векторнаречен насочен сегмент $\overline(A B)$; точката $A$ е почеток, точката $B$ е крајот на векторот (сл. 1).

Векторот се означува или со две големи букви - неговиот почеток и крај: $\overline(A B)$ или со една мала буква: $\overline(a)$.

Дефиниција

Ако почетокот и крајот на векторот се совпаѓаат, тогаш се нарекува таков вектор нула. Најчесто, векторот нула е означен како $\overline(0)$.

Векторите се нарекуваат колинеарна, ако лежат или на иста или на паралелни прави (сл. 2).

Дефиниција

Се повикуваат два колинеарни вектори $\overline(a)$ и $\overline(b)$ корежиран, ако нивните насоки се совпаѓаат: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (сл. 3, а). Се повикуваат два колинеарни вектори $\overline(a)$ и $\overline(b)$ спротивно насочени, ако нивните насоки се спротивни: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (сл. 3, b).

Дефиниција

Векторите се нарекуваат компланарни, ако се паралелни на иста рамнина или лежат во иста рамнина (сл. 4).

Два вектори се секогаш компланарни.

Дефиниција

Должина (модул)вектор $\overline(A B)$ е растојанието помеѓу неговиот почеток и крај: $|\overline(A B)|$

Детална теорија за должината на векторот на линкот.

Должината на векторот нула е нула.

Дефиниција

Се нарекува вектор чија должина е еднаква на еден единица векторили ортом.

Векторите се нарекуваат еднакви, ако лежат на една или паралелна права; нивните насоки се совпаѓаат и нивните должини се еднакви.

Со други зборови, два вектори еднакви, ако се колинеарни, конасочни и имаат еднакви должини:

долари

Во произволна точка $M$ од просторот, може да се конструира еден вектор $\overline(M N)$ еднаков на дадениот вектор $\overline(A B)$.

Векторска алгебра

Дефиниција:

Вектор е насочен сегмент во рамнина или во простор.

Карактеристики:

1) векторска должина

Дефиниција:

Два вектори се нарекуваат колинеарни ако лежат на паралелни прави.

Дефиниција:

Два колинеарни вектори се нарекуваат конасочни ако нивните насоки се совпаѓаат ( ) Во спротивно се нарекуваат спротивно насочени (↓ ).

Дефиниција:

Два вектори се еднакви ако се истонасочни и имаат иста должина.

На пример,

Операции:

1. Множење на вектор со број

Ако
, Тоа

↓Ако < 0

Насоката на векторот нула е произволна

Својства на множење со број

2. Векторско собирање

Правило за паралелограм:

Додатни својства:

- таквите вектори се нарекуваат спротивни еден на друг. Тоа е лесно да се види

Заеднички својства:

ЗА дефиниција:

Аголот помеѓу два вектори е аголот што се добива ако овие вектори се нацртани од една точка, 0    

3. Точка производ на вектори.

, Каде- агол помеѓу вектори

Својства на скаларниот производ на вектори:

1) (равенките се одвиваат во случај на спротивна насока и ко-насочување на вектори, соодветно)

3)

Ако
, тогаш знакот на производот е позитивен,Ако ↓тоа е негативно

)

6), т.е
, или некој од векторите е нула

7)

Примена на вектори

1.

МН – средна линија

Докажете го тоа


Доказ:

, одземете го векторот од двете страни
:

2.

Докажете дека дијагоналите на ромбот се нормални


Доказ:

Најдете:

Решение:

Разложување на вектори на бази.

Дефиниција:

Линеарна комбинација на вектори (LCV) е збир од формата

(LKV)

Каде 1 , 2 , … с – произволно збир на броеви

Дефиниција:

За LCI се вели дека е нетривијален ако се јас = 0, инаку се нарекува нетривијално.

Последица:

Нетривијален LCV има најмалку еден коефициент не-нула До 0

Дефиниција:

Векторски систем
наречен линеарно независен (LNI),Ако() = 0 Сите јас 0,

односно само неговиот тривијален LC е еднаков на нула.

Последица:

Нетривијалниот LC на линеарно независните вектори е ненула

Примери:

1)
- LNZ

2) Нека И легнете во истата рамнина, тогаш
- LNZ, неколинеарни

3) Нека , , не припаѓаат на иста рамнина, тогаш тие формираат LNZ систем на вектори

Теорема:

Ако системот на вектори е линеарно независен, тогаш барем еден од нив е линеарна комбинација на другите.

Доказ:

Нека () = 0 и не сите Јас се еднакви на нула. Без губење на општоста, нека с 0. Потоа
, и ова е линеарна комбинација.

Нека

Тогаш, односно ЛЗ.

Теорема:

Било кои 3 вектори на рамнината се линеарно зависни.

Доказ:

Нека се дадени векторите
, можни случаи:

1)

2) неколинеарни

Ајде да го изразиме преку и:
, каде
- нетривијални LC.

Теорема:

Нека
- ЛЗ

Тогаш секој „поширок“ систем е LZ

Доказ:

Бидејќи - ЛЗ, тогаш има барем еден јас 0, и () = 0

Потоа и () = 0

Дефиниција:

Систем од линеарно независни вектори се нарекува максимален ако, кога ќе му се додаде некој друг вектор, тој станува линеарно зависен.

Дефиниција:

Димензијата на просторот (рамнина) е бројот на вектори во максимален линеарно независен систем на вектори.

Дефиниција:

Основа е секој подреден максимален линеарно независен систем на вектори.

Дефиниција:

Основата се нарекува нормализирана ако векторите вклучени во неа имаат должина еднаква на еден.

Дефиниција:

Основата се нарекува ортогонална ако сите нејзини елементи (вектори) се парно нормални.

Теорема:

Систем од ортогонални вектори е секогаш линеарно независен (ако нема вектори нула).

