10 неравенки со решенија. Метод на интервал: решавање на наједноставните строги неравенки

Секоја неравенка која вклучува функција под коренот се нарекува ирационален. Постојат два вида на такви нееднаквости:

Во првиот случај, коренот помала функција g (x), во втората - повеќе. Ако g(x) - константна, нееднаквоста е многу поедноставена. Ве молиме запомнете: однадвор овие нееднаквости се многу слични, но нивните шеми за решение се фундаментално различни.

Денес ќе научиме како да ги решиме ирационалните нееднаквости од првиот тип - тие се наједноставни и најразбирливи. Знакот за нееднаквост може да биде строг или нестрог. Следната изјава е точна за нив:

Теорема. Секакви работи ирационална нееднаквостљубезен

Еквивалентно на системот на неравенки:

Не е слаб? Ајде да погледнеме од каде доаѓа овој систем:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - сè е јасно овде. Ова е оригиналната нееднаквост на квадрат;
2. f(x) ≥ 0 е ОДЗ на коренот. Да те потсетам: аритметика Квадратен коренпостои само од не-негативниброеви;
3. g(x) ≥ 0 е опсегот на коренот. Со квадратирање на нееднаквоста, ги согоруваме негативните. Како резултат на тоа, може да има дополнителни корени. Неравенката g(x) ≥ 0 ги отсекува.

Многу ученици „се закачуваат“ на првата неравенка на системот: f (x) ≤ g 2 (x) - и целосно ги забораваат другите две. Резултатот е предвидлив: погрешна одлука, изгубени поени.

Бидејќи ирационалните нееднаквости се доволни сложена тема, ајде да погледнеме 4 примери одеднаш. Од основно до навистина сложено. Сите проблеми се преземени од приемните испитиМосковскиот државен универзитет именуван по M. V. Ломоносов.

Примери за решавање проблеми

Задача. Решете ја неравенството:

Пред нас е класика ирационална нееднаквост: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - константа. Ние имаме:

Од трите неравенки, само две останаа на крајот од решението. Бидејќи неравенката 2 ≥ 0 секогаш важи. Да ги преминеме преостанатите неравенки:

Значи, x ∈ [−1,5; 0,5]. Сите точки се засенчени бидејќи нееднаквостите не се строги.

Задача. Решете ја неравенството:

Ја применуваме теоремата:

Да ја решиме првата неравенка. За да го направите ова, ќе го откриеме квадратот на разликата. Ние имаме:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Сега да ја решиме втората неравенка. Таму исто така квадратен трином:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪

Каде може да биде $b$ во улогата? редовен број, а можеби и нешто потешко. Примери? Да молам:

\[\ почеток (порамни) & ((2) ^ (x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\четири ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\крај (порамни)\]

Мислам дека значењето е јасно: постои експоненцијална функција $((a)^(x))$, се споредува со нешто, а потоа се бара да се најде $x$. Во особено клинички случаи, наместо променливата $x$, тие можат да стават некоја функција $f\left(x \десно)$ и со тоа малку да ја комплицираат нееднаквоста. :)

Се разбира, во некои случаи нееднаквоста може да изгледа потешка. На пример:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Или дури и ова:

Општо земено, сложеноста на таквите неравенки може да биде многу различна, но на крајот тие сепак се сведуваат на едноставната конструкција $((a)^(x)) \gt b$. И ние некако ќе сфатиме таква конструкција (во особено клинички случаи, кога ништо не ми паѓа на памет, логаритмите ќе ни помогнат). Затоа, сега ќе ве научиме како да решавате такви едноставни конструкции.

Решавање едноставни експоненцијални неравенки

Да разгледаме нешто многу едноставно. На пример, ова:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Очигледно, бројот од десната страна може да се препише како моќ од два: $4=((2)^(2))$. Така, оригиналната нееднаквост може да се препише во многу погодна форма:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

И сега рацете ми се чешаат да ги „пречкртам“ двајцата во основите на моќта за да го добијам одговорот $x \gt 2$. Но, пред да прецртаме нешто, да се потсетиме на моќта на две:

\[((2)^(1))=2;\четири ((2)^(2))=4;\четири ((2)^(3))=8;\четири ((2)^( 4))=16;...\]

Како што гледаме, отколку поголем броје во експонентот, толку е поголем излезниот број. "Благодарам, капа!" - ќе извика еден од учениците. Дали е поинаку? За жал, тоа се случува. На пример:

\[((\left(\frac(1)(2) \десно))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ десно)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ лево (\ frac (1) (2) \ десно)) ^ (3)) =\ frac (1) (8 );...\]

И овде се е логично: што повеќе степен, толку повеќе пати бројот 0,5 се множи со себе (т.е. поделен на половина). Така, добиената низа на броеви се намалува, а разликата помеѓу првата и втората секвенца е само во основата:

• Ако основата на степенот $ a \ gt 1 $, тогаш како што се зголемува експонентот $ n $, ќе се зголеми и бројот $ ((а)^(n)) $;
• И обратно, ако 0 $ \ lt a \ lt 1 $, тогаш како што се зголемува експонентот $ n $, бројот $ ((а)^(n)) $ ќе се намали.

Сумирајќи ги овие факти, ја добиваме најважната изјава за која се заснова целата одлука експоненцијални неравенки:

Ако $a \gt 1$, тогаш неравенката $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогаш неравенката $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $x \lt n$.

Со други зборови, ако основата повеќе од еден, можете едноставно да го отстраните - знакот за нееднаквост нема да се промени. И ако основата е помала од една, тогаш таа исто така може да се отстрани, но во исто време ќе треба да го промените знакот за нееднаквост.

Ве молиме имајте предвид дека не ги разгледавме опциите $a=1$ и $a\le 0$. Затоа што во овие случаи се јавува неизвесност. Да речеме како да се реши неравенка од формата $((1)^(x)) \gt 3$? Еден на која било моќ повторно ќе даде еден - никогаш нема да добиеме три или повеќе. Оние. нема решенија.

СО негативни причиниуште поинтересно. На пример, земете ја оваа нееднаквост:

\[((\лево(-2 \десно))^(x)) \gt 4\]

На прв поглед, сè е едноставно:

нели? Но не! Доволно е да се замени наместо $x$ неколку парни и пар Непарни броевиза да се уверите дека решението е неточно. Погледни:

\[\почеток(порамни) & x=4\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(7))=-128 \lt 4. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, знаците се наизменично. Но, има повеќе дробни моќии други калај. Како, на пример, би наредиле да се пресмета $((\left(-2 \десно))^(\sqrt(7)))$ (минус два до моќта од седум)? Нема шанси!

Затоа, за дефинитивно, претпоставуваме дека во сите експоненцијални неравенки (и равенки, патем, исто така) $1\ne a \gt 0$. И тогаш сè е решено многу едноставно:

" \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \десно). \\\крај (порамни) \десно.\]

Во принцип, запомнете го главното правило уште еднаш: ако основата во експоненцијалната равенка е поголема од една, можете едноставно да ја отстраните; а ако основата е помала од една, може и таа да се отстрани, но знакот на нееднаквост ќе се промени.

Примери на решенија

Значи, да погледнеме неколку едноставни експоненцијални неравенки:

\[\begin(порамни) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\крај (порамни)\]

Примарната задача во сите случаи е иста: да се намалат неравенките до наједноставната форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Токму тоа сега ќе го правиме со секоја неравенка, а во исто време ќе ги повториме својствата на степените и експоненцијалните функции. Значи, ајде да одиме!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Што можете да направите овде? Па, лево веќе го имаме експоненцијален израз- Нема потреба ништо да се менува. Но, од десната страна има некаква глупост: дропка, па дури и корен во именителот!

