Систем линеарни равенкисо две непознати - тоа се две или повеќе линеарни равенки за кои е потребно да се најдат сите општи решенија. Ќе разгледаме системи од две линеарни равенки во две непознати. Општиот приказ на систем од две линеарни равенки со две непознати е претставен на сликата подолу:
(a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Овде x и y се непознати променливи, a1, a2, b1, b2, c1, c2 се некои реални броеви. Решение на систем од две линеарни равенки во две непознати е пар броеви (x,y) така што ако ги замениме овие броеви во равенките на системот, тогаш секоја од равенките на системот се претвора во вистинска равенка. Постојат неколку начини за решавање на систем од линеарни равенки. Да разгледаме еден од начините за решавање на систем на линеарни равенки, имено методот на собирање.
Алгоритам за решавање со метод на собирање
Алгоритам за решавање на систем од линеарни равенки со две непознати со помош на методот на собирање.
1. Доколку е потребно, од еквивалентни трансформацииизедначете ги коефициентите на една од непознатите променливи во двете равенки.
2. Со собирање или одземање на добиените равенки, се добива линеарна равенка со една непозната
3. Решете ја добиената равенка со една непозната и пронајдете една од променливите.
4. Заменете го добиениот израз со која било од двете равенки на системот и решете ја оваа равенка, добивајќи ја на тој начин втората променлива.
5. Проверете го растворот.
Пример за решение со методот на додавање
За поголема јасност, да го решиме следниов систем на линеарни равенки со две непознати користејќи го методот на собирање:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Бидејќи ниту една од променливите нема идентични коефициенти, ги изедначуваме коефициентите на променливата y. За да го направите ова, помножете ја првата равенка со три, а втората равенка со два.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Добиваме следниов систем на равенки:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Сега ја одземаме првата од втората равенка. Ви претставуваме слични терминии решете ја добиената линеарна равенка.
10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) = 24-30; x=-6;
Добиената вредност ја заменуваме во првата равенка од нашиот оригинален систем и ја решаваме добиената равенка.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Резултатот е пар броеви x=6 и y=14. Проверуваме. Ајде да направиме замена.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Како што можете да видите, добивме две точни еднаквости, па затоа го најдовме точното решение.
Инструкции
Метод на додавање.
Треба да напишете две строго еден под друг:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Во произволно избраната (од системот) равенка, вметнете го бројот 11 наместо веќе пронајдената „игра“ и пресметајте ја втората непозната:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Одговорот на овој систем на равенки е x=116, y=11.
Графички метод.
Се состои од практично наоѓање на координатите на точката во која правите математички се запишани во систем од равенки. Графиконите на двете линии треба да се нацртаат посебно во истиот координатен систем. Општ поглед: – y=khx+b. За да се конструира права линија, доволно е да се пронајдат координатите на две точки, а x се избира произволно.
Нека системот е даден: 2x – y=4
Y=-3x+1.
Права линија се конструира со помош на првата, за погодност треба да се запише: y=2x-4. Дојдете со (полесни) вредности за x, заменувајќи ја во равенката, решете ја и најдете y. Добиваме две точки по кои се гради права линија. (види слика)
x 0 1
y -4 -2
Права линија се конструира со помош на втората равенка: y=-3x+1.
Конструирај и права линија. (види слика)
y 1 -5
Најдете ги координатите на пресечната точка на две конструирани прави на графикот (ако линиите не се сечат, тогаш системот на равенки нема - значи).
Видео на темата
Ако истиот систем на равенки се реши со три различни начини, одговорот ќе биде ист (ако решението е точно).
Извори:
- Алгебра од 8 одделение
- реши равенка со две непознати онлајн
- Примери за решавање системи на линеарни равенки со два
Систем равенкие збирка на математички записи, од кои секоја содржи одреден број на променливи. Постојат неколку начини за нивно решавање.
Ќе ви треба
- -Линар и молив;
- - калкулатор.
Инструкции
Да ја разгледаме низата на решавање на системот, кој се состои од линеарни равенки кои имаат форма: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Каде што x и y се непознати променливи, а b,c се слободни членови. При примена на овој метод, секој систем ги претставува координатите на точките што одговараат на секоја равенка. За почеток, во секој случај, изразете една променлива во однос на друга. Потоа поставете ја променливата x на кој било број вредности. Две се доволни. Заменете во равенката и најдете y. Конструирајте координатен систем, означете ги добиените точки на него и повлечете линија низ нив. Слични пресметки мора да се извршат и за други делови од системот.
Системот има единствена одлука, ако конструираните линии се сечат и еден заедничка точка. Тоа е некомпатибилно ако се паралелни едни со други. И има бескрајно многу решенија кога линиите се спојуваат една со друга.
Овој методсе смета за многу визуелно. Главниот недостаток е тоа што пресметаните непознати имаат приближни вредности. Попрецизен резултат е даден од т.н алгебарски методи.
Секое решение на систем од равенки вреди да се провери. За да го направите ова, заменете ги добиените вредности наместо променливите. Можете исто така да го најдете неговото решение користејќи неколку методи. Ако решението на системот е точно, тогаш сите треба да испаднат исто.
Честопати постојат равенки во кои еден од поимите е непознат. За да ја решите равенката, треба да запомните и да го направите со дадените броеви специфичен сетакции.
Ќе ви треба
- - хартија;
- - пенкало или молив.
Инструкции
Замислете дека пред вас има 8 зајаци, а вие имате само 5 моркови. Размислете, сепак треба да купите повеќе моркови за секој зајак да добие по еден.
Да го претставиме овој проблем во форма на равенка: 5 + x = 8. Да го замениме бројот 3 на местото на x. Навистина, 5 + 3 = 8.
Кога заменувавте број за x, го направивте истото како кога одземавте 5 од 8. Значи, за да најдете непознатчлен, одземете го познатиот член од збирот.
