Распаѓање на квадратни загради. Лекција „Факторизација на разликите на n-ти сили“

Со оглед на множењето на полиномите, запаметивме неколку формули, имено: формули за (a + b)², за (a – b)², за (a + b) (a – b), за (a + b)³ и за (а – б)³.

Ако се покаже дека даден полином се совпаѓа со една од овие формули, тогаш ќе биде можно да се факторизира. На пример, полиномот a² – 2ab + b², знаеме дека е еднаков на (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т.е. успеавме да факторизираме a² – 2ab + b² во 2 фактори ]; Исто така

Ајде да го погледнеме вториот од овие примери. Гледаме дека полиномот даден овде одговара на формулата добиена со квадрат на разликата на два броја (квадратот на првиот број, минус производот од два со првиот број и вториот, плус квадратот на вториот број): x 6 е квадратот на првиот број, и затоа, самиот прв број е x 3, квадратот на вториот број е последниот член од дадениот полином, т.е. 1, и вториот број е, според тоа, исто така 1; производ на два од првиот број, а вториот е членот –2x 3, бидејќи 2x 3 = 2 x 3 1. Според тоа, нашиот полином е добиен со квадратирање на разликата на броевите x 3 и 1, т.е. е еднаков на (x 3 - 12 . Ајде да погледнеме во друг 4-ти пример. Гледаме дека овој полином a 2 b 2 – 25 може да се смета како разлика на квадратите на два броја, имено квадратот на првиот број е a 2 b 2, затоа, самиот прв број е ab, квадратот на вториот број е 25, зошто самиот втор број е 5. Според тоа, нашиот полином може да се смета како добиен од множење на збирот на два броја со нивната разлика, т.е.

(ab + 5) (ab – 5).

Понекогаш се случува во даден полином поимите да не се подредени по редоследот на кој сме навикнати, на пример.

9a 2 + b 2 + 6ab – ментално можеме да ги преуредиме вториот и третиот член, а потоа ќе ни стане јасно дека нашиот трином = (3a + b) 2.

... (мисловно ги преуредуваме првиот и вториот термин).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, итн.

Да разгледаме уште еден полином

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Гледаме дека неговиот прв член е квадратот на бројот a, а третиот член е квадратот на бројот 2б, но вториот член не е производ на два од првиот број, а вториот - таков производ би бил еднаков на 2 a 2b = 4ab. Затоа, невозможно е да се примени формулата за квадрат од збирот на два броја на овој полином. Ако некој напишал дека a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, тогаш тоа би било неточно - мора внимателно да се разгледаат сите услови на полиномот пред да се примени размножување на него со помош на формули.

40. Комбинација на двете техники. Понекогаш, при факторинг полиноми, треба да се комбинираат и техниката на вадење на заедничкиот фактор од загради и техниката на користење формули. Еве примери:

1. 2а 3 – 2аб 2. Прво да го извадиме заедничкиот фактор 2а од заградите и да добиеме 2a (a 2 – b 2). Факторот a 2 – b 2, пак, според формулата се разложува на фактори (a + b) и (a – b).

Понекогаш треба да ја користите техниката на разградување на формулата повеќе пати:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Гледаме дека првиот фактор a 2 + b 2 не одговара на ниту една од познатите формули; Понатаму, потсетувајќи се на посебни случаи на делење (точка 37), ќе утврдиме дека a 2 + b 2 (збирот на квадратите на два броја) воопшто не може да се факторизира. Вториот од добиените фактори a 2 – b 2 (разликата од квадратот на два броја) се разложува на фактори (a + b) и (a – b). Значи,

41. Примена на посебни случаи на поделба. Врз основа на став 37, можеме веднаш да напишеме дека, на пример,

Факторинг полиноми е идентитетска трансформација, како резултат на која полиномот се трансформира во производ на неколку фактори - полиноми или мономи.

Постојат неколку начини за факторинг на полиноми.

Метод 1. Вадење на заедничкиот фактор од загради.