Сепак, да се потсетиме на правилата за работа со дропки и сили:

\[\begin(порамни) & \frac(1)((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\крај (порамни)\]

Што значи тоа? Прво, лесно можеме да се ослободиме од фракцијата со тоа што ќе ја претвориме во моќност со негативен индикатор. И второ, бидејќи именителот има корен, би било убаво да се претвори во моќност - овој пат со дробен експонент.

Ајде да ги примениме овие дејства последователно на десната страна на нееднаквоста и да видиме што се случува:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \десно))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \десно))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \лево(-1 \десно)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не заборавајте дека при подигање на диплома до моќност, се зголемуваат експонентите на овие степени. И воопшто, кога работите со експоненцијални равенки и неравенки, апсолутно е неопходно да се знаат барем наједноставните правила за работа со моќи:

\ [\ Почеток (усогласување) & ((а)^(x)) \ cdot ((а)^(y)) = ((а)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\ лево (((а)^(x)) \ десно))^(y)) = ((а)^(x \ cdot y)). \\\крај (порамни)\]

Всушност, последното правилоние само го применивме. Затоа, нашата оригинална нееднаквост ќе биде препишана на следниот начин:

\ [((2)^(x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ десно ((2)^(x-1)) \ le ((2)^(-\ фрак (1) (3)))\]

Сега се ослободуваме од двете во основата. Од 2> 1, знакот за нееднаквост ќе остане ист:

\ [\ Почеток (усогласување) & x-1 \ le-\ frac (1) (3) \ десно од x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \десно]. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Главната тешкотија воопшто не е во експоненцијалната функција, туку во компетентната трансформација на оригиналниот израз: треба внимателно и брзо да го доведете до наједноставната форма.

Размислете за втората неравенка:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Така-така. Децималните дропки не чекаат овде. Како што реков многу пати, во секој израз со моќ треба да се ослободите од децимали - ова е често единствениот начин да видите брзо и едноставно решение. Тука ќе се ослободиме од:

\[\ почеток (порамни) & 0,1=\frac(1) (10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\лево(\frac(1)(10) \ десно))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\десно стрелка ((\лево(\frac(1)(10) \десно))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \десно))^(2)). \\\ крај (усогласување) \]

Тука повторно имаме наједноставна неравенка, па дури и со основа 1/10, т.е. помалку од еден. Па, ги отстрануваме основите, истовремено менувајќи го знакот од „помалку“ во „повеќе“, и добиваме:

\[\почеток(порамни) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\крај (порамни)\]

Го добивме конечниот одговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Ве молиме запомнете: одговорот е точно множество, и во никој случај конструкција од формата $x \lt -1$. Бидејќи формално, таквата конструкција воопшто не е множество, туку нееднаквост во однос на променливата $x$. Да, многу е едноставно, но не е одговорот!

Важна забелешка. Оваа нееднаквост би можела да се реши на друг начин - со намалување на двете страни на моќност со основа поголема од една. Погледни:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\десно стрелка ((\лево(((10)^(-1)) \десно))^(1-x)) \ lt ((\лево(((10)^(-1)) \десно))^(2))\Десна стрелка ((10)^(-1\cdot \лево(1-x \десно)) \lt ((10)^(-1\cточка 2))\]

По таквата трансформација, повторно ќе добиеме експоненцијална неравенка, но со основа 10 > 1. Тоа значи дека можеме едноставно да ја пречкртаме десетката - знакот за неравенство нема да се промени. Добиваме:

\[\почеток(порамни) & -1\cdot \left(1-x \десно) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, одговорот беше сосема ист. Во исто време, се спасивме од потребата да го смениме знакот и генерално да запомниме какви било правила. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Сепак, не дозволувајте ова да ве плаши. Без разлика што има во индикаторите, самата технологија за решавање на нееднаквоста останува иста. Затоа, прво да забележиме дека 16 = 2 4. Ајде да ја преработиме првобитната нееднаквост земајќи го предвид овој факт:

\[\ begin(порамни) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Ура! Го добивме вообичаеното квадратна нееднаквост! Знакот не се промени никаде, бидејќи основата е два - број поголем од еден.

Нули на функција на бројната права

Ги распоредуваме знаците на функцијата $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очигледно, неговиот график ќе биде парабола со гранки нагоре, па ќе има „плусови “ на страните. Ние сме заинтересирани за регионот каде што функцијата е помала од нула, т.е. $x\in \left(2;5 \десно)$ е одговорот на оригиналниот проблем.

Конечно, разгледајте уште една нееднаквост:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Повторно гледаме експоненцијална функција со децимална дропка во основата. Ајде да ја претвориме оваа дропка во заедничка дропка:

\[\ почеток (порамни) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Десна стрелка \\ & \Десна стрелка ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=((\лево(((5)^(-1)) \десно))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \десно)))\крај (порамни)\]

ВО во овој случајЈа искористивме претходната забелешка - ја намаливме основата на бројот 5 > 1 за да го поедноставиме нашето понатамошно решение. Ајде да го сториме истото со десната страна:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \десно))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ десно))^(2))=((5)^(-1\cточка 2))=((5)^(-2))\]

Дозволете ни да ја преработиме првобитната нееднаквост земајќи ги предвид двете трансформации:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\десно стрелка ((5)^(-1\cdot \лево(1+ ((x)^(2)) \десно)))\ge ((5)^(-2))\]

Основите на двете страни се исти и надминуваат една. Нема други термини десно и лево, па едноставно ги „пречкртаме“ петките и добиваме многу едноставен израз:

\[\begin(порамни) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \десно)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\крај (порамни)\]

Ова е местото каде што треба да бидете повнимателни. Многу студенти сакаат едноставно да го земат квадратниот корен од двете страни на неравенката и да напишат нешто како $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Во никој случај не треба да се прави тоа , бидејќи коренот на точниот квадрат е модул, и во никој случај оригинална променлива:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\лево| x\десно|\]

Сепак, работата со модули не е најпријатното искуство, нели? Значи, нема да работиме. Наместо тоа, ние едноставно ги преместуваме сите поими налево и ја решаваме вообичаената нееднаквост користејќи го методот на интервал:

$\begin(порамни) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \лево(x-1 \десно)\лево(x+1 \десно)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\четири ((x)_(2)) =-1; \\\крај (порамни)$

Повторно ги означуваме добиените точки на бројната линија и ги гледаме знаците:

Ве молиме имајте предвид: точките се засенчени

Бидејќи решивме да не строга нееднаквост, сите точки на графиконот се засенчени. Затоа, одговорот ќе биде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, туку сегмент.

Во принцип, би сакал да напоменам дека нема ништо комплицирано за експоненцијалните нееднаквости. Значењето на сите трансформации што ги извршивме денес се сведува на едноставен алгоритам:

• Пронајдете ја основата на која ќе ги намалиме сите степени;
• Внимателно извршете ги трансформациите за да добиете нееднаквост на формата $ ((а)^(x)) \ gt ((а)^(n)) $. Се разбира, наместо променливите $ x $ и $ n $ може да има многу повеќе сложени функции, но значењето нема да се промени;
• Пречкртајте ги основите на степените. Во овој случај, знакот за нееднаквост може да се промени ако основата $ \ lt 1 $.

