За кои броеви е точен знакот за неравенство? Општ начин за споредување на броеви

Научивме за неравенки на училиште, каде користиме нумерички неравенки. Во оваа статија ќе ги разгледаме својствата на нумеричките неравенки, од кои се изградени принципите на работа со нив.

Својствата на неравенките се слични на својствата на нумеричките неравенки. Ќе се разгледаат својствата, неговата оправданост и ќе се дадат примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нумерички неравенки: дефиниција, примери

При воведувањето на концептот на неравенки имаме дека нивната дефиниција е направена според видот на записот. Постојат алгебарски изрази кои имаат знаци ≠,< , >, ≤ , ≥ . Ајде да дадеме дефиниција.

Дефиниција 1

Нумеричка неравенканаречена неравенка во која двете страни имаат броеви и нумерички изрази.

Ги разгледуваме нумеричките неравенки во училиште по проучувањето на природните броеви. Ваквите споредбени операции се проучуваат чекор по чекор. Првичните изгледаат како 1< 5 , 5 + 7 >3. По што правилата се дополнуваат, а неравенките стануваат покомплицирани, тогаш добиваме неравенки од формата 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Својства на нумеричките неравенки

За да работите правилно со неравенки, мора да ги користите својствата на нумеричките неравенки. Тие доаѓаат од концептот на нееднаквост. Овој концепт е дефиниран со помош на изјава, која е означена како „повеќе“ или „помалку“.

Дефиниција 2

• бројот a е поголем од b кога разликата a - b е позитивен број;
• бројот a е помал од b кога разликата a - b е негативен број;
• бројот a е еднаков на b кога разликата a - b е нула.

Дефиницијата се користи кога се решаваат нееднаквости со односите „помалку или еднакво на“, „поголемо или еднакво на“. Го добиваме тоа

Дефиниција 3

• a е поголем или еднаков на b кога a - b е ненегативен број;
• a е помал или еднаков на b кога a - b е непозитивен број.

Дефинициите ќе се користат за докажување на својствата на нумеричките неравенки.

Основни својства

Ајде да погледнеме во 3 главни нееднаквости. Употреба на знаци< и >карактеристика на следниве својства:

Дефиниција 4

• анти-рефлексивност, кој вели дека кој било број a од неравенките a< a и a >а се смета за неточна. Познато е дека за секое a важи еднаквоста a − a = 0, па оттука добиваме дека a = a. Значи а< a и a >а е неточна. На пример, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 се неточни.
• асиметрија. Кога броевите a и b се такви што a< b , то b >a, и ако a > b, тогаш b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >а. На сличен начин се докажува и вториот дел од него.

Пример 1

На пример, со оглед на нееднаквоста 5< 11 имеем, что 11 >5, што значи дека неговата нумеричка неравенка − 0, 27 > − 1, 3 ќе се препише како − 1, 3< − 0 , 27 .

Пред да преминете на следното својство, забележете дека со помош на асиметрија можете да ја прочитате нееднаквоста од десно кон лево и обратно. На овој начин, нумеричките неравенки може да се модифицираат и заменуваат.

Дефиниција 5

• транзитивност. Кога броевите a, b, c го исполнуваат условот a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b и b > c , потоа a > c .

Доказ 1

Првата изјава може да се докаже. Состојба а< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

На сличен начин се докажува и вториот дел со својството транзитивност.

Пример 2

Анализираното својство го разгледуваме користејќи го примерот на неравенки − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 и 1 8 > 1 32 следува дека 1 2 > 1 32.

Нумеричките неравенки, кои се пишуваат со слаби знаци за неравенство, имаат својство на рефлексивност, бидејќи a ≤ a и a ≥ a може да имаат случај на еднаквост a = a. Тие се карактеризираат со асиметрија и транзитивност.

Дефиниција 6

Неравенките кои ги имаат знаците ≤ и ≥ во нивното пишување ги имаат следните својства:

• рефлексивноста a ≥ a и a ≤ a се сметаат за вистински неравенки;
• антисиметрија, кога a ≤ b, тогаш b ≥ a, и ако a ≥ b, тогаш b ≤ a.
• транзитивност, кога a ≤ b и b ≤ c, тогаш a ≤ c, а исто така, ако a ≥ b и b ≥ c, тогаш a ≥ c.