Доказ:

Нека е систем од ортогонални вектори (не-нула), т.е
. Да претпоставиме, ние го множиме овој LC скаларно со векторот :

Првата заграда е не-нула (квадрат на должината на векторот), а сите други загради се еднакви на нула според условот. Потоа 1 = 0. Слично за 2 … с

Теорема:

Нека М = - основа. Тогаш можеме да претставиме кој било вектор во форма:

каде се коефициентите 2 … с се одредуваат уникатно (ова се координатите на векторот во однос на основата М).

Доказ:

1)
=
- LZ (според основната состојба)

тогаш - нетривијално

А) 0 = 0 што е невозможно, бидејќи излегува дека М – ЛЗ

б) 0 0

подели со 0

тие. има лична сметка

2) Да го докажеме тоа со контрадикторност. Нека е уште една претстава на векторот (т.е.барем еден пар
). Ајде да ги одземеме формулите една од друга:

- LC е нетривијален.

Но според условот - основаконтрадикција, односно распаѓањето е единствено.

Заклучок:

Секоја основа М определува кореспонденција еден-на-еден помеѓу векторите и нивните координати во однос на основата М.

Ознаки:

M = - произволен вектор

Потоа

2018 Олшевски Андреј Георгиевич

Веб-страница исполнети со книги, можете да преземате книги

Вектори на рамнина и во простор, методи за решавање проблеми, примери, формули

1 Вектори во просторот

Векторите во вселената вклучуваат геометрија од 10 одделение, геометрија од 11 одделение и аналитичка геометрија. Векторите ви овозможуваат ефикасно да ги решавате геометриските проблеми од вториот дел од Единствениот државен испит и аналитичката геометрија во вселената. Векторите во просторот се дадени на ист начин како и векторите во рамнината, но се зема предвид третата координата z. Исклучувањето од вектори во третодимензионалниот простор дава вектори на рамнината, кои се објаснети со геометријата 8-мо, 9-то одделение.

1.1 Вектор на рамнината и во вселената

Вектор е насочен сегмент со почеток и крај, прикажан на сликата со стрелка. Произволна точка во просторот може да се смета за нула вектор. Нултиот вектор нема специфична насока, бидејќи почетокот и крајот се исти, така што може да му се даде каква било насока.

Вектор во превод од англиски значи вектор, насока, курс, насоки, поставување насока, курс на авион.

Должината (модулот) на вектор кој не е нула е должината на отсечката AB, која е означена
. Векторска должина означено со . Нултиот вектор има должина еднаква на нула = 0.

Векторите кои не се нула што лежат на иста права или на паралелни прави се нарекуваат колинеарни.

Нултиот вектор е колинеарен со кој било вектор.

Колинеарни ненулти вектори кои имаат иста насока се нарекуваат конасочни. Конасочните вектори се означени со . На пример, ако векторот е конасочен со векторот , тогаш се користи ознаката.

Нултиот вектор е конасочен со кој било вектор.

Спротивно насочени се два колинеарни ненулта вектори кои имаат спротивни насоки. Спротивно насочените вектори се означени со знакот ↓. На пример, ако векторот е обратно насочен кон векторот, тогаш се користи ознаката ↓.

Ко-насочените вектори со еднаква должина се нарекуваат еднакви.

Многу физички величини се векторски величини: сила, брзина, електрично поле.

Ако точката на примена (почеток) на векторот не е наведена, тогаш таа се избира произволно.

Ако почетокот на векторот е поставен во точката О, тогаш се смета дека векторот е одложен од точката О. Од која било точка можете да нацртате еден вектор еднаков на даден вектор.

1.2 Векторска сума

Кога се собираат вектори според правилото за триаголник, се црта векторот 1, од чиј крај е нацртан векторот 2, а збирот на овие два вектори е вектор 3, нацртан од почетокот на векторот 1 до крајот на векторот 2:

За произволни точки A, B и C, можете да го напишете збирот на вектори:

+
=

Ако два вектори потекнуваат од иста точка

тогаш подобро е да се соберат според правилото за паралелограм.

Кога се собираат два вектори според правилото за паралелограм, додадените вектори се поставени од една точка, од краевите на овие вектори се комплетира паралелограм со примена на почетокот на друг до крајот на еден вектор. Векторот формиран од дијагоналата на паралелограмот, кој потекнува од точката на потекло на векторите што се додаваат, ќе биде збир на вектори

Правилото за паралелограм содржи различен редослед на собирање вектори според правилото за триаголник.

Закони за векторско собирање:

1. Закон за поместување + = +.

2. Комбиниран закон ( + ) + = + ( + ).

Ако е потребно да се додадат неколку вектори, тогаш векторите се собираат во парови или според правилото многуаголник: векторот 2 е нацртан од крајот на векторот 1, векторот 3 е нацртан од крајот на векторот 2, векторот 4 е извлечен од крајот на векторот 3, векторот 5 е нацртан од крајот на векторот 4 итн. Вектор кој е збир на неколку вектори е нацртан од почетокот на векторот 1 до крајот на последниот вектор.

Според законите за векторско собирање, редоследот на собирање на вектори не влијае на добиениот вектор, кој е збир од неколку вектори.

Два не-нула спротивно насочени вектори со еднаква должина се нарекуваат спротивни. Вектор - е спротивно на векторот

Овие вектори се спротивно насочени и еднакви по големина.

1.3 Векторска разлика

Векторската разлика може да се запише како збир од вектори

- = + (-),

каде што „-“ е векторот спротивен на векторот .

Векторите и - може да се додадат според правилото на триаголник или паралелограм.

Нека векторите и

За да ја пронајдеме разликата помеѓу вектори, конструираме вектор -

Ги собираме векторите и - според правилото за триаголник, применувајќи го почетокот на векторот - до крајот на векторот, го добиваме векторот + (-) = -

Ги собираме векторите и - според правилото за паралелограм, тргајќи ги настрана почетоците на векторите и - од една точка

Ако векторите и потекнуваат од иста точка

,

тогаш разликата на вектори дава вектор што ги поврзува нивните краеви и стрелката на крајот од добиениот вектор е поставена во насока на векторот од кој се одзема вториот вектор

Сликата подолу ја покажува разликата со собирање и вектор

Сликата подолу покажува векторско собирање и разлика на различни начини

Задача.Векторите и се дадени.