Да речеме дека имате 20 зајаци и само 5 моркови. Ајде да го измислиме. Равенка е еднаквост што важи само за одредени вредности на буквите вклучени во неа. Се викаат буквите чиишто значења треба да се најдат. Напишете равенка со една непозната, наречете ја x. Кога го решаваме нашиот проблем со зајакот, ја добиваме следната равенка: 5 + x = 20.
Да ја најдеме разликата помеѓу 20 и 5. При одземање, бројот од кој се одзема е оној што се намалува. Бројот што се одзема се нарекува и конечниот резултатнаречена разлика. Значи, x = 20 – 5; x = 15. Треба да купите 15 моркови за зајаците.
Проверете: 5 + 15 = 20. Равенката е решена правилно. Се разбира, кога ние зборуваме заза такви едноставни, не е неопходно да се изврши проверка. Меѓутоа, кога имате равенки со трицифрени, четирицифрени итн. броеви, дефинитивно треба да проверите за да бидете апсолутно сигурни во резултатот од вашата работа.
Видео на темата
Корисен совет
За да го пронајдете непознатиот минуенд, треба да го додадете подзаконскиот дел на разликата.
Да најде непознат подзаконски, треба да ја одземете разликата од минуендот.
Совет 4: Како да решите систем на три равенкисо три непознати
Систем од три равенки со три непознати може да нема решенија, и покрај доволен број равенки. Може да се обидете да го решите користејќи го методот на замена или користејќи го методот на Крамер. Методот на Крамер, покрај решавањето на системот, ви овозможува да оцените дали системот е решлив пред да ги пронајдете вредностите на непознатите.
Инструкции
Методот на замена се состои од секвенцијално последователно една непозната преку две други и замена на добиениот резултат во равенките на системот. Нека е даден систем од три равенки општ поглед:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Изразете x од првата равенка: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и заменете ја во втората и третата равенка, потоа изразете y од втората равенка и заменете ја во третата. Ќе добиеш линеарен изразза z преку коефициентите на системските равенки. Сега одете „наназад“: заменете го z во втората равенка и најдете y, а потоа заменете ги z и y во првата и решете го x. Процесот е генерално прикажан на сликата пред да се најде z. Понатамошното пишување во општа форма ќе биде премногу незгодно; во пракса, со замена на , можете лесно да ги најдете сите три непознати.
Крамеровиот метод се состои од конструирање на матрица на системот и пресметување на детерминантата на оваа матрица, како и уште три помошни матрици. Системската матрица е составена од коефициенти за непознатите членови на равенките. Колона што ги содржи броевите од десната страна на равенките, колона од десните страни. Не се користи во системот, туку се користи при решавање на системот.
Видео на темата
Забелешка
Сите равенки во системот мора да обезбедат дополнителни информации независни од другите равенки. Во спротивно, системот ќе биде недоопределен и нема да може да се најде недвосмислено решение.
Корисен совет
Откако ќе го решите системот на равенки, заменете ги пронајдените вредности во оригиналниот систем и проверете дали ги задоволуваат сите равенки.
Од самиот себе равенкатасо три непознатима многу решенија, па најчесто се надополнува со уште две равенки или услови. Во зависност од тоа какви се првичните податоци, во голема мера ќе зависи текот на одлуката.
Ќе ви треба
- - систем од три равенки со три непознати.
Инструкции
Ако два од трите системи имаат само две од трите непознати, обидете се да изразите некои променливи во однос на другите и заменете ги во равенкатасо три непознат. Вашата цел во овој случај е да ја претворите во нормална равенкатасо непознато лице. Ако е ова, понатамошното решение е прилично едноставно - заменете ја пронајдената вредност со други равенки и пронајдете ги сите други непознати.
Некои системи на равенки може да се одземат од една равенка со друга. Погледнете дали е можно да се помножи едно од или променлива така што две непознати ќе бидат откажани одеднаш. Ако постои таква можност, искористете ја, најверојатно, последователното решение нема да биде тешко. Не заборавајте дека кога се множи со број мора да се множи како лева страна, и вистинскиот. Исто така, кога одземате равенки, мора да запомните дека и десната страна мора да се одземе.
Ако претходните методи не помогнаа, користете на општ начинрешенија на кои било равенки со три непознат. За да го направите ова, препишете ги равенките во форма a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Сега креирајте матрица од коефициенти за x (A), матрица од непознати (X) и матрица на слободни променливи (B). Имајте предвид дека со множење на матрицата на коефициенти со матрицата на непознати, ќе добиете матрица од слободни членови, односно A*X=B.
Најдете ја матрицата А на моќноста (-1) со прво наоѓање , забележете дека не треба да биде еднаква на нула. По ова, помножете ја добиената матрица со матрицата Б, како резултат ќе ја добиете саканата матрица X, означувајќи ги сите вредности.
Можете исто така да најдете решение за систем од три равенки користејќи го Крамеровиот метод. За да го направите ова, пронајдете ја детерминантата ∆ од трет ред што одговара на системската матрица. Потоа последователно најдете уште три детерминанти ∆1, ∆2 и ∆3, заменувајќи ги вредностите на слободните термини наместо вредностите на соодветните колони. Сега најдете x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Извори:
- решенија на равенки со три непознати
Кога почнувате да решавате систем од равенки, дознајте какви равенки се тие. Методите за решавање на линеарни равенки се доста добро проучени. Нелинеарните равенки најчесто не се решаваат. Има само еден посебен случај, од кои секој е практично индивидуален. Затоа, проучувањето на техниките на решение треба да започне со линеарни равенки. Таквите равенки може да се решат дури и чисто алгоритамски.
именители на пронајдените непознати се сосема исти. Да, и броителите покажуваат некои обрасци во нивната конструкција. Ако димензијата на системот на равенки беше поголема од две, тогаш методот на елиминација ќе доведе до многу незгодни пресметки. За да ги избегнете, тие се дизајнирани чисто алгоритамски методирешенија. Наједноставниот од нив е Крамеровиот алгоритам (формули на Крамер). Зашто треба да дознаете општ системравенки од n равенки.
