Час и презентација на тема: „Бројни низи. Геометриска прогресија“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 9 одделение
Сили и корени Функции и графикони
Момци, денес ќе се запознаеме со друг тип на прогресија.
Темата на денешниот час е геометриска прогресија.
Геометриска прогресија
Дефиниција. Нумеричка низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на производот на претходниот и некој фиксен број се нарекува геометриска прогресија.Ајде да ја дефинираме нашата низа рекурзивно: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
каде b и q се одредени дадени броеви. Бројот q се нарекува именител на прогресијата.
Пример. 1,2,4,8,16... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на еден, и $q=2$.
Пример. 8,8,8,8... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на осум,
и $q=1$.
Пример. 3,-3,3,-3,3... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на три,
и $q=-1$.
Геометриската прогресија има својства на монотонија.
Ако $b_(1)>0$, $q>1$,
тогаш низата се зголемува.
Ако $b_(1)>0$, $0 Низата обично се означува во форма: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Исто како и во аритметичка прогресија, ако во геометриска прогресија бројот на елементи е конечен, тогаш прогресијата се нарекува конечна геометриска прогресија.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Забележете дека ако низата е геометриска прогресија, тогаш низата квадрати на поими е исто така геометриска прогресија. Во втората низа, првиот член е еднаков на $b_(1)^2$, а именителот е еднаков на $q^2$.
Формула за n-ти член на геометриска прогресија
Геометриската прогресија може да се специфицира и во аналитичка форма. Ајде да видиме како да го направиме ова:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Лесно ја забележуваме шемата: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Нашата формула се нарекува „формула на n-ти член на геометриска прогресија“.
Да се вратиме на нашите примери.
Пример. 1,2,4,8,16... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на еден,
и $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на шеснаесет, и $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Пример. 8,8,8,8... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на осум, и $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Пример. 3,-3,3,-3,3... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на три, и $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Пример. Дадена е геометриска прогресија $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
а) Познато е дека $b_(1)=6, q=3$. Најдете $b_(5)$.
б) Познато е дека $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Најдете n.
в) Познато е дека $q=-2, b_(6)=96$. Најдете $b_(1)$.
г) Познато е дека $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Најдете q.
Решение.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, бидејќи $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
г) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Пример. Разликата помеѓу седмиот и петтиот член на геометриската прогресија е 192, збирот на петтиот и шестиот член од прогресијата е 192. Најдете го десеттиот член од оваа прогресија.
Решение.
Знаеме дека: $b_(7)-b_(5)=192$ и $b_(5)+b_(6)=192$.
Знаеме и: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Потоа:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Добивме систем на равенки:
$\begin(случаи)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end (случаи)$.
Изедначувајќи ги нашите равенки, добиваме:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Добивме две решенија q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Заменете секвенцијално во втората равенка:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ нема решенија.
Добивме дека: $b_(1)=4, q=2$.
Да го најдеме десеттиот член: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Збир на конечна геометриска прогресија
Дозволете ни да имаме конечна геометриска прогресија. Ајде, исто како и за аритметичка прогресија, да го пресметаме збирот на нејзините членови.Нека е дадена конечна геометриска прогресија: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Да ја воведеме ознаката за збирот на нејзините поими: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Во случај кога $q=1$. Сите членови на геометриската прогресија се еднакви на првиот член, тогаш очигледно е дека $S_(n)=n*b_(1)$.
Сега да го разгледаме случајот $q≠1$.
Да ја помножиме горната сума со q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Забелешка:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Ја добивме формулата за збир на конечна геометриска прогресија.
Пример.
Најдете го збирот на првите седум члена на геометриска прогресија чиј прв член е 4, а именителот е 3.
Решение.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Пример.
Најдете го петтиот член од геометриската прогресија што е познат: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Решение.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Карактеристично својство на геометриска прогресија
Дечки, дадена е геометриска прогресија. Да ги погледнеме неговите три последователни членови: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Знаеме дека:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Потоа:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ако прогресијата е конечна, тогаш оваа еднаквост важи за сите членови освен првиот и последниот.
Ако однапред не се знае каква форма има низата, но се знае дека: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Тогаш можеме безбедно да кажеме дека ова е геометриска прогресија.
Бројната низа е геометриска прогресија само кога квадратот на секој член е еднаков на производот на двата соседни членови на прогресијата. Не заборавајте дека за конечна прогресија овој услов не е задоволен за првиот и последниот член.
Да го погледнеме овој идентитет: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ се нарекува геометриска средина на броевите a и b.
Модулот на кој било член на геометриска прогресија е еднаков на геометриската средина на неговите два соседни члена.
Пример.
Најдете x така што $x+2; 2x+2; 3x+3$ беа три последователни члена на геометриска прогресија.
Решение.
Да го искористиме карактеристичното својство:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ и $x_(2)=-1$.
Дозволете ни секвенцијално да ги замениме нашите решенија во оригиналниот израз:
Со $x=2$ ја добивме низата: 4;6;9 – геометриска прогресија со $q=1,5$.
За $x=-1$, ја добиваме низата: 1;0;0.
Одговор: $x=2.$
Проблеми кои треба да се решаваат самостојно
1. Најдете го осмиот прв член од геометриската прогресија 16;-8;4;-2….2. Најдете го десеттиот член на геометриската прогресија 11,22,44….
3. Познато е дека $b_(1)=5, q=3$. Најдете $b_(7)$.
4. Познато е дека $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Најдете n.
5. Најдете го збирот на првите 11 члена од геометриската прогресија 3;12;48….
6. Најдете x така што $3x+4; 2x+4; x+5$ се три последователни члена на геометриска прогресија.
Математиката е штолуѓето ја контролираат природата и себеси.
Советскиот математичар, академик А.Н. Колмогоров
Геометриска прогресија.
Заедно со проблемите за аритметички прогресии, проблемите поврзани со концептот на геометриска прогресија се исто така вообичаени при приемните испити по математика. За успешно решавање на ваквите проблеми, треба да ги знаете својствата на геометриските прогресии и да имате добри вештини за нивно користење.
Оваа статија е посветена на презентација на основните својства на геометриската прогресија. Овде се дадени и примери за решавање на типични проблеми., позајмено од задачите на приемните испити по математика.
Прво да ги забележиме основните својства на геометриската прогресија и да се потсетиме на најважните формули и искази, поврзани со овој концепт.
Дефиниција.Бројната низа се нарекува геометриска прогресија ако секој број, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со истиот број. Бројот се нарекува именител на геометриска прогресија.
За геометриска прогресијаформулите се валидни
, (1)
Каде. Формулата (1) се нарекува формула на општиот член на геометриската прогресија, а формулата (2) го претставува главното својство на геометриската прогресија: секој член од прогресијата се совпаѓа со геометриската средина на нејзините соседни членови и .
Забелешка, дека токму поради ова својство предметната прогресија се нарекува „геометриска“.
Горенаведените формули (1) и (2) се генерализирани на следниов начин:
, (3)
За да се пресмета износотпрво членови на геометриска прогресијасе применува формулата
Ако означиме, тогаш
Каде. Бидејќи , формулата (6) е генерализација на формулата (5).
Во случај кога и геометриска прогресијабескрајно се намалува. За да се пресмета износотод сите термини на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, се користи формулата
. (7)
На пример, со помош на формулата (7) можеме да покажеме, Што
Каде. Овие еднаквости се добиени од формулата (7) под услов , (прва еднаквост) и , (втора еднаквост).