Всушност, ова е универзален алгоритам за решавање на сите такви нееднаквости. А се друго што ќе ви кажат на оваа тема се само конкретни техники и трикови кои ќе ја поедностават и забрзаат трансформацијата. Сега ќе зборуваме за една од овие техники. :)

Метод на рационализација

Да разгледаме уште еден сет на нееднаквости:

\[\begin(порамни) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\лево(\frac(1)(9) \ десно)))^(16-x)); \\ & ((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\крај (порамни)\]

Значи, што е толку посебно за нив? Тие се лесни. Иако, застанете! Дали бројот π е подигнат на некоја моќ? Какви глупости?

Како да се подигне бројот $2\sqrt(3)-3$ на моќност? Или 3-2 $ \ sqrt (2) $? Проблематичните писатели очигледно испиле премногу глог пред да седнат на работа. :)

Всушност, нема ништо страшно во овие задачи. Дозволете ми да ве потсетам: експоненцијална функција е израз на формата $((a)^(x))$, каде што основата $a$ е која било позитивен број, со исклучок на еден. Бројот π е позитивен - тоа веќе го знаеме. Броевите $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ се исто така позитивни - ова е лесно да се види дали ги споредувате со нула.

Излегува дека сите овие „застрашувачки“ нееднаквости се решени не се разликуваат од едноставните дискутирани погоре? И дали се решаваат на ист начин? Да, тоа е апсолутно точно. Сепак, користејќи го нивниот пример, би сакал да разгледам една техника која во голема мера заштедува време самостојна работаи испити. Ќе зборуваме за методот на рационализација. Значи, внимание:

Секоја експоненцијална неравенка од формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ десно) \ gt 0 $.

Тоа е целиот метод. :) Дали мислевте дека ќе има некоја друга игра? Ништо вакво! Но, овој едноставен факт, напишан буквално во еден ред, во голема мера ќе ја поедностави нашата работа. Погледни:

\[\begin(матрица) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2)-3x+2)) \\ \Надолу \\ \лево(x+7-\лево(((x)^(2)) -3x+2 \десно) \десно)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \десно) \gt 0 \\\end (матрица)\]

Значи, нема повеќе експоненцијални функции! И не треба да се сеќавате дали знакот се менува или не. Но, се појавува нов проблем: што да правам со ебаниот мултипликатор \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \десно)\]? Не знаеме за што се работи точна вредностброеви π. Сепак, капитенот се чини дека го навестува очигледното:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приближно 3,14... \gt 3\Десна стрелка \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Општо земено, точната вредност на π не нè засега - само ни е важно да разбереме дека во секој случај $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. ова е позитивна константа и можеме да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со неа:

\[\почеток(порамни) & \лево(x+7-\лево(((x)^(2))-3x+2 \десно) \десно)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \десно) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \десно) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \лево(x-5 \десно)\лево(x+1 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, во одреден момент моравме да се поделиме со минус еден - и знакот на нееднаквост се промени. На крајот, го проширив квадратниот трином користејќи ја теоремата на Виета - очигледно е дека корените се еднакви на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=-1$ . Тогаш се е решено класичен методинтервали:

Решавање на неравенство со методот на интервал

Сите точки се отстранети бидејќи првобитната нееднаквост е строга. Ние сме заинтересирани за регионот со негативни вредности, па одговорот е $x\in \left(-1;5 \десно)$. Тоа е решението. :)

Ајде да продолжиме на следната задача:

\[((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Сè овде е генерално едноставно, бидејќи има единица десно. И се сеќаваме дека еден е кој било број подигнат на нулта моќност. Дури и ако оваа бројка е ирационално изразување, стои во основата лево:

\[\ почеток (порамни) & ((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\лево(2 \sqrt(3)-3 \десно))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \десно))^(0)); \\\крај (порамни)\]

Па, ајде да рационализираме:

\[\почеток(порамни) & \лево(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \десно) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\ ]

Останува само да се откријат знаците. Факторот $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не ја содржи променливата $x$ - тоа е само константа и треба да го дознаеме нејзиниот знак. За да го направите ова, забележете го следново:

\[\begin(матрица) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Надолу \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 2\cdot \left(2 -2 \десно)=0 \\\крај (матрица)\]

Излегува дека вториот фактор не е само константа, туку негативна константа! И кога се дели со него, знакот на првобитната нееднаквост се менува на спротивното:

\[\почеток(порамни) & \лево(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\лево(x-2 \десно) \gt 0. \\\крај (порамни)\]

Сега сè станува сосема очигледно. Корени квадратен трином, стои десно: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Ги означуваме на нумеричката линија и ги гледаме знаците на функцијата $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Случајот кога сме заинтересирани за странични интервали

Заинтересирани сме за интервалите означени со знакот плус. Останува само да се запише одговорот:

Ајде да продолжиме на следниот пример:

\[((\left(\frac(1)(3) \десно))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ десно)) ^ (16-x))\]

Па, овде сè е сосема очигледно: основите содржат моќи со ист број. Затоа, ќе напишам сè накратко:

\[\begin(матрица) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Надолу \\ ((\лево(((3)^(-1)) \десно))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\лево(((3)^(-2)) \десно))^(16-x)) \\\крај (матрица)\]

\[\ begin(порамни) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \десно))) \gt ((3)^(-2\cdot \ лево (16-x \десно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \десно) \десно)\cdot \left(3-1 \десно) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \лево(x+8 \десно)\лево(x-4 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, за време на процесот на трансформација моравме да се множиме со негативен број, па знакот на нееднаквост е променет. На самиот крај, повторно ја применив теоремата на Виета за да го факторизирам квадратниот трином. Како резултат на тоа, одговорот ќе биде следниот: $x\in \left(-8;4 \десно)$ - секој може да го потврди ова со цртање бројна линија, означување на точките и броење на знаците. Во меѓувреме, ќе преминеме на последната нееднаквост од нашето „множество“:

\[((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Како што можете да видите, во основата има повторно ирационален број, а десно повторно има еден. Затоа, ја препишуваме нашата експоненцијална нееднаквост на следниов начин:

\[((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\лево(3-2\sqrt(2) \ десно))^(0))\]

Ние применуваме рационализација:

\[\почеток(порамни) & \лево(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \десно) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\ ]

Сепак, сосема е очигледно дека $1-\sqrt(2) \lt 0$, бидејќи $\sqrt(2)\приближно 1,4... \gt 1$. Затоа, вториот фактор е повторно негативна константа, со која може да се поделат двете страни на нееднаквоста:

\[\почеток(матрица) \лево(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \десно) \lt 0 \\ \Надолу \ \\крај (матрица)\]

\[\почеток(порамни) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\лево(x-3 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Премести во друга база

Посебен проблем при решавање на експоненцијални неравенки е потрагата по „точната“ основа. За жал, не секогаш на прв поглед на задачата е очигледно што да се земе како основа, а што да се направи според степенот на оваа основа.