Систем n линеарен алгебарски равенкисо n непознати има форма (види Сл. 1а). Во него, аij се коефициентите на системот,
xj – непознати, би – слободни поими (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Таквиот систем може да се запише компактно во матрица AX=B. Овде A е матрица на системски коефициенти, X е матрица на колони на непознати, B е матрица на колони од слободни членови (види Слика 1б). Според Крамеровиот метод, секоја непозната xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Детерминантата ∆ на матрицата на коефициентите се нарекува главна, а ∆i помошна. За секоја непозната, помошната детерминанта се наоѓа со замена на i-тата колона од главната детерминанта со колона од слободни членови. Крамеровиот метод за случај на системи од втор и трет ред е детално претставен на Сл. 2.
Системот е комбинација од две или повеќе еднаквости, од кои секоја содржи две или повеќе непознати. Постојат два главни начини за решавање на системи на линеарни равенки кои се користат внатре училишна наставна програма. Еден од нив се нарекува метод, другиот - метод на додавање.
Стандардна форма на систем од две равенки
На стандардна формапрвата равенка има форма a1*x+b1*y=c1, втората равенка има форма a2*x+b2*y=c2 и така натаму. На пример, во случај на два дела од системот, и двата дадени a1, a2, b1, b2, c1, c2 се некои нумерички коефициенти претставени во специфични равенки. За возврат, x и y претставуваат непознати чии вредности треба да се утврдат. Потребните вредности ги претвораат двете равенки истовремено во вистински еднаквости.Решавање на системот со помош на методот на собирање
За да го решите системот, односно да ги пронајдете оние вредности на x и y што ќе ги претворат во вистински еднаквости, треба да преземете неколку едноставни чекори. Првата од нив е да се трансформира која било равенка така што нумеричките коефициенти за променливата x или y во двете равенки се исти по големина, но различни по знак.На пример, да претпоставиме дека е даден систем кој се состои од две равенки. Првата од нив има форма 2x+4y=8, втората има форма 6x+2y=6. Една од опциите за завршување на задачата е да се помножи втората равенка со коефициент -2, што ќе ја доведе до формата -12x-4y=-12. Правилниот избор на коефициент е еден од клучни задачиво процесот на решавање на систем со собирање, бидејќи тој ја одредува целата понатамошен потегпроцедури за пронаоѓање непознати.
Сега е неопходно да се додадат двете равенки на системот. Очигледно, меѓусебното уништување на променливи со коефициенти еднакви по вредност, но спротивни по знак ќе доведе до формата -10x=-4. По ова, потребно е да се реши оваа едноставна равенка, од која јасно произлегува дека x = 0,4.
Последниот чекор во процесот на решение е да се замени пронајдената вредност на една од променливите со која било од оригиналните еднаквости достапни во системот. На пример, со замена на x=0,4 во првата равенка, може да се добие изразот 2*0,4+4y=8, од кој y=1,8. Така, x=0.4 и y=1.8 се корените на примерниот систем.
За да се увериме дека корените се пронајдени правилно, корисно е да се провери со замена на пронајдените вредности во втората равенка на системот. На пример, во во овој случајдобиваме еднаквост од формата 0,4*6+1,8*2=6, што е точно.
Видео на темата
Материјалот во оваа статија е наменет за прво запознавање со системите на равенки. Овде ќе ја воведеме дефиницијата за систем на равенки и неговите решенија, а исто така ќе ги разгледаме најчестите типови системи на равенки. Како и обично, ќе дадеме објаснувачки примери.
Навигација на страница.
Што е систем на равенки?
Кон дефинирањето на системот на равенки ќе пристапиме постепено. Прво, само да кажеме дека е погодно да се даде, укажувајќи на две точки: прво, типот на снимање и, второ, значењето вградено во оваа снимка. Ајде да ги погледнеме за возврат, а потоа да го генерализираме расудувањето во дефиницијата на системи на равенки.
Нека има неколку од нив пред нас. На пример, да земеме две равенки 2 x+y=−3 и x=5. Ајде да ги напишеме една под друга и да ги комбинираме лево со кадрава заграда:
Записите од овој тип, кои се неколку равенки наредени во колона и обединети лево со кадрава заграда, се записи на системи на равенки.
Што значат таквите записи? Тие го дефинираат множеството на сите такви решенија на равенките на системот кои се решение за секоја равенка.
Не би било лошо да се опише со други зборови. Да речеме дека некои решенија на првата равенка се решенија за сите други равенки на системот. Значи, системскиот запис само ги означува.
Сега сме подготвени адекватно да ја прифатиме дефиницијата за систем на равенки.
Дефиниција.
Системи на равенкиповикување записи кои се равенки лоцирани една под друга, обединети лево со кадрава заграда, кои го означуваат множеството од сите решенија на равенките кои се исто така решенија за секоја равенка на системот.
Слична дефиниција е дадена во учебникот, но таму не е дадена за општ случај, и за двајца рационални равенкисо две променливи.
Главни типови
Јасно е дека има бесконечен број на различни равенки. Секако, има и бесконечен број системи на равенки составени со нивна помош. Затоа, за погодност за проучување и работа со системи на равенки, има смисла да се поделат во групи според слични карактеристики, а потоа да се премине на разгледување системи на равенки од поединечни типови.
Првата поделба се сугерира преку бројот на равенки вклучени во системот. Ако има две равенки, тогаш можеме да кажеме дека имаме систем од две равенки, ако има три, тогаш систем од три равенки итн. Јасно е дека нема смисла да се зборува за систем од една равенка, бидејќи во овој случај, во суштина, се работи со самата равенка, а не со системот.
Следната поделба се заснова на бројот на променливи вклучени во пишувањето на равенките на системот. Ако има една променлива, тогаш имаме работа со систем на равенки со една променлива (велат и со една непозната), ако има две, тогаш со систем на равенки со две променливи (со две непознати) итн. На пример, 
е систем од равенки со две променливи x и y.