Доказот се изведува на сличен начин.

Други важни својства на нумеричките неравенки

За дополнување на основните својства на неравенките се користат резултати кои се од практично значење. Принципот на методот се користи за проценка на вредностите на изразите, на кои се засноваат принципите на решавање на нееднаквости.

Овој параграф ги открива својствата на нееднаквостите за еден знак на строга нееднаквост. Истото се прави и за нестрогите. Ајде да погледнеме пример, формулирајќи ја неравенството ако a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• ако a > b, тогаш a + c > b + c;
• ако a ≤ b, тогаш a + c ≤ b + c;
• ако a ≥ b, тогаш a + c ≥ b + c.

За удобна презентација, ја даваме соодветната изјава, која е запишана и дадени докази, прикажани се примери за употреба.

Дефиниција 7

Додавање или пресметување број на двете страни. Со други зборови, кога a и b одговараат на неравенството a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Доказ 2

За да се докаже ова, равенката мора да го задоволува условот a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Пример 3

На пример, ако ги зголемиме двете страни на неравенката 7 > 3 за 15, тогаш ќе ја добиеме таа 7 + 15 > 3 + 15. Ова е еднакво на 22 > 18.

Дефиниција 8

Кога двете страни на неравенката се помножат или поделат со ист број c, добиваме вистинска неравенка. Ако земете негативен број, знакот ќе се промени во спротивен. Инаку, изгледа вака: за a и b неравенството важи кога a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >п.н.е.

Доказ 3

Кога има случај c > 0, потребно е да се конструира разлика помеѓу левата и десната страна на неравенката. Тогаш добиваме дека a · c − b · c = (a − b) · c . Од состојба а< b , то a − b < 0 , а c >0, тогаш производот (a − b) · c ќе биде негативен. Следи дека a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

При докажување, делењето со цел број може да се замени со множење со инверзната на дадената, односно 1 в. Ајде да погледнеме пример за својство на одредени броеви.

Пример 4

Дозволени се двете страни на нееднаквоста 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Сега да ги формулираме следните два резултати, кои се користат за решавање на неравенки:

• Заклучок 1. Кога се менуваат знаците на делови од нумеричка неравенка, самиот знак на неравенка се менува во спротивното, како< b , как − a >− b . Ова го следи правилото за множење на двете страни со - 1. Тоа е применливо за транзиција. На пример, - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Заклучок 2. При замена на делови од нумеричка неравенка со спротивставени броеви, неговиот знак исто така се менува, а неравенството останува точно. Оттука имаме дека a и b се позитивни броеви, a< b , 1 a >1 б .

Кога се делат двете страни на неравенството a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 го имаме тоа 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b може да биде неточна.

Пример 5

На пример, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 се неточна равенка.

Сите точки се обединети со тоа што дејствата на делови од неравенката ја даваат точната неравенка на излезот. Да ги разгледаме својствата каде што првично има неколку нумерички неравенки, а неговиот резултат се добива со собирање или множење на неговите делови.

Дефиниција 9

Кога броевите a, b, c, d важат за неравенки a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Доказ 4

Да докажеме дека (a + c) − (b + d) е негативен број, тогаш добиваме дека a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Својството се користи за собирање термин по член на три, четири или повеќе нумерички неравенки. Броевите a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n ги задоволуваат неравенките a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Пример 6

На пример, дадени три нумерички неравенки со ист знак - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Дефиниција 10

Поимното множење на двете страни резултира со позитивен број. Кога< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Доказ 5

За да го докажеме ова, потребни ни се двете страни на нееднаквоста a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ова својство се смета за валидно за бројот на броеви со кои мора да се помножат двете страни на неравенката. Потоа a 1 , a 2 , ... , a nИ b 1, b 2, …, b nсе позитивни броеви, каде што е 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Забележете дека при пишување неравенки има непозитивни броеви, тогаш нивното множење по член води до неточни неравенки.

Пример 7

На пример, нееднаквост 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Последица: Поимно множење на неравенки a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Својства на нумеричките неравенки

Да ги разгледаме следните својства на нумеричките неравенки.