Теорема.Ако тогаш
Доказ. Ако тогаш
Теоремата е докажана.
Ајде да продолжиме да разгледуваме примери за решавање проблеми на тема „Геометриска прогресија“.
Пример 1.Дадени: , и . Најдете .
Решение.Ако ја примениме формулата (5), тогаш
Одговор:.
Пример 2.Нека биде. Најдете .
Решение.Бидејќи и , ги користиме формулите (5), (6) и добиваме систем од равенки
Ако втората равенка на системот (9) се подели со првата, тогаш или. Од ова произлегува дека . Да разгледаме два случаи.
1. Ако, тогаш од првата равенка на системот (9) имаме.
2. Ако , тогаш .
Пример 3.Нека, и. Најдете .
Решение.Од формулата (2) следува дека или . Оттогаш или .
По услов. Меѓутоа, затоа. Бидејќи и тогаш тука имаме систем на равенки
Ако втората равенка на системот се подели со првата, тогаш или .
Бидејќи, равенката има единствен соодветен корен. Во овој случај, тоа произлегува од првата равенка на системот.
Земајќи ја предвид формулата (7), добиваме.
Одговор:.
Пример 4.Дадени: и . Најдете .
Решение.Од тогаш.
Оттогаш или
Според формулата (2) имаме . Во овој поглед, од еднаквоста (10) добиваме или .
Меѓутоа, според условот.
Пример 5.Познато е дека. Најдете .
Решение. Според теоремата, имаме две еднаквости
Оттогаш или . Затоа што тогаш.
Одговор:.
Пример 6.Дадени: и . Најдете .
Решение.Земајќи ја предвид формулата (5), добиваме
Од тогаш. Од , и , тогаш .
Пример 7.Нека биде. Најдете .
Решение.Според формулата (1) можеме да пишуваме
Затоа, имаме или . Познато е дека и , затоа и .
Одговор:.
Пример 8.Најдете го именителот на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија ако
И .
Решение. Од формулата (7) следуваИ . Од тука и од условите на задачата добиваме систем на равенки
Ако првата равенка на системот е квадрат, а потоа добиената равенка поделете ја со втората равенка, тогаш добиваме
Или .
Одговор:.
Пример 9.Најдете ги сите вредности за кои низата , , е геометриска прогресија.
Решение.Нека, и. Според формулата (2), која го дефинира главното својство на геометриската прогресија, можеме да напишеме или .
Од тука ја добиваме квадратната равенка, чии корени сеИ .
Ајде да провериме: ако, потоа и ; ако , тогаш и .
Во првиот случај имамеи , а во вториот – и .
Одговор: ,.
Пример 10.Решете ја равенката
, (11)
каде и.
Решение. Левата страна на равенката (11) е збир на бесконечна опаѓачка геометриска прогресија, во која и , предмет на: и .
Од формулата (7) следува, Што . Во овој поглед, равенката (11) има формаили . Погоден корен квадратна равенка е
Одговор:.
Пример 11.П низа од позитивни броевиформира аритметичка прогресија, А – геометриска прогресија, каква врска има тоа. Најдете .
Решение.Бидејќи аритметичка низа, Тоа (главното својство на аритметичката прогресија). Затоа што, тогаш или. Ова имплицира, дека геометриската прогресија има форма. Според формулата (2), потоа го запишуваме тоа .
Оттогаш и тогаш . Во овој случај, изразотзема форма или . По услов, така од равенката.добиваме единствено решение за проблемот што се разгледува, т.е. .
Одговор:.
Пример 12.Пресметај Збир
. (12)
Решение. Помножете ги двете страни на еднаквоста (12) со 5 и добијте
Ако го одземеме (12) од добиениот израз, Тоа
или .
За да пресметаме, ги заменуваме вредностите во формулата (7) и добиваме . Од тогаш.
Одговор:.
Примерите за решавање проблеми дадени овде ќе бидат корисни за апликантите кога се подготвуваат за приемните испити. За подлабоко проучување на методите за решавање проблеми, поврзани со геометриска прогресија, Можете да користите упатства од списокот со препорачана литература.
1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образованието, 2013. – 608 стр.
2. Супрун В.П. Математика за средношколци: дополнителни делови од училишната програма. – М.: Ленанд / УРСС, 2014. – 216 стр.
3. Медински М.М. Комплетен курс по елементарна математика во задачи и вежби. Книга 2: Секвенци на броеви и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 стр.
Сè уште имате прашања?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Да разгледаме одредена серија.
7 28 112 448 1792...
Апсолутно е јасно дека вредноста на кој било од неговите елементи е точно четири пати поголема од претходната. Тоа значи дека оваа серија е прогресија.
Геометриска прогресија е бесконечна низа од броеви, чија главна карактеристика е тоа што следниот број се добива од претходниот со множење со одреден број. Ова се изразува со следнава формула.
a z +1 =a z ·q, каде што z е бројот на избраниот елемент.
Според тоа, z ∈ N.
Периодот кога се изучува геометриската прогресија на училиште е 9-то одделение. Примерите ќе ви помогнат да го разберете концептот:
0.25 0.125 0.0625...
Врз основа на оваа формула, именителот на прогресијата може да се најде на следниов начин:
Ниту q ниту b z не можат да бидат нула. Исто така, секој од елементите на прогресијата не треба да биде еднаков на нула.
Според тоа, за да го дознаете следниот број во серија, треба да го помножите последниот со q.
За да ја поставите оваа прогресија, мора да го наведете неговиот прв елемент и именител. По ова, можно е да се најде некој од следните термини и нивниот збир.
Сорти
Во зависност од q и a 1, оваа прогресија е поделена на неколку типови:
- Ако и 1 и q се поголеми од еден, тогаш таквата низа е геометриска прогресија што се зголемува со секој следен елемент. Пример за ова е претставен подолу.
Пример: a 1 =3, q=2 - двата параметри се поголеми од еден.
Тогаш низата на броеви може да се напише вака:
3 6 12 24 48 ...
- Ако |q| е помала од една, односно множењето со него е еквивалентно на делење, тогаш прогресијата со слични услови е опаѓачка геометриска прогресија. Пример за ова е претставен подолу.
Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е поголем од еден, q е помал.
Тогаш низата на броеви може да се запише на следниов начин:
6 2 2/3 ... - кој било елемент е 3 пати поголем од елементот што го следи.
- Алтернативен знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Пример: a 1 = -3, q = -2 - двата параметри се помали од нула.
Тогаш низата на броеви може да се напише вака:
3, 6, -12, 24,...
Формули
Постојат многу формули за практично користење на геометриски прогресии:
- Формула со Z-термин. Ви овозможува да пресметате елемент под одреден број без да пресметувате претходни броеви.
Пример:q = 3, а 1 = 4. Потребно е да се брои четвртиот елемент од прогресијата.
Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Збирот на првите елементи чие количество е еднакво на z. Ви овозможува да го пресметате збирот на сите елементи на низата доa zинклузивна.
Од (1-q) е во именителот, тогаш (1 - q)≠ 0, затоа q не е еднаков на 1.
Забелешка: ако q=1, тогаш прогресијата би била низа од бесконечно повторувачки броеви.