Ова се однесува на бројот на сите различни променливи вклучени во снимањето. Не мора сите да бидат вклучени во записот на секоја равенка одеднаш; нивното присуство во барем една равенка е доволно. На пр. 
е систем од равенки со три променливи x, y и z. Во првата равенка, променливата x е присутна експлицитно, а y и z се имплицитни (можеме да претпоставиме дека овие променливи имаат нула), а во втората равенка има x и z, но променливата y не е експлицитно претставена. Со други зборови, првата равенка може да се гледа како 
, а вториот – како x+0·y−3·z=0.
Третата точка во која се разликуваат системите на равенки е типот на самите равенки.
На училиште, изучувањето на системите на равенки започнува со системи од две линеарни равенки во две променливи. Односно, таквите системи сочинуваат две линеарни равенки. Еве неколку примери: 
И 
. Тие ги учат основите на работа со системи на равенки.
Кога се одлучува за повеќе сложени задачиМоже да се сретнете и со системи од три линеарни равенки со три непознати.
Понатаму во 9-то одделение нелинеарни равенки се додаваат на системи од две равенки со две променливи, најчесто цели равенки од втор степен, поретко - повеќе високи степени. Овие системи се нарекуваат системи нелинеарни равенки, доколку е потребно, појаснете го бројот на равенки и непознати. Да покажеме примери на такви системи на нелинеарни равенки: 
И .
И тогаш во системите има, на пример, . Тие обично се нарекуваат едноставно системи на равенки, без да се прецизира кои равенки. Овде вреди да се напомене дека најчесто системот на равенки едноставно се нарекува „систем на равенки“ и појаснувања се додаваат само доколку е потребно.
Во средно училиште, како што се изучува материјалот, ирационален, тригонометриски, логаритамски и експоненцијални равенки
: 
, 
, 
.
Ако погледнеме уште подалеку во наставната програма на универзитетот за прва година, главниот акцент е ставен на проучувањето и решавањето на системи на линеарни алгебарски равенки (SLAEs), односно равенки во кои левата страна содржат полиноми од прв степен, а десните страни содржат одредени броеви. Но, таму, за разлика од училиштето, тие веќе не земаат две линеарни равенки со две променливи, туку произволен број равенки со кој било бројпроменливи, честопати не се совпаѓаат со бројот на равенки.
Кое е решението за систем од равенки?
Терминот „решение на систем од равенки“ директно се однесува на системи на равенки. На училиште се дава дефиниција за решавање на систем равенки со две променливи :
Дефиниција.
Решавање на систем од равенки со две променливисе нарекува пар вредности на овие променливи што ја претвора секоја равенка на системот во правилна, со други зборови, е решение за секоја равенка на системот.
На пример, пар вредности на променливи x=5, y=2 (може да се напише како (5, 2)) е решение за систем на равенки по дефиниција, бидејќи равенките на системот кога се заменува x= 5, y=2 во нив стануваат точни нумерички еднаквости 5+2=7 и 5−2=3 соодветно. Но, парот на вредности x=3, y=0 не е решение за овој систем, бидејќи при замена на овие вредности во равенките, првата од нив ќе се претвори во неточна еднаквост 3+0=7.
Слични дефиниции може да се формулираат за системи со една променлива, како и за системи со три, четири итн. променливи.
Дефиниција.
Решавање на систем од равенки со една променливаќе има вредност на променливата која е корен на сите равенки на системот, односно претворање на сите равенки во правилни нумерички еднаквости.
Да дадеме пример. Размислете за систем од равенки со една променлива t од формата 
. Бројот −2 е негово решение, бидејќи и (−2) 2 =4 и 5·(−2+2)=0 се вистински нумерички еднаквости. А t=1 не е решение за системот, бидејќи со замена на оваа вредност ќе се добијат две неточни еднаквости 1 2 =4 и 5·(1+2)=0.
Дефиниција.
Решавање на систем со три, четири и сл. променливинаречени три, четири итн. вредностите на променливите, соодветно, претворајќи ги сите равенки на системот во вистински еднаквости.
Значи, по дефиниција, тројка од вредностите на променливите x=1, y=2, z=0 е решение на системот 
, бидејќи 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3 се вистински нумерички равенства. И (1, 0, 5) не е решение за овој систем, бидејќи при замена на овие вредности на променливи во равенките на системот, втората од нив се претвора во неточна еднаквост 5·0=10, а третата премногу 1+0+5=3.
Забележете дека системите на равенки можеби немаат решенија, можеби имаат конечен бројрешенија, на пример, едно, две, ..., но може да има бескрајно многу решенија. Ќе го видите ова додека навлегувате подлабоко во темата.
Земајќи ги предвид дефинициите за систем од равенки и нивните решенија, можеме да заклучиме дека решението на системот од равенки е пресекот на множествата решенија на сите негови равенки.
Како заклучок, еве неколку поврзани дефиниции:
Дефиниција.
незаеднички, ако нема решенија, во во спротивносистемот се нарекува зглоб.
Дефиниција.
Системот на равенки се нарекува неизвесна, ако има бесконечно многу решенија, и одредени, ако има конечен број решенија или воопшто ги нема.
Овие термини се воведени, на пример, во учебник, но тие се користат многу ретко на училиште, почесто се слушаат во високообразовните институции.
Библиографија.
- Алгебра:тетратка за 7 одделение општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти ед. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 7-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 17. изд., додај. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 стр.: илустр. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 9-то одделение. За 2 часа Дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13. издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Мордкович А.Г.Алгебра и почетоци математичка анализа. 11 одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции ( ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - второ издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn и други; Ед. А.Н.
- A. G. Курош. Висок курс за алгебра.
- Илин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија: Учебник: За универзитети. – 5-ти изд. - М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 стр. - (Па виша математикаи мат. физика). – ISBN 5-02-015234 – X (Број 3)
Прво да го разгледаме случајот кога бројот на равенки е еднаков на бројот на променливи, т.е. m = n. Тогаш матрицата на системот е квадрат, а нејзината детерминанта се нарекува детерминанта на системот.