Но, не грижете се: тука нема магија или „тајна“ технологија. Во математиката, секоја вештина што не може да се алгоритмизира може лесно да се развие преку пракса. Но, за ова ќе мора да ги решите проблемите различни нивоатешкотии. На пример, вака:

\[\ begin(порамни) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\лево(0,16 \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(6,25 \десно))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \десно))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ крај (порамни)\]

Тешко? Страшно? Полесно е отколку да удриш кокошка на асфалт! Да пробаме. Првата нееднаквост:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Па, мислам дека сè е јасно овде:

Ја препишуваме првобитната нееднаквост, намалувајќи сè на две основа:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\десна стрелка \лево(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \десно)\cdot \лево(2-1 \десно) \lt 0\]

Да, да, добро слушнавте: само што го применив методот на рационализација опишан погоре. Сега треба внимателно да работиме: успеавме фракциона рационална нееднаквост(ова е нешто што има променлива во именителот), па пред да изедначите нешто на нула, треба да доведете сè на заеднички именители ослободете се од постојаниот фактор.

\[\begin(порамни) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \десно)\cdot \left(2-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \десно)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Сега користиме стандарден методинтервали. Нули на броител: $x=\pm 4$. Именителот оди на нула само кога $x=0$. Вкупно има три точки што треба да се означат на бројната права (сите точки се закачени затоа што знакот за нееднаквост е строг). Добиваме:

Повеќе тежок случај: три корени

Како што може да претпоставите, засенчувањето ги означува оние интервали во кои се појавува изразот лево негативни вредности. Затоа, конечниот одговор ќе вклучува два интервали одеднаш:

Краевите на интервалите не се вклучени во одговорот бидејќи првичната нееднаквост била строга. Не е потребна дополнителна проверка на овој одговор. Во овој поглед, експоненцијалните неравенки се многу поедноставни од логаритамските: без ODZ, без ограничувања итн.

Ајде да продолжиме на следната задача:

\[((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

И тука нема проблеми, бидејќи веќе знаеме дека $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така што целата неравенка може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(((3)^(-1)) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Десна стрелка ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \десно) \десно)\cdot \left(3-1 \десно)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \десно)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \десно) \десно. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\крај (порамни)\]

Ве молиме запомнете: во третата линија решив да не губам време на ситници и веднаш да поделам сè со (-2). Минул влезе во првата заграда (сега има плус насекаде), а два беа намалени со постојан фактор. Токму тоа треба да го правите кога подготвувате вистински прикази на независни и тестови— Нема потреба да се опишува секоја акција и трансформација.

Следно, познатиот метод на интервали стапува во игра. Нули на броител: но нема. Затоа што дискриминаторот ќе биде негативен. За возврат, именителот се ресетира на нула само на $x=0$ - како кај нас последен пат. Па, јасно е дека десно од $x=0$ ќе заземе дропот позитивни вредности, а лево се негативни. Бидејќи сме заинтересирани за негативни вредности, конечниот одговор е: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\лево(0,16 \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(6,25 \десно))^(x))\ge 1\]

Што треба да направите со децималните дропки во експоненцијални неравенки? Така е: ослободете се од нив, претворајќи ги во обични. Тука ќе преведеме:

\[\ begin(порамни) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Десна стрелка ((\лево(0,16 \десно))^(1+2x)) =((\ лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\десна стрелка ((\лево(6,25 \десно))^(x)=((\лево(\ frac(25) (4)\десно))^(x)). \\\крај (порамни)\]

Значи, што добивме во основите на експоненцијалните функции? И добивме два меѓусебно инверзни броеви:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \десно))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ десно))^(x))=((\лево(((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(-1)) \десно))^(x))=(\ лево(\frac(4)(25) \десно))^(-x))\]

Така, оригиналната нееднаквост може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(\frac(4)(25) \десно) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x+\лево(-x \десно)))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0)); \\ & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(x+1))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0) ). \\\крај (порамни)\]

Се разбира, кога се множат силите со иста основа, нивните експоненти се собираат, што се случи во вториот ред. Дополнително, ја претставивме единицата десно, исто така како моќност во основата 4/25. Останува само да се рационализира:

\[((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(x+1))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0)) \Десна стрелка \лево(x+1-0 \десно)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \десно)\ge 0\]

Забележете дека $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вториот фактор е негативна константа и кога се дели со неа, знакот за нееднаквост ќе се промени:

\[\почеток(порамни) & x+1-0\le 0\Десна стрелка x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \десно]. \\\крај (порамни)\]

Конечно, последната неравенка од сегашното „множество“:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \десно))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Во принцип, идејата за решението овде е исто така јасна: сè експоненцијални функции, вклучено во нееднаквоста, мора да се сведе на основата „3“. Но, за ова ќе треба малку да се помешате со корените и моќите:

\[\begin(порамни) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\четири 81=((3)^(4)). \\\крај (порамни)\]

Земајќи ги предвид овие факти, првобитната нееднаквост може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(((3)^(\frac(8)(3))) \десно))^(-x)) \lt ((\лево(((3)) ^(2))\десно))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\крај (порамни)\]

Обрнете внимание на 2-ри и 3-ти линии од пресметките: пред да направите нешто со неравенството, задолжително доведете го до формата за која зборувавме од самиот почеток на лекцијата: $((a)^(x)) \ lt ((а)^(n)) $. Сè додека имате некои левораки фактори, дополнителни константи итн. лево или десно, не може да се изврши рационализација или „преминување“ на основите! Безброј задачи се завршени погрешно поради недоволно разбирање за ова Едноставен факт. Јас самиот постојано го набљудувам овој проблем со моите студенти кога штотуку почнуваме да ги анализираме експоненцијалните и логаритамските неравенки.

Но, да се вратиме на нашата задача. Ајде да се обидеме овој пат да направиме без рационализација. Да се ​​потсетиме: основата на степенот е поголема од една, така што тројките едноставно може да се прецртаат - знакот за нееднаквост нема да се промени. Добиваме:

\[\begin(порамни) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \lt 3. \\\крај (порамни)\]

Тоа е се. Конечен одговор: $x\in \left(-\infty ;3 \десно)$.

Изолирање стабилен израз и замена на променлива

Како заклучок, предлагам да се решат уште четири експоненцијални неравенки, кои се веќе доста тешки за неподготвените студенти. За да се справите со нив, треба да ги запомните правилата за работа со дипломи. Конкретно, издавањето заеднички факторинадвор од загради.

Но, најважно е да научите да разберете што точно може да се извади од заградите. Таквиот израз се нарекува стабилен - може да се означи со нова променлива и на тој начин да се ослободи од експоненцијалната функција. Значи, да ги погледнеме задачите:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\лево(0,5 \десно))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\крај (порамни)\]

Да почнеме од првата линија. Ајде да ја напишеме оваа нееднаквост одделно:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Забележете дека $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така што десната рака страната може да се преработи:

Забележете дека нема други експоненцијални функции освен $((5)^(x+1))$ во неравенката. И генерално, променливата $x$ не се појавува никаде на друго место, па да воведеме нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Ја добиваме следната конструкција:

\[\почеток(порамни) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t\ge 1. \\\крај (порамни)\]

Се враќаме на оригиналната променлива ($t=((5)^(x+1))$), а во исто време запомниме дека 1=5 0 . Ние имаме:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Одговор: $x\in \лево[ -1;+\infty \десно)$. Да преминеме на втората неравенка:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Сè е исто овде. Забележете дека $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Потоа лева странаможе да се препише:

\[\почеток(порамни) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x)) = t \ десно. \\ & t+9t \ GE 90; \\ & 10t \ GE 90; \\ & t\ge 9\Десна стрелка ((3)^(x))\ge 9\Десна стрелка ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Десна стрелка x\во \лево[ 2;+\infty \десно). \\\крај (порамни)\]

Вака приближно треба да подготвите решение за вистински тестови и независна работа.