Нацртај збир и разлика на вектори на сите можни начини во сите можни комбинации на вектори.

1.4 Лема на колинеарни вектори

= к

1.5 Производ на вектор и број

Производот на вектор кој не е нула со бројот k го дава векторот = k, колинеарен на векторот. Векторска должина:

| | = |k |·| |

Ако k > 0, тогаш векторите и се конасочни.

Ако k = 0, тогаш векторот е нула.

Ако к< 0, то векторы и противоположно направленные.

Ако | k | = 1, потоа вектори и се со еднаква должина.

Ако k = 1, тогаш векторите се еднакви.

Ако k = -1, потоа спротивни вектори.

Ако | k | > 1, тогаш должината на векторот е поголема од должината на векторот.

Ако k > 1, тогаш векторите се и конасочни и должината е поголема од должината на векторот.

Ако к< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Ако | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Ако 0< к< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Ако -1< к< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Производот на нула вектор и број дава нула вектор.

Задача.Даден е вектор.

Конструирај вектори 2, -3, 0,5, -1,5.

Задача.Векторите и се дадени.

Конструирај вектори 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Закони кои опишуваат множење на вектор со број

1. Закон за комбинирање (kn) = k (n)

2. Првиот закон за распределба k ( + ) = k + k .

3. Втор закон за распределба (k + n) = k + n.

За колинеарни вектори и , ако ≠ 0, постои единечен број k кој ви овозможува да го изразите векторот во однос на:

= к

1.6 Копланарни вектори

Векторите кои лежат во иста рамнина или во паралелни рамнини се нарекуваат компланарни. Ако нацртаме вектори еднакви на овие компланарни вектори од една точка, тогаш тие ќе лежат во иста рамнина. Според тоа, можеме да кажеме дека векторите се нарекуваат компланарни ако има еднакви вектори кои лежат во иста рамнина.

Два произволни вектори се секогаш компланарни. Трите вектори може да бидат компланарни или некомпланарни. Три вектори, од кои најмалку два се колинеарни, се компланарни. Колинеарните вектори се секогаш компланарни.

1.7 Разложување на вектор на два неколинеарни вектори

Било кој вектор уникатно се разложува на рамнината во два неколинеарни не-нула вектори И со единечни коефициенти на проширување x и y:

= x+y

Секој вектор е компланарен со векторите не-нула и може уникатно да се прошири на два неколинеарни вектори и со единствени коефициенти на проширување x и y:

= x+y

Да го прошириме дадениот вектор на рамнината според дадените неколинеарни вектори и:

Да ги нацртаме дадените компланарни вектори од една точка

Од крајот на векторот цртаме прави паралелни со векторите и додека не се вкрстат со правите нацртани низ векторите и . Добиваме паралелограм

Должините на страните на паралелограмот се добиваат со множење на должините на векторите и со броевите x и y, кои се одредуваат со делење на должините на страните на паралелограмот со должините на нивните соодветни вектори и. Разложувањето на векторот го добиваме според дадените неколинеарни вектори и:

= x+y

Во проблемот што се решава, x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, затоа проширувањето на векторот во дадени неколинеарни вектори може да се запише во форма

1,3 + 1,9 .

Во проблемот што се решава, x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, затоа проширувањето на векторот во дадени неколинеарни вектори може да се запише во форма

1,3 - 1,9 .

1.8 Правило на паралелепипед

Паралелепипед е тродимензионална фигура чии спротивни лица се состојат од два еднакви паралелограми кои лежат во паралелни рамнини.

Правилото за паралелепипед ви овозможува да додадете три некомпланарни вектори, кои се нацртани од една точка, а паралелепипед се конструира така што сумираните вектори ги формираат неговите рабови, а останатите рабови на паралелепипедот се соодветно паралелни и еднакви на должините на рабовите формирани од сумираните вектори. Дијагоналата на паралелепипедот формира вектор, кој е збир на дадените три вектори, кој започнува од точката на потекло на векторите што се додаваат.

1.9 Разложување на вектор на три некомпланарни вектори

Било кој вектор се проширува на три дадени некомпланарни вектори , и со единечни коефициенти на проширување x, y, z:

= x + y + z.

1.10 Правоаголен координатен систем во вселената

Во тродимензионалниот простор, правоаголниот координатен систем Oxyz се дефинира со потеклото O и меѓусебно нормалните координатни оски Ox, Oy и Oz со избрани позитивни насоки означени со стрелки и единицата за мерење на отсечките. Ако скалата на отсечките е иста на сите три оски, тогаш таквиот систем се нарекува Декартов координатен систем.

Координирај x се нарекува апсциса, y е ординатата, z е апликативна. Координатите на точката М се запишуваат во загради M (x; y; z).

1.11 Векторски координати во просторот

Во просторот ќе дефинираме правоаголен координатен систем Oxyz. Од потеклото на координатите во позитивните насоки на оските Ox, Oy, Oz, ги цртаме соодветните единечни вектори , , , кои се нарекуваат координатни вектори и се некомпланарни. Затоа, секој вектор се разложува на три дадени некомпланарни координатни вектори и со единствени коефициенти на проширување x, y, z:

= x + y + z.

Коефициентите на проширување x, y, z се координати на векторот во даден правоаголен координатен систем, кои се запишани во загради (x; y; z). Нултиот вектор има координати еднакви на нула (0; 0; 0). Еднакви вектори имаат еднакви соодветни координати.

Правила за наоѓање на координатите на добиениот вектор:

1. При сумирање на два или повеќе вектори, секоја координата на добиениот вектор е еднаква на збирот на соодветните координати на дадените вектори. Ако се дадени два вектори (x 1 ; y 1 ; z 1) и (x 1 ; y 1 ; z 1), тогаш збирот на векторите + дава вектор со координати (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1; y1 + y1; z 1 + z 1)

2. Разликата е тип на збир, така што разликата на соодветните координати ја дава секоја координата на векторот добиена со одземање на два дадени вектори. Ако се дадени два вектори (x a; y a; z a) и (x b; y b; z b), тогаш разликата на векторите дава вектор со координати (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. При множење на вектор со број, секоја координата на добиениот вектор е еднаква на производот на овој број и соодветната координата на дадениот вектор. Ако се дадени број k и вектор (x; y; z), тогаш со множење на векторот со бројот k се добива векторот k со координати

k = (kx; ky; kz).