Збир на геометриска прогресија, примери:а 1 = 2, q= -2. Пресметајте S5.
Решение:С 5 = 22 - пресметка со помош на формулата.
- Износ ако |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Пример:а 1 = 2 , q= 0,5. Најдете ја сумата.
Решение:С з = 2 · = 4
С з = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Некои својства:
- Карактеристично својство. Доколку следниов услов работи за било којz, тогаш дадената бројна серија е геометриска прогресија:
a z 2 = a z -1 · аz+1
- Исто така, квадратот на кој било број во геометриска прогресија се наоѓа со собирање на квадратите на кои било други два броја во дадена серија, доколку тие се подеднакво оддалечени од овој елемент.
a z 2 = a z - т 2 + a z + т 2 , Кадет- растојанието помеѓу овие бројки.
- Елементисе разликуваат во qеднаш.
- Логаритмите на елементите на прогресијата исто така формираат прогресија, но аритметичка, односно секој од нив е поголем од претходниот за одреден број.
Примери за некои класични проблеми
За подобро разбирање што е геометриска прогресија, можат да помогнат примери со решенија за класа 9.
- Услови:а 1 = 3, а 3 = 48. Најдетеq.
Решение: секој следен елемент е поголем од претходниот воq еднаш.Неопходно е да се изразат некои елементи во однос на други со помош на именител.
Оттука,а 3 = q 2 · а 1
При заменаq= 4
- Услови:а 2 = 6, а 3 = 12. Пресметај S 6.
Решение:За да го направите ова, само најдете q, првиот елемент и заменете го во формулата.
а 3 = q· а 2 , оттука,q= 2
a 2 = q · а 1,Затоа a 1 = 3
S 6 = 189
- · а 1 = 10, q= -2. Најдете го четвртиот елемент од прогресијата.
Решение: за да го направите ова, доволно е да се изрази четвртиот елемент преку првиот и преку именителот.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Пример за апликација:
- Клиент на банка направи депозит во износ од 10.000 рубли, под чии услови секоја година клиентот ќе има 6% додадени на главниот износ. Колку пари ќе има на сметка после 4 години?
Решение: Почетниот износ е 10 илјади рубли. Тоа значи дека една година по инвестицијата на сметката ќе има износ еднаков на 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
Според тоа, износот на сметката по уште една година ќе биде изразен на следниов начин:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Односно, секоја година износот се зголемува за 1,06 пати. Тоа значи дека за да се најде износот на средствата на сметката по 4 години, доволно е да се најде четвртиот елемент од прогресијата, кој е даден со првиот елемент еднаков на 10 илјади и именителот еднаков на 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Примери на проблеми со пресметување збир:
Геометриската прогресија се користи во различни проблеми. Пример за наоѓање на збирот може да се даде на следниов начин:
а 1 = 4, q= 2, пресметајС 5.
Решение: сите податоци потребни за пресметка се познати, само треба да ги замените во формулата.
С 5 = 124
- а 2 = 6, а 3 = 18. Пресметај го збирот на првите шест елементи.
Решение:
Во геом. прогресија, секој следен елемент е q пати поголем од претходниот, односно за да се пресмета збирот што треба да го знаете елементота 1 и именителq.
а 2 · q = а 3
q = 3
Слично на тоа, треба да најдетеа 1 , знаејќиа 2 Иq.
а 1 · q = а 2
a 1 =2
С 6 = 728.
22.09.2018 22:00Геометриската прогресија, заедно со аритметичката прогресија, е важна бројна серија што се изучува во училишниот курс за алгебра во 9-то одделение. Во оваа статија ќе го разгледаме именителот на геометриската прогресија и како нејзината вредност влијае на нејзините својства.
Дефиниција на геометриска прогресија
Прво, да ја дадеме дефиницијата за оваа бројна серија. Геометриска прогресија е серија од рационални броеви што се формираат со последователно множење на неговиот прв елемент со константен број наречен именител.
На пример, броевите од серијата 3, 6, 12, 24, ... се геометриска прогресија, бидејќи ако помножите 3 (првиот елемент) со 2, ќе добиете 6. Ако помножите 6 со 2, ќе добиете 12, и така натаму.
Членовите на низата што се разгледува обично се означуваат со симболот ai, каде што i е цел број што го означува бројот на елементот во серијата.
Горенаведената дефиниција за прогресија може да се напише на математички јазик на следниов начин: an = bn-1 * a1, каде што b е именителот. Лесно е да се провери оваа формула: ако n = 1, тогаш b1-1 = 1, и добиваме a1 = a1. Ако n = 2, тогаш an = b * a1, и повторно доаѓаме до дефиницијата на серијата на броеви за кои станува збор. Слично размислување може да се продолжи за големи вредности на n.
Именител на геометриска прогресија
Бројот b целосно одредува каков знак ќе има целата броена серија. Именителот b може да биде позитивен, негативен или поголем или помал од еден. Сите горенаведени опции доведуваат до различни секвенци:
- b > 1. Постои зголемена серија на рационални броеви. На пример, 1, 2, 4, 8, ... Ако елементот a1 е негативен, тогаш целата низа ќе се зголеми само во апсолутна вредност, но ќе се намали во зависност од знакот на броевите.
- b = 1. Често овој случај не се нарекува прогресија, бидејќи постои обична серија на идентични рационални броеви. На пример, -4, -4, -4.
Формула за износ
Пред да се премине на разгледување на конкретни проблеми користејќи го именителот на видот на прогресијата што се разгледува, треба да се даде важна формула за збирот на неговите први n елементи. Формулата изгледа вака: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Можете сами да го добиете овој израз ако ја земете предвид рекурзивната низа на термини на прогресијата. Исто така, забележете дека во горната формула доволно е да се знае само првиот елемент и именителот за да се најде збирот на произволен број членови.
Бесконечно опаѓачка низа
Погоре беше дадено објаснување за што се работи. Сега, знаејќи ја формулата за Sn, ајде да ја примениме на оваа бројна серија. Бидејќи секој број чиј модул не надминува 1 се стреми кон нула кога е подигнат на големи сили, односно b∞ => 0 ако -1
Бидејќи разликата (1 - b) секогаш ќе биде позитивна, без оглед на вредноста на именителот, знакот на збирот на бесконечно опаѓачката геометриска прогресија S∞ е единствено определен со знакот на неговиот прв елемент a1.
Сега да погледнеме неколку проблеми каде што ќе покажеме како да го примениме стекнатото знаење на конкретни бројки.
Задача бр.1. Пресметка на непознати елементи на прогресија и збир
Со оглед на геометриската прогресија, именителот на прогресијата е 2, а нејзиниот прв елемент е 3. Со што ќе бидат еднакви неговите седми и десетти членови и колку е збирот на неговите седум почетни елементи?
Состојбата на проблемот е прилично едноставна и вклучува директна употреба на горенаведените формули. Значи, за да го пресметаме елементот број n, го користиме изразот an = bn-1 * a1. За 7-миот елемент имаме: a7 = b6 * a1, заменувајќи ги познатите податоци, добиваме: a7 = 26 * 3 = 192. Истото го правиме и за 10-тиот член: a10 = 29 * 3 = 1536.