1. а< a , a >а - неточни неравенки,
   a ≤ a, a ≥ a се вистински неравенки.
2. Ако< b , то b >а - антисиметрија.
3. Ако< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Ако< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Ако< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Ако< b и c - отрицательное число, то a · c >п.н.е.

Заклучок 1: ако< b , то - a >-б.

Заклучок 2: ако a и b се позитивни броеви и a< b , то 1 a >1 б .

1. Ако 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Ако е 1 , а 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n се позитивни броеви и a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Заклучок 1: Ако а< b , a И б се позитивни броеви, а потоа a n< b n .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Нумерички неравенки и нивните својства

Презентацијата детално ја прикажува содржината на темите НУМЕРИЧКИ НЕРАВЕНКИ и СВОЈСТВА НА НУМЕРИЧКИТЕ НЕРАВЕНКИ и дава примери за докажување на нумерички неравенки. (Алгебра 8-мо одделение, автор Макаричев Ју.Н.)

Погледнете ја содржината на документот
„Нумерички неравенки и нивните својства“

Нумерички неравенки

и нивните својства

наставник по математика во општинската образовна институција „Средно училиште Упшинскаја“

Округот Орша во Република Мари Ел

(До учебникот од Ју.А.Макаричев Алгебра 8

Нумерички неравенки

Резултатот од споредување на два или повеќе броеви се запишува во форма на неравенки со помош на знаците  ,  , =

Ние споредуваме броеви користејќи различниправила (методи). Удобно е да се има генерализиранометод на споредба кој ги опфаќа сите случаи.

Дефиниција:

Број А е поголема од b ако разликата ( а – б) е позитивен број.

Број А е помала од b ако разликата ( а – б) е негативен број.

Број А е еднаков на бројот b ако разликата ( а – б) – еднакво на нула

Општ начин за споредување на броеви

Пример 1.

Примена на генерализиран метод на споредување на броеви за докажување на неравенки

Пример 2. Докажете дека аритметичката средина на два позитивни броја не е помала од геометриската средина на овие броеви.

Ако двете страни на вистинската неравенка се помножат или поделат со ист позитивен број, се добива вистинска неравенка.

Ако двете страни на вистинската неравенка се помножат или поделат со ист негативен број и знакот за неравенство е обратен, се добива вистинска неравенка.

P = 3а

Помножете ги со 3 двете страни на секоја од неравенките

54,2 ∙ 3 ​​а ∙ 3

162,6

Примена на својствата на нумеричките неравенки

Презентирани се главните типови на неравенки, вклучувајќи ги неравенките Бернули, Коши - Буњаковски, Минковски, Чебишев. Се разгледуваат својствата на неравенките и дејствата на нив. Дадени се основните методи за решавање на неравенки.

Формули за основни неравенки

Формули за универзални неравенки

Универзалните нееднаквости се задоволени за сите вредности на количините вклучени во нив. Главните типови на универзални неравенки се наведени подолу.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |а 1 | + |а 2 | + ... + |a n |

2) |а| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |а| - |б| |

3)
Еднаквоста се јавува само кога a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Коши-Бунјаковски нееднаквост

Еднаквоста важи ако и само ако α a k = β b k за сите k = 1, 2, ..., n и некои α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Нееднаквоста на Минковски, за p ≥ 1

Формули на задоволувачки нееднаквости

Задоволувачките нееднаквости се задоволуваат за одредени вредности на количините вклучени во нив.

1) Неравенка на Бернули:
.
Поопшто:
,
каде , броеви со ист знак и поголеми од -1 : .
Лема на Бернули:
.
Видете „Докази за нееднаквости и лемата на Бернули“.

2)
за i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Нееднаквоста на Чебишев
на 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
На 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Генерализирани нееднаквости на Чебишев
на 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и к природен
.
На 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Својства на неравенки

Својствата на неравенките се збир на правила кои се задоволуваат при нивното трансформирање. Подолу се дадени својствата на неравенките. Разбирливо е дека оригиналните неравенки се задоволени за вредностите на x i (i = 1, 2, 3, 4) кои припаѓаат на некој однапред одреден интервал.

1) Кога се менува редоследот на страните, знакот за нееднаквост се менува во спротивното.
Ако x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ако x 1 ≤ x 2, тогаш x 2 ≥ x 1.
Ако x 1 ≥ x 2, тогаш x 2 ≤ x 1.
Ако x 1 > x 2 тогаш x 2< x 1 .