Задача.Најдете ги координатите на векторот = 2 - 3 + 4, ако координатите на векторите се (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Решение

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Координати на вектор, вектор на радиус и точка

Координатите на векторот се координати на крајот на векторот ако почетокот на векторот е поставен на почетокот.

Вектор на радиус е вектор извлечен од потеклото до дадена точка; координатите на векторот на радиусот и точката се еднакви.

Ако векторот
е дадена со точките M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш секоја нејзина координата е еднаква на разликата на соодветните координати на крајот и почеток на векторот

За колинеарни вектори = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), ако ≠ 0, постои единечен број k кој ви овозможува да го изразите векторот преку:

= к

Тогаш координатите на векторот се изразуваат преку координатите на векторот

= (kx 1 ; ки 1; kz 1)

Односот на соодветните координати на колинеарни вектори е еднаков на еднина број k

1.13 Векторска должина и растојание помеѓу две точки

Должината на векторот (x; y; z) е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на неговите координати

Должината на векторот одредена со почетните точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и крајот M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадрати од разликата помеѓу соодветните координати на крајот на векторот и почетокот

Растојание d помеѓу две точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) е еднаква на должината на векторот

Во авионот нема z координата

Растојание помеѓу точките M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Координати на средината на сегментот

Ако поентата C е средината на отсечката AB, тогаш векторот на радиусот на точката C во произволен координатен систем со почеток во точката O е еднаков на половина од збирот на векторите на радиусот на точките A и B

Ако координатите на векторите
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш секоја векторска координата е еднаква на половина од збирот на соодветните векторски координати и

,
,

= (x, y, z) =

Секоја од координатите на средината на отсечката е еднаква на половина од збирот на соодветните координати на краевите на отсечката.

1.15 Агол помеѓу вектори

Аголот помеѓу векторите е еднаков на аголот помеѓу зраците повлечени од една точка и конасочени со овие вектори. Аголот помеѓу векторите може да биде од 0 0 до 180 0 вклучително. Аголот помеѓу истонасочните вектори е 0 0 . Ако еден вектор или двата се нула, тогаш аголот помеѓу векторите, од кои барем еден е нула, е еднаков на 0 0 . Аголот помеѓу нормалните вектори е 90 0. Аголот помеѓу спротивно насочени вектори е 180 0.

1.16 Векторска проекција

1.17 Точка производ на вектори

Скаларниот производ на два вектори е број (скаларен) еднаков на производот од должините на векторите и косинусот на аголот помеѓу векторите

Ако = 0 0 , тогаш векторите се конасочни
И
= cos 0 0 = 1, затоа, скаларниот производ на истонасочните вектори е еднаков на производот од нивните должини (модули)

.

Ако аголот помеѓу векторите е 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, затоа скаларниот производ е поголем од нула
.

Ако векторите кои не се нула се нормални, тогаш нивниот скаларен производ е еднаков на нула
, бидејќи cos 90 0 = 0. Скаларниот производ на нормалните вектори е еднаков на нула.

Ако
, тогаш косинусот на аголот помеѓу таквите вектори е помал од нула
, затоа скаларниот производ е помал од нула
.

Како што се зголемува аголот помеѓу векторите, косинусот на аголот меѓу нив
се намалува и достигнува минимална вредност на = 180 0 кога векторите се обратно насочени
. Бидејќи cos 180 0 = -1, тогаш
. Скаларниот производ на спротивно насочени вектори е еднаков на негативниот производ на нивните должини (модули).

Скаларниот квадрат на векторот е еднаков на модулот на векторот на квадрат

Точливиот производ на вектори од кои барем еден е нула е еднаков на нула.

1.18 Физичко значење на скаларниот производ на вектори

Од курс по физика се знае дека работата што ја врши А сила при движење на телото еднаков на производот на должините на векторите на сила и поместување и косинус на аголот меѓу нив, односно еднаков на скаларниот производ на векторите на сила и поместување

Ако векторот на силата е конасочен со движењето на телото, тогаш аголот помеѓу векторите
= 0 0, затоа работата што ја врши силата на поместување е максимална и еднаква на A =
.

Ако 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Ако = 90 0, тогаш работата што ја врши силата на поместување е нула A = 0.

Ако 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Ако векторот на силата е насочен спротивно на движењето на телото, тогаш аголот помеѓу векторите = 180 0, затоа работата на силата на движењето е негативна и еднаква на A = -.

Задача.Определете ја работата направена од гравитацијата при подигнување на патнички автомобил тежок 1 тон по пат долг 1 km со агол на наклон од 30 0 во однос на хоризонтот. Колку литри вода на температура од 20 0 може да се свари користејќи ја оваа енергија?

Решение

Работа Гравитација при движење на тело, тоа е еднакво на производот на должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив, односно еднаков на скаларниот производ на векторите на гравитација и поместување

Гравитација

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10.000 N.

= 1000 m.

Агол помеѓу вектори = 120 0 . Потоа

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - грев 30 0 = - 0,5.

Ајде да замениме

A = 10.000 N · 1000 m · (-0,5) = - 5.000.000 J = - 5 MJ.

1.19 Точка производ на вектори во координати

Точка производ на два вектори = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) во правоаголен координатен систем е еднаков на збирот на производите на истоимените координати

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Услов на перпендикуларност на вектори

Ако вектори кои не се нула = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) се нормални, тогаш нивниот скаларен производ е нула

Ако е даден еден ненула вектор = (x 1 ; y 1 ; z 1), тогаш координатите на векторот нормален (нормален) на него = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) мора да ја задоволат еднаквоста

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Има бесконечен број на такви вектори.