Метод на инверзна матрица
Да го разгледаме во општа форма системот на равенки AX = B со недегенериран квадратна матрица A. Во овој случај постои инверзна матрицаА -1. Ајде да ги помножиме двете страни со A -1 лево. Добиваме A -1 AX = A -1 B. Оттука EX = A -1 B и
Последната еднаквост е матрична формула за изнаоѓање решенија за такви системи на равенки. Употребата на оваа формула се нарекува метод на инверзна матрица
На пример, да го користиме овој метод за да го решиме следниов систем:
;
На крајот од решавањето на системот, можете да проверите со замена на пронајдените вредности во системските равенки. Притоа, тие мора да се претворат во вистински еднаквости.
За разгледаниот пример, да провериме:
Метод за решавање системи на линеарни равенки со квадратна матрица со помош на формули на Крамер
Нека n= 2:
Ако ги помножиме двете страни на првата равенка со 22, а двете страни на втората со (-a 12), а потоа ги собереме добиените равенки, тогаш ја елиминираме променливата x 2 од системот. Слично на тоа, можете да ја елиминирате променливата x 1 (со множење на двете страни на првата равенка со (-a 21), а двете страни на втората со 11). Како резултат, го добиваме системот:
Изразот во загради е детерминанта на системот
Да означиме
Тогаш системот ќе ја добие формата:
Од добиениот систем произлегува дека ако детерминантата на системот е 0, тогаш системот ќе биде конзистентен и дефинитивен. Неговото единствено решение може да се пресмета со помош на формулите:
Ако = 0, a 1 0 и/или 2 0, тогаш системските равенки ќе имаат форма 0*x 1 = 2 и/или 0*x 1 = 2. Во овој случај, системот ќе биде неконзистентен.
Во случај кога = 1 = 2 = 0, системот ќе биде конзистентен и неопределен (ќе има бесконечен број решенија), бидејќи ќе ја има формата:
Крамерова теорема(ќе го испуштиме доказот). Ако детерминантата на матрицата на систем од равенки не е еднаква на нула, тогаш системот има единствено решение, определено со формулите:
,
каде што j е детерминанта на матрицата добиена од матрицата А со замена на j-тата колона со колона од слободни членови.
Горенаведените формули се нарекуваат Формули за крамер.
Како пример, да го користиме овој метод за да решиме систем кој претходно бил решен со методот на инверзна матрица:
Недостатоци на разгледуваните методи:
1) значителен интензитет на трудот (пресметување детерминанти и наоѓање на инверзна матрица);
2) ограничен опсег (за системи со квадратна матрица).
Реалните економски ситуации често се моделираат со системи во кои бројот на равенки и променливи е доста значаен, а има повеќе равенки отколку променливи.Затоа, во пракса, следниот метод е почест.
Гаусовиот метод (метод на секвенцијална елиминација на променливите)
Овој метод се користи за решавање на систем од m линеарни равенки со n променливи во општа форма. Неговата суштина лежи во примената на систем на еквивалентни трансформации на продолжената матрица, со чија помош системот на равенки се трансформира во форма каде што неговите решенија стануваат лесно да се најдат (ако ги има).
Ова е вид во кој левицата горниот делМатрицата на системот ќе биде матрица со чекори. Ова се постигнува со користење на истите техники кои беа користени за да се добие матрица на чекори за да се одреди рангирањето. Во овој случај, елементарните трансформации се применуваат на продолжената матрица, што ќе овозможи да се добие еквивалентен систем на равенки. По ова, проширената матрица ќе ја добие формата:
Добивањето таква матрица се нарекува директно напредГаусовиот метод.
Наоѓањето на вредностите на променливите од соодветниот систем на равенки се нарекува наназадГаусовиот метод. Ајде да го разгледаме.
Забележете дека последните (m – r) равенки ќе ја имаат формата:
Ако барем еден од броевите 
не е еднаква на нула, тогаш соодветната еднаквост ќе биде лажна, а целиот систем ќе биде неконзистентен.
Затоа, за секој заеднички систем 
. Во овој случај, последните (m – r) равенки за која било вредност на променливите ќе бидат идентитети 0 = 0 и тие може да се игнорираат при решавање на системот (едноставно отфрлете ги соодветните редови).
После ова, системот ќе изгледа вака:
Прво да го разгледаме случајот кога r=n. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Од последната равенка на системот, x r може единствено да се најде.
Знаејќи го x r, можеме недвосмислено да изразиме x r -1 од него. Потоа од претходната равенка, знаејќи ги x r и x r -1, можеме да изразиме x r -2 итн. до x 1 .
Значи, во овој случај системот ќе биде заеднички и определен.
Сега разгледајте го случајот кога р
Од оваа равенка можеме да ја изразиме основната променлива x r во однос на неосновните:
Претпоследната равенка ќе изгледа вака:
Со замена на добиениот израз во него наместо x r, ќе може да се изрази основната променлива x r -1 во однос на неосновните. итн. до variablex 1 . За да добиете решение за системот, можете да ги изедначите не-основните променливи со произволни вредности и потоа да ги пресметате основните променливи користејќи ги добиените формули. Така, во овој случај системот ќе биде конзистентен и неопределен (има бесконечен број решенија).
На пример, да го решиме системот на равенки:
Ќе го повикаме множеството основни променливи основасистеми. За нив ќе го наречеме и множеството колони од коефициенти основа(основни колони), или основно малолетносистемски матрици. Ќе се повика решението на системот во кој сите неосновни променливи се еднакви на нула основно решение.
Во претходниот пример, основното решение ќе биде (4/5; -17/5; 0; 0) (променливите x 3 и x 4 (c 1 и c 2) се поставени на нула, а основните променливи x 1 а преку нив се пресметуваат x 2) . За да дадеме пример за неосновно решение, треба да ги изедначиме x 3 и x 4 (c 1 и c 2) со произволни броеви кои не се истовремено нула и преку нив да ги пресметаме преостанатите променливи. На пример, со 1 = 1 и 2 = 0, добиваме неосновно решение - (4/5; -12/5; 1; 0). Со замена лесно е да се потврди дека двете решенија се точни.