Па, ајде да пробаме нешто покомплицирано. На пример, тука е нееднаквоста:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Кој е проблемот овде? Како прво, основите на експоненцијалните функции лево се различни: 5 и 25. Сепак, 25 = 5 2, така што првиот член може да се трансформира:

\[\почеток(порамни) & ((25)^(x+1,5))=((\лево(((5)^(2)) \десно))^(x+1,5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cточка 5. \\\крај (порамни )\]

Како што можете да видите, прво донесовме сè иста основа, а потоа забележав дека првиот член лесно може да се сведе на вториот - само треба да го проширите експонентот. Сега можете безбедно да воведете нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и целата нееднаквост ќе се препише на следниов начин:

\[\ почеток (порамни) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\крај (порамни)\]

И повторно, без тешкотии! Конечен одговор: $x\in \left[ 1;+\infty \десно)$. Ајде да преминеме на конечната нееднаквост во денешната лекција:

\[((\лево(0,5 \десно))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Првото нешто на кое треба да обрнете внимание е, се разбира, децималнаво основата на првиот степен. Неопходно е да се ослободите од него, а во исто време да ги доведете сите експоненцијални функции на иста основа - бројот „2“:

\[\ почеток (порамни) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Десна стрелка ((\лево(0,5 \десно))^(-4x- 8))= ((\лево(((2)^(-1)) \десно))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\десна стрелка ((16)^(x+1,5))=((\лево(((2)^(4)) \десно))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\крај (порамни)\]

Одлично, го направивме првиот чекор - сè доведе до истата основа. Сега треба да изберете стабилен израз. Забележете дека $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако воведеме нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогаш оригиналната нееднаквост може да се препише на следниов начин:

\[\ почеток (порамни) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\крај (порамни)\]

Природно, може да се појави прашањето: како откривме дека 256 = 2 8? За жал, тука само треба да ги знаете моќите на два (а во исто време и моќите на три и пет). Па, или подели 256 со 2 (може да се подели, бидејќи 256 е парен број) додека не го добиеме резултатот. Ќе изгледа отприлика вака:

\[\ почеток (порамни) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cточка 2= \\ & =2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2= \\ & =((2)^(8)).\крај (порамни )\]

Истото важи и со три (броевите 9, 27, 81 и 243 се неговите степени), и со седум (броевите 49 и 343 исто така би било убаво да се запаметат). Па, петте имаат и „убави“ степени што треба да ги знаете:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\крај (порамни)\]

Се разбира, ако сакате, сите овие бројки може да се вратат во вашиот ум со едноставно множење последователно еден со друг. Меѓутоа, кога треба да решите неколку експоненцијални неравенки, а секоја наредна е потешка од претходната, тогаш последното нешто на што сакате да размислите е моќта на некои броеви. И во оваа смисла, овие проблеми се посложени од „класичните“ нееднаквости што се решаваат со методот на интервал.

По добивањето првичните информацииза неравенките со променливи, преминуваме на прашањето за нивното решавање. Ќе го анализираме решението на линеарни неравенки со една променлива и сите методи за нивно решавање со алгоритми и примери. Ќе се разгледуваат само линеарни равенки со една променлива.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Што е линеарна нееднаквост?

Прво треба да дефинирате линеарна равенка и да ја сфатите стандарден погледи како ќе се разликува од другите. Од училишниот курс имаме дека нееднаквостите ги немаат фундаментална разлика, затоа се неопходни повеќе дефиниции.

Дефиниција 1

Линеарна неравенка со една променлива x е неравенство од формата a · x + b > 0, кога се користи кој било знак за неравенство наместо >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Дефиниција 2

Неравенки a x< c или a · x >c, при што x е променлива, а a и c се некои броеви, се повикува линеарни неравенки со една променлива.

Бидејќи ништо не е кажано за тоа дали коефициентот може да биде еднаков на 0, тогаш строга неравенка од формата 0 x > c и 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Нивните разлики се:

• нотација форма a · x + b > 0 во првата, и a · x > c – во втората;
• прифатливост на коефициентот a суштество еднакво на нула, a ≠ 0 - во првиот и a = 0 - во вториот.

Се верува дека неравенките a · x + b > 0 и a · x > c се еквивалентни, бидејќи се добиваат со пренесување член од еден дел во друг. Решавањето на неравенката 0 x + 5 > 0 ќе доведе до фактот дека ќе треба да се реши, а случајот a = 0 нема да работи.

Дефиниција 3

Се верува дека линеарните неравенки во една променлива x се неравенки на формата a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0И a x + b ≥ 0, каде што a и b се реални броеви. Наместо x може да има редовен број.

Врз основа на правилото, имаме дека 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 се нарекуваат сведени на линеарни.

Како да се реши линеарната неравенка

Главниот начин за решавање на таквите неравенки е да се користат еквивалентни трансформации за да се најдат елементарните неравенки x< p (≤ , >, ≥) , p кој е одреден број, за a ≠ 0 и од форма a< p (≤ , >, ≥) за a = 0.

За да решите неравенки во една променлива, можете да го користите методот на интервал или да го претставите графички. Било кој од нив може да се користи одделно.

Користење на еквивалентни трансформации

Да се ​​реши линеарна неравенка од формата x + b< 0 (≤ , >, ≥), мора да се примени еквивалентни трансформациинееднаквости. Коефициентот може или не може да биде еднаков на еднаква на нула. Да ги разгледаме двата случаи. За да дознаете, треба да се придржувате до шема која се состои од 3 точки: суштината на процесот, алгоритамот и самото решение.

Дефиниција 4

Алгоритам за решавање на линеарна неравенка a x + b< 0 (≤ , >, ≥) за ≠ 0

• бројот b ќе се помести на десната страна на неравенката c спротивен знак, што ќе ни овозможи да дојдеме до еквивалент a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Двете страни на неравенката ќе се поделат со број кој не е еднаков на 0. Покрај тоа, кога a е позитивен, знакот останува; кога a е негативен, тој се менува во спротивното.

Да ја разгледаме примената на овој алгоритам за решавање на примери.

Пример 1

Решете ја неравенството на формата 3 x + 12 ≤ 0.

Решение

Оваа линеарна неравенка има a = 3 и b = 12. Тоа значи дека коефициентот a од x не е еднаков на нула. Да ги примениме горенаведените алгоритми и да го решиме.

Потребно е да се премести членот 12 на друг дел од неравенката и да се смени знакот пред него. Тогаш добиваме неравенство од формата 3 x ≤ − 12. Потребно е двата дела да се поделат со 3. Знакот нема да се промени бидејќи 3 е позитивен број. Добиваме дека (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, што го дава резултатот x ≤ − 4.

Неравенство од формата x ≤ − 4 е еквивалентна. Односно, решението за 3 x + 12 ≤ 0 е кое било реален број, што е помало или еднакво на 4. Одговорот е запишан како неравенка x ≤ − 4, или нумерички интервалод формата (− ∞ , − 4 ] .

Целиот алгоритам опишан погоре е напишан вака:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ - 12 ; x ≤ − 4 .

Одговор: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

Пример 2

Наведете ги сите расположливи решенија за неравенството − 2, 7 · z > 0.

Решение

Од состојбата гледаме дека коефициентот А за z е еднаков на - 2,7, а Б е експлицитно отсутен или еднаков на нула. Не можете да го користите првиот чекор на алгоритмот, но веднаш да преминете на вториот.