Ако на рамнината е даден еден ненула вектор = (x 1 ; y 1), тогаш координатите на векторот нормален (нормален) на него = (x 2 ; y 2) мора да ја задоволуваат еднаквоста

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Ако на рамнината е даден вектор без нула = (x 1 ; y 1), тогаш доволно е произволно да се постави една од координатите на векторот нормална (нормална) на него = (x 2 ; y 2) и од условот на перпендикуларност на векторите

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

изрази ја втората координата на векторот.

На пример, ако замените произволна координата x 2, тогаш

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

Втора векторска координата

Ако дадеме x 2 = y 1, тогаш втората координата на векторот

Ако на рамнината е даден вектор кој не е нула = (x 1 ; y 1), тогаш векторот нормален (нормален) на него = (y 1 ; -x 1).

Ако една од координатите на вектор без нула е еднаква на нула, тогаш векторот ја има истата координата која не е еднаква на нула, а втората координата е еднаква на нула. Таквите вектори лежат на координатните оски и затоа се нормални.

Ајде да дефинираме втор вектор нормално на векторот = (x 1 ; y 1), но спротивен на векторот , односно векторот - . Тогаш доволно е да се сменат знаците на векторските координати

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Задача.

Решение

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Заменете ги векторските координати = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

во право!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

во право!

Одговор: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Ако доделиме x 2 = 1, замени

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Ја добиваме координатата y 2 на векторот нормално на векторот = (x 1 ; y 1)

За да се добие втор вектор нормален на векторот = (x 1 ; y 1), но спротивен на векторот . Нека

Тогаш доволно е да се сменат знаците на векторските координати.

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

Задача.Даден вектор = (3; -5). Најдете два нормални вектори со различни ориентации.

Решение

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

Координати на еден вектор

Координати на вториот вектор

За да ја провериме перпендикуларноста на векторите, ги заменуваме нивните координати во условот на нормалноста на векторите

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

во право!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

во право!

Одговор: и.

Ако доделите x 2 = - x 1 , заменете

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Ја добиваме координатата на векторот нормална на векторот

Ако доделите x 2 = x 1 , заменете

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Ја добиваме y координатата на вториот вектор нормално на векторот

Координати на еден вектор нормален на векторот на рамнината = (x 1 ; y 1)

Координати на вториот вектор нормални на векторот на рамнината = (x 1 ; y 1)

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

1.21 Косинусот на аголот помеѓу векторите

Косинусот на аголот помеѓу два вектори без нула = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) е еднаков на скаларниот производ на векторите поделен со производот на должините на овие вектори

Ако
= 1, тогаш аголот помеѓу векторите е 0 0, векторите се конасочни.

Ако 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Ако = 0, тогаш аголот помеѓу векторите е 90 0, векторите се нормални.

Ако -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Ако = -1, тогаш аголот помеѓу векторите е 180 0, векторите се обратно насочени.

Ако вектор е даден со координатите на почетокот и крајот, тогаш одземајќи ги координатите на почетокот од соодветните координати на крајот на векторот, ги добиваме координатите на овој вектор.

Задача.Најдете го аголот помеѓу векторите (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Решение

Точка производ на вектори

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

затоа аголот меѓу векторите е еднаков на = 90 0 .

1.22 Својства на скаларниот производ на вектори

Својствата на скаларниот производ важат за било кој , , , к :

1.
, Ако
, Тоа
, Ако =, Тоа
= 0.

2. Закон за патување

3. Дистрибутивно право

4. Комбиниран закон
.

1.23 Директен вектор

Векторот на насоката на правата е вектор кој не е нула што лежи на права или на права паралелна на дадена права.

Ако права линија е дефинирана со две точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш водичот е векторот
или неговиот спротивен вектор
= - , чии координати

Препорачливо е да се постави координатниот систем така што линијата поминува низ потеклото на координатите, тогаш координатите на единствената точка на линијата ќе бидат координатите на векторот на насоката.

Задача.Определете ги координатите на векторот на насоката на правата линија што минува низ точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Решение

Векторот на насоката на права линија што минува низ точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) е означен
. Секоја од неговите координати е еднаква на разликата помеѓу соодветните координати на крајот и почетокот на векторот

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Дозволете ни да го прикажеме насочувачкиот вектор на права линија во координатниот систем со почеток во точката M 1, со крајот во точката M 2 и еднаков вектор
од потеклото со крајот во точката М (-1; 1; 0)

1.24 Агол помеѓу две прави линии

Можни опции за релативната положба на 2 прави линии на рамнина и аголот помеѓу таквите прави линии:

1. Правите линии се сечат во една точка, формирајќи 4 агли, 2 пара вертикални агли се еднакви во парови. Аголот φ помеѓу две линии што се пресекуваат е аголот што не ги надминува другите три агли помеѓу овие линии. Според тоа, аголот помеѓу правите е φ ≤ 90 0.

Пресечните линии можат да бидат, особено, нормални на φ = 90 0.

Можни опции за релативната положба на 2 прави линии во просторот и аголот помеѓу таквите прави линии:

1. Правите линии се сечат во една точка, формирајќи 4 агли, 2 пара вертикални агли се еднакви во парови. Аголот φ помеѓу две линии што се пресекуваат е аголот што не ги надминува другите три агли помеѓу овие линии.

2. Правите се паралелни, односно не се совпаѓаат и не се сечат, φ=0 0 .

3. Линиите се совпаѓаат, φ = 0 0 .

4. Правите се сечат, односно не се сечат во просторот и не се паралелни. Аголот φ помеѓу линиите што се пресекуваат е аголот помеѓу линиите нацртани паралелно со овие прави така што тие се сечат. Според тоа, аголот помеѓу правите е φ ≤ 90 0.

Аголот помеѓу 2 прави линии е еднаков на аголот помеѓу прави линии повлечени паралелно со овие прави линии во истата рамнина. Според тоа, аголот помеѓу правите е 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Агол θ (тета) помеѓу вектори и 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Ако аголот φ помеѓу правите α и β е еднаков на аголот θ помеѓу векторите на насоката на овие прави φ = θ, тогаш

cos φ = cos θ.