Оваа трансформација се заснова на дистрибутивниот закон на множење: ac + bc = c(a + b). Суштината на трансформацијата е да се изолира заедничкиот фактор во двете компоненти што се разгледуваат и да се „извади“ од загради.

Да го факторизираме полиномот 28x 3 – 35x 4.

Решение.

1. Најдете заеднички делител за елементите 28x3 и 35x4. За 28 и 35 ќе биде 7; за x 3 и x 4 – x 3. Со други зборови, нашиот заеднички фактор е 7x3.

2. Секој од елементите го претставуваме како производ на фактори, од кои еден
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Го вадиме заедничкиот фактор од загради
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Метод 2. Користење на скратени формули за множење. „Мајсторството“ на користење на овој метод е да се забележи една од скратените формули за множење во изразот.

Да го факторизираме полиномот x 6 – 1.

Решение.

1. На овој израз можеме да ја примениме формулата за разлика од квадрати. За да го направите ова, замислете x 6 како (x 3) 2, и 1 како 1 2, т.е. 1. Изразот ќе има форма:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Можеме да ја примениме формулата за збир и разлика на коцки на добиениот израз:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Значи,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групирање. Методот на групирање е да се комбинираат компонентите на полиномот на таков начин што е лесно да се извршат операции врз нив (собирање, одземање, одземање на заеднички фактор).

Да го пресметаме полиномот x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Решение.

1. Да ги групираме компонентите на овој начин: 1-ви со 2-ри и 3-ти со 4-ти
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Во добиениот израз, ги вадиме заедничките фактори од загради: x 2 во првиот случај и 5 во вториот.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Го вадиме заедничкиот фактор x – 3 од заградите и добиваме:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Значи,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Ајде да го обезбедиме материјалот.

Факторирајте го полиномот a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Да го претставиме мономот 7ab како збир 3ab + 4ab. Изразот ќе има форма:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Ајде да ги отвориме заградите и да добиеме:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Да ги групираме компонентите на полиномот на овој начин: 1-ви со 2-ри и 3-ти со 4-ти. Добиваме:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Да ги извадиме заедничките фактори од загради:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Да го извадиме заедничкиот фактор (а – 3б) од загради:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Значи,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (а – 3 б) ∙ (а – 4б).

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Кога се решаваат равенки и неравенки, често е потребно да се факторизира полином чиј степен е три или поголем. Во оваа статија ќе го разгледаме најлесниот начин да го направите ова.

Како и обично, да се свртиме кон теоријата за помош.

Теорема на Безутнаведува дека остатокот при делење на полином со бином е .

Но, она што е важно за нас не е самата теорема, туку заклучок од него:

Ако бројот е корен на полином, тогаш полиномот се дели со биномот без остаток.

Соочени сме со задача некако да најдеме барем еден корен од полиномот, а потоа да го поделиме полиномот со , каде е коренот на полиномот. Како резултат на тоа, добиваме полином чиј степен е за еден помал од степенот на оригиналниот. А потоа, доколку е потребно, можете да го повторите процесот.

Оваа задача се дели на две: како да се најде коренот на полином и како да се подели полином со бином.

Ајде внимателно да ги разгледаме овие точки.

1. Како да се најде коренот на полиномот.

Прво, проверуваме дали броевите 1 и -1 се корени на полиномот.

Следниве факти ќе ни помогнат овде:

Ако збирот на сите коефициенти на полиномот е нула, тогаш бројот е коренот на полиномот.

На пример, во полином збирот на коефициентите е нула: . Лесно е да се провери кој е коренот на полиномот.

Ако збирот на коефициентите на полиномот со парни сили е еднаков на збирот на коефициентите со непарни сили, тогаш бројот е коренот на полиномот.Слободниот член се смета за коефициент за парен степен, бидејќи , a е парен број.

На пример, во полином збирот на коефициентите за парни моќи е: , а збирот на коефициентите за непарните сили е: . Лесно е да се провери кој е коренот на полиномот.