Очигледно е дека во неопределен систем може да има бесконечен број на неосновни решенија. Колку основни решенија може да има? Секој ред од трансформираната матрица мора да одговара на една основна променлива. Има n променливи во проблемот и r базни линии. Според тоа, бројот на сите можни множества на основни променливи не може да го надмине бројот на комбинации од n за 2. Може да биде помал од 
, бидејќи не е секогаш можно системот да се трансформира во таква форма што овој конкретен сет на променливи е основата.
Каков вид е ова? Ова е типот кога матрицата формирана од колони на коефициенти за овие променливи ќе биде скалеста, а во исто време ќе се состои од r редови. Оние. рангот на матрицата на коефициентите за овие променливи мора да биде еднаков на r. Не може да биде поголем, бидејќи бројот на колони е еднаков. Ако се покаже дека е помало од r, тогаш ова укажува на линеарна зависност на колоните од променливите. Таквите колони не можат да бидат основа.
Ајде да размислиме кои други основни решенија може да се најдат во примерот дискутиран погоре. За да го направите ова, разгледајте ги сите можни комбинации на четири променливи, по две основни. Ќе има такви комбинации 
, а еден од нив (x 1 и x 2) е веќе разгледан.
Да ги земеме променливите x 1 и x 3. Дозволете ни да го најдеме рангирањето на матрицата на коефициенти за нив:
Бидејќи е еднакво на два, тие можат да бидат основни. Да ги изедначиме неосновните променливи x 2 и x 4 на нула: x 2 = x 4 = 0. Потоа од формулата x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 следува дека x 1 = 4 /5, а од формулата x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 следува дека x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Така, го добиваме основното решение (4/5; 0; 17/5; 0).
Слично, можете да добиете основни решенија за основните променливи x 1 и x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 и x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 и x 4 - (0; 0; 9; 4).
Променливите x 2 и x 3 во овој пример не можат да се земат како основни, бидејќи рангот на соодветната матрица е еднаков на еден, т.е. помалку од два:
.
Можен е и друг пристап за одредување дали е можно или не да се изгради основа од одредени променливи. При решавање на примерот, како резултат на конвертирање на системската матрица во чекор напред, таа ја зеде формата:
Со избирање на парови на променливи, беше можно да се пресметаат соодветните минори на оваа матрица. Лесно е да се потврди дека за сите парови освен x 2 и x 3 тие не се еднакви на нула, т.е. колоните се линеарно независни. И само за колони со променливи x 2 и x 3 
, што укажува на нивната линеарна зависност.
Ајде да погледнеме друг пример. Да го решиме системот на равенки
Значи, равенката што одговара на третиот ред од последната матрица е контрадикторна - резултираше со неточна еднаквост 0 = -1, затоа, овој систем е неконзистентен.
Јордан-Гаус метод 3 е развој на Гаусовиот метод. Нејзината суштина е дека проширената матрица на системот се трансформира во форма каде што коефициентите на променливите формираат идентитетска матрица до пермутација на редови или колони 4 (каде r е ранг на системската матрица).
Ајде да го решиме системот користејќи го овој метод:
Да ја разгледаме проширената матрица на системот:
Во оваа матрица избираме единечен елемент. На пример, коефициентот за x 2 во третото ограничување е 5. Да се осигураме дека преостанатите редови во оваа колона содржат нули, т.е. Ајде да ја направиме колумната сингл. За време на процесот на трансформација ќе го наречеме ова колонапопустлив(водечки, клуч). Третото ограничување (трето линија) ќе се јавиме и ние попустлив. Себеси елемент, кој стои на пресекот на резолуционата редица и колона (тука е една), се нарекува и попустлив.
Првата линија сега го содржи коефициентот (-1). За да добиете нула на нејзино место, помножете ја третата линија со (-1) и одземете го резултатот од првата линија (т.е. едноставно додадете ја првата линија на третата).
Втората линија го содржи коефициентот 2. За да се добие нула на негово место, помножете ја третата линија со 2 и од првата линија одземете го резултатот.
Резултатот од трансформацијата ќе изгледа вака:
Од оваа матрица е јасно видливо дека едно од првите две ограничувања може да се пречкрта (соодветните редови се пропорционални, т.е. овие равенки следат една од друга). Да го прецртаме, на пример, второто:
Значи, новиот систем има две равенки. Се добива една колона (втора), а единицата овде се појавува во вториот ред. Да се потсетиме дека втората равенка на новиот систем ќе одговара на основната променлива x 2.
Ајде да избереме основна променлива за првиот ред. Ова може да биде која било променлива освен x 3 (бидејќи за x 3 првото ограничување има нула коефициент, т.е. множеството променливи x 2 и x 3 не може да биде основно овде). Можете да ја земете првата или четвртата променлива.
Ајде да избереме x 1. Тогаш елементот за решавање ќе биде 5, а двете страни на равенката за решавање ќе треба да се поделат со пет за да се добие една во првата колона од првиот ред.
Да се осигураме дека преостанатите редови (т.е. вториот ред) имаат нули во првата колона. Бидејќи сега втората линија не содржи нула, туку 3, треба да ги одземеме од втората линија елементите на трансформираната прва линија, помножени со 3:
Од добиената матрица, може директно да се извлече едно основно решение со изедначување на неосновните променливи на нула, а основните со слободните членови во соодветните равенки: (0,8; -3,4; 0; 0). Можете исто така да изведете општи формули кои ги изразуваат основните променливи преку не-основни: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Овие формули го опишуваат целото бесконечно множество решенија на системот (изедначувајќи ги x 3 и x 4 со произволни броеви, можете да пресметате x 1 и x 2).
Забележете дека суштината на трансформациите во секоја фаза од методот Јордан-Гаус беше како што следува:
1) линијата за резолуција беше поделена со елементот за резолуција за да се добие единица на нејзино место,
2) од сите други редови, трансформираниот елемент за решавање беше одземен, помножен со елементот што беше во дадената линија во колоната за решавање, за да се добие нула на местото на овој елемент.