Ако аголот помеѓу прави линии е φ = 180 0 - θ, тогаш

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Според тоа, косинус на аголот помеѓу прави линии е еднаков на модулот на косинус на аголот помеѓу вектори

cos φ = |cos θ|.

Ако се дадени координатите на вектори кои не се нула = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш косинусот на аголот θ помеѓу нив

Косинусот на аголот помеѓу правите е еднаков на модулот на косинусот на аголот помеѓу векторите на насоката на овие права

cos φ = |cos θ| =

Линиите се исти геометриски објекти, затоа истите тригонометриски cos функции се присутни во формулата.

Ако секоја од двете прави е дадена со две точки, тогаш е можно да се одредат векторите на насоката на овие прави и косинус на аголот помеѓу правите.

Ако cos φ = 1, тогаш аголот φ помеѓу линиите е еднаков на 0 0, можеме да земеме за овие линии еден од векторите на насоката на овие линии, линиите се паралелни или се совпаѓаат. Ако линиите не се совпаѓаат, тогаш тие се паралелни. Ако линиите се совпаѓаат, тогаш која било точка на едната права припаѓа на другата линија.

Ако 0< cos φ ≤ 1, тогаш аголот помеѓу правите е 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Ако cos φ = 0, тогаш аголот φ помеѓу правите е 90 0 (правиите се нормални), линиите се сечат или се вкрстуваат.

Задача.Определи го аголот помеѓу правите линии M 1 M 3 и M 2 M 3 со координатите на точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).

Решение

Ајде да конструираме дадени точки и прави во координатниот систем Oxyz.

Векторите на насоката на правите ги насочуваме така што аголот θ помеѓу векторите се совпаѓа со аголот φ помеѓу дадените линии. Да ги претставиме векторите =
и =
, како и аглите θ и φ:

Да ги одредиме координатите на векторите и

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 и секира + со + cz = 0;

Рамнината е паралелна со координатната оска, чија ознака е отсутна во равенката на рамнината и, според тоа, соодветниот коефициент е нула, на пример, при c = 0, рамнината е паралелна со оската Оз и не содржи z во равенката ax + by + d = 0;

Рамнината ја содржи таа координатна оска, чија ознака недостасува, затоа, соодветниот коефициент е нула и d = 0, на пример, со c = d = 0, рамнината е паралелна со оската Oz и не содржи z во равенката секира + со = 0;

Рамнината е паралелна со координатната рамнина, чии симболи се отсутни во равенката на рамнината и, според тоа, соодветните коефициенти се нула, на пример, за b = c = 0, рамнината е паралелна со координатната рамнина Oyz и не содржи y, z во равенката ax + d = 0.

Ако рамнината се совпаѓа со координатната рамнина, тогаш равенката на таквата рамнина е еднаквост на нула на ознаката на координатната оска нормална на дадената координатна рамнина, на пример, кога x = 0, дадената рамнина е координатната рамнина Oyz.

Задача.Нормалниот вектор е даден со равенката

Претстави ја равенката на рамнината во нормална форма.

Решение

Нормални векторски координати

А; б ; в), тогаш можете да ги замените координатите на точката M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) и координатите a, b, c на нормалниот вектор во општата равенка на рамнината

секира + од + cz + d = 0 (1)

Добиваме равенка со една непозната г

секира 0 + со 0 + cz 0 + d = 0

Од тука

d = -( секира 0 + со 0 + cz 0 )

Равенка на рамнина (1) по замена на d

секира + од + cz - (секира 0 + со 0 + cz 0) = 0

Ја добиваме равенката на рамнината што минува низ точката M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) нормална на векторот кој не е нула (а; б; в)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Ајде да ги отвориме заградите

секира - секира 0 + со - за 0 + cz - cz 0 = 0

секира + од + cz - секира 0 - од 0 - cz 0 = 0

Да означиме

d = - секира 0 - од 0 - cz 0

Ја добиваме општата равенка на рамнината

секира + со + cz + d = 0.

1.29 Равенка на рамнина што минува низ две точки и почеток

секира + со + cz + d = 0.

Препорачливо е да се постави координатниот систем така што рамнината да минува низ потеклото на овој координатен систем. Точките M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) што лежат во оваа рамнина мора да бидат наведени така што правата линија што ги поврзува овие точки да не поминува низ потеклото.

Рамнината ќе помине низ потеклото, така што d = 0. Тогаш општата равенка на рамнината добива форма

секира + со + cz = 0.

Има 3 непознати коефициенти a, b, c. Со замена на координатите на две точки во општата равенка на рамнината се добива систем од 2 равенки. Ако земеме некој коефициент во општата равенка на рамнината еднаков на еден, тогаш системот од 2 равенки ќе ни овозможи да одредиме 2 непознати коефициенти.

Ако една од координатите на точка е нула, тогаш коефициентот што одговара на оваа координата се зема како еден.

Ако некоја точка има две нула координати, тогаш коефициентот што одговара на една од овие нулти координати се зема како еден.

Ако се прифати a = 1, тогаш систем од 2 равенки ќе ни овозможи да одредиме 2 непознати коефициенти b и c:

Полесно е да се реши систем од овие равенки со множење на некоја равенка со таков број што коефициентите за некоја непозната стануваат еднакви. Тогаш разликата на равенките ќе ни овозможи да ја елиминираме оваа непозната и да одредиме друга непозната. Замената на пронајдената непозната во која било равенка ќе ви овозможи да ја одредите втората непозната.

1.30 Равенка на рамнина што минува низ три точки

Да ги одредиме коефициентите на општата равенка на рамнината

секира + од + cz + d = 0,

поминувајќи низ точките M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​, z 2) и M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Точките не треба да имаат две идентични координати.