Ако ниту 1 ниту -1 не се корени на полиномот, тогаш продолжуваме понатаму.

За редуциран полином на степен (односно, полином во кој водечкиот коефициент - коефициентот во - е еднаков на единство), формулата Виета е валидна:

Каде се корените на полиномот.

Постојат и формули на Виета кои се однесуваат на преостанатите коефициенти на полиномот, но ние сме заинтересирани за оваа.

Од оваа формула Виета произлегува дека ако корените на полиномот се цели броеви, тогаш тие се делители на неговиот слободен член, кој исто така е цел број.

Врз основа на ова, треба да го множиме слободниот член на полиномот во множители и последователно, од најмал до најголем, да провериме кој од факторите е коренот на полиномот.

Размислете за, на пример, полиномот

Делители на слободниот член: ; ; ;

Збирот на сите коефициенти на полиномот е еднаков на , затоа, бројот 1 не е коренот на полиномот.

Збир на коефициенти за парни моќи:

Збир на коефициенти за непарни сили:

Според тоа, бројот -1 исто така не е корен на полиномот.

Ајде да провериме дали бројот 2 е коренот на полиномот: според тоа, бројот 2 е коренот на полиномот. Ова значи дека, според теоремата на Безут, полиномот е делив со бином без остаток.

2. Како да се подели полином на бином.

Полиномот може да се подели на бином со колона.

Поделете го полиномот со бином користејќи колона:


Постои уште еден начин да се подели полином со бином - Хорнеровата шема.


Погледнете го ова видео за да разберете како да се подели полином со бином со колона и со помош на Хорнеровиот дијаграм.

Забележувам дека ако, кога се делиме со колона, недостасува одреден степен на непознатата во оригиналниот полином, на негово место пишуваме 0 - на ист начин како при составување табела за шемата на Хорнер.

Значи, ако треба да поделиме полином со бином и како резултат на делењето да добиеме полином, тогаш можеме да ги најдеме коефициентите на полиномот користејќи ја Хорнеровата шема:


Можеме да користиме и Хорнер шемаза да се провери дали даден број е корен на полином: ако бројот е корен на полином, тогаш остатокот при делење на полиномот со е еднаков на нула, односно во последната колона од вториот ред од Хорнеровиот дијаграм добиваме 0.

Користејќи ја шемата на Хорнер, ние „убиваме две птици со еден камен“: истовремено проверуваме дали бројот е корен на полином и го делиме овој полином со бином.

Пример.Реши ја равенката:

1. Да ги запишеме делителите на слободниот член и да ги бараме корените на полиномот меѓу делителите на слободниот член.

Делители на 24:

2. Да провериме дали бројот 1 е коренот на полиномот.

Збирот на коефициентите на полиномот, значи, бројот 1 е коренот на полиномот.

3. Поделете го оригиналниот полином во бином користејќи ја шемата на Хорнер.

А) Да ги запишеме коефициентите на оригиналниот полином во првиот ред од табелата.

Бидејќи недостасува терминот што содржи, во колоната од табелата во која треба да се запише коефициентот пишуваме 0. Лево го запишуваме пронајдениот корен: бројот 1.

Б) Пополнете го првиот ред од табелата.

Во последната колона, очекувано, добивме нула, го поделивме оригиналниот полином со бином без остаток. Коефициентите на полиномот што произлегуваат од делењето се прикажани со сино во вториот ред од табелата:

Лесно е да се провери дали броевите 1 и -1 не се корени на полиномот

Б) Да ја продолжиме табелата. Ајде да провериме дали бројот 2 е коренот на полиномот:

Значи, степенот на полиномот, кој се добива како резултат на делење со еден, е помал од степенот на оригиналниот полином, затоа, бројот на коефициенти и бројот на колони се за една помалку.

Во последната колона добивме -40 - број кој не е еднаков на нула, затоа, полиномот е делив со бином со остаток, а бројот 2 не е коренот на полиномот.