Ние ги делиме двете страни на равенката според бројот - 2, 7. Бидејќи бројот е негативен, неопходно е да се врати знакот за нееднаквост. Односно, добиваме дека (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Ќе го напишеме целиот алгоритам во Кратка форма:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Одговор: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Пример 3

Решете ја неравенката - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Решение

Според условот, гледаме дека е потребно да се реши неравенката со коефициент a за променливата x, која е еднаква на - 5, со коефициент b, што одговара на дропката - 15 22. Потребно е да се реши неравенството следејќи го алгоритмот, односно: преместете - 15 22 во друг дел со спротивен знак, поделете ги двата дела со - 5, променете го знакот на неравенството:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

При последната транзиција за десната страна се користи правилото за делење на бројот со различни знаци 15 22: - 5 = - 15 22: 5, по што вршиме делење заедничка дропкадо природниот број - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22.

Одговор: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .

Да го разгледаме случајот кога a = 0. Линеарен изразод формата a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Сè се заснова на утврдување на решението за нееднаквоста. За која било вредност на x добиваме нумеричка нееднаквост на образецот Б.< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Willе ги разгледаме сите пресуди во форма на алгоритам за решавање на линеарни нееднаквости 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Дефиниција 5

Нумеричка неравенка на формата b< 0 (≤ , >, ≥) е точно, тогаш оригиналната нееднаквост има решение за која било вредност, и неточно е кога оригиналната нееднаквост нема решенија.

Пример 4

Решете ја неравенството 0 x + 7 > 0.

Решение

Оваа линеарна неравенка 0 x + 7 > 0 може да земе која било вредност x. Тогаш добиваме неравенство од формата 7 > 0. Последната неравенка се смета за вистинита, што значи дека секој број може да биде негово решение.

Одговори: интервал (− ∞ , + ∞) .

Пример 5

Најдете решение за неравенката 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Решение

При замена на променливата x од кој било број, добиваме дека неравенката има форма − 12, 7 ≥ 0. Тоа е неточно. Односно, 0 x − 12, 7 ≥ 0 нема решенија.

Одговор:нема решенија.

Ајде да размислиме за решавање на линеарни неравенки каде што двата коефициенти се еднакви на нула.

Пример 6

Одреди ја нерешливата неравенка од 0 x + 0 > 0 и 0 x + 0 ≥ 0.

Решение

При замена на кој било број наместо x, добиваме две неравенки од формата 0 > 0 и 0 ≥ 0. Првиот е неточен. Ова значи дека 0 x + 0 > 0 нема решенија, но 0 x + 0 ≥ 0 има бесконечен бројрешенија, односно кој било број.

Одговори: неравенката 0 x + 0 > 0 нема решенија, но 0 x + 0 ≥ 0 има решенија.

Овој метод се дискутира во училишен курсматематика. Методот на интервал е способен да се реши различни видовинееднаквости, исто така линеарни.

Методот на интервал се користи за линеарни неравенки кога вредноста на коефициентот x не е еднаква на 0. Во спротивно, ќе мора да пресметате со друг метод.

Дефиниција 6

Методот на интервал е:

• воведување на функцијата y = a · x + b;
• пребарување на нули за да се подели доменот на дефиниција на интервали;
• дефинирање на знаци за нивните концепти во интервали.

Ајде да составиме алгоритам за решавање на линеарни равенки a x + b< 0 (≤ , >, ≥) за ≠ 0 со користење на методот на интервал:

• наоѓање на нулите на функцијата y = a · x + b за решавање на равенка од формата a · x + b = 0 . Ако a ≠ 0, тогаш решението ќе биде еден корен, кој ќе ја земе ознаката x 0;
• конструкција на координатна права со слика на точка со координата x 0, со строга неравенка точката се означува со пробиена, со нестрога неравенка – со засенчена;
• одредување на знаците на функцијата y = a · x + b на интервали; за ова е неопходно да се најдат вредностите на функцијата во точките на интервалот;
• решавање на неравенство со знаци > или ≥ на координатната линија, додавајќи засенчување над позитивниот интервал,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Ајде да погледнеме неколку примери за решавање на линеарни неравенки со помош на методот на интервал.

Пример 6

Решете ја нееднаквоста - 3 x + 12> 0.

Решение

Од алгоритмот произлегува дека прво треба да го пронајдете коренот на равенката − 3 x + 12 = 0. Го добиваме тоа - 3 · x = - 12, x = 4. Потребно е да се повлече координатна линија каде што ја означуваме точката 4. Ќе се пробие затоа што нееднаквоста е строга. Размислете за цртежот подолу.

Неопходно е да се одредат знаците во интервали. За да се одреди на интервалот (− ∞, 4), потребно е да се пресмета функцијата y = − 3 x + 12 при x = 3. Од тука добиваме дека − 3 3 + 12 = 3 > 0. Знакот на интервалот е позитивен.

Го одредуваме знакот од интервалот (4, + ∞), потоа ја заменуваме вредноста x = 5. Имаме дека − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Неравенството ја решаваме со знакот >, а засенчувањето се врши преку позитивниот интервал. Размислете за цртежот подолу.

Од цртежот јасно се гледа дека саканото решение има форма (− ∞ , 4) или x< 4 .

Одговори: (− ∞ , 4) или x< 4 .

За да разберете како да прикажете графички, треба да го земете предвид примерот 4 линеарни неравенки: 0,5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 и 0, 5 x − 1 ≥ 0. Нивните решенија ќе бидат вредностите на x< 2 , x ≤ 2 , x >2 и x ≥ 2. За да го направите ова, ајде да нацртаме график линеарна функција y = 0,5 x − 1 дадена подолу.

Јасно е дека

Дефиниција 7

• решавање на неравенството 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• решението 0, 5 x − 1 ≤ 0 се смета за интервал каде функцијата y = 0, 5 x − 1 е пониска од O x или се совпаѓа;
• решението 0, 5 · x − 1 > 0 се смета за интервал, функцијата се наоѓа над O x;
• решението 0, 5 · x − 1 ≥ 0 се смета за интервал каде што графикот над O x или се совпаѓа.

Значење графичко решениенеравенки е да се најдат интервалите, кои мора да бидат прикажани на графикон. Во овој случај, откриваме дека левата страна има y = a · x + b, а десната страна има y = 0 и се совпаѓа со O x.

Дефиниција 8

Графикот на функцијата y = a x + b е нацртан:

• додека се решава неравенството a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• при решавање на неравенството a · x + b ≤ 0, се одредува интервалот каде што графикот е прикажан под оската O x или се совпаѓа;
• при решавање на неравенството a · x + b > 0, се одредува интервалот каде што графикот е прикажан над O x;
• При решавање на неравенството a · x + b ≥ 0, се одредува интервалот каде што графикот е над O x или се совпаѓа.

Пример 7

Решете ја неравенката - 5 · x - 3 > 0 со помош на график.

Решение

Потребно е да се конструира график на линеарната функција - 5 · x - 3 > 0. Оваа линија се намалува бидејќи коефициентот x е негативен. За да ги одредиме координатите на точката на нејзиното пресекување со O x - 5 · x - 3 > 0, ја добиваме вредноста - 3 5. Ајде да го прикажеме графички.

Решавајќи ја неравенството со знакот >, тогаш треба да обрнете внимание на интервалот над O x. Дозволете ни да го истакнеме потребниот дел од авионот во црвено и да го добиеме тоа

Потребната празнина е дел O x црвено. Значи отворено е број зрак- ∞ , - 3 5 ќе биде решение за неравенството. Ако според условот имавме нестрога неравенка, тогаш и вредноста на точката - 3 5 би била решение на неравенството. И тоа би се совпаднало со o x.