2) Една еднаквост е еквивалентна на две нестроги неравенки на различни знаци.
Ако x 1 = x 2, тогаш x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2, тогаш x 1 = x 2.

3) Својство на преодност
Ако x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3, тогаш x 1 ≤ x 3.

4) Истиот број може да се додаде (одземе) на двете страни на неравенката.
Ако x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ако x 1 ≤ x 2, тогаш x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ако x 1 ≥ x 2, тогаш x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ако x 1 > x 2, тогаш x 1 + A > x 2 + A.

5) Ако има две или повеќе неравенки со знакот од иста насока, тогаш може да се додадат нивната лева и десна страна.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, тогаш x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Слични изрази важат за знаците ≥, >.
Ако оригиналните неравенки содржат знаци на нестроги неравенки и барем една строга неравенка (но сите знаци имаат иста насока), тогаш собирањето резултира со строга неравенка.

6) Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со позитивен број.
Ако x 1< x 2 и A >0, потоа A x 1< A · x 2 .
Ако x 1 ≤ x 2 и A > 0, тогаш A x 1 ≤ A x 2.
Ако x 1 ≥ x 2 и A > 0, тогаш A x 1 ≥ A x 2.
Ако x 1 > x 2 и A > 0, тогаш A · x 1 > A · x 2.

7) Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со негативен број. Во овој случај, знакот на нееднаквост ќе се промени во спротивното.
Ако x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ако x 1 ≥ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ако x 1 > x 2 и А< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ако има две или повеќе неравенки со позитивни членови, со знак од иста насока, тогаш нивната лева и десна страна може да се помножат една со друга.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 потоа x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 потоа x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 потоа x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 тогаш x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Слични изрази важат за знаците ≥, >.
Ако оригиналните неравенки содржат знаци на нестроги неравенки и барем една строга неравенка (но сите знаци имаат иста насока), тогаш множењето резултира со строга неравенка.

9) Нека f(x) е монотоно растечка функција. Тоа е, за било кој x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Тогаш оваа функција може да се примени на двете страни на нееднаквоста, што нема да го промени знакот на неравенството.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2 тогаш f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2 тогаш f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 > x 2, тогаш f(x 1) > f(x 2).

10) Нека f(x) е монотоно опаѓачка функција, односно за кој било x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2 тогаш f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2 тогаш f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 > x 2 тогаш f(x 1)< f(x 2) .

Методи за решавање на неравенки

Решавање на неравенки со методот на интервал

Методот на интервал е применлив ако неравенката вклучува една променлива, која ја означуваме како x, и има форма:
f(x) > 0
каде што f(x) е континуирана функција со конечен број точки на дисконтинуитет. Знакот за нееднаквост може да биде што било: >, ≥,<, ≤ .

Методот на интервал е како што следува.

1) Најдете го доменот на дефиниција на функцијата f(x) и означете го со интервали на бројната оска.

2) Најдете ги точките на дисконтинуитет на функцијата f(x). На пример, ако ова е дропка, тогаш ги наоѓаме точките во кои именителот станува нула. Овие точки ги означуваме на бројната оска.

3) Реши ја равенката
f(x) = 0 .
Корените на оваа равенка ги означуваме на бројната оска.

4) Како резултат на тоа, бројната оска ќе биде поделена на интервали (сегменти) по точки. Во секој интервал вклучен во доменот на дефиниција, избираме која било точка и во овој момент ја пресметуваме вредноста на функцијата. Ако оваа вредност е поголема од нула, тогаш ставаме знак „+“ над сегментот (интервал). Ако оваа вредност е помала од нула, тогаш ставаме знак „-“ над сегментот (интервал).

5) Ако неравенката има форма: f(x) > 0, тогаш изберете интервали со знакот „+“. Решението за нееднаквоста е да се комбинираат овие интервали, кои не ги вклучуваат нивните граници.
Ако неравенката има форма: f(x) ≥ 0, тогаш на решението додаваме точки во кои f(x) = 0. Односно, некои интервали може да имаат затворени граници (границата му припаѓа на интервалот). другиот дел може да има отворени граници (границата не припаѓа на интервалот).
Слично, ако неравенката има форма: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ако неравенството има форма: f(x) ≤ 0, тогаш на решението додаваме точки во кои f(x) = 0.