Има 4 непознати коефициенти a, b, c и d. Со замена на координатите на три точки во општата равенка на рамнината се добива систем од 3 равенки. Земете одреден коефициент во општата равенка на рамнината еднаква на единство, тогаш системот од 3 равенки ќе ви овозможи да одредите 3 непознати коефициенти. Обично се прифаќа a = 1, тогаш систем од 3 равенки ќе ни овозможи да одредиме 3 непознати коефициенти b, c и d:

Подобро е да се реши систем на равенки со елиминирање на непознатите (Метод Гаус). Можете да ги преуредите равенките во системот. Секоја равенка може да се помножи или подели со кој било коефициент што не е еднаков на нула. Може да се додадат кои било две равенки, а добиената равенка може да се запише на местото на која било од двете додадени равенки. Непознатите се исклучуваат од равенките со добивање на нулта коефициент пред нив. Во една равенка, обично најниската, останува една променлива што се одредува. Пронајдената променлива се заменува во втората равенка одоздола, која обично остава 2 непознати. Равенките се решаваат од дното кон врвот и се одредуваат сите непознати коефициенти.

Коефициентите се ставаат пред непознатите, а термините без непознати се пренесуваат на десната страна од равенките

Горната линија обично содржи равенка која има коефициент 1 пред првата или која било непозната, или целата прва равенка се дели со коефициентот пред првата непозната. Во овој систем на равенки, поделете ја првата равенка со y 1

Пред првата непозната добивме коефициент 1:

За да го ресетирате коефициентот пред првата променлива од втората равенка, помножете ја првата равенка со -y 2, додадете ја во втората равенка и напишете ја добиената равенка наместо втората равенка. Првата непозната во втората равенка ќе биде елиминирана бидејќи

y 2 b - y 2 b = 0.

Слично на тоа, ја елиминираме првата непозната во третата равенка со множење на првата равенка со -y 3, додавајќи ја на третата равенка и запишувајќи ја добиената равенка наместо третата равенка. Првата непозната во третата равенка исто така ќе биде елиминирана бидејќи

y 3 b - y 3 b = 0.

Слично на тоа, ја елиминираме втората непозната во третата равенка. Системот го решаваме од дното нагоре.

Задача.

секира + од + cz + d = 0,

поминувајќи низ точките M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Наведената рамнина е координатната рамнина Oyz.

Задача.Одреди ја општата равенка на рамнината

секира + од + cz + d = 0,

поминувајќи низ точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1). Најдете го растојанието од оваа рамнина до точката M 0 (10; -3; -7).

Решение

Да ги конструираме дадените точки во координатен систем Oxyz.

Да прифатиме а= 1. Со замена на координатите на три точки во општата равенка на рамнината се добива систем од 3 равенки

ℓ =

Веб-страници: 1 2 Вектори на рамнина и во вселената (продолжение)

Консултации со Андреј Георгиевич Олшевски на Skype да.ирк.ru

    Подготовка на студенти и ученици по математика, физика, компјутерски науки, ученици кои сакаат да добијат многу поени (В дел) и слаби студенти за Државниот испит (ГИА) и Единствениот државен испит. Симултано подобрување на тековните академски перформанси преку развивање меморија, размислување и јасно објаснување на сложената, визуелна презентација на предметите. Посебен пристап кон секој ученик. Подготовка за олимпијади кои обезбедуваат бенефиции за прием. 15 годишно искуство за подобрување на постигањата на учениците.

    Виша математика, алгебра, геометрија, теорија на веројатност, математичка статистика, линеарно програмирање.

    Јасно објаснување на теоријата, затворање на празнините во разбирањето, наставни методи за решавање проблеми, консултации при пишување предмети и дипломи.

    Авијација, ракетни и автомобилски мотори. Хиперсонични, рам-џет, ракета, пулсна детонација, пулсирачки, гасна турбина, клипни мотори со внатрешно согорување - теорија, дизајн, пресметка, сила, дизајн, технологија на производство. Термодинамика, топлинско инженерство, динамика на гас, хидраулика.

    Авијација, аеромеханика, аеродинамика, динамика на летот, теорија, дизајн, аерохидромеханика. Ултралесни авиони, екраноплани, авиони, хеликоптери, ракети, крстосувачки ракети, ховеркрафт, воздушни бродови, пропелери - теорија, дизајн, пресметка, сила, дизајн, технологија на производство.

    Генерирање и имплементација на идеи. Основи на научно истражување, методи на генерирање, имплементација на научни, инвентивни, бизнис идеи. Наставни техники за решавање на научни проблеми и инвентивни проблеми. Научна, инвентивна, пишувачка, инженерска креативност. Изјава, избор, решавање на највредните научни, инвентивни проблеми и идеи.

    Објавување на креативни резултати. Како да напишете и објавите научна статија, да аплицирате за пронајдок, да напишете, да објавите книга. Теорија на пишување, одбрана на дисертации. Заработка од идеи и пронајдоци. Консултации во креирање на пронајдоци, пишување апликации за пронајдоци, научни статии, апликации за пронајдоци, книги, монографии, дисертации. Коавторство на пронајдоци, научни статии, монографии.

    Теоретска механика (теормех), јачина на материјали (јачина на материјали), машински делови, теорија на механизми и машини (ТММ), машинска технологија, технички дисциплини.

    Теоретски основи на електротехниката (TOE), електроника, основи на дигитална и аналогна електроника.

    Аналитичка геометрија, описна геометрија, инженерска графика, цртање. Компјутерска графика, графичко програмирање, цртежи во AutoCAD, NanoCAD, фотомонтажа.

    Логика, графикони, дрвја, дискретна математика.

    OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET,макроа, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Креирање на програми, игри за компјутери, лаптопи, мобилни уреди. Користење на бесплатни готови програми, мотори со отворен код.

    Креирање, пласирање, промоција, програмирање на веб-страници, онлајн продавници, заработка на веб-страници, веб дизајн.

    Компјутерски науки, корисник на компјутер: текстови, табели, презентации, обука за брзо пишување за 2 часа, бази на податоци, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Интернет, мрежи, е-пошта.

    Инсталација и поправка на стационарни компјутери и лаптопи.