Да ја користиме добро познатата формула за збирот и да ја одредиме оваа вредност за првите 7 елементи од серијата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача бр. 2. Одредување на збир на произволни елементи на прогресија
Нека -2 е еднаков на именителот на геометриската прогресија bn-1 * 4, каде што n е цел број. Неопходно е да се одреди збирот од 5-тиот до 10-тиот елемент од оваа серија, вклучително.
Поставениот проблем не може да се реши директно користејќи познати формули. Може да се реши со користење на 2 различни методи. За комплетност на презентација на темата, ги пренесуваме и двете.
Метод 1. Идејата е едноставна: треба да ги пресметате двата соодветни збирови од првите членови, а потоа да го одземете другиот од едниот. Ја пресметуваме помалата количина: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега ја пресметуваме поголемата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Забележете дека во последниот израз беа сумирани само 4 члена, бидејќи 5-тиот е веќе вклучен во износот што треба да се пресмета според условите на проблемот. Конечно, ја земаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Пред да ги замените броевите и да броите, можете да добиете формула за збирот помеѓу m и n членовите од серијата за која станува збор. Го правиме истото како во методот 1, само што прво работиме со симболичното претставување на износот. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да ги замените познатите броеви во добиениот израз и да го пресметате конечниот резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача бр. 3. Кој е именителот?
Нека a1 = 2, пронајдете го именителот на геометриската прогресија, под услов нејзиниот бесконечен збир да биде 3, а се знае дека ова е опаѓачка серија на броеви.
Врз основа на условите на проблемот, не е тешко да се погоди која формула треба да се користи за да се реши. Се разбира, за збирот на прогресијата бескрајно се намалува. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Од каде го искажуваме именителот: b = 1 - a1 / S∞. Останува да се заменат познатите вредности и да се добие потребниот број: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можеме квалитативно да го провериме овој резултат ако се потсетиме дека за овој тип на низа модулот b не треба да оди подалеку од 1. Како што може да се види, |-1 / 3|
Задача бр. 4. Враќање низа броеви
Нека се дадени 2 елементи од бројна серија, на пример, 5-тиот е еднаков на 30, а 10-тиот е еднаков на 60. Потребно е да се реконструира целата серија од овие податоци, знаејќи дека таа ги задоволува својствата на геометриската прогресија.
За да го решите проблемот, прво мора да го запишете соодветниот израз за секој познат поим. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега поделете го вториот израз со првиот, добиваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Од тука го одредуваме именителот земајќи го петтиот корен од односот на поимите познати од исказот на проблемот, b = 1,148698. Добиениот број го заменуваме во еден од изразите за познатиот елемент, добиваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Така, го најдовме именителот на прогресијата bn, и геометриската прогресија bn-1 * 17,2304966 = an, каде што b = 1,148698.
Каде се користат геометриските прогресии?
Доколку не постоеше практична примена на оваа бројна серија, тогаш нејзиното проучување ќе се сведе на чисто теоретски интерес. Но, таква апликација постои.
Подолу се 3-те најпознати примери:
- Парадоксот на Зенон, во кој пргавиот Ахил не може да ја достигне бавната желка, е решен со помош на концептот на бесконечно опаѓачка низа од броеви.
- Ако на секој квадрат од шаховската табла ставите зрна пченица така што на 1-виот квадрат ставите 1 зрно, на 2-ри - 2, на 3-ти - 3 и така натаму, тогаш за да ги пополните сите квадрати на таблата ќе ви требаат 18446744073709551615 зрна!
- Во играта „Кулата на Ханој“, за да се преместат дисковите од една прачка на друга, потребно е да се извршат операции 2n - 1, односно нивниот број расте експоненцијално со бројот n на употребените дискови.
Улица Киевјан, 16 0016 Ерменија, Ереван +374 11 233 255
Геометриската прогресија е нов тип на нумеричка низа со која ќе се запознаеме. За успешно запознавање, не е повредено барем да се знае и да се разбере. Тогаш нема да има проблеми со геометриската прогресија.)
Што е геометриска прогресија? Концептот на геометриска прогресија.
Турата ја започнуваме, како и обично, со основните работи. Пишувам недовршена низа од броеви:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Можете ли да ја забележите шемата и да кажете кои броеви ќе бидат следните? Биберот е бистар, потоа ќе следат бројките 100.000, 1.000.000 и така натаму. Дури и без многу ментален напор, сè е јасно, нели?)
ДОБРО. Друг пример. Ја пишувам оваа низа:
1, 2, 4, 8, 16, …
Можеш ли да кажеш кои броеви ќе следат, следејќи го бројот 16 и името осмичлен на низа? Ако сфативте дека тоа ќе биде бројот 128, тогаш многу добро. Значи, половина од битката е во разбирањето смислаИ клучните точкивеќе е направена геометриска прогресија. Можете да растете понатаму.)
И сега повторно преминуваме од сензации кон строга математика.
Клучни точки на геометриска прогресија.
Клучна точка #1
Геометриската прогресија е низа од броеви.Така е и прогресијата. Ништо фенси. Само оваа низа е наредена поинаку.Оттука, нормално, има друго име, да...
Клучна точка #2
Со втората клучна точка, прашањето ќе биде покомплицирано. Да се вратиме малку назад и да се потсетиме на клучното својство на аритметичката прогресија. Еве го: секој член е различен од претходниот за истиот износ.
Дали е можно да се формулира слично клучно својство за геометриска прогресија? Размислете малку... Погледнете ги подетално дадените примери. Дали погодивте? Да! Во геометриска прогресија (било кој!) секој негов член се разликува од претходниот ист број пати.Секогаш!
Во првиот пример, оваа бројка е десет. Кој член од низата и да го земете, тој е поголем од претходниот десет пати.
Во вториот пример тоа е два: секој член е поголем од претходниот двапати.
Токму оваа клучна точка се разликува геометриската прогресија од аритметичката прогресија. Во аритметичка прогресија се добива секој следен член со додавањеиста вредност на претходниот член. И тука - множењепретходниот мандат за истиот износ. Тоа е целата разлика.)
Клучна точка #3
Оваа клучна точка е целосно идентична со онаа за аритметичка прогресија. Имено: Секој член на геометриска прогресија стои на своето место.Сè е исто како во аритметичката прогресија и коментарите мислам дека се непотребни. Има прв термин, има сто и прв итн. Дозволете ни да замениме најмалку два термина - шаблонот (а со тоа и геометриската прогресија) ќе исчезне. Она што ќе остане е само низа од броеви без никаква логика.
Тоа е се. Тоа е целата поента на геометриската прогресија.
Услови и ознаки.
Но, сега, откако го разбравме значењето и клучните точки на геометриската прогресија, можеме да преминеме на теоријата. Инаку, што е теорија без разбирање на значењето, нели?
Како да се означи геометриска прогресија?
Како се пишува геометриската прогресија во општа форма? Нема проблем! Секој член од прогресијата се пишува и како буква. Само за аритметичка прогресија, обично се користи буквата "А", за геометриско – писмо "б". Број на член, како и обично, е наведено индекс долу десно. Ние едноставно ги наведуваме самите членови на прогресијата, одделени со запирки или точка-запирка.
Како ова:
б 1,б 2 , б 3 , б 4 , б 5 , б 6 , …
Накратко, оваа прогресија е напишана вака: (b n) .
Или вака, за конечни прогресии:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
б 1, б 2, ..., б 29, б 30.