Решавање на неравенки користејќи ги нивните својства

Овој метод е применлив за нееднаквости од која било сложеност. Се состои од примена на својствата (претставени погоре) за да се намалат неравенките до поедноставен облик и да се добие решение. Сосема е можно тоа да резултира со не само една, туку систем на нееднаквости. Ова е универзален метод. Тоа се однесува на какви било нееднаквости.

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

Час и презентација на тема: „Основни својства на нумеричките неравенки и методи за нивно решавање“.

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Комбинаторика и теорија на веројатност Равенки и неравенки

Вовед во нумерички неравенки

Момци, веќе наидовме на нееднаквости, на пример, кога почнавме да се запознаваме со концептот на квадратен корен. Интуитивно, користејќи неравенки можете да процените кој од дадените броеви е поголем или помал. За математички опис, доволно е да додадете посебен симбол кој ќе значи или повеќе или помалку.

Пишувањето на изразот $a>b$ на математички јазик значи дека бројот $a$ е поголем од бројот $b$. За возврат, тоа значи дека $a-b$ е позитивен број.
Пишување на изразот $a

Како и скоро сите математички објекти, неравенките имаат одредени својства. Ние ќе ги проучуваме овие својства во оваа лекција.

Имотот 1.
Ако $a>b$ и $b>c$, тогаш $a>c$.

Доказ.
Очигледно, $10>5$ и $5>2$, и секако $10>2$. Но, математиката сака ригорозни докази за најопшт случај.
Ако $a>b$, тогаш $a-b$ е позитивен број. Ако $b>c$, тогаш $b-c$ е позитивен број. Да ги собереме двата добиени позитивни бројки.
$a-b+b-c=a-c$.
Збирот на два позитивни броја е позитивен број, но тогаш $a-c$ е исто така позитивен број. Од што произлегува дека $a>c$. Имотот е докажан.

Ова својство може појасно да се прикаже со помош на бројна линија. Ако $a>b$, тогаш бројот $a$ на бројната линија ќе лежи десно од $b$. Според тоа, ако $b>c$, тогаш бројот $b$ ќе лежи десно од бројот $c$.
Како што може да се види од сликата, точката $a$ во нашиот случај се наоѓа десно од точката $c$, што значи дека $a>c$.

Имотот 2.
Ако $a>b$, тогаш $a+c>b+c$.
Со други зборови, ако бројот $a$ е поголем од бројот $b$, тогаш без разлика кој број ќе го додадеме (позитивен или негативен) на овие броеви, знакот за неравенство исто така ќе биде зачуван. Овој имот е многу лесно да се докаже. Треба да направите одземање. Променливата што е додадена ќе исчезне и оригиналната нееднаквост ќе биде точна.

Имотот 3.
а) Ако двете страни на неравенството се помножат со позитивен број, тогаш знакот за неравенство е зачуван.
Ако $a>b$ и $c>0$, тогаш $ac>bc$.
б) Ако двете страни на неравенката се помножат со негативен број, тогаш знакот на неравенката треба да се смени.
Ако $a>b$ и $c Ако $a bc$.
Кога се делите, треба да продолжите на ист начин (поделете со позитивен број - знакот останува ист, делете со негативен број - знакот се менува).

Имотот 4.
Ако $a>b$ и $c>d$, тогаш $a+c>b+d$.

Доказ.
Од условот: $a-b$ е позитивен број и $c-d$ е позитивен број.
Тогаш збирот $(a-b)+(c-d)$ е исто така позитивен број.
Ајде да замениме неколку термини $(a+c)-(b+d)$.
Промената на местата на термините не го менува збирот.
Ова значи дека $(a+c)-(b+d)$ е позитивен број и $a+c>b+d$.
Имотот е докажан.

Имотот 5.
Ако $a, b ,c, d$ се позитивни броеви и $a>b$, $c>d$, тогаш $ac>bd$.

Доказ.
Бидејќи $a>b$ и $c>0$, тогаш, користејќи го својството 3, имаме $ac>bc$.
Бидејќи $c>d$ и $b>0$, тогаш, користејќи го својството 3, имаме $cb>bd$.
Значи, $ac>bc$ и $bc >bd$.
Потоа, користејќи го својството 1, добиваме $ac>bd$. Q.E.D.