Да ја разгледаме повторно трансформираната проширена матрица на системот:
Од овој запис јасно е дека рангот на матрицата на системот А е еднаков на r.
Во текот на расудувањето утврдивме дека системот ќе биде кооперативен ако и само ако 
. Ова значи дека продолжената матрица на системот ќе изгледа вака:
Со отфрлање на нула редови, добиваме дека рангот на продолжената матрица на системот е исто така еднаков на r.
Теорема Кронекер-Капели. Системот на линеарни равенки е конзистентен ако и само ако рангот на матрицата на системот е еднаков на рангот на проширената матрица на овој систем.
Потсетете се дека рангот на матрицата е еднаков на максималниот број на нејзините линеарно независни редови. Од ова произлегува дека ако рангот на продолжената матрица е помал од бројот на равенки, тогаш равенките на системот се линеарно зависни, а една или повеќе од нив може да се исклучат од системот (бидејќи се линеарни комбинација од другите). Системот на равенки ќе биде линеарно независен само ако рангирањето на продолжената матрица е еднакво на бројот на равенки.
Покрај тоа, за симултани системи на линеарни равенки, може да се тврди дека ако рангот на матрицата е еднаков на бројот на променливи, тогаш системот има единствено решение, а ако е помал од бројот на променливи, тогаш системот е неопределен и има бесконечно многу решенија.
1На пример, нека има пет редови во матрицата (оригиналниот редослед на редови е 12345). Треба да ја смениме втората линија и петтата. За да може втората линија да го заземе местото на петтата и да се „помести“ надолу, ние последователно ги менуваме соседните линии три пати: втората и третата (13245), втората и четвртата (13425) и втората и петтата (13452). ). Потоа, за да може петтиот ред да го заземе местото на вториот во оригиналната матрица, потребно е петтиот ред да се „помести“ нагоре за само две последователни промени: петтиот и четвртиот ред (13542) и петтиот и третиот (15342).
2Број на комбинации од n до r 
тие го нарекуваат бројот на сите различни подмножества на r-елементи на множество од n-елементи (оние кои имаат различни состави на елементи се сметаат за различни множества; редоследот на изборот не е важен). Се пресметува со формулата: 
. Да се потсетиме на значењето на знакот „! (факторијално): 
0!=1.)
3 Бидејќи овој метод е почест од претходно дискутираниот Гаусовиот метод и во суштина е комбинација од чекорите напред и назад на Гаусовиот метод, понекогаш се нарекува и Гаусовиот метод, испуштајќи го првиот дел од името.
4 На пример, 
.
5Ако немаше единици во системската матрица, тогаш би било можно, на пример, да се поделат двете страни на првата равенка со две, а потоа првиот коефициент би станал единство; или слично
Посигурен од графичкиот метод дискутиран во претходниот пасус.
Метод на замена
Овој метод го користевме во 7 одделение за решавање системи на линеарни равенки. Алгоритмот што беше развиен во 7-мо одделение е доста погоден за решавање системи на било кои две равенки (не мора линеарни) со две променливи x и y (се разбира, променливите може да се означат со други букви, што не е важно). Всушност, овој алгоритам го користевме во претходниот пасус, кога проблемот на двоцифрен број доведе до математички модел, кој е систем од равенки. Го решивме овој систем на равенки погоре користејќи го методот на замена (види пример 1 од § 4).
Алгоритам за користење на методот на замена при решавање на систем од две равенки со две променливи x, y.
1. Изрази го y во однос на x од една равенка на системот.
2. Заменете го добиениот израз наместо y во друга равенка на системот.
3. Решете ја добиената равенка за x.
4. Заменете го по ред секој од корените на равенката најдени во третиот чекор наместо x во изразот y преку x добиен во првиот чекор.
5. Напишете го одговорот во форма на парови вредности (x; y), кои беа пронајдени во третиот и четвртиот чекор, соодветно.
4) Заменете една по една секоја од пронајдените вредности на y во формулата x = 5 - 3. Ако тогаш 
5) Парови (2; 1) и решенија на даден систем на равенки.
Одговор: (2; 1);
Алгебарски метод на собирање
Овој метод, како и методот на замена, ви е познат од курсот за алгебра за 7 одделение, каде што се користеше за решавање системи на линеарни равенки. Да се потсетиме на суштината на методот користејќи го следниов пример.
Пример 2.Решава систем на равенки
Да ги помножиме сите членови од првата равенка на системот со 3, а втората равенка да ја оставиме непроменета: 
Одземете ја втората равенка на системот од првата равенка:
Како резултат на алгебарското собирање на две равенки од првобитниот систем, се доби равенка која беше поедноставна од првата и втората равенка на дадениот систем. Со оваа поедноставна равенка имаме право да ја замениме секоја равенка на даден систем, на пример втората. Тогаш дадениот систем на равенки ќе биде заменет со поедноставен систем:
Овој систем може да се реши со методот на замена. Од втората равенка наоѓаме: Заменувајќи го овој израз наместо y во првата равенка на системот, добиваме
Останува да се заменат пронајдените вредности на x во формулата
Ако x = 2 тогаш
Така, најдовме две решенија за системот: 
Метод за воведување нови променливи
Се запознавте со методот на воведување нова променлива при решавање на рационални равенки со една променлива во предметот алгебра за 8 одделение. Суштината на овој метод за решавање системи на равенки е иста, но од технички аспект има некои карактеристики за кои ќе разговараме во следните примери.
Пример 3.Решава систем на равенки
Ајде да воведеме нова променлива. Тогаш првата равенка на системот може да се препише во поедноставна форма: Да ја решиме оваа равенка во однос на променливата t:
И двете од овие вредности го задоволуваат условот и затоа се корени на рационална равенка со променлива t. Но, тоа значи или каде ќе најдеме дека x = 2y, или
Така, користејќи го методот на воведување нова променлива, успеавме да ја „стратификуваме“ првата равенка на системот, која беше прилично сложена по изглед, во две поедноставни равенки:
x = 2 y; y - 2x.