Одговори: - ∞ , - 3 5 или x< - 3 5 .

Графички методрешението се користи кога левата страна ќе одговара на функцијата y = 0 x + b, односно y = b. Тогаш правата линија ќе биде паралелна со O x или ќе се совпадне на b = 0. Овие случаи покажуваат дека неравенката може да нема решенија или решението може да биде кој било број.

Пример 8

Определи од неравенките 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Претставувањето на y = 0 x + 7 е y = 7, тогаш ќе биде дадено координатна рамнинасо права линија паралелна на O x и лоцирана над O x. Значи 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Графикот на функцијата y = 0 x + 0 се смета дека е y = 0, односно правата линија се совпаѓа со O x. Ова значи дека неравенката 0 x + 0 ≥ 0 има многу решенија.

Одговори: Втората неравенка има решение за која било вредност на x.

Неравенки кои се сведуваат на линеарни

Решението на неравенките може да се сведе на решение линеарна равенка, кои се нарекуваат неравенки кои се сведуваат на линеарни.

Овие нееднаквости беа земени предвид во училишниот курс, бидејќи тие беа посебен случај на решавање на нееднаквости, што доведе до отворање на заградите и доведување слични термини. На пример, земете дека 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Неравенките дадени погоре секогаш се сведуваат на форма на линеарна равенка. Потоа се отвораат заградите и се даваат слични термини и се пренесуваат од различни делови, менувајќи го знакот на спротивен.

Кога ја намалуваме неравенката 5 − 2 x > 0 на линеарна, ја претставуваме на таков начин што има форма − 2 x + 5 > 0, а за намалување на секундата добиваме дека 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x. Потребно е да се отворат заградите, да се донесат слични поими, да се преместат сите поими на левата страна и да се донесат слични поими. Изгледа вака:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ова го води решението до линеарна нееднаквост.

Овие неравенки се сметаат за линеарни, бидејќи имаат ист принцип на решение, по што е можно да се сведат на елементарни неравенки.

За да се реши овој тип на нееднаквост, потребно е да се намали на линеарна. Тоа треба да се направи на овој начин:

Дефиниција 9

• отворени загради;
• собирајте променливи лево и броеви десно;
• дајте слични термини;
• поделете ги двете страни со коефициентот x.

Пример 9

Решете ја неравенката 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Решение

Ги отвораме заградите, па добиваме неравенство од формата 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Откако ќе ги намалиме сличните членови, имаме дека 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Откако ќе ги преместите членовите од лево надесно, наоѓаме дека 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Оттука, постои неравенство на формата 32 ≤ 0 од онаа добиена со пресметување 0 x + 32 ≤ 0. Се гледа дека неравенството е неточно, што значи дека неравенката дадена по услов нема решенија.

Одговори: нема решенија.

Вреди да се напомене дека постојат многу други видови на неравенки кои можат да се сведат на линеарни или неравенки од типот прикажан погоре. На пример, 5 2 x − 1 ≥ 1 е експоненцијална равенка, што се сведува на линеарно решение 2 x − 1 ≥ 0 . Овие случаи ќе се земат предвид при решавање на неравенки од овој тип.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Презентирани се главните типови на неравенки, вклучувајќи ги неравенките Бернули, Коши - Буњаковски, Минковски, Чебишев. Се разгледуваат својствата на неравенките и дејствата на нив. Дадени се основните методи за решавање на неравенки.

Формули за основни неравенки

Формули за универзални неравенки

Универзалните нееднаквости се задоволени за сите вредности на количините вклучени во нив. Главните типови на универзални неравенки се наведени подолу.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |а 1 | + |а 2 | + ... + |a n |

2) |а| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |а| - |б| |

3)
Еднаквоста се јавува само кога a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Коши-Бунјаковски нееднаквост

Еднаквоста важи ако и само ако α a k = β b k за сите k = 1, 2, ..., n и некои α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Нееднаквоста на Минковски, за P ≥ 1

Формули на задоволувачки нееднаквости

Задоволувачките нееднаквости се задоволуваат кога одредени вредностиколичините вклучени во нив.

1) Нееднаквоста на Бернули:
.
Во повеќе општ поглед:
,
каде , броеви со ист знак и поголеми од -1 : .
Лема на Бернули:
.
Видете „Докази за нееднаквости и лемата на Бернули“.

2)
за i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Нееднаквоста на Чебишев
на 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
На 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Генерализирани нееднаквости на Чебишев
на 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и к природен
.
На 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Својства на неравенки

Својствата на неравенките се збир на правила кои се задоволуваат при нивното трансформирање. Подолу се дадени својствата на неравенките. Разбирливо е дека оригиналните неравенки се задоволени за вредностите на x i (i = 1, 2, 3, 4) кои припаѓаат на некој однапред одреден интервал.

1) Кога се менува редоследот на страните, знакот за нееднаквост се менува во спротивното.
Ако x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ако x 1 ≤ x 2, тогаш x 2 ≥ x 1.
Ако x 1 ≥ x 2, тогаш x 2 ≤ x 1.
Ако x 1 > x 2 тогаш x 2< x 1 .

2) Една еднаквост е еквивалентна на две слаби неравенки различен знак.
Ако x 1 = x 2, тогаш x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2, тогаш x 1 = x 2.

3) Својство на преодност
Ако x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3, тогаш x 1 ≤ x 3.

4) Истиот број може да се додаде (одземе) на двете страни на неравенката.
Ако x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ако x 1 ≤ x 2, тогаш x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ако x 1 ≥ x 2, тогаш x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ако x 1 > x 2, тогаш x 1 + A > x 2 + A.

5) Ако има две или повеќе неравенки со знакот од иста насока, тогаш може да се додадат нивната лева и десна страна.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, тогаш x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Слични изрази важат за знаците ≥, >.
Ако оригиналните неравенки содржат знаци на нестроги неравенки и барем една строга неравенка (но сите знаци имаат иста насока), тогаш собирањето резултира со строга неравенка.

6) Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со позитивен број.
Ако x 1< x 2 и A >0, потоа A x 1< A · x 2 .
Ако x 1 ≤ x 2 и A > 0, тогаш A x 1 ≤ A x 2.
Ако x 1 ≥ x 2 и A > 0, тогаш A x 1 ≥ A x 2.
Ако x 1 > x 2 и A > 0, тогаш A · x 1 > A · x 2.

7) Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со негативен број. Во овој случај, знакот на нееднаквост ќе се промени во спротивното.
Ако x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ако x 1 ≥ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ако x 1 > x 2 и А< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ако има две или повеќе неравенки со позитивни членови, со знакот од иста насока, тогаш нивната лева и десна страна може да се помножат една со друга.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 потоа x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 потоа x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 потоа x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 тогаш x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Слични изрази важат за знаците ≥, >.
Ако оригиналните неравенки содржат знаци на нестроги неравенки и барем една строга неравенка (но сите знаци имаат иста насока), тогаш множењето резултира со строга неравенка.

9) Нека f(x) е монотоно растечка функција. Тоа е, за било кој x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Тогаш оваа функција може да се примени на двете страни на нееднаквоста, што нема да го промени знакот на неравенството.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2 тогаш f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2 тогаш f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 > x 2, тогаш f(x 1) > f(x 2).

10) Нека f(x) е монотоно опаѓачка функција, односно за кој било x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2 тогаш f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2 тогаш f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 > x 2 тогаш f(x 1)< f(x 2) .