Или накратко:
(b n), n=30 .
Тоа, всушност, е целата ознака. Сè е исто, само буквата е различна, да.) И сега преминуваме директно на дефиницијата.
Дефиниција на геометриска прогресија.
Геометриска прогресија е броена низа во која првиот член е не-нула, а секој следен член е еднаков на претходниот член помножен со истиот број што не е нула.
Тоа е целата дефиниција. Повеќето зборови и фрази ви се јасни и познати. Ако, се разбира, го разбирате значењето на геометриската прогресија „на вашите прсти“ и воопшто. Но, има и неколку нови фрази на кои би сакал да обрнам посебно внимание.
Прво, зборовите: „чиј прв член не-нула".
Ова ограничување на првиот мандат не беше случајно воведено. Што мислите дека ќе се случи ако првиот член б 1 ќе биде еднаква на нула? На што ќе биде еднаков вториот член ако секој член е поголем од претходниот? ист број пати?Да речеме три пати? Ајде да видиме... Помножете го првиот член (т.е. 0) со 3 и добијте... нула! Што е со третиот член? Исто така нула! И четвртиот член е исто така нула! И така натаму…
Добиваме само вреќа ѓеврек, низа од нули:
0, 0, 0, 0, …
Се разбира, таквата низа има право на живот, но не е од практичен интерес. Се е јасно. Секој негов член е нула. Збирот на кој било број членови е исто така нула... Какви интересни работи можете да направите со него? Ништо…
Следниве клучни зборови: „помножено со истиот број што не е нула“.
Овој ист број има и свое посебно име - именител на геометриска прогресија. Ајде да почнеме да се запознаваме.)
Именител на геометриска прогресија.
Сè е едноставно како гранатирање круши.
Именителот на геометриската прогресија е ненула број (или количина) што покажуваколку патисекој термин од прогресијата повеќе од претходниот.
Повторно, слично на аритметичката прогресија, клучниот збор што треба да се бара во оваа дефиниција е зборот "повеќе". Тоа значи дека се добива секој член од геометриската прогресија множењетокму на овој именител претходен член.
Дозволи ми да објаснам.
Да се пресмета, да речеме второкур, треба да се земе првочлен и размножувааттоа до именителот. За пресметка десеттикур, треба да се земе деветтичлен и размножувааттоа до именителот.
Именителот на самата геометриска прогресија може да биде што било. Апсолутно секој! Целосно, фракционо, позитивно, негативно, ирационално - сè. Освен нула. Ова е она што ни го кажува зборот „не-нула“ во дефиницијата. Зошто овој збор е потребен овде - повеќе за тоа подоцна.
Именител на геометриска прогресијанајчесто се означува со буквата q.
Како да го најдете q? Нема проблем! Мора да земеме кој било термин на прогресијата и подели со претходниот член. Поделба е дропка. Оттука и името - „именител на прогресија“. Именителот, обично седи во дропка, да...) Иако, логично, вредноста qтреба да се повика приватенгеометриска прогресија, слична на разликаза аритметичка прогресија. Но, се договоривме да се јавиме именител. И ние нема повторно да го измислиме тркалото.)
Да ја дефинираме, на пример, количината qза оваа геометриска прогресија:
2, 6, 18, 54, …
Сè е елементарно. Ајде да го земеме било којниза број. Земаме што сакаме. Освен првиот. На пример, 18. И подели со претходен број. Односно во 6.
Добиваме:
q = 18/6 = 3
Тоа е се. Ова е точниот одговор. За оваа геометриска прогресија, именителот е три.
Ајде сега да го најдеме именителот qза уште една геометриска прогресија. На пример, овој:
1, -2, 4, -8, 16, …
Се исто. Без разлика какви знаци имаат самите членови, ние сепак земаме било којброј на низата (на пример, 16) и подели со претходен број(т.е. -8).
Добиваме:
г = 16/(-8) = -2
И тоа е тоа.) Овој пат именителот на прогресијата се покажа негативен. Минус два. Се случува.)
Сега да ја земеме оваа прогресија:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
И повторно, без оглед на типот на броевите во низата (без разлика дали се цели броеви, парни дропки, дури и негативни, дури и ирационални), земаме кој било број (на пример, 1/9) и делиме со претходниот број (1/3). Според правилата за работа со дропки, се разбира.
Добиваме:
Тоа е сè.) Овде именителот се покажа дека е дробен: q = 1/3.
Што мислите за оваа „прогресија“?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очигледно тука q = 1 . Формално, ова е исто така геометриска прогресија, само со идентични членови.) Но, таквите прогресии не се интересни за проучување и практична примена. Исто како и прогресиите со цврсти нули. Затоа, нема да ги разгледаме.
Како што можете да видите, именителот на прогресијата може да биде што било - цел број, фракционо, позитивно, негативно - што било! Не може да биде само нула. Не можете да погодите зошто?
Па, ајде да користиме некој конкретен пример за да видиме што ќе се случи ако земеме како именител qнула.) Нека, на пример, имаме б 1 = 2 , А q = 0 . На што тогаш ќе биде еднаков вториот член?
Ние броиме:
б 2 = б 1 · q= 2 0 = 0
Што е со третиот член?
б 3 = б 2 · q= 0 0 = 0
Видови и однесување на геометриски прогресии.
Сè беше повеќе или помалку јасно: ако разликата во прогресијата ге позитивен, тогаш прогресијата се зголемува. Ако разликата е негативна, тогаш прогресијата се намалува. Има само две опции. Нема трето.)
Но, со однесувањето на геометриската прогресија, сè ќе биде многу поинтересно и разновидно!)
Без разлика како се однесуваат термините овде: тие се зголемуваат, и се намалуваат, и на неодредено време се приближуваат до нула, па дури и ги менуваат знаците, наизменично фрлајќи се во „плус“, а потоа во „минус“! И во сета оваа различност треба да можеш добро да разбереш, да...
Ајде да го сфатиме?) Да почнеме со наједноставниот случај.
Именителот е позитивен ( q >0)
Со позитивен именител, прво, условите на геометриската прогресија можат да влезат плус бесконечност(т.е. зголемување без ограничување) и може да влезе во минус бесконечност(т.е. намалување без ограничување). Веќе сме навикнати на ваквото однесување на прогресии.
На пример:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Сè е едноставно овде. Се добива секој термин од прогресијата повеќе од претходното. Покрај тоа, секој термин излегува множењепретходен член на позитивенброј +2 (т.е. q = 2 ). Однесувањето на таквата прогресија е очигледно: сите членови на прогресијата растат без ограничување, одејќи во вселената. Плус бесконечност...
И сега еве ја прогресијата:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
И овде се добива секој член од прогресијата множењепретходен член на позитивенброј +2. Но, однесувањето на таквата прогресија е токму спротивното: се добива секој член од прогресијата помалку од претходниот, и сите негови термини се намалуваат без ограничување, одејќи до минус бесконечност.
Сега да размислиме: што имаат заедничко овие две прогресии? Така е, именител! Тука и таму q = +2 . Позитивен број.Две. И тука однесувањеОвие две прогресии се фундаментално различни! Не можете да погодите зошто? Да! Се работи за прв член!Тој, како што велат, ја нарекува мелодијата.) Погледнете сами.