В) Да провериме дали бројот -2 е коренот на полиномот. Бидејќи претходниот обид не успеа, за да се избегне забуна со коефициентите, ќе ја избришам линијата што одговара на овој обид:


Одлично! Добивме нула како остаток, затоа, полиномот беше поделен на бином без остаток, затоа, бројот -2 е коренот на полиномот. Во табелата со зелено се прикажани коефициентите на полиномот што се добива со делење на полином со бином.

Како резултат на поделбата добиваме квадратен трином , чии корени лесно може да се најдат со помош на теоремата на Виета:

Значи, корените на оригиналната равенка се:

{}

Одговор: ( }

Концептите на „полином“ и „факторизација на полином“ во алгебрата се среќаваат многу често, бидејќи треба да ги знаете за лесно да извршите пресметки со големи повеќецифрени броеви. Оваа статија ќе опише неколку методи на распаѓање. Сите од нив се прилично едноставни за употреба, само треба да го изберете вистинскиот за секој конкретен случај.

Концептот на полином

Полином е збир на мономи, односно изрази кои содржат само операција на множење.

На пример, 2 * x * y е моном, но 2 * x * y + 25 е полином кој се состои од 2 мономи: 2 * x * y и 25. Таквите полиноми се нарекуваат биноми.

Понекогаш, за погодност за решавање на примери со повеќевредни вредности, изразот треба да се трансформира, на пример, да се разложи на одреден број фактори, односно броеви или изрази меѓу кои се врши дејството на множење. Постојат голем број начини да се факторизира полиномот. Вреди да се разгледаат, почнувајќи од најпримитивните, кои се користат во основното училиште.

Групирање (запис во општа форма)

Формулата за факторинг на полином со користење на методот на групирање генерално изгледа вака:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Потребно е да се групираат мономите така што секоја група има заеднички фактор. Во првата заграда ова е факторот c, а во втората - d. Ова мора да се направи за потоа да се премести надвор од заградата, а со тоа да се поедностават пресметките.

Алгоритам за распаѓање користејќи конкретен пример

Наједноставниот пример за факторинг на полином користејќи го методот на групирање е даден подолу:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Во првата заграда треба да ги земете термините со факторот a, кој ќе биде вообичаен, а во вториот - со факторот b. Обрнете внимание на знаците + и - во готовиот израз. Пред мономот го ставаме знакот што беше во почетниот израз. Тоа е, треба да работите не со изразот 25а, туку со изразот -25. Знакот минус се чини дека е „залепен“ на изразот зад него и секогаш се зема предвид при пресметувањето.

Во следниот чекор, треба да го извадите множителот, кој е вообичаен, надвор од заградите. Токму за ова служи групирањето. Да се ​​стави надвор од заградата значи да се запише пред заградата (изоставувајќи го знакот за множење) сите оние фактори кои точно се повторуваат во сите членови што се во заградата. Ако во една заграда нема 2, туку 3 или повеќе поими, заедничкиот фактор мора да биде содржан во секој од нив, во спротивно не може да се извади од заградата.

Во нашиот случај, има само 2 термини во загради. Вкупниот мултипликатор е веднаш видлив. Во првата заграда е a, во втората е b. Тука треба да обрнете внимание на дигиталните коефициенти. Во првата заграда и двата коефициенти (10 и 25) се множители на 5. Тоа значи дека не само a, туку и 5a може да се извади од заградата. Пред заградата напишете 5а, а потоа поделете го секој од поимите во загради со заедничкиот фактор што е изваден, а исто така запишете го количникот во загради, не заборавајќи на знаците + и - Направете го истото со втората заграда, земете од 7б, како и 14 и 35 повеќекратно од 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Добивме 2 термини: 5a (2c - 5) и 7b (2c - 5). Секој од нив содржи заеднички фактор (целиот израз во заградите овде е ист, што значи дека е заеднички фактор): 2в - 5. Исто така треба да се извади од заградата, односно да останат термините 5а и 7б во втората заграда:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Значи, целосниот израз е:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Така, полиномот 10ac + 14bc - 25a - 35b се разложува на 2 фактора: (2c - 5) и (5a + 7b). Знакот за множење меѓу нив може да се испушти при пишувањето