Дефиниција.
Неравенки од формата $a>b$ и $c>d$ ($a Неравенки од формата $a>b$ и $c d$) се нарекуваат неравенки со спротивно значење.

Тогаш имотот 5 може да се преформулира. При множење на неравенки со исто значење, чија лева и десна страна се позитивни, се добива неравенство со исто значење.

Имотот 6.
Ако $a>b$ ($a>0$, $b>0$), тогаш $a^n>b^n$, каде што $n$ е кој било природен број.
Ако двете страни на неравенката се позитивни броеви и тие се подигнат на иста природна моќност, тогаш ќе се добие неравенство со исто значење.
Забелешка: ако $n$ е непарен број, тогаш за броевите $a$ и $b$ од кој било знак, Својството 6 е задоволено.

Имотот 7.
Ако $a>b$ ($a>0$, $b>0$), тогаш $\frac(1)(a)

Доказ.
За да се докаже ова својство, потребно е да се одземе $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ за да се добие негативен број.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.

Знаеме дека $a-b$ е позитивен број, а производот на два позитивни броја е исто така позитивен број, т.е. $ab>0$.
Тогаш $\frac(-(a-b))(ab)$ е негативен број. Имотот е докажан.

Имотот 8.
Ако $a>0$, тогаш важи следнава неравенка: $a+\frac(1)(a)≥2$.

Доказ.
Ајде да ја разгледаме разликата.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ е ненегативен број.
Имотот е докажан.

Имотот 9.Неравенство на Коши (аритметичката средина е поголема или еднаква на геометриската средина).
Ако $a$ и $b$ се ненегативни броеви, тогаш важи неравенката: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.

Доказ.
Ајде да ја разгледаме разликата:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ е ненегативен број.
Имотот е докажан.

Примери за решавање на неравенки

Пример 1.
Познато е дека -1,5 долари а) $3а$.
б) $-2b $.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^2$.
д) $a^3$.
е) $\frac(1)(b)$.

Решение.
а) Да го искористиме својството 3. Помножете се со позитивен број, што значи дека знакот за неравенство не се менува.
$-1.5*3 $-4.5<3a<6.3$.

Б) Да го искористиме својството 3. Помножете се со негативен број, што значи дека се менува знакот на неравенството.
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Додавајќи неравенки со исто значење, добиваме неравенство со исто значење.
$-1.5+3.1 $1.6

Г) Помножете ги сите делови од неравенката $3,1 $-5.3<-b<-3.1$.
Сега да ја извршиме операцијата за додавање.
$-1.5-5.3 $-6.8

Г) Сите делови од неравенката се позитивни, квадратувајќи ги, добиваме неравенство со исто значење.
${3.1}^2 $9.61

Д) Степенот на нееднаквост е непарен, тогаш можете безбедно да го подигнете на јачина и да не го менувате знакот.
${(-1.5)}^3 $-3.375

Г) Да го искористиме имотот 7.
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

Пример 2.
Споредете ги бројките:
а) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ и $2+\sqrt(8)$.
б) $π+\sqrt(8)$ и $4+\sqrt(10)$.

Решение.
а) Да го квадрираме секој број.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Да ја пресметаме разликата помеѓу квадратите на овие квадрати.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Очигледно, добивме позитивен број, што значи:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Бидејќи двата броја се позитивни, тогаш:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

1. Познато е дека -2,2 долари Најдете проценки на бројки.
а) $4а$.
б) $-3b $.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^4$.
д) $a^3$.
е) $\frac(1)(b)$.
2. Споредете ги бројките:
а) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ и $3+\sqrt(7)$.
б) $π+\sqrt(5)$ и $2+\sqrt(3)$.

Множеството од сите реални броеви може да се претстави како заедница од три множества: множество позитивни броеви, множество негативни броеви и множество кое се состои од еден број - бројот нула. За да се покаже дека бројот Апозитивно, користете ја снимката a > 0, за да означите негативен број користете друга ознака а< 0 .