Во првиот случај, првиот мандат на прогресијата позитивен(+1) и, според тоа, сите последователни членови добиени со множење со позитивенименител q = +2 , исто така ќе биде позитивен.
Но, во вториот случај, првиот мандат негативен(-1). Затоа, сите последователни услови на прогресијата, добиени со множење со позитивен q = +2 , исто така ќе се добијат негативен.Бидејќи „минус“ до „плус“ секогаш дава „минус“, да.)
Како што можете да видите, за разлика од аритметичката прогресија, геометриската прогресија може да се однесува сосема поинаку не само во зависност од именителотq, но и во зависност од првиот член, Да.)
Запомнете: однесувањето на геометриската прогресија е уникатно определено со нејзиниот прв член б 1 и именителq .
И сега почнуваме да анализираме помалку познати, но многу поинтересни случаи!
Да ја земеме, на пример, оваа низа:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Оваа низа е исто така геометриска прогресија! Секој термин од оваа прогресија исто така излегува множењепретходниот член, со ист број. Тоа е само бројка - фракционо: q = +1/2 . Или +0,5 . Згора на тоа (важно!) бројот помалку од еден:q = 1/2<1.
Зошто е интересна оваа геометриска прогресија? Каде се движат нејзините членови? Ајде да погледнеме:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Кои интересни работи можете да ги забележите овде? Прво, веднаш се забележува намалувањето во однос на прогресијата: секој негов член помалкуточно претходниот 2 пати.Или, според дефиницијата за геометриска прогресија, секој поим повеќепретходно 1/2 пати, бидејќи именител на прогресија q = 1/2 . И кога ќе се помножи со позитивен број помал од еден, резултатот обично се намалува, да...
Што повеќеможе да се види во однесувањето на оваа прогресија? Дали нејзините членови се намалуваат? неограничено, оди до минус бесконечност? Не! Тие исчезнуваат на посебен начин. Отпрвин тие се намалуваат прилично брзо, а потоа се повеќе и побавно. И додека останува цело време позитивен. Иако многу, многу мал. И кон што се стремат тие самите? Не погодивте? Да! Тие се стремат кон нула!) Покрај тоа, обрнете внимание, членовите на нашата прогресија се од нула никогаш не достигнувај!Само приближувајќи му се бескрајно блиску. Тоа е многу важно.)
Слична ситуација ќе се појави во следната прогресија:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Еве б 1 = -1 , А q = 1/2 . Се е исто, само сега термините ќе се приближат на нула од другата страна, одоздола. Останувајќи цело време негативен.)
Таквата геометриска прогресија, чиишто услови пристапи кон нула без ограничување(без разлика од позитивна или негативна страна), во математиката има посебно име - бескрајно намалена геометриска прогресија.Оваа прогресија е толку интересна и необична што дури и ќе се дискутира посебна лекција .)
Значи, ние ги разгледавме сите можни позитивенименители се и големи и помали. Самата единица не ја сметаме за именител од причините наведени погоре (сетете се на примерот со низа од тројки...)
Да резимираме:
позитивенИ повеќе од еден (q>1), потоа условите на прогресијата:
а) зголемување без ограничување (акоб 1 >0);
б) намалување без ограничување (акоб 1 <0).
Ако именителот на геометриската прогресија позитивен И помалку од еден (0< q<1), то члены прогрессии:
а) бесконечно блиску до нула погоре(Акоб 1 >0);
б) се приближува бесконечно блиску до нула одоздола(Акоб 1 <0).
Сега останува да се разгледа случајот негативен именител.
Именителот е негативен ( q <0)
Нема да одиме далеку за пример. Зошто, точно, бушава баба?!) Нека е на пример првиот термин на прогресијата б 1 = 1 , и да го земеме именителот q = -2.
Ја добиваме следната низа:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
И така натаму.) Се добива секој член од прогресијата множењепретходен член на негативен број-2. Во овој случај, сите членови кои стојат на непарни места (прва, трета, петта, итн.) ќе бидат позитивени на парни места (второ, четврто итн.) – негативен.Знаците се строго наизменични. Плус-минус-плус-минус... Оваа геометриска прогресија се нарекува - зголемување на знакот наизменично.
Каде се движат нејзините членови? Но никаде.) Да, во апсолутна вредност (т.е. модуло)членовите на нашата прогресија се зголемуваат без ограничување (оттука и името „зголемување“). Но, во исто време, секој член на прогресијата наизменично ве фрла во топлина, а потоа во студ. Или „плус“ или „минус“. Нашата прогресија се колеба... Згора на тоа, опсегот на флуктуации рапидно расте со секој чекор, да.) Затоа, аспирациите на членовите на прогресијата одат некаде конкретноЕве Бр.Ниту до плус бесконечност, ниту до минус бесконечност, ниту до нула - никаде.
Сега да разгледаме некој фракционен именител помеѓу нула и минус еден.
На пример, нека биде б 1 = 1 , А q = -1/2.
Потоа ја добиваме прогресијата:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
И повторно имаме алтернација на знаци! Но, за разлика од претходниот пример, овде веќе постои јасна тенденција поимите да се приближуваат до нула.) Само што овојпат нашите поими се приближуваат до нулата не строго одозгора или долу, туку повторно двоумејќи се. Наизменично земајќи позитивни и негативни вредности. Но, во исто време тие модулисе поблиску и поблиску до негуваната нула.)
Оваа геометриска прогресија се нарекува бесконечно опаѓачки знак, наизменично.
Зошто се интересни овие два примера? И фактот дека и во двата случаи се одвива алтернација на знаци!Овој трик е типичен само за прогресии со негативен именител, да.) Затоа, ако во некоја задача видите геометриска прогресија со наизменични членови, веќе сигурно ќе знаете дека нејзиниот именител е 100% негативен и нема да погрешите во знакот.)
Патем, во случај на негативен именител, знакот на првиот член воопшто не влијае на однесувањето на самата прогресија. Без разлика на знакот на првиот член на прогресијата, во секој случај знакот на термините ќе се запази. Единственото прашање е, на кои места(парни или непарни) ќе има членови со специфични знаци.
Запомнете:
Ако именителот на геометриската прогресија негативен , тогаш знаците на условите на прогресијата се секогаш наизменично.
Во исто време, самите членови:
а) зголемување без ограничувањемодуло, Акоq<-1;
б) се приближува до нулата бесконечно ако -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Тоа е се. Сите типични случаи се анализирани.)
Во процесот на анализа на различни примери на геометриски прогресии, периодично ги користев зборовите: „се стреми кон нула“, „се стреми кон плус бесконечност“, „се стреми кон минус бесконечност“... Во ред е.) Овие говорни фигури (и конкретни примери) се само почетен вовед во однесувањеразновидни низи на броеви. Користејќи го примерот на геометриска прогресија.
Зошто воопшто треба да го знаеме однесувањето на прогресијата? Каква разлика има каде оди? Кон нула, до плус бесконечност, до минус бесконечност... Што ни прави тоа?
Работата е дека веќе на универзитетот, на курс по повисока математика, ќе ви треба способност да работите со широк спектар на нумерички секвенци (со какви било, не само прогресии!) и способност да замислите точно како оваа или онаа низа се однесува - дали се зголемува дали неограничено се намалува, дали се стреми кон одредена бројка (и не мора на нула) или воопшто не се стреми кон ништо... Цел дел е посветен на оваа тема во текот на математичката анализа - теорија на граници.И малку поконкретно - концептот граница на низата на броеви.Многу интересна тема! Има смисла да се оди на колеџ и да се разбере.)