Понекогаш има изрази од овој тип: 5a 2 + 50a 3, тука можете да ставите надвор од заградите не само a или 5a, туку дури и 5a 2. Секогаш треба да се трудите да го ставите најголемиот заеднички фактор надвор од заградата. Во нашиот случај, ако го поделиме секој член со заеднички фактор, добиваме:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(при пресметување на количник на повеќе сили со еднакви основи се зачувува основата и се одзема експонентот). Така, единицата останува во заградата (во никој случај не заборавајте да напишете ако извадите еден од членовите од заградата) и количникот на делење: 10а. Излегува дека:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Квадратни формули

За полесно пресметување, беа изведени неколку формули. Тие се нарекуваат скратени формули за множење и се користат доста често. Овие формули им помагаат на факторските полиноми што содржат степени. Ова е уште еден ефикасен начин за факторизирање. Па еве ги:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формула наречена „квадрат на збирот“, бидејќи како резултат на распаѓање на квадрат, се зема збирот на броевите затворени во загради, односно вредноста на оваа сума се множи сама по себе 2 пати, и затоа е множител.
  • a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формулата за квадратот на разликата, таа е слична на претходната. Резултатот е разликата, затворена во загради, содржана во квадратната моќност.
  • a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- ова е формула за разликата на квадратите, бидејќи првично полиномот се состои од 2 квадрати на броеви или изрази, меѓу кои се врши одземање. Можеби, од споменатите три, најчесто се користи.

Примери за пресметки со користење на квадратни формули

Пресметките за нив се прилично едноставни. На пример:

  1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - користете ја формулата „квадрат на збирот“.
  2. 25x2 е квадрат од 5x. 20xy е двоен производ од 2*(5x*2y), а 4y 2 е квадрат од 2y.
  3. Така, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).Овој полином е разложен на 2 фактора (факторите се исти, па затоа се пишува како израз со квадратна моќ).

Дејствата со помош на формулата за квадратна разлика се изведуваат слично како овие. Преостанатата формула е разлика на квадрати. Примерите на оваа формула се многу лесно да се дефинираат и да се најдат меѓу другите изрази. На пример:

  • 25а 2 - 400 = (5а - 20) (5а + 20). Бидејќи 25a 2 = (5a) 2 и 400 = 20 2
  • 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Бидејќи 36x 2 = (6x) 2, и 25y 2 = (5y 2)
  • c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Од 169b 2 = (13b) 2

Важно е секој од поимите да биде квадрат од некој израз. Тогаш овој полином мора да се факторизира користејќи ја формулата за разлика од квадрати. За ова, не е неопходно вториот степен да биде над бројот. Постојат полиноми кои содржат големи степени, но сепак одговараат на овие формули.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Во овој пример, 8 може да се претстави како (a 4) 2, односно квадрат на одреден израз. 25 е 5 2, а 10а е 4 - ова е двоен производ од поимите 2 * а 4 * 5. Односно, овој израз, и покрај присуството на степени со големи експоненти, може да се разложи на 2 фактори за последователно да работи со нив.

Формули за коцки

Истите формули постојат за факторинг на полиноми што содржат коцки. Тие се малку покомплицирани од оние со квадрати:

  • a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- оваа формула се нарекува збир на коцки, бидејќи во неговата почетна форма полиномот е збир на два изрази или броеви затворени во коцка.
  • a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -формула идентична со претходната е означена како разлика на коцки.
  • a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - коцка од збир, како резултат на пресметките, збирот на броеви или изрази е затворен во загради и се множи со себе 3 пати, односно се наоѓа во коцка
  • a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -формулата, составена по аналогија со претходната, менувајќи само некои знаци на математички операции (плус и минус), се нарекува „коцка за разлика“.