Збирот и производот на позитивните броеви се исто така позитивни броеви. Доколку бројот Анегативен, потоа бројот -Апозитивно (и обратно). За секој позитивен број a има позитивен рационален број р, Што р< а . Овие факти се во основата на теоријата на нееднаквости.

По дефиниција, неравенката a > b (или, што е исто, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, односно ако бројот a - b е позитивен.

Размислете, особено, за нееднаквоста А< 0 . Што значи оваа нееднаквост? Според горната дефиниција тоа значи дека 0 - а > 0, т.е. -a > 0или, со други зборови, колкав е бројот -Апозитивно. Но, ова се случува ако и само ако бројот Анегативен. Значи нееднаквост А< 0 значи дека бројот но негативен.

Ознаката исто така често се користи ab(или, што е истото, ба).
Снимајте ab, по дефиниција, значи дека или a > b, или a = b. Ако го земеме предвид рекордот abкако неопределен исказ, тогаш во ознаката на математичката логика можеме да запишеме

(а б) [(а > б) V (а = б)]

Пример 1.Дали се вистинити неравенките 5 0, 0 0?

Неравенството 5 0 е сложено тврдење кое се состои од две едноставни искази поврзани со логичкото сврзно „или“ (дисјункција). Или 5 > 0 или 5 = 0. Првата изјава 5 > 0 е точно, втората изјава 5 = 0 е неточна. Според дефиницијата за дисјункција, таква сложена изјава е вистинита.

Записот 00 се дискутира на сличен начин.

Неравенки на формата a > b, a< b ќе ги наречеме строги, а нееднаквости на формата ab, ab- не строго.

Нееднаквости a > bИ c > d(или А< b И Со< d ) ќе се нарекуваат неравенки со исто значење, и неравенки a > bИ в< d - нееднаквости со спротивно значење. Забележете дека овие два поима (неравенки со исто и спротивно значење) се однесуваат само на формата на пишување на неравенките, а не на самите факти изразени со овие неравенки. Значи, во однос на нееднаквоста А< b нееднаквост Со< d е неравенство со исто значење, а во ознаката d>c(значи истото) - нееднаквост со спротивно значење.

Заедно со неравенки на формата а>б, abсе користат таканаречените двојни неравенки, т.е. неравенки на формата А< с < b , ак< b , а< cb ,
аcb. По дефиниција, рекорд

А< с < b (1)
значи дека и двете неравенки важат:

А< с И Со< b.

Неравенките имаат слично значење acb, ac< b, а < сb.

Двојната неравенка (1) може да се запише на следниов начин:

(а< c < b) [(a < c) & (c < b)]

и двојна нееднаквост a ≤ c ≤ bможе да се напише во следнава форма:

(а в б) [(а< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Сега да продолжиме со презентацијата на основните својства и правилата за дејствување на нееднаквостите, откако се согласивме дека во оваа статија буквите а, б, все залагаат за реални броеви и nзначи природен број.

1) Ако a > b и b > c, тогаш a > c (транзитивност).

Доказ.

Бидејќи по услов a > bИ b > c, потоа бројките а - бИ б - все позитивни, а со тоа и бројот a - c = (a - b) + (b - c), како збир на позитивни броеви, исто така е позитивен. Ова по дефиниција значи дека а > в.

2) Ако a > b, тогаш за кое било c важи неравенката a + c > b + c.

Доказ.

Бидејќи a > b, потоа бројот а - бпозитивно. Затоа, бројот (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bе исто така позитивен, т.е.
a + c > b + c.

3) Ако a + b > c, тогаш a > b - c,односно секој член може да се префрли од еден дел на неравенката во друг со промена на знакот на овој член во спротивен.

Доказот произлегува од својството 2) доволно е за двете страни на неравенката a + b > cдодадете број - б.

4) Ако a > b и c > d, тогаш a + c > b + d,односно при собирање на две неравенки со исто значење се добива неравенство со исто значење.

Доказ.

Врз основа на дефиницијата за нееднаквост, доволно е да се покаже дека разликата
(а + в) - (б + в)позитивен. Оваа разлика може да се напише на следниов начин:
(а + в) - (б + г) = (а - б) + (в - г).
Бидејќи според условот на бројот а - бИ в - гтогаш се позитивни (а + в) - (б + г)има и позитивен број.