Што е следно? И тогаш секоја од двете едноставни равенки добиени мора да се разгледа за возврат во систем со равенката x 2 - y 2 = 3, што сè уште не сме се сетиле. Со други зборови, проблемот се сведува на решавање на два системи на равенки:
Треба да најдеме решенија за првиот систем, вториот систем и да ги вклучиме сите добиени парови вредности во одговорот. Да го решиме првиот систем на равенки:
Ајде да го користиме методот на замена, особено затоа што овде сè е подготвено за тоа: да го замениме изразот 2y наместо x во втората равенка на системот. Добиваме
Бидејќи x = 2y, наоѓаме, соодветно, x 1 = 2, x 2 = 2. Така, се добиваат две решенија од дадениот систем: (2; 1) и (-2; -1). Да го решиме вториот систем на равенки:
Ајде повторно да го користиме методот на замена: заменете го изразот 2x наместо y во втората равенка на системот. Добиваме
Оваа равенка нема корени, што значи дека системот на равенки нема решенија. Така, во одговорот треба да бидат вклучени само решенијата од првиот систем.
Одговор: (2; 1); (-2;-1).
Методот на воведување нови променливи при решавање на системи од две равенки со две променливи се користи во две верзии. Прва опција: се воведува една нова променлива и се користи само во една равенка на системот. Токму тоа се случи во примерот 3. Втора опција: две нови променливи се воведуваат и се користат истовремено во двете равенки на системот. Ова ќе биде случај во примерот 4.
Пример 4.Решава систем на равенки
Ајде да воведеме две нови променливи:
Ајде да го земеме предвид тоа тогаш
Ова ќе ви овозможи да го преработите дадениот систем во многу поедноставна форма, но во однос на новите променливи a и b:
Бидејќи a = 1, тогаш од равенката a + 6 = 2 наоѓаме: 1 + 6 = 2; 6=1. Така, во однос на променливите a и b, добивме едно решение:
Враќајќи се на променливите x и y, добиваме систем од равенки
Да го примениме методот на алгебарско собирање за да го решиме овој систем:
Оттогаш од равенката 2x + y = 3 наоѓаме:
Така, во однос на променливите x и y, добивме едно решение:
Да го заклучиме овој параграф со кратка, но прилично сериозна теоретска дискусија. Веќе сте стекнале одредено искуство во решавање на различни равенки: линеарни, квадратни, рационални, ирационални. Знаете дека главната идеја за решавање на равенката е постепено преминување од една равенка во друга, поедноставна, но еквивалентна на дадената. Во претходниот став го воведовме концептот на еквивалентност за равенки со две променливи. Овој концепт се користи и за системи на равенки.
Дефиниција.
Два системи на равенки со променливи x и y се нарекуваат еквивалентни ако имаат исти решенија или ако двата системи немаат решенија.
Сите три методи (замена, алгебарско собирање и воведување нови променливи) кои ги разгледавме во овој дел се апсолутно точни од гледна точка на еквивалентност. Со други зборови, користејќи ги овие методи, заменуваме еден систем на равенки со друг, поедноставен, но еквивалентен на оригиналниот систем.
Графички метод за решавање системи на равенки
Веќе научивме како да решаваме системи на равенки на толку вообичаени и сигурни начини како што се методот на замена, алгебарското собирање и воведувањето нови променливи. Сега да се потсетиме на методот што веќе го проучувавте во претходната лекција. Односно, да го повториме она што го знаете за методот на графичко решение.
Начинот на графички решавање на системи на равенки вклучува конструирање график за секоја од специфичните равенки кои се вклучени во даден систем и се наоѓаат во иста координатна рамнина, како и каде е потребно да се најдат пресеците на точките на овие графикони. За да се реши овој систем на равенки се координатите на оваа точка (x; y).
Треба да се запомни дека вообичаено е графичкиот систем на равенки да има или едно точно решение, или бесконечен број решенија или воопшто да нема решенија.
Сега да го разгледаме секое од овие решенија подетално. И така, системот на равенки може да има единствено решение ако линиите што се графикони на равенките на системот се сечат. Ако овие прави се паралелни, тогаш таков систем на равенки нема апсолутно никакви решенија. Ако директните графикони на равенките на системот се совпаѓаат, тогаш таков систем овозможува да се најдат многу решенија.
Па, сега да го погледнеме алгоритмот за решавање на систем од две равенки со 2 непознати со помош на графички метод:
Прво, прво градиме график на 1-та равенка;
Вториот чекор ќе биде да се конструира график кој се однесува на втората равенка;
Трето, треба да ги најдеме пресечните точки на графиконите.
И како резултат на тоа, ги добиваме координатите на секоја пресечна точка, што ќе биде решение за системот на равенки.
Ајде да го разгледаме овој метод подетално користејќи пример. Даден ни е систем на равенки што треба да се реши:
Решавање равенки
1. Прво, ќе изградиме график на оваа равенка: x2+y2=9.
Но, треба да се забележи дека овој график на равенките ќе биде круг со центар на почетокот, а неговиот радиус ќе биде еднаков на три.
2. Нашиот следен чекор ќе биде да нацртаме равенка како што е: y = x – 3.
Во овој случај, мора да изградиме права линија и да ги најдеме точките (0;−3) и (3;0).
3. Ајде да видиме што добивме. Гледаме дека правата линија ја пресекува кружницата на две точки А и Б.
Сега ги бараме координатите на овие точки. Гледаме дека координатите (3;0) одговараат на точката А, а координатите (0;−3) одговараат на точката Б.
И што добиваме како резултат?
Броевите (3;0) и (0;−3) добиени кога правата ја пресекува кружницата се токму решенијата на двете равенки на системот. И од ова произлегува дека и овие бројки се решенија за овој систем на равенки.
Односно, одговорот на ова решение се броевите: (3;0) и (0;−3).