    Видео блогер, креирање, уредување, објавување видеа, уредување видео, правење пари од видео блогови.

    Избор, постигнување цели, планирање.

    Обука за правење пари на Интернет: блогер, видео блогер, програми, веб-страници, онлајн продавница, статии, книги итн.

Можете да го поддржите развојот на страницата, да платите за консултантски услуги на Андреј Георгиевич Олшевски

10.15.17 Олшевски Андреј Георгиевиче-пошта:[заштитена е-пошта]

Единственоста на коефициентите на линеарна комбинација се докажува на ист начин како и во претходната последица.

Последица:Сите четири вектори се линеарно зависни

Поглавје 4. Концептот на основа. Својства на вектор во дадена основа

Дефиниција:Основа во просторот е која било подредена тројка од некомпланарни вектори.

Дефиниција:Основа на авионот е секој подреден пар неколинеарни вектори.

Основата во просторот овозможува секој вектор да биде уникатно поврзан со подредена тројка од броеви - коефициентите на претставување на овој вектор во форма на линеарна комбинација на основни вектори. Напротив, поврзуваме вектор со секоја подредена тројка броеви користејќи основа ако направиме линеарна комбинација.

Се повикуваат броевите компоненти (или координати ) вектор во дадена основа (напишано ).

Теорема:Кога се собираат два вектори, се додаваат нивните координати. Кога векторот се множи со број, сите координати на векторот се множат со тој број.

Навистина, ако , Тоа

Дефиницијата и својствата на векторските координати на рамнината се слични. Можете лесно да ги формулирате сами.

Поглавје 5. Векторска проекција

Под агол помеѓу вектори се однесува на аголот помеѓу вектори еднаков на податок и со заедничко потекло. Ако референтната насока на аголот не е одредена, тогаш аголот помеѓу векторите се смета за агол што не надминува π. Ако еден од векторите е нула, тогаш аголот се смета за еднаков на нула. Ако аголот помеѓу векторите е правилен, тогаш векторите се нарекуваат ортогонални .

Дефиниција:Ортогонална проекција вектор во насока на векторот наречена скаларна големина , φ – агол помеѓу вектори (сл. 9).

Модулот на оваа скаларна величина е еднаков на должината на сегментот О.А. 0 .

Ако аголот φ е остар, проекцијата е позитивна; ако аголот φ е тап, проекцијата е негативна; ако аголот φ е исправен, проекцијата е нула.

Со ортогонална проекција, аголот помеѓу сегментите О.А. 0 И А.А. 0 директно. Постојат проекции во кои овој агол се разликува од правиот агол.

Проекциите на вектори ги имаат следните својства:

Основата се нарекува ортогонални , ако неговите вектори се во пар ортогонални.

Се нарекува ортогонална основа ортонормални , ако неговите вектори се еднакви по должина на еден. За ортонормална основа во просторот, нотацијата често се користи.

Теорема:Во ортонормална основа, координатите на векторите се соодветните ортогонални проекции на овој вектор на насоките на векторите на координатите.

Пример:Нека вектор со единечна должина формира агол φ со векторот на ортонормална основа на рамнината, тогаш .

Пример:Нека вектор со единечна должина формира агли α, β, γ со векторите , и со ортонормална основа во просторот, соодветно (сл. 11), тогаш . Згора на тоа. Количините cosα, cosβ, cosγ се нарекуваат косинуси на насоката на векторот

Поглавје 6. Производ со точки

Дефиниција:Скаларниот производ на два вектори е број еднаков на производот од должините на овие вектори и косинусот на аголот меѓу нив. Ако еден од векторите е нула, скаларниот производ се смета за еднаков на нула.

Скаларниот производ на вектори и се означува со [или ; или ]. Ако φ е аголот помеѓу векторите и , тогаш .

Скаларниот производ ги има следните својства:

Теорема:Во ортогонална основа, компонентите на кој било вектор се наоѓаат според формулите:

Навистина, нека , и секој член е колинеарен со соодветниот основен вектор. Од теоремата на вториот дел произлегува дека , каде што се избира знакот плус или минус во зависност од тоа дали векторите , и се насочени во исти или спротивни насоки. Но, , каде φ е аголот помеѓу векторите и . Значи, . Останатите компоненти се пресметуваат слично.

Скаларниот производ се користи за решавање на следниве основни проблеми:

1. ; 2. ; 3. .

Нека векторите се дадени во одредена основа, а потоа, користејќи ги својствата на скаларниот производ, можеме да напишеме:

Големините се нарекуваат метрички коефициенти на дадена основа. Оттука .

Теорема:На ортонормална основа

;
;
;
.

Коментар:Сите аргументи во овој дел се дадени за случајот на локацијата на векторите во просторот. Случајот на вектори кои се наоѓаат на рамнина се добива со отстранување на непотребните компоненти. Авторот предлага да го направите тоа сами.

Поглавје 7. Векторски производ

Се нарекува подредена тројка од некомпланарни вектори десно ориентирани (право ), ако по нанесувањето на заедничкото потекло од крајот на третиот вектор, најкраткото вртење од првиот вектор до вториот е видлив спротивно од стрелките на часовникот. Во спротивно, се нарекува подредена тројка од некомпланарни вектори лево ориентирани (лево ).

Дефиниција:Вкрстен производ на вектор и вектор е вектор кој ги задоволува условите:

Ако еден од векторите е нула, тогаш вкрстениот производ е нула вектор.

Вкрстен производ на вектор и вектор се означува (или).

Теорема:Неопходен и доволен услов за колинеарност на два вектори е нивниот векторски производ да е еднаков на нула.

Теорема:Должината (модулот) на векторскиот производ на два вектори е еднаква на плоштината на паралелограмот конструиран на овие вектори како страни.

Пример:Ако е правилна ортонормална основа, тогаш , , .

Пример:Ако е лева ортонормална основа, тогаш , , .

Пример:Нека биде ортогонално на . Потоа се добива од векторот со ротирање во насока на стрелките на часовникот околу векторот (како што се гледа од крајот на векторот).