Последица. Од правилата 2) и 4) следува следното Правило за одземање на неравенки: ако a > b, c > d, Тоа a - d > b - c(за доказ доволно е да се применат двете страни на нееднаквоста a + c > b + dдодадете број - в - г).

5) Ако a > b, тогаш за c > 0 имаме ac > bc, а за c< 0 имеем ас < bc.

Со други зборови, кога се множат двете страни на неравенка со кој било позитивен број, знакот за неравенство се зачувува (т.е. се добива неравенство со исто значење), но кога се множи со негативен број, знакот за неравенство се менува во спротивен (т.е. се добива нееднаквост со спротивно значење.

Доказ.

Ако a > b, Тоа а - бе позитивен број. Затоа, знакот на разликата ак-п.н.е = такси)се совпаѓа со знакот на бројот Со: Ако Сое позитивен број, тогаш разликата ак - п.н.ее позитивен и затоа ac > bс, и ако Со< 0 , тогаш оваа разлика е негативна и затоа п.н.е. - акпозитивно, т.е. bc > ac.

6) Ако a > b > 0 и c > d > 0, тогаш ac > bd,односно, ако сите поими на две неравенки со исто значење се позитивни, тогаш при множење на овие неравенки по член по член се добива неравенство со исто значење.

Доказ.

Ние имаме ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Бидејќи c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, потоа ac - bd > 0, т.е. ac > bd.

Коментар.Од доказот јасно се гледа дека состојбата d > 0во формулацијата на имотот 6) е неважно: за ова својство да важи, доволно е да се исполнат условите a > b > 0, c > d, c > 0. Ако (ако неравенките се исполнети a > b, c > d) броеви а, б, внема сите да бидат позитивни, тогаш нееднаквоста ac > bdможе да не се исполни. На пример, кога А = 2, б =1, в= -2, г= -3 имаме a > b, c > г, но нееднаквост ac > bd(т.е. -4 > -3) не успеа. Така, барањето броевите a, b, c да бидат позитивни во формулацијата на својството 6) е суштинско.

7) Ако a ≥ b > 0 и c > d > 0, тогаш (поделба на неравенки).

Доказ.

Ние имаме Броителот на дропката од десната страна е позитивен (види својства 5), 6)), именителот е исто така позитивен. Оттука,. Ова докажува својство 7).

Коментар.Да забележиме важен посебен случај од правилото 7), добиен за a = b = 1: ако c > d > 0, тогаш. Така, ако поимите на неравенството се позитивни, тогаш кога преминуваме на реципроците добиваме неравенство со спротивно значење. Ги покануваме читателите да проверат дали ова правило важи и за 7) Ако ab > 0 и c > d > 0, тогаш (поделба на неравенки).

Доказ. Тоа.

Погоре докажавме неколку својства на неравенки напишани со знакот > (повеќе). Сепак, сите овие својства може да се формулираат со користење на знакот < (помалку), бидејќи нееднаквоста б< а значи, по дефиниција, исто што и нееднаквоста a > b. Покрај тоа, како што е лесно да се потврди, својствата докажани погоре се зачувани и за нестроги нееднаквости. На пример, својството 1) за нестроги неравенки ќе ја има следната форма: ако аб и п.н.е, Тоа ак.

Се разбира, горенаведеното не ги ограничува општите својства на нееднаквостите. Исто така, постои цела серија на општи неравенки поврзани со разгледувањето на моќноста, експоненцијалните, логаритамските и тригонометриските функции. Општиот пристап за пишување на овој вид неравенки е како што следува. Ако некоја функција y = f(x)монотоно се зголемува на сегментот [а, б], тогаш за x 1 > x 2 (каде што x 1 и x 2 припаѓаат на оваа отсечка) имаме f (x 1) > f(x 2). Исто така, ако функцијата y = f(x)монотоно се намалува на интервалот [а, б], тогаш кога x 1 > x 2 (каде x 1И X 2 припаѓаат на овој сегмент) имаме f(x 1)< f(x 2 ). Се разбира, она што е кажано не се разликува од дефиницијата за монотоност, но оваа техника е многу погодна за меморирање и пишување нееднаквости.

Така, на пример, за кој било природен број n функцијата y = xnмонотоно се зголемува долж зракот }