Метод на интервал е специјален алгоритам дизајниран да решава комплексни нееднаквостиод формата f(x) > 0. Алгоритмот се состои од 5 чекори:
- Решете ја равенката f(x) = 0. Така, наместо неравенка, добиваме равенка која е многу поедноставна за решавање;
- Обележете ги сите добиени корени на координатната линија. Така, правата линија ќе биде поделена на неколку интервали;
- Најдете ја мноштвото на корените. Ако корените се рамномерни, тогаш нацртајте јамка над коренот. (Коренот се смета за повеќекратен ако има парен број идентични решенија)
- Откријте го знакот (плус или минус) на функцијата f(x) на најдесниот интервал. За да го направите ова, доволно е да се замени во f(x) кој било број што ќе биде десно од сите означени корени;
- Обележете ги знаците во преостанатите интервали, менувајќи ги.
После ова, останува само да ги запишеме интервалите што не интересираат. Тие се означени со знак „+“ ако неравенството е во форма f(x) > 0, или со знак „−“ ако неравенството е од формата f(x)< 0.
Во случај на нестроги неравенки (≤ , ≥), потребно е во интервалите да се вклучат точки кои се решение на равенката f(x) = 0;
Пример 1:
Решете ја нееднаквоста:
(x - 2) (x + 7)< 0
Работиме користејќи го методот на интервал.
Чекор 1: заменете ја неравенката со равенка и решете ја:
(x - 2) (x + 7) = 0
Производот е еднаков на нула ако и само ако барем еден од факторите еднаква на нула:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Добивме два корени.
Чекор 2: Овие корени ги означуваме на координатната линија. Ние имаме:
Чекор 3: го наоѓаме знакот на функцијата на најдесниот интервал (десно од означената точка x = 2). За да го направите ова, треба да земете кој било број што повеќе број x = 2. На пример, да земеме x = 3 (но никој не забранува да се зема x = 4, x = 10, па дури и x = 10.000).
f(x) = (x - 2) (x + 7)
f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10
Добиваме дека f(3) = 10 > 0 (10 е позитивен број), па ставаме знак плус во најдесниот интервал.
Чекор 4: треба да ги забележите знаците на преостанатите интервали. Се сеќаваме дека при минување низ секој корен знакот мора да се промени. На пример, десно од коренот x = 2 има плус (за ова се уверивме во претходниот чекор), така што мора да има минус лево. Овој минус се протега на целиот интервал (−7; 2), така што има минус десно од коренот x = −7. Затоа, лево од коренот x = −7 има плус. Останува да се означат овие знаци на координатната оска.
Да се вратиме на првобитната неравенка, која ја имаше формата:
(x - 2) (x + 7)< 0
Значи, функцијата мора да биде помала од нула. Тоа значи дека ние сме заинтересирани за знакот минус, кој се појавува само на еден интервал: (−7; 2). Ова ќе биде одговорот.
Пример 2:
Решете ја нееднаквоста:
(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) ≥ 0
Решение:
Прво треба да ги пронајдете корените на равенката
(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0
Ајде да ја срушиме првата заграда и да добиеме:
(3x - 1) 2 (x - 2) = 0
x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0
Решавајќи ги овие равенки добиваме:
Да ги нацртаме точките на бројната права:
Бидејќи x 2 и x 3 се повеќе корени, тогаш ќе има една точка на линијата и над неа “ јамка”.
Да земеме кој било број помал од најлевата точка и да го замениме во првобитната неравенка. Да го земеме бројот -1.
Не заборавајте да го вклучите решението на равенката (најдено X), бидејќи нашата нееднаквост не е строга.
Одговор:
()У)