Некои примери од овој дел (секвенци кои имаат ограничување) и особено, бескрајно намалена геометриска прогресијаТие почнуваат да се навикнуваат на тоа на училиште. Се навикнуваме на тоа.)
Покрај тоа, способноста добро да го проучувате однесувањето на секвенците ќе ви користи многу во иднина и ќе биде многу корисна во функционално истражување.Најразновидни. Но, способноста за компетентна работа со функции (пресметување деривати, проучување на нив во целост, градење на нивните графикони) веќе драматично го зголемува вашето математичко ниво! Дали имате сомнежи? Нема потреба. Запомнете ги и моите зборови.)
Да ја погледнеме геометриската прогресија во животот?
Во животот околу нас, многу, многу често се среќаваме со геометриска прогресија. Дури и без да се знае.)
На пример, различни микроорганизми кои не опкружуваат насекаде во огромни количини и кои не можеме да ги видиме ни без микроскоп, прецизно се размножуваат во геометриска прогресија.
Да речеме дека една бактерија се размножува со делење на половина, давајќи потомство на 2 бактерии. За возврат, секој од нив, кога се размножува, исто така се дели на половина, давајќи заедничко потомство од 4 бактерии. Следната генерација ќе произведе 8 бактерии, потоа 16 бактерии, 32, 64 и така натаму. Со секоја следна генерација, бројот на бактерии се удвојува. Типичен пример за геометриска прогресија.)
Исто така, некои инсекти - вошки и муви - се размножуваат експоненцијално. Патем, понекогаш и зајаци.)
Друг пример за геометриска прогресија, поблиску до секојдневниот живот, е т.н сложена камата.Овој интересен феномен често се среќава во банкарските депозити и се нарекува капитализација на каматата.Што е тоа?
Вие самите, се разбира, сè уште сте млади. Учиш на училиште, не одиш во банки. Но, твоите родители се веќе возрасни и независни луѓе. Тие одат на работа, заработуваат за дневниот леб, а дел од парите ги ставаат во банка, заштедувајќи.)
Да речеме дека татко ти сака да заштеди одредена сума пари за семеен одмор во Турција и става 50.000 рубли во банка со 10% годишно за период од три години со годишна каматна капитализација.Покрај тоа, во текот на целиот овој период ништо не може да се направи со депозитот. Не можете ниту да го надополнувате депозитот ниту да повлечете пари од сметката. Колку ќе профитира по овие три години?
Па, пред сè, треба да откриеме што е 10% годишно. Тоа значи дека за една годинаБанката ќе додаде 10% на почетниот износ на депозит. Од што? Се разбира, од почетниот износ на депозит.
Ја пресметуваме големината на сметката по една година. Ако почетниот износ на депозит беше 50.000 рубли (т.е. 100%), тогаш по една година ќе има колку камата на сметката? Така е, 110%! Од 50.000 рубли.
Значи, ние пресметуваме 110% од 50.000 рубли:
50000·1,1 = 55000 рубли.
Се надевам дека разбирате дека наоѓањето 110% од вредноста значи множење на таа вредност со бројот 1.1? Ако не разбирате зошто е тоа така, сетете се на петто и шесто одделение. Имено – врска помеѓу процентите и дропките и деловите.)
Така, зголемувањето за првата година ќе биде 5.000 рубли.
Колку пари ќе има на сметка за две години? 60.000 рубли? За жал (или подобро, за среќа), сè не е толку едноставно. Целиот трик за капитализација на каматата е во тоа што со секоја нова пресметковна камата, истите тие камати веќе ќе се разгледуваат од новата сума!Од оној кој веќее на сметката Во моментот.А акумулираната камата за претходниот период се додава на оригиналниот износ на депозит и, на тој начин, самата учествува во пресметката на новата камата! Тоа е, тие стануваат целосен дел од целокупната сметка. Или општо капитал.Оттука и името - капитализација на каматата.
Тоа е во економијата. И во математиката такви проценти се нарекуваат сложена камата.Или процент на камата.) Нивната финта е што при пресметување последователно, секој пат се пресметуваат процентите од новата вредност.И не од оригиналот...
Затоа, за да се пресмета износот преку две години, треба да пресметаме 110% од сумата што ќе биде на сметката за една година.Тоа е, веќе од 55.000 рубли.
Ние броиме 110% од 55.000 рубли:
55000·1,1 = 60500 рубли.
Ова значи дека процентот на зголемување за втората година ќе биде 5.500 рубли, а за две години – 10.500 рубли.
Сега веќе можете да погодите дека по три години износот на сметката ќе биде 110% од 60.500 рубли. Тоа е повторно 110% од претходната (минатата година)износи.
Тука мислиме:
60500·1,1 = 66550 рубли.
Сега ги распоредуваме нашите парични износи по година по редослед:
50000;
55000 = 50000 1,1;
60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Па како е тоа? Зошто не геометриска прогресија? Прв член б 1 = 50000 , и именителот q = 1,1 . Секој термин е строго 1,1 пати поголем од претходниот. Сè е во строга согласност со дефиницијата.)
И колку дополнителни каматни бонуси ќе „собере“ вашиот татко додека неговите 50.000 рубли лежат на неговата банкарска сметка веќе три години?
Ние броиме:
66550 - 50000 = 16550 рубли
Не многу, се разбира. Но, ова е ако почетниот износ на депозит е мал. Што ако има повеќе? Да речеме, не 50, туку 200 илјади рубли? Тогаш зголемувањето во текот на три години ќе биде 66.200 рубли (ако ја направите математиката). Што е веќе многу добро.) Што ако придонесот е уште поголем? Тоа е тоа...
Заклучок: колку е поголем почетниот депозит, толку попрофитабилна станува каматната капитализација. Затоа депозитите со каматна капитализација банките ги обезбедуваат на долги периоди. Да речеме за пет години.
Исто така, сите видови лоши болести како грип, сипаници и уште пострашни болести (истиот САРС во раните 2000-ти или чумата во средниот век) сакаат да се шират експоненцијално. Оттука и размерите на епидемиите, да...) И сето тоа поради фактот што геометриската прогресија со цел позитивен именител (q>1) – нешто што расте многу брзо! Запомнете го размножувањето на бактериите: од една бактерија се добиваат две, од две - четири, од четири - осум и така натаму... Исто е и со ширењето на секоја инфекција.)
Наједноставните проблеми за геометриска прогресија.
Да почнеме, како и секогаш, со едноставен проблем. Чисто да се разбере значењето.
1. Познато е дека вториот член на геометриската прогресија е 6, а именителот е -0,5. Најдете ги првиот, третиот и четвртиот член.
Значи ние сме дадени бескрајнагеометриска прогресија, но позната втор мандатоваа прогресија:
b 2 = 6
Покрај тоа, ние исто така знаеме именител на прогресија:
q = -0,5
И треба да најдете прво, третоИ четвртичленови на оваа прогресија.