Последните две формули практично не се користат за факторингирање на полином, бидејќи тие се сложени, и доволно е ретко да се најдат полиноми кои целосно одговараат токму на оваа структура, така што тие можат да се факторизираат користејќи ги овие формули. Но, сепак треба да ги знаете, бидејќи тие ќе бидат потребни кога работите во спротивна насока - кога отворате загради.

Примери за формули на коцки

Ајде да погледнеме на пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Овде се земаат прилично едноставни броеви, така што веднаш можете да видите дека 64a 3 е (4a) 3, а 8b 3 е (2b) 3. Така, овој полином се проширува според формулата разлика на коцките на 2 фактора. Дејствата со помош на формулата за збир на коцки се вршат по аналогија.

Важно е да се разбере дека не сите полиноми можат да се прошират барем на еден начин. Но, постојат изрази кои содржат поголеми моќи од квадрат или коцка, но може да се прошират и во скратени форми за множење. На пример: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Овој пример содржи дури 12-ти степен. Но, дури и тоа може да се факторизира користејќи ја формулата за збир на коцки. За да го направите ова, треба да го замислите x 12 како (x 4) 3, односно како коцка од некој израз. Сега, наместо а, треба да го замените во формулата. Па, изразот 125y 3 е коцка од 5y. Следно, треба да го составите производот користејќи ја формулата и да извршите пресметки.

Отпрвин, или во случај на сомнеж, секогаш можете да проверите со инверзно множење. Треба само да ги отворите заградите во добиениот израз и да извршите дејства со слични термини. Овој метод се однесува на сите наведени методи на редукција: и за работа со заеднички фактор и групирање, и за работа со формули на коцки и квадратни сили.

Факторирање на равенката е процес на пронаоѓање на оние поими или изрази кои, кога ќе се помножат, водат до почетната равенка. Факторирањето е корисна вештина за решавање на основни алгебарски проблеми и станува речиси суштинска кога се работи со квадратни равенки и други полиноми. Факторингот се користи за да се поедностават алгебарските равенки за полесно да се решат. Факторингот може да ви помогне да елиминирате одредени можни одговори побрзо отколку што би правеле со рачно решавање на равенка.

Чекори

Факторирање на броеви и основни алгебарски изрази

  1. Факторинг броеви.Концептот на факторинг е едноставен, но во пракса, факторингот може да биде предизвик (ако е дадена сложена равенка). Значи, прво, да го разгледаме концептот на факторинг користејќи броеви како пример, да продолжиме со едноставни равенки, а потоа да преминеме на сложени равенки. Факторите на даден број се броевите кои кога ќе се помножат го даваат оригиналниот број. На пример, факторите на бројот 12 се броевите: 1, 12, 2, 6, 3, 4, бидејќи 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

    • Исто така, можете да ги замислите факторите на еден број како негови делители, односно броевите со кои бројот се дели.
    • Најдете ги сите множители на бројот 60. Често го користиме бројот 60 (на пример, 60 минути во еден час, 60 секунди во минута итн.) и овој број има доста голем број на фактори.
      • 60 множители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

  2. Запомнете:може да се факторизираат и термини на израз кој содржи коефициент (број) и променлива. За да го направите ова, пронајдете ги коефициентните фактори за променливата. Знаејќи како да ги факторизирате поимите на равенките, можете лесно да ја поедноставите оваа равенка.

    • На пример, терминот 12x може да се напише како производ од 12 и x. Можете исто така да напишете 12x како 3(4x), 2(6x), итн., разложувајќи 12 на фактори кои најдобро функционираат за вас.
      • Може да се занимавате 12 пати повеќе пати по ред. Со други зборови, не треба да застанете на 3(4x) или 2(6x); продолжи со проширувањето: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очигледно 3(4x)=3(2(2x)) итн.)