Методи за решавање на неравенки

Решавање на неравенки со методот на интервал

Методот на интервал е применлив ако неравенката вклучува една променлива, која ја означуваме како x, и има форма:
f(x) > 0
каде f(x) - континуирана функција, имајќи конечен бројточки на прекин. Знакот за нееднаквост може да биде што било: >, ≥,<, ≤ .

Методот на интервал е како што следува.

1) Најдете го доменот на дефиниција на функцијата f(x) и означете го со интервали на бројната оска.

2) Најдете ги точките на дисконтинуитет на функцијата f(x). На пример, ако ова е дропка, тогаш ги наоѓаме точките во кои именителот станува нула. Овие точки ги означуваме на бројната оска.

3) Реши ја равенката
f(x) = 0 .
Корените на оваа равенка ги означуваме на бројната оска.

4) Како резултат на тоа, бројната оска ќе биде поделена на интервали (сегменти) по точки. Во секој интервал вклучен во доменот на дефиниција, избираме која било точка и во овој момент ја пресметуваме вредноста на функцијата. Ако оваа вредност е поголема од нула, тогаш ставаме знак „+“ над сегментот (интервал). Ако оваа вредност е помала од нула, тогаш ставаме знак „-“ над сегментот (интервал).

5) Ако неравенката има форма: f(x) > 0, тогаш изберете интервали со знакот „+“. Решението за нееднаквоста е да се комбинираат овие интервали, кои не ги вклучуваат нивните граници.
Ако неравенката има форма: f(x) ≥ 0, тогаш на решението додаваме точки во кои f(x) = 0. Односно, некои интервали може да имаат затворени граници (границата му припаѓа на интервалот). друг дел може да има отворени граници(границата не припаѓа на интервалот).
Слично, ако неравенката има форма: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ако неравенството има форма: f(x) ≤ 0, тогаш на решението додаваме точки во кои f(x) = 0.

Решавање на неравенки користејќи ги нивните својства

Овој метод е применлив за нееднаквости од која било сложеност. Се состои во примена на својствата (претставени погоре) за да се доведат нееднаквостите на повеќе едноставен погледи добијте решение. Сосема е можно тоа да резултира со не само една, туку систем на нееднаквости. Ова универзален метод. Тоа се однесува на какви било нееднаквости.

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

На пример, неравенката е изразот \(x>5\).

Видови неравенки:

Ако \(a\) и \(b\) се броеви или , тогаш се повикува неравенството нумерички. Тоа е всушност само споредување на два броја. Ваквите нееднаквости се поделени на веренИ неверен.

На пример:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) е неточна нумеричка неравенка, бидејќи \(17+3=20\), а \(20\) е помало од \(115\) (и не поголемо или еднакво на) .

Ако \(a\) и \(b\) се изрази што содржат променлива, тогаш имаме нееднаквост со променлива. Ваквите нееднаквости се поделени на типови во зависност од содржината:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Променлива само до првата моќност
\(3x^2-x+5>0\)				Има променлива во втората моќност (квадрат), но нема повисоки сили (трета, четврта, итн.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... и така натаму.

Кое е решението за нееднаквоста?

Ако замените број наместо променлива со неравенка, тој ќе се претвори во нумеричка.

Ако дадена вредност за x ја претвори оригиналната неравенка во вистинска нумеричка, тогаш таа се нарекува решение за нееднаквоста. Ако не, тогаш оваа вредност не е решение. И да реши нееднаквост– треба да ги најдете сите негови решенија (или да покажете дека ги нема).

На пример,ако го замениме бројот \(7\) во линеарната неравенка \(x+6>10\), ја добиваме точната бројна неравенка: \(13>10\). И ако го замениме \(2\), ќе има неточна бројна неравенка \(8>10\). Односно, \(7\) е решение за првичната неравенка, но \(2\) не е.

Меѓутоа, неравенката \(x+6>10\) има други решенија. Навистина, ќе ги добиеме точните нумерички неравенки при замена на \(5\), и \(12\), и \(138\)... И како можеме да ги најдеме сите можни решенија? За ова тие користат За нашиот случај имаме:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Односно, секој број поголем од четири е погоден за нас. Сега треба да го запишете одговорот. Решенијата на неравенките обично се пишуваат нумерички, дополнително означувајќи ги на бројната оска со засенчување. За нашиот случај имаме:

Одговор: \(x\in(4;+\infty)\)

Кога се менува знакот на нееднаквост?

Постои една голема замка во нееднаквостите во кои студентите навистина „сакаат“ да паднат:

При множење (или делење) на неравенство со негативен број, тој се менува („повеќе“ со „помалку“, „повеќе или еднакво“ со „помалку или еднакво“ и така натаму)

Зошто се случува ова? За да го разбереме ова, да ги погледнеме трансформациите нумеричка неравенка\(3>1\). Точно е, три се навистина поголеми од едно. Прво, да се обидеме да го помножиме со кој било позитивен број, на пример, два:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Како што можеме да видиме, по множењето неравенството останува точно. И без разлика со кој позитивен број ќе помножиме, секогаш ќе добиваме вистинска нееднаквост. Сега да се обидеме да помножиме со негативен број, на пример, минус три:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Резултатот е неточна неравенка, бидејќи минус девет е помал од минус три! Тоа е, за да може нееднаквоста да стане вистинита (и затоа, трансформацијата на множењето со негативно беше „правна“), треба да го смените знакот за споредба, вака: \(-9<− 3\).
Со делење ќе функционира на ист начин, можете сами да го проверите.

Правилото напишано погоре важи за сите видови неравенки, а не само за нумеричките.

Пример: Решете ја неравенката \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Ајде да се движиме \(8x\) налево, и \(2\) и \(-1\) надесно, не заборавајќи да ги смениме знаците
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Ајде да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со \(-6\), не заборавајќи да се смениме од „помалку“ во „повеќе“
	Да означиме нумерички интервал на оската. Нееднаквост, затоа ја „избодуваме“ самата вредност \(-1\) и не ја земаме како одговор
	Ајде да го напишеме одговорот како интервал

Одговор: \(x\in(-1;\infty)\)

Нееднаквости и попреченост

Неравенките, исто како равенките, можат да имаат ограничувања на , односно на вредностите на x. Соодветно на тоа, оние вредности што се неприфатливи според DZ треба да бидат исклучени од опсегот на решенија.

Пример: Решете ја неравенката \(\sqrt(x+1)<3\)

Решение: Јасно е дека за левата страна да биде помала од \(3\), радикалниот израз мора да биде помал од \(9\) (на крајот на краиштата, од \(9\) само \(3\)). Добиваме:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)

Сите? Дали ќе ни одговара некоја вредност од x помала од \(8\)? Не! Затоа што ако ја земеме, на пример, вредноста \(-5\) што се чини дека одговара на барањето, тоа нема да биде решение за првобитната неравенка, бидејќи ќе не доведе до пресметување на коренот на негативен број.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Затоа, мора да ги земеме предвид и ограничувањата на вредноста на X - не може да биде таква што има негативен број под коренот. Така, го имаме второто барање за x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И за x да биде конечно решение, мора да ги задоволува двете барања одеднаш: мора да биде помало од \(8\) (да биде решение) и поголемо од \(-1\) (да биде во принцип прифатливо). Исцртувајќи го на бројната линија, го имаме конечниот одговор:

Одговор: \(\лево[-1;8\десно)\)