Значи ние дејствуваме. Низата ја запишуваме според условите на проблемот. Директно во општа форма, каде што вториот член е шест:
б 1, 6,б 3 , б 4 , …
Сега да почнеме да бараме. Почнуваме, како и секогаш, со наједноставното. Можете да го пресметате, на пример, третиот член б 3? Може! Јас и ти веќе знаеме (директно во смисла на геометриска прогресија) дека третиот член (б 3)повеќе од вториот (б 2 ) В "q"еднаш!
Така пишуваме:
b 3 =б 2 · q
Заменуваме шест во овој израз наместо б 2и -0,5 наместо тоа qи броиме. А не го игнорираме ниту минусот, се разбира...
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Како ова. Третиот мандат се покажа негативен. Не е ни чудо: нашиот именител q– негативно. И множењето на плус со минус, се разбира, ќе биде минус.)
Сега го броиме следниот, четврти мандат од прогресијата:
b 4 =б 3 · q
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Четвртиот мандат е повторно со плус. Петтиот термин повторно ќе биде минус, шестиот ќе биде плус итн. Знаците се наизменично!
Така, се најде третиот и четвртиот термин. Резултатот е следнава низа:
b 1 ; 6; -3; 1,5; ...
Сега останува само да се најде првиот термин б 1според добро познатиот втор. За да го направите ова, чекориме во друга насока, лево. Тоа значи дека во овој случај не треба да го множиме вториот член од прогресијата со именителот, туку подели.
Се делиме и добиваме:
Тоа е сè.) Одговорот на проблемот ќе биде вака:
-12; 6; -3; 1,5; …
Како што можете да видите, принципот на решение е ист како во. Знаеме било којчлен и именителгеометриска прогресија - можеме да најдеме кој било друг нејзин член. Ќе го најдеме оној што го сакаме.) Единствената разлика е во тоа што собирањето/одземањето се заменува со множење/делење.
Запомнете: ако знаеме барем еден член и именител на геометриска прогресија, тогаш секогаш можеме да најдеме кој било друг член на оваа прогресија.
Следниот проблем, според традицијата, е од вистинска верзија на OGE:
2.
...; 150; X; 6; 1.2; ...
Па како е тоа? Овој пат нема прв термин, нема именител q, дадена е само низа од броеви... Нешто веќе познато, нели? Да! Сличен проблем веќе е решен во аритметичката прогресија!
Така да не се плашиме. Се исто. Да се свртиме на главите и да се потсетиме на елементарното значење на геометриската прогресија. Внимателно ја разгледуваме нашата низа и откриваме кои параметри на геометриската прогресија на трите главни (прв член, именител, број на член) се скриени во неа.
Број на членови? Нема членски броеви, да... Ама има четири последователниброеви. Не гледам никаква смисла да објаснам што значи овој збор во оваа фаза.) Дали има два соседните познати броеви?Јадете! Тоа се 6 и 1.2. Така можеме да најдеме именител на прогресија.Значи, го земаме бројот 1.2 и делиме на претходниот број.До шест.
Добиваме:
Добиваме:
x= 150·0,2 = 30
Одговор: x = 30 .
Како што можете да видите, сè е прилично едноставно. Главната тешкотија е само во пресметките. Тоа е особено тешко во случај на негативни и фракциони именители. Па оние што имаат проблеми, повторете ја аритметиката! Како да се работи со дропки, како да се работи со негативни броеви и слично... Во спротивно, тука безмилосно ќе успорите.
Сега ајде малку да го измениме проблемот. Сега ќе стане интересно! Да го отстраниме последниот број 1.2 од него. Сега да го решиме овој проблем:
3. Запишани се неколку последователни членови на геометриската прогресија:
...; 150; X; 6; ...
Најдете го членот на прогресијата означена со буквата x.
Сè е исто, само две соседни познатиСега немаме членови на прогресијата. Ова е главниот проблем. Бидејќи големината qпреку два соседни поими лесно можеме да одредиме не можеме.Дали имаме шанса да се справиме со задачата? Секако!
Ајде да го запишеме непознатиот термин " x„директно во смисла на геометриска прогресија! Во општа смисла.
Да Да! Право со непознат именител!
Од една страна, за X можеме да го напишеме следниов сооднос:
x= 150 ·q
Од друга страна, ние го имаме целосното право да го опишеме истиот X преку следночлен, преку шесте! Поделете шест со именителот.
Како ова:
x = 6/ q
Очигледно, сега можеме да ги изедначиме двата од овие соодноси. Бидејќи се изразуваме истомагнитуда (x), но два различни начини.
Ја добиваме равенката:
Умножувајќи се со q, со поедноставување и скратување, ја добиваме равенката:
q2 = 1/25
Решаваме и добиваме:
q = ±1/5 = ±0,2
Упс! Именителот испадна двоен! +0,2 и -0,2. И кој да го изберете? Ќорсокак?
Мирно! Да, проблемот навистина има две решенија!Ништо лошо во тоа. Тоа се случува.) Не сте изненадени кога, на пример, ќе добиете два корени кога ќе го решите вообичаениот проблем? Истата приказна е овде.)
За q = +0,2ќе добиеме:
X = 150 0,2 = 30
И за q = -0,2 ќе:
X = 150·(-0,2) = -30
Добиваме двоен одговор: x = 30; x = -30.
Што значи овој интересен факт? И она што постои две прогресии, задоволувајќи ги условите на проблемот!
Како овие:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
И двете се соодветни.) Зошто мислите дека имавме поделени одговори? Само поради елиминација на конкретен член на прогресијата (1,2), која доаѓа по шест. И знаејќи ги само претходните (n-1) и следните (n+1) членови на геометриската прогресија, веќе не можеме да кажеме ништо недвосмислено за n-тиот член што стои меѓу нив. Постојат две опции - со плус и со минус.
Но, нема проблем. Како по правило, во задачите за геометриска прогресија има дополнителни информации што даваат недвосмислен одговор. Да ги кажеме зборовите: „наизменична прогресија“или „прогресија со позитивен именител“и така натаму... Токму овие зборови треба да послужат како поим за тоа кој знак, плус или минус, треба да се избере при подготовката на конечниот одговор. Ако нема такви информации, тогаш да, задачата ќе има две решенија.)
Сега сами одлучуваме.
4. Определи дали бројот 20 е член на геометриска прогресија:
4 ; 6; 9; …
5. Даден е знакот на наизменична геометриска прогресија:
…; 5; x ; 45; …
Најдете го терминот на прогресијата означена со буквата x .
6. Најдете го четвртиот позитивен член на геометриската прогресија:
625; -250; 100; …
7. Вториот член на геометриската прогресија е еднаков на -360, а неговиот петти член е еднаков на 23,04. Најдете го првиот член од оваа прогресија.
Одговори (во неред): -15; 900; Не; 2.56.
Честитки ако сè успеа!
Нешто не одговара? Некаде имаше двоен одговор? Внимателно прочитајте ги условите на задачата!
Последниот проблем не успева? Таму нема ништо комплицирано.) Работиме директно според значењето на геометриската прогресија. Па, можете да нацртате слика. Помага.)
Како што можете да видите, сè е елементарно. Ако прогресијата е кратка. Што ако е долго? Или бројот на потребниот член е многу голем? Би сакал, по аналогија со аритметичката прогресија, некако да добијам погодна формула што го олеснува пронаоѓањето било којрок на која било геометриска прогресија по неговиот број.Без множење многу, многу пати со q. И има таква формула!) Деталите се во следната лекција.