  3. Примени го дистрибутивното својство на множење на факторските алгебарски равенки.Знаејќи како да факторирате броеви и изрази поими (коефициенти со променливи), можете да ги поедноставите едноставните алгебарски равенки со наоѓање на заедничкиот фактор на број и изразен член. Обично, за да се поедностави равенката, треба да го пронајдете најголемиот заеднички фактор (GCD). Ова поедноставување е можно поради дистрибутивното својство на множење: за сите броеви a, b, c, еднаквоста a(b+c) = ab+ac е точно.

    • Пример. Факторирајте ја равенката 12x + 6. Прво, пронајдете го gcd од 12x и 6. 6 е најголемиот број што ги дели и 12x и 6, така што можете да ја факторизирате оваа равенка со: 6(2x+1).
    • Овој процес важи и за равенките кои имаат негативни и фракциони членови. На пример, x/2+4 може да се факторизира во 1/2(x+8); на пример, -7x+(-21) може да се факторизира во -7(x+3).

    Факторинг квадратни равенки

    1. Проверете дали равенката е дадена во квадратна форма (ax 2 + bx + c = 0).Квадратните равенки имаат форма: ax 2 + bx + c = 0, каде што a, b, c се нумерички коефициенти различни од 0. Ако ви е дадена равенка со една променлива (x) и во оваа равенка има еден или повеќе членови со променлива од втор ред, можете да ги преместите сите поими од равенката на едната страна од равенката и да ја поставите еднаква на нула.

      • На пример, со оглед на равенката: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ова може да се претвори во равенката x 2 + 6x + 9 = 0, што е квадратна равенка.
      • Равенки со променлива x од големи редови, на пример, x 3, x 4, итн. не се квадратни равенки. Тоа се кубни равенки, равенки од четврти ред и така натаму (освен ако таквите равенки не можат да се поедностават на квадратни равенки со променливата x подигната на моќност од 2).

    2. Квадратните равенки, каде што a = 1, се прошируваат на (x+d)(x+e), каде што d*e=c и d+e=b.Ако квадратната равенка што ви е дадена ја има формата: x 2 + bx + c = 0 (односно, коефициентот x 2 е 1), тогаш таквата равенка може (но не е загарантирана) да се прошири во горенаведените фактори. За да го направите ова, треба да најдете два броја кои, кога ќе се помножат, даваат „в“, а кога се додаваат „б“. Откако ќе ги пронајдете овие два броја (d и e), заменете ги со следниов израз: (x+d)(x+e), кој при отворањето на заградите води до првобитната равенка.

      • На пример, дадена квадратна равенка x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, така што може да ја факторизирате оваа равенка во (x+3)(x+2).
      • За негативни термини, направете ги следните мали промени во процесот на факторизирање:
        • Ако квадратната равенка има форма x 2 -bx+c, тогаш таа се проширува на: (x-_)(x-_).
        • Ако квадратната равенка има форма x 2 -bx-c, тогаш таа се проширува на: (x+_)(x-_).
      • Забелешка: Празни места може да се заменат со дропки или децимали. На пример, равенката x 2 + (21/2)x + 5 = 0 се проширува во (x+10)(x+1/2).

    3. Факторизација со обиди и грешки.Едноставните квадратни равенки може да се факторингираат со едноставно замена на броевите во можните решенија додека не го најдете точното решение. Ако равенката има форма ax 2 +bx+c, каде што a>1, можните решенија се напишани во форма (dx +/- _)(ex +/- _), каде што d и e се ненумерички коефициенти , кои кога ќе се помножат даваат a. Или d или e (или двата коефициенти) може да бидат еднакви на 1. Ако двата коефициенти се еднакви на 1, тогаш користете го методот опишан погоре.

      • На пример, со оглед на равенката 3x 2 - 8x + 4. Овде 3 има само два фактора (3 и 1), така што можните решенија се напишани како (3x +/- _)(x +/- _). Во овој случај, заменувајќи го -2 за празни места, ќе го најдете точниот одговор: -2*3x=-6x и -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, односно ваквото проширување при отворањето на заградите ќе доведе до термините на првобитната равенка.